Expérience aléatoire Une expérience est aléatoire lorsqu elle dépend uniquement du hasard. Une expérience aléatoire peut être réalisée autant de fois que l on veut, dans les mêmes conditions. On réalise trois expériences aléatoires : La pièce de monnaie On lance une pièce équilibrée et on regarde sa face supérieure Le dé à six faces On lance un dé à 6 faces équilibré et on regarde sa face supérieure La roue de loterie On fait tourner une roue et on regarde la couleur obtenue Les issues d une expérience aléatoire Chaque «résultat possible» d une expérience aléatoire est appelée une «issue». La pièce de monnaie Le dé à six faces La roue de loterie Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire? Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire? Quelles sont les issues de cette expérience aléatoire? La notion d événement Un événement est une condition qui peut être ou ne pas être réalisée lors d une expérience aléatoire. Un événement peut être réalisé par une ou plusieurs issues de cette expérience. Un événement réalisé par une seule issue est un événement élémentaire. La pièce de monnaie Le dé à six faces La roue de loterie Citer deux événements élémentaires associés à cette expérience aléatoire. Citer six événements élémentaires associés à cette expérience aléatoire. Citer trois événements élémentaires associés à cette expérience aléatoire. Citer deux événements non élémentaires associés à cette expérience aléatoire. Citer un événements non élémentaire associés à cette expérience aléatoire. La notion de probabilité d un événement Lorsqu on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d un événement se rapproche d une «fréquence théorique» appelée probabilité. Activités & exercices Page 1
Probabilité d un événement Notation Si A est un événement, p A la probabilité que l événement A se réalise. La pièce de monnaie Le dé à six faces La roue de loterie P = «Pile», F = «Face». Déterminer pf et pp. Que peut-on dire de la somme p F p P? D = «obtenir un multiple de deux», T = «obtenir un multiple de trois». Déterminer pt. pd et V = «Vert», P = «obtenir une couleur primaire». p P. Déterminer pv et Probabilité d un événement Premières propriétés Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1. Un événement dont la probabilité est nulle est un événement impossible. Un événement dont la probabilité est égale à 1 est un événement certain. La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1. Plusieurs situations pour s entraîner Dans les six exercices ci-dessous, les probabilités seront proposées sous la forme d une fraction. 1. On lance un dé équilibré à six faces et on regarde le nombre inscrit sur la face supérieure. Quelle est la probabilité d obtenir un nombre pair? Quelle est la probabilité d obtenir un nombre impair? 2. On lance un dé équilibré à six faces sur lesquelles sont inscrites les lettres du mot «ORANGE» et on regarde la lettre inscrite sur la face supérieure. Quelle est la probabilité d obtenir une voyelle? 3. On lance un dé équilibré à six faces sur lesquelles sont inscrites les lettres du mot «CITRON» et on regarde la lettre inscrite sur la face supérieure. Quelle est la probabilité d obtenir une voyelle? Une consonne? 4. On lance un dé équilibré à six faces sur lesquelles sont inscrites les lettres du mot «ANANAS» et on regarde la lettre inscrite sur la face supérieure. Quelle est la probabilité d obtenir la lettre A? Quelle est la probabilité d obtenir la lettre N? Quelle est la probabilité d obtenir la lettre S? 5. On lance un dé équilibré à huit faces (octaèdre) sur lesquelles sont inscrites les lettres du mot «CHOCOLAT» et on regarde la lettre inscrite sur la face supérieure. Quelle est la probabilité d obtenir la lettre O? Quelle est la probabilité d obtenir une voyelle? Quelle est la probabilité d obtenir une consonne? 6. Un jeu de 32 cartes est constitué de 4 familles : «Cœur», «Carreau», «Pique» et «Trèfle», et chaque famille est constitué de 8 cartes : «As», «Roi», «Dame», «Valet», «Dix», «Neuf», «Huit» et «Sept». On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d obtenir un Trèfle? Quelle est la probabilité d obtenir un Roi? Quelle est la probabilité d obtenir un Roi de Trèfle? Activités & exercices Page 2
