Le repère mobile d Elie Cartan

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Le repère mobile d Elie Cartan"

Transcription

1 Première partie Le repère mobile d Elie Cartan Avertissement! En général, nous nous placerons dans le cas de non-annulation des courbures. I. Courbure des courbes à2d Nous allons étudier la notion de repère mobile élaborée par Jean-Frédéric Frenet, Gaston Darboux, Elie Cartan. Le premier chapitre sur les courbes planes est élémentaire mais facile d accès et très instructif. Il fait bien comprendre les conséquences d une structure qui contient à la fois de la géométrie groupe opérant sur un ensemble) et des différentielles. Nous pourrons donc parler de la longueur d une courbe quand il n y a pas de longueur et de normale à une courbe quand il n y a pas d angle! Ensuite nous introduirons la machinerie d Elie Cartan et nous l appliquerons à quelques exemples plus ou moins classiques. Quel peut être l interprétation du paramètre normal pour une courbe de genre photon en relativité restreinte? Le statut et l interprétation du i des nombres complexes, objet de certaines de nos discussions en mécanique quantique, sont aussi étudiés dans ce contexte particulier. 1. Le groupe ASO2) Le groupe des déplacements dans le plan affine euclidien orienté P sera noté ASO2) translations et rotations). Un repère associé à ce groupe est la donnée d un point et d un vecteur unitaire. Avec ceci, le deuxième vecteur est complètement déterminé orthogonal au premier, sens direct, unitaire). D où la notion de ASO2) - repère. Une courbe peut être définie de façon cinématique : t mt), t paramètre réel, mt) P, la courbe étant l image de cette application. Le premier invariant différentiel géométrique local est : I-1) m t) dt. Ceci est bien invariant par ASO2) et il est bien géométrique et non cinématique car il ne dépend pas de la paramétrisation particulière choisie : dt t u avec du > 0 m u) du = dt du m t) du dt dt = m t) dt. Nous appelerons paramètre normal le paramètre s défini par : I-2) ds = m t) dt autrement dit s est caractérisé à un signe près par m s) =1. Définissons le repère mobile repère de Frenet) par : e 1 s) =m s). 1

2 Donc e 2 s) est défini. { } e1 2 = e 2 2 =1 e 1 e 2 =0 = { e1 e 1 = e 2 e 2 =0 e 1 e 2 = e 1 e 2 Donc, il existe une fonction ρ, appelée courbure, telle que l on ait : I-3) m s) =e 1 s) e 1s) = 0 +ρs)e 2 s) e 2s) = ρs)e 1 s)+0 ms),e1 s),e 2 s) ) est un ASO2)-repère mobile. A ne pas confondre avec un ASO2)-repère... qui est fixe ). Etant donné unaso2)-repère il existe une bijection entre le groupe ASO2) et l ensemble des ASO2)-repères : 0,u 1,u 2 ) donné : g ASO2) donne g0),gu 1 ),gu 2 ) ). Nous sommes partis d une courbe s ms) dans le plan nous avons construit une courbe s ms),e 1 s),e 2 s) ) dans l espace des repères fibré des repères), i.e. dans le fibré des groupes puis une courbe ) 0 ρs) s dans l ensemble des algèbres de Lie fibré des algèbres ρs) 0 de Lie de ASO2)). Si deux courbes t m 1 t) et t m 2 t) ont même courbure ρ, alors il existe un déplacement g ASO2) tel que : Considérons un observateur en mouvement g m 1 t) ) = m 2 t). t mt),e 1 t),e 2 t) ) e v 2 e 1 v e 1 e 2 Soit vt) = ds sa vitesse scalaire. dt Soit a un vecteur fixe a = ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 0= da dt = ξ1 e 1 + ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + ξ 2 e 2. 2

3 Donc l observateur voit les coordonnées de a varier : dξ 1 I-4) dt ξ2 ρv =0 dξ 2 dt + ξ1 ρv =0 Si un vecteur satisfait à ces équations l observateur saura que ce vecteur est fixe, c est-à-dire transporté de façon parallèle. Sur un navire en mouvement, ceci donne la variation de la direction d une batterie tirant sur une cible fixe. 2. Le groupe ASL2) Le groupe des transformations affines de déterminant + 1 dans le plan affine orienté P sera noté ASL2). Un repère associé à ce groupe est la donnée d un point O et de deux vecteurs e 1,e 2 tels que l aire du parallélogramme soit égal à1: déte 1,e 2 )=1. D où la notion de ASL2)-repère. Faisons une étude analogue àlaprécédente. Le premier invariant différentiel géométrique local est : I-5) dét m t),m t) ) 1/3 dt. Le changement de paramètre donne : dét m u),m u) ) dt =dét du m u), d2 t dt 2 m u)+ dt ) 3 = dét m u),m u)). du Nous appellerons paramètre normal le paramètre s défini par : I-6) ds =dét m t),m t) ) 1/3 dt. dt ) 2m u)) du Les seules courbes qui n ont pas de paramètre normal sont les droites. s est caractérisé par : I-7) dét m s),m s) ) =1 Définissons le repère mobile par e 1 = m et on peut poser, à cause de I-7) e 2 = e 1 = m déte 1,e 2 )=1 déte 1,e 2 )= déte 1,e 2) donc déte 2,e 1 )=0. Donc il existe une fonction ρ appelée ASL2)-courbure telle que : m s) = e 1 s) I-8) e 1s) = 0 +e 2 s) e 2s) = ρ e 1 s) +0 Nous avons encore fait le relèvement de la courbe dans le groupe de Lie et dans l algèbre de Lie. La ASL2)-normale direction de e 2 ) est appelée axe d aberration en optique. Courbes à courbure constante : ρ = 0 parabole ρ>0 ellipse ρ<0 hyperbole 3

