Machines thermiques avec changements d état

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1 Machin thrmiqu avc changmnt d état I 38. Étud d'un pomp à chalur dtiné au chauffag d'un habitation(esim 99). 3 Un pomp à chalur à fréon (CHF Cl : difluorochlorométhan) prélèv d la chalur à un circuit d'au froid t cèd d la chalur à d l'au chaud qui circul dan l ol d l'habitation. L fréon décrit un cycl : dan l'évaporatur, il ubit un évaporation complèt ou la prion d vapur aturant p t à la tmpératur ; l fréon gazux ort du comprur à la tmpératur 3 t ou la prion p ; dan l condnur l fréon gazux rfroidit, pui liquéfi complètmnt ou la prion d vapur aturant p t à la tmpératur l ; n travrant l détndur, l fréon ubit un détnt d Joul-homon, paant d, p à, p ; ctt détnt 'accompagn d'un vaporiation partill du liquid. ou l calcul ront réalié pour un ma m = kg d fréon t on po : Lv () : chalur latnt d vaporiation du fréon ; c L : capacité thrmiqu maiqu du fréon liquid, uppoé indépndant d t d p ; l fréon gazux t aimilé à un gaz parfait d ma moléculair molair M, t pour lqul γ =, 0 ; l'énrgi cinétiqu macrocopiqu aini qu l'énrgi potntill d pantur ront négligé dan tout l problèm ; l volum maiqu v L du fréon liquid t indépndant d la prion t d la tmpératur ; l'intallation fonctionn n régim prmannt. Donné : = 73 K; = 305 K; L ( ) = 05 kj. kg ; L ( ) = 75 kj. kg ; v v 5 5 c =, 38 kj.kg.k ; p = 5.0 Pa; p =,65.0 Pa; v L L 3 = 0,75 dm.kg ; R = 8, 3J.mol.K ; 3 ma molair du fréon : M = 86,5.0 kg.mol. 0. Préliminair. 0.. Montrr qu la capacité thrmiqu maiqu à prion contant du fréon gazux t c p γr = ( γ ) M 0.. La calculr numériqumnt Un fluid travr un machin tationnair. Par unité d ma d fluid tranvaé, la machin rçoit un travail w t un chalur q. Montrr qu avc l approximation du problèm défini précédmmnt la différnc d nthalpi maiqu h ntr la orti t l ntré, rprénté par d indic t, obéit à h h = w + q. Étud d la comprion... La comprion t adiabatiqu t révribl ; n déduir 3, pui l travail w n fonction d donné... Qull t la variation d'ntropi maiqu du fréon?. Paag dan l condnur. DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag

2 .. Calculr la quantité d chalur q rçu par l fréon... Calculr a variation d'ntropi maiqu. 3. Paag dan l détndur. 3.. L détndur t un robint, auqul on n fournit ni travail, ni chalur. Qull t la variation d l nthalpi du fréon? 3.. En déduir la fraction maiqu x d fréon gazux à la orti du détndur Calculr la variation d'ntropi maiqu du fréon Commntr. 4.Paag dan l'évaporatur. 4.. Calculr la quantité d chalur rçu par l fréon. q 4.. Calculr a variation d'ntropi maiqu. 5. Efficacité. L comprur t ntraîné par un motur élctriqu d rndmnt élctro-mécaniqu r = 0,8. Définir l'fficacité d ctt pomp à chalur t l'évalur. Si on put fair varir l t, pour qull valur d c paramètr l fficacité t-ll la millur? Qul avantag prént c chauffag par rapport au chauffag élctriqu? 6.Étud du cycl. 6.. Vérifir l bilan énrgétiqu du cycl. 6.. Vérifir l bilan ntropiqu du cycl Utiliation d'un diagramm ntropiqu. Détrminr l'équation d'un iobar dan la parti corrpondant à l état gazux du diagramm ntropiqu ( n abci, n ordonné). racr qualitativmnt l'iobar p. Par qul déplacmnt la courb iobar corrpondant à p déduit-ll d cll corrpondant à p? Commnt ont rprénté la vaporiation t la condnation à prion contant dan l diagramm ntropiqu? Commnt t rprénté la détnt d Joul-homon dan c diagramm? Rpréntr qualitativmnt ur l diagramm précédnt l cycl. Montrr qu l travail w rçu par l fréon t upériur à l'air du cycl. 7. Fonctionnmnt d l intallation. Ctt pomp à chalur rt à compnr l prt d chalur d l'habitation maintnu à la tmpératur 4 = 93 K, alor qu la tmpératur xtériur t = 73 K. 7.. Dan l but d'évalur c prt, on coup l chauffag ; la tmpératur d l'habitation pa alor n un duré t = 4 hur d 4 = 93 K à 5 = 83 K. On admt qu la quantité d chalur prdu pndant la duré d t ptit 7 'écrit δ Q = ak( ) dt, où k =.0 J.K déign la capacité thrmiqu d l'habitation, a tmpératur à l'intant t, t a un contant dépndant d l'iolation. Donnr un équation différntill décrivant l'évolution (t) ; n déduir a. 7.. Calculr la puianc élctriqu conommé P pour maintnir la tmpératur d l'habitation à la valur contant L'au qui alimnt la ourc froid ubit un chut d tmpératur = 4 dgré cntéimaux durant la travré d l'échangur. En déduir on débit maiqu. Capacité thrmiqu maiqu d l'au froid utilié : c = 4,8 kj. kg. K. II 30. Etud d'un climatiur. On 'intér au fonctionnmnt d'un apparil d climatiation, dont l but t d maintnir un tmpératur contant ( 0 = 0 C) dan un local été comm hivr. L climatiur fonctionn donc n pomp à chalur l'hivr, n machin frigorifiqu l'été. L tranfrt thrmiqu du climatiur font avc ourc : L'intériur d la pièc (à 0 ). L'atmophèr xtériur (on prndra = 0 C n hivr ; = 40 C n été afin d prévoir d condition «xtrêm»). L fluid caloportur qui ffctu d cycl dan l'apparil t l'ammoniac. S caractéritiqu thrmodynamiqu ont réumé dan l diagramm ntropiqu (S) où ont rprénté : l inthalpiqu (H t donné n kj/kg) ; l iobar (rprénté par dan l domain «vapur èch»). On donn, par aillur, l prion d vapur aturant P () aux troi tmpératur d'étud P (0 C) = 4,3 bar P (0 C) = 8, bar P (40 C) = 5 bar f DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag

3 On limitra à l'étud du climatiur n régim prmannt. Par un ju d vann adéquat, l fluid put circulr dan un n pour chauffr la pièc (A, B, C, D, A) ; dan l'autr n pour la rafraîchir (B, A, D, C, B). L circuit comport parti iobar L'un à la prion d vapur aturant d l'ammoniac à 0 C (côté local) ; L'autr à la prion d vapur aturant d l'ammoniac à xt (côté atmophèr xtériur). Par aillur, on uppo l énrgi cinétiqu du fluid négligabl ; alor, à la travré d'un parti activ (comprur, détndur ou échangur) l'énrgi rçu par l fluid circulant n régim prmannt vérifi : h = h h = w + q i h t h ont l nthalpi maiqu du fluid à l'ntré t à la orti ; w t q étant l travail t la chalur util rçu (c't-àdir échangé avc l'xtériur du circuit, xcluant l travail d forc d prion) par kilogramm d fluid travrant la parti activ. L fluid ubit d échang d chalur iobar (an rcvoir d travail util) dan l échangur E l t E avc l ourc d chalur (local t atmophèr xtériur). Un ytèm d vntilation prmt d'améliorr l échang thrmiqu : la tmpératur du fluid t cll d la ourc d'échang à la orti d chacun d'ntr ux. L comprur comprim d manièr adiabatiqu révribl l fluid à l'état gazux d la plu faibl à la plu fort prion. L'unité d ma d fluid traité y rçoit l travail util w. L fluid ubit un détnt adiabatiqu, an échang d travail util, dan l détndur (la détnt t donc inthalpiqu).. Généralité -- Commnt réali-t-on un détndur (détnt inthalpiqu d'un fluid)? Qul autr nom port un tll détnt? -- L prmir princip d thrmodynamiqu t bin vérifié dan un parti activ ; c't pourtant h (t non u ) qui t égal à (w + q)... Expliqur qualitativmnt (an ntrr dan l détail d'un démontration) ctt différnc. -3- Par lctur du graph, déduir l nthalpi maiqu d vaporiation d l'ammoniac à 0 C, 0 C t 40 C.. Fonctionnmnt hivrnal du climatiur (chauffag) Dan c ca : l'échangur E l t un condnur : l'ammoniac y ntr n B ou form d vapur èch ; il n rort ou form d liquid aturant n C, à la tmpératur 0 du local ; l'échangur E t un évaporatur : l mélang liquid vapur qui ntr n D vapori totalmnt pour rortir ou form d vapur aturant n A à la tmpératur d l'atmophèr xtériur = 0 C. -- racr l cycl (n l'orintant) d l'ammoniac ur l diagramm ntropiqu. rouvr graphiqumnt a tmpératur B à la orti du comprur. -- Détrminr (graphiqumnt), pour kg d'ammoniac traité (on rappll qu E l, E t l comprur ont d parti activ) : L travail w fourni par l comprur au fluid ; La chalur q c rçu par l fluid (d la part du local) lor du paag dan l'échangur E l ; La chalur q f rçu par l fluid (d la part d l'xtériur) lor d on paag dan E. Fair un bilan énrgétiqu du cycl. -3- Définir t calculr l cofficint d prformanc η du climatiur. Qul intérêt prént un tll intallation par rapport à un chauffag élctriqu? Qul rait l cofficint d prformanc η i l fluid ffctuait d cycl d DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag 3

4 Carnot n ffctuant l échang thrmiqu avc l mêm ourc d chalur? En quoi l cycl ffctué diffèr-t-il d'un cycl d Carnot? -4- Qull t la fraction maiqu d vapur X D à la orti du détndur? -5 En uppoant qu l'ammoniac, à l'état gazux dan l comprur, t aimilabl à un gaz parfait d cofficint adiabatiqu γ contant, xprimr l rapport / (d tmpératur abolu d orti t d'ntré dan l comprur) n fonction d γ t P /P (rapport d prion d orti t d'ntré du comprur). En déduir l'indic adiabatiqu γ du gaz ammoniac. DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag 4

