Chapitre 8 Exercices Exercice 1 Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous : x i 2 1 0 4 5 8 P(X = x i ) 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1... 1. Compléter le tableau. 2. Calculer P(X < 0). 3. Calculer P(X 4) et P( 2 < X 3). Exercice 2 On note X la variable aléatoire qui donne le nombre d appels reçus à un standard téléphonique durant une minute. Une étude statistique a conduit aux résultats suivants : x i 0 1 2 3 4 5 P(X = x i ) 0, 1 0, 15 0, 25 0, 3 0, 15 0, 05 1. Calculer P(X 2) et P(1 X 4). Interpréter ces probabilités. 2. Calculer la probabilité que le standard ait reçu au moins 3 appels pendant une minute donnée. Exercice 3 Un commercial vend entre 0 et 4 pompes à chaleur d un certain modèle en une semaine. Soit X la variable aléatoire qui, pour une semaine, donne le nombre de pompes à chaleur vendues. X suit la loi de probabilité indiquée dans le tableau suivant : x i 0 1 2 3 4 P(X = x i ) 0, 26 0, 23... 0, 15 0, 05 1. Calculer la probabilité de vendre exactement deux pompes à chaleur en une semaine et compléter le tableau. 2. Déterminer la probabilité de vendre au moins deux pompes à chaleur en une semaine. Exercice 4 Un boulanger fabrique des pains de campagne qui doivent normalement peser 600 grammes. On désigne par X la variable aléatoire qui prend pour valeur les masses possibles des pains de campagne, exprimées en grammes et arrondies à la dizaine près. Sa loi est donnée par le tableau suivant : x i 580 590 600 610 620 P(X = x i ) 0, 12 0, 25 0, 32 0, 27 0, 04 Un client achète un pain de campagne. Quelle est la probabilité que son pain pèse au moins 600 grammes?
Exercice 5 Un joueur mise 3 e, puis lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. S il obtient un nombre pair, le joueur reçoit, en euros, le double du nombre obtenu. S il obtient 1 ou 3, le joueur reçoit 1 e. Sinon, le joueur ne reçoit rien. X est la variable aléatoire qui donne le gain algébrique éventuellement négatif du joueur. Donner la loi de probabilité de X. Exercice 6 On s intéresse aux familles de trois enfants. On prend au hasard une de ces familles et on note le sexe de chaque enfant dans l ordre des naissances. Ainsi, FFG désigne l issue : «les deux premiers enfants sont des filles et le troisième, un garçon». 1.(a) Écrire toutes les issues possibles. (b) On choisit le modèle d équiprobabilité. Quelle est la probabilité d obtenir l issue FFG? 2. On considère la variable aléatoire X qui à chaque issue associe le nombre de filles dans la famille. (a) Quelles sont les valeurs prises par X? (b) Déterminer la loi de probabilité de X. Exercice 7 La roue d une loterie s arrête de façon équiprobable sur l un des numéros de 0 à 10. Le joueur, qui lance la roue, gagne une somme en euros égale au nombre de consonnes figurant dans l écriture en français du numéro obtenu. 1. Le gain du joueur déterminer une variable aléatoire X. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. Pour faire une partie, le joueur doit maintenant payer 2 e. Reprendre la question précédente avec la variable aléatoire Y qui donne le gain algébrique du joueur (en tenant compte de sa mise). Exercice 8 Un dé décaédrique comporte 10 faces numérotées de 1 à 10. Un jeu consiste à lancer ce dé, supposé équilibré, et à noter le numéro de la face sur laquelle le dé se stabilise. Le joueur, qui doit miser 3 euros pour lancer le dé, reçoit une somme en euros égale au nombre de diviseurs du nombre entier obtenu. On désigne par X la variable aléatoire qui associe à un lancer le gain du joueur (en tenant compte de la mise). 1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 2. Calculer la probabilité des événements suivants : (a) A : «le joueur récupère sa mise, mais pas plus» ; (b) B : «le gain du joueur ne couvre pas la mise en jeu» ; (c) C : «à l issue du jeu, le joueur n a pas perdu d argent». Exercice 9 Une urne contient deux boules numérotées 1, deux boules numérotées 2 et deux boules numérotées 3. Un joueur tire au hasard une boule dans cette urne. Pour une mise de 10 e, le joueur tire au hasard une boule et emporte un nombre d euros égal à la somme des numéros des cinq boules restant dans l urne. La variable Y correspond au gain algébrique réalise par le joueur (mise incluse). Déterminer la loi de probabilité de Y.