4 3. Le groupe ASO1, 1) Le groupe laissant fixe la forme quadratique de signature 1, 1) sera noté ASO1, 1). C est le groupe de Poincaré dans un espace à deux dimensions Lorentz et translations). Pour un vecteur a =a 1,a 2 ) sa norme est a c 2 = a 2 1 c 2 a 2 2. ASO1, 1)- repère : e 1 et e 2 orthogonaux, e 1 2 c =1, e 2 2 c = c 2. On peut aussi prendre a c 2 = a 2 1/c 2 a 2 2. Etudions le repère mobile d une courbe : Premier cas m t) 2 c < 0 La courbe est du genre temps. Le premier invariant différentiel est : m t) c dt. Le paramètre normal, appelé temps propre est défini par : c ds= m t) c dt de telle sorte que s est caractérisé par : m s) c = c. Le paramètre normal s est appelé temps propre en relativité restreinte. Définissons le repère mobile par e 1 s) =m s). Donc e 2 est défini e 1 2 c = c 2 et e 2 2 c =1 e 1 e 1 =0 et e 2 e 2 =0. Donc, il existe une fonction ρ telle que : e 1s) =ρs) e 2 s). Finalement e 2s) =be 1 s), avec b tel que : be 1 e 1 = e 2 e 1 = e 2 e 1 = ρ e 2 e 2. D où les équations du repère mobile : m s) =e 1 s) I-9) e 1s) =0 +ρs)e 2 s) e 2s) = 1 c 2 ρs)e 1s) +0 Deuxième cas m t) 2 c > 0 La courbe est du genre espace. Etude analogue : ds = m t) c dt e 1 s) =m s), e 1 2 c =1, e 2 2 c = c 2 m s) =e 1 s) I-10) e 1s) =0 + 1 c 2 ρs) e 2s) e 2s) =ρs)e 1 s) +0 Remarques : si la courbe est telle que, pour tout t : m t) 2 = 0, c est une droite et elle n a pas de paramètre normal. Dans le cas c = ± i, on retrouve ASO2). Dans le cas c on retrouve AGal2), le groupe de Galilée. 4

5 Le groupe affine de Galilée, écrit matriciellement, a 1 v 1 1 x = x + a + vt b 0 1 t t + b est associé au groupe de Galilée 1 v 0 1 ) ) x = t ) x + vt. t En tenant compte du fait que e 2 est constant, le repère mobile s écrit : dm = e 1 e 1 =0 +ρe 2 e 2 =0 +0 Le passage à la limite c est plus délicat qu il n y paraît au niveau de la structure quadratique x 2 c 2 t 2, mais est simple au niveau du repère mobile. 4. Le groupe ASSim2) Le groupe des similitudes directes du plan affine euclidien P sera noté ASSim2). Un ASSim2)-repère est donné par un point O et un vecteur e 1. Le vecteur e 2 est complètement déterminé : il est orthogonal à e 1, dans le sens direct, et tel que e 1 = e 2. Le premier invariant différentiel géométrique local d une courbe est : dét m t),m t) ) m t) 2 dt. Le changement de paramètre t u tel que du/dt > 0 donne : dt du m t), d 2 t du 2 dét m u),m u) ) m u) 2 = dét m t)+ dt du m t) 2 Le paramètre normal est défini par : I-11) ds = dét m t),m t) ) m t) 2 2m ) dt du) t) Donc s est tel que : dét m s),m s) ) = m s) 2. Les droites sont les seules courbes qui ne possèdent pas de paramètre normal. Définissons le repère mobile par e 1 s) =m s). Donc e 2 s) est défini e 1 = ρe 1 + αe 2 ; calculons α : dt. e 1 2 = e 2 2 e 1 e 1 = e 2 e 2 e 1 e 2 =0 e 1 e 2 = e 1 e 2 { } déte1,e 1)= e 1 2 déte 1,e 2 )= e 2 2 déte 1,e 1) déte 1,e 2 ) = e 1 e 2 =1. déte 1,e 1)=déte 1,e 2 ) α e 1 e 2 = e 1 e 2 donc α =1. = dt dét m t),m t) ) du m t) 2. 5

6 I-12) m s) =e 1 s) e 1s) =ρs)e 1 s) +e 2 s) e 2s) = e 1 s) +ρs)e 2 s) Remarque : dans le livre de Guy Laville, Courbes et Surfaces, éditeur ellipses, cette étude doit remplacer celle exposée au chapire VI, paragraphe 4, car l invariant introduit est bien invariant, différentiel, géométrique, mais pas local! Courbes à ASSim2) courbure constante Il est plus facile de faire les calculs dans le plan complexe. Posons zs) = ms), alors e 1 s) =z s), e 2 s) =iz s) et la deuxième égalité I-12) s écrit : qui a pour solution : z s) =ρz s)+iz zs) =a + be ρ+i)s avec a C et b C. En termes réels { xs) =a0 + b 0 e ρs coss) ys) =a 1 + b 1 e ρs sins) on trouve une spirale logarithmique. Soit a un vecteur fixe a = ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 0= da dt = ξ1 e 1 + ξ 1 ρe 1 + e 2 )+ξ 2 e 2 + ξ 2 e 1 + e 2 ). Donc, dans le repère mobile un observateur voit les coordonnées de a varier : I-13) { ξ 1 + ξ 1 ρ ξ 2 =0 ξ 2 + ξ 2 ρ + ξ 2 =0 S il sait que le vecteur est fixe et constate ces équations, il saura que le groupe de sa géométrie est ASSim2), en particulier les longueurs ne sont pas constantes. 5. Comparaison entre ASO2) et ASSim2) Reprenons le ASO2)-repère mobile avec ASO2)-paramètre normal. Le repère ms), e 1 s), e 2 s) ) devient pour ASSim2) : ms), λs)e 1 s), λs)e 2 s) ) avec λ fonction pouvant être choisie. d λs)e1 s) ) = λ s)e 1 s) +λs)ρs)e 2 s) ds d λs)e2 s) ) = λs)ρs)e 1 s) +λ s)e 2 s) ds 6

7 Nous pouvons choisir λs). Prenons-la telle que : Soit σ le ASSim2)-paramètre normal : λs)ρs) =1. dσ = dét m s),m s) ) m s) 2 ds =dét e 1 s),e 1s) ) ds = ρs)ds. D où : d dσ λe 1)= 1 ρ courbure semblable = 1 ρ d ds λe 1)= 1 ρ λ λ = 1 ρ ρ d ds λ λ λe 1 + ρ ρ λe 2. 1 ρ = ρ ρ 2 carré audénominateur. Formule donnée où) par H. Weyl. 6. Conclusions Les notions de paramètre normal et de repère de Frenet ne sont pas définies que pour la géométrie euclidienne. Elles peuvent être définies dès que l on se donne un groupe. Pour chaque groupe, nous avons une longueur entre deux points de la courbe. La longueur euclidienne correspond à notre intuition habituelle. La longueur en relativité restreinte à deux dimensions une de temps, une d espace) est interprétée classiquement comme le temps propre. Les particules de type photon à deux dimensions n ont pas de temps propre. Le groupe des similitudes est utilisé quand on étudie les modèles réduits en mécanique. II. Le repère mobile de Gaston Darboux et d Elie Cartan 1. Terminologie Nous supposons que le lecteur saurait définir ou, du moins, a une idée claire) les notions suivantes, G étant un sous-groupe de AGLn) : repère d un espace affine groupe AGLn)). G-repère, G-repère mobile. Nous en avons étudié des cas particuliers précédemment. G-référentiel d inertie. Nous préciserons ces notions de référentiel par la suite. Commençons par étudier la notion de repère mobile de façon générale. Nous utiliserons la notion de forme différentielle et de différentielle extérieure. 2. Equations de structure de Maurer-Cartan Considérons un espace affine de dimension n, son groupe AGLn) et un repère mobile m, e 1,e 2,...,e n ). II-1) { dm = ω h e h de k = ω h k e h 7

8 Nous avons utilisé la convention de sommation. Les indices vont de 1 à n. d 2 m = 0 donne dω h e h ω l de l =0 donc dω h e h = ω l ω h l e h d 2 e k = 0 donne dω h k e h ω l k de l =0 donc dω h k e h = ω l k ωh l e h. D où les équations de structure de AGLn) II-2) { dω h = ω l ω h l dω h k = ωl k ωh l Sous-groupe ASLn) C est le sous-groupe de AGLn) qui conserve les n-volumes. Les ASLn) repères ont une seule contrainte : déte 1,...,e n ) = 1. Par dérivation : II-3) n h=1 n h=1 déte 1,...,e h,...,e n )=0 ω h h =0 Donc, pour ASLn) on a les équations II-1), II-2), II-3). Sous-groupe ASOn) Contrainte : e k e h = δ kh. Par dérivation de k e h = e k de h. Donc : II-4) ω k h = ω h k. Nous avons antisymétrie, en particulier, pour tout h : ωh k = 0 ici, pas de somme!). Donc, pour ASOn), nous avons les équations II-1), II-2), II-4). Sous groupe ASOn 1, 1). Prenons e k 2 = 1 pour k =1,...,n ; e n 2 = c 2. Un calcul analogue, mais en tenant compte de : de k e n = e k de n, k =1,...,n 1 ωk h e h e n = e k ωne k h ω n k c 2 )= ω k n II-5) ωh k = ωh k pour k et h de 1 à n 1 ωk n = 1 c 2 ωk n pour k de 1 à n 1 = 0 pas de somme) h de 1 à n. ω h h Donc pour ASOn 1, 1) nous avons les équations II-1), II-2), II-5). Remarques : pour c = i nous retrouvons ASOn). Pour c nous avons les équations de structure du groupe de Galilée. Nous avons pris e n e n = c 2, mais on peut aussi prendre e 1 e 1 = c 2, par échange des indices 1 et 2. 8

9 Sous-groupe ASSimn) Les contraintes sur le ASSimn) repère sont : e k e h = 0 pour k h et e 1 e 1 = e 2 e 2 = = e n e n. De la même façon que précédemment : II-6) { ω k h = ω h k pour k h ω k k = ωl l pas de somme, pour tout k et l). Remarque : interprétation de de j = ω i j e i. Supposons que le repère suive une courbe dont le vecteur tangent est e 1 en un certain point que nous n écrirons pas) ωje i e j p + εe 1 ) e j p) 1 )e i = de j e 1 ) au point p = lim. ε 0 ε Donc ωj ie 1) est le taux de rotation de e j autour de e i quand le repère mobile se déplace le long de cette courbe. Ecriture matricielle : Après le choix d une base de n vecteurs : v =v 1,...,v n ) peut être considéré comme une matrice et on peut faire des multiplications matricielles : va)b =va)b = vab). Posons ω =ωj) i matrice carrée à coefficients formes ϖ =ω i ) matrice ligne à coefficients formes. Alors, les équations II-2) s écrivent : { dϖ = ϖ ω dω = ω ω le signe moins est dû à la multiplication matricielle dans ωj i ), i est l indice de la ligne, j de la colonne. 3. Groupe de Lie, algèbre de Lie et son dual Etant donné un groupe de Lie, nous pouvons utiliser soit son algèbre de Lie et l opération [X, Y ] soit le dual de cet algèbre, i.e. l espace vectoriel des formes différentielles et l opération de différentielle extérieure. C est ce dernier point de vue qui est adopté car il est très adapté à l étude du repère mobile. Nous passons de l un à l autre au niveau algèbrique par dualité et au niveau analyse par dωx, Y )= ω[x, Y ]). 9

10 4. Le repère mobile d une courbe en trois dimensions pour le groupe ASSim3) Comme exemple d application àlaméthode ci-dessus, calculons les équations du repère mobile d une courbe en 3 dimensions pour le groupe constitué des déplacements et des homothéties, conservant l orientation. D après II-1) et II-6) dm = ω 1 e 1 de 1 = ω1 1 e 1 + ω2e ω3 1 e 3 de 2 = ω2 1 e 1 + ω1e ω2 3 e 3 de 3 = ω3 1 e 1 ω2e ω1 1 e 3 Prenons comme invariant différentiel géométrique local : m t) m t) m t) 2 dt s est donc caractérisé par m s) m s) = m s) 2. Choisissons e 2 dans vecte 1,e 1). Donc : rappelons que e 1 = e 2 = e 3 ). Donc ω 1 ω 1 2 =ω 1 ) 2 d où ω 1 2 = ω 1. ω3 1 =0 ω 1 e 1 ω1e ω2e 1 2 )=ω 1 ω2e 1 1 e 2 ω 1 e 1 ω 1 e 1 =ω 1 ) 2 e 1 2 et e 1 e 2 = e 1 2 Nous avons ω 1 = ds, les relations II-2) donnent : 0=d 2 s = dω 1 = ω 1 ω 1 1 donc, il existe une fonction ρ 1 telle que : ω 1 1 = ρ 1 ω 1 ω 3 1 =0 0=dω 3 1 = ω 1 1 ω ω 2 1 ω ω 3 1 ω 3 3 = ω 1 ω 3 2 donc, il existe une fonction ρ 2 telle que : ω2 3 = ρ 2 ω 1. D où les équations pour ce repère mobile. m = e 1 e 1= ρ 1 e 1 + e e 2= e 2 + ρ 1 e 2 + ρ 2 e 3 e 3=0 ρ 2 e 2 + ρ 1 e 3 5. Le repère mobile des courbes à 4 dimensions Nous allons considérer le groupe de Poincaré ASO3, 1) Lorentz plus translations) en conservant la constante c. Pour c = i on trouvera ASO4), pour c on trouvera AGal3, 1) groupe de Galilée. Forme quadratique : x x x 3 3 c 2 x 2 4. Soit t mt) une courbe. Il faut distinguer 3 cas : m t) > 0, m t) < 0, m t) =0. 10

11 Premier cas : m t) > 0. La courbe est du genre espace. Construisons le repère mobile. Origine : m. Premier vecteur : e 1 tangent, e 1 =1 dm = ω 1 e 1 donc ω 2 = ω 3 = ω 4 =0. Deuxième vecteur : e 2 orthogonal à e 1, e 2 = 1, dans la direction de de 1 e 1 de 1 =0) de 1 = ω1 2 e 2 donc ω1 3 =0,ω2 3 =0. dω 2 = 0 donc II-2) donne ω 1 ω1 2 = 0. Il existe une fonction ρ 1 telle que ω1 2 = ρ 1 ω 1. Choisissons e 3 dans vecte 1,e 2,de 2 ), orthogonal à e 1,e 2, sens direct, e 3 =1. de 2 = ρ 1 ωe ω2e 3 3 puisque II-5) donne ω2 2 =0 et ω2 1 = ω1. 2 De plus : ω1 3 = 0 donc : 0=dω1 3 = ω j 1 ω3 j on a : ω1 1 = ω3 3 =0, ω1 4 =0 ω1 2 ω2 3 =0 ρ 1 ω 1 ω2 3 =0. Donc, il existe une fonction ρ 2 telle que ω2 3 = ρ 2 ω 1. de 2 = ρ 1 ω 1 e 1 + ρ 2 ω 1 e 3. Le vecteur e 4 est maintenant complètement déterminé e 4 2 = c 2 de 3 = ω j 3 e j, on a ω3 1 = ω1 3 =0,ω3 3 =0 de 3 = ρ 2 e 2 + ω3 4 e 4 ω 4 1 = 0 donc 0 = dω 4 1 = ω j 1 ω4 j. Comme précédemment ω 4 3 = 1 c 2 ρ 3ω 1. Enfin, II-5) donne : 0=ω 4 1 = 1 c 2 ω1 4, 0=ω 4 2 = 1 c 2 ω2 4, 0=ω 4 4, ω 4 3 = 1 c 2 ω3 4 donc ω 3 4 = ρ 3 ω 1. D où les équations du repère mobile dm = ω 1 e 1 II-7) de 1 =0 +ρ 1 ω 1 e de 2 = ρ 1 ω 1 e ρ 2 ω 1 e 3 +0 de 3 =0 ρ 2 ω 1 e c 2 ρ 3 ω 1 e 4 de 4 =0 +0 +ρ 3 ω 1 e 3 +0 On peut prendre un paramètrage tel que : ω 1 = ds = m t) dt. Deuxième cas : m t) < 0. La courbe est du genre temps. Etude analogue ou changement d indices : dm = ds e 1 de 1 =0 +ρ 1 dse II-8) de 2 = 1 c 2 ρ 1dse ρ 2 dse 3 +0 de 3 =0 ρ 2 dse ρ 3 dse 4 de 4 =0 +0 ρ 3 dse 3 +0 Faire c 2 = 1 pour retrouver le repère mobile de ASO4). 11

12 6. L algèbre de Clifford mobile R 3,0 Considérons le groupe ASO3) et son algèbre de Clifford R 3,0. Les équations du repère mobile en paramétrage normal s d une courbe s écrivent : m = e 1 e 1 =0 +ρ 1 e 2 +0 e 2 = ρ 1 e ρ 2 e 3 e 3 =0 ρ 2 e 2 +0 L algèbre de Clifford peut être engendrée par e 1 s),e 2 s),e 3 s). Considérons le pseudoscalaire is) =e 1 s) e 2 s) e 3 s) et calculons sa dérivée : i = ρ 1 e 2 e 2 e 3 + e 1 ρ 1 e 1 + ρ 2 e 3 )e 3 + e 1 e 2 ρ 2 e 2 ) = ρ 1 e 3 ρ 1 e 3 + ρ 2 e 1 ρ 2 e 1 =0. Donc i est indépendant de s. Il est universel. Ceci est intuitivement évident : i représente l espace tout entier. C est une raison supplémentaire pour supprimer les nombres complexes et les absorber dans l algèbre de Clifford! 7. Dynamique galiléenne du point matériel Ici on peut prendre un paramètre universel t qui peut être interprété comme le temps. Un observateur suit une trajectoire t mt). Soit st) son paramètre normal, vt) = dst) dt vitesse scalaire, at) = d2 st) dt accélération scalaire. Equations du repère mobile de l observateur : m t) =vt)e 1 t) e 1t) = 0 +vt)ρ 1 t)e 2 t) +0 e 2t) = vt)ρ 1 t)e 1 t) +0 +vt)ρ 2 t)e 3 t) e 3t) = 0 vt)ρ 2 t)e 2 t) +0 Soit Mt) la masse. Elle est en général variable exemple : un rafale décollant d un porte-avion) F mt) ) = d dt Mt)m t) ). II-9) F mt) ) = M t)vt)+mt)v t) ) e 1 t)+mt)vt) 2 ρ 1 t)e 2 t). La force se décompose en deux, la composante orthogonale à la trajectoire provoque la première courbure. II-10) ρ 1 = F e 2 Mv 2. 12

13 Ces formules ne doivent pas faire croire que la deuxième courbure dite torsion ) ρ 2 n intervient pas. En paramétrage quelconque, on a : ρ 2 = détm,m,m ) m m 2. { F = M m + Mm F = M m +2M m + Mm détm,m,m )= 1 M 2 détm,f,f ). II-11) df mt) ) dt = df mt),m t) ) = m t) ) F mt) ) ρ 2 = dét m,f,m )F ) m F 2. La seconde courbure est indépendante de la masse. 8. Dynamique en relativiste restreinte Un observateur suit une trajectoire de genre temps sa ligne d univers). Le repère mobile m, e 1,e 2,e 3,e 4 ), dont le mouvement est décrit en II-8), a pour noms classique : repère de référence propre proper reference frame), tétrade de l observateur, tétrade orthogonale. A ne pas confondre avec la tétrade de Fermi-Walker. Critiquons d abord la notion de masse au repos. Par définition celle-ci est la masse d une particule de vitesse nulle dans un référentiel d inertie. Cette masse au repos est un invariant par changement de référentiel d inertie. Mais m, e 1,e 2,e 3,e 4 ) n est pas toujours un référentiel d inertie. C est pourquoi nous utiliserons la notion de masse propre. Nous allons étudier si celle-ci est constante. A priori la particule est définie en utilisant le paramètre normal s par sa masse propre s Ms) et sa trajectoire s ms) de genre temps. Soit f une 4-force et ps) l impulsion f ms) ) = dps) ds. d Ms)m s) ) = M s)e 1 s)+ms)ρ 1 s)e 2 s) ds f e 1 = M e 1 e 1 = c 2 M. La masse propre est constante si et seulement si la force est orthogonale à la ligne d univers. Ce qui est le cas pour l électromagnétisme classique. Etudions comment la force engendre les courbures II-12) f e 2 = Mρ 1 f e 3 = Mρ 1 ρ 2 f e 4 = Mρ 1 ρ 2 ρ 3 Remarque : observateur regardant un vecteur fixe. Soit v un vecteur fixe, dv = 0. 13

14 Dans le repère mobile v = ξ i e i, dv = 0, d où : II-13) ξ 1 + ξ2 ρ 1 c 2 =0 ξ 2 +ρ 1 ξ 1 ρ 2 ξ 3 =0 ξ 3 +ρ 2 ξ 2 ρ 3 ξ 4 =0 ξ 4 +ρ 3 ξ 3 =0 9. Le repère mobile pour une courbe de genre photon Reprenons l étude faite dans le paragraphe 4, mais dans le cas où la courbe t mt) est du genre photon : m t) = 0. Nous suivons ici certaines idées de Heinz Krüger Differential geometry and dynamics of Lightlike point in Lorentzian space time, annales de la fondation Louis de Broglie, vol. 24, )). Remarquons d abord que nous ne pouvons pas utiliser les idées classiques de courbe dessinée sur une sous-variété et repère de Darboux : une sous-variété d une variété pseudoriemannienne n est pas toujours pseudoriemannienne! La courbe t mt) est dessinée sur le cône de lumière sous-variété de dimension 3). Pour faire l étude la plus simple possible, suivons les idées de I paragraphe 1. Cherchons le premier invariant différentiel géométrique local ; premier signifie qu il utilise les ordres de dérivation m t),m t),m t) le plus petit possible m t) = 0 est identiquement nul donc inutilisable. Fixons un référentiel inertiel de Lorentz u 1,u 2,u 3,u 4 avec u 4 2 = c 2 m t) =vt)+v 4 t)u 4 vt) vt) 2 v 4 t)c 2 =0 v 4 2 t) =±. c Posons ε = ±1 vt) m 2 t) =vt)+ε u 4 c m t) =v t)+ ε v c v 2 3 v u 4 le produit scalaire étant dans R 3 : v v 2 3 v v. Deux cas possibles : Soit on a égalité, alors v et v sont colinéaires, la projection de t mt) est une droite de R 3 donc t mt) est une droite sur le cône. Dans ce cas on n aura pas de paramètre normal et pas de repère de Frenet ; nous avons vu un cas analogue pour ASL2). v Soit on a v 2 v < v. v Alors m t) 2 = v 2 v 2 3 v ) 2 > 0. D où le premier invariant différentiel géométrique local : II-4) m t) 1/2 dt, 14

15 nous avons bien pour t ut), du dt > 0 m u) 1/2 du = d2 t dt ) 2m du 2 m t)+ t) 1/2 du du dt dt = dt ) 2m t) 1/2 du du dt dt puisque m et m sont orthogonaux et m =0. Nous définirons le paramètre normal en posant : Il est caractérisé par : ds = m t) 1/2 dt. II-15) m s) =1. Nous ne pouvons pas prendre pour premier vecteur de base un vecteur colinéaire à m serait de norme nulle et les vecteurs d un ASO3, 1)-repère sont de norme non nulle. Posons σ = 1 2 m 2. car il Dans vectm,m ) il y a des vecteurs de genre temps et de genre espace espace quadratique de dimension 2, signature +, -). Prenons e 1 et e 4 base de cet espace : e 2 1 =1, e 2 4 = c 2 et e 1 e 4 =0: II-16) m = e c e 4 m = σ 1 ) e1 + σ )1 c e 4. Ce choix est possible parce que : D où e 2 1 =1 et e 2 4 = c 2. Vérifions enfin que e 1 e 4 =0 0=m 2 = e c 2 e2 4 e 2 4 = c 2 e 2 1 2σ = m 2 = σ 1 2 e 2 2) 1 + σ ) c 2 e2 4 = σ 1 ) 2 + σ + 1 ) 2 ) e m 2 =0 m m =0 m m = m 2 = 1 m m = σ σ σ 2) c 2 c2 )+ c + 1 2c σ c 1 ) e 1 e 4 2c 1 = 1+ 2σ ) e 1 e 4. c Mais si σ = 0, alors m et m sont dans le cône, dans celui-ci tous les produits scalaires sont dégénérés m m = 0 contradiction. Donc σ 0 et e 1 e 4 =0. Pour fixer e 2 remarquons que : { } m 2 =0 m m =0 m 2 =1 m m m orthogonal à e 1 et e 4 =0 15

16 Nous pouvons donc poser : II-17) e 2 = m. Complétons le repère mobile, e 3 est complètement déterminé. Posons : ρ = e 1 e 3. D après m = e 2, II-16) première ligne dérivée, multipliée par e 4 : 0=e 4 e 2 = e 4 e c e 4 e 4 = e 4 e 1. D où en tenant compte de m = e 2, e 1 e 2 = e 1 e 2 = σ : e 1 =0+ σ + 1 ) e 2 + ρe II-16) deuxième ligne donne : e 2 = m = σ + 1 ) e σ ) c e 4. Calculons e 3 e 4 : 0=e 3 e 2 = e 3 m = e 3 e c e 3 e 4 e 3 e 4 = e 3 e 4 = c e 3 e 1 = cρ. Les coefficients de e 4 sont obtenues par les relations de symétrie. Finalement les équations du repère mobile s écrivent : II-18) m = e c e 4 e 1=0 + σ + 1 ) e 2 + ρe e 2= σ + 1 ) e σ ) c e 4 e 3= ρe ρ 1 c c e 4 e 4=0 + σ + 1 ) ce 2 + c) ρe Il serait intéressant d appliquer ces relations à une particule ayant pour vitesse c et subissant certaines interactions. Remarque A tout ASO3, 1)-repère m, e 1,e 2,e 3,e 4, on peut faire correspondre un repère m, u 1,u 2,u 3,u 4 tel que les 3 premiers vecteurs soient de norme 0, u 2 4 = 1, u i u j = 1 u j = e j + 1 c e 4 pour j =1, 2, 3, u 4 = 1 c e 4 e j = u j u 4 pour j =1, 2, 3, e 4 = cu 4. Et on peut écrire le mouvement du repère m, u 1,u 2,u 3,u 4. Mais ceci nous fait sortir du cadre groupe de Lie-algèbre de Lie. 16

17 III. Courbures des surfaces plongées dans un espace à trois dimensions 1. Le groupe ASO3) Soit P le plan affine 2 dimensions) et E l espace affine 3 dimensions). Une surface sera donnée par : m : P E en fait le domaine de m est une partie de P ). Nous allons utiliser la méthode de II-2) pour étudier. m est maintenant à deux variables, la notion de paramètrage normal est beaucoup plus délicat. Le vecteur e 3 sera choisi orthogonal à la surface avec e 3 = 1. Dans le plan tangent deux vecteurs orthogonaux unitaires v 1,v 2 restent àpréciser ; dm est dans le plan tangent donc ω 3 = 0. D après II-2) : ω 1 ω1 3 + ω 2 ω2 3 =0. Donc, il existe 3 fonctions a, b, c telles que : ω1 3 = aω 1 + bω 2 et ω2 3 = bω 1 + cω 2. D après II-3) de 3 = ω3v ω3v 2 2 =aω 1 + bω 2 )v 1 +bω 1 + cω 2 )v 2 =av 1 + bv 2 )ω 1 +bv 1 + cv 2 )ω 2. ) a b Le choix sur v 1,v 2 ) va être utilisé pour rendre la matrice symétrique M = b c diagonale. Soient ρ 1 et ρ 2 les deux valeurs propres. Elles sont réelles. Supposons-les distinctes : ρ 1 ρ 2. Soient e 1,e 2 des vecteurs propres correspondant. Ils sont orthogonaux et définis à une constante près. Nous pouvons donc les choisir tels que e 1 =1, e 2 = 1 et e 1,e 2,e 3 ) trièdre direct. ρ 1 et ρ 2 sont appelées courbures principales. K = ρ 1 ρ 2 = ac b 2 courbure totale. ρ m = 1 2 ρ 1 + ρ 2 )= 1 a + c) courbure moyenne. 2 e 1,e 2 directions principales. D où : III-1) ω3 1 = ρ 1 ω 1 et ω3 2 = ρ 2 ω 2 de 3 = ρ 1 ω 1 e 1 ρ 2 ω 2 e 2 D après II-2) dω2 1 = ω2 l ωl 1 = ω3 2 ω3 1 d où : III-2) dω2 1 = ρ 1 ρ 2 ω 1 ω 2 = Kω 1 ω 2 ω 2 3 ω 1 2 = dω 1 3 = dρ 1 ω 1 + ρ 1 dω 1 ρ 2 ω 2 ω2 1 = ρ 1,2 ω 2 ω 1 + ρ 1 ω 2 ω2 1 Soit ρ 1,1 la dérivée de ρ 1 par rapport à la première variable, etc... ω 2 ω2 1 = ρ 1,2 ω 2 ω 1 ρ 2 ρ 1 échangeons 1 2 ω 1 ω2 1 = ρ 2,1 ω 1 ω 2 ρ 1 ρ 2 Finalement : III-3) ω2 1 = ρ 1,2 ω 1 + ρ 2,1 ω 2. ρ 2 ρ 1 ρ 2 ρ 1 17

18 Nous avons finalement les équations du repère mobile : III-4) dm = ω 1 e 1 + ω 2 e ρ1,2 de 1 = 0 + ω 1 + ρ 2,1 ω 2) e 2 + ρ 1 ω 1 e 3 ρ 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 ρ1,2 de 2 = ω 1 + ρ 2,1 ω 2) e 1 +0+ρ 2 ω 2 e 3 ρ 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 de 3 = ρ 1 ω 1 e 1 ρ 2 ω 2 e 2 +0 Etant donné une surface dans E, nous avons construit une surface dans le fibré des repères et une surface dans le fibré en algèbres de Lie. Première forme quadratique fondamentale : c est la restriction de la forme de E à la surface Pour v 1 et v 2 deux vecteurs tangents : dm dm. dm 2 v 1,v 2 )=dmv 1 ) dmv 2 ) = ω 1 v 1 )e 1 + ω 2 ) v 1 )e 2 ω 1 v 2 )e 1 + ω 2 ) v 2 )e 2 = ω 1 v 1 ) 2 + ω 2 v 2 ) 2. III-5) dm 2 =ω 1 ) 2 +ω 2 ) 2. Dans une paramétrisation de la surface : ds 2 = dm 2 = C est le g ij de la surface : = t 1,t 2 ) mt 1,t 2 ) ) m ) m ) 2 dt 1 + dt 2 t 1 t 2 m )2 m dt m ) m )2 dt 1 dt 2 + dt 2. t 1 t 1 t 1 t 2 g ij = m t i m t j. Deuxième forme quadratique fondamentale : c est la partie tangentielle des variations de la normale dm de 3 = d 2 m e 3 puisque dm e 3 =0) dm de 3 v 1,v 2 )= ω 1 v 1 )e 1 + ω 2 v 2 )e 2 ) ρ1 ω 1 v 1 )e 1 + ρ 2 ω 2 v 2 )e 2 ) III-6) = ρ 1 ω 1 v 1 ) 2 + ρ 2 ω 2 v 2 ) 2 dm de 3 = ρ 1 ω 1 ) 2 + ρ 2 ω 2 ) 2. Définition.- Une propriété est dite intrinsèque ou géodésique) quand elle ne dépend que de la première forme quadratique fondamentale. 18

19 Théorèma egregium Gauss).- La courbure totale est géodésique. Démonstration ω 1 = dm e 1 et ω 2 = dm e 2. Donc ω 1,ω 2 et leurs dérivées successives ne dépendent que du ds 2. D après III-2) et III-3) avec notations évidentes : { dω 1 2 = Kω 1 ω 2 ω 1 2 = r 1 ω 1 + r 2 ω 2 { dω 1 = ω 2 ω 1 2 = r 1 ω 1 ω 2 dω 2 = ω 1 ω 2 1 = r 2 ω 1 ω 2 Donc r 1 et r 2 ne dépendent que de la première forme Donc K ne dépend que de la première forme. Kω 1 ω 2 = dω 1 2 = dr 1 ω 1 + r 2 ω 2 ). 2. Le repère mobile de Darboux pour le groupe ASO3) Considérons une courbe tracée sur une surface S paramètre plan espace t ut) m ut) ) = mt) Changeons le paramètre t en prenant le paramètre normal s. Posons e 1 s) =m s). Alors le repère est complètement déterminé, e 2 dans le plan tangent orthogonal à la courbe e 3 orthogonal à la surface e 1,e 2,e 3 ) direct. Il existe trois fonctions ρ g,ρ n,τ 2 telles que : III-7) dm = ds e 1 de 1 = 0 +ρ g ds e 2 + ρ n ds e 3 de 2 = ρ g ds e τ r ds e 3 de 3 = ρ n ds e 1 τ r ds e ρ y et ρ n sont appelées courbures géodésique et normale, τ r torsion relative. En paramétrage quelconque : ρ g = e 2 e 1 = e 3 e 1 e 1 =déte 1,e 1,e 3 ) ρ g s) =dét m s),m s),ns) ). ρ g t) = dét m t),m t),nt) ) m t) 3 où nt) est le vecteur normal, unitaire, à la surface m t) = vt)e 1 t) m t) =v t)e 1 t)+vt) 2 ρ g t)e 2 t)+ρ n t)e 3 t) ) m m = v 3 ρ g e 3 ρ n e 2 ). 19

20 D où : ρ n t)e 1 t) = m t) m t) ) nt) m t) 3. Un point matériel de masse fixe M ayant sa trajectoire sur une surface S et soumis à une force F satisfait à l équation : F mt) ) + R mt) ) = d dt Mm t) ) = Mv t)e 1 t)+mvt) 2 ρ g t)e 2 t)+mvt) 2 ρ n t)e 3 t). R étant la réaction de la surface, elle est dans la direction de e 3. Les courbures ρ n et τ r ρ g = F e 2 Mv 2 ρ n = F e 3 + r Mv 2 avec R = re 3. sont liées aux variations de la force de réaction R = r e 3 + r ρ n e 1 τ r e 2 ) ρ n = R e 1 r τ r = R e 2. r Interprétation géométrique de la courbure géodésique = F e 3 + r Mv 2 Considérons le plan tangent T m0) S et la projection de la courbe s ms) sur ce plan tangent s ps). On a m0) = p0) et p0)ps) =m0)ms) e 1 0)e 1 0) + m0)ms) e 2 0)e 0 0) p s) =m s) e 1 0)e 1 0) + m s) e 2 0)e 2 0) p s) =m s) e 2 0)e 2 0) + m s) e 2 0)e 2 0) ρ g 0) = dét m 0),m 0),e 3 0) ) m 0) e 1 m 0) e 1 = m 0) e 2 m 0) e 2 dét p 0),p 0) ) = ρ0) p 0) = 1)) courbure de la courbe plane projetée. Interprétation géométrique de la courbure normale Considérons un plan P contenant la normale. La courbe plane P S est telle que e 2 est constant c est le vecteur normal au plan). Donc, ρ g =0, τ r = 0 et le repère de Frenet de cette courbe dans le plan P vecteurs e 1,e 3 ) montre que la courbure est égale à la courbure normale. Pour trouver toutes les formules reliant les courbures principales de la surface, les courbures d une courbe tracée sur la surface, les courbures de cette courbe considérée pour elle-même, il suffit d utiliser les formules de changement de base des trois repères. 20

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5

Université de Nantes Année 2009-2010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques. Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Université de Nantes Année 009-010 Faculté des Sciences et des Techniques Département de Mathématiques Topologie et calculs différentiel Liste n 5 Applications Différentiables Exercice 1. Soit f : R n

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Eléments de. pour la mécanique analytique et la gravitation

Eléments de. pour la mécanique analytique et la gravitation Eléments de géométrie différentielle pour la mécanique analytique et la gravitation Document préliminaire. N hésitez en aucune façon à faire part à l auteur de toute remarque, suggestion, coquille, faute,

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Le planimètre polaire

Le planimètre polaire Le planimètre polaire Document d accompagnement des transparents. Bruno eischer Introduction Dans mon exposé à La Rochelle, ou au séminaire de l IREM de Besançon, j ai volontairement consacré une longue

