Le repère mobile d Elie Cartan

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1 Première partie Le repère mobile d Elie Cartan Avertissement! En général, nous nous placerons dans le cas de non-annulation des courbures. I. Courbure des courbes à2d Nous allons étudier la notion de repère mobile élaborée par Jean-Frédéric Frenet, Gaston Darboux, Elie Cartan. Le premier chapitre sur les courbes planes est élémentaire mais facile d accès et très instructif. Il fait bien comprendre les conséquences d une structure qui contient à la fois de la géométrie groupe opérant sur un ensemble) et des différentielles. Nous pourrons donc parler de la longueur d une courbe quand il n y a pas de longueur et de normale à une courbe quand il n y a pas d angle! Ensuite nous introduirons la machinerie d Elie Cartan et nous l appliquerons à quelques exemples plus ou moins classiques. Quel peut être l interprétation du paramètre normal pour une courbe de genre photon en relativité restreinte? Le statut et l interprétation du i des nombres complexes, objet de certaines de nos discussions en mécanique quantique, sont aussi étudiés dans ce contexte particulier. 1. Le groupe ASO2) Le groupe des déplacements dans le plan affine euclidien orienté P sera noté ASO2) translations et rotations). Un repère associé à ce groupe est la donnée d un point et d un vecteur unitaire. Avec ceci, le deuxième vecteur est complètement déterminé orthogonal au premier, sens direct, unitaire). D où la notion de ASO2) - repère. Une courbe peut être définie de façon cinématique : t mt), t paramètre réel, mt) P, la courbe étant l image de cette application. Le premier invariant différentiel géométrique local est : I-1) m t) dt. Ceci est bien invariant par ASO2) et il est bien géométrique et non cinématique car il ne dépend pas de la paramétrisation particulière choisie : dt t u avec du > 0 m u) du = dt du m t) du dt dt = m t) dt. Nous appelerons paramètre normal le paramètre s défini par : I-2) ds = m t) dt autrement dit s est caractérisé à un signe près par m s) =1. Définissons le repère mobile repère de Frenet) par : e 1 s) =m s). 1

2 Donc e 2 s) est défini. { } e1 2 = e 2 2 =1 e 1 e 2 =0 = { e1 e 1 = e 2 e 2 =0 e 1 e 2 = e 1 e 2 Donc, il existe une fonction ρ, appelée courbure, telle que l on ait : I-3) m s) =e 1 s) e 1s) = 0 +ρs)e 2 s) e 2s) = ρs)e 1 s)+0 ms),e1 s),e 2 s) ) est un ASO2)-repère mobile. A ne pas confondre avec un ASO2)-repère... qui est fixe ). Etant donné unaso2)-repère il existe une bijection entre le groupe ASO2) et l ensemble des ASO2)-repères : 0,u 1,u 2 ) donné : g ASO2) donne g0),gu 1 ),gu 2 ) ). Nous sommes partis d une courbe s ms) dans le plan nous avons construit une courbe s ms),e 1 s),e 2 s) ) dans l espace des repères fibré des repères), i.e. dans le fibré des groupes puis une courbe ) 0 ρs) s dans l ensemble des algèbres de Lie fibré des algèbres ρs) 0 de Lie de ASO2)). Si deux courbes t m 1 t) et t m 2 t) ont même courbure ρ, alors il existe un déplacement g ASO2) tel que : Considérons un observateur en mouvement g m 1 t) ) = m 2 t). t mt),e 1 t),e 2 t) ) e v 2 e 1 v e 1 e 2 Soit vt) = ds sa vitesse scalaire. dt Soit a un vecteur fixe a = ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 0= da dt = ξ1 e 1 + ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + ξ 2 e 2. 2

3 Donc l observateur voit les coordonnées de a varier : dξ 1 I-4) dt ξ2 ρv =0 dξ 2 dt + ξ1 ρv =0 Si un vecteur satisfait à ces équations l observateur saura que ce vecteur est fixe, c est-à-dire transporté de façon parallèle. Sur un navire en mouvement, ceci donne la variation de la direction d une batterie tirant sur une cible fixe. 2. Le groupe ASL2) Le groupe des transformations affines de déterminant + 1 dans le plan affine orienté P sera noté ASL2). Un repère associé à ce groupe est la donnée d un point O et de deux vecteurs e 1,e 2 tels que l aire du parallélogramme soit égal à1: déte 1,e 2 )=1. D où la notion de ASL2)-repère. Faisons une étude analogue àlaprécédente. Le premier invariant différentiel géométrique local est : I-5) dét m t),m t) ) 1/3 dt. Le changement de paramètre donne : dét m u),m u) ) dt =dét du m u), d2 t dt 2 m u)+ dt ) 3 = dét m u),m u)). du Nous appellerons paramètre normal le paramètre s défini par : I-6) ds =dét m t),m t) ) 1/3 dt. dt ) 2m u)) du Les seules courbes qui n ont pas de paramètre normal sont les droites. s est caractérisé par : I-7) dét m s),m s) ) =1 Définissons le repère mobile par e 1 = m et on peut poser, à cause de I-7) e 2 = e 1 = m déte 1,e 2 )=1 déte 1,e 2 )= déte 1,e 2) donc déte 2,e 1 )=0. Donc il existe une fonction ρ appelée ASL2)-courbure telle que : m s) = e 1 s) I-8) e 1s) = 0 +e 2 s) e 2s) = ρ e 1 s) +0 Nous avons encore fait le relèvement de la courbe dans le groupe de Lie et dans l algèbre de Lie. La ASL2)-normale direction de e 2 ) est appelée axe d aberration en optique. Courbes à courbure constante : ρ = 0 parabole ρ>0 ellipse ρ<0 hyperbole 3