5 III 56. Chauffag d un picin à l'aid d'un pomp à chalur. Capacité calorifiqu maiqu d l'au : c 0 = 4,8 J.g.K Chalur latnt maiqu d vaporiation d l'au : Lvap = 800 J.g 3 3 Ma volumiqu d l'au : ρ au = 0 kg.m Un pomp à chalur prmt d maintnir contant la tmpératur d l'au d la picin ; on placra donc n régim prmannt. La machin thrmiqu fonctionn avc dux ourc d chalur (thrmotat) : l'air xtériur d tmpératur xt = 83 K t l'au d la picin d tmpératur au = 99 K. L fonctionnmnt d la pomp à chalur t baé ur l cycl d'un fluid caloportur ayant un tmpératur d'ébullition ba. L fluid caloportur, initialmnt ou form d un mélang liquid-vapur au point, travr l'évaporatur où l'air xtériur lui prmt d ubir un vaporiation complèt t d tranformr n vapur aturant (trajt -). L comprur comprim nuit ctt vapur (trajt -3), d façon adiabatiqu t révribl. Au nivau du condnur, la vapur urchauffé voit d'abord a tmpératur dcndr juqu'à au n uivant un tranformation iobar (trajt 3-4). L fluid caloportur, toujour comprimé, rdvint nuit liquid aturé (trajt 4-5). La oupap d détnt réduit la prion du fluid caloportur (trajt 5-), tranformation au cour d laqull la tmpératur du fluid 'abai fortmnt l rndant prêt pour un nouvau cycl. ) Pour un point i (compri ntr t 5) du cycl, on not Pi, i t Vi la prion, la tmpératur t l volum du fluid caloportur. a. Calculr la variation d ntropi S d la vapur aimilé à un gaz parfait pour un tranformation iobar ntr l tmpératur 3 t 4. b. L din d la figur donn l'allur d la courb d'équilibr liquid-vapur du fluid conidéré dan l diagramm (,S). On y a rpéré l point corrpondant au début du cycl (n fait, c point n t placé qu approximativmnt). Rproduir l chéma ur votr fuill t placr l point, 3, 4 t 5. Pour chacun d cinq étap, jutifir rapidmnt l allur d courb aini obtnu. ) Rproduir l diagramm d la figur t indiqur par d flèch l n rél d flux thrmiqu t du travail. Indiqur dan qull étap du cycl c flux ont liu. 3) Qul t l'intérêt, pour un pomp à chalur, d utilir un changmnt d état? Qul t l'intérêt d'utilir un fluid caloportur d tmpératur d'ébullition ba? 4) Donnr la définition d l'fficacité thrmodynamiqu η d la pomp à chalur. Montrr qu l'fficacité réll d tout pomp à chalur t infériur à l fficacité obtnu dan l ca d un fonctionnmnt révribl utiliant d ourc d mêm tmpératur t calculr ctt drnièr fficacité. On a ici η = 5. 5) L prt d la picin ont ntillmnt du à l'évaporation d l'au dan l'air. Dan l condition précié plu haut, l taux d'évaporation par hur t par mètr carré d urfac d'au t d α = 50 g.h.m. En déduir l'énrgi prdu pndant un hur par l'au d la picin, d urfac S = 50 m. 6) Qul doit êtr l travail qu l'on doit fournir au fluid pour qu la pomp à chalur pui maintnir la tmpératur d la picin contant pndant un hur? Comparr c travail à l'énrgi qu'il aurait fallu fournir i on chauffait l'au d la picin avc un impl réitanc élctriqu. IV 3. Réfrigératur (d aprè X-Cachan PSI 004). On modéli un congélatur par un machin où circul un fluid, l ttrafluoroéthan R34a, dont l diagramm prion-nthalpi maiqu P,h t joint. Dan c diagramm ont rprénté l iothrm, l iochor, l intropiqu t la courb d aturation qui délimit l région du liquid, d la vapur t du mélang liquid-vapur. DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag 5