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

Induction électromagnétique

Induction électromagnétique Induction électromagnétique Sommaire I) Théorie de l induction électromagnétique..2 A. Introduction 2 B. Notion de force électromotrice 3 C. Loi de Faraday..5 D. Quelques applications.7 Spire circulaire

Plus en détail

RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS

RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS 2004-203 Frédy Oberson et Fred Lang LES RELATIONS DES CONTACTS HERTZIENS Lorsque deux solides non conformes sont mis en contact 2, ils se touchent initialement en un point

Plus en détail

arxiv:0811.1810v2 [math.dg] 23 Jan 2009

arxiv:0811.1810v2 [math.dg] 23 Jan 2009 Version du 23 janvier 2009 SUR LA LINÉARISATION DES TISSUS arxiv:0811.1810v2 [math.dg] 23 Jan 2009 par Luc PIRIO Résumé. Nous donnons un critère analytique simple qui caractérise les tissus en hypersurfaces

Plus en détail

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes

Plus en détail

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide)

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide) Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009 Descriptifs (Page vide) Sujet 001 Épreuve pratique de mathématiques Descriptif Étude d une fonction dépendant d un paramètre Étant donné une fonction dépendant

Plus en détail

Devoir à la maison : correction

Devoir à la maison : correction Calcul différentiel 2 Sous-variétés : bilan Devoir à la maison : correction Exercice 1. Un exemple de sous-variété : les structures complexes Soit E un R-espace vectoriel. Montrer que la donnée d une structure

Plus en détail

AOT 13. et Application au Contrôle Géométrique

AOT 13. et Application au Contrôle Géométrique AOT 13 Géométrie Différentielle et Application au Contrôle Géométrique Frédéric Jean Notes de cours Édition 2011/2012 ii Table des matières 1 Variétés différentiables 1 1.1 Variétés différentiables............................

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

Chapitre 1 Cinématique du point matériel Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Repérage d un point - Vitesse et

Repérage d un point - Vitesse et PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées

Plus en détail

Mesures gaussiennes et espaces de Fock

Mesures gaussiennes et espaces de Fock Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Équations différentielles d ordre 2 BTS Mécanique et Automatismes Industriels Équations différentielles d ordre, Année scolaire 005 006 . Définition Notation Dans tout ce paragraphe, y désigne une fonction de la variable réelle x. On suppose

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 4 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi eponentielle de paramètre λ ;

Plus en détail

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle Master de mathématiques Analyse numérique matricielle 2009 2010 CHAPITRE 1 Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires On veut résoudre un système linéaire Ax = b, où A est une matrice inversible

Plus en détail

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau

Théorie spectrale. Stéphane Maingot & David Manceau Théorie spectrale Stéphane Maingot & David Manceau 2 Théorie spectrale 3 Table des matières Introduction 5 1 Spectre d un opérateur 7 1.1 Inversibilité d un opérateur........................... 7 1.2 Définitions

Plus en détail

Principes de la Mécanique

Principes de la Mécanique Chapitre 1 Principes de la Mécanique L expérience a montré que tous les phénomènes observés dans la nature obéissent à des lois bien déterminées. Ces lois peuvent être, en plus, déterministes ou indéterministes.

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Michel Henry Nicolas Delorme

Michel Henry Nicolas Delorme Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions de plusieurs variables Bernard Ycart Ce chapitre contient des techniques que vous utiliserez très souvent en physique, mais les justifications

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Programme de la classe de première année MPSI

Programme de la classe de première année MPSI Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions

Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Révision d algèbre et d analyse

Révision d algèbre et d analyse Révision d algèbre et d analyse Chapitre 9 : Intégrales triples Équipe de Mathématiques Appliquées UTC Mai 2013 suivant Chapitre 9 Intégrales triples 9.1 Motivation, définition et calcul de l intégrale

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Mathématiques autour de la cryptographie.

Mathématiques autour de la cryptographie. Mathématiques autour de la cryptographie. Index Codage par division Codage série Code cyclique Code dual Code linéaire Corps de Galois Elément primitif m séquence Matrice génératrice Matrice de contrôle

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

NOTICE DOUBLE DIPLÔME

NOTICE DOUBLE DIPLÔME NOTICE DOUBLE DIPLÔME MINES ParisTech / HEC MINES ParisTech/ AgroParisTech Diplômes obtenus : Diplôme d ingénieur de l Ecole des Mines de Paris Diplôme de HEC Paris Ou Diplôme d ingénieur de l Ecole des

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

Analyse et Commande des Systèmes Non Linéaires

Analyse et Commande des Systèmes Non Linéaires Analyse et Commande des Systèmes Non Linéaires J. Lévine Centre Automatique et Systèmes école des Mines de Paris 35 rue Saint Honoré 77305 Fontainebleau Cedex E-mail : Jean.Levine@ensmp.fr Mars 2004 2

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Opérateurs non-bornés

Opérateurs non-bornés Master Mathématiques Analyse spectrale Chapitre 4. Opérateurs non-bornés 1 Domaine, graphe et fermeture Soit H un espace de Hilbert. On rappelle que H H est l espace de Hilbert H H muni du produit scalaire

Plus en détail

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances ARITHMETIQUE 1 C B A Numération Ecrire en lettres et en chiffres Poser des questions fermées autour d un document simple (message, consigne, planning ) Connaître le système décimal Déterminer la position

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées. CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,

Plus en détail

Université de Caen. Relativité générale. C. LONGUEMARE Applications version 2.0. 4 mars 2014

Université de Caen. Relativité générale. C. LONGUEMARE Applications version 2.0. 4 mars 2014 Université de Caen LMNO Relativité générale C. LONGUEMARE Applications version.0 4 mars 014 Plan 1. Rappels de dynamique classique La force de Coulomb Le principe de moindre action : lagrangien, hamiltonien

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point

Plus en détail

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome

Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Concours de recrutement interne PLP 2009

Concours de recrutement interne PLP 2009 Concours de recrutement interne PLP 2009 Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants. Le premier exercice, de nature pédagogique au niveau du baccalauréat professionnel, porte sur le flocon

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail