ANNALES SCIENTIFIQUES DE L É.N.S.

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1 ANNALES SCIENTIFIQUES DE L É.N.S. HERVÉ ACQUET Su un ésultat de Waldspuge Annales scientifiques de l É.N.S. 4 e séie, tome 19, n o 2 (1986), p <http://www.numdam.og/item?id=asens_1986_4_19_2_185_0> Gauthie-Villas (Éditions scientifiques et médicales Elsevie), 1986, tous doits ésevés. L accès aux achives de la evue «Annales scientifiques de l É.N.S.» (http://www. elsevie.com/locate/ansens), implique l accod avec les conditions généales d utilisation (http://www.numdam.og/legal.php). Toute utilisation commeciale ou impession systématique est constitutive d une infaction pénale. Toute copie ou impession de ce fichie doit conteni la pésente mention de copyight. Aticle numéisé dans le cade du pogamme Numéisation de documents anciens mathématiques

2 Ann. scient. Éc. Nom. Sup.. 4 e séie, t. 19, 1986, p. 185 ù 229. SUR UN RÉSULTAT DE WALDSPURGER ( 1 ) PAR HERVÉ ACQUET 0. Intoduction (0.1) Nous allons donne une nouvelle démonstation d'un ésultat emaquable de Waldspuge ([W3], Théoème 2). La démonstation de Waldspuge epose su les popiétés de la epésentation de Weil. La nôte epose su une vaiante de la fomule des taces. Nous espéons qu'elle ne sea pas sans intéêt. Rappelons d'abod le ésultat. Soient F un cops de nombes, E une extension quadatique de F, T le caactèe du goupe des classes d'idèles de F attaché à E. Regadons le goupe GL(2) comme un goupe algébique G défini su F ; soit Z son cente. Soit A un toe déployé maximal dans G, disons, pou fixe les idées, le goupe des matices diagonales. Soit n une epésentation cuspidale automophique du goupe G(F^), tiviale su le cente Z(F^). Nous dions que n satisfait à la pemièe condition de Waldspuge (en abégé Wl) s'il existe des fomes automophes 4>i et 4>2 dans l'espace de n telles que les intégales suivantes soient non nulles : (1) \^(à)da, L^)TI (det a)da, aea(f^)/z(f. j Intoduisons d'aute pat l'ensemble X(E : F), ou simplement X, des classes d'isomophismes de couples (G', T'), où G' est une fome intéieue de G et T' un toe maximal de G', isomophe su F au goupe multiplicatif de E. Rappelons qu'un tel couple s'obtient au moyen d'un couple (H, L), fomé d'une algèbe simple H de ang quate su F et d'un sous-cops L de H F-isomophe à E, en penant pou G' le goupe multiplicatif de H et pou T' celui de L. Le cente de G' sea noté Z'. Nous identifieons l'ensemble X à l'un de ses systèmes de epésentants. Notons aussi X(n) l'ensemble des tiplets (G', T', 71'), où le couple (G', T') est dans X et TT' est une epésentation automophe cuspidale de G'(F^) eliée à n pa la condition de [-L], Th. (15.1) ; celle-ci, appelons-le, s'énonce encoe ainsi : il existe un ensemble fini S de places de F tel que, pou v non dans S, les goupes Gy et G'v soient isomophes et les epésentations Tiy et < équivalentes, apès identification des deux goupes. Nous dions que n satisfait à la ( 1 ) Patially suppoted by N.S.F. Gant MCS ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE /86/ /S 6.50/ Gauthie-Villas

3 186 H. ACQUET deuxième condition de Waldspuge (W2) s'il existe un tiplet (G', T, TT') dans X(n) et une fome automophe ^ dans l'espace de TT' telle que l'intégale suivante soit non nulle : (2) f(mo^ tët(f/z'(f^). / Alos : THÉORÈME (Waldspuge). Les conditions Wl et W2 sont équivalentes. (0.2) Indiquons les gandes lignes de note démonstation. Tout d'abod nous pouvons identifie l'ensemble des doubles classes A\G/A avec la éunion disjointe des doubles classes T'\G'/T'( 1). A vai die pou avoi cette identification il nous faut nous limite aux doubles classes «égulièes». Cela nous conduit à considée une fonction lisse à suppot compact / su G(F^)/Z(F^) et, pou chaque (G', T'), une fonction lisse à suppot compact /' su G'(F^)/Z'(F^). En fait /' sea nulle pou pesque tous les (G', T'). A la fonction / est associé le noyau cuspidal K(. et de même à chaque fonction /' est associé un noyau cuspidal K^. Les conditions imposées su ces fonctions sont telles que ( 7 à 10) : 1K,(a,b)da[(deib)db= E K^(s, t}dsdt, (1) (G',T) a, foea(f^)/a(f)z(f^ s, tët'(f^)/t'(f)z'(f^). La elation ente / et les /' est comme suit. Bien entendu ces fonctions sont des poduits de fonctions locales. Si v est une place de F qui se décompose dans E alos pou tout (G', T') les goupes G[ et Gy sont les «mêmes» et nous penons pou /y et / la«même» fonction. Supposons au contaie que v se décompose. Alos l'ensemble X(Ey : F est encoe défini mais il est éduit à deux éléments (Gyi, T^), i= 1, 2, avec Gyi déployé. Nous pouvons encoe identifie les doubles classes égulièes de A^ avec la éunion disjointe des doubles classes égulièes de Ti et T^. Nous montons que pou une fonction / donnée il existe des fonctions fi su Gi telles que iï/(^fo)dmudet b)db= f(f^t)dsdt, a, hea^/z,,, 5, et^/z^, si g coespond à g' ( 2 à 4) (L'énoncé exact est un peu difféent puisque le membe de gauche n'est pas tout à fait une fonction su l'ensemble des doubles classes). Si de plus la situation est non amifiée et /y est une fonction de Hecke alos nous pouvons pende et penons /i =fv et f^ =0 ( 5). La condition est maintenant que fi=fi si G^= G^. Le ésultat de Waldspuge découle facilement de l'identité (1) (cf. 11). Le paagaphe 6 contient des ésultats auxiliaies. La méthode de démonstation de la fomule (1) est basée su une généalisation de la fomule des taces qui peut s'énonce comme suit. Soit G un goupe semi-simple défini su F et A, B des sous-goupes de G définis su F, ^ et [i des caactèes de A(F^)/A(F) et 4 e SÉRIE - TOME N 2

