ANNALES SCIENTIFIQUES DE L É.N.S.

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1 ANNALES SCIENTIFIQUES DE L É.N.S. HERVÉ ACQUET Su un ésultat de Waldspuge Annales scientifiques de l É.N.S. 4 e séie, tome 19, n o 2 (1986), p < Gauthie-Villas (Éditions scientifiques et médicales Elsevie), 1986, tous doits ésevés. L accès aux achives de la evue «Annales scientifiques de l É.N.S.» ( elsevie.com/locate/ansens), implique l accod avec les conditions généales d utilisation ( Toute utilisation commeciale ou impession systématique est constitutive d une infaction pénale. Toute copie ou impession de ce fichie doit conteni la pésente mention de copyight. Aticle numéisé dans le cade du pogamme Numéisation de documents anciens mathématiques

2 Ann. scient. Éc. Nom. Sup.. 4 e séie, t. 19, 1986, p. 185 ù 229. SUR UN RÉSULTAT DE WALDSPURGER ( 1 ) PAR HERVÉ ACQUET 0. Intoduction (0.1) Nous allons donne une nouvelle démonstation d'un ésultat emaquable de Waldspuge ([W3], Théoème 2). La démonstation de Waldspuge epose su les popiétés de la epésentation de Weil. La nôte epose su une vaiante de la fomule des taces. Nous espéons qu'elle ne sea pas sans intéêt. Rappelons d'abod le ésultat. Soient F un cops de nombes, E une extension quadatique de F, T le caactèe du goupe des classes d'idèles de F attaché à E. Regadons le goupe GL(2) comme un goupe algébique G défini su F ; soit Z son cente. Soit A un toe déployé maximal dans G, disons, pou fixe les idées, le goupe des matices diagonales. Soit n une epésentation cuspidale automophique du goupe G(F^), tiviale su le cente Z(F^). Nous dions que n satisfait à la pemièe condition de Waldspuge (en abégé Wl) s'il existe des fomes automophes 4>i et 4>2 dans l'espace de n telles que les intégales suivantes soient non nulles : (1) \^(à)da, L^)TI (det a)da, aea(f^)/z(f. j Intoduisons d'aute pat l'ensemble X(E : F), ou simplement X, des classes d'isomophismes de couples (G', T'), où G' est une fome intéieue de G et T' un toe maximal de G', isomophe su F au goupe multiplicatif de E. Rappelons qu'un tel couple s'obtient au moyen d'un couple (H, L), fomé d'une algèbe simple H de ang quate su F et d'un sous-cops L de H F-isomophe à E, en penant pou G' le goupe multiplicatif de H et pou T' celui de L. Le cente de G' sea noté Z'. Nous identifieons l'ensemble X à l'un de ses systèmes de epésentants. Notons aussi X(n) l'ensemble des tiplets (G', T', 71'), où le couple (G', T') est dans X et TT' est une epésentation automophe cuspidale de G'(F^) eliée à n pa la condition de [-L], Th. (15.1) ; celle-ci, appelons-le, s'énonce encoe ainsi : il existe un ensemble fini S de places de F tel que, pou v non dans S, les goupes Gy et G'v soient isomophes et les epésentations Tiy et < équivalentes, apès identification des deux goupes. Nous dions que n satisfait à la ( 1 ) Patially suppoted by N.S.F. Gant MCS ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE /86/ /S 6.50/ Gauthie-Villas

3 186 H. ACQUET deuxième condition de Waldspuge (W2) s'il existe un tiplet (G', T, TT') dans X(n) et une fome automophe ^ dans l'espace de TT' telle que l'intégale suivante soit non nulle : (2) f(mo^ tët(f/z'(f^). / Alos : THÉORÈME (Waldspuge). Les conditions Wl et W2 sont équivalentes. (0.2) Indiquons les gandes lignes de note démonstation. Tout d'abod nous pouvons identifie l'ensemble des doubles classes A\G/A avec la éunion disjointe des doubles classes T'\G'/T'( 1). A vai die pou avoi cette identification il nous faut nous limite aux doubles classes «égulièes». Cela nous conduit à considée une fonction lisse à suppot compact / su G(F^)/Z(F^) et, pou chaque (G', T'), une fonction lisse à suppot compact /' su G'(F^)/Z'(F^). En fait /' sea nulle pou pesque tous les (G', T'). A la fonction / est associé le noyau cuspidal K(. et de même à chaque fonction /' est associé un noyau cuspidal K^. Les conditions imposées su ces fonctions sont telles que ( 7 à 10) : 1K,(a,b)da[(deib)db= E K^(s, t}dsdt, (1) (G',T) a, foea(f^)/a(f)z(f^ s, tët'(f^)/t'(f)z'(f^). La elation ente / et les /' est comme suit. Bien entendu ces fonctions sont des poduits de fonctions locales. Si v est une place de F qui se décompose dans E alos pou tout (G', T') les goupes G[ et Gy sont les «mêmes» et nous penons pou /y et / la«même» fonction. Supposons au contaie que v se décompose. Alos l'ensemble X(Ey : F est encoe défini mais il est éduit à deux éléments (Gyi, T^), i= 1, 2, avec Gyi déployé. Nous pouvons encoe identifie les doubles classes égulièes de A^ avec la éunion disjointe des doubles classes égulièes de Ti et T^. Nous montons que pou une fonction / donnée il existe des fonctions fi su Gi telles que iï/(^fo)dmudet b)db= f(f^t)dsdt, a, hea^/z,,, 5, et^/z^, si g coespond à g' ( 2 à 4) (L'énoncé exact est un peu difféent puisque le membe de gauche n'est pas tout à fait une fonction su l'ensemble des doubles classes). Si de plus la situation est non amifiée et /y est une fonction de Hecke alos nous pouvons pende et penons /i =fv et f^ =0 ( 5). La condition est maintenant que fi=fi si G^= G^. Le ésultat de Waldspuge découle facilement de l'identité (1) (cf. 11). Le paagaphe 6 contient des ésultats auxiliaies. La méthode de démonstation de la fomule (1) est basée su une généalisation de la fomule des taces qui peut s'énonce comme suit. Soit G un goupe semi-simple défini su F et A, B des sous-goupes de G définis su F, ^ et [i des caactèes de A(F^)/A(F) et 4 e SÉRIE - TOME N 2

4 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 187 B(F^)/B(F) espectivement. Donnons-nous une fonction / su G(F^)/G(F) lisse à suppot compact et calculons l'intégale suivante : iï K,(a, b)ua)[i(b)dadb *) v où Kc est le noyau cuspidal attaché à/ce noyau a une expession compliquée qui contient en tout cas la somme : E/(^~ 1^), ÇeG(F). Choisissons un système de epésentants pou les doubles classes des goupes A(F) et B(F). D'aute pat si T est un élément de G(F) notons H^ le sous-goupe de A x B fomé des paies (a, P) telles que a" 1^? = T. Alos tout élément de G(F) peut s'écie uniquement sous la fome : Ç = a-^p, ea(f)\g(f)/b(f), (oc, P)eH,(F)\A(F) x B(F). En imitant le calcul fomel usuel nous aivons aussitôt à l'expession suivante pou l'intégale ci-dessus : E Vol (H,(F)\H(F^) [[na-^uawdadb, ^ aea(f)\a(f^), beb(f)\b(f, la somme potant su tous les T( tels que À,(û)a(fc)= 1 si a~ l b= 1. Bien entendu nous avons ignoé les poblèmes de convegence et l'existence des autes temes dans l'expession pou Kc. (0.3) II me este à emecie l'institute fo Adavanced Study et ses membes pemanents pou leu hospitalité, la majeue patie de ce tavail ayant été écite duant mon séjou à l'institute, à l'occasion de l'année spéciale su les fonctions L. En paticulie je emecie Langlands pou l'intéêt qu'il a pis à ce tavail. Enfin je dois beaucoup de econnaissance à Piatetski-Shapio qui était aussi à l'institute la même année. Sa connaissance appofondie de l'œuve de Waldspuge m'a été tès utile ; de plus une convesation avec Piateski-Shapio a été le point de dépat de ce tavail. 1. Doubles classes (1.1) Dans ce paagaphe F sea un cops quelconque, disons de caactéistique zéo, et E une extension quadatique de F. Nous noteons N(E : F) ou simplement N le sousgoupe des nomes de E dans le goupe multiplicatif de F. L'ensemble X(E : F) ou simplement X intoduit au paagaphe est encoe défini. Considéons l'un de ses éléments (G, T). Il existe donc une algèbe simple H de ang 4 su F et un sous-cops L de H isomophe à E tels que G soit le goupe multiplicatif de H et T celui de L. Nous nous poposons de donne une paamétisation des doubles classes T\G/T. A cet effet choisissons ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

5 188 H. ACQUET un élément s du nomalisateu N(T) de T qui ne soit pas dans T. Alos tout h dans H s'écit de manièe unique sous la fome : (1) /î=/îi+8^2î avec h^el. D'aute pat, si z -> z~ désigne l'unique F-automophisme non tivial de L alos : (2) eze"^-. Le caé c = s 2 est dans Z, ou, autement dit, dans F. De plus la classe de c module N est déteminée pa la classe d'isomophisme du couple (G, T) et, écipoquement, la détemine. Définissons deux involutions j^ et j~ de H pa les fomules : (3) j ± ( n } = n! ± ^2 avec n comme dans (1). Il est facile de véifie que ce sont les seules involutions de H qui induisent su L l'unique F-automophisme non tivial de L. Pou h dans G nous poseons : WlTÇhj^h)) (4) X(h}= (112T(hj-(h)Y Comme le dénominateu de cette faction n'est aute que la nome éduite de h, X(h) est un élément bien défini de F ne dépendant que de la double classe de h modulo T. Nous intoduions aussi la fonction P(h : T) ou simplement P(h} définie pa ^ (5) ou encoe x^ l+m ^^T^iw' (6) P(h)=ch^(h,h,)-\ c=e 2. Ainsi P est une fonction à valeus dans la doite pojective qui est constante su les doubles classes de T dans G. Remaquons toutefois que d'apès la fomule pécédente, si P(h) n'est ni zéo ni infini, alos c'est un élément de la classe cn déteminée pa le couple (G, T). De plus P(h) ne peut ête égal à un, ca cela donneait X(h) infini. Nous dions que h (ou sa double classe) est T-singulie si P(h} est zéo ou l'infini, T-égulie dans le cas contaie. PROPOSITION. Deux éléments h et h' de G ont la même double classe modulo T si et seulement si P(h)=P(h / ). De plus si x est dans cn et difféent de 1 alos il existe un h dans G telquep(h)=x. La démonstation est laissée au lecteu. (1.2) La poposition suivante justifie l'emploi de l'adjectif T-égulie : \\ PROPOSITION. Supposons h T-égulie. Alos les elations entaînent sht=hz, sez, tëz, La démonstation est laissée au lecteu. set, tët, zez st==z. 4 e SÉRIE - TOME N 2

6 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 189 (1.3) Ce qui pécède s'applique «mutatis mutandis» à un couple de la fome (G, A) où G est le goupe GL(2) et A un toe déployé maximal, disons le goupe des matices diagonales dans G. Alos H est l'algèbe des matices 2 pa 2, L la sous-algèbe des matices diagonales et nous pouvons pende = c=l. Les fonctions X et P(. : A) (ou simplement P) sont définies comme plus haut. En paticulie : P(h)=bc{ad)~ 1 si h= \c d\ Elles sont constantes su les doubles classes de A dans G. A nouveau P ne peut pende la valeu 1. Nous dions encoe qu'un élément h de G est A-singulie si P(h) est zéo ou l'infini, A-égulie dans le cas contaie. Il y a maintenant 6 doubles classes A-singulièes : les classes su lesquelles P pend la valeu zéo : (1) T, Tn+T, Tn-T, ou n+ = n- = et les classes su lesquelles P pend la valeu infinie : (2) T, Ten+T, Te^-T. Ainsi P ne pemet pas de distingue ces classes l'une de l'aute. Toutefois P sépae les classes A-égulièes : PROPOSITION. Soient h et h' des éléments A-égulies de G. Alos h et h' sont dans la même classe si et seulement si P(h) = P(h'). Si x est dans F difféent de 1 et 0, alos il existe un élément A-égulie h tel que P{h)=x. Nous laisseons la démonstation au lecteu. (1.4) Nous avons aussi l'analogue de la poposition (1.2) : \ PROPOSITION. Supposons h A-égulie. Alos les elations entaînent ahb=hz, aez, bez, Nous laisseons la démonstation au lecteu. oea, bea, zez ab=z. 2. Intégales obitales : cas d'un toe compact (2.1) Gadons les notations du paagaphe 1 mais supposons maintenant que F soit un cops local. Alos T/Z est compact. Choisissons une fois pou toutes un caactèe additif non tivial v / de F. Munissons le goupe additif F de la mesue dx auto-duale pou le caactèe v /, le goupe multiplicatif F" de la mesue L(l, lp) x\~ l dx (mesue de Tama- ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