4 3. Le groupe ASO1, 1) Le groupe laissant fixe la forme quadratique de signature 1, 1) sera noté ASO1, 1). C est le groupe de Poincaré dans un espace à deux dimensions Lorentz et translations). Pour un vecteur a =a 1,a 2 ) sa norme est a c 2 = a 2 1 c 2 a 2 2. ASO1, 1)- repère : e 1 et e 2 orthogonaux, e 1 2 c =1, e 2 2 c = c 2. On peut aussi prendre a c 2 = a 2 1/c 2 a 2 2. Etudions le repère mobile d une courbe : Premier cas m t) 2 c < 0 La courbe est du genre temps. Le premier invariant différentiel est : m t) c dt. Le paramètre normal, appelé temps propre est défini par : c ds= m t) c dt de telle sorte que s est caractérisé par : m s) c = c. Le paramètre normal s est appelé temps propre en relativité restreinte. Définissons le repère mobile par e 1 s) =m s). Donc e 2 est défini e 1 2 c = c 2 et e 2 2 c =1 e 1 e 1 =0 et e 2 e 2 =0. Donc, il existe une fonction ρ telle que : e 1s) =ρs) e 2 s). Finalement e 2s) =be 1 s), avec b tel que : be 1 e 1 = e 2 e 1 = e 2 e 1 = ρ e 2 e 2. D où les équations du repère mobile : m s) =e 1 s) I-9) e 1s) =0 +ρs)e 2 s) e 2s) = 1 c 2 ρs)e 1s) +0 Deuxième cas m t) 2 c > 0 La courbe est du genre espace. Etude analogue : ds = m t) c dt e 1 s) =m s), e 1 2 c =1, e 2 2 c = c 2 m s) =e 1 s) I-10) e 1s) =0 + 1 c 2 ρs) e 2s) e 2s) =ρs)e 1 s) +0 Remarques : si la courbe est telle que, pour tout t : m t) 2 = 0, c est une droite et elle n a pas de paramètre normal. Dans le cas c = ± i, on retrouve ASO2). Dans le cas c on retrouve AGal2), le groupe de Galilée. 4

5 Le groupe affine de Galilée, écrit matriciellement, a 1 v 1 1 x = x + a + vt b 0 1 t t + b est associé au groupe de Galilée 1 v 0 1 ) ) x = t ) x + vt. t En tenant compte du fait que e 2 est constant, le repère mobile s écrit : dm = e 1 e 1 =0 +ρe 2 e 2 =0 +0 Le passage à la limite c est plus délicat qu il n y paraît au niveau de la structure quadratique x 2 c 2 t 2, mais est simple au niveau du repère mobile. 4. Le groupe ASSim2) Le groupe des similitudes directes du plan affine euclidien P sera noté ASSim2). Un ASSim2)-repère est donné par un point O et un vecteur e 1. Le vecteur e 2 est complètement déterminé : il est orthogonal à e 1, dans le sens direct, et tel que e 1 = e 2. Le premier invariant différentiel géométrique local d une courbe est : dét m t),m t) ) m t) 2 dt. Le changement de paramètre t u tel que du/dt > 0 donne : dt du m t), d 2 t du 2 dét m u),m u) ) m u) 2 = dét m t)+ dt du m t) 2 Le paramètre normal est défini par : I-11) ds = dét m t),m t) ) m t) 2 2m ) dt du) t) Donc s est tel que : dét m s),m s) ) = m s) 2. Les droites sont les seules courbes qui ne possèdent pas de paramètre normal. Définissons le repère mobile par e 1 s) =m s). Donc e 2 s) est défini e 1 = ρe 1 + αe 2 ; calculons α : dt. e 1 2 = e 2 2 e 1 e 1 = e 2 e 2 e 1 e 2 =0 e 1 e 2 = e 1 e 2 { } déte1,e 1)= e 1 2 déte 1,e 2 )= e 2 2 déte 1,e 1) déte 1,e 2 ) = e 1 e 2 =1. déte 1,e 1)=déte 1,e 2 ) α e 1 e 2 = e 1 e 2 donc α =1. = dt dét m t),m t) ) du m t) 2. 5