4 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 187 B(F^)/B(F) espectivement. Donnons-nous une fonction / su G(F^)/G(F) lisse à suppot compact et calculons l'intégale suivante : iï K,(a, b)ua)[i(b)dadb *) v où Kc est le noyau cuspidal attaché à/ce noyau a une expession compliquée qui contient en tout cas la somme : E/(^~ 1^), ÇeG(F). Choisissons un système de epésentants pou les doubles classes des goupes A(F) et B(F). D'aute pat si T est un élément de G(F) notons H^ le sous-goupe de A x B fomé des paies (a, P) telles que a" 1^? = T. Alos tout élément de G(F) peut s'écie uniquement sous la fome : Ç = a-^p, ea(f)\g(f)/b(f), (oc, P)eH,(F)\A(F) x B(F). En imitant le calcul fomel usuel nous aivons aussitôt à l'expession suivante pou l'intégale ci-dessus : E Vol (H,(F)\H(F^) [[na-^uawdadb, ^ aea(f)\a(f^), beb(f)\b(f, la somme potant su tous les T( tels que À,(û)a(fc)= 1 si a~ l b= 1. Bien entendu nous avons ignoé les poblèmes de convegence et l'existence des autes temes dans l'expession pou Kc. (0.3) II me este à emecie l'institute fo Adavanced Study et ses membes pemanents pou leu hospitalité, la majeue patie de ce tavail ayant été écite duant mon séjou à l'institute, à l'occasion de l'année spéciale su les fonctions L. En paticulie je emecie Langlands pou l'intéêt qu'il a pis à ce tavail. Enfin je dois beaucoup de econnaissance à Piatetski-Shapio qui était aussi à l'institute la même année. Sa connaissance appofondie de l'œuve de Waldspuge m'a été tès utile ; de plus une convesation avec Piateski-Shapio a été le point de dépat de ce tavail. 1. Doubles classes (1.1) Dans ce paagaphe F sea un cops quelconque, disons de caactéistique zéo, et E une extension quadatique de F. Nous noteons N(E : F) ou simplement N le sousgoupe des nomes de E dans le goupe multiplicatif de F. L'ensemble X(E : F) ou simplement X intoduit au paagaphe est encoe défini. Considéons l'un de ses éléments (G, T). Il existe donc une algèbe simple H de ang 4 su F et un sous-cops L de H isomophe à E tels que G soit le goupe multiplicatif de H et T celui de L. Nous nous poposons de donne une paamétisation des doubles classes T\G/T. A cet effet choisissons ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

5 188 H. ACQUET un élément s du nomalisateu N(T) de T qui ne soit pas dans T. Alos tout h dans H s'écit de manièe unique sous la fome : (1) /î=/îi+8^2î avec h^el. D'aute pat, si z -> z~ désigne l'unique F-automophisme non tivial de L alos : (2) eze"^-. Le caé c = s 2 est dans Z, ou, autement dit, dans F. De plus la classe de c module N est déteminée pa la classe d'isomophisme du couple (G, T) et, écipoquement, la détemine. Définissons deux involutions j^ et j~ de H pa les fomules : (3) j ± ( n } = n! ± ^2 avec n comme dans (1). Il est facile de véifie que ce sont les seules involutions de H qui induisent su L l'unique F-automophisme non tivial de L. Pou h dans G nous poseons : WlTÇhj^h)) (4) X(h}= (112T(hj-(h)Y Comme le dénominateu de cette faction n'est aute que la nome éduite de h, X(h) est un élément bien défini de F ne dépendant que de la double classe de h modulo T. Nous intoduions aussi la fonction P(h : T) ou simplement P(h} définie pa ^ (5) ou encoe x^ l+m ^^T^iw' (6) P(h)=ch^(h,h,)-\ c=e 2. Ainsi P est une fonction à valeus dans la doite pojective qui est constante su les doubles classes de T dans G. Remaquons toutefois que d'apès la fomule pécédente, si P(h) n'est ni zéo ni infini, alos c'est un élément de la classe cn déteminée pa le couple (G, T). De plus P(h) ne peut ête égal à un, ca cela donneait X(h) infini. Nous dions que h (ou sa double classe) est T-singulie si P(h} est zéo ou l'infini, T-égulie dans le cas contaie. PROPOSITION. Deux éléments h et h' de G ont la même double classe modulo T si et seulement si P(h)=P(h / ). De plus si x est dans cn et difféent de 1 alos il existe un h dans G telquep(h)=x. La démonstation est laissée au lecteu. (1.2) La poposition suivante justifie l'emploi de l'adjectif T-égulie : \\ PROPOSITION. Supposons h T-égulie. Alos les elations entaînent sht=hz, sez, tëz, La démonstation est laissée au lecteu. set, tët, zez st==z. 4 e SÉRIE - TOME N 2

