par Rochdi Ben Charrada & Aziz El Kacimi Alaoui (Version Juin 2013)

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1 OHOMOLOGIE DE DOLBEAULT EUILLETÉE DU EUILLETAGE OMPLEXE AINE DE REEB par Rochdi Ben harrada & Aziz El Kacimi Alaoui (Version Juin 2013) Résumé. Soit le feuilletage complexe affine de Reeb de dimension 1 sur la variété de Hopf S n+1 S 1. On montre que sa cohomologie de Dolbeault feuilletée H 01 (Sn+1 S 1 ) est isomorphe à en en exhibant explicitement un générateur. 1. Premières définitions Soit M une variété différentiable (de classe ) de dimension m + n. On suppose, pour simplifier, qu elle est connexe et qu elle possède toutes les bonnes propriétés dont on aurait éventuellement besoin (paracompacité...) Définion. Un feuilletage de codimension n sur M est la donnée d un recouvrement ouvert U = {U i } i I et, pour tout i, d un difféomorphisme ϕ i : R m+n U i tel que, sur toute intersection non vide U i U j, le difféomorphisme de changement de coordonnées ϕ 1 j ϕ i : (z, t) ϕ 1 i (U i U j ) (z, t ) ϕ 1 j (U i U j ) soit de la forme z = ϕ ij (z, t) et t = γ ij (t). La variété M est ainsi décomposée en sous-variétés connexes de dimension m. hacune d elles est appelée feuille de. On note τ le fibré tangent à ; il est constitué de tous les vecteurs tangents aux feuilles. Les sections de τ forment un module X() sur l anneau (M) des fonctions sur M. Si X et Y sont deux éléments de X(), par le théorème de robenius [a], le crochet [X, Y ] est encore un élément de X(). Le quotient ν = T M/τ est le fibré normal à ; on peut le réaliser dans T M par le choix d un supplémentaire ν de τ. On a ainsi une décomposition en somme directe T M = τ ν. elle-ci donne une décomposition du complexifié du fibré Λ l T M des l-formes extérieures : (1) Λ l T M = s+r=l où Λ sr est le fibré dont les sections globales sont les l-formes complexes α de type (s, r) i.e. celles qui s écrivent localement : (2) α = f i1,,i s,j 1,,j r (z, t)dt i1 dt is dz j1 dz jr 1 i 1 < <is m 1 j 1 < <jr 1 Λ sr

2 R. Ben harrada & A. El Kacimi Alaoui où les f i1,,i s,j 1,,j r sont des fonctions continues et en la variable z = (z 1,, z m ). L ensemble A sr (M) de ces formes différentielles est un module sur l anneau A(M) des fonctions complexes sur M ( 0 en (z, t) mais en z). La différentielle extérieure d : A l (M) A l+1 (M) se écompose en la somme de trois opérateurs d = d 10 + d 01 + d 2, 1 où d 10 transforme une forme de type (s, r) en une forme de type (s + 1, r), d 01 la transforme en une forme de type (s, r + 1) et d 2, 1 en une forme de type (s + 2, r 1). L opérateur d 2, 1 est nul si, et seulement si, le fibré ν est intégrable. On vérifie facilement que d 01 est de carré nul ; ainsi, si on fixe p, on obtient un complexe différentiel : (3) 0 A s0 (M) d 01 A s1 (M) d 01 d01 A s,m 1 (M) d 01 A sm (M) 0. Son homologie est appelée la cohomologie de type (s, r) du feuilletage. On peut démontrer qu elle ne dépend pas du choix du fibré transverse ν. Dorénavant on prendra s = 0 et on notera A r (M) l espace A0r (M) et d l opérateur d 01 ; Le complexe (3) se note alors : (4) 0 A 0 (M) d A 1 (M) d d A m 1 (M) d A m (M) 0 et est appelé complexe de de Rham feuilleté de. Son homologie en degré r sera notée H r (M) et appelée cohomologie feuilletée de. Elle coïncide avec la cohomologie de de Rham de M lorsque la dimension des feuilles est celle de la variété, c est-à-dire lorsque il n y a qu une seule feuille, la variété M elle-même. On se donne maintenant une variété M comme avant, qu on suppose de dimension 2m + n et munie d un feuilletage de codimension n (et donc de dimension 2m) Définition. On dira que est complexe s il existe un recouvrement ouvert {U i } de M et des difféomorphismes φ i : Ω i O i U i (où Ω i est un ouvert de m et O i un ouvert de R n ) tels que les changements de coordonnées : φ ij = φ 1 j φ i : φ 1 i (U i U j ) φ 1 j (U i U j ) soient de la forme (z, t ) = ( φ 1 ij (z, t), φ2 ij (t)) avec φ 1 ij (z, t) holomorphe en z pour t fixé. haque feuille de est une variété analytique complexe de dimension m. La notion de feuilletage complexe généralise celle de feuilletage holomorphe sur une variété analytique complexe. La donnée d un feuilletage complexe sur une variété M sera représentée par le couple (M, ). 2