Exercice 10 Calculer en appliquant les définitions du cours, l espérance, la variance et l écart-type de la variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous : Vérifier ces résultats à l aide d une calculatrice. x i 4 2 0 1 5 P(X = x i ) 0, 1 0, 2 0, 3 0, 1 0, 3 Exercice 11 X étant la variable aléatoire définie à l exercice 1, calculer E(X), V(X) et σ(x). Exercice 12 Une urne contient douze boules : des bleues, des vertes et des blanches. Six sont bleues et une seule est blanche. On tire au hasard une boule de l urne et on définit une variable aléatoire X égale au gain algébrique obtenu, sachant que : on perd 3 e si la boule tirée est bleue ; on gagne 1 e si la boule tirée est verte ; on gagne 7 e si la boule tirée est blanche. 1. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. Déterminer l espérance et l écart-type de X. Exercice 13 On lance un dé à six faces non truqué. 1. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de points obtenus. Quelle est l espérance de X? 2. On suppose qu on reçoit 12 e si on obtient 1, rien si on obtient 2, 3 ou 4, et 6e si on obtient 5 ou 6. Soit G la variable aléatoire égale au gain de ce jeu. (a) Quelle est la loi de G? (b) Que vaut le gain moyen par partie? 3. On suppose maintenant qu on reçoit 27 e pour un 1 et rien sinon. Est-il préférable de jouer au jeu défini à la question 2. ou à celui-ci? 4. On demande maintenant de miser 3 e pour jouer au jeu de la question 2. mais dans lequel les gains ont été divisés par 2. Quelle est l espérance du gain (en tenant compte de la mise)? Exercice 14 Une roue de loterie est divisée en trois secteurs : un rouge (R), un jaune (J) et un vert (V), d angles au centre respectifs 60, 120 et 180. Lorsqu elle s arrête de tourner, un repère indique l une des trois couleurs avec une probabilité proportionnelle à l angle du secteur concerné. On lance la roue. 1. Déterminer un modèle de probabilité sur Ω = {J, V, R}. 2. Le joueur perd 2 e si la flèche indique la partie verte, gagne 0, 50 e si la flèche indique la partie jaune et x euros si la flèche indique la partie rouge. Soit G le gain algébrique du joueur. (a) Calculer E(G) en fonction de x.
(b) Comment choisir x pour que le jeu soit équitable? Exercice 15 On considère le jeu suivant : un joueur place une mise m (en euro) sur la table, puis tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Si la carte tirée est : un as, le joueur gagne 50 euros ; un roi, le joueur gagne 2 fois sa mise ; une dame ou un valet, le joueur ne gagne rien. On nomme X la variable aléatoire donnant le gain du joueur (en tenant compte de la mise). 1. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. Exprimer E(X) en fonction de m. 3. Pour quelles valeurs de m le jeu est-il favorable au joueur? Exercice 16 Yann le forain propose un jeu de dés où, pour une mse de 4 e, le joueur lance un dé cubique supposé équilibré et gagne autant d euros que le nombre figurant sur la face supérieure du dé comporte de lettres dans son écriture en français. Zoé la foraine propose le même jeu, mais avec l écriture en anglais du nombre. Soit Y (resp. Z), la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur (en prenant en compte la mise), lors d une partie avec Yann (resp. Zoé). 1. Déterminer les lois de probabilité de Y et Z. 2.(a) Calculer E(Y) et E(Z), ainsi que σ(y) et σ(z). (b) Quel jeu conseilleriez-vous à un joueur? Exercice 17 Kévin possède une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité d obtenir Pile est le double de celle d obtenir Face. Kévin propose à Léa de lancer la pièce : si Léa obtient Face, Kévin lui donne x euros ; si Léa obtient Pile, elle donne y euros à Kévin (x et y sont des entiers naturels). 1. Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires L et K, donnant les gains algébriques de Léa et Kévin lors du lancer d une pièce. 2. Calculer l espérance de K et de L. 3. Comment choisir x et y pour que le jeu soit équitable pour Kévin? L est-il alors pour Léa? Exercice 18 Tim et Tom ont chacun organisé une tombola. Tim propose 100 billets, dont 30 sont gagnants, parmi lesquels figurent : 1 lot de 250 e, 4 lots de 50 e et 25 lots de 2e. Tom propose également 100 billets, mais annonce 50 gagnants : 5 lots de 20 e, 10 lots de 15 e, 15 lots de 10 e et 20 lots de 5 e. Dans chaque tombola, le prix du billet est de 5 e. Soient X et Y les gains algébriques respectifs liés à l achat d un billet chez Tim et Tom. 1. Calculer pour chaque tombola : (a) la probabilité d avoir un billet gagnant ;
