III HYPOTHESES ET LOIS DE LA RDM La résistance des matériaux est l'étude du comportement du solide réel, donc déformable Elle vise à la détermination des déformations et des contraintes d'un organe mécanique en fonction de sa forme, ses dimensions, sa nature Elle utilise différentes lois et hypothèses permettant de modéliser simplement le système à étudier 1 Hypothèses - Définitions a) Matériau L'observation microscopique des matériaux fait ressortir des caractéristiques particulières permettant de poser différentes hypothèses quand à leur nature Continuité de la matière : Une pièce en métal à une structure fibreuse ou granulaire Les distances entre ces fibres ou ces grains sont suffisamment petites par rapport aux dimensions de la pièce pour que le matériau soit considéré continu Homogénéité : On admettra que tous les éléments du matériau ont une structure identique en tout point d'une même pièce (Faux pour le bois ou le bétons) Isotropie : En chacun des points, et dans toutes les directions, un matériau possède les mêmes propriétés mécaniques (Faux pour le bois et les matériaux composites) Cette caractéristique est généralement vraie pour les métaux, moyennant un coefficient de sécurité RDM - III - 1 / 7
2 Poutres On étudiera des solides avec des formes simples ou facilement schématisables par des poutres a) Configuration Définition : On appelle poutre un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre décrit une courbe plane, appelée ligne moyenne Hypothèses : La ligne moyenne est le plus souvent rectiligne (ou son rayon de courbure est grand par rapport aux dimensions de la section), La section droite (S) de centre de surface est en principe constante (ou varie progressivement), La poutre a une grande longueur par rapport aux dimensions transversales, La poutre possède un plan de symétrie, Les points disposés de façon identique sur les sections droites ont des propriétés communes, on dit qu'ils appartiennent à des fibres Repérage Considérons une poutre avec une ligne moyenne droite : (,,, ) Soit R0 = Ax0 y0 z0 un repère lié à la poutre Ce repère est choisi tel que ( Ax, 0) soit porté par la ligne moyenne, il est appelé repère de position RDM - III - 2 / 7
b) Forces extérieures Une poutre est généralement, soumise à : Des actions à distance : poids; Des actions de contact : actions mécaniques des liaisons avec le milieu extérieur Hypothèses : Les forces extérieures appliquées à la poutre seront situées : Soit dans le plan de symétrie (P) Soit symétriquement para rapport au plan de symétrie (P) Types de forces Sur une poutre deux types de forces extérieures peuvent s'appliquer : Les charges concentrées en un point : ( M1, F Le support de celles-ci appartient au plan de symétrie ( Ax, 0, y0) Les charges sont uniformément réparties : Entre A et B, F = pl par exemple, où p est une densité linéique de force Remarques : Comme les déformations sont faibles devant les dimensions de la poutre, on supposera que les supports des forces appliquées ne changent pas lors des déformations En RDM, il n'est pas possible de remplacer un système de forces par un système équivalent du point de vue de l'équilibre, car la déformation est différente RDM - III - 3 / 7