6 Ctt machin dithrm fonctionn n régim prmannt ; par unité d ma d ttrafluoroéthan ayant ubi un cycl, ll rçoit l quantité d chalur q c d un ourc chaud, l miliu ambiant à 0 C, q f d un ourc froid l intériur du congélatur à 8 C, t l travail w. On not la tmpératur abolu t θ la tmpératur Cliu. L cycl décrit par l fluid t contitué d quatr tranformation ucciv qui ont l propriété uivant : la comprion d à t adiabatiqu t révribl ; l paag dan l dux échangur thrmiqu, condnur d à 3 t évaporatur d 4 à, ont iobar ; la vann, un tuyau trè fin t indéformabl, n rçoit pa d chalur ; l'état du fluid n't pa modifié par l tuyautri d liaion ntr élémnt conécutif l énrgi cinétiqu ont négligabl. ) Un écoulmnt tationnair t lnt d fluid travr un organ tationnair qui rçoit d l xtériur l travail w t la chalur q pndant l tmp d paag d l unité d ma d fluid ; oit h t h l nthalpi maiqu du fluid à l ntré t à la orti d ct organ. Montrr qu l prmir princip écrit h = w' +q. ) Montrr qu la détnt t inthalpiqu dan la vann d 3 à 4. 3) Qull propriété rmarquabl li l iothrm t l iobar dan la zon mélang liquid-vapur? 4) On donn l indication uivant : La tmpératur du fluid lor d la vaporiation dan l'évaporatur t 30 C. La prion à la orti du comprur P = 8 bar = 0,8 MPa. L point 3 t du liquid aturé. La quantité d chalur échangé dan l'évaporatur avc l'xtériur prmt un vaporiation complèt du fluid vnant d 4 t conduit la vapur d façon iobar juqu'à l état d vapur aturant. Placr l 4 point du cycl,, 3, 4 ur l diagramm joint, y rpréntr l cycl (diagramm à rndr avc la copi) t détrminr, par lctur t intrpolation linéair ur c mêm diagramm, l valur d P, θ, h, n c différnt point. Rgroupr l réultat dan un tablau. 5) Si l comprur était adiabatiqu mai non révribl, commnt iturait a tmpératur d orti ou la mêm prion P par rapport à la tmpératur θ? 6) Pour un prion d 8 bar, qull t la tmpératur d équilibr liquid-vapur? Calculr d dux façon différnt à l aid du diagramm la valur d la chalur latnt maiqu L d vaporiation à ctt tmpératur. 7) Qull t la valur d la chalur latnt maiqu L d vaporiation au point critiqu rprénté ur l diagramm par l ommt d la courb d aturation? 8) Calculr l titr x n vapur au point 4. 9) Calculr l chalur maiqu q c fourni au condnur par l miliu ambiant t q f fourni à l évaporatur par l intériur du congélatur. 0) Calculr d mêm l travail w' fourni au comprur t l travail total w rçu par la machin. ) Pourquoi définit-on l'fficacité d la machin frigorifiqu étudié par η = q / w? La calculr numériqumnt. ) En réalité, la conommation élctriqu du congélatur t d 0,70 kwh par jour, tandi qu la puianc d p rt thrmiqu (rapport d la chal ur travrant l paroi au tmp) t d 60 watt.qull t on fficacité η? Expliqur pourquoi ll diffèr d η t dan qul n. 3) Commnt c diagramm prmt-il d dicutr i l gaz comport ou non comm un gaz parfait? Dan qul domain d prion c comportmnt t-il éloigné d un gaz parfait? 4) Commnt c diagramm prmt-il d dicutr i l liquid comport ou non comm un fluid incompribl t indilatabl? Dan qul domain c comportmnt n t-il éloigné? f DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag 6

7 DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag 7

8 V 8. Procédé Lind-Hampon d liquéfaction d l azot. La figur ci-contr rprént l chéma d princip du procédé LINDE-HAMPSON utilié pour produir d l'azot liquid (état 5). L'azot ntr dan l comprur C dan l'état (p = bar ; = 90 K) ; il y ubit un comprion iothrm qui l'amèn à l'état (p = 00 bar ; = 90 K. Il t alor rfroidi à prion contant (p 3 = p ) dan l'échangur E, avant d'êtr détndu juqu'à la prion atmophériqu (p 4 = p 5 = p 6 = p = bar) dan l détndur D. L'azot ortant du détndur t un mélang d gaz t d liquid ; l liquid t xtrait au nivau du éparatur S, qui rnvoi la vapur primitivmnt aturé d'azot (état 6) dan l'échangur thrmiqu à contr-courant E pour rfroidir l'azot ntrant ; on admttra qu ctt vapur d'azot t ramné à l'état à la orti d l'échangur E. L'étud d c procédé d liquéfaction ra ffctué n utiliant l propriété thrmodynamiqu réll lu ur l diagramm fourni avc l ujt. C diagramm, ur lqul figurront l divr point d la tranformation, ra rndu avc la copi. Dan tout l problèm, on négligra l variation d'énrgi cinétiqu t d'énrgi potntill d ituation. ) Introduction..a) Un machin tationnair tranva d façon tationnair un fluid. Quand ll t travré par l unité d ma d c fluid, ll rçoit d un opératur l travail w t d un thrmotat d tmpératur la chalur q. Soit h t h l valur d l nthalpi maiqu du fluid à l ntré t à la orti d la machin. Par qull rlation ntr c grandur traduit l prmir princip?.b) Soit t l valur d l ntropi maiqu du fluid à l ntré t à la orti d la machin. Par qull rlation traduit l cond princip?.c) Suppoon à prént qu la machin, toujour tationnair, a dux ntré t dux orti. Noton m t m l ma d fluid ntrant, m t m l ma d fluid ortant, W t Q l travail t la chalur donné à la machin pndant la mêm duré ; oit h, h, h, h,,,, l valur d l nthalpi t d l ntropi maiqu du fluid ntrant ou ortant. Qu dvinnnt l rlation traduiant l dux princip? ) Comprur C. La comprion d l'azot y ffctu d façon iothrm t mécaniqumnt révribl d l'état juqu'à l'état (p = 00 bar). La tmpératur du thrmotat qui maintint la tmpératur contant ra pri égal à cll d l azot comprimé, oit = 90 K..a) Placr l point t ur l diagramm d l'azot t détrminr lur nthalpi t ntropi maiqu..b) L azot comport-t-il comm un gaz parfait?.c) Calculr la quantité d chalur fourni par l thrmotat par kilogramm d'azot comprimé..d) Calculr l travail w fourni par l opératur au comprur par kilogramm d'azot comprimé. 3) Détndur D. La détnt, qui 'ffctu dan l détndur D, fait par l'azot d 00 bar à bar : l détndur n comport pa d parti mobil t t un impl robint. L détndur, l éparatur S, l'échangur E t tou l circuit d liaion ont uppoé parfaitmnt calorifugé. Détrminr, n la jutifiant, la natur d la tranformation dan l détndur. 4) Séparatur S. 4.a) Placr l point 5 t 6 ur l diagramm t détrminr lur nthalpi t ntropi maiqu. 4.b) Vérifir la cohérnc d c lctur n comparant l variation d'nthalpi t d'ntropi ntr c dux point. 4.c) On not y la ma d'azot liquid obtnu par kilogramm d'azot comprimé. Ecrir un rlation ntr h, h, h t y. 5) Echangur thrmiqu E. 5.a) Ecrir un rlation ntr h, h3, h6, h t y. 5.b) Calculr littéralmnt, pui numériqumnt y. 5.c) Calculr l travail par kg d azot liquid produit. DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag ) Scond princip. 6.a) Placr l point 3 t 4 ur l diagramm t donnr lur nthalpi t ntropi maiqu. 6.b) Calculr la différnc ntr l ntropi à la orti t cll à l ntré pour l détndur. Commntr avc préciion. 6.c) Calculr la différnc ntr l ntropi à la orti t cll à l ntré pour l éparatur. Commntr avc préciion.

