GN hapitre3 hapitre 3 Filtrage - GNALIS - Présentation Le filtrage est un traitement de signal. Il modifie la forme des signaux et donc leur spectre. Il permet l'obtention de signaux dont le spectre est compris entre des limites déterminées. Un filtre est un quadripôle linéaire. Il est caractérisé principalement par sa transmittance complexe. S F S On note S S son module et ϕ ϕ S ϕ ˆ ˆ aussi le module en fonction de j : ( j). son argument. On notera On caractérise un filtre au moyen de deux représentations graphiques : en fonction de la fréquence et ϕ en fonction de la fréquence. La transmittance d un quadripôle passif est généralement dépendante de la charge. Sauf indication contraire, on supposera cette charge comme nulle, le quadripôle fonctionnant alors à vide. On distingue les filtres passifs constitués uniquement d éléments passifs (,L et/ou ) et les filtres actifs constitués de ces mêmes éléments et de composants actifs (transistors, AIL). Ils ont besoin d une source d énergie extérieure pour fonctionner. - Filtre idéal Un filtre idéal doit avoir une transmittance complexe égale à sur tout le domaine de fréquence que l on veut transmettre, et égale à hors de ce domaine. On désigne ce domaine comme la bande passante du filtre. On note f B et f H les fréquences de coupure basse et haute. On note f la largeur de bande passante. f f H f. B
GN hapitre3 f f f f f B f H B f f H f Filtre passe-bas Bande passante : [ ;f B ] ff B On peut ajouter à ces trois filtres de base : le filtre coupe bande ( pour f B < f <f H ; le filtre sélectif qui est un cas particulier du filtre passe bande pour lequel f B f H f, une seule fréquence f est sélectionnée. -3 Gain d un filtre La transmittance d un filtre peut varier sur une très grande échelle. On utilise souvent la notion de gain, équivalent d une échelle logarithmique. G log( ) Filtre passe-bande Bande passante : [f B ; f H ] ff H - f B G est une grandeur sans dimension exprimée en décibels (db). GdB GdB, G-dB, G-4dB -4 Bande passante à 3dB La courbe de réponse d un filtre présente un gain maximum G MAX. La bande passante à 3dB est l intervalle de fréquence pour lesquelles le gain est supérieur ou égal à G MAX -3dB. ette valeur correspond à MAX log log MAX MAX ( ) log( ) G 3dB Filtre passe-haut Bande passante : [f H ; ] f non définie MAX. - FIL PASS BAS - Filtre passif On étudie le filtre passif comme sur le schéma ci-dessous : S
GN hapitre3 3 n écrivant le théorème du diviseur de tension : S avec et Y j. On obtient donc l expression de Y la transmittance complexe :. n posant j, la transmittance s écrit :. j On en déduit les expressions du module et de l argument : et ϕ arctan. Le gain en tension G log log. On remarque que pour la transmittance devient soit pour le j π module et pour l argument ϕ arctan(). Le gain est 4 égal à 3dB pour cette pulsation, c est la pulsation de coupure. Si on étudie le diagramme du gain en tension en fonction de la fréquence, on peut l idéaliser comme suit : G (db) f f f f f (Hz) -db -db/décade -4dB -6dB L impédance d entrée du quadripôle est. Son module est j toujours supérieur à. Il faut choisir en fonction de la source qui fournit la tension d entrée. ette résistance doit être très supérieure à l impédance de la source d entrée. L impédance de sortie n est pas nulle. Si on charge ce dipôle on change son gain pour une fréquence donnée et on change sa fréquence de coupure. Pour éviter ce problème on lui préférera un filtre actif.
GN hapitre3 4 - Filtre actif On réalise un filtre actif en utilisant un amplificateur opérationnel (idéal et en régime linéaire). - S e montage est un amplificateur inverseur : avec et Y j. Y On en déduit l expression de la transmittance complexe : j j On pose et pour obtenir la transmittance : j e filtre donne les mêmes courbes que le filtre passif à ceci près que le gain maximum n est plus égal à mais à log( ). De plus la courbe de phase est décalée de 8 du fait de la structure d inver seur du montage. L impédance d entrée de ce montage est fixe et égale à. Son impédance de sortie est celle de l amplificateur opérationnel, c est à dire pratiquement nulle. Le fonctionnement ne dépend pas de la charge. 3- FIL PASS HAU 3- Filtre passif On étudie le filtre passif comme sur le schéma ci-dessous : S
GN hapitre3 5 n écrivant le théorème du diviseur de tension : S avec et Y. On obtient donc l expression de Y j la transmittance complexe :. n posant, la transmittance s écrit :. j j On en déduit les expressions du module et de l argument : et ϕ arctan. Le gain en tension G log log. On remarque que pour la transmittance devient soit pour le j π module et pour l argument ϕ arctan(). Le gain est égal 4 à 3dB pour cette pulsation, c est la pulsation de coupure. Si on étudie le diagramme du gain en tension en fonction de la fréquence, on peut l idéaliser comme suit : G (db), f, f f f f (Hz) -db -4dB db/décade -6dB L impédance d entrée du quadripôle est. Son module est j toujours supérieur à. Il faut choisir en fonction de la source qui fournit la tension d entrée. ette résistance doit être très supérieure à l impédance de la source d entrée. L impédance de sortie n est pas nulle. Si on charge ce dipôle on change son gain pour une fréquence donnée et on change sa fréquence de coupure.
GN hapitre3 6 3- Filtre actif On réalise un filtre actif en utilisant un amplificateur opérationnel (idéal et en régime linéaire). - S e montage est un amplificateur inverseur : avec et Y. Y j On en déduit l expression de la transmittance complexe : j j On pose et pour obtenir la transmittance : j e filtre donne les mêmes courbes que le filtre passif à ceci près que le gain maximum n est plus égal à mais à log( ). De plus la courbe de phase est décalée de 8 du fait de la structure d inver seur du montage. L impédance d entrée de ce montage est au minimum égale à. Son impédance de sortie est celle de l amplificateur opérationnel, c est à dire pratiquement nulle. Le fonctionnement ne dépend pas de la charge. 4- FIL PASS BAND A IUI SONAN L On considère le montage suivant à structure d inverseur : L - S
GN hapitre3 7 omme précédemment on utilise la relation de l inverseur Y avec et jl j Y. L j Y. n faisant apparaître la pulsation de résonance L on obtient j Y en factorisant par. On sait par ailleurs que L. On peut donc écrire j Y. n écrivant la transmittance complexe du montage on obtient : j j j j avec et L Le module est maximum lorsque. L argument de la transmittance est alors égal à zéro. Le module tend vers zéro lorsque la fréquence s éloigne de la fréquence de résonance. est un filtre passe bande du second ordre. Détermination de la bande passante : MAX pour on en déduit ± soit les deux équations du second degré : et ( ) 4 4
GN hapitre3 8 On en déduit les deux racines positives : et e qui donne : 4 et 4 On en déduit la largeur de la bande passante ou en fréquence f f On peut ainsi régler la largeur du filtre (sélectivité) en jouant sur.