6 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 189 (1.3) Ce qui pécède s'applique «mutatis mutandis» à un couple de la fome (G, A) où G est le goupe GL(2) et A un toe déployé maximal, disons le goupe des matices diagonales dans G. Alos H est l'algèbe des matices 2 pa 2, L la sous-algèbe des matices diagonales et nous pouvons pende = c=l. Les fonctions X et P(. : A) (ou simplement P) sont définies comme plus haut. En paticulie : P(h)=bc{ad)~ 1 si h= \c d\ Elles sont constantes su les doubles classes de A dans G. A nouveau P ne peut pende la valeu 1. Nous dions encoe qu'un élément h de G est A-singulie si P(h) est zéo ou l'infini, A-égulie dans le cas contaie. Il y a maintenant 6 doubles classes A-singulièes : les classes su lesquelles P pend la valeu zéo : (1) T, Tn+T, Tn-T, ou n+ = n- = et les classes su lesquelles P pend la valeu infinie : (2) T, Ten+T, Te^-T. Ainsi P ne pemet pas de distingue ces classes l'une de l'aute. Toutefois P sépae les classes A-égulièes : PROPOSITION. Soient h et h' des éléments A-égulies de G. Alos h et h' sont dans la même classe si et seulement si P(h) = P(h'). Si x est dans F difféent de 1 et 0, alos il existe un élément A-égulie h tel que P{h)=x. Nous laisseons la démonstation au lecteu. (1.4) Nous avons aussi l'analogue de la poposition (1.2) : \ PROPOSITION. Supposons h A-égulie. Alos les elations entaînent ahb=hz, aez, bez, Nous laisseons la démonstation au lecteu. oea, bea, zez ab=z. 2. Intégales obitales : cas d'un toe compact (2.1) Gadons les notations du paagaphe 1 mais supposons maintenant que F soit un cops local. Alos T/Z est compact. Choisissons une fois pou toutes un caactèe additif non tivial v / de F. Munissons le goupe additif F de la mesue dx auto-duale pou le caactèe v /, le goupe multiplicatif F" de la mesue L(l, lp) x\~ l dx (mesue de Tama- ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

7 190 H. ACQUET gawa elative à \ /). Munissons de même le goupe multiplicatif E" de la mesue de Tamagawa elative au caactèe \ /ot. Pa tanspot de stuctue nous obtenons des mesues su T et Z. Munissons T/Z de la mesue quotient. Soit / une fonction lisse à suppot compact su G/Z. Posons : (1) HQ :/ : T)=!Sf(sgt)dsdt, 5, tët/z. II est clai que îî(g : / : T) ne dépend que de la double classe de g modulo T. Soit x un élément de F". S'il existe g dans G tel que P(g : T) = x, nous poseons H(x : / : T) == îî(g : / : T). Sinon nous poseons H(x : / : T)=0. Nous obtenons ainsi une fonction H(/ : T) su F" et nous nous poposons de caactéise les fonctions H su F" qui sont de la fome H == H(/ : T) pou une fonction / appopiée. (2.2) Considéons donc une fonction H == H(/: T). Pa définition H s'annule, donc est lisse, su le complémentaie de cn. Considéons un point x de la fome P(h : T). Comme la nome est une application submesive de E" dans F", l'application g -> P(g:T) est a fotioi submesive au point h. Il en ésulte que H est lisse au point x. Finalement supposons que 1 soit dans cn (c'est-à-die que le goupe G soit déployé); nous pouvons alos suppose que c==l. Nous allons monte que H est nulle au voisinage de 1. Puisque / est à suppot compact modulo Z, il existe un sous-ensemble compact C de G tel que îî(g : f : T) ^ 0 entaîne ^etct. Il suffia donc de monte l'existence d'un nombe K tel que la elation getct entaîne P(g : T) l >K. Supposons qu'il n'existe pas de tel nombe. Alos il existeait une suite gi d'éléments de TCT telle que P(gi : T) tende ves 1. Quitte à agandi C et à multiplie les éléments de la suite pa des éléments de T nous pouvons suppose que ^. = l + st, = C(L, avec ti dans T, c, dans C et z, dans Z. Alos P(^:T)=^-=1+^et a, tend ves zéo. D'aute pat nous avons : det g, == - a, et det g, = (z,) 2 det c,. Donc 7.1 tend ves zéo. Il en est donc de même de gi. Comme la pojection de gi su L est 1 cela nous donne une contadiction. (2.3) Examinons le compotement de la fonction H au voisinage de zéo et au voisinage de l'infini. Nous allons monte qu'il existe un voisinage U de 0 dans F et une fonction lisse A su U telle que : (1) H(x)=A(x)(l+ (cx)), pou xeu, (2) 2A(0)=vol(T/Z)f/()A. j 4 e SÉRIE - TOME N 2

8 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 191 De même nous monteons qu'il existe un voisinage U de 0 dans F et une fonction lisse B su U telle que : (3) H^B^Xl+iO-x)), pou x-^u, (4) 2B(0) = vol (T/Z) f(st)dt. En effet comme P(sg : T) = P(g : T)~ 1 nous avons :! f(ssgt)dsdt=h(x~1 :/:T) ou encoe H(x- 1 :/: T)=H(x :/' : T) avec /'(g)= /(eg). Il suffia donc de démonte les assetions elatives au point zéo. Il sea commode de taite d'abod le cas non achimédien. Penons un x dans cn. Alos x=cll~ d'où x=p{h) avec h == 1 + /. Nous pouvons donc écie : H(x:/:T)=iï/[^(l+sO,]AA ou encoe apès un changement de vaiables : (5) H(x:f:T)= \\f ll+s^maa. -H^Ï Comme / est lisse il existe un idéal V de E tel que pou / dans V nous ayons : f{g) = / [(1 +c0g] pou tout g. Il existe alos un idéal U dans F tel que ll~ eu soit équivalent à ev. Pou x dans cl nous avons donc H(x) = 0 si x n'est pas dans cn ; si au contaie x est dans cn alos x=cll~ avec? dans V et nous avons d'apès la fomule (5) : H(x)=vol(t/Z) (f(t)dt. Note assetion est alos immédiate. Passons au cas achimédien. Alos F est le cops des nombes éels et L le cops des nombes complexes. Posons K(x)==H(cx). Soit V un disque { z\zz~ < a} dans L tel que 1 + cv soit contenu dans G. Alos le second membe de (5) définit une fonction lisse su V, disons C(/), ne dépendant que de la nome de?. Nous avons K(x)=0 si x<0, K(x) = C(Q si x > 0 et x = II ~ avec l dans V. En paticulie la estiction de C à l'axe éel est lisse et paie et nous avons K(x)=0 si x<0, K(x) = C( y) si 0 < x < a et x = y 2 avec y éel. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

9 192 H. ACQUET Le contenu de note assetion est l'existence d'une fonction lisse D su F telle que D(x) = K(x) pou a > x > 0. Elle est donc conséquence d'un théoème de Whitney. (2.4) Les popiétés pécédentes caactéisent les fonctions H(/:T): PROPOSITION. Soit H une fonction su F x. Pou qu'il existe une fonction lisse à suppot compact f su G/Z telle que H = H(/ : T) il faut et il suffit que les conditions suivantes soient satisfaites : (1) H est nulle dans le complément de cn ; (2) H est nulle dans un voisinage du point 1 ; (3) il existe une fonction lisse A su un voisinage de 0 dans F telle que, pou x pès de 0, on ait : H(x)=A(x)(l+îi(cx)); (4) il existe une fonction lisse B su un voisinage de 0 de F telle que pou \ x \ suffisamment ^and on ait : H(C)=B(A- ^l+n^)). Enfin si f, A et B satisfont ces conditions alos : 2A(0)=vol(T/Z) f(t)dt, 2B(0)=vol(T/Z) f{st)dt. j Nous venons de monte que les conditions (1) à (4) sont nécessaies. Nous laisseons au lecteu le soin de monte qu'elles sont aussi suffisantes. La denièe assetion de la poposition a été pouvée au numéo (2.3). 3. Intégales obitales : cas d'un toe déployé (3.1) Dans ce paagaphe F est un cops local, E une extension quadatique, T le caactèe quadatique de x attaché à E, G le goupe GL(2) et A le sous-goupe des matices diagonales. Munissons encoe F" de la mesue de Tamagawa, (F^) 2 du poduit tensoiel des mesues de Tamagawa des facteus. Pa tanspot de stuctue nous obtenons une mesue su A. Munissons A/Z de la mesue quotient. Si / est une fonction lisse à suppot compact su G/Z et g est A-égulie dans G nous poseons : (1) îî(g : /: A)=H(^ : /: 1)= (Sf(agb)dadb, a, fcea/z, / / (2) H(g : /: )= f(agb)da-f} (det b)dadb, a, fcea/z. «/ La pemièe intégale ne dépend que de P(g: A) et nous noteons H(x: / : A) ou H(x: / : 1) sa valeu en un point g telle que P(g : A) = x. Nous poseons aussi H(l : j : A) = H(l :j : 1 ) = 0. Pou x dans F difféent de 0 et 1 nous définions une matice g{x) pa : (3) g{x)== 1 x e SÉRIE - TOME N 2

10 RESULTAT DE WALDSPURGER 193 Alos P(^(.v))=x de sote que nous avons défini une section de l'espace des doubles classes de A dans G. Nous poseons H{x : / : T ) = îî(g(x) : f : T ) si x est difféent de 1 et 0 ; H(.v : / : )=0 si.\-= 1. Posons : (4) ^= Notons N le goupe des matices tigonales stictes supéieues et N' le goupe des matices tigonales stictes inféieues. Alos nous avons un ecouvement de G pa deux ouvets : (5) G=ANN'uANwN. Nous pouvons donc écie / comme une somme /i +f^ où /i a son suppot dans le pemie ouvet et f^ dans le deuxième. Posons (6) <K<?)= \f(ag)da, aea/z et définissons de même ( )i et (^2- Alos ^ est invaiante à gauche sous A et à suppot compact modulo A. Il en est de même de <^i et ^2 ^ ^>=^i +< >2- De plus les fonctions Oi et <I>2 définies pa 1 u 1 0 (7) î>l(m,t))=( )i - - nl M X 0 1 V 1 (8) <D;i(M,î7)=(()2 sont à suppot compact su F x F. Comme (9) g(x) a O 0 1 a(l-x) 0 x 1 0 nous avons pou x difféent de 0 et 1 : 1 u 0 1 w a-^l-x)-^ 1 1 V 0 1 X i -x 0 0 a ] 1 0 a 1 X i 0 0(1-X)- 1 (10) H(x:/:A)= \<î»l[a~ ^ l (l-x)~ l x,a]d x a+ «,i \^[a(l-x)~ 1, a-^d^a 1 W 1 a Pou pouve la convegence de note intégale, nous pouvons suppose / positive. Alos le calcul pécédent est justifié. Dans le membe de doite de (10) les intégandes sont à suppot compact dans x et donnent donc des intégales convegentes. Ainsi H est convegente et égale à (10). De la même façon, nous avons, pou x difféent de 0 et 1 : (11) H(x:/:()= Ol[a- l (l-.v)- l x,û]^(a)^a+ ^[a(l-x)~\ a- 1 }^^. (3.2) Nous allons étudie les popiétés des fonctions H(/:T ). La fomule (3.1.11) monte déjà que ïî(x : F : T ) est une fonction lisse en tout point x difféent de 0 et 1. D'aute pat si <Di et <S>^ ont leu suppot dans l'ensemble des (x, y) tels que x \ < C, y \ < C alos dans la deuxième intégale nous avons, su le suppot de<s>2,\a(l x)~ 1 \ < C et a~ 1 \ <C ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

11 194 H. ACQUET ce qui donne :C~ 2 <\l x\silsi deuxième intégale n'est pas nulle. De même si la pemièe intégale n'est pas nulle nous touvons \(l x)~ l x\< C 2, ce qui implique aussi D < 1 x \ pou une constante D convenable. Il en ésulte que H(x : /: T ) est nulle au voisinage de 1. On peut donc considée la fomule (3.1.11) comme vaie pou tout x non nul. Étudions maintenant H(/ : T ) au voisinage de 0. Dans (3.1.11) la deuxième intégale est évidemment une fonction lisse de x au point 0. Pou étudie la pemièe intégale nous utiliseons le lemme suivant, dont la démonstation est laissée au lecteu : LEMME. Soit 0 une fonction de Sch\vatz-Buhat à deux vaiables. Alos il existe deux fonctions de Schv^atz-Buhat à une vaiable Ai et A^ telles que pou tout x difféent de 0 on ait : [(D^- 1^ a) (a)^=ai(x)+a2(x) (x). «/ Si F est éel et <D est donnée avec un suppot compact, on peut pende Ai et A 2 à suppot compact. Revenons à la pemièe intégale de (3.1.11). Avec les notations de la démonstation du lemme, l'intégale est égale à (3) Aiwi-A^+A.wi-A^nwi-A- 1 ). Si x est suffisamment pès de 0 alos 1 x est une nome et (x(l x) ~ 1 ) = (x). D'aute pat Ai(x(l x)~ 1 ) est une fonction lisse de x dans un voisinage de 0. Comme la deuxième intégale de (3.1.11) est évidemment lisse au point 0 nous en concluons que, dans un voisinage de 0, H(x : /: T ) a la fome suivante : (4) H(.v : /: )=Ai(.v)+A,(.v) (.v) où Ai, i= 1, 2, est lisse. Pou étudie H(x : / : T ) pou x \ gand emaquons que II en ésulte que -i ^x)=g(x- 1 ) ^ si = i o (3) H(.v- 1 : /: T )-H(.V : /: ) (.v) avec f\g)=f(eg). Il existe donc deux fonctions B;, i= 1, 2, définies au voisinage de 0 et lisses, telles que : (4) H(.v : / : Tj) = Bi(.v ( )+ B^(.v l ) (.v) pou x \ suffisamment gand. (3.3) En ésumé : PROPOSITION. Soit H une fonction su F-" telle qu'il existe une fonction lisse à suppot compact f su G/Z avec îî(x : f: )=H(x). Alos : (1) H est lisse su x ; (2) H s'annule su un voisinage de 1 ; (3) il existe un voisinage U de 0 et deux fonctions lisses A,, i= 1, 2, dans U tels que, pou x pès de 0, on ait : H(x)=Ai(x)+A2(x) (x); 4 e SÉRIE - TOME N 2

12 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 195 (4) il existe un voisinage U de 0 et deux fonctions lisses B,, i = 1,2, dans U ^k que, pou \ x \ assez gand, on ait : H(x)=B,(x- l )+B^x- l )}(x). (3.4) Nous allons discute la signification des valeus en zéo des fonctions A^ et B^ de la poposition (3.3). A cet effet appelons tout d'abod que, si <() est une fonction de Schwatz-Buhat su F, alos l'intégale : L(x)\x\ s d x x, ou plutôt son polongement analytique, a un pôle au point s=0; le ésidu en ce point a la fome C( )(0), où la constante C dépend du choix de la mesue de Haa su le goupe F x. D'aute pat l'intégale : f (KX) x I^Oc)^ a un polongement holomophe au point zéo et sa valeu en ce point sea encoe notée comme une intégale : Nous intoduions les quantités suivantes : (1) (2) (3) (4) H(n+:/: )= / - -R H(n-:/:ii)= / - H(en,:/: )= / -M - H(en-:/: )= / Lx) (x)^. a a a O 0 1 a X X 1 b b 1-1 b b 1 d x a[(b}d x b, d^wb, d x a[(b}d x b, d^wb. En généal ces intégales sont divegentes, mais on peut les intepéte comme il a été appelé ci-dessus. Pa exemple la pemièe intégale est la valeu au point 0 de la fonction méomophe qui, pou Res > 0, est donnée pa l'intégale convegente : (5) I/ a 0 1 b \dx av^b)\b\ s d x b. Remaquons toutefois que s i/a son suppot dans l'ensemble ouvet ANwN alos les intégales (1) et (2) sont convegentes. En fait l'intégale (1) est nulle puisque AN ne enconte pas ANwN. D'aute pat l'intesection de AN' avec un ensemble compact contenu dans ANwN est un compact disjoint de A. Il en ésulte que dans (2) l'intégande a suppot compact dans F" x F" et l'intégale convege donc tivialement. De même les intégales (3) et (4) convegent si/a son suppot dans ANN'. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

13 196 H. ACQUET (6) (7) (8) (9) PROPOSITION. Avec les notations ci-dessus et celles de la poposition (3.3) nous avons : H(n+:/: )=A2(0) H(n-:/: )=Ai(0) H(en+:/: )=Bi(0) H(en:/: )=B2(0). Démonstation. Démontons les assetions (6) et (7). D'apès (3.1), il suffit de faie la démonstation quand / a son suppot dans ANN' ou dans ANwN. Supposons d'abod que / ait son suppot dans ANwN. Alos (cf. (3.1.9) et (3.1.11)) : (10) où (11) -:.- H(x : / : T ) = <l>(u,i0=4> )=<(>[ d) [a(l - x)- \ a- 1 Ma^a lu 1 v 0 1 w 0 1 ' (12) ^(g)= \f(ag)da, aea/z. Comme H est lisse en zéo nous avons A2=0 et Ai=H(/ : ). Alos : Ai(0)= ()) la 1 a- 0 1 "0 1 h(a)^a. En tenant compte du fait que / est invaiante sous le cente nous pouvons écie ceci sous la fome : Ai(0)= /\b ^'l 102 "L (a)^a. a 1 Un changement de vaiables monte que ceci n'est aute que H(n- : / : T ). Comme Aa et H(n+ : /: \) sont nuls la elation (6) est aussi véifiée. Supposons maintenant que / ait son suppot dans ANN'. Alos (cf. (3.1.7) et (3.1.11)) : (13) où (14) H(x :/:-q)= [^-'(l-^-^a^a^a 1 0 <HU,V)=^ 0 v 1 (15) ^(g)= \f(ag)da, aea/z. Rappelons la définition de A] et Az : (16) H(x)=Ai(x)+A2(x)n(x); 4 e SÉRIE - TOME ?2

14 d'aute pat d'apès le lemme (3.2) : RÉSULTAT DE WALDSPURGER 197 (17) [(D^-^, a) (a)^=ci(x)+c2(x) (x). En compaant avec (4) nous voyons que Q((l x)~ l x)==ai(x). Donc Q et A^ ont la même valeu en zéo. En penant la tansfomée de Mellin de l'équation pécédente nous obtenons : (Ï0(x, a) x \^(a) a ^a = (c,(x) \ x ^x + Sc^x) x ^(x^x. En calculant le ésidu des deux membes à 5=0 nous touvons : o(0,û)îi(â)^=ci(0). D'apès (14) et (15) le membe de gauche n'est aute que H(n- : / : T ). D'aute pat le membe de doite n'est aute que Ai(0). La elation (7) est donc établie. La elation (6) peut s'établi de la même façon. Les elations (8) et (9) découlent des elations (6) et (7) appliquées à la fonction /' définie Pa/'(^)=/(eg). 4. Fonctions appaiées (4.1) Dans ce paagaphe E est un cops local, E une extension quadatique de F, T le caactèe quadatique attaché à E. Nous considéeons encoe le couple (G, A) fomé du goupe GL(2) et du sous-goupe des matices diagonales et l'ensemble X=X(E :F). Il est éduit à deux éléments (Gf, Tf), i= 1, 2, avec disons Gi déployé. Soit / une fonction lisse à suppot compact su G/Z et /,-, f==l, 2, une fonction lisse à suppot compact su Gi/Z Nous dions que / et le couple (/i, f^) sont appaiés si la condition suivante est satisfaite. Pou tout x dans F difféent de 1 et 0 soient i et g dans G» tels que x=p(g : T^) (;= 1 si x est une nome de E, i=2 sinon) ; alos : H(x:/: )=H(g:/,:T,). PROPOSITION. Une fonction f étant donnée il existe un couple (/i, f^) appaié à f. De plus si f et le couple (/i, /^) sont appaiés nous avons : '- Vol(T,/Z,) f,(t,)dt^îî(n^ :/:îi)±h(n- :/:îi), Vol(T,/Z,) [/^)^=H(sn- : /: )±H( n+ : /:n) avec le signe + si f=l, le signe si i==2. Démonstation. Cela ésulte aussitôt des popositions (2.4), (3.3) et (3.4). (4.2) Si F est éel nous désigneons pa K le sous-goupe othogonal dans G. Nous noteons U l'ensemble des couples (/i, f^) qui sont appaiés à une fonction lisse à suppot compact / su G/Z, K-finie si F est éel. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

15 198 H. ACQUET Notons Ui (esp. L^) la pemièe (esp. seconde) pojection de U. Alos les ensembles Ui ont une popiété de densité. PROPOSITION. Soit ( ) une fonction continue su Gi/Z^ biinvaiante sous T(. Supposons que l'intégale de ()) conte toute fonction de Uf soit nulle. Alos ^ est nulle. La démonstation occupea le este de ce paagaphe. (4.3) Soit / une fonction continue à suppot compact su G/Z ; alos : (1) \f(g)dg=c \f(g}dg=c\ H(x:/:A) l-x - 2^, x^o. où c est une constante indépendante de / Nous auons aussi besoin d'une estimée su les fonctions H(x : / : A) où / est continue à suppot compact su G/Z : (2) LEMME. Soit f une fonction à suppot compact su G/Z et H(.v)=H(.v : /': A). Alos H s'annule dans un voisinage du point 1 et est 0 (log x ) pou \ x \ petit ou gand. Démonstation du lemme. Elle est analogue à celle donnée dans (3.2) excepté que le lemme de (3.2) est emplacé pa l'assetion suivante : si 0 est une fonction de Schwatz- Buhat à deux vaiables, alos il existe deux fonctions de Schwatz-Buhat à une vaiable A;, f=l, 2, telles que: O^-^, û)d^=ai(x)+a2(x) log x. Enfin nous auons besoin de fomules d'intégation pou les goupes Gi analogues à (1) : (3) (fi(g)dg=c, fh(x:/i '.T,)\l-x\- 2 dx, x>0, (4) \f2(g)dg=^ ]H(x:/2:T2) l-x - 2^, x<0, où Ci est une constante et fi une fonction continue à suppot compact su Gi/Z^. (4.4) Démonstation de la poposition (4.2). Pou fixe les idées supposons f=l. Posons H(x)=H(x: ( ) : Ti). En paticulie H(x)=0 si x n'est pas une nome. Nous calculeons à des constantes multiplicatives pès. Supposons maintenant / et (/i, f^) appaiés avec / K-finie si F est éel. Alos d'apès (4.3.3) : ^ i)fi(gi}dg,= fh(x)h(x : f, ^ll-xl- 2^. [^ i)fi(gi}dg,=(. Soit d'aute pat ((>o la fonction su G définie pa ())o(^)=h(x)i(detfo) si g=ag(x)b. Vues les popiétés de H et la fomule d'intégation (4.3.1) ( )o est localement intégable et : ^o(g)f(g)dg= f: H(x)H(x :/: T ) ^o(g)f(g)dg= 1 -x\-hx. 4 e SÉRIE - TOME N 2