6 I-12) m s) =e 1 s) e 1s) =ρs)e 1 s) +e 2 s) e 2s) = e 1 s) +ρs)e 2 s) Remarque : dans le livre de Guy Laville, Courbes et Surfaces, éditeur ellipses, cette étude doit remplacer celle exposée au chapire VI, paragraphe 4, car l invariant introduit est bien invariant, différentiel, géométrique, mais pas local! Courbes à ASSim2) courbure constante Il est plus facile de faire les calculs dans le plan complexe. Posons zs) = ms), alors e 1 s) =z s), e 2 s) =iz s) et la deuxième égalité I-12) s écrit : qui a pour solution : z s) =ρz s)+iz zs) =a + be ρ+i)s avec a C et b C. En termes réels { xs) =a0 + b 0 e ρs coss) ys) =a 1 + b 1 e ρs sins) on trouve une spirale logarithmique. Soit a un vecteur fixe a = ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 0= da dt = ξ1 e 1 + ξ 1 ρe 1 + e 2 )+ξ 2 e 2 + ξ 2 e 1 + e 2 ). Donc, dans le repère mobile un observateur voit les coordonnées de a varier : I-13) { ξ 1 + ξ 1 ρ ξ 2 =0 ξ 2 + ξ 2 ρ + ξ 2 =0 S il sait que le vecteur est fixe et constate ces équations, il saura que le groupe de sa géométrie est ASSim2), en particulier les longueurs ne sont pas constantes. 5. Comparaison entre ASO2) et ASSim2) Reprenons le ASO2)-repère mobile avec ASO2)-paramètre normal. Le repère ms), e 1 s), e 2 s) ) devient pour ASSim2) : ms), λs)e 1 s), λs)e 2 s) ) avec λ fonction pouvant être choisie. d λs)e1 s) ) = λ s)e 1 s) +λs)ρs)e 2 s) ds d λs)e2 s) ) = λs)ρs)e 1 s) +λ s)e 2 s) ds 6

7 Nous pouvons choisir λs). Prenons-la telle que : Soit σ le ASSim2)-paramètre normal : λs)ρs) =1. dσ = dét m s),m s) ) m s) 2 ds =dét e 1 s),e 1s) ) ds = ρs)ds. D où : d dσ λe 1)= 1 ρ courbure semblable = 1 ρ d ds λe 1)= 1 ρ λ λ = 1 ρ ρ d ds λ λ λe 1 + ρ ρ λe 2. 1 ρ = ρ ρ 2 carré audénominateur. Formule donnée où) par H. Weyl. 6. Conclusions Les notions de paramètre normal et de repère de Frenet ne sont pas définies que pour la géométrie euclidienne. Elles peuvent être définies dès que l on se donne un groupe. Pour chaque groupe, nous avons une longueur entre deux points de la courbe. La longueur euclidienne correspond à notre intuition habituelle. La longueur en relativité restreinte à deux dimensions une de temps, une d espace) est interprétée classiquement comme le temps propre. Les particules de type photon à deux dimensions n ont pas de temps propre. Le groupe des similitudes est utilisé quand on étudie les modèles réduits en mécanique. II. Le repère mobile de Gaston Darboux et d Elie Cartan 1. Terminologie Nous supposons que le lecteur saurait définir ou, du moins, a une idée claire) les notions suivantes, G étant un sous-groupe de AGLn) : repère d un espace affine groupe AGLn)). G-repère, G-repère mobile. Nous en avons étudié des cas particuliers précédemment. G-référentiel d inertie. Nous préciserons ces notions de référentiel par la suite. Commençons par étudier la notion de repère mobile de façon générale. Nous utiliserons la notion de forme différentielle et de différentielle extérieure. 2. Equations de structure de Maurer-Cartan Considérons un espace affine de dimension n, son groupe AGLn) et un repère mobile m, e 1,e 2,...,e n ). II-1) { dm = ω h e h de k = ω h k e h 7

8 Nous avons utilisé la convention de sommation. Les indices vont de 1 à n. d 2 m = 0 donne dω h e h ω l de l =0 donc dω h e h = ω l ω h l e h d 2 e k = 0 donne dω h k e h ω l k de l =0 donc dω h k e h = ω l k ωh l e h. D où les équations de structure de AGLn) II-2) { dω h = ω l ω h l dω h k = ωl k ωh l Sous-groupe ASLn) C est le sous-groupe de AGLn) qui conserve les n-volumes. Les ASLn) repères ont une seule contrainte : déte 1,...,e n ) = 1. Par dérivation : II-3) n h=1 n h=1 déte 1,...,e h,...,e n )=0 ω h h =0 Donc, pour ASLn) on a les équations II-1), II-2), II-3). Sous-groupe ASOn) Contrainte : e k e h = δ kh. Par dérivation de k e h = e k de h. Donc : II-4) ω k h = ω h k. Nous avons antisymétrie, en particulier, pour tout h : ωh k = 0 ici, pas de somme!). Donc, pour ASOn), nous avons les équations II-1), II-2), II-4). Sous groupe ASOn 1, 1). Prenons e k 2 = 1 pour k =1,...,n ; e n 2 = c 2. Un calcul analogue, mais en tenant compte de : de k e n = e k de n, k =1,...,n 1 ωk h e h e n = e k ωne k h ω n k c 2 )= ω k n II-5) ωh k = ωh k pour k et h de 1 à n 1 ωk n = 1 c 2 ωk n pour k de 1 à n 1 = 0 pas de somme) h de 1 à n. ω h h Donc pour ASOn 1, 1) nous avons les équations II-1), II-2), II-5). Remarques : pour c = i nous retrouvons ASOn). Pour c nous avons les équations de structure du groupe de Galilée. Nous avons pris e n e n = c 2, mais on peut aussi prendre e 1 e 1 = c 2, par échange des indices 1 et 2. 8

