Fonctions et représentations graphiques, cours de première L. F.Gaudon 9 juin 2006 Table des matières 1 Fonctions à une variable 2 1.1 Courbes représentatives....................... 2 1.2 Résolutions graphiques d équations ou d inéquations....... 2 1.3 Interpolation linéaire........................ 4 2 Fonctions à deux ou plusieurs variables 5 2.1 Repérage dans l espace....................... 5 2.2 Fonctions à deux variables..................... 6 1
1 Fonctions à une variable 1.1 Courbes représentatives Soit f une fonction définie sur un ensemble E de R et à valeurs réelles. Dans un repère (O; i; j), la représentation graphique de f est la courbe C constituée des points de coordonnées (x; f(x)) pour tout x appartenant à E. L équation de la courbe est y = f(x). On peut à l aide de la représentation graphique d une fonction lire certaines de ses propriétés, comme l illustre l exemple suivant. Soit f la fonction définie pour tout réel x par f(x) = x 2 4x + 2. 5 4 maximum 3 3 image de 4, f(4) = 2 2 1 intervalle d étude [ 4 ; 5] 5 4 3 2 0 1 0 1 2 3 4 5 1 antécédents de 2 : 2 0 et 4 variations fonction croissante sur [ 4;2] 3 4 5 6 1.2 Résolutions graphiques d équations ou d inéquations 2
Soit k un nombre réel, f une fonction et C f sa représentation graphique dans un repère. Les solutions de l équation f(x) = k sont les abscisses des points d intersection de la courbe avec la droite parallèle à l axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0; k) (droite d équation y = k). Les solutions de l inéquation f(x) k (respectivement f(x) k) sont les abscisses des points de la courbe situés en dessous (respectivement au dessus) de la droite parallèle à l axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0; k) (droite d équation y = k). Sur la figure ci-contre, est représentée la fonction f définie par f(x) = x 2. L équation f(x) = 4 a pour solutions 2 et -2. L inéquation f(x) 4 a pour ensemble solution [ 2; 2]. L inéquation f(x) 4 a pour ensemble solution ] ; 2] [2; + [. Soient f et g deux fonctions et C f et C g leur représentation graphique dans un repère. Les solutions de l équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d intersection des deux courbes C f et C g. Les solutions de l inéquation f(x) g(x) sont les abscisses des points de la courbe C f situés en dessous des points de C g de même abscisse. 3
Les courbes ci-contre sont les représentations graphiques des fonctions f et g définies par f(x) = x 2 et g(x) = 1 2 x2 + 6. Les solutions de l équation f(x) = g(x) sont -2 et 2. L ensemble des solutions de l inéquation f(x) < g(x) est l ensemble ] 2; 2[. 1.3 Interpolation linéaire Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa représentation dans un repère. Soient A et B deux points de coordonnées (x A ; y A ) = (x A ; f(x A )) et (x B ; y B ) = (x B ; f(x B )) avec x A et x B deux réels tels que x A < x B. Soit x 0 un réel de [x A ; x B ]. Estimer f(x 0 ) par interpolation linéaire consiste à supposer que f est représentée par le segment [AB] sur l intervalle [a; b] et à prendre pour valeur approchée de f(x 0 ) l ordonnée du point M du segment [AB] ayant pour abscisse x 0. includegraphics[scale=0.7]fonctionscours1elimginterpolation.png 4
Sous les hypothèses précédentes, on a f(x 0 ) f(x A ) + x 0 x A x B x A (y B y A ) Les relevés de la température en un lieu à 4 heures et à 8 heures indiquent 6 et 9. On estime par interpolation linéaire qu à 7 heures la température était 6 + 7 4 (9 6) = 8, 25 soit 8,25. 8 4 2 Fonctions à deux ou plusieurs variables Des situations courantes font intervenir plus d un paramètre. Par exemple, la température en un lieu dépend non seulement de l heure mais aussi de la date dans l année, de l ensoleillement du lieu, etc. On fait alors appel à des fonctions à deux ou plusieurs variables x, y, z, etc. 2.1 Repérage dans l espace Un repère dans l espace est défini par la donnée d un point origine O et de trois vecteurs OI, OJ et OK avec A et B distincts et C qui n appartient pas au plan (OAB). Dans le repère (O; OI; OJ; OK) défini ci-dessus, tout point M de l espace peut être repéré par un triplet unique (x M ; y M ; z M ) de réels. x M est l abscisse de M ; y M est l ordonnée de M ; z M est la cote de M. Sur la figure ci-dessous, on a dans le repère (H; HA; HG; HB) : D(1; 1; 1) ; E(1; 1; 0) ; A(1; 0; 0). 5
Soit (O; i; j; k) un repère de l espace, A(x A ; y A ; z A ) et B(x B ; y B ; z B ) deux points. Aors : le milieu du segment [AB] a pour coordonnées ( x A+x B ; y A+y B ; z A+z B ) ; 2 2 2 la distance AB de A à B est donnée, si le repère est orthonormé (c est à dire si les axes sont deux à deux perpendiculaires et les vecteurs unité ont la même norme), par : AB = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 + (z A z B ) 2 Soit (O; i; j; k) un repère de l espace. Tout plan parallèle au plan (xoy) a une équation de la forme z = k où k est un réel fixé ; tout plan parallèle au plan (yoz) a une équation de la forme x = k où k est un réel fixé ; tout plan parallèle au plan (xoz) a une équation de la forme y = k où k est un réle fixé. 2.2 Fonctions à deux variables Lorsqu à tout couple de réels (x; y) on associe un réel z dépendant de x et de y, on définit ainsi une fonction à deux variables f et on note z = f(x; y). 6
On pose f(x; y) = x 2 + 3y 2 pour tout couple (x; y) de réels. On a f(1; 2) = 1 2 + 3 2 2 = 13. Dans tout repère (O; i; j; k) de l espace, l ensemble des points de coordonnées (x; y; f(x, y)) où f est une fonction à deux variables x et y est une surface d équation z = f(x; y). Ci-dessous figure la représentation graphique de la surface d équation z = x 2 + y 2. La courbe d intersection d une surface avec le plan d équation z = k où k est un réel fixé est appelée courbe de niveau k de la surface. Sur la surface ci-dessous d équation z = x 2 + y 2 dans le repère (O; u; v; w), la courbe de niveau 3 est un cercle de centre le point L de coordonnées (0; 3). 7
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