Bruit à bande étroite Dans les systèmes de télécommunications on retrouve en général au récepteur, un iltre passe-bande qui permet de réduire ou d'éliminer le bruit et les signaux interérents hors bande. La réponse du iltre est centrée autour de la réquence porteuse, c, et laisse passer le signal modulé reçu r(t). La igure montre une chaîne de communication où le bruit du canal w(t) à large bande est iltré pour donner un bruit à bande étroite n(t): modulateur m(t) s(t) r(t) x(t) m(t) Σ w(t) iltre passebande démodulateur transmetteur canal récepteur
Bruit à bande étroite Le bruit est un processus aléatoire que l'on dénote par W(t) avant iltrage et par N(t) à la sortie du iltre passe-bande. Les onctions temporelles w(t) et n(t) sont en ait des réalisations de ces deux processus aléatoires. Si on considère que le bruit W(t) est gaussien, de moyenne nulle, de densité spectrale de puissance P W (), et que le iltre passe-bande est centré autour de la réquence porteuse c, alors la densité spectrale de puissance du bruit à la sortie de ce iltre est donnée par l'expression: 2 = N W P P H H() étant le module de la onction de transert du iltre passe-bande.
Bruit à bande étroite Tout comme pour les signaux modulés en bande passante, on peut représenter un bruit à bande étroite n(t) par son enveloppe complexe en bande de base et utiliser cette représentation pour étudier l'eet du bruit sur les signaux modulés: () { j2 π () } c t = Re () = () cos ( 2 π ) () sin ( 2 π ) nt nte n t n t t n t t I c Q c Le bruit à bande étroite et son enveloppe complexe peuvent s'exprimer en onction des composantes en phase et en quadrature: () () () () { } () ( π ) () ( π ) { } () ( π ) () ( π ) n t = Re n t = n t cos 2 t + n t sin 2 t I c h c n t = Im nt = n t cos 2 t nt sin 2 t Q h c c n h (t) étant la transormée de Hilbert du bruit n(t).
Bruit à bande étroite On peut également représenter l'enveloppe complexe en bande de base en coordonnées polaires: () = () + () = () j ϕ t nt ni t jnq t rte coordonnées cartésiennes coordonnées polaires () où le module (ou l'enveloppe) et la phase sont données par: 2 2 () () () () Q r t = ni t + nq t et ϕ t = arctan () () n t ni t Le signal modulé (réel) en bande passante peut s'exprimer par: () () () cos 2π ϕ = + c nt rt t t
Propriétés du bruit à bande étroite Soit w(t) un processus de bruit gaussien blanc de moyenne nulle et de densité spectrale de puissance unitaire. Le bruit n(t) à la sortie du iltre passe-bande a alors les propriétés suivantes: Les composantes n I (t) et n Q (t) du bruit à bande étroite n(t) sont de moyenne nulle. Si le bruit n(t) est gaussien, alors n I (t) et n Q (t) sont conjointement gaussiens: 1 N,, = I N n Q I nq e 2 2 πσ ( ni nq) + 2 2 2 Si n(t) est stationnaire au sens large, alors n I (t) et n Q (t) sont conjointement stationnaires au sens large. Les composantes n I (t) et n Q (t) ont la même variance que le bruit à bande étroite n(t) : σ I = σq = σ /2 σ
Propriétés du bruit à bande étroite La densité spectrale de puissance des composantes en phase et en quadrature est donnée par: PN = P = I N Q, pour 0, ailleurs P + + P B B N c N c Les densités spectrales de puissance croisées des composantes en phase et en quadrature sont: j +,,, PN c PN c = B B PN = I N P Q NQ N I 0, ailleurs Si le bruit à bande étroite n(t) est gaussien et de moyenne nulle et que sa densité spectrale de puissance est symmétrique autour de la réquence porteuse c, alors ses composantes en phase, n I (t), et en quadrature, n Q (t), sont statistiquement indépendantes.
Densité spectrale de puissance du bruit à bande étroite Supposons que le bruit w(t) soit de densité spectrale P W () = N 0 /2. Le iltre du récepteur ne laisse passer que le bruit dans la bande de transmission du signal modulé. La largeur de bande de transmission, B T, dépend du type de modulation employée pour transmettre le message m(t). N 0 2 PW c 0 P N N 0 2 c B T B T c 0 c
Déinitions de rapports signal-à-bruit Le rapport signal-à-bruit SNR entrée présent à l'entrée du démodulateur est déini comme étant le rapport de la puissance moyenne du signal modulé s(t) sur la puissance moyenne du bruit iltré à bande étroite n(t): SNR entrée P P d P d S S S = = = P P d N B N 0 T N Le rapport signal-à-bruit du canal SNR canal permet de comparer diérentes méthodes de modulation et est déini comme étant le rapport de la puissance moyenne du signal modulé s(t) sur la puissance moyenne du bruit dans la largeur de bande B du message. Le rapport signal-à-bruit SNR sortie à la sortie du démodulateur est égal au rapport de la puissance moyenne du message démodulé sur la puissance moyenne du bruit à la sortie du démodulateur, i.e. dans l'estimé du message.
Déinitions de rapports signal-à-bruit On déinit comme critère de idélité, ou de iabilité, de la méthode de modulation employée en présence de bruit à bande étroite, le rapport SNR: SNR sortie SNR = SNR entrée