7 190 H. ACQUET gawa elative à \ /). Munissons de même le goupe multiplicatif E" de la mesue de Tamagawa elative au caactèe \ /ot. Pa tanspot de stuctue nous obtenons des mesues su T et Z. Munissons T/Z de la mesue quotient. Soit / une fonction lisse à suppot compact su G/Z. Posons : (1) HQ :/ : T)=!Sf(sgt)dsdt, 5, tët/z. II est clai que îî(g : / : T) ne dépend que de la double classe de g modulo T. Soit x un élément de F". S'il existe g dans G tel que P(g : T) = x, nous poseons H(x : / : T) == îî(g : / : T). Sinon nous poseons H(x : / : T)=0. Nous obtenons ainsi une fonction H(/ : T) su F" et nous nous poposons de caactéise les fonctions H su F" qui sont de la fome H == H(/ : T) pou une fonction / appopiée. (2.2) Considéons donc une fonction H == H(/: T). Pa définition H s'annule, donc est lisse, su le complémentaie de cn. Considéons un point x de la fome P(h : T). Comme la nome est une application submesive de E" dans F", l'application g -> P(g:T) est a fotioi submesive au point h. Il en ésulte que H est lisse au point x. Finalement supposons que 1 soit dans cn (c'est-à-die que le goupe G soit déployé); nous pouvons alos suppose que c==l. Nous allons monte que H est nulle au voisinage de 1. Puisque / est à suppot compact modulo Z, il existe un sous-ensemble compact C de G tel que îî(g : f : T) ^ 0 entaîne ^etct. Il suffia donc de monte l'existence d'un nombe K tel que la elation getct entaîne P(g : T) l >K. Supposons qu'il n'existe pas de tel nombe. Alos il existeait une suite gi d'éléments de TCT telle que P(gi : T) tende ves 1. Quitte à agandi C et à multiplie les éléments de la suite pa des éléments de T nous pouvons suppose que ^. = l + st, = C(L, avec ti dans T, c, dans C et z, dans Z. Alos P(^:T)=^-=1+^et a, tend ves zéo. D'aute pat nous avons : det g, == - a, et det g, = (z,) 2 det c,. Donc 7.1 tend ves zéo. Il en est donc de même de gi. Comme la pojection de gi su L est 1 cela nous donne une contadiction. (2.3) Examinons le compotement de la fonction H au voisinage de zéo et au voisinage de l'infini. Nous allons monte qu'il existe un voisinage U de 0 dans F et une fonction lisse A su U telle que : (1) H(x)=A(x)(l+ (cx)), pou xeu, (2) 2A(0)=vol(T/Z)f/()A. j 4 e SÉRIE - TOME N 2

8 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 191 De même nous monteons qu'il existe un voisinage U de 0 dans F et une fonction lisse B su U telle que : (3) H^B^Xl+iO-x)), pou x-^u, (4) 2B(0) = vol (T/Z) f(st)dt. En effet comme P(sg : T) = P(g : T)~ 1 nous avons :! f(ssgt)dsdt=h(x~1 :/:T) ou encoe H(x- 1 :/: T)=H(x :/' : T) avec /'(g)= /(eg). Il suffia donc de démonte les assetions elatives au point zéo. Il sea commode de taite d'abod le cas non achimédien. Penons un x dans cn. Alos x=cll~ d'où x=p{h) avec h == 1 + /. Nous pouvons donc écie : H(x:/:T)=iï/[^(l+sO,]AA ou encoe apès un changement de vaiables : (5) H(x:f:T)= \\f ll+s^maa. -H^Ï Comme / est lisse il existe un idéal V de E tel que pou / dans V nous ayons : f{g) = / [(1 +c0g] pou tout g. Il existe alos un idéal U dans F tel que ll~ eu soit équivalent à ev. Pou x dans cl nous avons donc H(x) = 0 si x n'est pas dans cn ; si au contaie x est dans cn alos x=cll~ avec? dans V et nous avons d'apès la fomule (5) : H(x)=vol(t/Z) (f(t)dt. Note assetion est alos immédiate. Passons au cas achimédien. Alos F est le cops des nombes éels et L le cops des nombes complexes. Posons K(x)==H(cx). Soit V un disque { z\zz~ < a} dans L tel que 1 + cv soit contenu dans G. Alos le second membe de (5) définit une fonction lisse su V, disons C(/), ne dépendant que de la nome de?. Nous avons K(x)=0 si x<0, K(x) = C(Q si x > 0 et x = II ~ avec l dans V. En paticulie la estiction de C à l'axe éel est lisse et paie et nous avons K(x)=0 si x<0, K(x) = C( y) si 0 < x < a et x = y 2 avec y éel. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

9 192 H. ACQUET Le contenu de note assetion est l'existence d'une fonction lisse D su F telle que D(x) = K(x) pou a > x > 0. Elle est donc conséquence d'un théoème de Whitney. (2.4) Les popiétés pécédentes caactéisent les fonctions H(/:T): PROPOSITION. Soit H une fonction su F x. Pou qu'il existe une fonction lisse à suppot compact f su G/Z telle que H = H(/ : T) il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites : (1) H est nulle dans le complément de cn ; (2) H est nulle dans un voisinage du point 1 ; (3) il existe une fonction lisse A su un voisinage de 0 dans F telle que, pou x pès de 0, on ait : H(x)=A(x)(l+îi(cx)); (4) il existe une fonction lisse B su un voisinage de 0 de F telle que pou \ x \ suffisamment ^and on ait : H(C)=B(A- ^l+n^)). Enfin si f, A et B satisfont ces conditions alos : 2A(0)=vol(T/Z) f(t)dt, 2B(0)=vol(T/Z) f{st)dt. j Nous venons de monte que les conditions (1) à (4) sont nécessaies. Nous laisseons au lecteu le soin de monte qu'elles sont aussi suffisantes. La denièe assetion de la poposition a été pouvée au numéo (2.3). 3. Intégales obitales : cas d'un toe déployé (3.1) Dans ce paagaphe F est un cops local, E une extension quadatique, T le caactèe quadatique de x attaché à E, G le goupe GL(2) et A le sous-goupe des matices diagonales. Munissons encoe F" de la mesue de Tamagawa, (F^) 2 du poduit tensoiel des mesues de Tamagawa des facteus. Pa tanspot de stuctue nous obtenons une mesue su A. Munissons A/Z de la mesue quotient. Si / est une fonction lisse à suppot compact su G/Z et g est A-égulie dans G nous poseons : (1) îî(g : /: A)=H(^ : /: 1)= (Sf(agb)dadb, a, fcea/z, / / (2) H(g : /: )= f(agb)da-f} (det b)dadb, a, fcea/z. «/ La pemièe intégale ne dépend que de P(g: A) et nous noteons H(x: / : A) ou H(x: / : 1) sa valeu en un point g telle que P(g : A) = x. Nous poseons aussi H(l : j : A) = H(l :j : 1 ) = 0. Pou x dans F difféent de 0 et 1 nous définions une matice g{x) pa : (3) g{x)== 1 x e SÉRIE - TOME N 2

10 RESULTAT DE WALDSPURGER 193 Alos P(^(.v))=x de sote que nous avons défini une section de l'espace des doubles classes de A dans G. Nous poseons H{x : / : T ) = îî(g(x) : f : T ) si x est difféent de 1 et 0 ; H(.v : / : )=0 si.\-= 1. Posons : (4) ^= Notons N le goupe des matices tigonales stictes supéieues et N' le goupe des matices tigonales stictes inféieues. Alos nous avons un ecouvement de G pa deux ouvets : (5) G=ANN'uANwN. Nous pouvons donc écie / comme une somme /i +f^ où /i a son suppot dans le pemie ouvet et f^ dans le deuxième. Posons (6) <K<?)= \f(ag)da, aea/z et définissons de même ( )i et (^2- Alos ^ est invaiante à gauche sous A et à suppot compact modulo A. Il en est de même de <^i et ^2 ^ ^>=^i +< >2- De plus les fonctions Oi et <I>2 définies pa 1 u 1 0 (7) î>l(m,t))=( )i - - nl M X 0 1 V 1 (8) <D;i(M,î7)=(()2 sont à suppot compact su F x F. Comme (9) g(x) a O 0 1 a(l-x) 0 x 1 0 nous avons pou x difféent de 0 et 1 : 1 u 0 1 w a-^l-x)-^ 1 1 V 0 1 X i -x 0 0 a ] 1 0 a 1 X i 0 0(1-X)- 1 (10) H(x:/:A)= \<î»l[a~ ^ l (l-x)~ l x,a]d x a+ «,i \^[a(l-x)~ 1, a-^d^a 1 W 1 a Pou pouve la convegence de note intégale, nous pouvons suppose / positive. Alos le calcul pécédent est justifié. Dans le membe de doite de (10) les intégandes sont à suppot compact dans x et donnent donc des intégales convegentes. Ainsi H est convegente et égale à (10). De la même façon, nous avons, pou x difféent de 0 et 1 : (11) H(x:/:()= Ol[a- l (l-.v)- l x,û]^(a)^a+ ^[a(l-x)~\ a- 1 }^^. (3.2) Nous allons étudie les popiétés des fonctions H(/:T ). La fomule (3.1.11) monte déjà que ïî(x : F : T ) est une fonction lisse en tout point x difféent de 0 et 1. D'aute pat si <Di et <S>^ ont leu suppot dans l'ensemble des (x, y) tels que x \ < C, y \ < C alos dans la deuxième intégale nous avons, su le suppot de<s>2,\a(l x)~ 1 \ < C et a~ 1 \ <C ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

11 194 H. ACQUET ce qui donne :C~ 2 <\l x\silsi deuxième intégale n'est pas nulle. De même si la pemièe intégale n'est pas nulle nous touvons \(l x)~ l x\< C 2, ce qui implique aussi D < 1 x \ pou une constante D convenable. Il en ésulte que H(x : /: T ) est nulle au voisinage de 1. On peut donc considée la fomule (3.1.11) comme vaie pou tout x non nul. Étudions maintenant H(/ : T ) au voisinage de 0. Dans (3.1.11) la deuxième intégale est évidemment une fonction lisse de x au point 0. Pou étudie la pemièe intégale nous utiliseons le lemme suivant, dont la démonstation est laissée au lecteu : LEMME. Soit 0 une fonction de Sch\vatz-Buhat à deux vaiables. Alos il existe deux fonctions de Schv^atz-Buhat à une vaiable Ai et A^ telles que pou tout x difféent de 0 on ait : [(D^- 1^ a) (a)^=ai(x)+a2(x) (x). «/ Si F est éel et <D est donnée avec un suppot compact, on peut pende Ai et A 2 à suppot compact. Revenons à la pemièe intégale de (3.1.11). Avec les notations de la démonstation du lemme, l'intégale est égale à (3) Aiwi-A^+A.wi-A^nwi-A- 1 ). Si x est suffisamment pès de 0 alos 1 x est une nome et (x(l x) ~ 1 ) = (x). D'aute pat Ai(x(l x)~ 1 ) est une fonction lisse de x dans un voisinage de 0. Comme la deuxième intégale de (3.1.11) est évidemment lisse au point 0 nous en concluons que, dans un voisinage de 0, H(x : /: T ) a la fome suivante : (4) H(.v : /: )=Ai(.v)+A,(.v) (.v) où Ai, i= 1, 2, est lisse. Pou étudie H(x : / : T ) pou x \ gand emaquons que II en ésulte que -i ^x)=g(x- 1 ) ^ si = i o (3) H(.v- 1 : /: T )-H(.V : /: ) (.v) avec f\g)=f(eg). Il existe donc deux fonctions B;, i= 1, 2, définies au voisinage de 0 et lisses, telles que : (4) H(.v : / : Tj) = Bi(.v ( )+ B^(.v l ) (.v) pou x \ suffisamment gand. (3.3) En ésumé : PROPOSITION. Soit H une fonction su F-" telle qu'il existe une fonction lisse à suppot compact f su G/Z avec îî(x : f: )=H(x). Alos : (1) H est lisse su x ; (2) H s'annule su un voisinage de 1 ; (3) il existe un voisinage U de 0 et deux fonctions lisses A,, i= 1, 2, dans U tels que, pou x pès de 0, on ait : H(x)=Ai(x)+A2(x) (x); 4 e SÉRIE - TOME N 2

12 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 195 (4) il existe un voisinage U de 0 et deux fonctions lisses B,, i = 1,2, dans U ^k que, pou \ x \ assez gand, on ait : H(x)=B,(x- l )+B^x- l )}(x). (3.4) Nous allons discute la signification des valeus en zéo des fonctions A^ et B^ de la poposition (3.3). A cet effet appelons tout d'abod que, si <() est une fonction de Schwatz-Buhat su F, alos l'intégale : L(x)\x\ s d x x, ou plutôt son polongement analytique, a un pôle au point s=0; le ésidu en ce point a la fome C( )(0), où la constante C dépend du choix de la mesue de Haa su le goupe F x. D'aute pat l'intégale : f (KX) x I^Oc)^ a un polongement holomophe au point zéo et sa valeu en ce point sea encoe notée comme une intégale : Nous intoduions les quantités suivantes : (1) (2) (3) (4) H(n+:/: )= / - -R H(n-:/:ii)= / - H(en,:/: )= / -M - H(en-:/: )= / Lx) (x)^. a a a O 0 1 a X X 1 b b 1-1 b b 1 d x a[(b}d x b, d^wb, d x a[(b}d x b, d^wb. En généal ces intégales sont divegentes, mais on peut les intepéte comme il a été appelé ci-dessus. Pa exemple la pemièe intégale est la valeu au point 0 de la fonction méomophe qui, pou Res > 0, est donnée pa l'intégale convegente : (5) I/ a 0 1 b \dx av^b)\b\ s d x b. Remaquons toutefois que s i/a son suppot dans l'ensemble ouvet ANwN alos les intégales (1) et (2) sont convegentes. En fait l'intégale (1) est nulle puisque AN ne enconte pas ANwN. D'aute pat l'intesection de AN' avec un ensemble compact contenu dans ANwN est un compact disjoint de A. Il en ésulte que dans (2) l'intégande a suppot compact dans F" x F" et l'intégale convege donc tivialement. De même les intégales (3) et (4) convegent si/a son suppot dans ANN'. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

13 196 H. ACQUET (6) (7) (8) (9) PROPOSITION. Avec les notations ci-dessus et celles de la poposition (3.3) nous avons : H(n+:/: )=A2(0) H(n-:/: )=Ai(0) H(en+:/: )=Bi(0) H(en:/: )=B2(0). Démonstation. Démontons les assetions (6) et (7). D'apès (3.1), il suffit de faie la démonstation quand / a son suppot dans ANN' ou dans ANwN. Supposons d'abod que / ait son suppot dans ANwN. Alos (cf. (3.1.9) et (3.1.11)) : (10) où (11) -:.- H(x : / : T ) = <l>(u,i0=4> )=<(>[ d) [a(l - x)- \ a- 1 Ma^a lu 1 v 0 1 w 0 1 ' (12) ^(g)= \f(ag)da, aea/z. Comme H est lisse en zéo nous avons A2=0 et Ai=H(/ : ). Alos : Ai(0)= ()) la 1 a- 0 1 "0 1 h(a)^a. En tenant compte du fait que / est invaiante sous le cente nous pouvons écie ceci sous la fome : Ai(0)= /\b ^'l 102 "L (a)^a. a 1 Un changement de vaiables monte que ceci n'est aute que H(n- : / : T ). Comme Aa et H(n+ : /: \) sont nuls la elation (6) est aussi véifiée. Supposons maintenant que / ait son suppot dans ANN'. Alos (cf. (3.1.7) et (3.1.11)) : (13) où (14) H(x :/:-q)= [^-'(l-^-^a^a^a 1 0 <HU,V)=^ 0 v 1 (15) ^(g)= \f(ag)da, aea/z. Rappelons la définition de A] et Az : (16) H(x)=Ai(x)+A2(x)n(x); 4 e SÉRIE - TOME ?2

14 d'aute pat d'apès le lemme (3.2) : RÉSULTAT DE WALDSPURGER 197 (17) [(D^-^, a) (a)^=ci(x)+c2(x) (x). En compaant avec (4) nous voyons que Q((l x)~ l x)==ai(x). Donc Q et A^ ont la même valeu en zéo. En penant la tansfomée de Mellin de l'équation pécédente nous obtenons : (Ï0(x, a) x \^(a) a ^a = (c,(x) \ x ^x + Sc^x) x ^(x^x. En calculant le ésidu des deux membes à 5=0 nous touvons : o(0,û)îi(â)^=ci(0). D'apès (14) et (15) le membe de gauche n'est aute que H(n- : / : T ). D'aute pat le membe de doite n'est aute que Ai(0). La elation (7) est donc établie. La elation (6) peut s'établi de la même façon. Les elations (8) et (9) découlent des elations (6) et (7) appliquées à la fonction /' définie Pa/'(^)=/(eg). 4. Fonctions appaiées (4.1) Dans ce paagaphe E est un cops local, E une extension quadatique de F, T le caactèe quadatique attaché à E. Nous considéeons encoe le couple (G, A) fomé du goupe GL(2) et du sous-goupe des matices diagonales et l'ensemble X=X(E :F). Il est éduit à deux éléments (Gf, Tf), i= 1, 2, avec disons Gi déployé. Soit / une fonction lisse à suppot compact su G/Z et /,-, f==l, 2, une fonction lisse à suppot compact su Gi/Z Nous dions que / et le couple (/i, f^) sont appaiés si la condition suivante est satisfaite. Pou tout x dans F difféent de 1 et 0 soient i et g dans G» tels que x=p(g : T^) (;= 1 si x est une nome de E, i=2 sinon) ; alos : H(x:/: )=H(g:/,:T,). PROPOSITION. Une fonction f étant donnée il existe un couple (/i, f^) appaié à f. De plus si f et le couple (/i, /^) sont appaiés nous avons : '- Vol(T,/Z,) f,(t,)dt^îî(n^ :/:îi)±h(n- :/:îi), Vol(T,/Z,) [/^)^=H(sn- : /: )±H( n+ : /:n) avec le signe + si f=l, le signe si i==2. Démonstation. Cela ésulte aussitôt des popositions (2.4), (3.3) et (3.4). (4.2) Si F est éel nous désigneons pa K le sous-goupe othogonal dans G. Nous noteons U l'ensemble des couples (/i, f^) qui sont appaiés à une fonction lisse à suppot compact / su G/Z, K-finie si F est éel. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

15 198 H. ACQUET Notons Ui (esp. L^) la pemièe (esp. seconde) pojection de U. Alos les ensembles Ui ont une popiété de densité. PROPOSITION. Soit ( ) une fonction continue su Gi/Z^ biinvaiante sous T(. Supposons que l'intégale de ()) conte toute fonction de Uf soit nulle. Alos ^ est nulle. La démonstation occupea le este de ce paagaphe. (4.3) Soit / une fonction continue à suppot compact su G/Z ; alos : (1) \f(g)dg=c \f(g}dg=c\ H(x:/:A) l-x - 2^, x^o. où c est une constante indépendante de / Nous auons aussi besoin d'une estimée su les fonctions H(x : / : A) où / est continue à suppot compact su G/Z : (2) LEMME. Soit f une fonction à suppot compact su G/Z et H(.v)=H(.v : /': A). Alos H s'annule dans un voisinage du point 1 et est 0 (log x ) pou \ x \ petit ou gand. Démonstation du lemme. Elle est analogue à celle donnée dans (3.2) excepté que le lemme de (3.2) est emplacé pa l'assetion suivante : si 0 est une fonction de Schwatz- Buhat à deux vaiables, alos il existe deux fonctions de Schwatz-Buhat à une vaiable A;, f=l, 2, telles que: O^-^, û)d^=ai(x)+a2(x) log x. Enfin nous auons besoin de fomules d'intégation pou les goupes Gi analogues à (1) : (3) (fi(g)dg=c, fh(x:/i '.T,)\l-x\- 2 dx, x>0, (4) \f2(g)dg=^ ]H(x:/2:T2) l-x - 2^, x<0, où Ci est une constante et fi une fonction continue à suppot compact su Gi/Z^. (4.4) Démonstation de la poposition (4.2). Pou fixe les idées supposons f=l. Posons H(x)=H(x: ( ) : Ti). En paticulie H(x)=0 si x n'est pas une nome. Nous calculeons à des constantes multiplicatives pès. Supposons maintenant / et (/i, f^) appaiés avec / K-finie si F est éel. Alos d'apès (4.3.3) : ^ i)fi(gi}dg,= fh(x)h(x : f, ^ll-xl- 2^. [^ i)fi(gi}dg,=(. Soit d'aute pat ((>o la fonction su G définie pa ())o(^)=h(x)i(detfo) si g=ag(x)b. Vues les popiétés de H et la fomule d'intégation (4.3.1) ( )o est localement intégable et : ^o(g)f(g)dg= f: H(x)H(x :/: T ) ^o(g)f(g)dg= 1 -x\-hx. 4 e SÉRIE - TOME N 2

16 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 199 Comme H(x : /: )=H(x : /i : Ti) si -v est une nome il vient \^o(g)f(g)dg= \<^gi)fi(gi)dg,. Le second membe est nul pa hypothèse. Donc ( )o est othogonale à toute fonction lisse (esp. toute fonction lisse K-finie si F est éel). Il en ésulte que ())o est nulle. Il en est donc de même de H ; comme ()> est Ti-biin vaiante ^ est déteminée complètement pa H et nous obtenons ( )==0. 5. Intégales obitales : la situation non amifiée (5.1) Dans ce paagaphe F est un cops local non achimédien, E une extension quadatique non amifiée de F. Nous supposeons que la caactéistique ésiduelle de F n'est pas 2 et que l'ode du caactèe v / est 0. Nous considéeons le couple (G, A) fomé du goupe GL(2) et du sous-goupe diagonal. Nous noteons R l'anneau des enties de F, P l'idéal maximal de R, une unifomisante et K le goupe GL(2, R). L'ensemble X = X(E : F) est éduit à deux éléments (Gi, Ti) et (G^, T^)- Nous supposeons Gi =G, T\ contenu dans le sous-goupe ZK. Nous écions simplement T pou T\. Les mesues de AnK/ZnK et TnK/ZnK sont donc égales à 1. Le but de ce paagaphe est de démonte la poposition suivante : PROPOSITION. Soit f une fonction bi-k.-invaiante et à suppot compact su le goupe G/Z. Alos f et le couple (f, 0) sont appaiés. De plus : H(n^ :/:O=H(n- :/: )=l/2vol(t/z) ff(t}dt. j II sea commode de considée des fonctions à suppot compact su G plutôt que des fonctions à suppot compact su G/Z. Bien entendu les mesues des ensembles AnK, TnK, ZnK sont donc égales à 1. Si / est une fonction bi-k-in vaiante à suppot compact su G, alos nous poseons : (1) H(^:/:T)=iï/(^)^A, 5eT, tët/z. Puisque T est contenu dans ZK ceci se éduit à : (2) H(^:/:T)=f/(z^z, s) zez. De même, nous poseons : (3) H(g :/ : )) = f(agb)dav\ (det b)db, aea, bea/z. ANNALES SCIENTIFIQUES DE ^'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

17 200 H. ACQUET Nous écions encoe H(x : / : T ) pou îî(g(x) : f : T ). Les elations à pouve sont donc : (4) f H(x :/ : T ) = f(zg)dz / si v(x) est pai et P(g : T) = x, (5) H(x :/: T )=O si (x) est impai. Pa linéaité nous pouvons suppose que / est, soit la fonction caactéistique /o de K, soit la fonction caactéistique f^ de l'ensemble ov" 0 (6) K K, où m>0. Remaquons que f^(g) ^ 0 si et seulement si les conditions suivantes sont véifiées : (7) les coefficients de g sont des enties ; (8) v(deig)=m', (9) l'un au moins des coefficients de g est une unité. Bien entendu si m=0 la condition (9) est supeflue. (5.2) Nous calculeons d'abod H(x : f^ : \) que, pou simplicité, nous noteons H(x : m). Nous commenceons pa le cas m > 0. PROPOSITION. Supposons m>0. Alos H(x : m) est donné pa les fomules suivantes : (1) si v(x) est impai îî(x : m)=0 ; (2) 5i v(x) est pai ïî(x : m) == 0, à moins que v(x) == 0 et v(l x) = m auquel cas H(x : m) = 1. Démonstation. Nous utiliseons le lemme suivant : LEMME. Posons S=(-l) i+j où la somme pote su tout les couples d'enties (f, j) appatenant au bod du ectangle défini pa les inégalités O^KP, 0<y<Q. Alos S est donné pa les fomules suivantes : (3) si PQ>0, alos S=0; (4) si P=0 et Q > 0, alos S= 1 si Q est pai et S=0 si Q est impai ; (5) si Q=0 et P > 0, alos S= 1 si P est pai et S=0 si P est impai ; (6) si P==0 et Q=0, alos S=l. Démontons maintenant la poposition. Il sea commode d'écie Mat [a, b, c, d ] pou la matice dont les coefficients sont les nombes a, fo, c, d. Avec cette notation nous avons : (7) H(x : m) = E/,(Mat [œ 1^, xœ^, œ 1, œ^x-1) 1^', où la somme pote su tous les tiplets d'enties (i,j\ k). Comme le déteminant de la matice (7) a une valuation égale à i +7+ k + v(l x) la condition (5.1.8) monte que dans la somme ci-dessus nous pouvons nous esteinde aux tiplets tels que : i+j-\-k+v(l-x)=m. 4 e SÉRIE - TOME N 2

18 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 201 Cela nous pemet d'élimine k et, en tenant compte de (5.1.7) et (5.1.9), d'écie : (8) H(x:m)=I;(-l)^ où la somme pote su tous les couples d'enties (f, j) tels que : (9) 0^i<m-v(l-x)+v(x) (10) 0<j<m-v(l-x) (11) ij[m-v(l-x)+v(x)-i] K m-v(l-x)-j]=0. La somme est vide et ïî(x : m) nul à moins que : (12) m-v(l-x)>0 et m-v(l-x)+v(x)^0. Supposons les conditions (12) satisfaites. Alos nous pouvons applique le lemme. Nous avons donc H(x :m)=0 à moins que (13) [m-v(l-x)][m-v(l-x)+v(x)]=q. La véification de la poposition est alos élémentaie. (5.3) Calculons maintenant H(x : 0). PROPOSITION. H(x : 0) est donné pa les fomules suivantes : (1) si v(x) est impai alos îî(x : 0)=0 ; (2) si v(x) est pai alos H(x :0)=1, à moins que v(x)==0 et v(l x)>0 auquel cas H(x:0)=0. Démonstation. Nous avons encoe : (3) U(x : 0) = E /o(mat [œ 1^, xœ^, œ 1, co^])(-1) 1^', où la somme pote su tous les tiplets d'enties (f, 7, k). Comme plus haut, en tenant compte des conditions (5.1.7) et (5.1.8), nous pouvons élimine k et écie : (4) H(x:0)=E(-l) 1^ où la somme pote su tous les couples d'enties (i,j) tels que : (5) Q^i<v(x)-v(l-x) (6) 0<j<-v(l-x). La véification de la poposition est alos élémentaie. (5.4) Calculons maintenant l'intégale \fm(zg)dz. Elle ne dépend que de x=p(g:t) et nous noteons H(x : m : T) sa valeu. Rappelons que pa définition x est une nome, autement dit la valuation de x est paie. Nous commenceons pa le cas m>0. PROPOSITION. Supposons m>0. Alos ïî(x : m : T) = 0, à moins que v(x)==0 et v(l x)=m auquel cas îî(x : m : T)== 1. Démonstation. Nous pouvons suppose que E est l'extension engendée pa la ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

19 202 H. ACQUET acine caé de T, où T est une unité. Alos nous pouvons pende pou T le goupe multiplicatif de l'algèbe : f a b } L= (1) ^. bï a et pou e la matice : 1 0 (2) = 0-1 Calculons H(x : m : T) où x=p(g : T). Nous pouvons suppose que : (3) g-12+s u v UT U Alos det g=l x et x=u 2 v 2 T. Nous avons : (4) H^miT)^/,^), k OÙ (5) ^g= (ù\l-\-u) (f^v oac 0^(1 u) Vue la condition (5.1.8) cette somme a donc au plus un teme dont l'indice k est déteminé pa l'équation (6). k=l/2[m-v(l-x)]. En paticulie H(b : m : T)=0 ou 1. Vues les conditions (5.1.7) à (5.1.9) H(x : m : T)= 1 si et seulement si les conditions suivantes sont véifiées : (7) m^u(l jc)mod2; (8) les coefficients de la matice (5) où k est donné pa (6) sont enties ; (9) l'un au moins des coefficients de cette matice est une unité. Supposons d'abod u(x)<0. Alos v{l x)=v(x). Puisque x==u 2 v 2 T et T n'est pas un caé v(x) est pai. D'apès (7) H(x : m : T)=0 à moins que m ne soit aussi pai. Supposons donc qu'il en soit ainsi. Nous pouvons écie : U=UQ(Ù l/2v(x) V=VQtô lf2v(x) où UQ et VQ sont des enties, l'un au moins étant une unité. Alos les coefficients de la matice (5) sont les nombes : œ^^-^l+moœ 1^00 ), œ^^o, - œ^^ot, co^2^-^! - Moœ^2^). Tous ces nombes sont dans l'idéal P donc H(x : m :T)==0. Supposons v(x) > 0. Alos v(l x) = 0. D'apès (7) H(x : m) = 0 à moins que m ne soit pai. 4 e SÉRIE - TOME N 2