16 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 199 Comme H(x : /: )=H(x : /i : Ti) si -v est une nome il vient \^o(g)f(g)dg= \<^gi)fi(gi)dg,. Le second membe est nul pa hypothèse. Donc ( )o est othogonale à toute fonction lisse (esp. toute fonction lisse K-finie si F est éel). Il en ésulte que ())o est nulle. Il en est donc de même de H ; comme ()> est Ti-biin vaiante ^ est déteminée complètement pa H et nous obtenons ( )==0. 5. Intégales obitales : la situation non amifiée (5.1) Dans ce paagaphe F est un cops local non achimédien, E une extension quadatique non amifiée de F. Nous supposeons que la caactéistique ésiduelle de F n'est pas 2 et que l'ode du caactèe v / est 0. Nous considéeons le couple (G, A) fomé du goupe GL(2) et du sous-goupe diagonal. Nous noteons R l'anneau des enties de F, P l'idéal maximal de R, une unifomisante et K le goupe GL(2, R). L'ensemble X = X(E : F) est éduit à deux éléments (Gi, Ti) et (G^, T^)- Nous supposeons Gi =G, T\ contenu dans le sous-goupe ZK. Nous écions simplement T pou T\. Les mesues de AnK/ZnK et TnK/ZnK sont donc égales à 1. Le but de ce paagaphe est de démonte la poposition suivante : PROPOSITION. Soit f une fonction bi-k.-invaiante et à suppot compact su le goupe G/Z. Alos f et le couple (f, 0) sont appaiés. De plus : H(n^ :/:O=H(n- :/: )=l/2vol(t/z) ff(t}dt. j II sea commode de considée des fonctions à suppot compact su G plutôt que des fonctions à suppot compact su G/Z. Bien entendu les mesues des ensembles AnK, TnK, ZnK sont donc égales à 1. Si / est une fonction bi-k-in vaiante à suppot compact su G, alos nous poseons : (1) H(^:/:T)=iï/(^)^A, 5eT, tët/z. Puisque T est contenu dans ZK ceci se éduit à : (2) H(^:/:T)=f/(z^z, s) zez. De même, nous poseons : (3) H(g :/ : )) = f(agb)dav\ (det b)db, aea, bea/z. ANNALES SCIENTIFIQUES DE ^'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

17 200 H. ACQUET Nous écions encoe H(x : / : T ) pou îî(g(x) : f : T ). Les elations à pouve sont donc : (4) f H(x :/ : T ) = f(zg)dz / si v(x) est pai et P(g : T) = x, (5) H(x :/: T )=O si (x) est impai. Pa linéaité nous pouvons suppose que / est, soit la fonction caactéistique /o de K, soit la fonction caactéistique f^ de l'ensemble ov" 0 (6) K K, où m>0. Remaquons que f^(g) ^ 0 si et seulement si les conditions suivantes sont véifiées : (7) les coefficients de g sont des enties ; (8) v(deig)=m', (9) l'un au moins des coefficients de g est une unité. Bien entendu si m=0 la condition (9) est supeflue. (5.2) Nous calculeons d'abod H(x : f^ : \) que, pou simplicité, nous noteons H(x : m). Nous commenceons pa le cas m > 0. PROPOSITION. Supposons m>0. Alos H(x : m) est donné pa les fomules suivantes : (1) si v(x) est impai îî(x : m)=0 ; (2) 5i v(x) est pai ïî(x : m) == 0, à moins que v(x) == 0 et v(l x) = m auquel cas H(x : m) = 1. Démonstation. Nous utiliseons le lemme suivant : LEMME. Posons S=(-l) i+j où la somme pote su tout les couples d'enties (f, j) appatenant au bod du ectangle défini pa les inégalités O^KP, 0<y<Q. Alos S est donné pa les fomules suivantes : (3) si PQ>0, alos S=0; (4) si P=0 et Q > 0, alos S= 1 si Q est pai et S=0 si Q est impai ; (5) si Q=0 et P > 0, alos S= 1 si P est pai et S=0 si P est impai ; (6) si P==0 et Q=0, alos S=l. Démontons maintenant la poposition. Il sea commode d'écie Mat [a, b, c, d ] pou la matice dont les coefficients sont les nombes a, fo, c, d. Avec cette notation nous avons : (7) H(x : m) = E/,(Mat [œ 1^, xœ^, œ 1, œ^x-1) 1^', où la somme pote su tous les tiplets d'enties (i,j\ k). Comme le déteminant de la matice (7) a une valuation égale à i +7+ k + v(l x) la condition (5.1.8) monte que dans la somme ci-dessus nous pouvons nous esteinde aux tiplets tels que : i+j-\-k+v(l-x)=m. 4 e SÉRIE - TOME N 2