3 ohomologie de Dolbeaut feuilletée du feuilletage affine complexe de Reeb Soient (M, ) et (M, ) deux feuilletages complexes. On appelle morphisme de (M, ) vers (M, ) toute application f : M M, de classe et telle que l image de toute feuille de est contenue dans une feuille de et l application f : est holomorphe. On dira qu un morphisme f : (M, ) (M, ) est un isomorphisme de feuilletages complexes si c est un difféomorphisme qui est un biholomorphisme sur les feuilles. On dira que deux feuilletages complexes et sur M sont conjugués (ou dans la même classe de conjugaison) s il existe un isomorphisme f : (M, ) (M, ). L ensemble des automorphismes de est un groupe qu on notera G(). On peut remarquer qu une feuille de qui n est biholomorphiquement équivalente à aucune autre feuille de est fixée par tout le groupe G() Exemples i) Toute variété analytique complexe de dimension m est un feuilletage complexe de dimension m. Le groupe des automorphismes de ce feuilletage est réduit à celui des automorphismes de la variété complexe. ii) Tout feuilletage holomorphe au sens usuel sur une variété complexe est un feuilletage complexe sur la variété réelle sous-jacente. iii) Soit M un ouvert de m R n. Pour tout t R n, on note M t l ensemble : {z m : (z, t) M}. M t est un ouvert de m appelé section de M suivant t. Les sections sont les feuilles d un feuilletage complexe de dimension m qu on appellera feuilletage complexe canonique de M. iv) Soit une variété analytique complexe de dimension m. Toute fibration localement triviale M B dont le cocycle est à valeurs dans le groupe Aut( ) des biholomorphismes de la fibre est un feuilletage complexe de dimension m. Si la fibration est triviale i.e. M = B, on dira que est un feuilletage produit : toutes les feuilles {t} ont la même structure complexe. v) Supposons que est un feuilletage complexe sur M = B dont les feuilles sont les facteurs {t} mais que la structure complexe n est pas forcément la même sur toutes les feuilles ; on dira alors que est un produit différentiable. vi) Soit un feuilletage orientable par surfaces sur une variété M. On considère une métrique riemannienne g sur le fibré T. A tout vecteur u T y on associe l unique vecteur v T y de même longueur que u et tel que le repère (u, v) soit direct. En posant Ju = v on définit ainsi une structure presque complexe sur chaque feuille. La 3

4 R. Ben harrada & A. El Kacimi Alaoui version à paramètre du théorème d intégrabilité montre que cette structure est en fait une structure complexe transversalement (localement) différentiable sur. Ainsi tout feuilletage orientable par surfaces est un feuilletage complexe de dimension La -cohomologie 2.1. Soit (M, ) un feuilletage complexe de dimension m. On s intéresse aux formes feuilletées qui, dans un système de coordonnées locales (z, t) = (z 1,..., z m, t 1,..., t n ), ont pour expression : α = f j1...j p k 1...k q (z, t)dz j1... dz jp dz k1... dz kq où f j1...j p k 1...k q est une fonction continue en (z, t) mais en z. On les appelle formes feuilletées de type (p, q). Elles forment un espace vectoriel qu on notera A pq (M) et qui est aussi un module sur A(M) (anneau des fonctions continues et en z). Ainsi, toute forme α A r (M) se décompose en une somme α = p+q=r type (p, q). e qui donne la décomposition en somme directe : (5) A r (M) = A pq (M). p+q=r α pq où α pq est une forme feuilletée de On fixe l entier p {0, 1,, m}. Alors l opérateur de auchy-riemann le long des feuilles : A pq () A p,q+1 () s écrit localement : m s=1 (α(z, t)dz j1 dz jp dz k1... dz kq ) = α z s (z, t)dz s dz j1... dz jp dz k1... dz kq { où z s = 1 } 2 x s + i y s avec zs = x s + iy s. On peut vérifier facilement que cet opérateur est de carré nul et qu on a un complexe différentiel : 0 A p0 (M) A p1 (M) A p,m 1 ( ) A pm ( ) 0 qu on appellera complexe du ou complexe de Dolbeault feuilleté de (M, ) ; son homologie notée H pq (M) sera appelée la -cohomologie ou cohomologie de Dolbeault feuilletée de. Lorsque M est une variété complexe munie du feuilletage dont la seule feuille est elle-même, alors H pq (M) n est rien d autre que sa cohomologie de Dolbeault usuelle Une p-forme feuilletée ω est dite -holomorphe si elle est de type (p, 0) et vérifie ω = 0. Le faisceau des germes de telles formes sera noté O p ; il admet une résolution fine : 0 O p A p1 A p,m 1 A pm 0 Ap0 4