9 Sous-groupe ASSimn) Les contraintes sur le ASSimn) repère sont : e k e h = 0 pour k h et e 1 e 1 = e 2 e 2 = = e n e n. De la même façon que précédemment : II-6) { ω k h = ω h k pour k h ω k k = ωl l pas de somme, pour tout k et l). Remarque : interprétation de de j = ω i j e i. Supposons que le repère suive une courbe dont le vecteur tangent est e 1 en un certain point que nous n écrirons pas) ωje i e j p + εe 1 ) e j p) 1 )e i = de j e 1 ) au point p = lim. ε 0 ε Donc ωj ie 1) est le taux de rotation de e j autour de e i quand le repère mobile se déplace le long de cette courbe. Ecriture matricielle : Après le choix d une base de n vecteurs : v =v 1,...,v n ) peut être considéré comme une matrice et on peut faire des multiplications matricielles : va)b =va)b = vab). Posons ω =ωj) i matrice carrée à coefficients formes ϖ =ω i ) matrice ligne à coefficients formes. Alors, les équations II-2) s écrivent : { dϖ = ϖ ω dω = ω ω le signe moins est dû à la multiplication matricielle dans ωj i ), i est l indice de la ligne, j de la colonne. 3. Groupe de Lie, algèbre de Lie et son dual Etant donné un groupe de Lie, nous pouvons utiliser soit son algèbre de Lie et l opération [X, Y ] soit le dual de cet algèbre, i.e. l espace vectoriel des formes différentielles et l opération de différentielle extérieure. C est ce dernier point de vue qui est adopté car il est très adapté à l étude du repère mobile. Nous passons de l un à l autre au niveau algèbrique par dualité et au niveau analyse par dωx, Y )= ω[x, Y ]). 9

10 4. Le repère mobile d une courbe en trois dimensions pour le groupe ASSim3) Comme exemple d application àlaméthode ci-dessus, calculons les équations du repère mobile d une courbe en 3 dimensions pour le groupe constitué des déplacements et des homothéties, conservant l orientation. D après II-1) et II-6) dm = ω 1 e 1 de 1 = ω1 1 e 1 + ω2e ω3 1 e 3 de 2 = ω2 1 e 1 + ω1e ω2 3 e 3 de 3 = ω3 1 e 1 ω2e ω1 1 e 3 Prenons comme invariant différentiel géométrique local : m t) m t) m t) 2 dt s est donc caractérisé par m s) m s) = m s) 2. Choisissons e 2 dans vecte 1,e 1). Donc : rappelons que e 1 = e 2 = e 3 ). Donc ω 1 ω 1 2 =ω 1 ) 2 d où ω 1 2 = ω 1. ω3 1 =0 ω 1 e 1 ω1e ω2e 1 2 )=ω 1 ω2e 1 1 e 2 ω 1 e 1 ω 1 e 1 =ω 1 ) 2 e 1 2 et e 1 e 2 = e 1 2 Nous avons ω 1 = ds, les relations II-2) donnent : 0=d 2 s = dω 1 = ω 1 ω 1 1 donc, il existe une fonction ρ 1 telle que : ω 1 1 = ρ 1 ω 1 ω 3 1 =0 0=dω 3 1 = ω 1 1 ω ω 2 1 ω ω 3 1 ω 3 3 = ω 1 ω 3 2 donc, il existe une fonction ρ 2 telle que : ω2 3 = ρ 2 ω 1. D où les équations pour ce repère mobile. m = e 1 e 1= ρ 1 e 1 + e e 2= e 2 + ρ 1 e 2 + ρ 2 e 3 e 3=0 ρ 2 e 2 + ρ 1 e 3 5. Le repère mobile des courbes à 4 dimensions Nous allons considérer le groupe de Poincaré ASO3, 1) Lorentz plus translations) en conservant la constante c. Pour c = i on trouvera ASO4), pour c on trouvera AGal3, 1) groupe de Galilée. Forme quadratique : x x x 3 3 c 2 x 2 4. Soit t mt) une courbe. Il faut distinguer 3 cas : m t) > 0, m t) < 0, m t) =0. 10

