S5 Info-MIAGE Mathématiques Financières Intérêts composés. Université de Picardie Jules Verne Année UFR des Sciences

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1 Université de Picardie Jules Verne Année UFR des Sciences Licence mention Informatique parcours MIAGE - Semestre 5 Mathématiques Financières I - Généralités LES INTERETS COMPOSES 1) Définitions On dit qu un capital est placé à intérêts composés lorsqu à la fin de la première période de capitalisation, l intérêt de cette période est ajouté à ce capital pour produire intérêt à son tour pendant la période suivante. Ainsi de suite, à la fin de chaque période, l intérêt simple produit est ajouté au capital pour produire intérêt à son tour pendant la période suivante. Ainsi, le montant d intérêt et le capital change à chaque période (ce qui n était pas le cas pour les intérêts simples où l intérêt était le même pour chaque période). Pour les opérations financières à long terme, les unités de période les plus fréquemment utilisées sont l année, le semestre ou le trimestre. 2) Exemple Un capital de placé aux taux annuel de 6 % à intérêts composés pendant 3 ans produit pendant la première année un intérêt de 600. Le capital devient et produit pendant la deuxième année un intérêt de 636. Le capital devient et produit pendant la troisième année un intérêt de 674,16. Il devient alors ,16. II - Valeur acquise Désignons par C 0 le capital initial, par t le taux d intérêt par euro et par période et par n le nombre de périodes de placement. Déterminer la valeur acquise d un capital placé à intérêts composés constitue la capitalisation. 1) Cas où la durée de placement est un multiple de la période de capitalisation a) Formule n est un entier naturel non nul. Désignons par C n le capital après n périodes de placement. On a C 1 C 0 C 0 t C 0 1 t, puis C 2 C 1 C 1 t C 1 1 t C 0 1 t 1 t C 0 1 t 2, et ainsi de suite... Pout tout k 1, C k C k 1 1 t : la suite C k k 0 est une suite géométrique de raison 1 t et de premier terme C 0. On a donc C n C 0 1 t n ; le montant total des intérêts sur les n périodes étant donné par C n C 0 C 0 1 t n 1. b) Exemple Reprenons l exemple ci-dessus : 11910, , , c) Remarques Attention à faire coïncider les unités de t et n. Si l on utilise une valeur approchée de t, il faut retenir un nombre de décimales suffisant dans le calcul de 1 t n. 2) Cas où la durée de placement est un nombre rationnel non multiple de la période de capitalisation On se place maintenant dans le cas où n n est pas un nombre entier : n k p q où k est un entier et p q une fraction comprise entre 0 et 1. Deux solutions sont possibles : - La solution rationnelle, où on utilise la formule précédente pour la partie entière et la formule des intérêts simples pour la partie fractionnaire. - La solution commerciale où on applique la formule précédente à n (non entier). Stéphane Ducay 1

2 a) Solution rationnelle Formule Au bout de k périodes, le capital obtenu est C k C 0 1 t k. L intérêt simple produit par C k pendant p q période est C p k q t. On en déduit que C n C k 1 p q t C 0 1 t k 1 p q t. Exemple On calcule avec la solution rationnelle la valeur acquise par un capital de placé pendant 8 ans et 5 mois au taux annuel de 6 %. On obtient , , , 94. b) Solution commerciale Dans la pratique la solution rationnelle est peu utilisée, on lui préfère une solution commerciale. Formule La valeur acquise du capital C 0 est C n C 0 1 t n C 0 1 t k p q. Exemple On calcule avec la solution commerciale la valeur acquise par un capital de placé pendant 8 ans et 5 mois au taux annuel de 6 %. On obtient , , 18. c) Remarque Les résultats obtenus avec la solution commerciale sont toujours inférieurs à ceux obtenus avec la solution rationnelle. Dans la suite, sauf précision contraire, on utilisera la solution commerciale. III - Exemple de comparaison entre intérêts simples et intérêts composés Evolution d'un capital de Capital Nombre d'années Simples 1% Simples 5% Composés 1% Composés 5% IV - Actualisation d un capital 1) Généralités On a vu que la capitalisation est la détermination de la valeur acquise d un capital placé à intérêts composés. Inversement, si on cherche la somme à placer à intérêts composés pour obtenir après un certain temps de placement, un capital déterminé, on réalise une actualisation. 2) Formule On cherche la somme C 0 à placer pendant n périodes pour obtenir un capital C n. On a C n C 0 1 t n, donc C 0 C n 1 t n. 3) Exemples La somme à placer à intérêts composés pendant 3 ans au taux annuel de 7,5 % pour obtenir un capital de est : , , 88. La somme à placer à intérêts composés pendant 2 ans et 7 mois au taux annuel de 5,60 % pour obtenir un capital de est : , , 79. Stéphane Ducay 2