9 6.d) Calculr la différnc ntr l ntropi à la orti t à l ntré d l échangur thrmiqu. Commntr avc préciion. Nota : il y a irrévribilité, précir on origin. DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag 9

10 I. 0.. c pg γr = = 576,4J.K ( γ ) M Répon.kg p ;.. 3 γ = = 38,7 K p ; w = cpg ( 3 ) = 6 300J/kg ;.. = 0 ;.. q = cpg( 3) Lv ( ) = 8 900J.kg ; Lv ( ).. = cp ln = 599,J. K. kg ; 3.. h h = 0 ; 3.. x 3 cl( ) = = 0, 54 ; 3.3. L ( ) xlv ( ) = cl ln + = 8,8J.K.kg ; 4.. q = ( x) Lv ( ) = J.kg ; 4.. ( xl ) v( ) q = = 589,J.K.kg ; 5. = r = 5, 56 ; 6.. w w + q + q = = 400J.kg ptit ; 6.. = 599, + 8, , =,J.K.kg ptit ; 6.3. p γ = 0 xp p 0 c p 0 ; 7.. kd = ak ( ) dt ; 4 ln 4, a = = ; 7.. t 5 ak( 4 ) P P = = 3460W ; 7.3. débit : c f =, 03 kg. II..) détndur : orific trè étroit ; détnt d Joul-homon ;.3) Par lctur d nthalpi Par lctur d ntropi à 0 C Lv = hv hl = = 37 kj/kg Lv,75 cm = ( v l ) = 73 5 = 0 kj/kg 3,5 cm à 0 C L v = = 50 kj/kg L v 0, cm = 93 5 = 36 kj/kg 3,5 cm à 40 C L v = = 060 kj/kg L v 8, 8 cm = 33 5 = 047 kj/kg 3,5 cm.) = 56 C ;.) w = h h = 03 kj/kg ; q = h h = 35 kj/kg ; B B A c C B q qf = ha hd = 3 kj/kg ;.3) c η = = ; η = = 4,6 ; détndur irrévribl ; échang w thrmiqu ntr l ammoniac gazux primitivmnt à 56 C t l local à 0 C irrévribl ;.4) cm X D = = 0, 085 ;.5),75 cm p / γ p = ct = p. / γ ; γ =, 406. v DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag 0

11 Q 345 Q W 3 4 Q III..a) S4 S3 = Cp ln ; 3) voir corrigé ; 4) η = W Q W3 = =,.0 J/h η 3 8 ;au liu d W =, 05.0 J/h xt au ; 5) Q 345 =, 05.0 J/h ; 6) IV. ) t )voir cour ou corrigé ; 3) iothrm t iobar confondu ;4) 3 4 vapur aturant vapur èch liquid aturé liquid + vapur θ n C P n bar 0, ,84 h n kj/kg n kj.kg.k,75,75,5,8 5) la tmpératur n rait upériur ; 6) 3 C ; L = = 65 kj.kg ou bin L = ( 3 ) = 305(,75,5) = 8,5kJ.kg ; 7) L = 0 ; 8) x 4 = 0, 37 ; 9) qc = h3 h = 85 kj/kg qf = h h4 = 35 kj/kg ; 0) w = w = h h = 50 kj.kg ; ) η =,7 ; ) η =, 06 ; 3) dan la mur où l iothrm ont vrtical, oit P < 0 bar ; 4) iochor vrtical t trè écarté,. V..a) h h = w + q ;.b) i révribl, = q/, inon > q/ ;.c) mh + mh mh + mh = W + Q ; m + m m + m Q/ 6 = 8kJ.kg ; 6 = 3kJ.kg.K ;.a) 4 5 = 3 kj.kg ; 5 = 0, 4 kj.kg.k 8 h = 45 kj.kg ; = 4, 40 kj.kg.k ; h = 47 kj.kg ; =,7 kj.kg.k.c) q = ( ) = 487 kj.kg ;.d) w = h h q = 445 kj.kg ; 3) h3 = h ; 4.a) h ; h ; 4.b) ;.b) non ; h6 h5 8 3 = = = 75, 4 alor qu on lit ur l diagramm = 76 K ; 4.c) yh 5 + ( y ) h6 = h4 ; 5.a) ,4 h h h3 h + ( y)( h h6) = 0 ; 5.b) y = = 0, 0833 ; 5.c) W = w / y = 540 kj.kg ; 6.a) h h 5 h = yh + ( y) h = kj.kg ; = y + ( y) =,78kJ. kg ; h = kj.kg ; =,7kJ.kg.K ; 6.b) 4 3 =, 06 kj. kg. K ; 6.c) y + ( y ) = 0 ; 6.d) + ( y)( ) = 0,8kJ.kg.K DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag

12 Corrigé I. Pomp à chalur dtiné au chauffag d'un habitation. 0. Préliminair. C p 0.. D aprè la loi d Mayr, Cp CV = nr ; d autr part, par définition, γ = ; d où C C diviant par la ma m = nm, la formul dmandé. γr, 8, cpg = = = 576, 4 J.K.kg ( γ ) M 0, 0, 0865 V p γnr = t, n γ 0.3. Soit un machin tationnair travré par un écoulmnt tationnair d un fluid t qui rçoit l travail W t la chalur Q. Appliquon l prmir princip au ytèm formé par ctt machin t par l fluid qui dan l état initial t n parti dan la machin t n parti à l ntré t dan l état final t n parti dan la machin t n parti à la orti. Noton par l indic l fluid à l ntré t par l indic l fluid à la orti. Soit S t S l ction du tuyau à l ntré t à la orti t L t L l longuur qu y occup l fluid dan l état initial t dan l état final. Outr W, l ytèm rçoit l travail d forc d prion à l ntré psl, l travail d forc d prion à la orti psl t l travail du poid qui t mg( z z ) parc qu l poid dériv d un énrgi potntill mgz t parc qu la machin t l écoulmnt ont tationnair, c qui fait qu l énrgi potntill qu il tocknt t contant. Comm l écoulmnt t la machin ont dan un état tationnair, l énrgi tocké dan la machin n vari pa, donc ( U + Ec) = [ U + Ec]. D autr part H = U + psl t H = U + psl. En diviant par la ma m d fluid tranvaé t n rpréntant par d minucul l grandur maiqu :[ h + v + gz] = w +q qui réduit avc l approximation du problèm à : h h = w + q. Comprur... La tranformation t un adiabatiqu révribl d un gaz parfait, qui obéit à la loi d Laplac : 3 p γ, 3 p γ γ p p = = = 73 (,65/5) = 38,7 K w = h h = cpg( ) = 576, 4 (38, 7 73) = J/kg 3.. Comm la tranformation t adiabatiqu t révribl, = 0.. Condnur... Conidéron l chmin : vapur à p, 3 vapur à p, liquid à p, q = h = c ( ) L ( ) = 576, 4 (305 38, 7) = J. kg pg 3 v L v( ) = cp ln = 576, 4 ln = 599,J.K.kg 38, Détndur. 3.. h h = On put calculr l variation d fonction d état ur l chmin : liquid à, p liquid à, p fraction x gazu t fraction x liquid à, p L propriété d un liquid dépndnt pu d la prion : on put calculr a variation d nthalpi an préoccupr d la prion. h = c ( ) + xl ( ) = 0 L v v cl( ), 38 (305 73) x = = = 0, 54 L ( ) 05 Autr calcul poibl, un pu plu compliqué. On put calculr l variation d fonction d état ur l chmin : liquid à, p fraction x gazu t x liquid à, p ) fraction x gazu t x liquid à, p h = xl ( ) + xc ( ) + ( x) c ( ) = 0 v v p L cl( ) 380 (305 73) x = = L ( ) + ( c c )( ) ( , 4) (305 73) = 0,05 L p On n trouv pa l mêm réultat, conformémnt à l écart ntr l donné ignalé n 6.. DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag

13 xl 0, v( ) = cl ln + = 380 ln + = 8, 8 J.K.kg La tranformation étant adiabatiqu t irrévribl, > Evaporatur. 4.. q = ( x ) L ( ) = ( 0, 54) = J. kg v ( xl ) v( ) 4.. = = 589,J.K.kg 5. L fficacité t l rapport du gain, c t-à-dir la chalur communiqué à l habitation à chauffr, au coût, qui t l énrgi à donnr au comprur w q L fficacité t donc = r = 0, 8 = 5, 56 r w On put améliorr l fficacité i on put rapprochr l tmpératur t. l qul, c chauffag t 5,56 foi moin coûtux n énrgi qu l chauffag élctriqu. 6.. Pour un cycl, l prmir princip écrit w + q + q =. Or ctt omm calculé avc l valur 0 trouvé au fil d c problèm donn w + q + q = = 400J.kg ; la vérification t accptabl à la riguur (rrur %). dlv dhg dhl L donné du problèm ont-ll cohérnt? Ell dvraint vérifir = = cpg c. Or d d d L L v( ) Lv( ) = = 937,5J.K.kg, tandi qu c c = 576, = 803, 6 J.K.kg pg L 6.. Comm l ntropi t un fonction d état, la omm d variation d ntropi lor du cycl dvrait êtr null. Or, ll vaut = 599, + 8, , =,J.K.kg ; la vérification t accptabl (rrur 0, %). R p 6.3. Comm pour un gaz parfait 0 = cpg ln ln M p, l équation d l iobar d prion p t : 0 0 p γ 0 = 0 xp p 0 c p p p p γ p γ puiqu (, p p ) = p (, ) p L iobar d prion déduit d l iobar d prion par affinité par rapport à l ax d d rapport (, p) = (, p) R ln p M p. ou par tranlation parallèl à l ax d d R ln p puiqu M p Un iobar t donc un courb croiant. La vaporiation t la condnation ont rprénté par d gmnt horizontaux. La détnt d Joul -homon t un courb décroiant ( augmnt, tandi qu diminu), d où l din ci-dou du cycl, la comprion étant l gmnt vrtical : q Pour un cycl w = w t w + q = 0. Si l cycl était révribl, q = d, donc w rait égal à l air du cycl ; mai n réalité, l paag dan l détndur t irrévribl, donc q cycl. < d t w t upériur à l air du DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag 3