L'ensemble des actions mécaniques extérieures sur une poutre (E), qu'il s'agisse de force concentrées ou réparties, ponctuelles, linéiques ou surfaciques sera désigné par le torseur de forces de l'extérieur sur (E) : c) Déformations R( ext E) = M ( ) A ext E [ Fext ( E) ] Pour que les hypothèses soient vérifiées, il faut que les déformations soient petites et lentes A Hypothèse de Navier et Bernoulli Au cours des déformations, les sections droites restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne Hypothèse de Barré de St Venant Les résultats de la RDM ne sont valables qu'à des distances suffisamment éloignées de la région d'application des forces concentrées, pas localement autour du point d'application (autres équations) 3 Forces intérieures de cohésion Soit une poutre (P) droite munie du repère lié R0 = ( Ax, 0, y0, z0) a) Equilibre de la poutre La poutre (P) est en équilibre sous l'effet d'un certain nombre de forces (concentrées ou réparties, à distance ou de contact, ou encore actions de liaison) modélisées par le torseur des actions mécaniques extérieures agissant sur (P) : [ F( ext E) ] RDM - III - 4 / 7
L'équilibre de la poutre se traduit par : [ F( ext E) ] [ 0] = (PFS) Ce qui revient à dire, qu'en un point A quelconque : Rext ( E) = 0 M ( ) 0 A ext E = La résultante des actions mécaniques extérieures sur (P) et le moment résultant en A des actions mécaniques extérieures sur (P) sont nuls b) Torseur de cohésion Soit (S) une section droite de la poutre (P) """ Le centre de surface de (S) est repéré dans R 0 par son abscisse x : A = x x0 (S) divise la poutre en deux tronçons fictifs ( P et ( P 2) On convient que ( P est le tronçon dont le volume croit quand x croit Définition : Les actions mécaniques que le tronçon ( P 2) exerce sur le tronçon ( P à travers la section droite fictive (S) sont des efforts intérieurs à la poutre (P), modélisés par un torseur appelé torseur de cohésion : [ T ] coh R = M Remarque : Les éléments de réduction de ce torseur, R et centre de surface de (S) M, sont des fonctions de l'abscisse x du RDM - III - 5 / 7
c) Equilibre du tronçon ( P Le tronçon fictif ( P est aussi en équilibre et soumis aux deux systèmes d'actions mécaniques suivants : Forces extérieures à la poutre (P) qui s'exercent sur ( P : [ F( ext P )] Forces intérieures à la poutre (P) que le tronçon ( P exerce sur le tronçon ( P au niveau de (S) représentées par le torseur de cohésion :[ T coh ] 1 L'équilibre du tronçon ( R = R( ext P1 ) Ce qui implique : M ( ) = M ext P1 P se traduit par : [ ( )] + [ ] = [ 0] F ext P1 T coh Remarque : La poutre (P) étant constituée des tronçons ( P et ( P 2) [ F( ext P) ] = [ F( ext P )] + [ F( ext P )] = [ 0] 1 2, l'équilibre de (P) s'écrit: Ce qui implique aussi : R =+ R( ext P2 ) M ( ) =+ M ext P2 d) Sollicitations dans la poutre Considérons le tronçon ( P de la poutre (P) défini par la section (S) et soit R0 = ( Ax, 0, y0, z0) le repère lié à celle-ci Considérons le repère R = ( xyz,,, ) lié à (S) tel que ( x, ) soit confondu avec la normale extérieure en à (S) (perpendiculaire en à (S) orientée vers l'extérieur de la matière) Ce repère R est appelé repère de définition des sollicitations Dans ce cas, ( y, ) est parallèle à ( y, 0) et définit un axe de symétrie de la section (S) RDM - III - 6 / 7
L'hypothèse de symétrie induit que : Le support de R( ext P1 ) est dans ( Ax, 0, y0) Le support de ( ) M ext P1 est perpendiculaire à ( Ax, 0, y0) Les relations précédentes de l'équilibre de ( P permettent donc d'affirmer que [ Tcoh ] = { R, M} avec : Le support de R est dans ( xy,, ) Le support de M est porté par ( z, ) R = Nx+ Ty y On note alors : M = M f z z Où N est appelé effort normal T y est appelé effort tranchant suivant y M f z est appelé moment de flexion (ou fléchissant) suivant z Ce sont des valeurs algébriques dont la valeur dépend du comportement de la poutre Remarque : Dans un cadre plus général la résultante R et le moment M s'écrivent : R = Nx+ T y+ T z et M = M x+ M y+ M z y z t fy fz Propriété En toute section droite d'une poutre rectiligne soumise à des actions mécaniques réparties ou concentrées, l'effort tranchant et le moment de flexion vérifient la relation suivante : dm dx f z = T y Application Diagrammes de charges et de moments pour des poutres soumises à des sollicitations simples RDM - III - 7 / 7