1. Comment distinguer deux biens? Math Financiere 1ere Partie : Le concept de bien - distinguer des biens selon les caracteristiques physiques - la localisation du bien dans l'espace - la localisation dans le temps ( disponible à des dates differentes ) Valable pour la monnaie : c'est un bien. 1 aujourd'hui est different d'un dans un un. Consequence : pratique, on ne peut pas additionner deux biens differents ( 1 de 2007 + 1 de 2008 n'as pas de sens ). Mais on peut echanger deux biens ( de 2007 en de 2008 ). Cette echange c'est un "emprunt" ou "pret". Avec l'echange, il y a un prix avec la monnaie, le prix cestle "taux de l'interet". V ( 1 de 2007 = 1,1 V ( 1 de 2008 ) si i = 10 % L'expression de la phrase : "Mr Dupont emprunte 1000 le 26.01.07 remboursable dans un an au taux de 10%." peut etre remplacé par "Mr. Dupont achete 1000 disponible maintenant au prix de 1,1 si l'on prend pour numeraire l'euro de 2008 ou prix de 1 / 1,1 si on prend l'euro de 2007. Par rapport au cours de micro-economie, les choix des individus sont caracterisés par les taux de change ( TMS ) Chaque individu à un taux d'interet psychologique. Une entreprise c'est pareil, avec l'investissement. ( investir maintenant ou garder pour plus tard ) Un taux d'interet psychologique elevée a une tres forte preference pour la consommation du present. Les taux d'interet sont exprimés en %. Dans les calculs on ne met pas directement en pourcentage. 5% --> 0,05, 10% --> 0,1, augmentation de 5% --> x1,05, baisse de 10% --> x0,9, augmentation de 100 --> x2 Les gouvernements sont tous de gros emprunteurs. Cn = C0 + n i CO Chapitre 1 - Interet simple Section 1 - Relation de definitions de l'interet simple L'interet est porté par le capital. Quelque soit la periode, on calcule l'interet à partir du capital initial. L'interet est proportionnel au capital initial, au taux d'interet et au nombre de periode. Le capital initial est mesuré en Euro disponible à la date t0. Cn est la valeur acquise. C'est le capital plus l'interet. Cn est mesurée en euro disponible à la date n. i est le taux d'interet, le taux d'interet est definit sur une periode. On peut avoir un taux d'interet journalier, trimestriel ou annuel. ( Par defaut c'est un taux d'interet annuel ) n mesure la durée du classement. Cette durée est exprimé en fonction de la periode definissant le taux d'interet pendant le deplacement. Dans cet interet simple, il y a deux types de periodes : - la periode definissant le taux d'interet - la periode la durée du placement.
Ne pas confondre date et periode. Une periode est comprise entre deux dates. n periode = n + 1 dates. Il existe des phenomenes additif et des phenomenes multiplicatif. Interet simple on utilise l'addition. Si il y a un nombre non entier de periode, la relation restera valable. ( contrairement à l'interet composé ) Conversion : 1 an et 7 mois = 1 an + 7 / 12 an = 19 / 12 an = 1,583 1.8 an = 1 an + 8 / 10 x 12 mois = 1 an + 9 mois + 6 / 10 de 30 jours. 4 variables : C0, Cn, i, n Trouver une variable connaissant les trois autres. 