20 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 203 Supposons qu'il en soit ainsi. Alos k= l/2m, u et v sont des enties. Les coefficients de la matice (5) sont maintenant les nombes a'^l+u), -œ^2"^ a 1 ' 2 '^, (ù 1^!-»). Tous ces nombes sont dans l'idéal P donc H(x :m :T)=0. Supposons enfin v(x) = 0. Alos v(l - x) > 0. Si m - v(l - x) est impai alos H(x : m : T) = 0. Supposons donc m-v(l -x} pai. Alos les coefficients de la matice (5) sont les nombes : ^l/2[m-c(l-<)]^_^^ _(yl/2[>n-»(l-,)]^ (ol/2[m-(l-<)]y (D 1 / 2^- 1 '» 1 -^!-^). Comme x est une unité y et y sont des enties et l'un au moins est une unité. Si 1 + u et 1 -u étaient tous les deux dans P nous auions 2eP, une contadiction. Donc au moins l'un des nombes 1 + u et 1 - u est une unité. Si donc H(x : m : T) n'est pas nulle alos les conditions (8) et (9) entaînent que m = i<l - x). Les coefficients de la matice (5) se éduisent donc à 1+M, V, -Vt, l-u. Ce sont des enties et l'un au moins est une unité. Donc H(x :m :T)=1. Nous avons donc complètement calculé H et note ésultat est en accod avec la poposition. (5.5) Calculons enfin H(x : 0 : T). Rappelons une fois de plus que v(x} est pai. PROPOSITION. H(x : 0 : T) = 1, à moins que v(x) = 0 et v( 1 - x) > 0 auquel cas H(x : 0 : T) = 0. Démonstation. Comme plus haut nous avons (1) H(x:m:T)=Z/o(œ^). k La somme a en fait au plus un teme dont l'indice k est donné pa : ( 2 ) k=-l/2v(l-x). En paticulie H(x : 0 : T)=0 ou 1. De plus H(x : 0 : T)= 1 si et seulement si v(l -x) est pai et la matice (3) ^g= avec k donné pa (2) est dans GL(2, R). wk(l+u) tâkv -oac 0)^(1 u) Supposons i<x)<0 et v(l-x) pai. Alos v(l-x)=v(x\ v(x) est pai et U=UoW l/2v(x \ V=VoW l/2v^ où uo et i;o sont des enties, l'un au moins étant une unité. Alos les coefficients de la matice (3) sont les nombes : œ- 1 / 21^^, vo, -v^, œ- 1 / 2^)-^. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

21 204 H. ACQUET Ce sont des enties. Comme le déteminant de la matice (3) est une unité d'apès le choix de k la matice (3) est dans GL(2, R) et H(x : 0 : T)= 1. Supposons v(x) >: 0 et v(l x) = 0 (bien entendu v{x) > 0 entaîne v(l x} = 0. Alos k = 0 et les coefficients de la matice (3) se éduisent aux nombes : I+M, v, UT, 1 u. Comme u et v sont des enties ces nombes sont aussi des enties et la matice (3) est dans GL(2, R). Donc H(x : 0 : T)= 1. Supposons enfin v(x)=0 et v(l x) > 0. Alos H est nul à moins que v(l x) ne soit pai. Supposons qu'il en soit ainsi. Alos les coefficients de la matice (3) sont les nombes : CÙ-^^-^l+M), CÙ- 1^1-^ œ- 1 / 2^1-^, œ- 1^1-^!-^. Comme 1 + u ou 1 u est une unité l'un au moins de ces nombes n'est pas un entie donc (3) n'est pas dans GL(2, R) et H(x : 0 : T)==0. Nous avons donc complètement calculé H et note ésultat est en accod avec la poposition. (5.6) En appochant les popositions (5.2), (5.3), (5.4) et (5.5) nous voyons que nous avons pouvé les identités (5.1.4) et (5.1.5). Ceci temine donc la démonstation de la pemièe assetion de la poposition (5.1). La deuxième découle alos de la poposition (4.1). (5.7) Pou établi la convegence des intégales obitales globales nous auons besoin d'un ésultat supplémentaie, dont nous laisseons la démonstation au lecteu : (1) LEMME. Supposons h dans KZ et posons x=p(h:a). Supposons v(x)=0 et î;(l x)==0. Alos les elations entaînent ahbekz, aea, bea aez(kna), foez(kna). Le lemme implique évidemment la poposition suivante : PROPOSITION. Soit f la fonction caactéistique de KZ. Supposons l'extension quadatique E non amifiée et T contenu dans KZ. Soit h un élément de KZ et x=p(h :A). Si x et 1 x sont des unités alos : H(h:/:A)=l, H(^:/:T )=I. 6. Rappels su les epésentations locales de GL(2) (6.1) Soit F un cops local et E une extension quadatique de E. Nous considéeons encoe l'ensemble X qui est éduit à deux éléments (Gi, Ti) et (G2, TO, avec disons Gi déployé. Il sea commode d'utilise le ésultat suivant : PROPOSITION. Soit n une epésentation unitaie iéductible de Gi/Zi. Alos la dimension de l'espace des fomes linéaies continues et T'^-invaiantes su l'espace des vecteus 4 e SÉRIE - TOME N 2

22 RESULTAT DE WALDSPURGER 205 lisses de n est au plus un. De plus une telle fome est donnée pa le poduit scalaie avec un vecteu lisse li-invaiant. Si F n'est pas achimédien alos l'assetion su la dimension est pouvée dans [W2], Popositions 9. Si F est éel, elle est classique. Le este de la poposition est évident. (6.2) De même : PROPOSITION. Soit K une epésentation unitaie iéductible de Gi/Zi de dimension infinie. Alos la dimension de l'espace des fomes linéaies continues et {^-invaiantes (espectivement invaiantes elativement au caactèe T o det de A) su l'espace des vecteus lisses de n est un. Ce sont les popositions 9 et 10 de [Wl ]. (6.3) Considéons, pou f=l, 2, une epésentation unitaie iéductible ni de Gi/Zi. Nous supposeons que le couple (^i, 712) satisfait aux conditions du théoème (15.1) de [. L.] ; en paticulie îii est dans la séie discète. PROPOSITION. Les epésentations Ki ne peuvent toutes les deux avoi un vecteu non nul invaiant sous le goupe Ti. Si F est non achimédien alos note assetion se touve dans le théoème 2 de [W2]. Si F est éel, elle est classique. 7. Intégales obitales globales : cas d'un toe déployé (7.1) Dans le este de ce tavail F sea un cops de nombes et E une extension quadatique de F, TI le caactèe quadatique du goupe des classes d'idèles de F attaché à E. Dans ce paagaphe et le suivant nous considéeons le couple (G, A) et une fonction lisse à suppot compact / su G(F^)/Z(F^). A la fonction / est attaché le noyau cuspidal K(.. Soit (^)j une base othonomale de l'espace des fomes çuspidales pou le goupe G/Z. Alos, pa définition : ^ ^ (1) K,(x,^)=Ep(/)(t),(x)^-(^) où : (2) p(fmx)=!f(gwxg)dg. Nous nous poposons dans ce paagaphe et le suivant de donne une expession utile pou l'intégale : (3) ÏÏK,(a, fc)ît (det b) dadb, a, fcea(f/a(f)z(f,). Nous avons choisi un caactèe non tivial \ / de F^/F. Nous avons donc à chaque place v la mesue de Tamagawa attachée à v /i, et pa tanspot de stuctue su Ay et Zy. Nous avons donc la mesue poduit su A(F4/F) et la mesue quotient su A(F^)/Z(F^). Nous désigneons pa S un ensemble fini de places contenant les places infinies, les places amifiées dans E et les places de caactéistique ésiduelle 2. Pou toute place v de F nous noteons K^ ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

23 206 H. ACQUET le sous-goupe compact maximal usuel. En paticulie Ky==GL(2, Ry) si v est fini. Nous pendons la fonction / poduit de fonctions locales /y qui sont Ky-finies à toutes les places. Nous supposeons que /y est bi-ky-invaiante pou tous les v non dans S. Bien entendu /y est en fait la fonction caactéistique de Ky Zy pou pesque tous les v non dans S. Nous avons une décomposition de Kc en une somme : (4) K,(x, ^E/^-^-K^x, y)-k^ y), où la somme est su tous les y dans G(F)/Z(F), Kgp dénote le noyau spécial et K^ le noyau d'eisenstein (la définition est appelée plus loin). Nous pouvons écie le pemie teme de cette somme comme la somme de deux autes temes K^ et K^ où : (5) K,(x, y)= E/(x- ^ y\ y A-égulie ; (6) K,(.v, v)= Z f(x~ ^ y\ y A-singulie. Alos Kc peut s'écie (7) K,=K,+K,-K^-K,,. (7.2) Nous considéons d'abod l'intégale de K^. Tout élément y de G(F)/Z(F) peut s'écie uniquement sous la fome : (1) y = oc^) (3, avec oc et pea(f)/z(f) et Ç difféent de 0 et 1. (cf. (3.1.3) pou la notation et 1 ). Il vient donc aussitôt : (2) IÏK,(a, fc) (det b)dadb= Z Hfê : / : T ), ç^o et 1 ou nous avons pose : (3) H(ç : / : n) = [[/(^)fo) (det b)a^ b, ^, foea(f^)/z(f^). ustifions nos calculs fomels. Tout d'abod le suppot de / ne enconte qu'un nombe fini de classes égulièes. En effet la fonction X intoduite au paagaphe 1 (cf. (1.1.4)) définit une fonction continue du goupe G(F4)/Z(F4) dans F^. Elle ne pend donc qu'un nombe fini de valeus su l'intesection du suppot de / avec l'ensemble des points ationnels ; il en est donc de même de la fonction P(. : A), ce qui nous donne note assetion. D'aute pat chacune des intégales (3) convege absolument : il suffit en effet de le pouve pou l'intégale (4) H(Ç : / : A)= ^f(ag(^b)dad b, a, bea(a)/z(a). Chacune des intégales locales H(Ç : /y : Ay) convege ; pesque toutes sont égales à 1 (cf. (5.7)). Donc (4) convege. Il en est donc de même de (3) et (3) est le poduit des intégales locales coespondantes : (5) H(ç:/:îi)=[H(ç:/,:Tl,). Dans ce poduit pesque toutes les intégales sont égales à 1 (cf. (5.7)). 4 e SÉRIE - TOME N 2

24 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 207 (7.3) Passons à l'intégale de K,. Elle n'est pas absolument convegente, mais elle est «faiblement» convegente au sens suivant. Soit c un nombe plus gand que 1. Convenons de désigne pa ( 1 ) K,(û, fc) (det b)dadb, a, fcea(f^)/a(f)z(f^) c- 1 c- 1 l'intégale de K,(a, fe) (det b) su l'ensemble des couples (a, b) satisfaisant c~ 1 < a^/a^ \ < c, c-l < \ b 1/^2 1 < c ; bien entendu ai et a^ pa exemple désignent les coefficients diagonaux de a. Comme l'intégale est pise su un ensemble compact elle existe. Nous allons voi que l'intégale (1) tend ves une limite losque c tend ves l'infini. Cette limite sea pa définition l'intégale faible de Ks(a, fc) (det b). Nous avons vu au numéo (1.3) qu'il y avait 6 doubles classes singulièes pou A, à savoi les doubles classes des éléments suivants : e, n+, n-, s, en +, -. Numéotons les de 1 à 6. Alos nous avons une décomposition de K, en 6 temes K,, 1 ^ i ^ 6, où K^ est la somme des/(x~ ^y) pou tous les y dans la ième double classe. Étudions l'intégale de Ki pa exemple. Nous avons D'où : Ki(x, y)=^f(x-^y\ aea(f)/z(f). K,(a,b)[(detb)dadb= Ki(a, fo) (det b)dadb= \ \ f(ab)[ (det b)dadb ; e- 1 e- 1 c-i e dans l'intégale de gauche a et b vaient dans le sous-ensemble compact de A(F4)/A(F)Z(F4) défini ci-dessus ; dans l'intégale de doite b vaie encoe dans le sous-ensemble compact de A(F4)/A(F)Z(F4) défini pa c~ 1 < \ b^/b^ \ < c, mais a vaie dansje sous-ensemble de A(F4)/Z(F4) défini pa c~ 1 < a^a^ \ < c. Changeons a enftb~ 1 dans l'intégale de doite. Nous obtenons une intégale double, l'intégale intéieue ne dépendant que de b^/b^ \. Cette intégale intéieue s'écit : \ Ce.V T (det b)db, &ea(f/a(f)z(f. e- 1 Elle est nulle pace que la estiction de T au goupe des idèles de valeu absolue 1 n'est pas tiviale. L'intégale de Ki est donc faiblement convegente et sa valeu est 0. Il en va de même pou l'intégale de K4. Examinons les intégales des autes temes, K^ pa exemple. Nous avons : ( 2 ) K2(x, y) = Z/(x- ^ pj0, a, PGA(F)/Z(F). Il en ésulte que : f F K^a, K^,fc) (detfc)^fc= b)[ b)dadb = F ^f(an^ Z/(ûn+ Pfc)î1 (det b)dadb ; e- 1 e-! c-ijc- e-tjc-i 1 dans l'intégale de doite b vaie encoe dans le sous-ensemble compact de A(F4)/A(F)Z(F4) défini pa c~ 1 < b^/b^ \ < c, mais a vaie dans le sous-ensemble de A(F4)/Z(F4) défini pa ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

25 208 H. ACQUET c~ 1 <\a^ja^\<c. Intoduisons maintenant la fonction ()) su ( x )^ x F^ définie pa : ^/[ oî-ol] Elle est à suppot compact. Note intégale s'écit : Z ^(ab-\bq}(b)dadb, ÇeF^, ae(f^, c~ l <\a\<c, foe(f^/f^, c-^l^l^. En utilisant la fomule de Poisson pa appot à la deuxième vaiable et en penant la tansfomée de Fouie pa appot à la deuxième vaiable nous obtenons pou cette intégale l'expession : k^(ab-\bw)dadb+ks<\ \^(ab~\bq{(b)dadb+ E \^(ab,bq\ b \ \(b}dadb, U ç,u ç c~ l <\a\<c, l<\b\<c. II est évident que les deux mêmes intégales étendues au domaine : ae ^ foefj[/f^ K b, convegent absolument. De plus dans les intégales étendues au domaine pécédent nous pouvons change am ab ±l, Nous concluons que l'intégale de K^ est faiblement convegente et que sa valeu est la somme : HE ^ bq}(b)dadb+ \\ ^, bq \ b \ }(b)dadb, ^ ç ae ^ be ^ ^ \<\b\. Ceci n'est aute que la valeu en s =0 du polongement analytique de l'intégale suivante : (4) ^{a,b)\b\ s }(b)dadb, ae ^ be 3,. Cette valeu sea aussi notée comme une intégale : (5) ^(a,b)[(b)dadb, ae ^ be ^. Avec cette convention nous pouvons écie que l'intégale faible de K.2 est égale à : (6) H(n,:/:îi)=iï/ ^ x ^ \(b)dadb. Un ésultat analogue est valable pou les intégales des autes Ki. Finalement nous voyons que l'intégale faible de K, existe et est égale à la somme : (7) H(^ :/:îi)+h(n- :/: )+H(ns+ :/:îi)+h( n- :/:T ); 4 e SÉRIE - TOME N 2

26 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 209 le pemie teme est défini pa (6) et les autes temes sont définis de manièe analogue (8) (9) (10) H(n_:/:n)= M -F H(en+:/:i)= / H(en-:/: )= / a a a O 0 1 X b 1 ^(b)dadb ; 1 b \(b)dadb ; n \f}(b)dadb. b 1 (7.4) Passons maintenant à l'intégale de Kgp. Rappelons la définition de Kgp : F Ksp(x, y)=\ol- 1^ /(^)x(detg)^c(detx)x- 1 (det y), j où la somme pote su tous les caactèes quadatiques ^ du goupe des classes d'idèles de F et Vol est le volume du quotient G(F/G(F)Z(F. Si ^ est un tel caactèe alos, soit ^ soit %\ a une estiction non tiviale aux goupes des classes d'idèles de nome 1. En aisonnant comme pou Ki nous voyons aussitôt que Kgp est faiblement intégable et son intégale nulle. 8. Le noyau (TEisenstein (8.1) Nous continuons avec les notations du paagaphe 7. Nous allons voi que l'intégale (1) K-ei(û, fc) (det b)dad b, a, foea(f^)/a(f)z(f^) est faiblement convegente. En ce qui concene la valeu de l'intégale, tout comme dans les applications maintenant classiques de la fomule des taces, nous n'auons besoin que d'un ésultat assez faible. Choisissons en effet une place u en dehos de S qui se décompose dans E. Fixons les composants de / aux autes places et egadons l'intégale (1) comme une fonction de /«. Notons f^ la tansfomée de Satake de /«. Nous pouveons le ésultat suivant : PROPOSITION. telles que : (2) iï v I I existe une fonction intégable su la doite éelle (() et une constante c K^a, fc)îi (det b}dadb= Wf^(q^)dt+cf^(q (8.2) Nous auons besoin de ésultats standads su la tansfomée de Mellin d'une séie d'eisenstein. Nous fixeons une fois pou toutes un sous-goupe C de F^ isomophe au goupe des nombes éels > 0 tel que F^ soit le poduit de C et F \ le goupe des idéles de module 1. Le goupe C est muni de la mesue image écipoque de la mesue t~ 1 dt pa l'application c -> \ c et F 1 de la mesue quotient. Sauf mention expesse du contaie tous les caactèes du goupe des classes d'idèles seont supposés tiviaux su C. Soit 7 un tel caactèe et V(X) l'espace des fonctions ( ) su K (le poduit des Ky) telles que : a x (1) <N k \=yi(ab-^(k) 0 b ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

27 210 H. ACQUET SI a x 0 b est dans K. Considéons maintenant une fonction ( > su K x C, telle que pou chaque nombe complexe u la fonction (()(., u) soit dans Vue). La fonction sea supposée ête holomophe, ou même, méomophe pa appot à u ; pa exemple elle peut ête indépendante de u. Nous étendons ()) en une fonction <()(g, u, 7) su G(F^) telle que : a x (2) g, u, X \=ï(ab- 1 )\ ab- 1^^(g, u, x). 0 b La séie d'eisenstein est alos le polongement analytique de la séie : (3) E(^, ^ u, x) = E( )(^, ^, X), yeg(f)/a(f)n(f). La séie convege absolument si Re u> 1/2. Le teme constant de E le long de N, le goupe des matices tigonales stictes supéieues, est pa définition l'intégale f (4) EN(^, ^ M, x) = E(ng, ^ u, j)dn, nen(f/n(f). / II a la fome : ( 5 ) EN(^, <f), M, x) = <K^ ^ X) + M(M, x)(k^ - ^ X~ 1 ) où M(^,x) est l'opéateu d'entelacement qui va de V(X) à V(x~ 1 ). Nous auons aussi besoin d'un aute coefficient de Fouie de E, à savoi : (6) W(^,(M,X)=,<M,x)=fEE L 1 x 0 1 g, ^((),M,X x vk- - x)dx, xef^/f, où \ / est le caactèe fixé du goupe F^/F. La séie de Fouie de E s'écit donc : (7) E(g, (M,X)=(K^X)+M(M,X)( )(^ -^X'^+I^ag, (M,x) où la somme est pou a dans A(F)/Z(F). Nous pouvons aussi considée une séie de Fouie pou le goupe N' des matices tigonales stictes inféieues. Comme (8) N'=wNw~ 1, avec w= elle s'écit en fait : (9) E(g, ^ u, x) ^ ^> (^g, u, x) + M(u, x)<l>(w^ - u, x ~ 1 ) + E W(awg, ( ), M, x). La tansfomée de Mellin L(s, X : (() : u, x) de E est définie pa l'intégale suivante (ou son polongement analytique) : (10) L(5, X : ^ : M, 7) - { E [diag (a, 1) ] - EN [diag (a, 1) ] } a I 5 - ^(a)^, aef^/f". Nous avons suppimé de la notation la dépendance de E des vaiables autes que la pe- 4 e SÉRIE - TOME N 2

28 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 211 mièe. En emplaçant E pa sa séie de Fouie nous obtenons aussitôt pou la tansfomée de Mellin l'expession : f (11) Wtdiag^l)]!^! 5-1 / 2^)^. 9) Nous pouvons aussi écie la tansfomée de Mellin de E comme suit : F+x p ^ ^ (1 2 ) L(5...)= (E-EN)+ (E-E^)+ EN+ E^. i o i o Dans chacune de ces intégales, la fonction est évaluée au point diag (a, 1) et intégée conte a y 112 HO) su un sous-ensemble du goupe des classes d'idèles. Pou la pemièe intégale, pa exemple, le sous-ensemble est défini pa l'inégalité 1 < a \. En utilisant la séie de Fouie de E nous obtenons sans peine une aute expession pou la tansfomée de Mellin de E : ; (13) W[diîig(a^)]\a\ s - l/2 Ua}da v l ^x ^ +1 W [diag (a, l)w] a 5 - ^U^da j i F+x + [ 1 a s+ "?lx(â)( )(^)+1 a y \a)m(u, ^(e)]da i + [lû'-^x'^^m+la^-^^nku.xww)]^. o Les deux pemièes intégales convegent pou tout s et les deux denièes pou Res > 1/2. Les deux denièes intégales se calculent facilement. En paticulie, pou 5= 1/2 et u puement imaginaie, nous obtenons l'expession suivante pou la tansfomée de Mellin de E au point s= 1/2 : f*+(x> (14) L(l/2,?i : (^ : M, 5c) = W [diag (a, 1) }k(a)da i t^ + W [disig(a,l)w}ua)da - ^ [(NW^X^+^WX)] + y3^ [M(u, X)<KW)W + M(u, xwwx - ')]. où nous avons posé pou tout caactèe x du goupe des classes d'idèles 8(X)= mà)da, aef^/f". ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

29 212 H. ACQUET Nous auons à calcule la difféence ente la tansfomée de Mellin et l'intégale suivante : (15) E[diag(a,l)pi(a)^. e- 1 Rappelons que cette notation signifie que l'intégale est pise su le sous-ensemble compact des classes d'idèles a telles que c~ 1 < \ a \ < c. Au lieu de (12) nous avons pou l'intégale (15) l'expession : ÇC ci ÇC ci (16) (E-EN)+ (E-ENQ+ EN+ EN-. l e- 1 l e- 1 En emplaçant à nouveau E pa sa séie de Fouie nous obtenons pou (15) l'expession : (17) W [diag (a, l)]ua)da+ W [diag (a, l)w]ud)da + ] [ a \ l ' 2+U W^(e)+\a l 1 / 2-1^" 1^^ ^(e)]da + F [ a - u - l / 2^" l (^(vv)+ a M - l / 2^(^M(M,x)<t)(w)Na. c-i En calculant les deux denièes intégales et en compaant à (14) nous obtenons finalement l'expession que nous avions en vue : (18) ] E [diag (a, 1)]^)^=L(1/2, )i : ^ : M, 7) vc ~ l ^u+l/2 ^-u+1/2 + u^ïj2 wme)+ -u+m 8(x- ^)M(MÎ^^ où R(c) est donné pa : çu+l/2 ç-u+1/2 + u+lîï 5^" l^( w ) + _^+l/2 5(^)M(M? X)<t>(w)+R(c) ^+00 Ç+ao (19) - R(c) = W [diag (a, 1) }^a)da + W [diag {a, l)w }k(a)da. Il est clai que R(c) tend ves zéo losque c tend ves l'infini. (8.3) Nous auons besoin d'estimées pécises su R(c). Rappelons que R dépend, non seulement de c, mais aussi de M, À- et ((). Nos estimées seont conséquence du lemme suivant : LEMME (1). Supposons la fonction ^ indépendante de u. Alos il existe une fonction de Sch\vatz-Buhat 0 telle que, pou tout u imaginaie, nous ayons : W[diag(a,lU,u,x]l<0(^)l^l- l/2 L(2M+l,x 2s ) - l. La notation L(s, / s ) désigne le poduit des facteus locaux L(s, ^y) pou tous les v non dans S. De plus nous supposons ()) invaiante sous Ky pou tous les v non dans S. Démonstation. II existe une fonction de Schwatz-Buhat à deux vaiables 0 telle que : f ^, u, x)= 0[(0, O^X 2^) 11 ^^dt x x(det^) detg ^/ 2 x I^+l^T 1. j 4 e SÉRIE - TOME N 2

30 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 213 Un calcul fomel (fait en détail dans [. L.], 3) donne : W [diag(a, 1)... ]=L(2M+1, ^2S )- 1 x O^û, t-wt) 11 ^^t^a) \ a -^/ 2, «/ où (^ est la tansfomée de Fouie pa appot à la seconde vaiable. Il suffia donc de démonte l'assetion suivante : étant donnée une fonction de Schwatz-Buhat <I»0 à deux vaiables, il existe une fonction de Schwatz-Buhat à une vaiable ( ) ^ 0 telle que pou tout idèle a nous ayons : f \<S>(at,t- l }dt<^(a)\a\~ l. j Considéons le poblème local analogue. De manièe pécise, considéons d'abod le cas où le cops local F est non achimédien et' la fonction 0 est la fonction caactéistique des enties. Alos l'intégale n'est aute que le volume de l'ensemble défini pa les inégalités a < 111 < 1. L'intégale est donc 0 à moins que a ne soit un entie. En supposant que ce soit le cas l'intégale vaut 1 + v(a). Puisque q > a ceci est plus petit que ^(û). Donc note intégale est au plus (^(a) \ a \~ 1, où ^ est la fonction caactéistique des enties. Si F et 0 sont quelconques l'intégale, egadée comme une fonction de a, a la fome : 0(^, t~ l )dt=^^(a)+^2(a) log a \ où les (^i sont des fonctions de Schwatz-Buhat (cf. (4.3)). Il est clai que le membe de doite est majoé pa <^(a) \ a ~ 1, où ^ est une fonction de Schwatz-Buhat convenable. En multipliant ces majoations locales nous obtenons facilement la majoation globale equise. Il est classique que la fonction L(2u +1, X 25 )" 1 est à coissance au plus polynomiale su la doite Re (u)=0. D'aute pat, si ^> est une fonction de Schwatz-Buhat, il existe pou tout N > 0 une constante C(N) telle que ^(a)\a\~ l da<c(^)c~ En compaant avec la définition (19) de R nous obtenons aussitôt : LEMME (2). Pou tout N il existe des constantes C(N) et M telles que pou tout u imaginaie nous ayons : \R(c,u}\<C(^)\c\~ y \u\ M. De la même façon en utilisant l'expession (8.3.14) pou la tansfomée de Mellin et le fait que l'opéateu M(u, ^) est unitaie su l'axe imaginaie nous obtenons l'estimée suivante : LEMME (3). Su Faxe imaginaie M(u, /)( )(fe) et L(l/2, À. : ( ) : u, ji) sont à coissance au plus polynomiale. (8.4) Étudions maintenant l'intégale du noyau K^. Rappelons sa définition. Pou tout caactèe ^ choisissons une base othonomée ^ de l'espace de Hilbet VQc); désignons ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

31 214 H. ACQUET pa p(m, y) la epésentation de G(F^) pa tanslations à doite dans l'espace des fonctions ()) telles que (1) 4 ^ î ë^^b-^ab-^^^g). Nous pouvons identifie l'espace de p(u, 7) avec V(^) et pose : (2) F(u,7:f,7)=(p(^5c)( ),(t),). Nous écions E^(x, f,...) pou E^(x, (()...). Avec ces notations : (3) K,(x,);)=ZK,(x,y» x où, pou chaque caactèe 7 du goupe des classes d'idèles, / +ia (4) K,(x, }Q=(2ni)- ^ f (u, 7 : î,7')e(x,7, M, x)e(^, f, M, x)-^. -lz i, ij -ix -ioc Pou un / donné les sommes (3) et (4) sont finies. Posons (5) I(c, x) = f f K,(a, fc) (det b)dadb. c-i c-i Nous pouvons évidemment échange l'ode des intégations pou u et le couple (a, b). En tenant compte de (8.2.18) nous obtenons pou I(c, j) l'expession suivante : (6) (nt^s F(^x:î,y) ij -l'oo ^«+1/2 ^-u+1/2 x L(l/2,1 :7, u,x)+r(c,^)+ ^.^8(X)< )^)+ ^^^(X'^M^ x)^),."+1/2 -u+1/2 c c ^, _ i.. /. +.,(w)j MTm 8^" 1^^^^^!/! Ô(X)M( "' XM)/W) ^.-u+1/2 ^«+1/2 xll(l/2,îi,f^, ^^R^z^^ ^^i^-^+^^^x^^m^^ (^) ^.-M+l/2 ^M+l/2 -j (x- l î^)(t)^(w)+, Ô(XTI)M(U, x)( )(w) x fu. u+1/2 M+l/2 Pou chaque (f, 7), les temes R(c, u) et R'(c, M) satisfont aux conclusions du lemme (8.3.2). Pou un / donné F(K, % : 1,7) est nul sauf pou un nombe fini de couples (f, 7). En paticulie, (u, % : f, 7) est nul à moins que ( ^ et <^>j ne soient tous les deux invaiants pa tous les Ky avec v non dans S. De plus, su l'axe imaginaie, F(u, ^ '- i, j) décoît apidement (plus vite que l'invese d'un polynôme en u). Au contaie, d'apès (8.3), les temes L(... ) et les temes contenant les puissances de c sont à coissance lente. Il en ésulte que losque nous développons l'expession (6) nous touvons un cetain nombe de temes qui 4 e SÉRIE - TOME N 2

32 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 215 tendent ves zéo losque c tend ves l'infini. Nous pouvons ignoe ces temes. Pami les temes qui estent il y a une intégale indépendante de c : Ç+iw ( 7 ) E F(M, 7, 1,7) x L(l/2, 1 :j : u, îc) x [L(l/2,, f, M,x)]~^. l, -100 Les autes temes ne sont pésents que si ^= 1 ou 5c=. Chacun de ces temes est de l'un des types suivants : c^2"^ c^2"" (8) (u, 1 : f)l(l/2, îi : i : u, 1)- ((t),(^)+( ),(w))^,»/ / i î^ (9) F(M, : f)l(l/2,1 i; : u, ^)-^^ (^i~(e)+^(w))du, l/z.îi c 1 / 2 -" (10) F(u, 1 : f)l(l/2, TI : i : M, 1)- (M(u, l)()),(é?)+ M(M, l)4)/w))^, j i/^ u çi/2+u (11) F(u, TI : f,7)l(l/2,1 :y : u, T ), (M(u, )()),-(^) + M(M, )(()(w))fm. L'intégale (7) a visiblement les popiétés equises pa la poposition (8.1). Pou démonte cette poposition, il nous suffia donc de monte que chacune des expessions (8) à (11) a une limite losque c tend ves l'infini et que, de plus, cette limite est nulle si la tansfomée de Satake de la fonction / est nulle au point q~ 1. Cette denièe condition signifie que l'intégale de / su GZ^ est nulle et implique que (u, 1 : f, 7) et F(u, T : f, j) s'annulent aux points M=l/2 et u== -1/2. (8.5) Examinons le teme (8) du numéo (8.4). Nous déplaceons le contou d'intégation de la ligne Re u=0 à la ligne Re u= 1/2 ; toutefois dans cette denièe ligne, nous emplaceons le segment joignant le point -1/2 - fs au point -1/2 + fe pa le demi-cecle de cente - 1/2 et de ayon e qui passe pa les points - 1/2 -si, s - 1/2 et - 1/2 + fs. Véifions que ce déplacement du contou est légitime. Le facteu F(M)=F(M,l:f,7)(((),(^)+((),(w)) ainsi que ses déivées, est holomophe et à décoissance apide dans la bande veticale -l/2^re^<0. La fonction exponentielle este bonée. Le facteu (1/2 + u)~ 1 este aussi boné à l'infini dans cette bande veticale. Examinons la tansfomée de Mellin. Rappelons que nous pouvons touve une epésentation intégale de ( ),(^, M, 1) : (Mg,îU)= \ ( î ) [(^t)g]\t\ 2u+l dt x Idet^l^/^M+U 8 )- 1. Un calcul fomel simple donne alos pou la tansfomée de Mellin (notée L(u) en abégé) : (1) L(u)=L(2u+l, l 8 )- 1 O^, b) \ a ^^(a) \ b ^-^Wdadb, ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

33 216 H. ACQUET où (^ est la tansfomée de Fouie de > pa appot à la deuxième vaiable. En penant l'imaginaie conjugué de deux membes nous obtenons donc : (2) L(-u-)-=L(-2M+l, l 8 )- 1!^), où (3) T(u)== Oi(a, fc) û ^-"Ka) fc l^^kfc^fc. «/ Dans cette expession Oi est une fonction de Schwatz-Buhat; l'intégale de «Tate» double T(u), ainsi que tous ses déivées, est bonée dans la bande veticale 1/2 < Re (u) < 0. Enfin dans la bande en question nous avons 1 < Re ( - lu +1) < 2 et la fonction L( - lu +1, 1s) ~ 1 est holomophe et bonée pa un polynôme en Im (ù). Comme note intégale s'écit : (u)l(l-2u, l^t^c^^l^+m)-1^. Note déplacement du contou d'intégation est en effet légitime. En emplaçant u pa u 1/2, nous obtenons pou le teme (8.3.8) l'expession suivante : (4) F(M-1/2)L(2-2^, l 8 )- 1^-!/^- 1^. j Dans (4) le contou d'intégation est maintenant la doite Re (u)=0, excepté que le segment joignant le point ie au point fe est emplacé pa le demi-cecle de cente 0 qui passe pa les points - fs, s, fe. Faisons maintenant tende 8 ves 0. Alos l'intégale su le demicecle tend ves ^(-l/^h^l 5 )- 1^-!^), tandis que l'intégale su la patie ectiligne du contou tend ves une «valeu pincipale de Cauchy». En utilisant une vaiable d'intégation éelle t nous obtenons donc que (4) est aussi égale à : ^+00 (5) F(^-l/2)L(2-2ft, ^-^(it-l/l^t-^t+infç-l/lw l')" 1^-!/^. 00 Pou t éel la fonction L( 2^+2, P) est donnée pa un poduit infini (ou une séie de Diichlet) absolument et unifomément convegent. Ses déivées sont donc bonées et son invese aussi est bonée. Les déivées du facteu L( 2f+2, l 5 )" 1 sont donc bonées. Dans (5) le poduit des tois pemies temes est donc une fonction de Schwatz de t. Losque c tend ves l'infini l'intégale de Cauchy tend ves in fois la valeu de la fonction de Schwatz au point 0. Au total nous voyons que (5), i. e. le teme (8.4.8), tend ves une limite finie losque c tend ves l'infini, à savoi : 2^^F(-1/2)L(2,1 S )- 1 T(-1/2); cette limite s'annule en même temps que F( 1/2, 1 : ij). C'est bien là ce qu'il nous fallait pouve. Une conclusion analogue s'applique au teme (8.4.9). 4 e SÉRIE - TOME N 2

34 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 217 (8.6) Examinons maintenant le teme (8.3.10). Nous poseons pou simplifie : F(u)=F(u,l:i). Nous allons utilise une expession un peu difféente de celle que nous avons utilisé jusqu'à pésent pou la tansfomée de Mellin. Écivons < ) pou <^j et supposons, comme il est loisible, que ( ) soit un poduit de fonctions locales <))y. Nous pouvons aussi suppose que, pou chaque place v, (^^ est soit Ky invaiante, soit au contaie d'intégale nulle su Ky. Notons T l'ensemble des places où cette denièe condition est satisfaite. Alos T est fini et contient S. Nous pouvons touve une epésentation intégale pou ^(g, u, 1) de la fome : (1) ^g,u,l)= f(î>[{0,t)g]\t\ 2u+l dt x Idet^^I^+l.n- 1. Nous en concluons, comme plus haut, que la tansfomée de Mellin qui appaaît dans (8.3.10) peut s'écie : (2) L(-2i/+l. l^to/). où T(M) est défini pa une intégale de Tate double, holomophe pou tout u. D'aute pat nous pouvons écie l'opéateu d'entelacement M(u, 1) comme un poduit : (3) M(M, 1)=L(2^, l)l(2u+l, l)"^, 1) où N est l'opéateu d'entelacement nomalisé. Maintenant le quotient de L(2u, 1) pa L( 2M+1, 1) est une fonction exponentielle ah". Il en ésulte que le poduit des facteus (2) et (3) se éduit à : (4) ab^ -2u+l, l^)l(2u +1,1^" ^(2u +1, lt ^(u^u, 1). Ainsi le teme (8.3.10) est donné pa l'intégale suivante : (5) (u)l(2u+1, I 1 )- ^(u^^-^l/l-u)- ^{u)du, avec A(u)=ab u L(-2u+l, lt)l(2m+l, IT)-^^, I)( )(^)+N(M, l)( )(w)]. Nous allons déplace le contou d'intégation. Le contou pésent est la doite Re (u)=q. Le nouveau contou sea la doite Re (u)= 1/2, excepté que le segment joignant les points 1/2 - fs et 1/2+f sea emplacé pa le demi-cecle passant pa les points 1/2 fs, 1/2 e, 1/2 + ï'c. La fin de la démonstation sea alos la même que dans le cas pécédent, excepté qu'il nous faut monte que le facteu A(u) est holomophe et à coissance lente dans la bande 0 < Re (u) < 1/2. Le appot des facteus L qui appaaît dans A est le poduit des appots L(-2^+1,1,)L(2M+1,U- 1 pou tous les v dans T. Si v est une place finie, alos ce appot est une faction ationnelle en q^ donc est à coissance lente. Si v est infinie, la fomule de Stiling monte que ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

35 218 H. ACQUET ce appot est à coissance lente. Rappelons que ( >y est égale à un su tout Ky pou tous les v non dans T. Pou un tel u, nous avons N(u, 1^^}=1 pou tout u. Donc N(M, l)^>(e) pa exemple est en fait le poduit su tous les v dans T de N(^I( )^). Si v est finie ceci est encoe à coissance lente. Si v est infinie, ceci est un polynôme en u. Donc A est bien à coissance lente. Pouvons enfin l'holomophie de A aux pôles du facteu L( 2u+l, l-) dans la bande. Pouvons pa exemple l'holomophie en 1/2 de : Le poduit pécédent s'écit en fait : L(-2u+l, lt)l(2m+l, IF'N^, l)(j)(^). H L(-2u+l, UL(2î^+l, U-^, U( )^). et Penons un v dans T. Comme l'intégale de (py su Ky est nulle, N(M, ly)(()y(^) s'annule au point u =1/2 et ce zéo compense le pôle du facteu L( 2M+1, ly) au même point. Le poduit est donc bien holomophe au point 1/2 et ceci temine note discussion pou le teme (8.3.10). Une discussion analogue s'applique au teme (8.3.11). Les assetions du numéo (8.1) sont donc complètement pouvées. 9. Intégales obitales globales : le cas (Tun toe compact (9.1) Dans ce paagaphe F est encoe un cops de nombes et E une extension quadatique de F. Nous fixeons un élément (G, T) de l'ensemble X(E : F) et un élément e de N(T) - T. Alos le caé c de e est un élément de F" et la classe cn du goupe des nomes N de E détemine la classe d'isomophisme de (G, T). Soit / une fonction, lisse et à suppot compact, su le goupe G( ^)/Z( ^). A la fonction / est attaché le noyau cuspidal K^. Soit <^i une base othonomale de l'espace des fomes automophes qui sont cuspidales et othogonales aux fonctions g -> 7 (det g), où 7 est un caactèe de caé tivial du goupe des classes d'idèles de F. Alos, pa définition : (1) K,(x,y»=Ep(/)(h/x)^()Q. Nous nous poposons de donne une expession utile pou l'intégale (2) K,(s, t)dsdt, s, tet(f^)/t(f)z(f^).! / / Bien entendu \ / o T est un caactèe de E^/E et nous avons donc pou chaque place v de E la mesue de Tamagawa su le goupe E^ et, pa tanspot de stuctue su le goupe Ty. Nous avons aussi la mesue poduit su le goupe T(E^) et la mesue quotient su T(F^)/Z(F^). Nous noteons S un ensemble fini de places de F contenant les places à l'infini, les places amifiées dans E, les places où G n'est pas déployé, les places où v /,. n'est pas d'ode 0 et les places de caactéistique ésiduelle 2. Nous choisions pou tout v un sous-goupe compact maximal Ky de Gy de telle manièe que Ty soit contenu dans KyZy si v ne se décompose pas dans E et G(F^) soit le poduit esteint des Gy pa appot aux Ky. Nous suppose- 4 e SÉRIE - TOME N 2

36 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 219 ons que / est le poduit de fonctions locales / lisses et à suppot compact, su G,/Z,. Nous supposeons f^ bi-k^-invaiante pou chaque v non dans S. Nous ne changeons pas l'intégale (1) si pou v non décomposée dans E nous emplaçons / pa la fonction /; définie pa : /;Q)=vol(T,)- 1 ]/(5^)^A. Nous pouvons donc suppose que pou chaque v qui ne se décompose pas dans E la fonction / est bi-ty-invaiante, en paticulie bi-ky-finie. Enfin nous supposeons f^ bi-k^-finie aux places v qui se décomposent dans E. Nous avons alos : ( 3 ) K^ y) = E/(^~ ' yy) - K,p(x, y) - K,(x, y), où la somme pote su tous les y dans G(F)/Z(F), K,p dénote le noyau spécial et K,, le noyau d'eisenstein. Le noyau d'eisenstein est bien entendu nul si G n'est pas déployé 6 Le noyau K^p est défini pa la somme suivante : (4) K,^, ^)=l:vol- 1 f/(det^c(detx)x- 1 (dety); / la somme pote su tous les caactèes 7 de caé tivial du goupe des classes d'idèles de F et Vol est le volume du quotient G(F^)/G(F)Z(F^). Nous pouvons défini deux autes noyaux : ( 5 ) K^ y) = ^ f(x ~ 1 jy\ y T-égulie, ( 6 ) K,(x, y) == ^ f(x~ l yy\ y T-singulie, Alos K^ est la somme suivante : ( 7 ) K,=K,+K,-K^-K,. Comme le quotient T(F^)/T(F)Z(F^) est compact, l'intégale (2) est simplement la somme des intégales de chaque teme dans (7). (9.2) Étudions l'intégale de K,. Chaque élément y de G(F)/Z(F) qui est T-égulie peut s'écie de manièe unique sous la fome : W Y=a -l jllt, où a et T pacouent T(F)/Z(F) et LI un ensemble de epésentants pou les doubles classes T-égulièes de T(F) dans G(F) (Pop. (1.2)). Nous obtenons donc immédiatement : ( 2 ) ] K,(5, t)dsdt=^ fsf(s-^t)dsdt, les intégales du membe de doite potant maintenant toutes les deux su T(F4)/Z(F^). L'intégale double du membe de doite ne dépend que de Ç=P(^i : T) et nous noteons H(Ç : /: T) sa valeu. Nous pouvons donc écie : (2) K,(5, t)dsdt = ^ H(Ç : / : T), ÇecN -1, ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

37 220 H. ACQUET puisque la fonction P paamétise les doubles classes égulièes et ses valeus, su les éléments égulies, sont tous les points de la classe cn associée au couple (G, T) moins le point 1 (Pop. (1.1)). Bien entendu l'intégale obitale H(Ç :/:T) est le poduit des intégales obitales locales : (3) H(^:./:T)=nH(^/,:T,). Pesque tous les facteus sont égaux à 1. En effet soit v une place de F qui n'est pas dans S ; supposons que /y soit la fonction caactéistique de ZyKy. Si v ne se décompose pas dans E, alos Ty est contenu dans ZyKy et l'intégale vaut 1. Si v se décompose dans E alos l'intégale locale vaut encoe 1 d'apès la poposition (5.7). (9.3) Passons à l'intégale du teme Ky. Il n'y a que deux doubles classes singulièes, T(F) et et(f). Il vient donc : (1) K,(s, t}dsdt=w\ f(t)dt+wl \f(st)dt,! où vol dénote le volume du quotient T(F^)/T(F)Z(F4) et chacune des intégales pote su le quotient T(F4)/Z(F4). (9.4) Passons à l'intégale du teme Kgp. D'apès (4), nous avons : (1) (ÏK^, t)dsdt=^\ol- 1 [f(gw^g)dg (x(det5)fs fx-^detqa; chacune des intégales su le quotient T(F4)/T(F)Z(F^) est 0 à moins que s -> ^(dets) ne soit tivial su T(F4) ; ceci est le cas si et seulement si /= 1 ou ^= }. L'intégale de Kgp se éduit donc à deux temes : (2) IÏK^(S, t)dsdt=vol- 1 vol 2 1~ f/(^c (det g)dg+ (f(g)dg\. En paticulie, choisissons comme dans (8.1) une place z de F non dans S, fixons les composants de / aux places autes que z et egadons l'intégale comme une fonction de f^. Alos l'intégale (5) est de la fome cf^(qz 1 ), où c est une constante. (9.5) Passons au teme Kgi. Il est nul si G n'est pas déployé su F. Supposons G déployé et evenons aux notations de (8.4). Nous avons : / + l 00 (1) K,(x, y) = (in)- 1 A(x, y, u)du, -ioo OÙ (2) A(x,}^)=E [p(f)e](x,j,u^)e(y,j\u^)-. ^îjî^y ^j LKV /^jv-^îj? ^ï M'-^\y->j^ x Notons que le sous-goupe compact maximal implicite dans la définition des séies d'eisenstein est maintenant le poduit des goupes Ky, avec KyZy=Ty si v est infinie. En 4 e SÉRIE - TOME N 2

38 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 221 paticulie la séie (2) est finie. Comme nous intégons su un ensemble compact nous obtenons : (3) Kei(5, t}dsdt = (in)- 1 [ A(u : f)du, où ( 4 ) A(i, :/)=E [pw](s,u^)ds E(j,u,x)-^. x../ Maintenant [p(/)e](x,y, u,^) est nul à moins que (^j ne soit Ky-in vaiante pou toutes les places v non dans S. En paticulie, choisissons comme plus haut une place z de F qui n'est pas dans S et se décompose dans E. Alos f=f 2.fz où / z est le poduit des /y pou v + z et ( 5 ) [P(/)E](X,7, ^ ^^(q^wmx. u, x). Il vient donc : (6) ïu5, t)dsdt=(2in)- 1 ( +IGO^(q.^AÇu : f^du, -ioo où A(u : f 2 ) est intégable, ésultat qui sea suffisant pou note objet. 10. L'identité fondamentale (10.1) Dans ce paagaphe F est toujous un cops de nombes, E une extension quadatique de F, T le caactèe quadatique attaché à E. Nous considéeons encoe le couple (G, A) fomé du goupe GL(2) et du sous-goupe des matices diagonales A ; nous fixeons un élément e du nomalisateu de A qui ne soit pas dans A. Nous noteons Ky le sous-goupe compact maximal usuel de Gy et nous supposeons s contenu dans Ky pou tout v. Nous nous donneons un ensemble fini S de places de F, contenant les places infinies, les places qui se amifient dans E, les places où v / n'est pas d'ode 0 et les places de caactéistique ésiduelle 2. Il sea commode de suppose que S a un nombe pai d'éléments. Soit X(S) l'ensemble des couples (G', T) dans X(E : F) tels que G' se déploie en dehos de S. Pou chaque (G', T') dans X(S) et chaque place y, nous choisions un sousgoupe compact maximal K^ de G[ de manièe que G'(F^) soit le poduit esteint des G^ pa appot aux K'y. Nous supposeons que si v ne se décompose pas dans E alos T^ est contenu dans K^. Pou tout v non dans S les mesues de T^nK'^/K'^nZ^ et Ay n Ky/KynZy sont 1. Nous fixeons un élément e' du nomalisateu de T' qui ne soit pas dans T' et nous supposeons que ' est dans K^ pou tous les v non dans S. Nous nous donneons une fonction lisse à suppot compact / su G(F4)/Z(F et, pou chaque (G', T') dans X(S), une fonction lisse à suppot compact /' su G'(F,4)/Z'(F4). Bien entendu ces fonctions seont supposées ête des poduits de fonctions locales. Nous feons de plus les hypothèses suivantes : (1) Soit v une place de S qui ne se décompose pas dans E. Alos /; est T^-biinvaiante. De plus si x est un élément de F^ difféent de 1 et 0, (G', T') un élément de X(S) et g' un élément de G[ tels que x=p(g' : Ty) alos (cf. 4) : H(x:/,:îi,)=H(^:/;:T;). ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

39 222 H. ACQUET (2) Soit v une place de S qui se décompose dans E. Alos /y est Ky-finie et /y' K.î,-finie. Soit g un élément A,,-égulie de G^. Si (G', T')eX(S) et g'eg^ sont tels que alos : P(^:A,)=P(^:T^) (0 H(^ :./,: A,) =H(^':/,':T;.); (") L(^)^= [/;%)<; (in) \U a,)da,= \f^'t',}dt',. (3) Si v n'est pas dans S alos /y est Ky-biinvaiante, fj K^-biin vaiante et tout isomophisme du couple (G,,, K,.) su le couple (G;., K^.) tansfome /,. en /;.'. (4) Remaque. Dans la situation de la condition (2) il existe un isomophisme du couple (G,,, Ai.) su le couple (G[,, Ty'). La condition (2) est satisfaite si nous penons pou /y' l'image de /,, pa cet isomophisme. En effet cela est clai pou (2.1) et (2.n). Pou (2.»f), l'intégale du membe de doite ne change pas si nous emplaçons 8' pa l'image de 8 pa Fisomophisme en question et alos note assetion est évidente. A la fonction / est associé le noyau cuspidal K^ pou le goupe G. De même, pou chaque (G', T), à la fonction /' est associé le noyau cuspidal K^ pou le goupe G'. Nous allons dans ce paagaphe démonte le ésultat suivant : THÉORÈME. - Aec les hypothèses et notations pécédentes : (4) f[k,(a, b) (det b)dad b = E ffïc^, t)dsdt, (G', T')eX(S). (G'.T') (10.2) Pou pouve note identité nous écions, comme dans les paagaphes 7 et 9 : (1) Kc== K,.+ K., Ksp Kei, (2) K;=K;+K:-K^-K,. Nous pouveons d'abod les identités suivantes : (3) \\K,(a,b)}(deib)dadb= E \\K^t)dsdt, (G'.T') (4) K,(a, fc) (det b)dad b = ^ K;(s, t )dsdt. (G',T') Supposons ces identités démontées et montons comment le théoème en découle. Considéons la difféence : (5) f K,(a, fo) (det b)dadb- ^ HK^ t)dsdt. (G',T') 4 e SÉRIE - TOME N 2

40 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 223 Vues (3) et (4) elle s'écit : - ffk^,fc)îi(detfc)^fc+ E (SK^t)dsdt (G^T-) - \\K^b){(detb)dadb+ ^ K^(5,0^. (G',T') Rappelons que pou le goupe G il s'agit d'intégales faibles. Choisissons maintenant une place z de E qui ne soit pas dans S et qui se décompose dans E. Fixons les composantes de / et des /' aux autes places. A la place z les tansfomées de Satake de f^ et des // sont les mêmes. Nous pouvons donc egade nos intégales comme fonctions de //. Alos d'apès (8.1), (9.3) et (9.4) la somme ci-dessus a la fome (6) f c )(0/z A (^2l( )A+c/, A (^l), 00 où ( ) est intégable. On finit la démonstation comme dans [L] en utilisant le fait que les intégales de Kç et K[ ont aussi la fome : (7) E^^o, ( où les nombes complexes t sont, soit su le cecle unité, soit su l'axe éel ente q^1 et q^ et la séie des a^ est absolument convegente. L'unicité de la décomposition d'une mesue en une mesue atomique et une mesue continue entaîne que la difféence (5) est en fait nulle. (10.3) Pouvons l'égalité (10.2.3). Le membe de gauche s'écit : EH(Ç:/:TI), ç Ç^0,l, tandis que le membe de doite s'écit comme une somme double : Z EH(^: /':T') (G',S') Ç la somme intéieue potant su tous les Ç dans la classe cn, pivée du point 1, déteminée pa le couple (G', T'). Nous pouvons ecombine les deux sommes et écie le membe de doite comme une somme EH(Ç:/':T), ç ÇeN(S)-l, en désignant pa N(S) la éunion des classes cn déteminées pa les éléments de X(S). D'apès la théoie du cops de classe les éléments de F" N(S) sont exactement les Ç dans F^ qui satisfont à la condition suivante : il existe une place v de F, qui n'est pas dans S, qui ne se décompose pas dans F et qui est telle que Ç ne soit pas une nome de l'extension quadatique Ey de Fy. D'apès la Poposition (5.1) nous avons, pou un tel Ç, H(Ç : /y : i,)=0 si v est la place en question. Il en ésulte que H(Ç : /: T )=O. Il suffia donc de démonte l'égalité des intégales obitales H(Ç : / : T ) et H(Ç : /' : T') si Ç est dans N(S). Décomposons ces intégales en poduits d'intégales locales H(Ç : /y : y) et H(Ç : f[ : T^) espectivement. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

41 224 H. ACQUET Pou v dans S l'égalité de ces intégales ésulte des hypothèses (1) et (2). Pou v non dans S l'égalité ésulte de l'hypothèse (3) et de la poposition (5.1). L'égalité des intégales obitales globales, et la fomule (3), sont donc établies. (10.4) Pouvons maintenant l'égalité (10.2.4). Nous pouvons utilise la fomule (7.3.7) pou calcule le membe de gauche et la fomule (9.3.1) pou calcule le membe de doite. L'égalité (10.2.4) sea alos conséquence des deux égalités suivantes : (1) H(n+ :/: îi)+h(n- :/: îi)= I vol (T'(F^)/T'(F)Z'(F^)) \f\t)dt^ (G'.T') (2) H(e^ :/ : îl) + H(sn- :/ : ît) = Z vol (T{ ^IT( )Z\ ^ ff^t)dt. (G',T') La deuxième identité ésulte de la pemièe identité appliquée à la fonction /i définie pa f^(g)= f(sg) et aux fonctions f\ définies pa f\{g)= f\^g\ II est en effet facile de véifie que les conditions (10.1.1) à (10.1.3) sont satisfaites pa /i et les /i. Pouvons donc la pemièe identité. Calculons le membe de doite de (1). Intoduisons un idèle difféentiel a de E et b de F. Le polongement analytique de l'intégale de Tate f (3) \^(t)\tmt)dt, / où (() est une fonction de Schwatz-Buhat, pend au point 5=0 la valeu : L(0, )n ^(MQdtM^,)- 1 fi <t>.(0) I ^ \ 112, vet uev où T est l'ensemble des places de F qui ne se décomposent dans E et V l'ensemble de celles qui se décomposent. Appliquons cette fomule aux fonctions ())+ et ( )_ définies pa : ^(x)= [f\a ^ ^ L, ^_(x)= f/l ^ ^ ~L, ^A(F/Z(F, aea(f/z(f^). Les composants locaux de ( )+ et (()_ sont définis de manièe analogue en temes des composants locaux de / Alos le membe de doite de (1) n'est aute que la somme des valeus des intégales de Tate (3) de ( >+ et ( )_ au point s==0. De plus nous avons évidemment pou chaque v dans V : ^ +,(0) = ^ _,(0) = /,(a,)da,, fl,ga,/z,. D'aute pat pou chaque v dans T les valeus au point 0 des intégales de Tate de 4)+y 4 e SÉRIE - TOME N 2

42 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 225 et ())-y ne sont autes que les intégales obitales singulièes des points n+ et n_. Posons donc pou simplifie les notations : My== fv(^v)àa^ pou v dans V, My+ =2H(n+ : /y : y) pou v dans T. Alos le membe de gauche de l'égalité (1) s'écit : (4) L(0, n)]"! 1/2L(0, ^-'n \ a, \ 1 ' 2 x Y\ M, T[ M^ + n M,-]. T V V T T Remaquons que dans chacun des poduits infinis pesque tous les facteus sont égaux à 1. Passons au second membe de (1). Le volume qui y appaaît n'est aute que 2L(1, T ), comme il est bien connu. L'intégale est évidemment le poduit des intégales locales analogues : f/w=n fyx)a.. Si v est dans V, l'intégale locale n'est aute que My d'apès l'hypothèse ( »). Si v est dans T alos l'intégale est égale à vol CW)- 1 1/2 [M,- + TI,(C)M^ ] d'apès la poposition (4.1) et la poposition (5.1). Le volume qui appaaît dans cette fomule n'est aute que b^ \ 112 \ a^ l"^2, où w est l'unique place de E au-dessus de v. Au total le membe de doite de (1) est égal au poduit suivant : (5) 2L(1, T1) E H 1/2L(0, îi,)- 1 n 1 ^ 112 \ a, \^\\ M^ 1/2 [M,- +îl,(c)m,_ ]. cen(s)/n yet vet vev vet En compaant avec (4) nous voyons qu'il suffit de pouve les égalités suivantes : (6) ^0^)T\\a^2=L(l^)T\\b^\- l f 2 \a,^2, vev i7et (7) [M^+[M,_=2 E ni/2[m,-+^(c)m^]. ve vet cen(s)/n vet L'égalité (6) ésulte aussitôt des équations fonctionnelles des fonctions L(s, 1g) et L(s, lp) et leu elation avec L(s, T ). Passons à l'égalité (7). Pou uet S nous avons i,(c)=l d'apès la définition de N(S) et My+=My- (Pop. (5.1)); de plus, pou pesque tous les et V, My+=My-=l. En posant U=TnS, nous voyons que l'identité (7) se éduit à : im^+nm,-=2 E vev ve\ cen(s)/n vev ni/2[m,-+îi,(c)m^]. Soit H le goupe {1, -1 ^ Pou chaque v dans U définissons un caactèe ^y de H pa la fomule XyW^v Soit H' le sous-goupe de H défini pa l'équation FI ')Lv(h)=l. Alos veu ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

43 226 H. ACQUET l'application c -> (i^(c)) définit une bijection de N(S)/N su H'. Avec cette notation la fomule à pouve s'écit nm^+nm,-=2e ni/2[m,-+x.wm^]. yeu ceu heh vev Comme [H : ^]=2[H' : e\ le membe de doite s'écit : [H'I^-^E nx.wnm^ n M,-, ^v- Y hew yey ey ueu - Y où la somme extéieue pote su tous les sous-ensembles Y de U. Le caactèe Y[ ^ a vey une estiction non tiviale à H', à moins que Y ne soit vide ou égal à U. Dans la somme pécédente, il n'y a donc que les temes coespondant à l'ensemble vide et U ; ceci nous donne note égalité. 11. Le ésultat de Waldspuge (11.1) Nous allons finalement démonte le ésultat de Waldspuge en utilisant l'identité du paagaphe 10. Nous désigneons pa S un ensemble fini de places de F satisfaisant les conditions du paagaphe 10. Comme nous pouvons pende S abitaiement gand, il n'y aua aucun inconvénient à ne considée que des epésentations cuspidales de G non amifiées en dehos de S, des couples (G', T) appatenant à X(S) et, pou un tel couple, des epésentations cuspidales de G' non amifiées en dehos de S. Nous noteons K (esp. K^) le poduit des sous-goupes compacts Ky pou tous les v (esp. tous les v non dans S) et G s le poduit esteint des Gy pou v non dans S. Pou un couple (G', T') dans X(S) les notations K', K' 5 et G' 8 ont une signification analogue. Pou pécise la pemièe condition de Waldspuge emaquons que si les intégales ^{d)da ^(a)da et \ ^(bc)[ (detb)db ne sont pas nulles pou un couple de vecteus lisses, elles ne sont pas nulles pou un couple de vecteus K-finis (4), ( )') ; de plus si S est assez gand, alos <() et ((/ sont K^-invaiants. De même s'il existe un couple (G', T') dans X, une epésentation cuspidale K' et un vecteu lisse ( ) dans l'espace de 71' tels que l'intégale <^{t)dt ne soit pas nulle, alos nous pouvons pende < ) K'-finie ; de plus, si S est assez gand, (G', T') est dans X(S) et ^ invaiante sous K'^ (11.2) Considéons donc un ensemble S et des fonctions / et /' satisfaisant les conditions du paagaphe 10. En paticulie /y (esp. /y') est biinvaiante sous Ky (esp. K^,). Considéons le noyau K^.. Nous pouvons l'écie : (1) K,=EK,, où, pou chaque epésentation automophe cuspidale (non amifiée en dehos de S) TI, nous avons posé : (2) K^,^)=Ep(/)(h/x)( )7(^), 7t 4 e SÉRIE - TOME N 2

44 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 227 ( )y dénotant une base othonomale du sous-espace des vecteus K^-invaiants dans l'espace de n. Nous supposeons les (^>j K-finies. La séie (1) convege non seulement dans l'espace de Hilbet des fonctions de caé intégable su le quotient G(F^)/G(F)Z(F^), mais aussi dans l'espace des fonctions à décoissance apide su le quotient G(F^)/G(F)Z(F4). De plus, puisque /y est Ky-finie pou v infinie, la séie (2), pou un / donné, n'a qu'un nombe fini de temes non nuls. Désignons pa H(S) l'algèbe de Hecke du goupe G s elative au sous-goupe K 8. Écivons / = /s/ 8, où /s (esp. / s ) est le poduit des /y pou v dans S (esp. non dans S). Soit A^ le caactèe de H(S) attaché à une epésentation n. Alos nous avons : (3) iïk,(a, fc)ît (det b)dadb= E a(7i, fs)^), " où nous avons posé : (4) a(7c, /s)=s p(/s)w^ (^Wn (det b)db. (11.3) Con^idéons"xle même un couple (G', S') dans X(S). Nous avons encoe une décomposition (1) K^EK,., V.' (2) K,,(x, y)= S p(f')w^(y), où <^)j est une base othonomale de l'espace des vecteus K^-invaiants de 71. La séie (1) convege encoe dans l'espace des fonctions à décoissance apide et la séie (2) est finie. En intégant teme à teme nous touvons : (5) (ÏK^, t)dsdt=a(n\ fs^f), où nous avons posé (6) a(n\ fs)= E P(/)W5 ^(t)dt. L'intégale totale est donc : [ÏK^, t)dsdt=^a(k\ /soa^/' 8 ). (11.4) Utilisons maintenant note identité fondamentale. Remaquons que si n' est une epésentation cuspidale de G' et n la epésentation cuspidale de G qui lui coespond, alos An(fs)==^Afs)' Puisque TT' détemine K nous pouvons écie a(n,fs) pou a(n\ fs\ D'aute pat, pou une epésentation n donnée pou le goupe G, il sea commode de pose a(n, fs) = 0 s'il n'existe pas de epésentation TC' pou G' coespondant à TÏ. Alos note identité fondamentale s'écit : (i) E^/s)^,/ 8 )^ E E^/s')]^,/ 8 ). n n (G',T) Dans cette fomule / s est un élément abitaie de H(S). Soit v une place dans S. Alos ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

45 228 H. ACQUET la fonction /y est abitaie Ky-finie. La fonction /y' est eliée à /y pa les conditions (10.1.1) ou (10.1.2). Si se décompose // est en fait abitaie K^-finie {cf. (10.1.4)). Si au contaie v ne se décompose pas, alos // n'est plus abitaie mais satisfait à une condition de densité : si une fonction h continue su Gy/Zy est bi-ty-invaiante et othogonale à toutes les fj possibles alos h est nulle (Pop. (4.2)). Supposons que n satisfasse à la pemièe condition de Waldspuge ; alos il existe des vecteus K-finis ( ) et ( / dans l'espace de n tels que : ^{d)da (KûQA^O ^ 0 et ( )'(fc) (det b)d b ^ 0, «/ et nous pouvons suppose ((> et ( / K^invaiants. Choisissons la base 4>j de telle sote que (j) i = ( )' 11 ( )' Il existe /s ^ll 6 q^ P(/s) ^ i =^et PC/s)^./ = 0 si 7 ^ 1. Alos nous avons O(TC, /s) = (M^ <l>iwî1 (det b)db\ ^ 0. D'apès le pincipe de l'indépendance linéaie «infinie» des caactèes de H(S) ( [L ], p. 211), il existe au moins un (G', T) tel que a(n, fs) ne soit pas nul. Il en ésulte évidemment qu'il existe au moins un <() dans l'espace de 71' tel que (^(t)dt ne soit pas nulle. Ainsi n satisfait à la seconde condition de Waldspuge. " Supposons maintenant qu'il existe un couple (G', T'), une epésentation 71' et un vecteu K'-fini 4> dans l'espace de TT' tels que l'intégale ^{t)dt ne soit pas nulle ; nous pouvons suppose que (G', T') est dans X(S) et ^ est invaiante sous K' 8. Nous allons voi que nous pouvons choisi fs de manièe que a(n\fs) ne soit pas nul. L'intégale su T définit une fome linéaie continue su l'espace des vecteus lisses de 71' fixés pa K'^ Écivons-la comme le poduit scalaie avec un vecteu «généalisé» e^ : L(OA=((MT). Si h est une fonction lisse à suppot compact su Gg/Zg, alos 7ï'(/î)(^) est défini : c'est un vecteu lisse tel que (((), K\h)ej)={n\h*)^>, ej) pou tout vecteu <(), lisse ou non. Avec cette notation nous avons : açns^ws^e^). Le sous-espace de 71' fomé des vecteus K^-invaiants est isomophe au poduit tensoiel des espaces des n^ avec v dans S. Pou chaque v dans S, il existe une fome linéaie continue non nulle e^ su l'espace des vecteus lisses de n^ qui est invaiante sous T,;. Cette fome est unique, à un facteu scalaie pès (cf. (6.1) et (6.2)), et nous pouvons donc écie : a(7i', fs)=ws)e^ ^)=Cn (^0')^ ^), où C est une constante non nulle. Il s'agit de voi que nous pouvons choisi /y' de telle sote que (7iy(/i/)^y, e^) ne soit pas nul. C'est évident si v se décompose puisque /y' 176S 4 e SÉRIE - TOME N 2

46 RESULTAT DE WALDSPURGER 229 est alos abitaie K^-finie. Si v se décompose e^ est en fait un vecteu odinaie puisque Ty est compact. Alos (n^)e^ e^) est le poduit scalaie de la fonction /y' avec le coefficient maticiel continu (n\g)e^ e^) ; il ne peut donc ête nul pou tout choix de / ' d'apès la popiété de densité des /;. D'aute pat si (G", T") est un aute élément de X(S), alos ^/s") = 0 ; autement il existeait au moins une place v dans S où les goupes G^ et G'y' ne sont pas isomophes et les epésentations < et <' admettent des vecteus non nuls invaiants sous Ty' et T' espectivement. O ceci est impossible (Poposition (6.3)). Le coefficient de A^ dans le second membe de (1) est donc non nul, pou un choix convenable de /s' (i. e. /s). Il en ésulte comme plus haut que a(n, fs) n'est pas nul. Cela implique évidemment que n satisfait à la pemièe condition de Waldspuge. Ceci temine donc la démonstation de l'équivalence des deux conditions de Waldspuge. BIBLIOGRAPHIE [D.-M.]. DIXMIER et P. MALLIAVIN, Factoisations de fonctions et vecteus indéfiniment difféentiable (Bull. Se. Math., II, Sé. 102, p ). [.-L.] H. ACQUET et R. LANGLANDS, Automophic Foms on GL(2) (Lectue Notes in Math., n 114, Spinge Velag, 1970). [L] R. LANGLANDS, Base Change fo GL(2) (Annals of Mathematics Studies, 96, Pinceton Univesity Pess). [Wl].-L. WALDSPURGER, Coespondance de Shimua (. Math. pues et appl., vol. 59, 1980, p ). [W2].-L. WALDSPURGER, Coespondance de Shimua et Quatenions, peint. [W3].-L. WALDSPURGER, Su les valeus de cetaines fonctions L automophes en leu cente de symétie, pepint< 19 p, 1 p3>. (Manuscit eçu le 15 mai 1984, Hevé ACQUET, Columbia Univesity, Depatment of Mathematics, New Yok, N. Y , U. S. A. évisé le 30 mai 1985 )- ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE