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1 ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA par Pierre Colmez INTRODUCTION La fonction zêta de Riemann est définie pour Re(s > par la série ζ(s = + n= n s et elle possède un prolongement à tout le plan complexe avec une équation fonctionnelle reliant s à s. Cette fonction et ses généralisations (fonctions zêta de Dedekind, de Hasse-Weil, fonctions L de Dirichlet, de formes modulaires... jouent un rôle central en arithmétique et leurs valeurs aux entiers (valeurs spéciales, dans la terminologie en vigueur contiennent une multitude de renseignements concernant l arithmétique des objets attachés à ces fonctions. Un des slogans à la mode est d ailleurs «les fonctions L savent tout ; à nous de les faire parler». Dans ce texte, nous nous concentrerons sur les valeurs aux entiers de la fonction ζ. Les valeurs aux entiers négatifs de la fonction ζ sont des nombres rationnels (par exemple, ζ(0 = /2, ζ( = /2, ζ( 2 = 0,... et on doit à Kummer le premier résultat concernant les renseignements cachés dans ces nombres. Il a en effet démontré que, si p est un nombre premier 3 ne divisant pas les numérateurs de ζ(,ζ( 3,...,ζ(2 p, alors p ne divise pas le nombre de classes d idéaux du corps Q(e 2iπ/p et en a déduit le théorème de Fermat pour un tel nombre premier. Ce n est que récemment que Mazur et Wiles ont donné une formule donnant la puissance de p divisant exactement le numérateur de ζ(k, si k est un nombre entier 0 impair (on a ζ(k = 0 si k est un entier pair 2. Cette formule fait intervenir les groupes des classes d idéaux des corps cyclotomiques Q(e 2iπ/pn, pour n N.

2 38 P. COLMEZ Les valeurs aux entiers positifs ont gardé leur mystère plus longtemps. On sait depuis Euler que l on a ζ(2 = π 2 /6, ζ(4 = π 4 /90 et, plus généralement, que π 2k ζ(2k est un nombre rationnel si k est un entier ; ce nombre rationnel peut d ailleurs s exprimer en terme de ζ( 2k grâce à l équation fonctionnelle. Ce n est que très récemment que l on a réussi, grâce aux travaux de Beilinson et de Bloch et Kato, à décoder l information arithmétique contenue dans les valeurs aux entiers impairs positifs. La réponse fait intervenir des objets trop compliqués pour être donnée de manière précise, mais elle fournit un lien entre les valeurs aux entiers positifs de la fonction zêta et les valeurs aux nombres rationnels des fonctions polylogarithmes (le k-logarithme est défini par la série + n= zn /n k, si z < que nous avons explicité dans le texte. Le nombre π étant transcendant sur Q, les nombres ζ(2k, k entier sont tous irrationnels. Bien que tout le monde soit persuadé qu il doive en être de même pour les ζ(2k +, il a fallu attendre 978 pour qu Apéry démontre que ζ(3 est irrationnel. Entre 978 et 2000, il n y a eu aucun progrès sur la question, mais Rivoal a démontré en 2000 qu il existe une infinité de ζ(2k+, k entier, qui sont irrationnels. Ce résultat est purement existentiel ; on ne peut en déduire l irrationalité d aucun ζ(2k + particulier. La démonstration du théorème de Kummer auquel il a été fait allusion ci-dessus repose sur trois ingrédients : la formule analytique du nombre de classes qui donne une formule pour le nombre de classes d idéaux du corps Q(e 2iπ/p en termes du comportement en s = (ou s = 0 de la fonction zêta de Dedekind de ce corps (illustration du principe selon lequel les fonctions L savent tout!, une factorisation de cette fonction zêta de Dedekind en produit de fonctions L de Dirichlet et une congruence modulo p entre la valeur en s = 0 de ces fonctions L de Dirichlet et les valeurs de la fonction ζ aux entiers négatifs. Ces congruences modulo p se généralisent en des congruences modulo p n, pour tout n N, entre les valeurs aux entiers négatifs de la fonction ζ. D un point de vue moderne, ces congruences, découvertes ellesaussi par Kummer, sont équivalentes à l existence d une fonction continue sur l anneau Z p des entiers p-adiques et dont les valeurs aux entiers négatifs sont liées à celles de la fonction zêta. Les zéros de cette fonction zêta p-adique (aussi appelée fonction zêta de Kubota-Leopoldt sont bien compris, contrairement à ceux de la fonction zêta de Riemann... Le théorème de Mazur et Wiles mentionné ci-dessus en fournit une description en termes d action du groupe de Galois sur les groupes de classes d idéaux.

3 ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 39 Les valeurs de la fonction zêta de Riemann apparaissent dans le terme constant du développement de Fourier de certaines formes modulaires appelées Séries d Eisenstein. Ce lien représente un des outils les plus puissants que l on ait pour étudier l arithmétique de ces valeurs. Par exemple, Serre a donné une construction de la fonction zêta de Kubota-Leopoldt utilisant le fait que tous les termes, sauf le terme constant, du développement de Fourier des séries d Eisenstein sont, de manière visible, des fonctions p-adiquement continues et donc qu il en est de même du terme constant. Ce «donc» demande un lourd arsenal de géométrie algébrique pour être justifié : il faut partir d objets définis analytiquement (formes modulaires et aboutir dans un monde où on peut parler de congruence modulo p, ce qui représente un très long trajet. Cet arsenal est d ailleurs fondamental dans la démonstration du résultat de Mazur et Wiles et dans la démonstration de Wiles du théorème de Fermat. Pour illustrer, de manière plus élémentaire, l intérêt de l utilisation des formes modulaires dans l étude de la fonction zêta, nous avons inclus une démonstration (inédite? de l équation fonctionnelle utilisant les séries d Eisenstein. Ce texte est divisé en gros en deux parties, la première traitant de la théorie complexe et la seconde de la théorie p-adique. La première partie comporte trois chapitres. Dans le premier, on explore en détail les propriétés de la fonction ζ et les propriétés de rationalité de ses valeurs aux entiers ; tout ce qui est démontrable est démontré. Le lecteur intéressé par les polylogarithmes est invité à consulter l exposé «Polylogarithmes» d Oesterlé au séminaire Bourbaki. Ce chapitre comporte aussi un sur la fonction zêta de Dedekind d un corps de nombres sans aucune démonstration (pour en savoir plus, on pourra consulter le livre Théorie des nombres de Borevitch et Chafarevitch. Dans le second, on donne une démonstration complète du théorème de Rivoal (pour des compléments sur les nombres polyzêtas, nous renvoyons au texte «Valeurs zêta multiples. Une introduction» de Waldschmidt. Le troisième est consacré aux formes modulaires et leur lien avec les fonctions L de l arithmétique (le lecteur consultera avec profit les livres Cours d arithmétique de Serre, Introduction to modular forms de Lang, Introduction to elliptic curves and modular forms de Koblitz ou encore Invitation aux mathmatiques de Fermat-Wiles de Hellegouarch et Automorphic forms and representations de Bump, pour des compléments intéressants. La seconde partie comporte aussi trois chapitres. Comme les nombres p- adiques ne font pas partie du bagage de tout mathématicien (ils ne sont pas enseignés en classe préparatoire, ce qui est un peu dommage : je suis sûr que les taupins apprécieraient de travailler dans un monde où une série converge si et

4 40 P. COLMEZ seulement si son terme général tend vers 0, nous avons consacré un chapitre à leur construction (la construction du corps C p est un peu plus longue que celle de C, mais pas beaucoup et un chapitre à l analyse sur Z p. Le dernier chapitre est, quant à lui, consacré à la construction de la fonction zêta p-adique. Le second chapitre contient beaucoup plus de choses que ce qui est nécessaire pour cette construction (les mesures suffiraient, mais les distributions deviennent indispensables pour construire des fonction L p-adiques plus générales, par exemple celles attachées aux formes modulaires. Pour d autres points de vue sur les nombres p-adiques, le lecteur pourra consulter les livres p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions et p-adic analysis : a short course on recent work de Koblitz ou An introduction to G-functions de Dwork, Gerotto et Sullivan. L énoncé précis du théorème de Mazur et Wiles n est pas donné dans le texte, pas plus que l application au théorème de Kummer et nous renvoyons le lecteur intéressé aux livres Introduction to cyclotomic fields de Washington ou Cyclotomic fields I and II de Lang (pour le théorème de Kummer, on peut aussi lire la démonstration dans l ouvrage de Borevich et Chafarevitch déjà cité. CHAPITRE I LA FONCTION ZÊTA DE RIEMANN I.. Prolongement analytique et valeurs aux entiers négatifs Soit ζ(s = + n= n s = p ( p s la fonction zêta de Riemann. Soit + Γ(s = e t t sdt la fonction Γ d Euler. Cette fonction est holomorphe t=0 t pour Re(s > 0 et satisfait l équation fonctionnelle Γ(s + = sγ(s, ce qui permet de la prolonger en une fonction méromorphe sur C tout entier. Lemme I... Si Re(s >, alors ζ(s = Γ(s + 0 e t tsdt t. Démonstration. Il suffit d écrire e t sous la forme + n= e nt et d utiliser + la formule e nt t sdt t = Γ(s n s. 0

5 ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 4 Proposition I..2. Si f est une fonction C sur R + à décroissance rapide à l infini, alors la fonction L(f,s = Γ(s + 0 f(tt sdt t définie pour Re(s > 0 admet un prolongement holomorphe à C tout entier et, si n N, alors L(f, n = ( n f (n (0. Démonstration. Soit ϕ une fonction C sur R +, valant sur [0,] et 0 sur [2,+ [. On peut écrire f sous la forme ϕf+ ( ϕf et L(f,s sous la forme L(ϕf,s + L(( ϕf,s et comme ( ϕf est nulle dans un voisinage + de 0 et à décroissance rapide à l infini, l intégrale f(tt sdt définit une 0 t fonction holomorphe sur C tout entier. Comme de plus, /Γ(s s annule aux entiers négatifs, on a L(( ϕf, n = 0 si n N. On voit donc que, quitte à remplacer f par ( ϕf, on peut supposer f à support compact. Une intégration par partie nous fournit alors la formule L(f,s = L(f,s + si Re(s >, ce qui permet de prolonger L(f,s en une fonction holomorphe sur C tout entier. D autre part, on a + L(f, n = ( n+ L(f (n+, = ( n+ f (n+ (tdt = ( n f (n (0, ce qui termine la démonstration. t On peut en particulier appliquer cette proposition à f 0 (t = e t. Soit + n=0 B nt n /n! le développement de Taylor de f 0 en 0. Les B n sont des nombres rationnels appelés nombres de Bernoulli et qu on retrouve dans toutes les branches des mathématiques. On a en particulier B 0 =, B = 2, B 2 = 6, B 4 = 30,..., B 2 = , et comme f 0 (t f 0 ( t = t, la fonction f 0 est presque paire et B 2k+ = 0 si k. Un test presque infaillible pour savoir si une suite de nombres a un rapport avec les nombres de Bernoulli est de regarder si 69 apparaît dans les premiers termes de cette suite. Théorème I..3 (i La fonction ζ a un prolongement méromorphe à C tout entier, holomorphe en dehors d un pôle simple en s = de résidu. (ii Si n Q, alors ζ( n = ( n B n+ ; en particulier, ζ( n Q. n + Démonstration. On a ζ(s = s L(f 0,s comme on le constate en utilisant la formule Γ(s = (s Γ(s ; on en déduit le résultat. 0

6 42 P. COLMEZ I.2. Valeurs aux entiers positifs pairs Proposition I.2.. Si z C Z, alors + z + ( z + n + = πcotg πz. z n n= Démonstration. Notons F(z la fonction F(z = z + + n= ( z + n + = + z n z + 2z z 2 n 2. n= La convergence absolue de la série dans le second membre montre que F(z est une fonction méromorphe sur C, holomorphe sur C Z avec des pôles simples de résidu en les entiers, que F est impaire et périodique de période. La fonction G(z = F(z πcotg πz est donc holomorphe sur C, impaire et périodique de période. Si /2 x /2, on a z 2 n 2 y 2 + n 2 /4 et z y + /2. On obtient donc + n= 2z + 2z + 2y + z 2 n 2 z 2 n 2 y n2 n= + 0 n= 2y + y x2dx = π 2 2y +. y 2 4 Comme la fonction πcotg πz est bornée sur Im(z, il existe c > 0 tel que G(z c si z = x + iy et /2 x /2, y. De plus, G étant holomorphe, il existe c > 0 tel que G(z c si z = x + iy et /2 x /2, 0 y et G étant impaire et périodique de période, on a alors G(z sup(c,c quel que soit z C. La fonction G est donc bornée sur C tout entier, donc constante et nulle car impaire. Ceci permet de conclure. Maintenant, on a d une part + z + n= et d autre part, 2z z 2 n 2 = + z 2z n= πcotg πz = iπ e2iπz + e 2iπz = iπ + On en déduit le résultat suivant. + z 2k n 2k+2 = z 2 + k=0 k= 2iπ e 2iπz = iπ + + z n=0 ζ(2kz 2k, (2iπz n B n. n!

7 ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 43 Théorème I.2.2. Si k est un entier, alors ζ(2k = 2 B 2k (2iπ 2k. (2k! En particulier, π 2k ζ(2k est un nombre rationnel. I.3. Polylogarithmes et valeurs aux entiers positifs de la fonction zêta. Polylogarithmes Si k est un entier, on note Li k (z la fonction définie, pour z <, par la formule Li k (z = + n= z n n k. Ces fonctions Li k, appelées polylogarithmes (Li 2 est le dilogarithme, Li 3 le trilogarithme..., ont été introduites par Leibnitz, mais n ont commencé à jouer un rôle important que depuis une vingtaine d années ; on s est aperçu récemment qu elles apparaissaient naturellement dans de multiples questions (volumes de variétés hyperboliques, valeurs aux entiers des fonctions zêtas, cohomologie de GL n (C... d On a Li (z = log( z, et dz Li k(z = z Li k (z, ce qui permet de prolonger analytiquement Li k (z, par récurrence sur k, en une fonction holomorphe multivaluée sur C {0, }. (On est obligé de supprimer 0 bien que la série + n= zn /n k n ait pas de singularité en 0 car, après un tour autour de, la fonction Li (z = log( z augmente de 2iπ et donc vaut 2iπ en 0, ce qui fait que Li 2 (z = z Li (z a une singularité logarithmique en 0. Pour prolonger analytiquement log z et les Li k (z, k, il faut choisir un chemin γ z dans C {0,} reliant un point fixe (nous prendrons /2 comme point de base de tous nos chemins à z et poser et log z = log 2 + Li (z = log 2 + γ z Li k (z = + n= 2 n n k + γ z dt t, dt t γ z Li k (t dt t.

8 44 P. COLMEZ Si on change le chemin γ z, il existe b,a,a 2,... Q (avec a k (k! Z tels que log z, Li (z, Li 2 (z et Li k (z deviennent respectivement log z + b 2iπ, et Li (z + a 2iπ, Li 2 (z + a 2iπ log z + a 2 (2iπ 2 Li k (z + k j= a j (2iπ j logk j z (k j!. 2. La version analytique réelle des fonctions polylogarithmes La fonction polylogarithme Li k a un petit frère analytique réel P k qui a le bon goût d être monovalué ; cette fonction joue, pour Li k, le rôle que joue z log zz pour la fonction logarithme. Si k N {0}, soit C k Q[X] l unique polynôme vérifiant C k (X + C k (X = Xk (k! et 0 C k (tdt = 0. Le polynôme C k est un multiple du k-ième polynôme de Bernoulli ; on a c k = C k (0 = B k /k!, où B k est le k-ième nombre de Bernoulli, et C k (X = k i=0 c ix k i /(k i! (ceci peut se démontrer en remarquant que C k = C k. Proposition I.3.. Si k est un entier, la fonction k ( P k (z = c l (log zz l Li k l (z + ( k Li k l (z l=0 est une fonction monovaluée sur C {0, }, analytique réelle, à valeurs dans R (resp. ir si k est impair (resp. si k est pair. Démonstration. La seule chose non évidente est le fait que P k (z ne dépend pas du choix de γ z. Notons L la fonction log z. D après la discussion ci-dessus, si on change γ z, la nouvelle valeur de P k (z diffère de l ancienne par k l=0 ( k l c l (L + L l j= ( L a j (2iπ j k l j (k l j! + L k l j ( k j, (k l j! où a,...,a k sont des rationnels sans relation entre eux. Fixant j, et posant m = k j, on est ramené à démontrer la relation m l=0 c l (m l! (L + Ll (L m l + ( m L m l = 0.

9 ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 45 Pour cela, divisons le tout par L m et posons X = L L. On obtient m l=0 c l (X + l Xm l + ( m (m l! = (X + m( ( X ( C m + ( m C m = 0 X + X + car C m ( Y = ( m C m (Y (cela découle immédiatement de la définition de C m. Ceci permet de conclure. Remarque I.3.2. Comme on peut faire des combinaisons linéaires des P k l (z(log zz l pour obtenir d autres fonctions monovaluées à partir des Li k (z, le choix des constantes c l peut sembler un peu arbitraire. Leur justification demanderait d introduire la notion de variation de structures de Hodge rationnelles, ce qui nous entraînerait un peu loin. Proposition I.3.3. P k se prolonge en une fonction continue sur C (resp. C {} si k 2 (resp. si k =, avec P k (0 = 0 et P k ( = ( + ( k ζ(k. Démonstration. Comme on a le choix de la détermination des Li k (z, on peut, pour étudier le comportement de P k en z = 0, utiliser la détermination donnée par la série + n= zn /n k, auquel cas, le zéro de cette série en z = 0 contrebalance largement la croissance de (log z 2 l. En ce qui concerne le comportement en z =, remarquons que la singularité de Li k en ce point est de la forme z k log( z (k!, et donc que la fonction Li k admet un prolongement par continuité en z = si k 2; on en déduit le résultat car (log z 2 k tend vers 0 assez vite quand z pour tuer la singularité de Li. 3. Équations fonctionnelles des polylogarithmes Si r est un entier, la somme des puissances n-ièmes des racines r- ièmes de l unité vaut r (resp. 0 si n est un multiple de r (resp. si n n est pas un multiple de r. On en déduit la relation de distribution suivante pour la fonction P k : P k (εz = r k P k (z r. ε r =

10 46 P. COLMEZ Les fonctions P (z = log z 2, P 2 et P 3 vérifient les équations fonctionnelles suivantes P (z + z 2 z z 2 P (z P (z 2 = 0 ( z z 2 P 2 ( z ( z 2 ( z ( z 2 2 ( z P 3 z 2 ( z 2 + P 3 (z z 2 + P 3 z 2 2P 3 ( z2 ( z (z 2 P 2 ( z2 z P 2 ( z z 2 + P 2 (z + P 2 (z 2 = 0 2P 3 ( z ( z 2 z 2 ( z ( z ( z 2 2P 3 (z ( z2 2P 3 2P 3 (z 2P 3 (z 2 + 2P 3 ( = 0 z La première de ces équations fonctionnelles suit de l équation fonctionnelle pour le logarithme ; les deux autres, découvertes au 9-ième siècle, se démontrent en dérivant. Comme c est assez fastidieux, nous nous contenterons de vérifier l équation fonctionnelle de P 2. Notons h(z,z 2 la fonction dont on cherche à démontrer la nullité, et remarquons que h(0,0 = 0; il suffit donc de prouver que les dérivées partielles de h sont nulles, et comme h est symétrique par rapport à z et z 2, il suffit de considérer les dérivées partielles par rapport à z et z. D autre part, un calcul immédiat nous fournit les formules z P log z log z 2(z = z z et z P 2(z = z P 2(z, ce qui fait que h = 0 entraîne h = 0. z z Si f est une fonction de z,z 2, soient ϕ(f = log f et ψ(f = log f. z On a et ϕ(fg = ϕ(f + ϕ(g, ψ(fg = ψ(f + ψ(g z P 2 (f = ϕ( fψ(f ϕ(fψ( f. Posons u = z, u 2 = z 2, u 3 = z, u 4 = z 2 et u 5 = z z 2, et donc z z 2 ( z ( z 2 = u 5 u 3 u 4, z 2 z = u 5 u 3, z z 2 = u 5 u 4.

11 ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 47 Finalement, soient v i = ϕ(u i et w i = ψ(u i, si i 5. On obtient z h = [(v 5 v 3 v 4 (w + w 2 w 3 w 4 (v + v 2 v 3 v 4 (w 5 w 3 w 4 ] [(v 5 v 3 (w 2 w 3 (v 2 v 3 (w 5 w 3 ] [(v 5 v 4 (w w 4 (v v 4 (w 5 w 4 ] + [v 3 w v w 3 ] + [v 4 w 2 v 2 w 4 ] Un calcul sans mystère permet de montrer que cette dernière quantité est nulle, ce qui permet de conclure. Il est possible que tous les P k vérifient des équations fonctionnelles du type ci-dessus, mais on ne sait pas comment en exhiber de manière systématique. L exemple de P 2 montre qu on a intérêt à minimiser le nombre de «facteurs premiers» de l ensemble des f et f qui interviennent. La proposition I.3.4 ci-dessous «décrit» les équations fonctionnelles satisfaites par P k. Soit l. Soit e = (e,...,e r, où les e i C(z,...,z l sont libres sur Z (i.e. e i e ir r =, avec i,...,i r Z, implique i = = i r = 0. Soit X(e le sous-groupe de C(z,...,z l engendré par e,...,e r et les racines de l unité. Tout élément f de X(e peut alors s écrire de manière unique sous la forme ε(fe v (f er vr(f, où ε(f est une racine de l unité et v (f,...,v r (f Z. Finalement, soit A(e l ensemble des f X(e tels que f X(e. Proposition I.3.4. Soit k 2. Soient f,...,f n A(e et a,...,a n Z. Pour que la fonction n i= a ip k (f i soit constante sur C l privé des pôles des f i, il faut et il suffit que, quels que soient j,...,j k {,...,r}, on ait n a i v j (f i v jk 2 (f i (v jk (f i v jk ( f i v jk ( f i v jk (f i = 0. i= Démonstration. Cette proposition se démontre par récurrence sur k, en dérivant (ce n est pas totalement évident. Exemple I.3.5. Si on prend l =, e = z et e 2 = z, alors A(e contient z, z et z, et on obtient les équations fonctionnelles P k (z + ( k P k (z = 0 et P k (z + P k ( z = P k (. Remarque I.3.6. On connaît des équations fonctionnelles pour P k en deux variables (i.e. l = 2 pour k 6 et en une variable (autres que celles ci-dessus pour k 7. Pour aller plus loin, le problème est que le nombre de conditions à satisfaire est de l ordre de k r, où r est le cardinal de e, et que pour être

12 48 P. COLMEZ raisonnablement sûr d avoir une solution pour a,...,a n, il faut que le cardinal de A(e soit plus grand que le nombre de conditions, ce qui n est pas très facile à réaliser. 4. Valeurs aux entiers positifs de la fonction zêta La formule P k ( = ( + ( k ζ(k fournit un lien (trivial entre les fonctions polylogarithmes et les valeurs aux entiers de la fonction zêta ; le théorème ci-dessous en fournit un autre, beaucoup plus profond. Si x Q et p est un nombre premier, on note v p (x la valuation de x en p [si x est un entier, v p (x est le plus grand entier n tel que p n divise x; dans le cas général, v p (b a = v p (a v p (b]. Théorème I.3.7. Soit k 2 un entier impair. Si x,...,x n Q {0,} et si λ,...,λ n Q sont tels que, quels que soient les nombres premiers p,...,p k (pas forcément distincts, on ait n λ i v p (x i v pk (x i v pk ( x i = 0, i= alors k i= P k(x i est un multiple rationnel de ζ(k. Démonstration. La démonstration actuelle de ce théorème est un véritable trou noir. La définition des objets qu elle met en jeu (K-théorie, cohomologie motivique, motifs mixtes, régulateur de Borel... est très loin de tenir dans la marge de ces pages, et mettre le doigt dedans expose l individu qui s y risque à disparaître corps et âme pour une très longue période. D autre part, il ne semble pas que cette démonstration permette de borner le dénominateur du rationnel obtenu (et donc de le déterminer numériquement. Un des points de départ de la démonstration est le calcul du volume de SL n (R/SL n (Z. 5. Volume de SL n (R/SL n (Z On note g n = (x i,j i,j n un élément général de SL n (R et on munit SL n (R de la mesure de Haar (à droite et à gauche dg n = dx i,j. (i,j (n,n On munit l espace homogène R n = SL n (R/SL n (Z de la mesure quotient et on a le résultat suivant : Théorème I.3.8. Le volume de R n est fini et est donné par la formule n Vol(R n = ζ(k. k=2

13 ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 49 Démonstration. La démonstration se fait par récurrence sur n, le cas n = étant évident (un produit vide vaut par convention. Pour passer de n à n, on dévisse SL n (R en introduisant le sous-groupe H n (R SL n (R des matrices de la forme ( vn h n =, 0 g n g n = (x i,j 2 i,j n SL n (R, v n = (x,2,...,x,n R n, et l application π n : SL n (R R n {0} envoyant g n sur le vecteur w n = (x,,...,x n, formé par les coefficients de la première colonne de g n. Cette application induit une bijection de l espace homogène SL n (R/H n (R sur R n {0}. Si on munit R n de la forme volume dv n = dx,2 dx,n, H n (R de la forme volume dh n = dv n dg n, R n de la forme volume dw n = dx, dx n,, alors la forme dh n est invariante par translation (à gauche ou à droite par un élément de H n (R et dg n = dw n dh n. Notons c n le volume de R n. Comme H n (R (resp. H n (Z est le produit semi-direct de SL n (R (resp. SL n (Z et de R n (resp. Z n, on a aussi Vol(H n (R/H n (Z = Vol(SL n (R/SL n (Z Vol(R n /Z n = c n. Pour calculer le volume de R n, considérons une fonction ϕ positive sur R n. On a, d une part ϕ(w n dw n = ϕ(w n dw n, R n R n {0} car {0} est de mesure nulle et, d autre part, le théorème de Fubini nous donne Vol(H n (R/H n (Z ϕ(w n dw n = ϕ(π n (g n dg n R n {0} SL n (R/H n(z ( = ϕ(π n (g n γ dg. R n γ SL n(z/h n(z L application qui, à g n SL n (R associe le sous-z-module Λ gn de R n, engendré par les colonnes de g n, induit une bijection de l espace homogène R n = SL n (R/SL n (Z sur l ensemble des réseaux de volume de R n. Si γ SL n (Z, alors π n (g n γ est une combinaison linéaire, à coefficients entiers premiers entre eux des colonnes de g n ; c est donc un élément primitif du réseau Λ gn (un élément λ d un réseau Λ est dit primitif si on ne peut pas l écrire sous la forme a λ, avec a N {0,} et λ Λ. L application γ π n (g n γ induit une bijection de SL n (R/H n (Z sur l ensemble Λ g n des

14 50 P. COLMEZ éléments primitifs de Λ gn. On obtient donc ( c n ϕ(w n dw n = R n R n λ Λ gn ϕ(λ dg n. Pour passer de Λ g n à Λ gn, on utilise la formule ϕ(aw n dw n = a n ϕ(w n dw n, R n R n ce qui nous donne, en sommant sur a N {0}, + ζ(nc n ϕ(w n dw n = c n ϕ(aw n dw n R n R n = + a= R n ( λ Λ gn a= ϕ(aλ dg n = R n ( λ Λ gn {0} ϕ(λ dg n. (Modulo la formule Vol(R n = ζ(nc n que l on cherche à obtenir, cette égalité peut s exprimer, après division par Vol(R n, sous la forme «l intégrale sur R n d une fonction ϕ est la moyenne sur l ensemble des réseaux de volume de R n de la somme des valeurs de ϕ en les points du réseau». D après le lemme de Minkowski (un des résultats les plus utiles en théorie des nombres, un convexe de R n, de volume 2 n, symétrique par rapport à l origine, contient un élément non nul de tout réseau de R n de volume. Si on prend pour ϕ la fonction caractéristique d un tel convexe, alors λ Λ gn {0} ϕ(λ quel que soit g n SL n (Z ; on en déduit l inégalité c n = R n dg n 2 n ζ(nc n ; en particulier, c n est fini. Maintenant, si ϕ est une fonction de Schwartz sur R n (i.e. ϕ est C et à décroissance rapide ainsi que toute ses dérivées, et si ϕ désigne la transformée de Fourier ϕ(y = e 2iπ t x w n dw n R n de ϕ, on dispose de la formule de Poisson (où l on pose g n = t gn ϕ(λ = ϕ(λ. λ Λ gn λ Λ g n Ceci nous donne ζ(nc n ϕ(0 + c n ϕ(0 = = R n R n ( ϕ(λ dg n λ Λ gn ( ϕ(λ dg n = ζ(nc n ϕ(0 + c n ϕ(0. λ Λ g n

15 ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 5 Cette formule étant valable quel que soit ϕ, la formule d inversion de Fourier ϕ(0 = ϕ(0 nous permet de d obtenir l égalité qui permet de conclure. c n = ζ(nc n Remarque I.3.9. En voyant la formule du théorème, on se dit qu il doit exister une «décomposition» de SL n en morceaux reflétant la factorisation naturelle du volume de SL n (R/SL n (Z. C est cette vague intuition qui mène à la K-théorie et aux régulateurs de Borel (cf. démonstration du théorème I.3.7. I.4. Équation fonctionnelle de la fonction zêta Soit ξ(s = π s/2 Γ(s/2ζ(s. Théorème I.4.. La fonction ξ(s admet un prolongement méromorphe à C tout entier, holomorphe en dehors de pôles simples de résidus respectifs et en s = 0 et s =, et vérifie l équation fonctionnelle ξ(s = ξ( s. Démonstration. Il y a un nombre assez conséquent de méthodes pour arriver au résultat. Nous en donnerons deux dans ce n o et une autre au III.4 (cf. th. III Première méthode : la fonction thêta Si t > 0, on a + + e πtx2 e 2iπxy dx = e πt y 2 e πt(x+it y 2 dx = t /2 e πt y 2. (C est classique ; faire le changement de variables u = t(x + it y, utiliser le théorème des résidus pour revenir sur la droite réelle et la formule + e πu2 du = pour conclure. Si t > 0, soit θ(t = n Z e πtn2. La formule de Poisson n Z ϕ(n = n Z + ϕ(xe 2iπnx dx, utilisée pour ϕ(x = e πtx2, nous fournit l équation fonctionnelle θ(t = t /2 θ(t.

16 52 P. COLMEZ On a alors ξ(s = 2 = (θ(t t s/2dt t (t /2 θ(t t s/2dt t (θ(t t s/2dt t et on peut changer t en t dans la première intégrale pour obtenir ξ(s = s + s (θ(t (t s/2 + t ( s/2 dt t. On en déduit le résultat car θ(t est à décroissance rapide à l infini, ce qui implique que l intégrale est une fonction holomorphe de s sur C tout entier, et le membre de droite est évidemment invariant par s s. 2. Deuxième méthode : intégrale sur un contour Si c > 0, soit C c le contour obtenu en suivant la droite réelle de + à cπ, puis en parcourant le carré de sommets cπ(±±i dans le sens trigonométrique, et en retournant en + le long de l axe réel. Soit F c (s = C c e z ( zsdz z, où ( z s = exp(s log( z et la branche du logarithme choisie est celle dont la partie imaginaire est comprise entre π et π ; en particulier, on a ( z s = e iπs z s de + à cπ et ( z s = e iπs z s de cπ à + (après avoir parcouru le carré. Comme e z est à décroissance rapide à l infini, la fonction F c(s est holomorphe sur C pour tout c qui n est pas un entier pair (pour éviter les pôles de e z. D autre part, le théorème des résidus montre que F c(s ne dépend pas de c si c reste dans un intervalle du type ]2N,2N + 2[, avec N N. En particulier, on a F (s = F c (s quel que soit c ]0,2[. Si Re(s >, quand c tend vers 0, l intégrale sur le carré de sommets cπ(± ± i tend vers 0, et on obtient, en passant à la limite F (s = e iπs 0 + e z zsdz z +eiπs + 0 e z zsdz z = 2i sin πs Γ(s ζ(s. Maintenant, quand N tend vers +, la fonction F 2N+ (s tend vers 0 quand Re(s < 0 car e z est majorée, indépendamment de N, sur C 2N+. La différence entre F (s et F 2N+ (s peut se calculer grâce au théorème des résidus. La fonction e z ( zs a des pôles en z = ±2iπ, ±4iπ,..., ±2Niπ dans le contour délimité par la différence entre C 2N+ et C. Si k {,...,N}, le résidu de e z ( zs est (2kπ s e iπ(s /2 en 2ikπ et (2kπ s e iπ(s /2

17 ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 53 en 2ikπ, ce qui nous donne 2iπ (F 2N+(s F (s = 2cos π s 2 N (2kπ s. En passant à la limite, on obtient donc F (s = 4iπ cos(π s 2 (2πs ζ( s, si Re(s < 0. On en déduit l équation fonctionnelle sin πs Γ(s ζ(s = cos π s (2π s ζ( s. 2 Pour passer de cette équation fonctionnelle à celle de ξ, il faut utiliser les formules classiques Γ(sΓ( s = π sin πs, Γ( s 2 Γ (s + 2 = 2 s Γ ( 2 k= ( Γ(s, et Γ = π. 2 I.5. Fonctions L de Dirichlet. Caractères de Dirichlet et sommes de Gauss Si d est un entier, on appelle caractère de Dirichlet modulo d un morphisme de groupes de (Z/dZ dans C. L image d un caractère de Dirichlet est bien évidemment incluse dans le groupe des racines de l unité. Si d est un diviseur de d et χ est un caractère de Dirichlet modulo d, on peut aussi voir χ comme un caractère de Dirichlet modulo d en composant χ avec la projection (Z/dZ (Z/d Z. On dit que χ est de conducteur d si on ne peut pas trouver de diviseur d de d distinct de d, tel que χ provienne d un caractère modulo d. De manière équivalente, χ est de conducteur d si quel que soit d diviseur de d distinct de d, la restriction de χ au noyau de la projection (Z/dZ (Z/d Z n est pas triviale. Si χ est un caractère de Dirichlet modulo d, on note χ le caractère de Dirichlet modulo d défini par χ (n = (χ(n si n (Z/dZ. Si χ est un caractère de Dirichlet modulo d, on considère aussi souvent χ comme une fonction périodique sur Z de période d en composant χ avec la projection naturelle de Z sur Z/dZ et en étendant χ par 0 sur les entiers non premiers à d. On a donc χ (n = (χ(n si (n,d =, mais χ (n = 0 si (n,d. Si d est un entier, χ un caractère de Dirichlet de conducteur d et si n Z, on définit la somme de Gauss tordue G(χ,n par la formule G(χ,n = et on pose G(χ = G(χ,. a mod d χ(ae 2iπna/d

18 54 P. COLMEZ Lemme I.5. (i Si n N, alors G(χ,n = χ (ng(χ (ii G(χG(χ = χ( d. Démonstration. Si (n,d =, alors n est inversible dans (Z/dZ, ce qui permet d écrire G(χ,n = χ(ae 2iπna/d = χ (n χ(ane 2iπna/d = χ (ng(χ. a mod d an mod d Si (n,d = e >, on peut écrire d = ed et n = en. Soit U le noyau de la projection de (Z/dZ sur (Z/d Z. Si on choisit un système S de représentants de (Z/d Z dans (Z/dZ, on a G(χ,n = χ(aue 2iπnau/d. a S u U Si u U et a Z, alors nau na = n ea(u 0 mod d et donc e 2iπnau/d = e 2iπna/d. On obtient donc G(χ,n = χ(ae 2iπna/d( χ(u = 0 a S u U car u U χ(u = 0 puisque χ est un caractère non trivial de U (sinon χ serait de conducteur d. Ceci démontre le (i. Utilisant ce qui précède, on obtient G(χG(χ = e 2iπb/d χ (bg(χ = e 2iπb/d( b mod d b mod d = a mod d a mod d ( χ(a b mod d χ(ae 2iπab/d e 2iπ(a+b/d et comme b mod d G(χG(χ = χ( d. e 2iπ(a+b/d = { d si a =, on en tire la formule 0 sinon 2. Les fonctions L de Dirichlet Soient d un entier et χ un caractère de Dirichlet de conducteur d. Soit L(χ,s = + n= χ(n n s = p premier ( χ(pp s la fonction L de Dirichlet attachée à χ. Si on utilise l identité χ(n = G(χ χ (be 2iπnb/d, b mod d

19 ARITHMÉTIQUE DE LA FONCTION ZÊTA 55 on obtient Utilisant la formule L(χ,s = + 0 G(χ L(χ,s = G(χ Γ(s b mod d + χ (b n= e 2iπnb/d e nt t sdt t = Γ(s n s, on obtient, ayant posé ε d = e 2iπ/d, = G(χ Γ(s b mod d + 0 χ (b b mod d n s + + ε nb d e nt 0 n= χ (b ε b d et tsdt t. En particulier, la proposition I..2 implique que L(χ, s admet un prolongement holomorphe à C tout entier et que, si n N, alors L(χ, n est ( n χ (b la dérivée n-ième de la fonction G(χ b mod d ε b prise en t = 0. Pour d et supprimer le ( n, on peut changer t en t, utiliser l identité et le fait que a posé b mod d d e t = ε b d et ε b χ (b = 0 et on obtient L(χ, n = ( d dt n L χ (t 0, où l on L χ (t = G(χ b mod d χ (b ε b d et. Remarque I.5.2. On peut démontrer, par exemple à partir de la formule cidessus pour L(χ,s, que L(χ,s vérifie l équation fonctionnelle Λ(χ, s = ( i a(χ d /2 G(χ Λ(χ,s, où l on a posé Λ(χ,s = Γ(s+a(χ 2 π (s+a(χ/2 ds/2 L(χ,s, avec a(χ = 0 si χ( = et a(χ = si χ( =. I.6. La fonction zêta de Dedekind d un corps de nombres Un corps de nombres est une extension finie de Q. Par exemple, les corps quadratiques (de la forme Q( D, avec D Q ou les corps cyclotomiques (de la forme Q(e 2iπ/m, m entier 3 sont des corps de nombres. D après le théorème de l élément primitif, si F est un corps de nombres de degré n sur Q, alors il existe α F engendrant F en tant que Q-algèbre. Si P Q[X] est le polynôme minimal de α, alors P est de degré n et l application A A(α induit un isomorphisme de Q[X]/P sur F. On note r

20 56 P. COLMEZ le nombre de racines réelles de P et 2r 2 le nombre de racines non réelles de P. On a donc r + 2r 2 = n et on dit que F est totalement réel si r 2 = 0. Si α,...,α r,α r +,...,α r +r 2,α r +,...,α r +r 2 sont les racines de P, on note σ i (resp. σ i, si i r + r 2 (resp. r + i r + r 2 le plongement de F dans C envoyant α sur α i (resp. α i. On dit que x F est entier si son polynôme minimal est à coefficients dans Z. L ensemble des entiers de F forme un anneau O F appelé anneau des entiers de F. Par exemple, si D Z n est divisible par le carré d aucun nombre premier, alors l anneau des entiers de Q( D est Z[ D] (resp. Z[ + D 2 ] si D 2 ou 3 modulo 4 (resp. si D modulo 4. L anneau des entiers de Q(e 2iπ/m est Z[e 2iπ/m ]. L anneau O F est un Z-module libre de rang n (c est un réseau du Q-espace vectoriel F qui est de dimension n. Si e,...,e n forment une base de O F sur Z, on note F le discriminant de F ; c est la valeur absolue du déterminant de la matrice n n dont les coefficients sont les (Tr F/Q (e i e j i,j n. Le discriminant de Q( D est 4 D (resp. D D 2 ou 3 modulo 4 (resp. si D modulo 4. L application A (A(α,...,A(α r +r 2 induit un isomorphisme de R[X]/P sur R r C r 2 ; l image de O F F = Q[X]/P par cet isomorphisme est un réseau du R-espace vectoriel R r C r 2 et le volume de O F pour la forme volume naturelle (dx sur R et dz dz = 2dxdy sur C est égal à F. On note U F le groupe des unités de O F ; c est aussi l ensemble des éléments u de O F vérifiant N F/Q (u = ±. D après un théorème de Dirichlet, ce groupe est de la forme µ F Z r +r 2, où µ F est le groupe des racines de l unité contenues dans F; c est un groupe fini dont on note w F le cardinal. On note l : F R r +r 2 l application x (log( σ (x,...,log σ r (x,2log σ r +(x,...,2log σ r +r 2 (x. L image de U F par l est un réseau de l hyperplan d équation λ + + λ r +r 2 = 0. On définit le régulateur R F de F comme le volume de ce réseau : si ε,...,ε r +r 2 est une base du Z r +r 2 contenu dans U F, alors R F est la valeur absolue du déterminant de la matrice (r + r 2 (r + r 2 de coefficients (a i log σ i (ε j i,j r +r 2, avec a i = (resp. a i = 2 si i r (resp. si i r +. L anneau O F n est pas forcément principal, mais c est un anneau de Dedekind ce qui signifie que tout idéal non nul a de O F peut se factoriser de manière unique sous la forme r i= pk i i, où les p i sont des idéaux maximaux distincts de O F et les k i des éléments de N. On dit que deux idéaux non nuls a et b de O F sont équivalents (a b s il existe γ,δ O F {0} tels que (γa = (δb

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