1. Calcul de la valeur acquise ( Cn ) Section 2 - Application numerique Une compagnie à placé 26 000 le 12.05.05, le taux d'interet est de 4%. Calculer la valeur acquise au 18.02.06, c'est un taux annuel. C0 = 26 000, i = 0,04, n = fraction donnée compris entre 12.05.05 et 18.02.06. ( 31-12 ) + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 18 n = 282 / 365 18.01.06 = 26 000 + 282 / 365 x 0,04 x 26 000 = 26 803, 51 du 18.02.06 2. Calcul de C0 Madame X a placé C0 le 1er Janvier 2004 sur un compte remuneré à 1.5 trimestriel, le 30 Juin 2005, elle a soldé le compte et retiré 12 000. Calculé la somme placée : Cn = 12 000, i = 1.5 % trimestriel, 1/01/04-30/06/05 n = 6 12 000 = C0 ( 1 + 6 x 0.015 ) C0 = 12 000 / 1.09 = 11009,17 3. Calcul du taux d'interet Sur 1 an et 8 mois, un capital augmente de 12%, quel est le taux trimestriel de placement? n = 6 + 2 / 3, C0 = 1, Cn = 1.12 1.12 = 1 ( 1 + 20 / 3 x i ) i = 1.12 x 3 / 23, i = 0.146 4. Calcul de n 1350 à 5% interet simple annuel. Au bout d'une periode, il retire 1445,63 Calculez le nombre de mois de placement? 1445,63 = 3150 + n x 0.05 + 1350 n = ( 1445.63-1350 ) / ( 0.05 / 1350 ) = 1.4167 années. n = 12 + 0.4167 x 12 = 17 mois Section 3 - Taux moyen et interet net pré-compté 1. Taux moyen d'une serie de placement
Definition : Etant donné plusieurs placement effectué sur des montants differents, à des taux differents, et sur des periodes diverses. On appelle taux moyen, le taux unique qui appliqué au même capitaux et durant les memes periodes donnerait le meme interet. Exemple : Trois placements : - 6100 à 4.5 % du 23/12 au 10/02 ( 49 jours ) - 1000 à 9% du 3/01au 10/02 ( 38 jours ) - 1512 à 3% du 25/05 au 10/09 ( 108 jours ) Calculer le taux moyen correspondant. 6100 x 0.045 x ( 49 / 365 ) + 1000 x 0.09 x ( 38 / 365 ) + 1512 x 0.03 x ( 108 / 365 ) 2. Interet pré-comptés et taux effectif de placement L'interet est une partie de la valeur acquise, donc de Cn. Pour des raisons commerciales, certains attirent en pretendant payer les interets en debut de periode. On place 10 000 à interet pré-compté au taux de 10% sur 18 mois. Calculer la sommme effectivement placé. systeme classique : 10 000 + 10 000 * 0.1 * 1.5 interet pré-compté : 8500 + 1500 = 10 000 donc un taux superieur à 10% 1 500 = 8500 x 1.5 x ie ie = 1500 / ( 1.5 x 8500 ) = 11.76 Definition : On appelle taux effectif, le taux qui appliqué à la somme effectivement placé donnerais le même interet. 3. Taux de rendement ou taux effectif dans le cas general On appelle taux de rendement, le taux qui appliquer à la somme effectivement engagé procurerais le gain effectivement perçus. Exemple : pret 2 000 à 10% sur 200 jours. Il y a 20 de frais d'inscription ( payable en t0 ). 10 de frais de dossier payable à la fin. Quel est l'interet pré-compté? Calculer le taux de rendement de ce placement. 2 000 x 0.1 x 200 / 365 = 109,59 capitial initial : ( 2000-109.59 ) - 20 = 1970.41 somme à rembourser : 2000 + 10 = 2010 ( 1870.41 + 139.59 ) 139.59 = 1870.41 x ie x ( 200 / 365 ) ie = 139.59 x 365 / ( 1870.41 x 200 ) ie = 13.62 % Chapitre 2 : Interet simple et pratique bancaire français Interet simple : utilisé à cours terme ( moins de un an ) Section 1 : Interet civil et interet commercial