18 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 201 Cela nous pemet d'élimine k et, en tenant compte de (5.1.7) et (5.1.9), d'écie : (8) H(x:m)=I;(-l)^ où la somme pote su tous les couples d'enties (f, j) tels que : (9) 0^i<m-v(l-x)+v(x) (10) 0<j<m-v(l-x) (11) ij[m-v(l-x)+v(x)-i] K m-v(l-x)-j]=0. La somme est vide et ïî(x : m) nul à moins que : (12) m-v(l-x)>0 et m-v(l-x)+v(x)^0. Supposons les conditions (12) satisfaites. Alos nous pouvons applique le lemme. Nous avons donc H(x :m)=0 à moins que (13) [m-v(l-x)][m-v(l-x)+v(x)]=q. La véification de la poposition est alos élémentaie. (5.3) Calculons maintenant H(x : 0). PROPOSITION. H(x : 0) est donné pa les fomules suivantes : (1) si v(x) est impai alos îî(x : 0)=0 ; (2) si v(x) est pai alos H(x :0)=1, à moins que v(x)==0 et v(l x)>0 auquel cas H(x:0)=0. Démonstation. Nous avons encoe : (3) U(x : 0) = E /o(mat [œ 1^, xœ^, œ 1, co^])(-1) 1^', où la somme pote su tous les tiplets d'enties (f, 7, k). Comme plus haut, en tenant compte des conditions (5.1.7) et (5.1.8), nous pouvons élimine k et écie : (4) H(x:0)=E(-l) 1^ où la somme pote su tous les couples d'enties (i,j) tels que : (5) Q^i<v(x)-v(l-x) (6) 0<j<-v(l-x). La véification de la poposition est alos élémentaie. (5.4) Calculons maintenant l'intégale \fm(zg)dz. Elle ne dépend que de x=p(g:t) et nous noteons H(x : m : T) sa valeu. Rappelons que pa définition x est une nome, autement dit la valuation de x est paie. Nous commenceons pa le cas m>0. PROPOSITION. Supposons m>0. Alos ïî(x : m : T) = 0, à moins que v(x)==0 et v(l x)=m auquel cas îî(x : m : T)== 1. Démonstation. Nous pouvons suppose que E est l'extension engendée pa la ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

19 202 H. ACQUET acine caé de T, où T est une unité. Alos nous pouvons pende pou T le goupe multiplicatif de l'algèbe : f a b } L= (1) ^. bï a et pou e la matice : 1 0 (2) = 0-1 Calculons H(x : m : T) où x=p(g : T). Nous pouvons suppose que : (3) g-12+s u v UT U Alos det g=l x et x=u 2 v 2 T. Nous avons : (4) H^miT)^/,^), k OÙ (5) ^g= (ù\l-\-u) (f^v oac 0^(1 u) Vue la condition (5.1.8) cette somme a donc au plus un teme dont l'indice k est déteminé pa l'équation (6). k=l/2[m-v(l-x)]. En paticulie H(b : m : T)=0 ou 1. Vues les conditions (5.1.7) à (5.1.9) H(x : m : T)= 1 si et seulement si les conditions suivantes sont véifiées : (7) m^u(l jc)mod2; (8) les coefficients de la matice (5) où k est donné pa (6) sont enties ; (9) l'un au moins des coefficients de cette matice est une unité. Supposons d'abod u(x)<0. Alos v{l x)=v(x). Puisque x==u 2 v 2 T et T n'est pas un caé v(x) est pai. D'apès (7) H(x : m : T)=0 à moins que m ne soit aussi pai. Supposons donc qu'il en soit ainsi. Nous pouvons écie : U=UQ(Ù l/2v(x) V=VQtô lf2v(x) où UQ et VQ sont des enties, l'un au moins étant une unité. Alos les coefficients de la matice (5) sont les nombes : œ^^-^l+moœ 1^00 ), œ^^o, - œ^^ot, co^2^-^! - Moœ^2^). Tous ces nombes sont dans l'idéal P donc H(x : m :T)==0. Supposons v(x) > 0. Alos v(l x) = 0. D'apès (7) H(x : m) = 0 à moins que m ne soit pai. 4 e SÉRIE - TOME N 2

20 RÉSULTAT DE WALDSPURGER 203 Supposons qu'il en soit ainsi. Alos k= l/2m, u et v sont des enties. Les coefficients de la matice (5) sont maintenant les nombes a'^l+u), -œ^2"^ a 1 ' 2 '^, (ù 1^!-»). Tous ces nombes sont dans l'idéal P donc H(x :m :T)=0. Supposons enfin v(x) = 0. Alos v(l - x) > 0. Si m - v(l - x) est impai alos H(x : m : T) = 0. Supposons donc m-v(l -x} pai. Alos les coefficients de la matice (5) sont les nombes : ^l/2[m-c(l-<)]^_^^ _(yl/2[>n-»(l-,)]^ (ol/2[m-(l-<)]y (D 1 / 2^- 1 '» 1 -^!-^). Comme x est une unité y et y sont des enties et l'un au moins est une unité. Si 1 + u et 1 -u étaient tous les deux dans P nous auions 2eP, une contadiction. Donc au moins l'un des nombes 1 + u et 1 - u est une unité. Si donc H(x : m : T) n'est pas nulle alos les conditions (8) et (9) entaînent que m = i<l - x). Les coefficients de la matice (5) se éduisent donc à 1+M, V, -Vt, l-u. Ce sont des enties et l'un au moins est une unité. Donc H(x :m :T)=1. Nous avons donc complètement calculé H et note ésultat est en accod avec la poposition. (5.5) Calculons enfin H(x : 0 : T). Rappelons une fois de plus que v(x} est pai. PROPOSITION. H(x : 0 : T) = 1, à moins que v(x) = 0 et v( 1 - x) > 0 auquel cas H(x : 0 : T) = 0. Démonstation. Comme plus haut nous avons (1) H(x:m:T)=Z/o(œ^). k La somme a en fait au plus un teme dont l'indice k est donné pa : ( 2 ) k=-l/2v(l-x). En paticulie H(x : 0 : T)=0 ou 1. De plus H(x : 0 : T)= 1 si et seulement si v(l -x) est pai et la matice (3) ^g= avec k donné pa (2) est dans GL(2, R). wk(l+u) tâkv -oac 0)^(1 u) Supposons i<x)<0 et v(l-x) pai. Alos v(l-x)=v(x\ v(x) est pai et U=UoW l/2v(x \ V=VoW l/2v^ où uo et i;o sont des enties, l'un au moins étant une unité. Alos les coefficients de la matice (3) sont les nombes : œ- 1 / 21^^, vo, -v^, œ- 1 / 2^)-^. ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE

CHAPITRE VI : Le potentiel électrique

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