D autres situations pour continuer 1. On considère une urne contenant les boules bicolores proposées cicontre. On tire une boule au hasard et on regarde le nombre et la couleur. A-t-on plus de chance d obtenir un impair rouge ou d obtenir un pair vert? Justifier la réponse. 2. On considère une urne contenant les boules bicolores proposées cicontre. On tire une boule au hasard puis on regarde la lettre et la couleur. A-t-on plus de chance d obtenir une consonne rouge ou d obtenir une consonne verte? 3. Un sac contient 20 jetons unicolores : 9 jetons rouges, 4 jetons verts, 4 jetons jaunes et 3 jetons noirs. Quelle est la probabilité de tirer un jeton de couleur rouge? Quelle et la probabilité de jeter un jeton de couleur verte? Quelle est la probabilité de tirer un jeton de couleur jaune? Quelle est la probabilité de tirer un jeton de couleur noire? Quels commentaires peut-on faire sur les quatre probabilités ainsi obtenues? 4. On peint la surface extérieure d un cube. On le découpe et on place les 27 petits cubes dans un sac. Quelle est la probabilité de tirer un petit cube dont aucune des faces n a été peinte? Quelle est la probabilité de tirer un petit cube du sac dont une seule face a été peinte? Quelle est la probabilité de tirer un petit cube du sac dont deux faces ont été peintes? Quelle est la probabilité de tirer un petit cube du sac dont trois faces ont été peintes? Lorsque deux pièces tombent Lors de la chute de deux pièces sur le sol, trois situations sont possibles. Ou bien les deux pièces sont tombées sur «Pile», ou bien les deux pièces sont tombées sur «Face», ou bien une pièce est tombée sur «Pile» et l autre est tombée sur «Face». On se demande quelle est la position la plus probable? Répondre précisément à la question posée en compétant l arbre des probabilités proposé ci-contre. Activités & exercices Page 3
Lors d une élection Quatre personnes votent pour élire un candidat parmi deux : Xavier ou Yves. Un candidat ne sera élu au premier tour que s il obtient la majorité absolue c est à dire : «au moins trois voix». Chacun des votants doit voter pour un seul des deux candidats. Après avoir recopié et complété l arbre des probabilités proposé ci-contre, calculer la probabilité pour que le candidat Xavier soit élu au premier tour. La somme de deux dés On lance deux dés équilibrés à six faces et on calcule la somme de leurs faces supérieures. Recopier et compléter le tableau à double entrée proposé ci-contre. Est-il plus probable d obtenir comme résultat deux ou douze? Est-il plus probable d obtenir comme résultat quatre ou cinq? Quel résultat a-t-on le plus de chance d obtenir? Est-il plus probable d obtenir un pair ou un impair? Le produit de deux dés On lance deux dés équilibrés à six faces et on calcule le produit de leurs faces supérieures. Recopier et compléter le tableau à double entrée proposé ci-contre. Est-il plus probable d obtenir un pair ou un impair? Quelle est la probabilité d obtenir un multiple de trois? Un multiple de cinq? Un multiple de sept? Un nombre premier? Quel résultat est le plus probable? Activités & exercices Page 4
Avec deux pièces «On lance trois fois de suite une pièce de monnaie. On décide que le résultat de cette expérience est égal au nombre de fois où la pièce tombe sur pile moins le nombre de fois où la pièce tombe sur face». Reproduire et compléter l arbre des probabilités et indiquer toutes les éventualités possibles. Quelle est la probabilité pour que le résultat soit égal à +3? +1? 1? 3? Dans ce jeu on ne gagne que si pile sort plus de fois que face. Quelle est la probabilité de gagner? Avec deux dés On lance deux dés et on s intéresse à la somme des deux résultats obtenus. Déterminer l univers de cette expérience aléatoire. Réfléchir à un mode de représentation de cet univers. Est-il préférable de parier sur «obtenir six» ou «obtenir sept»? Expliquer de manière précise votre raisonnement. Avec deux dés Ali Baba lance deux fois un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Il appelle S la somme des résultats. La porte donnant sur la grotte ne s ouvre que si S est un nombre divisible par 6. Quelle est la probabilité que la porte s ouvre? Avec quatre lettres Dans une boite on place quatre cartons portant chacun une des lettres T, O, M et E. On tire au hasard un carton et on le pose à l endroit à coté de la boite. On recommence l opération deux autres fois et, à chaque nouveau tirage, on place la lettre tirée à droite de la précédente. On obtient ainsi un mot de trois lettres (il n est pas nécessaire que ce mot figure dans le dictionnaire). 1. Combien de mots peut-il ainsi former? Déterminer la probabilité d obtenir le mot «MET». 2. On note A l événement «le mot commence par une consonne» et B l événement «le mot obtenu comporte une voyelle en son milieu». Calculer la probabilité de l événement A. Calculer la probabilité de l événement B. Calculer la probabilité pour que le mot commence par une consonne et comporte une voyelle en son milieu. Le digicode A l entrée d un immeuble, un digicode commande l ouverture de la porte. Le code d ouverture est composé d une lettre A, B ou C suivie d un chiffre 1, 2 ou 3. 1. Combien y a-t-il de codes possibles? Pourriez-vous tous les énumérer? Vous utiliserez un arbre. 2. Anna compose le code A1. Quelle est la probabilité que la porte s ouvre? 3. En tapant le code A1, Anna s est trompé à la fois de lettre et de chiffre. Elle change donc ses choix. Quelle probabilité a-t-elle de trouver le bon code à son deuxième essai? Activités & exercices Page 5