5 ohomologie de Dolbeaut feuilletée du feuilletage affine complexe de Reeb où A pq est le faisceau des germes des formes feuilletées de type (p, q). omme Apq (M) est l espace des sections globales du faisceau A pq, on a un isomorphisme canonique : (6) H pq (M) Hq (M, Op ). Les deux définitions permettent de faire des calculs suivant la nature des exemples et la manière dont ils sont décrits. Nous verrons comment dans la suite. L espace H p (M) des p-formes -holomorphes (sections globales du faisceau O p ) sur M est exactement Hp0 (M). Divers calculs de la cohomologie feuilletée de Dolbeault ont été menés par exemple dans [B], [Ek], [ES], [GT], [Sl]. 3. onctions -holomorphes en dimension 1 Dans toute cette section, M sera une variété réelle de dimension 2+n munie d un feuilletage complexe de dimension 1. L espace A 00 () n est rien d autre que l anneau 0, (M) des fonctions complexes sur M continues et le long des feuilles qu on a déjà noté A(M) La topologie 0, sur A 0q (M) Soient V un ouvert de et O un ouvert de R n ; les coordonnées sur V O seront notées (z, t) = (z, t 1,, t n ). Pour tout multi-indice k = (k 1, k 2 ) (k 1 et k 2 sont des entiers naturels), on posera k = k 1 + k 2 et : D k = k z k 1 z k 2. Pour tout s N, tout compact K de Ω O et toute fonction f : Ω O on pose : { N s,k (f) = max sup D k (f) }. k s K Soit maintenant U un ouvert de M distingué pour et équivalent à V O via un isomorphisme ϕ : V O U. Pour tout compact K contenu dans U et toute fonction f 0, (U) on pose N s,k (f) = N s,k (f ϕ). Soient U = {(U, ϕ)} un atlas dénombrable définissant et = { n } une famille dénombrable de compacts, chacun contenu dans une carte de U, recouvrant M et telle que tout compact K M soit recouvert par un nombre fini d éléments de. onsidérons une suite croissante de compacts K n dont la réunion est égale à M. Pour tout n N, l ensemble n des compacts de la famille qui intersectent K n est fini. Pour tout s N et toute fonction f A(M), posons : f n s = n N s, (f). 5

6 R. Ben harrada & A. El Kacimi Alaoui La famille des semi-normes n s (indexée par s N et n N ) est filtrante et séparante ; elle permet de définir une distance sur A(M) invariante par translations δ(f, g) = s,n 1 2 s+n inf (1, f g n s ). ette distance définit une topologie faisant de 0, (M) un espace de réchet. Elle ne dépend ni de l atlas {(U, ϕ)} ni de la famille ni de la suite croissante de compacts K n. est la topologie 0, sur A(M) = 0, (M). Pour cette topologie, le sous-espace H (M) des fonctions -holomorphes est fermé. Notons que, pour définir la topologie induite sur H (M), on peut faire l économie des dérivées le long des feuilles : il suffit de considérer l opérateur différentiel D 0. La topologie 0, se définit de manière analogue sur les espaces A pq (), vu que tout élément α Ω pq () s écrit, sur une carte locale (U, ϕ), sous la forme α = fdz, α = fdz ou α = fdz dz avec f A(U) Zéros et pôles On travaillera sur un ouvert U de R muni de son feuilletage complexe canonique. (Le facteur R pourrait être remplacé par n importe quelle variété différentiable et notamment par R n.) Soient f : U une fonction -holomorphe et Z l ensemble de ses zéros. restriction de f à chaque feuille est une fonction holomorphe ; par suite, si f : n est pas identiquement nulle, par le principe des zéros isolés, Z est une partie discrète de. Donc en un point de Z où f n est pas idendiquement nulle, Z est transverse à. Une fonction f : U est dite -méromorphe, si sa restriction à chaque feuille est une fonction méromorphe. Notons P l ensemble des pôles de f ; alors, comme pour les zéros, l intersection de P avec toute feuille est un ensemble discret de. Une fonction -holomorphe f : U (resp. -méromorphe) étant simplement continue sur U (resp. sur U \ P), on ne peut malheureusement pas dire plus ni sur l ensemble de ses zéros ni celui de ses pôles. Nous ferons simplement des remarques lorsque Z et P possèdent une structure de variété ; de telles fonctions existent bien sûr : si ϕ :] η, η[ U est une courbe différentiable, alors les fonctions f(z, t) = z ϕ(t) et g(t) = 1 f(z,t) sont -holomorphes et ont {(z, t) R : z = ϕ(t) avec t ] η, η[} respectivement comme ensemble de zéros et ensemble de pôles. eci permet de définir localement des fonctions du même type sur des feuilletages holomorphes (M, ). Soit maintenant Σ une petite sous-variété transverse à ; elle peut donc être considérée comme le graphe d une application z 0 : t ] η, η[ z 0 (t) de classe. Soit 6 La