11 Premier cas : m t) > 0. La courbe est du genre espace. Construisons le repère mobile. Origine : m. Premier vecteur : e 1 tangent, e 1 =1 dm = ω 1 e 1 donc ω 2 = ω 3 = ω 4 =0. Deuxième vecteur : e 2 orthogonal à e 1, e 2 = 1, dans la direction de de 1 e 1 de 1 =0) de 1 = ω1 2 e 2 donc ω1 3 =0,ω2 3 =0. dω 2 = 0 donc II-2) donne ω 1 ω1 2 = 0. Il existe une fonction ρ 1 telle que ω1 2 = ρ 1 ω 1. Choisissons e 3 dans vecte 1,e 2,de 2 ), orthogonal à e 1,e 2, sens direct, e 3 =1. de 2 = ρ 1 ωe ω2e 3 3 puisque II-5) donne ω2 2 =0 et ω2 1 = ω1. 2 De plus : ω1 3 = 0 donc : 0=dω1 3 = ω j 1 ω3 j on a : ω1 1 = ω3 3 =0, ω1 4 =0 ω1 2 ω2 3 =0 ρ 1 ω 1 ω2 3 =0. Donc, il existe une fonction ρ 2 telle que ω2 3 = ρ 2 ω 1. de 2 = ρ 1 ω 1 e 1 + ρ 2 ω 1 e 3. Le vecteur e 4 est maintenant complètement déterminé e 4 2 = c 2 de 3 = ω j 3 e j, on a ω3 1 = ω1 3 =0,ω3 3 =0 de 3 = ρ 2 e 2 + ω3 4 e 4 ω 4 1 = 0 donc 0 = dω 4 1 = ω j 1 ω4 j. Comme précédemment ω 4 3 = 1 c 2 ρ 3ω 1. Enfin, II-5) donne : 0=ω 4 1 = 1 c 2 ω1 4, 0=ω 4 2 = 1 c 2 ω2 4, 0=ω 4 4, ω 4 3 = 1 c 2 ω3 4 donc ω 3 4 = ρ 3 ω 1. D où les équations du repère mobile dm = ω 1 e 1 II-7) de 1 =0 +ρ 1 ω 1 e de 2 = ρ 1 ω 1 e ρ 2 ω 1 e 3 +0 de 3 =0 ρ 2 ω 1 e c 2 ρ 3 ω 1 e 4 de 4 =0 +0 +ρ 3 ω 1 e 3 +0 On peut prendre un paramètrage tel que : ω 1 = ds = m t) dt. Deuxième cas : m t) < 0. La courbe est du genre temps. Etude analogue ou changement d indices : dm = ds e 1 de 1 =0 +ρ 1 dse II-8) de 2 = 1 c 2 ρ 1dse ρ 2 dse 3 +0 de 3 =0 ρ 2 dse ρ 3 dse 4 de 4 =0 +0 ρ 3 dse 3 +0 Faire c 2 = 1 pour retrouver le repère mobile de ASO4). 11

12 6. L algèbre de Clifford mobile R 3,0 Considérons le groupe ASO3) et son algèbre de Clifford R 3,0. Les équations du repère mobile en paramétrage normal s d une courbe s écrivent : m = e 1 e 1 =0 +ρ 1 e 2 +0 e 2 = ρ 1 e ρ 2 e 3 e 3 =0 ρ 2 e 2 +0 L algèbre de Clifford peut être engendrée par e 1 s),e 2 s),e 3 s). Considérons le pseudoscalaire is) =e 1 s) e 2 s) e 3 s) et calculons sa dérivée : i = ρ 1 e 2 e 2 e 3 + e 1 ρ 1 e 1 + ρ 2 e 3 )e 3 + e 1 e 2 ρ 2 e 2 ) = ρ 1 e 3 ρ 1 e 3 + ρ 2 e 1 ρ 2 e 1 =0. Donc i est indépendant de s. Il est universel. Ceci est intuitivement évident : i représente l espace tout entier. C est une raison supplémentaire pour supprimer les nombres complexes et les absorber dans l algèbre de Clifford! 7. Dynamique galiléenne du point matériel Ici on peut prendre un paramètre universel t qui peut être interprété comme le temps. Un observateur suit une trajectoire t mt). Soit st) son paramètre normal, vt) = dst) dt vitesse scalaire, at) = d2 st) dt accélération scalaire. Equations du repère mobile de l observateur : m t) =vt)e 1 t) e 1t) = 0 +vt)ρ 1 t)e 2 t) +0 e 2t) = vt)ρ 1 t)e 1 t) +0 +vt)ρ 2 t)e 3 t) e 3t) = 0 vt)ρ 2 t)e 2 t) +0 Soit Mt) la masse. Elle est en général variable exemple : un rafale décollant d un porte-avion) F mt) ) = d dt Mt)m t) ). II-9) F mt) ) = M t)vt)+mt)v t) ) e 1 t)+mt)vt) 2 ρ 1 t)e 2 t). La force se décompose en deux, la composante orthogonale à la trajectoire provoque la première courbure. II-10) ρ 1 = F e 2 Mv 2. 12

13 Ces formules ne doivent pas faire croire que la deuxième courbure dite torsion ) ρ 2 n intervient pas. En paramétrage quelconque, on a : ρ 2 = détm,m,m ) m m 2. { F = M m + Mm F = M m +2M m + Mm détm,m,m )= 1 M 2 détm,f,f ). II-11) df mt) ) dt = df mt),m t) ) = m t) ) F mt) ) ρ 2 = dét m,f,m )F ) m F 2. La seconde courbure est indépendante de la masse. 8. Dynamique en relativiste restreinte Un observateur suit une trajectoire de genre temps sa ligne d univers). Le repère mobile m, e 1,e 2,e 3,e 4 ), dont le mouvement est décrit en II-8), a pour noms classique : repère de référence propre proper reference frame), tétrade de l observateur, tétrade orthogonale. A ne pas confondre avec la tétrade de Fermi-Walker. Critiquons d abord la notion de masse au repos. Par définition celle-ci est la masse d une particule de vitesse nulle dans un référentiel d inertie. Cette masse au repos est un invariant par changement de référentiel d inertie. Mais m, e 1,e 2,e 3,e 4 ) n est pas toujours un référentiel d inertie. C est pourquoi nous utiliserons la notion de masse propre. Nous allons étudier si celle-ci est constante. A priori la particule est définie en utilisant le paramètre normal s par sa masse propre s Ms) et sa trajectoire s ms) de genre temps. Soit f une 4-force et ps) l impulsion f ms) ) = dps) ds. d Ms)m s) ) = M s)e 1 s)+ms)ρ 1 s)e 2 s) ds f e 1 = M e 1 e 1 = c 2 M. La masse propre est constante si et seulement si la force est orthogonale à la ligne d univers. Ce qui est le cas pour l électromagnétisme classique. Etudions comment la force engendre les courbures II-12) f e 2 = Mρ 1 f e 3 = Mρ 1 ρ 2 f e 4 = Mρ 1 ρ 2 ρ 3 Remarque : observateur regardant un vecteur fixe. Soit v un vecteur fixe, dv = 0. 13