1. Interet civil La fraction d'année est egal au nombre exact de jours de placement divisé par le nombre exact de jours de l'année. Placement du 15 Janvier 2004 au 15 Mars 2004. ( Une année est bisextile si son millesime est divisible par 4 sauf si il est divisible par 100 à l'exception de 400, donc 2004 est bisextile ). n = 60 / 366 2. Interet commercial Dans la pratique française, la fraction d'année est egale au nombre exact de jour divisé par 360. Exemple : interet d'un placement de 1000 placé à 10%, du 15/01/2004 au 15/03/2004. n = 60. 1000 x 0.1 x 60 / 360 = 16.67 ( c'est l'interet commercial ) Cette pratique est strictement française. Le probleme ne se pose pas si l'on compte en mois. Section 2 : Les regimes des livrets de caisses d'epargens et codevi Caisse d'epargne : calcul d'interets en 24 demi-mois. Si un depot est fait entre le 1 et le 15 du mois, la premiere moitié du mois ne compte pas. Si le depot est fait à la fin du mois, le demi mois ne compte pas. Exemple : depot de 1000 à 4%, le 4 Janvier 2005 jusqu'au 19 mars 2005. 1000 x 0.04 x 3 / 24 = 5 1. Table de valeurs Section 3 : Calculs des interets sur compte courant Pour les depots, on ne les compte que a une date posterieur à la date de versement, le retrait sera compté à une date anterieur à la date de retrait. Difference entre methode directe et methode hambourgeoise. Compte sur livret d'epargne avec interet à 4%. Ce compte connait 3 operations : + 1000 le 8.07-500 le 17.09 + 500 le 10.11 Methode directe : on isole chaque operation 1000 x 0.04 x 11 / 24-500 x 0.04 x 7 / 24 500 x 0.04 x 3 / 24 ----------------------------- +15 Methode hambourgeoise, on calcule le solde à chaque mouvement : Date Operation Date de valeur 2.07 16.07 + 1000 17.09 1000 x 0.04 x 4 / 24 15.09 + 500 10.11 500 x 0.04 x 4 / 24 16.11 + 1000 1000 x 0.04 x 3 / 24
Cette methode donne le meme resultat, à condition d'avoir le meme taux sur les depots et les retraits. Section 4 : Escompte des effets de commerce Lettre de change avec le montant et la date du paiement. Ici il y a paiement differé. Exemple : Delai de 30 jours / fin du moins : payé 30 jours apres la fin du mois. Si on a besoin d'argent avant, on va voir le banquier, qui donne de l'argent tout de suite mais avec des interets : c'est l'escompte. ( L'operation de pret sur son papier commercal ) ( ce que retiet la banque comme prix de son pret ) Deux methodes de calculs : Escompte rationnel / escompte commercial. valeur nominale : montant à payer sur la lettre il y a la date de payement, la date d'echeance. escompte rationnel : date 0 le banquier prete C0. C = C0 + C0 x ( nj / 360 ) x i C0 = C / ( 1 + i ( nj / 360 ) ) Escompte Commerciale = C - C0 Exemple : Determiner la valeur actuelle rationnelle et l'escompte rationnelle si le tot i est de 12%, le nominal à 1500. Remis le 15.01.04, date d'echeance 16.03.04 1500 = C0 + C0 x 0.12 x 75 / 366 C0 = 1500 / 1 + 0.12 x 75 / 360 = 36.59 2. Escompte commerciale Ec = 1500 x 0.12 x 75 / 360 Ec = 37.50 La valeur actuelle commerciale c'est ce que touchera l'individu, escompte moins escompte commerciale : 1500-37.50 = 1462.50 Dans la pratique, on rajoute differentes commissions sur l'escompte : c'est l'aggio et la TVA. Ces commissions sont de differents ordres : - commissions proportionnel au temps, calculé comme l'escompte commerciale. - commissions proportionnel à la valeur nominale. - commissions proportionnel fixe, commission de bordereaux. - TVA De plus, il y a des problemes de jours de valeurs. - pratique du jour de vente supplementaire. - pratique d'un minimum de jours. Exemple : 2800, 12.07 jusqu'au 2 Mai. taux d'escompte 11.9%. Commission Dante, proportionnel au temps : 0.6%, commission de bordereaux 1 par effet, TVA 19.6%, commission manipulation 2.5. Quel est la valeur net de l'effet? Ec = 2800 x 0.119 x 71 / 360 = 65.71 La commission Dante : 2800 x 0.006 x 71 / 360 = 3.31 Commission fixe : 1 + 2.5 = 3.50 Total = 72.52 TVA ( porte qur ce qui est independant du temps ) = 3.50 x 0.196 = 0.69 2800-72.52-0.69 = 2726.79 3. Le taux reel d'escompte
Taux reel : taux qu'il faudrait appliquer à la valeur nominal pour avoir le total de l'aggio hors taxe. 2800 x T2 x 71 / 360 = 72.52 T2 = 13.13 % 4. Le taux effectif de l'escompte Il est calculer sur la valeur nominale. Ceci reviens à une operation à interet pré-compté. On peut donc calculer le taux effectif correspondant. Le taux qui appliqué à la valeur effectivement perçus le 2 Mai donnerait à l'echeance, le montant des aggios. 2800-72.52 = 2727.48 2727.48x Te x 71 / 360 = 72.52 72.52 x 360 Te = ----------------- = 13.48 % 71 x 2727.48 Rappel x^n. x^p = x^n+p x^n / x^p = x^n-p 1 / x^n = x^-n ( x^n )^p = x^n.p x = x^1/2 n^ x = x^1/n Si x = y ( x, y > 0 ) alors x^n = y^n ( x + y )^n = ( x + y )^n ln ( x.y ) = ln x + ln y ln ( x + y ) = ln ( x + y ) ln ( x.y^-1 ) = ln x - ln y ln x^n = n ln x Si x = y alors ln x = ln y Chapitre 3 - L'interet composé Caractere de l'interet simple : tout au long de la periode de classement, l'interet est separé du capital placé. Ceci n'est valable que sur de courtes periodes ( inferieur à une année ). Section 1 : Relation de definition des interets composé Cn = C0 ( 1 + i )^n Les variables de cette relation qui se trouvent deja dans la relation definissent l'interet simple. C0 : valeur initiale exprimé en Euros ( ou en dollars ) disponible à la date 0 Cn : valeur acquise à la date n, exprime en Euros disponible à la date n i : taux d'interet, definit sur une periode. n : la durée de placement calculé à partir de la periode definissant le taux d'interet. Remarque : Dans la relation definissant l'interet simple. L'interet est isolé n x i x C0. Dans le cas de l'interet composé c'est la difference entre capital initial et valeur acquise. interet : C0 ( 1 + i )^n = C0 La periode 0-1 correspond à la periode definissant le taux d'interet ( interet simple ). On supppose que l'interet etait integré au capital à la fin de la même periode. Deux types de
periodes : - periode d'impot - periode de capitalisation Interet composé, 3 periodes : - periode de placement ( durée ) - periode definissant le taux d'interet - periode definissant le rythme de capitalisation 1. Calcul de Cn connaissant C0, n et i 1500-12 ans - 10% 1500 ( 1 + 0.10 )^12 = 4707.64 A 10% un capital double tout les 7 ans. A 3% un capital double tout les 23/34 ans. 2. Calcul de C0 connaissant Cn, i et n C10 = 3 000-10 ans - 7% 3 000 = C0 1.07^10 C0 = 3000 / 1.07^10 C0 = 3000 x 1.07^-10 C0 = 1525.05 3. Calcul de n Section 2 Calculer le temps necessaire pour qu'un capital double si il est placé à 4.5% 2 = 1.045^n ln 2 = ln ( 1.045^n ) ln 2 = n ln 1.045 n = ln 2 / ln 1.045 = 15.545 4. Calcul de i On place 6350, au bout de 10 ans on obtient 11 106.50 11 106 50 = 6350 ( 1 + i )^10 ( 1 + i )^10 = 11 106.50 / 6350 ( 1 + i )^10 = 1.759055 i = 5.75% 1 + i = ( 1.759055 )^1/10 = 1.057499 Section 3 : Periode de placement et periode du taux d'interet
Placement de 4000 à interet composé de 6.5 %. Cloturation du compte 4 ans et 9 mois plus tard. Calculer l'interet. Methode Theorique : n = 4 + 9/12 4000 x 1.065^( 4 + 9/12 ) = 5394.74 Cn = 5394.74 Interpolation lineaire : On calcule sur le nombre entier de periode avec des interets composés puis on calculera en interet simple sur la fraction de periode suivante. 4000 --> 4000.( 1.065 )^4 --> 4000-1.065^4 + 4000 x 1.065^4 x 0.065 x 9/12 4000 --> 5145.87 --> 5145.87 + 250.86 --> 5396.73 Cn : 5396.73 Section 4 Periode definissant le taux d'interet et periode de capitalisation On peut avoir un taux annuel et une capitalisation mensuelle. Definition du taux equivalent Deux taux d'interets definit sur des periodes differentes sont dit equivalent si à partir d'un meme capital initial il procure les memes valeurs acquise au bout d'une même periode de classement. A interet simple, les taux sont proportionnel : IS, i annuel, in = i / 12 A interet composé, exemple numerique : Une entreprise investi 500 000 pour 8 ans avec un taux annuel de 8%. Quel est le taux trimestriel qui avec une capitalisation trimestrielle produirais le meme interet? 1. Capitalisation annuelle, taux annuel Co = 500 000 apres : 500 000 ( 1.08 )^8 = 925 465.11. Interet : 425 465.11 32 trimestres. 500 000 ( 1 + itr )^32 ( 1 + itr ) = ( 925 465.11 / 500 000 )^1/32 = 1.619426 itr = 1.94 % 2. Taux nominal et taux actuariel Soit k une fraction d'année ( mois, trimestre, semestre ). Soit it le taux d'interet sur la periode correspondant. On appel taux nominal, le taux annuel egal à k ik. On appel taux actuariel, le taux annuel tel que ( 1 + ik )^k = 1 + i i est un taux annuel : - nominal si taux mensuel im = i / 12, taux trimestriel itr = 1 / k ou taux semestriel is = i / 2 - actuariel si taux mensuel 1 + i = ( 1 + im )^12, taux trimestriel si ( 1 + i ) = ( 1 + itr )^4, taux semestriel si 1 + i = ( 1 + is )² Exemple : Banque A : Placement à taux nominal de 7%.
Banque B : Placement taux actuariel de 7.1%. Les deux avec capitalisation mensuelle. Quel est le plus avantageux? Banque A : im = 0.07 / 12; ( 1 + ( 0.07 / 12 ) )^12 = 1.07229 Banque B : 1 + 0.071 = ( 1 + im )^im 1 + im = 1.071^1/12 ( 1.071^1/12 )^12 = 1.071 Chapitre 4 : Equivalence des capitaux Comparaison de plusieurs capitaux disponible à des dates differentes. On ne peut pas les comparer directement. Pour pouvoir les comparer, il faut leur donner une dimension commune, les estimer à une meme date. Probleme : le choix de la date d'estimation a t-il une importance? Tout depend des methodes d'estimation utilisées. Section 1 : Equivalence des capitaux dans le cas de l'interet simple Le resultat depend de la date d'evaluation retenu dans le cadre de l'interet simple. Exemple : report de date d'echeance. Un debiteur a signé le 1st Avril un effet nominale de 10 000 à echeance le 1 Septembre. Le 1st Juillet, il s'aperçoit qu'il ne pourra pas juger, il demande un report d'echeance au 1st Novembre, il demande d'etablir une nouvelle traite, de nominal X à echeance le 1st Novembre. Taux d'interet de 7%. Methode 1 : Les deux traites ont la meme valeur initiale au 1st Avril ( De 1st Avril ). Methode 2 : Renegociation le 1st Juillet, on estime ici la traite initial et calculer la nouvelle traite pour qu'elle est la meme valeur à cette date. Methode 3 : Le creancier s'attend à avoir 10 000 me 1st Septembre, il va demander à ce que ce nouveau papier lui permette d'avoir 10 000 le 1st Septembre, DE le 1st Septembre. DE 1/04 : X = 10000 x ( ( 1-0.07 x 255 / 360 ) / ( 1-0.07 x 214 / 360 ) ) = 10 123.76 DE 1/07 : X = 10000 x ( ( 1-0.07 x 153-19 / 360 ) / ( 1-0.07 x 214-91 / 360 ) ) = 10 121.52 DE 1/09 : X - X x 0.07 x ( 61 / 360 ) = 10 000 / ( 1-0.07 x 61 / 360 ) = 10 120.03 Section 2 : L'equivalence des capitaux dans le cas de l'interet composé On peut choisir librement la date d'evaluation. A condition qu'on utilise le même taux taux pour capitaliser ou pour actualiser. 1. Report d'echeance Le remboursement d'une dette est prevue par le paiement de 5000 dans deux ans. Le debiteur demande un report de 2 ans et demi. Le taux est actuariel de 8%, capitalisation trimestriel. 1 + itr = 1.08^1/4 5000 x ( 1 + itr )^8 X x ( 1 + itr )^-18 5000 x ( 1 + itr )^-8 = X x ( 1 + itr )^-18 X = 5000 / ( ( 1 + itr )^-10 ) X = 5000 x ( 1 + itr )^10
X = 5000 x 1.08^( 10 / 4 ) X = 6060.79 DE 4 ans : X = 5000 ( 1 + itr )^10 Le critere de choix de la date est uniquement une facilité de calcul. 2. Fractionnement de paiement Madame Martin doit 6000 dans 3 ans. Capitalisation trimestrielle. Taux nominal de 8%. Elle souhaite payer 2000 comptant puis 2000 dans deux ans et le solde dans trois ans. DE 3 ans : 6000 = 2000 ( 1 + itr )^8 + 2000 ( 1 + itr )^4 + X i = 4tr itr = 0.08 / 4 X = 6000-2000, 1.02^8-2000 1.02^4 X = 1491.82 3. Exemple dans un cas de calcul economique Un viticulteur vend son vin à 3 ans d'age. Il le vend 6 la bouteille. On suppose que la tresorerie lui coute 10% / an, les frais de stockages lui coute 20c par bouteille et par an payable en fin d'année. Quel prix pour des bouteille de primeurs pour que ce soit interessant? DE 0 : X = 6-1.1^3-0.2x 1.1-1 - 0.2x 1.1-2 - 0.2x 1.1-3 X = 4.01. Le vin primeur est interessant à plus de 4. Rappel progression arithmetique / geometrique - Progression arithmetique : la difference de deux termes consecutif est constante. Un - Un-1 = a Calcul d'une somme de terme en progression arithmetique : Sn = 17 + 18 +... + 27 Sn = 27 + 26 +... + 17 -------------------------------------- 2Sn = 44 + 44 +... + 44 Sn = 44 x 11 / 2 = 242 - Progression geometrique : une suite de terme est en progression geometrique si le rapport entre deux termes successif est constant. Un + ( 1 / Un ) = a Sn = 1.05^5+ 1.05^6 +... + 1.05^15 1.05 Sn = 1.05^6 + 1.05^7 +... + 1.05^16 --------------------------------------------------------------------- Sn ( 1-1.05 ) = 1.05^5-1.05^16 Sn = ( 1.05^16-1.05^5 ) / 0.05 Chapitre 7 : Suite d'annuité et rentes Section 1 : Definition On appelle suite d'annuité, une suite de versement periodique a1,..., ak,..., an. La periode ( k, k- 1 ) doit etre constante mais cette periode n'est pas forcement annuelle, on parle d'annuité meme en cas de mensualité. On parle de rente si l'on se situe du point de vue de celui qui reçoit des annuités. Une rente peut etre temporaire si le nombre de versement est finie, elle est viagere
si elle ne s'arrete qu'au deces du titulaire, elle peut etre perpetuel si le nombre d'annuité est finie. 1. Cas d'une suite d'annuité constante Annuité constantee à versé en fin de periode. Section 2 : Valeur d'une suite d'annuité 1. Evaluation d'une suite d'annuité à la date N. ( au moment du versement de la derniere annuité, y compris cette derniere annuité ) Vn = A + A ( 1 + i ) +... + A ( 1 + i )^n-1 Vn = A [ 1 + ( 1 + i ) +... + ( 1 + i )^n-1 ] ( 1 + i ) Vn = n [ ( 1 + i )... ( 1 + i )^n ] Vn - ( 1 + i ) Vn = A [ 1 - ( 1 + i ) ] Vn = A ( ( ( 1 + i )^n - 1 ) / i ) 2. Cas d'annuités variables Vn = An ( 1 + i ) ^n-k Section 3 : Calcul sur les suites d'annuités 1. Calcul de Vn ( somme des annuités à la date n ) Exemple : Pour financer les etudes, il faut une rente de 800 / mois pendant 48 mois. On doit rembourser la rente le 48eme mois. Taux actuariel de 5% ( 800 ( ( 1 + im ) ^48 ) - 1 ) / im 1 + i = ( 1 + im )^12 1 + im = 1.08^1/12 800 x ( ( 1.05^4-1 ) / ( 1.05^1/12-1 ) = 42 317.07 ou table n 3 ( qui s'arrete à n = 25 ) Mr.X economise 500 par trimestre, il place ceci à 8% nominal sur un compte à capitalisation trimestriel, calculé la valeur acquise au bout de 10 ans. ( 40 trimestres ) 500 x 60.401943 = 30 200.99 2. Calcul de V0 Exemple : Pour financer vos etudes, vos parents vont versés sur un compte une somme V0, tel que l'on peut retirer 800 / mois pendant 48 mois. Taux actuariel de 5%. V0 = 800 x ( ( 1 - ( 1 + im )^48 ) / im ) V0 = 800 x ( ( 1-1.05^-4 ) / ( 1.05^4-1 ) ) = 34 814.36 ou table n 4. Exemple : Mr.X verse en 0 une somme V0 de façon à retirer 500 par trimestre pour un compte à 8% nominal à capitalisation trimestriel. 500 x 27.35547 = 13 677.74
3. Calcul de l'annuité Table n 5 On veut acheter une voiture : credit de 8%, annuité sur 5 ans pour 1 000 empruntés. 250.456 / an 4. Calcul de n On gagne au loto 300 000, placement à 6% nominal, 6%im = 0.005. Il depense 3 000 par moi. Capitalisation mensuelle. 300 000 = 3 000 ( ( 1 - ( 1 + im )^-n ) / im ) 300 000 = 30 000 x ( ( 1 - ( 1.005 )^n ) / 0.005 ) 100 x 0.005 = 1 - ( 1.005 )^n 0.5 = 1.005^n n = ( ln 0.5 ) / ( ln 1.005 ) = 138.96 5. Calcul de i Soit on paye 15 000 comptant ou credit de 60 mensualités de 321.36 15 000 = 312.36 x ( 1 - ( 1 + im )^-60 ) / im ( 1 - ( 1 + im )^-60 ) / im = 46.677 321.36 x 12 = 3856.32 3856.32 / 15 000 = 0.25 ( table numero 5, correspond à 9% annuel, d'apres la table, 9% correspond à 0.721 annuel ) im = 0.721% ( 1 - ( 1.00721 )^-60 ) / 0.00721 = 48.567 10 % : 0.00797 : 47.54 11% : 0.00873 : 64.69 Section 4 : Emprunt, amortissement et tableau d'amortissement Une entreprise emprunte, elle aura à rembourser des annuités de A1... à An. Aj = Ij + aj Interets : le paiement d'un service fourni par l'organisme traiteur. Pour l'entreprise c'est