7 ohomologie de Dolbeaut feuilletée du feuilletage affine complexe de Reeb V un voisinage ouvert relativement compact de Σ dont chaque section V t est un disque centré en z 0 (t). Alors, sur V \ Σ, la fonction f admet un développement de Laurent f(z, t) = a n (t)(z z 0 (t)) n + m=1 b m (t) (z z 0 (t)) m où les coefficients a n et b m sont donnés, comme habituellement, par les formules intégrales (7) a n (t) = 1 2iπ γ1 t f(ξ, t) ( 0 (t)) n+1 dξ et b m(t) = 1 ( 0 (t)) n 1 f(ξ, t)dξ. 2iπ γ2 t γ t 1 et γ t 2 sont respectivement le grand cercle et le petit cercle d une couronne contenant le point (z, t) dans la section V t de V. Le point (z 0, t 0 ) Σ est une singularité si l un au moins des b m (t 0 ) est non nul ; s il existe m 0 1 tel que b m0 (t 0 ) 0 et b m (t 0 ) = 0 pour m > m 0, on dira que (z 0, t 0 ) Σ est un pôle de f d ordre m 0 ; s il existe une infinité de b m (t 0 ) non nuls, on dira que (z 0, t 0 ) Σ est une singularité essentielle ; si a 0 (t 0 ) et tous les b m (t 0 ) sont nuls, on dira que (z 0, t 0 ) est un zéro de f ; sa multiplicité est par définition le plus petit entier n 1 tel que a n (t 0 ) 0. omme les a n et les b m sont des fonctions continues en t, si (z 0, t 0 ) Σ est un point singulier de f (i.e. un pôle ou une singularité essentielle) par continuité, il existe δ > 0 tel que pour t t 0 < δ, le point (z 0 (t), t) est aussi singulier. L ensemble singulier de f est donc une transversale à qui est ouverte. es remarques nous permettent de montrer facilement la proposition suivante dont on fera usage dans le calcul explicite de l exemple Proposition. Soit f : M une fonction continue et -holomorphe en dehors d une réunion discrète de sous-variétés transverses Σ j. Alors : i) chaque Σ j est ouverte ; ii) si chacune des Σ j est réduite à un point, f se prolonge en une fonction -holomorphe sur toute la variété M. 4. Le feuilletage affine de Reeb 4.1. onstruction On pose M = R n \ {(0, 0)} et on considère le feuilletage défini par le système différentiel dt 1 =... = dt n = 0 où (z, t 1,..., t n ) sont les coordonnées d un point (z, t) dans M. Les feuilles de sont holomorphiquement équivalentes à sauf celle qui correspond à t = 0 qui est. Soit φ : M M le difféomorphisme de M défini par φ(z, t) = (λz, λt) où λ ]0, 1[. L action de Z engendrée par φ est libre, propre et discontinue ; le quotient M = M/φ est difféomorphe à la variété de Hopf réelle S n+1 S 1. Le feuilletage est invariant par φ et induit un feuilletage complexe λ de dimension 1 sur M. Les feuilles 7

8 R. Ben harrada & A. El Kacimi Alaoui sont des copies de sauf celle qui correspond à t = 0 qui est une courbe elliptique λ dont la structure complexe est donnée par celle de la couronne {z : λ < z < 1}. Tout isomorphisme de feuilletages f : (M, λ ) (M, λ ) induit un biholomorphisme de λ sur λ. Donc si λ = λ, λ n est pas isomorphe à λ. herchons le groupe G( λ ) des automorphismes de λ sur M = M/φ (dans le cas où M = R). Un élément f G( λ ) est donné par un automorphisme f : M M de commutant à l action de φ ; il s écrit f(z, t) = (f 1 (z, t), f 2 (t)) où f 1 est holomorphe en z et commute à la multiplication z λz et f 2 est un difféomorphisme de R ; f 1 est nécessairement de la forme f 1 (z, t) = a(t)z où a(t) GL(1, ) = dépendant différentiablement de t. D autre part, comme n est pas équivalent à, f 2 doit fixer 0 et commuter à l homothétie φ 2 : t λt i.e. f 2 (λt) = λf 2 (t) ; il est alors du type f 2 (t) = bt où b R. Le groupe G( λ ) est donc celui des transformations de la forme (z, t) (a(t)z, bt) où a (R, ) et b R. La variété ici est M = S n+1 S 1 qui est le quotient de M = R n \ {(0, 0)} par l action de Z engendrée par l automorphisme (z, t) M γ (λz, λt) M. Elle sera munie du feuilletage λ défini en a) et qu on notera simplement Théorème principal. Les espaces vectoriels H 00(M) = H (M) et H 01 (M) sont isomorphes à. Réglons d abord le cas de H 00(M) = H (M). Un élément de H (M) est une fonction -holomorphe f sur M, donc une fonction sur M telle que f(λz, λt) = f(z, t) et qui est -holomorphe. -holomorphe sur R n. D autre part : Mais, d après la Proposition 3.3, f s étend en une fonction f(z, t) = f l (t)z l l=0 où les f l sont des fonctions continues de t R n (données par les formules intégales de gauche dans (7)). omme f vérifie f(λz, λt) = f(z, t), les f l doivent satisfaire la relation λ l f l (t) = f l (λt). Mais, pour l 0, cette relation force f l à tendre vers + quand t 0 et ne saurait donc être continue pour l 0. Donc f est réduite à la fonction f 0 ; celle-ci vérifiant f 0 (λt) = f 0 (t) doit être en fait la constante f 0 (0). Pour H 01 (M), la démonstration se fera pour n = 1. (Elle est exactement la même pour n 2.) Nous allons commencer par décrire les espaces A pq (M) des formes feuilletées de type (p, q). Une forme feuilletée de type (0, 1) sur M (resp. de type (1, 0)) s écrit α = f(z, t)dz (resp. β = g(z, t)dz) où f et g sont des éléments de A(M). L action de γ sur α (resp. β) 8

9 ohomologie de Dolbeaut feuilletée du feuilletage affine complexe de Reeb est donnée par γ (α) = λf(λz, λt)dz (resp. γ (β) = λg(λz, λt)dz). Les deux formes α et β sont donc invariantes par γ si les fonctions f et g vérifient les relation fonctionnelles : (8) λf(λz, λt) = f(z, t) et λg(λz, λt) = g(z, t). Une forme feuilletée de type (1, 1) sur M s écrit η = h(z, t)dz dz. La condition d invariance par γ impose à la fonction h de vérifier cette fois-ci λ 2 h(λz, λt) = h(z, t). Donnons explicitement quelques exemples de ces formes feuilletées, par exemple de type (0, 1), situation qui va le plus nous intéresser par la suite. On doit donc trouver une fonction f A(M) telle que λf(λz, λt) = f(z, t). Il est évident que a(z, t) = 1 zz+t 2 en est une. Si f est une autre fonction (tout à fait quelconque) et vérifiant (8), la fonction u = f f 0 (bien définie car f 0 ne s annule nulle part) vérifie u(λz, λt) = u(z, t), donc une fonction sur la variété compacte M = M/ γ et par suite bornée. Toute (0, 1)-forme feuilletée sur M s écrit donc α(z, t) = a(z, t)u(z, t)dz où u est une fonction sur M invariante par l action du difféomorphisme γ Démonstration du théorème principal Première étape Soient R et ε deux réels strictement positifs tels que R + ε < λ 1 R ; on note L le disque fermé de de rayon R et Ω un ε-voisinage ouvert de L. K j = λ j L 0 et Ω j = λ j Ω 0 où L 0 = L R et Ω 0 = Ω R. Pour tout j N, on pose Soit ρ 0 : z ρ 0 (z) R + une fonction à support compact, ne dépendant que de z et identiquement égale à 1 sur Ω. Pour tout j N, la fonction ρ j (ξ) = ρ 0 (λ j ξ) est, à support compact et vaut 1 identiquement sur l ouvert λ j Ω. Soit φ j : R R + la fonction définie par φ j (ξ, t) = ρ j (ξ) et : ψ j (ξ, t) = { φj (ξ, t) si j = 0 φ j (ξ, t) φ j 1 (ξ, t) si j 1. 9

10 R. Ben harrada & A. El Kacimi Alaoui omme φ j (ξ, t) et ψ j (ξ, t) ne dépendent pas de t, on les notera simplement φ j (ξ) et ψ j (ξ). Les relations suivantes sont bien sûr immédiates mais comme elles nous seront très utiles, nous les rappelons et les mettrons bien en vue : (9) { φj (ξ) = φ 0 (λ j ξ) (par définition de φ j ) ψ j (λξ) = ψ j+1 (ξ). Pour tout j N et tout t R, la section K t j de K j est un -compact (son intersection avec toute feuille est un compact) contenu dans l intérieur de K j+1. On a : K j = R j=0 et ψ j = 1. j=0 Deuxième étape On se donne une (0, 1)-forme feuilletée α = f(z, t)dz où f vérifie la relation fonctionnelle (8). Pour une raison évidente de degré, cette forme est -fermée. D autre part, comme α s écrit α = a(z, t)u(z, t)dz avec u invariante par γ, la fonction f a la croissance de la fonction a qui est localement intégrable. Pour tout (z, t) R\{(0, 0)} = M, la quantité qui suit existe : h 0 (z, t) = 1 ψ 0 (ξ)f(ξ, t) La fonction h 0 est donc bien définie, continue en (z, t) et en z (cf. [Hö] Theorem page 3). En utilisant la formule intégrale de auchy, on montre facilement que h 0 vérifie l équation h 0 = ψ 0 f sur M. Soit j N. Le support de la fonction ψ j ne contient pas l origine (0, 0). omme précédemment, on pose pour tout (z, t) M : h j (z, t) = 1 ψ j (ξ)f(ξ, t) omme pour h 0, la fonction h j est bien définie, continue en (z, t) et en z. Elle vérifie l équation h j = ψ j f. Troisième étape Il nous reste à recoller toutes les solutions partielles que nous avons obtenues. omme ψ j = 0 sur Ω j 1, h j y est -holomorphe (cf. [Hö]). Les sections Ω t j 1 étant des disques ouverts, on peut développer h j en série entière : (10) h j (z, t) = a n (t)z n 10

11 ohomologie de Dolbeaut feuilletée du feuilletage affine complexe de Reeb qui converge pour la métrique δ sur l ouvert Ω j 1. En tronquant de façon adéquate la série (9), on obtient une fonction v j, -holomorphe sur R (c est un polynôme en z) et telle que : (11) δ(h j, v j ) < 1 2 j. Soit h : M la fonction définie par : h(z, t) = h0 (z, t) + (h j (z, t) v j (z, t)). j=1 En vertu de l inégalité (11), la série converge uniformément au sens de la métrique δ ; la fonction h est donc continue en (z, t) et de classe en z. En plus, comme l opérateur est continu pour la topologie 0,, on a : h = h 0 (z, t) + (h j (z, t) v j (z, t)) j=1 ( = h 0 (z, t) + h j (z, t) v j (z, t) ) = = h j (z, t) j=0 j=1 ψ j (z, t)f(z, t) j=0 = f qui montre bien que h est une solution de l équation h = f. Mais, a priori, elle ne définit pas une solution au problème sur la variété quotient M = M/ γ : elle ne vérifie pas forcément la condition d invariance h(λz, λt) = h(z, t). Pour en obtenir une, on corrige h en lui rajoutant une fonction -holomorphe K(z, t) de telle sorte que h(z, t) = h(z, t)+k(z, t), qui vérifie encore l équation h = f, soit γ-invariante i.e. h(λz, λt) = h(z, t), ce qui impose à K de vérifier l équation cohomologique : (12) K(z, t) K(λz, λt) = H(z, t) où H(z, t) = h(λz, λt) h(z, t). Nous avons donc à résoudre l équation (12) où l inconnue est la fonction -holomorphe K. Remarquons que H est continue et -holomorphe sur 11

12 R. Ben harrada & A. El Kacimi Alaoui M ; en effet : H(z, t) = ( h(λz, λt) h(z, t) ) = λ h(λz, λt) h(z, t) = λf(λz, λt) f(z, t) = f(z, t) f(z, t) = 0. Étant -holomorphe sur l ouvert M, H l est sur l espace R tout entier en vertu de la Proposition 3.3. Quatrième étape ormellement la fonction K(z, t) = H(λ n z, λ n t) est solution de l équation (12). Il ne reste donc plus qu à montrer que cette série converge pour la topologie 0, pour qu elle définisse effectivement une fonction continue et -holomorphe. Une condition nécessaire de l existence de K est H(0, 0) = 0. Avant d examiner comment elle est vérifiée, explicitons la quantité : H(z, t) = h(λz, λt) h(z, t) = h 0 (λz, λt) h 0 (z, t) + {h j (λz, λt) h j (z, t)} {v j (λz, λt) v j (z, t)}. j=1 j=1 ommençons par la quantité h 0 (λz, λt) h 0 (z, t). On a : (13) h 0 (λz, λt) h 0 (z, t) = 1 2iπ = 1 2iπ = 1 2iπ ψ 0 (ξ)f(ξ, λt) ξ λz ψ 0 (λξ)f(ξ, t) ψ 1 (ξ)f(ξ, t) dξ dξ 1 2iπ dξ dξ 1 2iπ ψ 0 (ξ)f(ξ, t) dξ dξ ψ 0 (ξ)f(ξ, t) dξ dξ Le passage de la première ligne à le deuxième se fait par chagement de variable ξ λξ et utilise la relation λf(λξ, λt) = f(ξ, t) et le passage de la deuxième ligne à la troisième les relations (9). Un calcul similaire donne : h j (λz, λt) h j (z, t) = 1 (ψ j (λξ) ψ j (ξ))f(ξ, t) 12