14 Dans le repère mobile v = ξ i e i, dv = 0, d où : II-13) ξ 1 + ξ2 ρ 1 c 2 =0 ξ 2 +ρ 1 ξ 1 ρ 2 ξ 3 =0 ξ 3 +ρ 2 ξ 2 ρ 3 ξ 4 =0 ξ 4 +ρ 3 ξ 3 =0 9. Le repère mobile pour une courbe de genre photon Reprenons l étude faite dans le paragraphe 4, mais dans le cas où la courbe t mt) est du genre photon : m t) = 0. Nous suivons ici certaines idées de Heinz Krüger Differential geometry and dynamics of Lightlike point in Lorentzian space time, annales de la fondation Louis de Broglie, vol. 24, )). Remarquons d abord que nous ne pouvons pas utiliser les idées classiques de courbe dessinée sur une sous-variété et repère de Darboux : une sous-variété d une variété pseudoriemannienne n est pas toujours pseudoriemannienne! La courbe t mt) est dessinée sur le cône de lumière sous-variété de dimension 3). Pour faire l étude la plus simple possible, suivons les idées de I paragraphe 1. Cherchons le premier invariant différentiel géométrique local ; premier signifie qu il utilise les ordres de dérivation m t),m t),m t) le plus petit possible m t) = 0 est identiquement nul donc inutilisable. Fixons un référentiel inertiel de Lorentz u 1,u 2,u 3,u 4 avec u 4 2 = c 2 m t) =vt)+v 4 t)u 4 vt) vt) 2 v 4 t)c 2 =0 v 4 2 t) =±. c Posons ε = ±1 vt) m 2 t) =vt)+ε u 4 c m t) =v t)+ ε v c v 2 3 v u 4 le produit scalaire étant dans R 3 : v v 2 3 v v. Deux cas possibles : Soit on a égalité, alors v et v sont colinéaires, la projection de t mt) est une droite de R 3 donc t mt) est une droite sur le cône. Dans ce cas on n aura pas de paramètre normal et pas de repère de Frenet ; nous avons vu un cas analogue pour ASL2). v Soit on a v 2 v < v. v Alors m t) 2 = v 2 v 2 3 v ) 2 > 0. D où le premier invariant différentiel géométrique local : II-4) m t) 1/2 dt, 14

15 nous avons bien pour t ut), du dt > 0 m u) 1/2 du = d2 t dt ) 2m du 2 m t)+ t) 1/2 du du dt dt = dt ) 2m t) 1/2 du du dt dt puisque m et m sont orthogonaux et m =0. Nous définirons le paramètre normal en posant : Il est caractérisé par : ds = m t) 1/2 dt. II-15) m s) =1. Nous ne pouvons pas prendre pour premier vecteur de base un vecteur colinéaire à m serait de norme nulle et les vecteurs d un ASO3, 1)-repère sont de norme non nulle. Posons σ = 1 2 m 2. car il Dans vectm,m ) il y a des vecteurs de genre temps et de genre espace espace quadratique de dimension 2, signature +, -). Prenons e 1 et e 4 base de cet espace : e 2 1 =1, e 2 4 = c 2 et e 1 e 4 =0: II-16) m = e c e 4 m = σ 1 ) e1 + σ )1 c e 4. Ce choix est possible parce que : D où e 2 1 =1 et e 2 4 = c 2. Vérifions enfin que e 1 e 4 =0 0=m 2 = e c 2 e2 4 e 2 4 = c 2 e 2 1 2σ = m 2 = σ 1 2 e 2 2) 1 + σ ) c 2 e2 4 = σ 1 ) 2 + σ + 1 ) 2 ) e m 2 =0 m m =0 m m = m 2 = 1 m m = σ σ σ 2) c 2 c2 )+ c + 1 2c σ c 1 ) e 1 e 4 2c 1 = 1+ 2σ ) e 1 e 4. c Mais si σ = 0, alors m et m sont dans le cône, dans celui-ci tous les produits scalaires sont dégénérés m m = 0 contradiction. Donc σ 0 et e 1 e 4 =0. Pour fixer e 2 remarquons que : { } m 2 =0 m m =0 m 2 =1 m m m orthogonal à e 1 et e 4 =0 15

16 Nous pouvons donc poser : II-17) e 2 = m. Complétons le repère mobile, e 3 est complètement déterminé. Posons : ρ = e 1 e 3. D après m = e 2, II-16) première ligne dérivée, multipliée par e 4 : 0=e 4 e 2 = e 4 e c e 4 e 4 = e 4 e 1. D où en tenant compte de m = e 2, e 1 e 2 = e 1 e 2 = σ : e 1 =0+ σ + 1 ) e 2 + ρe II-16) deuxième ligne donne : e 2 = m = σ + 1 ) e σ ) c e 4. Calculons e 3 e 4 : 0=e 3 e 2 = e 3 m = e 3 e c e 3 e 4 e 3 e 4 = e 3 e 4 = c e 3 e 1 = cρ. Les coefficients de e 4 sont obtenues par les relations de symétrie. Finalement les équations du repère mobile s écrivent : II-18) m = e c e 4 e 1=0 + σ + 1 ) e 2 + ρe e 2= σ + 1 ) e σ ) c e 4 e 3= ρe ρ 1 c c e 4 e 4=0 + σ + 1 ) ce 2 + c) ρe Il serait intéressant d appliquer ces relations à une particule ayant pour vitesse c et subissant certaines interactions. Remarque A tout ASO3, 1)-repère m, e 1,e 2,e 3,e 4, on peut faire correspondre un repère m, u 1,u 2,u 3,u 4 tel que les 3 premiers vecteurs soient de norme 0, u 2 4 = 1, u i u j = 1 u j = e j + 1 c e 4 pour j =1, 2, 3, u 4 = 1 c e 4 e j = u j u 4 pour j =1, 2, 3, e 4 = cu 4. Et on peut écrire le mouvement du repère m, u 1,u 2,u 3,u 4. Mais ceci nous fait sortir du cadre groupe de Lie-algèbre de Lie. 16

17 III. Courbures des surfaces plongées dans un espace à trois dimensions 1. Le groupe ASO3) Soit P le plan affine 2 dimensions) et E l espace affine 3 dimensions). Une surface sera donnée par : m : P E en fait le domaine de m est une partie de P ). Nous allons utiliser la méthode de II-2) pour étudier. m est maintenant à deux variables, la notion de paramètrage normal est beaucoup plus délicat. Le vecteur e 3 sera choisi orthogonal à la surface avec e 3 = 1. Dans le plan tangent deux vecteurs orthogonaux unitaires v 1,v 2 restent àpréciser ; dm est dans le plan tangent donc ω 3 = 0. D après II-2) : ω 1 ω1 3 + ω 2 ω2 3 =0. Donc, il existe 3 fonctions a, b, c telles que : ω1 3 = aω 1 + bω 2 et ω2 3 = bω 1 + cω 2. D après II-3) de 3 = ω3v ω3v 2 2 =aω 1 + bω 2 )v 1 +bω 1 + cω 2 )v 2 =av 1 + bv 2 )ω 1 +bv 1 + cv 2 )ω 2. ) a b Le choix sur v 1,v 2 ) va être utilisé pour rendre la matrice symétrique M = b c diagonale. Soient ρ 1 et ρ 2 les deux valeurs propres. Elles sont réelles. Supposons-les distinctes : ρ 1 ρ 2. Soient e 1,e 2 des vecteurs propres correspondant. Ils sont orthogonaux et définis à une constante près. Nous pouvons donc les choisir tels que e 1 =1, e 2 = 1 et e 1,e 2,e 3 ) trièdre direct. ρ 1 et ρ 2 sont appelées courbures principales. K = ρ 1 ρ 2 = ac b 2 courbure totale. ρ m = 1 2 ρ 1 + ρ 2 )= 1 a + c) courbure moyenne. 2 e 1,e 2 directions principales. D où : III-1) ω3 1 = ρ 1 ω 1 et ω3 2 = ρ 2 ω 2 de 3 = ρ 1 ω 1 e 1 ρ 2 ω 2 e 2 D après II-2) dω2 1 = ω2 l ωl 1 = ω3 2 ω3 1 d où : III-2) dω2 1 = ρ 1 ρ 2 ω 1 ω 2 = Kω 1 ω 2 ω 2 3 ω 1 2 = dω 1 3 = dρ 1 ω 1 + ρ 1 dω 1 ρ 2 ω 2 ω2 1 = ρ 1,2 ω 2 ω 1 + ρ 1 ω 2 ω2 1 Soit ρ 1,1 la dérivée de ρ 1 par rapport à la première variable, etc... ω 2 ω2 1 = ρ 1,2 ω 2 ω 1 ρ 2 ρ 1 échangeons 1 2 ω 1 ω2 1 = ρ 2,1 ω 1 ω 2 ρ 1 ρ 2 Finalement : III-3) ω2 1 = ρ 1,2 ω 1 + ρ 2,1 ω 2. ρ 2 ρ 1 ρ 2 ρ 1 17