14 7.. Appliquon l prmir princip à l habitation : du = δ Q kd = ak ( ) dt d adt = 5 d at = a = ln = ln = 4, 8.0 t ak( ) 4, P = = = = W 5,56 5, La puianc rjté dan la ourc froid t P = 950 = W P 6930 L débit d au froid t donc = =, 03 kg. c f. II..) Un détndur t un orific trè étroit qui frin l paag d un fluid. La tranformation du fluid t la détnt d Joul-homon..) L rmplacmnt d u par h t dû au travail d la prion xrcé par l fluid n amont t n aval du fluid conidéré. DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag 4

15 .3) Par lctur d nthalpi Par lctur d ntropi à 0 C Lv = hv hl = = 37 kj/kg Lv,75 cm = ( v l ) = 73 5 = 0 kj/kg 3,5 cm à 0 C L v = = 50 kj/kg L v 0, cm = 93 5 = 36 kj/kg 3,5 cm à 40 C L v = = 060 kj/kg L v 8, 8 cm = 33 5 = 047 kj/kg 3,5 cm.) = 56 C. B DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag 5

16 .) w = h h = = 03 kj/kg B A q = h h = = 35 kj/kg c C B q = h h = = 3 kj/kg f A D C valur vérifint w + q + q = 0. c f q 35.3) η = c = =. w 03 Il faut foi moin d énrgi qu pour un chauffag élctriqu. L rndmnt d un cycl d Carnot rait = = 4, L rndmnt d ctt pomp à chalur t infériur parc qu l détndur fonctionn irrévriblmnt t parc qu l échang thrmiqu ntr l ammoniac gazux primitivmnt à 56 C t l local à 0 C t irrévribl. MD cm.4) XD = = = 0, 085 MA,75 cm M D A / γ p.5) = ct = / γ p p L xamn d la tranformation AB ur l diagramm,s donn : = 73 K p = 4, 3 bar = 49 K p = 8, bar ln ( / ) / γ = = 0,89 γ = =,406 ln ( p / p ) 0,89 III. 4.a) S4 S3 = Cp ln. 3.b) L cycl t diné ci-contr. L point t mal poitionné dan l énoncé, il t nécair d conidérr qu il t plu à droit : tranformation - : iothrm = xt t iobar avc changmnt d état, donc horizontal ; tranformation -3 : intropiqu, donc vrtical ; tranformation 3-4 : iobar d un gaz parfait, donc obéit à S = C ln + ct (voir qution p a) ; la courb t un xponntill croiant ; tranformation 4-5 : iothrm = au t iobar avc changmnt d état, donc horizontal ; 5 4 cm,75 cm 3 Q 345 W 3 Q tranformation 5- : innthalp avc changmnt d état ; comm l ébullition nécit d l énrgi t comm la oupap d détnt n n fournit pa, ctt énrgi t pri ur l fluid caloportur, qui rfroidit ; ctt détnt t adiabatiqu t irrévribl, donc l ntropi augmnt. ) Voir chéma. La ourc chaud t la picin t la ourc froid l xtériur. 3) L changmnt d état mttant n ju un grand quantité d chalur, il uffit d un quantité minim d fluid caloportur, donc l apparil t pu ncombrant, c qui n rait pa l ca avc un dipoitif utiliant un gaz. D autr part, il produint à tmpératur contant, c qui prmt d avoir d tmpératur bin défini, d où un millur adaptation d la machin t d ourc t un fficacité plu élvé. DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag 6