une charge. Figure aussi une partie du remboursement du capital c'est l'amortissement. L'amortissement est donc un benefice, alors que l'interet est une charge, consequence importante, d'un point de vue fiscale. L'interet est deductible du benefice alors que l'amortissement est dû à un accroissement du patrimoine de l'entreprise, sera imposé comme un benefice. L'interet de cette distinction est pour connaitre le capital restant dû. Methode des amortissements constant et methode des annuités constantes. 1. Amortissement constant Exemple : Une entreprise emprunte 10 000 sur 5 ans. Taux interet 10%
Capital restant dû AmortissementInteret Annuité 0 10 000 1 8 000 2 000 1 000 3 000 2 6 000 2 000 800 2 800 3 4 000 2 000 600 2 600 4 2 000 2 000 400 2 400 5 0 2 000 200 2 200 Progression arithmetique de raison 200. 2. Annuité constante Emprunt 10 000 sur 5 ans. Taux interet 10%. Table numero 5 ( colonne 10%, ligne 5 ) Capital restant dû AmortissementInteret Annuité 0 10 000 1 8 362.03 1 637.97 1 000 2 637.97 2 6 560.26 1 801.77 836.2 2 637.97 3 4 578.32 1 981.94 656.03 2 637.97 4 2 398.18 2 180.14 457.83 2 637.97 5 2 398.15 239.82 2 637.97 La somme des amortissement est egal au capital empruntés. 1801.77 / 1637.97 = 2398.15 / 2180.14 = 1.1 1.1 : 1 + 10% ( 1 + i ) Dans un systeme à annuités constantes, les amortissements suivent une progression geometrique de raison 1 + i. 1. le changement de taux Chapitre 6 : Application de calcul economique Section 1 : Lié au remboursement d'emprunt Mme X. A emprunté à la Banque U : 10 000 à 8% actuariel, remboursable par mensualités sur 5 ans ( 60 mensualités ). Au bout de 2 ans, la banque B propose à Mme X un pret au taux actuariel de 6%. Mme X a deja payé 24 mensualités. Banque A : Amende. 5% sur le capital restant dû. Mme X a t'elle vraiment interet à changer de banque. Annuité 10 000 ( im / ( 1 - ( 1 + im ) ^-n ) ) = 10 000 ( 1.08^1/12-1 / ( 1 - ( 1.08^-60/12 ) ) = 201.43 ( annuité ) n = 60 1.08 = ( 1 + im )^12 1 + im = 1.08^1/12 Interet de la premiere annuité : 10 000 ( 1.08^1/12-1 ) = 64.34 Ammortissement : 201.53-64.34 = 137.09 24 a = 137.09 ( ( ( ( 1 + im )^24 ) - 1 ) / im ) 1
24 a = 137.09 ( 1.08² - 1 / ( ( 1.08^1/12 ) - 1 ) ) ) = 3545.48 1 Capital restant dû : 10 000-3545.48 = 6454.52 Les 5% de la banque : 6454.52 x 1.05 = 6777.25 6777.25 = im / 1 - ( 1 + im )^-36 1 + im = 1.06^1/12 6777.25 ( ( ( 1.06^1/12 ) - 1 ) / ( ( 1.08^1/12 ) - 1 ) ) ) = 205.69 Il n'y a pas interet à changer de banque. Exemple 2 : Mr. X decide de changer de voiture tout les 3 ans. On lui propose un modele payable comptant 20 000. Emprunt sur la totalité à 7% actuariel sur 5 ans ou financement d'une location avec option d'achat, on lui demande 36 mensualités de 350 suivis d'une option d'achat de 12 000, valeur de revente apres 3 ans 12 000. Cas du pret : mensualités : 1 + im = 1.07^1/12 Table 5 : 20 000 ( ( ( 1.07^1/12 ) - 1 ) / ( 1 - ( 1.07^-60/12 ) ) = 394 a1 = 394-20 000 ( 1.07^1/12-1 ) = 394-113.08 = 280.92 36 a = 280.92 ( 1 + ( 1 + im )... ( 1 + im )^35 ) 1 = 280.92 x ( ( ( ( 1 + im )^36 ) - 1 ) / im ) = 280.92 x ( ( ( 1.07^36/12 ) -1 ) / ( 1 - ( 1.07^1/12 ) ) ) = 11 180.10 Capital restant dû = 20 000-11 180.10 = 8819.10