Numéros et couleurs On tire une boule au hasard dans le sac proposé ci-contre. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche? Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2? Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche portant le numéro 2? Quelle est la probabilité de tirer un numéro impair? Quelle est la probabilité de tirer un nombre premier? Les résultats seront donnés sous la forme d une fraction irréductible. Avec ou sans lunettes Après avoir reçu et interrogé les élèves d une même classe, l infirmière scolaire dresse le tableau à double entrée proposé ci-contre. On choisit un élève au hasard dans cette classe. Quelle est la probabilité que ce soit une fille? Quelle est la probabilité que l élève porte des lunettes? Quelle est la probabilité que ce soit une fille qui porte des lunettes? Les résultats seront donnés sous la forme d une fraction irréductible. Avec trois brins d herbe Dans certaines régions rurales de Russie, on prévoyait les mariages de la manière suivante : une jeune fille tenait dans sa main 3 longs brins d herbe repliés en deux, dont les six extrémités dépassaient sous sa main (dessin 1). Une autre jeune fille nouait au hasard les extrémités deux par deux. Si le résultat formait une seule boucle fermée (dessin 2), c est que la jeune fille qui nouait les brins d herbe allait se marier dans l année. Déterminer la probabilité que cette fille se marie. Activités & exercices Page 6
Avec des algorithmes Partie A Dans le programme A, lorsque le drapeau vert est cliqué, quelle est la probabilité que le chat dise un nombre premier? Programme A Partie B Dans le programme B, lorsque le drapeau vert est cliqué, quelle est la probabilité que le chat dise «1»? Partie C Dans le programme C, lorsque le drapeau vert est cliqué, quelle est la probabilité que le chat dise «7»? Programme B Partie D Dans le programme D, lorsque le drapeau vert est cliqué, quelle est la probabilité que le chat dise que ses deux enfants sont des filles? Programme C / Programme D Activités & exercices Page 7
Des calculs faits dans un tableur On considère l expérience aléatoire suivante : tirer au hasard une boule noire tirer au hasard une boule blanche, Calculer la somme des 2 numéros. On a simulé l expérience avec un tableur, en utilisant la fonction ALEA() pour obtenir les numéros des boules tirées au hasard. 1. Quelle formule a été saisie dans la cellule D2 avant d être étirée? 2. Quelles sont toutes les valeurs possibles pour la somme? Justifier. Sur une seconde feuille de calcul, on a copié les résultats obtenus avec 50 expériences, avec 1 000 expériences, avec 5 000 expériences et on a calculé les fréquences des différentes sommes. 3. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule H3 pour compléter la case? 4. Les fréquences d apparition de chaque somme se stabilisent-elles? Quelle est la probabilité d apparition de chaque somme? Des calculs faits dans un tableur Suite Tom lance cinquante fois deux dés à six faces parfaitement équilibrés. Il note dans une feuille de calcul les sommes obtenues à chaque lancer. Il obtient le tableau suivant : Activités & exercices Page 8
1. Quelle formule a-t-il rentré dans la cellule M2 pour obtenir le nombre total de lancers? 2. Quelle formule doit-il rentrer dans la cellule B3 pour obtenir la fréquence d apparition? 3. Quelqu un déduit de ce tableau que la probabilité d obtenir la somme 12 est nulle. A-t-il raison? Expliquer pourquoi. Des probabilités et des fréquences On a lancé mille fois deux dés équilibrés classiques, un dé vert et un dé rouge, et on a relevé la somme des deux résultats obtenus sur chaque face. Le diagramme en bâton proposé ci-contre représente les effectifs des sommes obtenues au cours de ces mille lancers. 1. Calculer à l aide de ce graphique la fréquence d apparition de la somme «7» et la fréquence d apparition de la somme «2». 2. Compléter le tableau à double entrée proposé ci-contre et déterminer la probabilité d obtenir la somme «7» et la probabilité d obtenir la somme «2». 3. Les résultats obtenus à la question 1 sont-ils identiques aux résultats obtenus à la question 2? Est-ce normal? Sauriez-vous expliquer brièvement pourquoi? 4. La feuille de calcul ci-dessous présente les différentes sommes obtenues lors des 1000 lancers de deux dés, le nombre de fois et la fréquence d apparition de telle ou telle somme au cours des 1000 lancers. A l aide du diagramme en bâtons compléter les cellules B2, F2, G2, H2 et L2. Quelle formule doit-on rentrer dans la cellule M2 pour obtenir le total des lancers? Compléter cette cellule. Quelle formule doit-on rentrer dans la celluleg3 pour obtenir la fréquence d apparition de la somme 7? Compléter toutes les cases de la ligne 3. A B C D E F G H I J K L M 1 Somme 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total 2 Effectif 45 70 90 115 90 70 3 Fréquence Activités & exercices Page 9