Perte de pression et vitesse minimum de fluidisation dans un lit de particules 2D

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Série II b, p. 231 236, 2000 Mécanique des fluides/fluid mechanics (Milieux granulaires, sols, milieux poreux/granular media, soils, porous media) Perte de pression et vitesse minimum de fluidisation dans un lit de particules 2D Blanche DALLOZ-DUBRUJEAUD, Roland FAURE, Lounès TADRIST, Guy GIRAUD Iusti-CNRS (UMR 6995), université de Provence, technopole de Château-Gombert, 5, rue Enrico-Fermi, 13453 Marseille cedex 13, France Courriel : blanche@iusti.univ-mrs.fr ; rfaure@iusti.univ-mrs.fr ; ltadrist@iusti.univ-mrs.fr (Reçu le 20 décembre 1999, accepté le 24 janvier 2000) Résumé. Un dispositif expérimental a été mis au point afin de rechercher une loi de perte de pression lors de l écoulement d un fluide à travers un empilement bi-dimensionnel de billes monodisperses et d en déterminer la vitesse minimum de fluidisation. Les premiers résultats montrent que les lois classiquement proposées pour un empilement 3D ne sont plus applicables. Ces dernières surestiment la perte de pression du fluide au passage du lit de particules. De ce fait, la vitesse minimum de fluidisation est très largement sous-estimée. Une nouvelle loi de perte de pression est donc proposée. Elle permet de déterminer la vitesse minimum de fluidisation d une configuration bi-dimensionnelle. 2000 Académie des sciences/éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS empilement 2D / perte de pression / vitesse minimum de fluidisation Pressure drop and minimum fluidization velocity in a 2D configuration Abstract. In order to determine the pressure drop equation and the minimum fluidization velocity of a 2D bed of monodispersed particles, an experimental setup has been devoloped. The first results show clearly that the well-known equations for 3D bed are not reliable for this configuration. In particular, the minimum fluidization velocity is underestimated. A new pressure drop law is proposed which allows the determination of the minimum fluidization velocity, and is in good agreement with the experimental measurements. 2000 Académie des sciences/éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS 2D spheres packing / pressure drop / minimum fluidization velocity Abridged English version We have studied the pressure drop law in a 2D pile-up of monodispersed particles and have determined the minimum fluidization velocity for such a fluidized bed. That for, an experimental setup was built made of two plates of acrylic between which there is a 2D pile-up of monodispersed particles of PTFE (figure 1). The properties of the particles and fluid are given in table. In this experiment, the minimum fluidization velocity of such a configuration is 3.9 m s 1, which is much higher than the one (1.4 m s 1 ) calculated from the system of equations (1) and (2) when U f = U mf. This comes from the experimental pressure drop law (figure 2) which differs from the one proposed by Ergun [3] (figure 3). Comparing the viscous (4) and inertial (5) contributions, it comes that the later is different for 2D and 3D sphere packing. We propose a new pressure drop law based on the conduit flow model (figure 4). In such a model, we propose that the coefficient λ which is the ratio of the length between two singularities and the diameter of the equivalent Note présentée par Évariste SANCHEZ-PALENCIA. S1287-4620(00)00125-3/FLA 2000 Académie des sciences/éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 231

B. Dalloz-Dubrujeaud et al. capillary is equal to 1 and the coefficient of pressure drop due to the change of orientation is less than in a 3D pile-up because of the less complex geometry. This coefficient, when calculated by using the experimental results and the equation (5), is given by: ξ(2d) = 0.11. This value is lower than the value for 3D sphere packing by a factor about 3. It is now possible to give a complete expression for the pressure drop law (6) that matches with the experimental result (figure 3). This expression is used to determine the minimum fluidization velocity and gives a value of U mf =4.1 m s 1, in good agreement with the experimental result. 1. Introduction La fluidisation permet de réaliser un contact intime entre une phase dispersée se présentant sous forme de grains et une phase fluide (phase continue). Cette technique, connue depuis fort longtemps, permet de réaliser de nombreuses opérations unitaires. Elle connaît actuellement un regain d intérêt dans les industries de transformation de la matière, de la production d énergie et de l environnement [1,2]. Devant la complexité des mécanismes physiques mis en jeu et la multiplicité des différentes échelles existant dans ces systèmes, de nombreux travaux sont nécessaires pour mieux comprendre les phénomènes mis en jeu. C est dans ce cadre que s inscrit l objet de la présente note. D une manière plus précise, nous considérons un lit fluidisé simplifié, consistant en un lit fluidisé bidimensionnel, constitué d une seule épaisseur de billes servant de plan horizontal. Avant d entreprendre l étude des trajectoires des particules, nous avons été amenés à déterminer pour ce système les lois d écoulement du fluide, tant dans le cas de l empilement de billes en lit fixe qu en régime de fluidisation. Nous avons comparé les résultats expérimentaux obtenus par les lois de perte de pression aux relations classiques utilisées ([3 6], etc). Les écarts obtenus montrent l inadéquation de ces relations à décrire les lois d écoulement pour les empilements 2D. De ce fait nous avons été amené à proposer une loi de perte de pression spécifique à cette configuration géométrique. Nous présentons dans ce qui suit une description du dispositif expérimental. Une autre partie est consacrée aux résultats expérimentaux de perte de pression en fonction de la vitesse du fluide et à la détermination de la vitesse minimum de fluidisation. Nous conclurons cette note par une comparaison entre les modèles de la littérature et le développement d un modèle simplifié adapté à un lit fluidisé «bidimensionnel». 2. Dispositif expérimental Il s agit d étudier l hydrodynamique d un empilement de plusieurs couches de particules sphériques monodispersées, parfaitement calibrées et d épaisseur égale au diamètre de la particule. Cette configuration simplifiée bidimensionnelle, par rapport à un lit fluidisé tridimensionnel, permet de limiter les effets d interaction entre les phases, du fait d un moindre nombre de plus proches voisins. En revanche, pour réaliser une telle configuration, il y a nécessité d utiliser des supports pour maintenir les particules dans une géométrie 2D. Ceci engendre inévitablement des interactions particules parois, qui peuvent ne pas être négligeables. Pour minimiser ces effets, nous avons choisi des particules dont l état de surface est parfaitement lisse et la distance entre les plaques légèrement supérieure au diamètre des particules. La figure 1 montre le schéma de principe du lit fluidisé. Les particules de poly-tétra-fluoro-éthylène (PTFE) sont empilées dans la veine d essai. Le PTFE a été principalement choisi pour son très faible pouvoir électrostatique vis-à-vis des parois de la veine d essai. La veine est constituée de deux grandes plaques d acryliques de 320 mm de largeur et de 970 mm de hauteur. L épaisseur entre les deux plaques est fixée à 3,3 mm. Le lit de particules ainsi constitué a une porosité ε = 0,5. L air fourni par le réseau d air comprimé (pression variant de 1 à 6 bars) est régulé par un détendeur pour contrôler la vitesse d écoulement. À l entrée de la veine d essai, le flux d air est homogénéisé par une grille rigide à pas carré de 500 µm qui sert également de support aux particules. Les caractéristiques des particules et du fluide sont données dans le tableau. 232

Perte de charge dans un lit de particules 2D Figure 1. Dispositif expérimental. Figure 1. Experimental setup. Tableau. Caractéristiques du gaz et des particules. Table. Gaz and particles caracteristics. Air Particules PTFE ρ f (kg m 3 ) µ (Pa s) d p (mm) sphéricité ρ p (kg m 3 ) 1,21 18,4 10 6 3,17 1 2200 Pour déterminer les lois d écoulement, deux types de mesures sont réalisées. La vitesse apparente du gaz U f dans la veine d essai est déterminée par une mesure de la vitesse du gaz dans un tube calibré en sortie de veine, ce dispositif expérimental ayant été validé précédemment [7]. La perte de pression du gaz lors de la traversée de l empilement de grains est mesurée à l aide de capteurs piézo-résistifs de sensibilité 40 µv Pa 1. Ces capteurs, montés en différentiels, délivrent une tension proportionnelle à la différence de pression entre le bas, au niveau de la grille, et le haut de la