Aménagement de salle Exercice 1 : Une entreprise est sollicitée pour réaliser l aménagement d une salle destinée à accueillir les stands du salon INTERMAT à Paris présentant les nouveaux matériaux du secteur de la construction. Ces stands seront réalisés dans une salle rectangulaire de longueur 60 m et de largeur 15 m. La hauteur sous plafond est de 4 m. Les contraintes d installation sont les suivantes : Il faut réaliser huit stands identiques en posant une cloison centrale de longueur y et cinq cloisons latérales chacune de longueur x. L épaisseur des cloisons est considérée comme négligeable. Les cloisons séparant les stands doivent atteindre le plafond. La réalisation doit se faire en utilisant exactement 400 m² de cloisons. Le volume total des stands doit être le plus grand possible. Mise en situation 1) Montrer que l aire totale A des cloisons latérales est A = 20x. 2) Calculer en fonction de x et de y l aire totale de cloisons à utiliser. Vérifier alors que l on doit avoir (d après les contraintes) : 4y = 400 20x. 3) Exprimer en fonction de x le volume total V(x) des huit stands.
Etude de fonction On considère la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 15] par f (x) = -20x² + 400x 4) Déterminer f (x) où f est la dérivée de la fonction f. 5) Résoudre l équation f (x) = 0 sur [0 ; 15]. On note x 0 la solution. Calculer f (x o ). 6) Compléter le tableau de variation de la fonction f sur l intervalle [0 ; 15]. 7) Compléter le tableau de valeurs. 8) Représenter graphiquement cette fonction en utilisant le repère ci-dessous.
Exploitation 9) On admet que V(x) = f (x). Déterminer la largeur d un stand pour laquelle le volume occupé par les huit stands est maximal. 10) Calculer alors la valeur de la longueur y correspondante. Cette implantation des stands est-elle compatible avec les dimensions de la salle?
Etude d un viaduc Extrait sujet de Bac Pro TP Juin 2010 Le viaduc de Garabit fut construit par la société Gustave Eiffel entre 1882 et 1884. Ce pont comporte une arche métallique, de portée 160 m, constituée de 2 arcs de parabole. Partie 1 : détermination de l équation de l arc de parabole supérieur P 1) L équation de la parabole supérieure P constituant l arc du pont s écrit : y = a x² + b x +c. a- En écrivant que le point O (0 ; 0) appartient à la parabole P, déterminer le réel c. b- Pour la suite du problème, on admet que l équation de la parabole P s écrit : y = a x² + b x. En écrivant que le point A (80 ; 64) appartient à la parabole P, montrer que : 400 a + 5 b = 4 En écrivant que le point B (160 ; 0) appartient à la parabole P, montrer que : 160 a + b = 0 2) Résoudre le système : { 3) En déduire l équation de la parabole P. Partie 2 : étude de fonction On admet que l arc de parabole P est la représentation graphique de la fonction f définie par : f (x) = 0,01 x² + 1,6 x sur [0 ; 160] 1) Exprimer f (x) où f est la fonction dérivée de f. 2) Résoudre l équation f (x) = 0. 3) Étudier le signe de f (x) sur l intervalle [0 ; 160]. 4) Compléter le tableau de variation de la fonction f.
Partie 3 : recherche de l équation de la tangente D à la parabole P au point O Calculer f (0) et f (0), puis en déduire l équation de la tangente à la courbe P en O (0 ; 0), en indiquant les détails du calcul. Partie 4 : tracé de la courbe On admet que l équation de la tangente D en O s écrit : y = 1,6 x. Tracer la droite d équation y = 1,6 x puis la courbe représentative de la fonction f.
Aménagement d un espace urbain On désire aménager un espace urbain rectangulaire constitué d'une jardinière et d'une terrasse. La terrasse se compose de deux parties : une partie pavée et une partie bétonnée. Le maître d'œuvre s'inspire de la photographie ci-contre : 1) On souhaite déterminer, à l'aide d'un logiciel, une équation de la courbe constituant le bord de la jardinière. Pour cela, un opérateur réalise les tâches suivantes : - l'image est scannée, puis placée dans un repère - trois points notés A(2 ; 1), B(3 ; 1,5) et C(8 ; 1) sont positionnés sur le contour de la jardinière, puis repérés par leurs coordonnées ; - les coordonnées des points sont traitées. Déterminer l expression de la fonction de type y = ax² + bx + c qui modélise la bordure de la jardinière. 2) Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 10] par : y = 0,1 x² + x 0,6 a- f ' est la fonction dérivée de la fonction f. Calculer f '(x). b- Résoudre l'équation f '(x) = 0. c- Compléter le tableau de variation de la fonction f donné ci-dessous.