3 V - Taux proportionnels et taux équivalents Les opérations financières sont généralement effectuées sur des durées différentes de l année. Il faut alors prendre en compte la notion de périodicité, qui est un nombre de périodes (jours, quinzaines, mois, trimestres, semestres) par an. Dans la majorité des cas (sauf quelques produits financiers), la périodicité des échéances et la périodicité du calcul des intérêts est la même. Le taux périodique est le taux correspondant à la périodicité de capitalisation des intérêts : par exemple, le taux mensuel. 1) Taux proportionnels a) Définition Deux taux correspondants à des périodes de capitalisation différentes sont dits proportionnels lorsque leur rapport est égal au rapport de leurs périodes de capitalisation respectives. b) Exemples Un taux annuel de 6 % est proportionnel à un taux semestriel de 3 % ; à un taux trimestriel de 1,5 % ; à un taux mensuel de 0,5 %. c) Remarque A intérêts simples des taux proportionnels produisent sur une même durée des intérêts identiques. Il n en est pas de même à intérêts composés où la valeur acquise augmente quand la période de capitalisation diminue. 2) Taux équivalents a) Définition Deux taux correspondants à des périodes de capitalisation différentes sont dits équivalents lorsque pour une même durée de placement, ils conduisent à une même valeur acquise à intérêts composés. b) Méthode de calcul Soit t a un taux annuel, t s, t t et t m les taux respectivement semestriel, trimestriel et mensuel équivalents à t a. On a : 1 t a 1 t s 2 1 t t 4 1 t m 12. c) Exemples Un taux annuel de 6 % est équivalent à un taux semestriel de 2,956 % ; à un taux trimestriel de 1,467 % ; à un taux mensuel de 0,487 %. 3) Remarque Le taux équivalent est toujours inférieur au taux proportionnel. VI - Taux continu Il est possible de généraliser les formules de la valeur acquise et de la valeur actuelle pour une durée qui est un nombre réel non rationnel. Par exemple, la valeur acquise par un capital de 1000 au taux annuel de 10% sur une durée irrationnelle de années est Pour comprendre cela, il faut introduire la capitalisation en continu. Retenons un taux annuel r et divisons une durée d un an en k sous-périodes de même durée (par exemple en k 12 mois). Le taux proportionnel sur cette période est k r. Un capital initial C 0 capitalisé au taux k r sur les k périodes donne une valeur acquise C 1 C 0 1 k r k au bout d un an. Si l on fait tendre k vers, la période de capitalisation tend vers 0. On dit que la capitalisation est k C0 e r, et la valeur actuelle C 0 C 1 e r. continue ou instantanée. On obtient alors C 1 lim C 0 1 r k k Le taux r est appelé taux continu annuel. Si t désigne le taux annuel (discret), alors on a C 1 C 0 e r C 0 1 t, d où e r 1 t et r ln 1 t. On dit que r est le taux annuel continu équivalent au taux annuel discret t. Il s agit d un taux équivalent qui présente les propriétés d un taux proportionnel. Plus généralement, la capitalisation sur une durée de T années, avec T, est C T C 0 e r T C 0 e rt. Cette formule est utilisée dans les études théoriques de mathématiques financières. Stéphane Ducay 3

4 VII - Changements de taux - Taux moyen On prend ici l exemple d un placement pour lequel les intérêts sont capitalisés annuellement. On adaptera le raisonnement s ils sont capitalisés semestriellement, trimestriellement ou mensuellement. On place un capital C 0 pendant n années. Le taux annuel est t 1 les n 1 premières années, t 2 les n 2 années k suivantes,..., t k les n k dernières années. On a bien sur ni n 1 n 2 n k n. i 1 La valeur acquise par ce capital au bout de n années est C n C 0 1 t 1 n 1 1 t 2 n 2 1 t k n k. Le taux annuel moyen t est le taux constant sur les n années qui permettrait d obtenir le capital C n à partir du capital C 0. Il vérifie donc l égalité C n C 0 1 t n, d où 1 t n 1 t 1 n 1 1 t 2 n 2 1 t k n k, puis t 1 t 1 n 1 1 t 2 n 2 1 t k n k 1 n 1. VIII - Exercices Sauf indication contraire, la solution commerciale sera adoptée et la période de capitalisation est celle du taux d intérêt. Exercice 1 Calculer les intérêts simples, puis les intérêts composés produits dans chacune des hypothèses suivantes : Capital Durée du placement Taux ans annuel 7,50 % ans 6 mois semestriel 4,25 % ans et 9 mois trimestriel 1,60 % mois mensuel 0,85 % Exercice 2 On place un capital de à intérêts composés pendant 2 ans et 7 mois au taux annuel de 7,75 %. Calculer la valeur et les intérêts acquis par le capital : a) avec la solution commerciale ; b) avec la solution rationnelle. Exercice 3 On a placé à intérêts composés au taux annuel de 5,50 % : le 1er janvier 2002, le 1er janvier 2003, 970 le 1er janvier Quelle somme totale a été retirée le 1er janvier 2006? Exercice 4 On a placé à intérêts composés au taux annuel de 4,75 % : le 1er mars 2004, le 1er septembre 2004, le 1er juin Quelle sera la valeur acquise totale le 31 décembre 2006 : a) avec la solution commerciale? b) avec la solution rationnelle? Exercice 5 Quel est le capital qui, placé à intérêts composés au taux annuel de 6,25 %, a acquis à la fin de la septième année de placement une valeur de 7 500? Exercice 6 Quel est le capital qui, placé à intérêts composés au taux annuel de 4,35 %, acquiert au bout de 3 ans et 5 mois de placement une valeur de 3 000? Exercice 7 A quel taux annuel faut-il placer à intérêts composés, une somme de pour qu elle acquière, après 4 ans de placement, une valeur de 7 503,65? Stéphane Ducay 4

5 Exercice 8 Après 2 ans et 5 mois de placement à intérêts composés, un capital de a acquis une valeur de 1 995,09. Déterminer le taux annuel de placement. Exercice 9 Pendant combien de temps faut-il placer à intérêts composés pour obtenir une valeur acquise de 7 011,23? Taux semestriel de 2,25 %. Exercice 10 Au bout de combien de temps du placement de à intérêts composés au taux annuel de 5,40 %, retire-t-on 7 795,29? Exercice 11 1) Quels sont, au bout de 4 ans 6 mois, les intérêts produits par un capital de placés à intérêts composés : a) au taux semestriel de 3,1 %? b) au taux annuel de 6,2 %? 2) A quel taux annuel faudrait-il faire ce placement en capitalisation annuelle, pour obtenir le même montant d intérêts qu en capitalisation semestrielle au taux semestriel de 3,1 %? 3) A quel taux semestriel faudrait-il faire ce placement en capitalisation semestrielle, pour obtenir le même montant d intérêts qu en capitalisation annuelle au taux annuel de 6,2 %? Exercice 12 Compléter le tableau suivant, les taux étant arrondis à deux décimales par défaut (calculer dans chaque colonne les taux proportionnels ou équivalents à partir du taux y figurant) : Taux proportionnel en % Taux équivalent en % Taux annuel 6 3,75 Taux semestriel 3,50 2,10 Taux trimestriel 3,40 2,08 Taux mensuel 1,45 0,87 Taux bisannuel 32,5 25,44 Exercice 13 On place à intérêts composés pendant 5 ans à un taux annuel variable (capitalisation annuelle). 1) Si le taux annuel est de 4,5 % pendant les deux premières années, 4 % la troisième année et 3 % les deux dernières années, quelle est la valeur acquise au bout de 5 ans par ce capital? 2) A quel taux annuel fixe aurait-il fallu faire ce placement pour obtenir au bout de 5 ans la même valeur acquise? Exercice 14 Un capital de est resté placé à intérêts composés pendant 7 ans au taux annuel de 5,60 %. Quel est le montant des intérêts produits pendant les trois dernières années? Exercice 15 Le 1er janvier 2003, on place à intérêts composés Le 1er janvier 2004, on retire Le 1er janvier 2005, on fait un nouveau dépôt de Le 1er janvier 2006, on dispose en compte de 5 304,33. Calculer le taux annuel de placement (entre 4 % et 5 %). Exercice 16 Sur le même compte, on a placé à intérêts composés : 900 le 1er janvier 2005, 750 le 1er avril 2005, le 1er janvier 2006 et on a retiré le 1er octobre 2005, 450 le 1er avril Le 1er juillet 2006, le solde s élève, compte tenu des intérêts capitalisés trimestriellement, à 977,38. Quel est le taux d intérêt trimestriel? Stéphane Ducay 5

6 Exercice 17 En combien de temps un capital placé à intérêts composés double-t-il de valeur au taux annuel de : a) 4,5 %? b) 7,5 %? c) 12 %? d) 16 %? Exercice 18 En combien de temps deux capitaux placés à intérêts composés, l un de au taux annuel de 6,5 %, l autre de au taux annuel de 3,5 %, auront-ils acquis la même valeur? Exercice 19 Un débiteur, pour éteindre une dette contractée il y 10 ans, doit actuellement verser Trois possibilités lui étaient offertes dans le contrat initial : - s acquitter par anticipation au bout de 7 ans ; - rembourser sa dette au bout de 10 ans ; - demander une prorogation de 3 ans au bout de 10 ans. a) Quelle somme le débiteur aurait-il eu à verser il y a 3 ans s il avait choisi la première possibilité, les intérêts étant calculés au taux annuel de 6 %? b) Quelle somme le débiteur aura-t-il à verser dans 3 ans s il choisit la troisième possibilité, les intérêts étant calculés au taux annuel de 6 %? Exercice 20. (D après partiel de novembre 2007) Un particulier souscrit un bon de capitalisation de dont les intérêts sont capitalisés annuellement. Le taux annuel est de 5 % les 4 premières années, 6 % les trois années suivantes et 7 % les trois dernières années. a) Calculer la valeur acquise au bout de 10 ans par le bon de capitalisation. b) Calculer le taux annuel moyen pour l ensemble des 10 années de placement. Stéphane Ducay 6