13 ohomologie de Dolbeaut feuilletée du feuilletage affine complexe de Reeb En utilisant la deuxième relation de (9), on obtient : (14) h j (λz, λt) h j (z, t) = 1 Les relations (13) et (14) donnent finalement : N j=0 omme l évaluation de la quantité : {h j (λz, λt) h j (z, t)} = 1 (ψ j+1 (ξ) ψ j (ξ))f(ξ, t) {v j (λz, λt) v j (z, t)} j=1 ψ N (ξ)f(ξ, t) en (0, 0) est nulle (pour tout j 1, la fonction v j est définie en (0, 0)), on obtient : H(0, 0) = ( 1 lim N + ) ψ N (ξ)f(ξ, 0) dξ dξ. ξ Pour finir cette étape, montrons que la suite de nombres complexes (I N ) N 1 où I N est donné par : I N = 1 ψ N (ξ)f(ξ, 0) dξ dξ ξ est constante. eci résulte du calcul immédiat qui suit, qui utilise la deuxième des relations (9) et l invariance λf(λξ, 0) = f(ξ, 0) de f (pour ξ 0 bien sûr). En effet : I N+1 = 1 2iπ = 1 2iπ = 1 2iπ = 1 2iπ = I N. ψ N+1 (ξ)f(ξ, 0) dξ dξ ξ ψ N (λξ)f(ξ, 0) dξ dξ ξ ψ N (ζ)f( ζ λ, 0) ζ λ dζ dζ λ 2 ψ N (ζ)f(ζ, 0) dζ dζ ξ Par suite, la condition H(0, 0) = 0 est équivalente à : (15) 1 ψ 1 (ξ)f(ξ, 0) dξ dξ = 0. ξ 13

14 inquième étape R. Ben harrada & A. El Kacimi Alaoui La condition H(0, 0) = 0 est nécessaire à l existence de la fonction K. Nous allons montrer maintenant qu elle est en fait suffisante. eci sera le cas si on montre la 0, -convergence de la série : (16) H (λ n z, λ n t) = ( h0 (λ n+1 z, λ n+1 t) h 0 (λ n z, λ n t) ) + j=1 j=1 { hj (λ n+1 z, λ n+1 t) h j (λ n z, λ n t) } { vj (λ n+1 z, λ n+1 t) v j (λ n z, λ n t) }. Un calcul simple, utilisant le fait que f vérifie la relation fonctionnelle λf(λξ, λt) = f(ξ, t), montre que : et : h 0 (λ n+1 z, λ n+1 t) h 0 (λ n z, λ n t) = 1 { ψ0 (λ n+1 ξ) ψ 0 (λ n ξ) } f(ξ, t) dξ dξ h j (λ n+1 z, λ n+1 t) h j (λ n z, λ n t) = 1 { ψj (λ n+1 ξ) ψ j (λ n ξ) } f(ξ, t) Pour montrer la convergence de la série K(z, t) = H(λ n z, λ n t), on va expliciter et simplifier l expression des trois séries qui composent le membre de droite de la relation (16). ormellement : ( h0 (λ n+1 z, λ n+1 t) h 0 (λ n z, λ n t) ) = { ψ0 (λ n+1 ξ) ψ 0 (λ n ξ) } f(ξ, t) 2iπ() Soit N un entier natruel positif. Un calcul presque immédiat utilisant les relations (9) nous donne : (17) N { ψ0 (λ n+1 ξ) ψ 0 (λ n ξ) } N = ψ n+1 (ξ) = ψ 0 (ξ). D où : ( N { h0 (λ n+1 z, λ n+1 t) h 0 (λ n z, λ n t) } = 1 N ) ψ 0(ξ) f(ξ, t) 14

15 ohomologie de Dolbeaut feuilletée du feuilletage affine complexe de Reeb De la même manière, nous allons nous occuper de la série double : { hj (λ n+1 z, λ n+1 t) h j (λ n z, λ n t) }. j=1 D abord on a : ψ j (λ n+1 ξ) = φ j (λ n+1 ξ) φ j 1 (λ n+1 ξ) = φ 0 (λ n+j+1 ξ) φ 0 (λ n+j ξ). En sommant sur n N de 0 à N, on obtient : N ψ j (λ n+1 ξ) = φ 0 (λ j+n ξ) φ 0 (λ j ξ). De façon similaire, on établit l égalité : N ψ j (λ n ξ) = φ 0 (λ j+n ξ) φ 0 (λ j 1 ξ). Et par suite : N { ψj (λ n+1 ξ) ψ j (λ n ξ) } = φ 0 (λ j ξ) + φ 0 (λ j 1 ξ) inalement : N = φ j (ξ) + φ j 1 (ξ) = ψ j (ξ). { hj (λ n+1 z, λ n+1 t) h j (λ n z, λ n t) } = 1 Après sommation sur j N, on obtient : D où : N j=1 { hj (λ n+1 z, λ n+1 t) h j (λ n z, λ n t) } = 1 ( ψ j (ξ))f(ξ, t) (1 ψ 0 (ξ))f(ξ, t) N { h0 (λ n+1 z, λ n+1 t) h 0 (λ n z, λ n t) } + N { hj (λ n+1 z, λ n+1 t) h j (λ n z, λ n t) } = j=1 ( 1 1 ψ 0 (ξ) + ) N ψ 0(ξ) f(ξ, t) 15

16 R. Ben harrada & A. El Kacimi Alaoui Le passage à la limite pour N tendant vers + donne en définitive : N { h0 (λ n+1 z, λ n+1 t) h 0 (λ n z, λ n t) } + N { hj (λ n+1 z, λ n+1 t) h j (λ n z, λ n t) } = j=1 1 (1 ψ 0 (ξ) + (ψ 0 (ξ) 1)) f(ξ, t) dξ dξ = 0. En réalité, la fonction -holomorphe K qu on cherche est réduite à la série double : K(z, t) = j=1 { vj (λ n+1 z, λ n+1 t) v j (λ n z, λ n t) }. Sa convergence uniforme sur tout compact de M résulte de sa convergence en (0, 0) (puisque tous ses termes sont nuls) et du fait que la série des dérivées par rapport à la variable z est équivalente à des séries géométriques de raison λ (qui est dans ]0, 1[). (Rappelons que sur l espace H ( M) = H ( R) la convergence uniforme sur tout compact est équivalente à la 0, -convergence.) Sixième étape Revenons maintenant à la condition H(0, 0) = 0 nécessaire à l existence de la fonction -holomorphe K qu on cherche. Soit I : A 01 (M) la forme linéaire continue définie par : I(fdz) = 1 ψ 1 (z)f(z, 0) dz dz. z Alors il n est pas difficile de voir, à partir de tous les calculs que nous avons menés précédemment, que H(0, 0) = 0 si, et seulement si, la (0, 1)-forme feuilletée f(z, t)dz est dans le noyau de I. La dimension de l espace vectoriel H 01 (M) est donc au plus 1. Pour montrer qu elle est en fait égale à 1, il suffit de vérifier que la forme linéaire I est non nulle. Nous allons voir que son évaluation sur la (0, 1)-forme : ω 0 = zdz zz + t 2 est différente de 0. À cet effet, rappelons d abord que ψ 1 ne dépend que du module de z et que son support est contenu dans une couronne : = {z : R 1 z R 2 } (avec, bien sûr, 0 < R 1 < R 2 ). D autre part, comme ψ 1 est à valeurs dans R + et non identiquement nulle, son intégrale sur l intervalle [R 1, R 2 ] (en tant que fonction uniquement de r = z ) est un réel strictement positif. Posons z = re iθ. On a : dz dz = d(re iθ ) d(re iθ ) = ( e iθ (dr + irdθ) ) ( e iθ (dr irdθ) ) = 2irdr dθ. 16

17 D où : ohomologie de Dolbeaut feuilletée du feuilletage affine complexe de Reeb I(ω 0 ) = 1 = 1 2iπ ( R2 = 1 π ψ 1 (z)z dz dz z z 2 ψ 1 (r)( 2i) dr dθ r ) ψ 1 (r) dr r R 1 R2 = 2 R 1 < 0 ψ 1 (r) dr r et donc I(ω 0 ) 0. Par suite, la forme linéaire continue I n est pas nulle. e qui donne en définitive : eci termine la démonstration du théorème Remarque H 01 (S n+1 S 1 ) = ω 0. 2π Elle pourrait être significative, et c est la raison pour laquelle nous avons jugé de la faire. La cohomologie de Dolbeault feuilletée H 0 (Sn+1 S 1 ) du feuilletage est la même que celle de la feuille compacte (courbe elliptique λ ) induite par la feuille correspondant à t = 0 dans le revêtement M = R \ {(0, 0)}. eci est sûrement dû au fait que cette feuille compacte a une holonomie contractante. 0 dθ 17

18 R. Ben harrada & A. El Kacimi Alaoui Références [B] Ben harrada, R. ohomology of some complex laminations. Results in Mathematics 57, (2010) [Ek] El Kacimi Alaoui, A. The along the leaves and Guichard s Theorem for a simple complex foliation. Math. Annalen 347, (2010), [ES] El Kacimi Alaoui, A. & Slimène, J. ohomologie de Dolbeault le long des feuilles de certains feuilletages complexes. Annales de l Institut ourier de Grenoble, Tome 60 n o 2, (2010), asc. 2 Vol. 38, (1986), [GT] Gigante, G. & Tomassini, G. oliations with complex leaves. Diff. Geo. and its Applications 5, (1995) [Hö] Hörmander, L. An Introduction to omplex Analysis in Several Variables. D. Van Nostrand ompagny, Inc., (1966). [Sl] Slimène, J. Deux exemples de calcul explicite de cohomologie de Dolbeault feuilletée. Proyecciones Vol. 27, N 0 1, pp , May Rochdi Ben harrada Département de Mathématiques aculté des Sciences de Sfax 3018 Sfax Tunisie rochdi charrada@yahoo.fr Aziz El Kacimi Alaoui LAMAV, R du NRS 2956 ISTV 2, Le Mont Houy Université de Valenciennes Valenciennes edex 9 rance ité des Géométries Gare numérique de Jeumont aziz.elkacimi@univ-valenciennes.fr 18