17 Il faut un tmpératur d ébullition ba pour qu l contact avc l miliu xtériur pui fair bouillir l agnt thrmiqu. 4) Compton l échang d énrgi comm poitif il ont rçu par la pomp à chalur. L fficacité t l rapport Q W 3 du gain à la dépn. L miliu xtériur étant gratuit, c t donc η =. Prmir princip : W3 + Q + Q345 = 0. Q Q345 Scond princip : + 0 (infériur i irrévribl, égal i révribl). xt au D où : Q345 Q345 + W3 0 au xt W3 Q 345 xt xt au Comm Q 345 > 0 t xt < au, ctt inégalité montr qu W 3 > 0 t qu Q 345 η = W3 xt au 5) Il faut compnr Q ) W 3 = =,.0 J/h. η 8 Q 345 = =, 05.0 J/h. 8 Si l on chauffait avc un réitanc élctriqu, il faudrait fournir W =, 05.0 J/h. IV. ) Appliquon l prmir princip à un ytèm formé d l organ, du fluid qui t ddan t d l unité d fluid qui dan l état initial apprêt à y ntrr t dan l état final vint d n ortir. Comm l organ t tationnair t l énrgi cinétiqu négligabl, la variation d énrgi d c ytèm t u u. L travail rçu t w + pv pvt la chalur rçu t q. D où : u u = w + pv p v + q h h = w + q ) La vann n rçoit ni travail, ni chalur, donc l énoncé du prmir princip pour l tranvamnt tationnair montr qu l nthalpi maiqu t la mêm à l ntré t à la orti. 3) L iothrm t l iobar ont confondu dan la zon mélang liquid-vapur, car à l équilibr ntr dux état d un corp pur la prion t un fonction d la tmpératur. 4) 3 4 vapur aturant vapur èch liquid aturé liquid + vapur θ n C P n bar 0, ,84 h n kj/kg n kj.kg.k,75,75,5,8 5) Alor, >, donc la tmpératur n rait upériur. bar, l = 65 kj.kg 6) Sou 8 équilibr liquid vapur a liu à 3 C. L = 4 ou bin L = ( 3 ) = 305(,75,5) = 8,5kJ.kg 7) L graph t l raionnmnt précédnt montr qu L = 0. 8) x 4 = 0, 37 par lctur dirct. 9) q = h h = = 85 kj/kg q = h h = = 35 kj/kg. c 3 f 4 0) w = w = h h = = 50 kj.kg ) L gain t q f t la dépn w, l miliu ambiant étant gratuit ; η = 35/50=,7. ) η = 60/ ( 700/4) =,06 qui t infériur à η, à cau d l irrévribilité d la machin réll. 3) L gaz t parfait dan la m ur où h = h( ), donc dan la mur où l iothrm ont vrtical, c qui t approximativmnt vérifié i P < 0 bar. 4) L liquid t incompribl i l iochor ont vrtical t trè écarté, c qui n t pa vrai prè du point critiqu. DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag 7

18 V. inpiré d nam 984..a) h h = w + q..b) Pour un fonctionnmnt révribl, = q/, inon > q/..c) mh + mh mh + mh = W + Q ; m + m m + m Q/..a) L point t ont à l intrction d l iothrm = 90 K t d iobar p = bar t p = 00 bar. h = 45 kj.kg ; = 4, 40 kj.kg.k ; h = 47 kj.kg ; =,7 kj.kg.k.b) L azot comport comm un gaz parfait à bar, mai pa à 00 bar ; Dan la région d, la duxièm loi d Joul, lon laqull l nthalpi n dépnd qu d la tmpératur, n t pa vérifié..c) q = ( ) = 90 (,7 4, 4) = 487 kj.kg.d) w = h h q = = 45 kj. kg 3) Comm il n y a ni travail, ni chalur, l prmir princip montr qu la tranformation t inthalpiqu : h3 = h4. 4.a) L point 6 t à l intrction d la courb d roé t d l iobar p = bar : h 6 = 6 = 8kJ.kg ; 3kJ.kg.K. 5 5 L point 5 t à la mêm tmpératur t ur la courb d ébullition : h = 3 kj.kg ; = 0, 4 kj.kg.k. 4.b) La cohérnc d c donné put vérifir n calculant h6 h5 8 3 = = = 75, 4 alor qu on lit ur 3 0,4 6 5 l diagramm = 76 K. 4.c) L prmir princip appliqué au éparatur donn : yh5 + ( y ) h6 = h 4. 5.a) L prmir princip donn h3 h + ( y)( h h6) = 0. h h b) En combinant c rlation, y = = = 0, h h c) W = w/ y = 45/ 0, 0833 = 540 kj.kg. 6.a) L point 4 t ur l gmnt joignant l point 5 t 6 ; h = yh + ( y) h = 0, ( 0, 0833) 8 = kj. kg = y5 + ( y) 6 = 0, , 4 + ( 0, 0833) 3 =,78 kj.kg. L point 3 t à l intrction d l inthalpiqu h = t d l iobar p = 00 bar : h 3 = 3 = kj.kg ;,7kJ.kg.K. 6.b) 4 3 =,78,7 =, 06 kj.kg.k, qui t poitif, n accord avc l fait qu la tranformation t adiabatiqu t irrévribl : dan un détndur, l fluid écoul toujour d la haut prion vr la ba prion. 6.c) y5 + ( y ) 6 4 = 0, , 4 + ( 0, 0833) 3, 78 = 0, n accord avc l fait qu il n y a pa d tranformation. 6.d) 3 + ( y)( 6) =,7,7 + ( 0, 0833)( 4, 4 3) = 0,8 kj.kg.k, qui t poitif ; la tranformation dan l échangur t adiabatiqu t irrévribl ; l irrévribilité t du à l échang d chalur ntr fluid d tmpératur différnt : à droit, l azot ortant d l échangur thrmiqu à 65 K t n contact thrmiqu avc d la vapur ntrant à 76 K. ;. DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag 8

19 DS : machin thrmiqu avc changmnt d état, pag 9