Premières notions de géométrie I) Eléments de base : a) Le point : Le point est le plus petit élément en géométrie et désigne un emplacement. b) Le segment : Soient A et B deux points donnés. On appelle segment [AB] l ensemble des points alignés avec A et B et situés entre A et B. A et B sont appelés les extrémités du segment [AB]. Longueur d un segment : La longueur du segment [AB] se note AB et elle correspond à la distance entre les points A et B.
Ici, CD = 6 cm c) La droite : Soient A et B deux points donnés. On appelle droite (AB) l ensemble des points alignés avec A et B. Une droite étant infinie, elle n est pas mesurable : on ne peut donc pas parler de longueur d une droite. Remarque n 1 : Par deux points distincts ( différents ) il ne passe qu une seule droite. Par contre, par un seul point, il passe une infinité de droites :
Remarque n 2 : On peut noter d une autre manière une droite : d) La demi-droite : Une demi-droite est une partie de droite limitée d un côté par un point appelé origine de la demi-droite. Tout comme la droite, une demi-droite ne peut pas être mesurée.
II) Appartient, n appartient pas : Ecriture en français A appartient à la droite (d) B n appartient pas à la droite (d) C appartient à [CD] D n appartient pas à (AE) C appartient à [AD) Ecriture en mathématiques A (d) B (d) C [CD] D (AE) C [AD) III) Milieu d un segment : Le milieu d un segment est le point du segment situé à égales distances de ses extrémités. M est le milieu de [AB] Codages des segments de la même longueur : Pour dire que deux segments sont de la même longueur, on positionne en leur milieu un codage qui peut être /, ou // ou /// ou X.
Propriété : M est le milieu de [AB] si : * M [AB] * MA = MB Vocabulaire : Equidistant : situé à égales distances. MA = MB signifie donc que M est équidistant des points A et B. IV) Droites sécantes : Deux droites sécantes sont deux droites qui ont un seul point en commun. Les droites (d1) et (d2) sont sécantes en A On dit aussi que A est le point d intersection des droites (d1) et (d2). Remarque : Lorsque plusieurs droites passent par un même point, on dit qu elles sont concourantes :
Les droites (d1), (d2) et (d3) sont concourantes en A. V) Droites perpendiculaires : Deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent en formant un angle droit. Les droites (d1) et (d2) sont perpendiculaires. Notation mathématiques : On écrit :(d1) (d2). Remarque : Deux droites sont perpendiculaires, lesquelles?
(d3) et (d4) sont perpendiculaires car le codage de l angle droit est présent. VI) Droites parallèles : Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes. Premier cas : Les droites n ont aucun point en commun, on dit qu elles sont strictement parallèles : Les droites (d1) et (d2) sont strictement parallèles. Deuxième cas : Les droites ont une infinité de points en commun : Les droites (d1) et (d2) sont parallèles, on dit ici qu elles sont confondues. Notation mathématiques : On écrit : (d1) // (d2).
VII) Construction d une perpendiculaire à une droite passant par un point donné Construire la droite (d1) perpendiculaire à la droite (d) passant par A. Première étape : on place la règle sur la droite (d) : Deuxième étape : on place l équerre sur la règle de façon à ce qu un côté passe par le point A :
Troisième étape : on trace la droite (d1) perpendiculaire à la droite (d) passant par A : Quatrième étape : on enlève les instruments et on place le codage de l angle droit : VIII) Construction d une parallèle à une droite passant par un point donné : Construire la droite (d1) parallèle à la droite (d) passant par A.
Première étape : on place l équerre sur la droite (d) : Deuxième étape : on place la règle contre l équerre : Troisième étape : on fait coulisser l équerre sur la règle jusqu à atteindre le point A :
Quatrième étape : on trace la droite (d1) : Cinquième étape : on enlève les instruments : IX) Propriétés : Soient (d1), (d2) et (d3) trois droites parallèles entre elles. Propriété n 1 : Lorsque deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l une est parallèle à l autre. : hypothèses : conclusion
Soient (d1), (d2) et (d3) trois droites telles que : (d1) // (d2) (d3) (d1) (d3) (d1) Propriété n 2 : Lorsque deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Propriété n 3 : Lorsque deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles. Propriété n 4 : Lorsque deux droites sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l une est parallèle à l autre. Propriété n 5 : Lorsque deux droites sont perpendiculaires, toute droite parallèle à l une est perpendiculaire à l autre.
Soit trois droites (d1), (d2) et (d3) telles que (d1) est perpendiculaire à (d2) et (d2) est parallèle à (d3). Montrer que les droites (d1) et (d3) sont perpendiculaires. On sait que : Donc : (d1) est perpendiculaire à (d2) (d3) est parallèle à (d2) (d3) est perpendiculaire à (d1) Car : Lorsque deux droites sont perpendiculaires, toute droite parallèle à l une est perpendiculaire à l autre.