(b) la probabilité de gagner au moins 5 e ; (c) la probabilité de gagner au moins 40 e. 2.(a) Calculer l espérance mathématique de chacune des variables aléatoires X et Y. Comparer et interpréter. (b) Calculer la variance et l écart-type de X et de Y. Que pourrait-on conseiller à Eva, qui hésite entre Tim et Tom, sachant qu elle n a pas le goût du risque? Exercice 19 La variable aléatoire Y a pour espérance mathématique 100 et pour écart-type 20. Soit la variable aléatoire Y définie par Y = X. Déterminer l espérance mathématique et l écart-type de Y. Exercice 20 La variable aléatoire X a pour espérance mathématique 20. Soit la variable aléatoire Y définie par Y = 5X + 40. Déterminer l espérance mathématique de Y. Exercice 21 Le nombre de spectateurs pour un match de football est une variable aléatoire N d espérance mathématique 5000 et d écart-type 2000. Le prix de la place est 10e. Soit R la variable aléatoire égale à la recette du match. Déterminer son espérance et sa variance. Exercice 22 Une roue de loterie est formée de trois secteurs jaune, bleu et rouge. La probabilité qu elle s arrête sur le secteur jaune est 1 5 et elle est de 1 pour le secteur bleu. On fait tourner deux fois de suite la roue. 4 1. Faire un arbre modélisant l expérience. 2. Quelle est la probabilité que la roue s arrête deux fois sur le secteur jaune? 3. Quelle est la probabilité qu elle s arrête sur deux secteurs de la même couleur? Exercice 23 Un sac contient quatre jetons marqués 0, 1, 2 et 3. On tire successivement et avec remise deux jetons du sac. On note les numéros obtenus. 2. Calculer la probabilité que les deux numéros soient inférieurs ou égaux à 2. Exercice 24 Une urne contient quatre boules indiscernables au toucher : trois blanches et une noire. On tire successivement et avec remise deux boules de l urne, on note les couleurs obtenues. 2. X est la variable aléatoire qui donne le nombre de boules noires tirées. (a) Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X. (b) Déterminer l espérance de X. Interpréter le résultat obtenu.
Exercice 25 Un fichier contient 40% de femmes. On tire au hasard, avec remise, deux personnes dans ce fichier et on note leur sexe. 2. Calculer la probabilité d obtenir un homme et une femme. Exercice 26 Une étude statistique menée lors des entraînements de la saison montre que, sur une série de 5 tirs au but, Lucas marque 5 buts avec une probabilité égale à 0, 2, marque 4 buts avec une probabilité égale à 0, 5 et 3 buts avec une probabilité à 0, 3. Aujourd hui, Lucas effectue deux séries de 5 tirs au but. On admet que les résultats à chacune des deux séries sont indépendants. 2. X est la variable aléatoire qui donne le nombre total de buts marqués par Lucas au cours des deux séries. (a) Déterminer la loi de probabilité de X. (b) Calculer l espérance de X. Exercice 27 Un archer atteint une cible avec une probabilité p égale à 0, 9. Il effectue une série de 20 tirs indépendants. 1. Calculer la probabilité : (a) qu il atteigne toujours la cible ; (b) qu il atteigne au moins une fois la cible. 2. Exprimer en fonction de n (n N ) la probabilité que sur n tirs consécutifs (indépendants) l archer atteigne toujours la cible. 3. Écrire un algorithme qui donne le plus petit nombre de tirs tels que la probabilité d atteindre la cible à tous ces tirs soit inférieure ou égale à 0, 01. Exercice 28 Un commerçant délivre une carte à gratter à chacun des passages de ses clients à la caisse : la probabilité de découvrir «gagné» est 0, 01. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de «gagné» après deux passages en caisse. 1. Déterminer la loi de probabilité de X. 2. Calculer son espérance mathématique. Exercice 29 Une machine fabrique des fils. La probabilité d obtenir 10 m de fil sans défaut est p = 0, 81. On suppose que la présence d un défaut sur le fil est indépendante de la présence d autres défauts sur ce fil. Quelle est la probabilité d avoir 40 m de fil sans défaut?