colonne de fluidisation. Ces deux mesures permettent d accéder aux lois d écoulement et à la vitesse minimale de fluidisation U mf. 3. Résultats expérimentaux et discussion 3.1. Résultats La première opération consiste à déterminer la vitesse minimale de fluidisation du lit «2D». Nous avons adopté la méthode classique proposée par Davidson et Harrison [8]. Cette vitesse est déduite de la courbe donnant le saut de pression en fonction de la vitesse apparente du gaz dans la veine d essai. Cette courbe est obtenue par diminution progressive de la vitesse du gaz. La figure 2 montre les variations de la perte de pression en fonction de la vitesse apparente du fluide pour un empilement de billes de hauteur initiale H = 210 mm. La variation obtenue montre une modification du régime d écoulement du fluide à travers l ensemble de sphères. Cette loi de variation est analogue à celle obtenue pour un empilement 3D de sphères. Le changement radical de la pente de la courbe marque la transition d un écoulement à travers un milieu poreux à un écoulement à travers un 233

B. Dalloz-Dubrujeaud et al. Figure 2. Évolution de la perte de pression expérimentale en fonction de la vitesse du gaz. Figure 2. Évolution of the experimental pressure drop vs. superficial gaz velocity. lit de particules fluidisées. Dans ces conditions, la valeur de la vitesse au minimum de fluidisation est : U mf =3,9 ± 0,1 m s 1 pour une perte de pression égale à 2075 ± 100 Pa. La courbe donnant la variation de pression a travers le lit fixe de particules peut être approchée par un polynôme du second degré P = 148 U f + 104 U f. 3.2. Modèle de perte de pression et prédiction de la vitesse minimale de fluidisation pour les lits 2D Les résultats expérimentaux ont été comparés aux relations utilisées dans la littérature pour la détermination de la perte de pression à travers un empilement de grains. Le gradient de pression, au minimum de fluidisation, peut être évalué à partir de la relation : ( ) P = ρ s (1 ε)g + ρ f εg (1) H U f =U mf Comme l incertitude sur la porosité est estimée à 2%, le gradient de pression déduit de la relation (2) est égal à 10 796 ± 215 Pa m 1, alors que le gradient de pression obtenu expérimentalement est de 9881 ± 960 Pa m 1. Dans ce qui suit, nous comparons les lois de perte de pression avec les résultats expérimentaux en régime de lit fixe. Pour un empilement de sphères en configuration 3D la relation couramment admise est celle proposée par Ergun : P H + ρ (1 ε)2 1 (1 ε) 1 fg = 150 ε 3 d 2 µu f +1,75 p ε 3 ρ f Uf 2 (2) d p La figure 3 montre les résultats de perte de pression en fonction de la vitesse apparente du fluide obtenus à partir de l expérience et comparés à la loi de variation d Ergun. Bien que les lois de variations soient similaires, la perte de pression calculée à partir de la relation (2) surestime notablement la loi expérimentale obtenue pour un empilement 2D. Ces différences de comportement sont sans doute liées à une différence d écoulement du fluide à travers un empilement en géométrie 2D et 3D pour U f = U mf. Par conséquent, il n est pas possible d accéder à la vitesse minimale de fluidisation, qui résulte du système d équation formé par les relations (2) et (3). La valeur prédite par ce système est égale à 1,4 m s 1. Cette valeur est bien inférieure à celle obtenue expérimentalement. 3.3. Modèle de perte de pression pour un empilement 2D Nous avons été amenés à développer un modèle de perte de charge pour les empilements 2D. En corrélant les points expérimentaux de la loi de perte de pression à loi de Forcheimer [9], donnée par : 234

Perte de charge dans un lit de particules 2D Figure 3. Comparaison de l évolution des pertes de pression à travers le lit de particules entre les modèles et les résultats expérimentaux. Figure 3. Comparaison of the evolution of the pressure drop trough the bed between models and experiment. P H + ρ fg = K 1 U f + K 2 U 2 f (3) nous obtenons les valeurs K 1 = 700 et K 2 = 495 en unités SI. Dans la relation (3) le terme linéaire correspond aux effets visqueux. En adoptant le modèle de Kozeny Carman qui représente le milieu poreux sous la forme d un réseau de capillaires de diamètre d c et de surface spécifique équivalente à celle du milieu considéré, le terme linéaire peut être exprimé en fonction des propriétés de l empilement : K 1 =2τ ( ) 2 2 (1 ε)2 6 ε 3 µ (4) d p Le terme inertiel est donné par le modèle des capillaires brisés, pour lequel les capillaires rectiligne du modèle de Kozeny Carman sont brisés, la longueur de chaque tronçon est donnée par l = λd c et à chaque brisure est associé une perte de charge singulière ξ (figure 4), selon la relation : K 2 = 3 ξτ 3 (1 ε) 4 λd p ε 3 ρ f (5) Le terme K 1 peut être évalué à partir de la connaissance du diamètre des particules, de la porosité de l empilement et de la viscosité du fluide. Pour l empilement de sphères considéré, la tortuosité est égale à π/2. Dans ces conditions, la valeur de K 1 est égale à 650. Cette valeur, comparée à celle obtenue expérimentalement (700), présente un écart de 7%. Ce résultat est satisfaisant, étant donné les hypothèses simplificatrices utilisées. Nous considérons en première approximation que λ =1, ce qui suppose que Figure 4. Modèle représentatif de l empilement 2D. Figure 4. Representative model for the 2D sphere packing. 235

B. Dalloz-Dubrujeaud et al. la distance entre chaque singularité est peut différente du diamètre du capillaire équivalent. À partir de cette hypothèse, il est possible d estimer le coefficient de perte de charge singulière correspondant à cet empilement 2D à partir de la valeur de K 2 obtenue expérimentalement et de l équation (6). Ceci conduit à une valeur de ξ égale à 0,11. Cette valeur comparée à celle déduite de la loi d Ergun pour un empilement 3D est bien inférieure. En effet : ξ(3d) =0,36 and ξ(2d) =0,11. En l absence d autres éléments de comparaison, ce résultat semble mettre en évidence que les effets inertiels pour des empilements 2D de billes monodispsersées sont moins importants que pour les empilements 3D. Ceci est sans doute lié au fait que la géométrie dans un empilement 2D est moins complexe que pour une empilement 3D. La loi de perte de pression d un fluide en écoulement à travers un empilement 2D (figure 3) a pour expression : P H + ρ (1 ε)2 1 fg = 180 ε 3 d 2 µu f + 1 p 3 (1 ε) ε 3 1 d p ρ f U 2 f (6) Cette relation permet à présent de prédire la vitesse minimale de fluidisation d un empilement 2D avec une bonne approximation, la valeur obtenue à partir de la combinaison de (1) et (6) donnant U mf =4,1 m s 1. 4. Conclusion La perte de pression d un fluide en écoulement à travers un empilement 2D est inférieure à celle obtenue pour des empilements 3D. De ce fait, la loi de perte de pression classique proposée par Ergun n est pas applicable aux géométries 2D. Nous avons proposé un modèle de perte de pression pour des géométries bidimensionnelles. Cette relation permet de prédire les variations de perte de charge en fonction de la vitesse apparente du fluide pour des lits fixes 2D et la vitesse minimale pour fluidiser ce type d empilements. Nomenclature µ : viscosité du fluide ρ f : masse volumique du fluide τ : tortuosité du milieu poreux d p : diamètre des particules ε : porosité du milieu poreux λ : longueur du canal élémentaire rapporté au diamètre du capillaire H : hauteur de l empilement ξ : coefficient de perte de charge singulière U f : vitesse apparente du fluide P : différence de pression entre le bas et le haut de l empilement Références bibliographiques [1] Swasdisevit T., Soponronnarits S., Drying of chopped spring onion using fluidization technique, Revue? 17 (6) (1999) 1191 1199. [2] Haberman A. et al., Residence time distribution of particles in fluidized bed reactors for metellurgical process, in: Fan L.S., Knowlton T.M. (Eds.), Fluidization IX, Durango, Colorado, May 1998. [3] Ergun S., Fluid flow trough packed columns, Chem. Eng. Prog. (1952) 89 94. [4] Kozeny J., Über Kapillare Leitung des Wassers im Boden, Sitzungsber, Akad. Wiss. Wien 136 (1927) 271 306. [5] Mac Donald I.F. et al., Flow trough porous media. The Ergun equation revisited, Ind. Chem. Fundam. 18 (3) (1979). [6] Rahli O. et al., Étude expérimentale des écoulements darcéens à travers un lit de fibres rigides empilées aléatoirement : influence de la porosité, J. Phys. II (France) 5 (1995) 1739 1756. [7] M Chirgui A., Tadrist L., Experimental investigation of the instabilities in a fluidized bed. Origin of the pressure fluctuations, Phys. Fluids 9 (3) (1997) 500 509. [8] Davidson J.F., Harrison D., Fluidized Particles, Cambridge University Press, 1963. [9] Forchheimer P.H., Wasserbewegun durch Boden, Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure 49 (1901) 1736 1749. 236