18 Nous avons finalement les équations du repère mobile : III-4) dm = ω 1 e 1 + ω 2 e ρ1,2 de 1 = 0 + ω 1 + ρ 2,1 ω 2) e 2 + ρ 1 ω 1 e 3 ρ 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 ρ1,2 de 2 = ω 1 + ρ 2,1 ω 2) e 1 +0+ρ 2 ω 2 e 3 ρ 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 de 3 = ρ 1 ω 1 e 1 ρ 2 ω 2 e 2 +0 Etant donné une surface dans E, nous avons construit une surface dans le fibré des repères et une surface dans le fibré en algèbres de Lie. Première forme quadratique fondamentale : c est la restriction de la forme de E à la surface Pour v 1 et v 2 deux vecteurs tangents : dm dm. dm 2 v 1,v 2 )=dmv 1 ) dmv 2 ) = ω 1 v 1 )e 1 + ω 2 ) v 1 )e 2 ω 1 v 2 )e 1 + ω 2 ) v 2 )e 2 = ω 1 v 1 ) 2 + ω 2 v 2 ) 2. III-5) dm 2 =ω 1 ) 2 +ω 2 ) 2. Dans une paramétrisation de la surface : ds 2 = dm 2 = C est le g ij de la surface : = t 1,t 2 ) mt 1,t 2 ) ) m ) m ) 2 dt 1 + dt 2 t 1 t 2 m )2 m dt m ) m )2 dt 1 dt 2 + dt 2. t 1 t 1 t 1 t 2 g ij = m t i m t j. Deuxième forme quadratique fondamentale : c est la partie tangentielle des variations de la normale dm de 3 = d 2 m e 3 puisque dm e 3 =0) dm de 3 v 1,v 2 )= ω 1 v 1 )e 1 + ω 2 v 2 )e 2 ) ρ1 ω 1 v 1 )e 1 + ρ 2 ω 2 v 2 )e 2 ) III-6) = ρ 1 ω 1 v 1 ) 2 + ρ 2 ω 2 v 2 ) 2 dm de 3 = ρ 1 ω 1 ) 2 + ρ 2 ω 2 ) 2. Définition.- Une propriété est dite intrinsèque ou géodésique) quand elle ne dépend que de la première forme quadratique fondamentale. 18

19 Théorèma egregium Gauss).- La courbure totale est géodésique. Démonstration ω 1 = dm e 1 et ω 2 = dm e 2. Donc ω 1,ω 2 et leurs dérivées successives ne dépendent que du ds 2. D après III-2) et III-3) avec notations évidentes : { dω 1 2 = Kω 1 ω 2 ω 1 2 = r 1 ω 1 + r 2 ω 2 { dω 1 = ω 2 ω 1 2 = r 1 ω 1 ω 2 dω 2 = ω 1 ω 2 1 = r 2 ω 1 ω 2 Donc r 1 et r 2 ne dépendent que de la première forme Donc K ne dépend que de la première forme. Kω 1 ω 2 = dω 1 2 = dr 1 ω 1 + r 2 ω 2 ). 2. Le repère mobile de Darboux pour le groupe ASO3) Considérons une courbe tracée sur une surface S paramètre plan espace t ut) m ut) ) = mt) Changeons le paramètre t en prenant le paramètre normal s. Posons e 1 s) =m s). Alors le repère est complètement déterminé, e 2 dans le plan tangent orthogonal à la courbe e 3 orthogonal à la surface e 1,e 2,e 3 ) direct. Il existe trois fonctions ρ g,ρ n,τ 2 telles que : III-7) dm = ds e 1 de 1 = 0 +ρ g ds e 2 + ρ n ds e 3 de 2 = ρ g ds e τ r ds e 3 de 3 = ρ n ds e 1 τ r ds e ρ y et ρ n sont appelées courbures géodésique et normale, τ r torsion relative. En paramétrage quelconque : ρ g = e 2 e 1 = e 3 e 1 e 1 =déte 1,e 1,e 3 ) ρ g s) =dét m s),m s),ns) ). ρ g t) = dét m t),m t),nt) ) m t) 3 où nt) est le vecteur normal, unitaire, à la surface m t) = vt)e 1 t) m t) =v t)e 1 t)+vt) 2 ρ g t)e 2 t)+ρ n t)e 3 t) ) m m = v 3 ρ g e 3 ρ n e 2 ). 19

20 D où : ρ n t)e 1 t) = m t) m t) ) nt) m t) 3. Un point matériel de masse fixe M ayant sa trajectoire sur une surface S et soumis à une force F satisfait à l équation : F mt) ) + R mt) ) = d dt Mm t) ) = Mv t)e 1 t)+mvt) 2 ρ g t)e 2 t)+mvt) 2 ρ n t)e 3 t). R étant la réaction de la surface, elle est dans la direction de e 3. Les courbures ρ n et τ r ρ g = F e 2 Mv 2 ρ n = F e 3 + r Mv 2 avec R = re 3. sont liées aux variations de la force de réaction R = r e 3 + r ρ n e 1 τ r e 2 ) ρ n = R e 1 r τ r = R e 2. r Interprétation géométrique de la courbure géodésique = F e 3 + r Mv 2 Considérons le plan tangent T m0) S et la projection de la courbe s ms) sur ce plan tangent s ps). On a m0) = p0) et p0)ps) =m0)ms) e 1 0)e 1 0) + m0)ms) e 2 0)e 0 0) p s) =m s) e 1 0)e 1 0) + m s) e 2 0)e 2 0) p s) =m s) e 2 0)e 2 0) + m s) e 2 0)e 2 0) ρ g 0) = dét m 0),m 0),e 3 0) ) m 0) e 1 m 0) e 1 = m 0) e 2 m 0) e 2 dét p 0),p 0) ) = ρ0) p 0) = 1)) courbure de la courbe plane projetée. Interprétation géométrique de la courbure normale Considérons un plan P contenant la normale. La courbe plane P S est telle que e 2 est constant c est le vecteur normal au plan). Donc, ρ g =0, τ r = 0 et le repère de Frenet de cette courbe dans le plan P vecteurs e 1,e 3 ) montre que la courbure est égale à la courbure normale. Pour trouver toutes les formules reliant les courbures principales de la surface, les courbures d une courbe tracée sur la surface, les courbures de cette courbe considérée pour elle-même, il suffit d utiliser les formules de changement de base des trois repères. 20