La probabilité conditionnelle de l évènement B sachant que l évènement A est réalisé se note p A (B) et on a :

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1 Lycée JANON DE AILLY 21 janvier 2014 PROBABILITÉ DICRÈTE T le E I PROBABILITÉ CONDITIONNELLE La notion de robabilité conditionnelle intervient uand endant le déroulement d une exérience aléatoire, une information est fournie modifiant ainsi la robabilité d un évènement. 1 DÉFINITION oient A et B deux évènements d un même univers tel ue (A) 0. La robabilité conditionnelle de l évènement B sachant ue l évènement A est réalisé se note A (B) et on a : Remarue : i (B) 0 on définit de même B (A)= (A B). (B) EXEMPLE A (B)= (A B) (A) Une usine roduit des articles en grande uantité, dont certains sont défectueux à cause de deux défauts ossibles, un défaut de fabrication ou un défaut d emballage. Une étude statistiue a ermis de constater ue 12% des articles sont défectueux, 6% des articles ont un défaut de fabrication et 8% des articles ont un défaut d emballage. Un article choisi au hasard résente un défaut d emballage. Quelle est la robabilité u il ait aussi un défaut de fabrication? Notons : A l évènement : «Un article rélevé au hasard résente un défaut de fabrication» ; B l évènement : «Un article rélevé au hasard résente un défaut d emballage» ; Nous avons (A B)= 0,12, (A)=0,06 et (B)=0,08. Or (A B)= (A)+ (B) (A B) d où (A B)= 0,08+0,06 0,12=0,02 Donc B (A)= 0,02 0,08 = 0,25 La robabilité u un article ayant un défaut d emballage ait aussi un défaut de fabrication est égale à 0,25. 2 FORMULE DE PROBABILITÉ COMPOÉE La relation définissant la robabilité conditionnelle eut s écrire de la manière suivante (A B)= A (B) (A) Cette écriture s aelle la formule des robabilités comosées oient A et B deux évènements d un même univers tels ue (A) 0 et (B) 0. Alors : EXEMPLE (A B)= A (B) (A)= B (A) (B) 85 % d une oulation est vaccinée contre une maladie. On a constaté ue 2% des individus vaccinés n ont as été immunisés contre cette maladie. Quelle est la robabilité u un individu soit vacciné et malade? oit V l évènement : «Un individu est vacciné» et M l évènement : «Un individu est malade» ; Nous avons (V)=0,85 et V (M)=0,02. La robabilité ue armi cette oulation, une ersonne soit vaccinée et malade est : (V M)=0,02 0,85=0,017 A. YALLOUZ (MATH@E) Page 1 sur 12

2 Lycée JANON DE AILLY 21 janvier 2014 PROBABILITÉ DICRÈTE T le E II FORMULE DE PROBABILITÉ TOTALE 1 CA DE DEUX ÉVÈNEMENT i A est un évènement de Ω tel ue (A) 0 et (A) 1, alors our tout évènement B de Ω (B)= (A B)+ (A B)= A (B) (A)+ A (B) (A) Preuve : Les évènements A B et A B sont incomatibles et B=(A B) ( A B ) d où (B)= (A B)+ (A B) D arès la formule des robabilités comosées A B A B A A (B)= A (B) (A)+ A (B) (A) 2 PARTITION oit n un entier suérieur ou égal à 2 et {A 1,A 2,...,A n } un ensemble d évènements de robabilités non nulles d un même univers Ω. A 1, A 2,..., A n forment une artition de l univers Ω si, et seulement si, tout évènement élémentaire de Ω aartient à l un des évènements A i et à un seul. C est à dire si, et seulement si, 1. Pour tous entiers i et j tels ue 1 i n, 1 j n et i j, A i A j =. 2. A 1 A 2 A n = Ω. Remarues : Un évènement A de robabilité non nulle et son évènement contraire A forment une artition de Ω. i les évènements A 1,A 2,,A n forment une artition de Ω alors n (A i )= (A 1 )+ (A 2 )+ + (A n )=1 i=1 3 FORMULE DE PROBABILITÉ TOTALE oit n un entier suérieur ou égal à 2 si {A 1,A 2,...,A n } est une artition de Ω alors our tout évènement B de Ω, (B)= (A 1 B)+ (A 2 B)+ + (A n B) EXEMPLE Le arc informatiue d une entrerise est constitué d ordinateurs de marues A, B ou C référencés au service de maintenance. 60% des ordinateurs sont de la marue A et armi ceux-ci, 15 % sont des ortables. 30 % des ordinateurs sont de la marue B et 20 % d entre eux sont des ortables. Les autres ordinateurs sont de la marue C et 50 % d entre eux sont des ortables. On consulte au hasard la fiche d un ordinateur, uelle est la robabilité ue ce soit la fiche d un ordinateur ortable? Notons l évènement : «la fiche est celle d un ordinateur ortable» Les évènements A, B et C forment une artition de l univers alors d arès la formule des robabilités totales : ()= (A )+ (B )+ (C ) = A () (A)+ B () ()+ C () () = 0,15 0,6+0,2 0,3+0,5 0,1= 0,2 La robabilité ue ce soit la fiche d un ordinateur ortable est 0,2. A. YALLOUZ (MATH@E) Page 2 sur 12

3 Lycée JANON DE AILLY 21 janvier 2014 PROBABILITÉ DICRÈTE T le E III REPRÉENTATION OU FORME D UN ARBRE PONDÉRÉ Une exérience aléatoire eut être schématisée ar un arbre ondéré dont chaue branche est affecté d un oids ui est une robabilité. A A (R) R (A) A (R) R (B) B B () B () (C) C C (T) T C (T) T La racine de l arbre est l univers Ω Les évènements ui se trouvent aux extremités des branches issues d un même nœud forment une artition de l évènement situé à ce nœud. Par exemle, {A,B,C} est une artition de l univers Ω et {,} est une artition de l évènement B. Un chemin comlet ui conduit à un sommet final, rerésente l intersection des évènements ui le comosent. Par exemle, le chemin dont l extrémité est R rerésente l évènement A R. Le oids d une branche rimaire est la robabilité de l évènement ui se trouve à son extrémité. Le oids d une branche secondaire est la robabilité conditionnelle de l évènement ui se trouve à son extrémité sachant ue l évènement ui se trouve à son origine est réalisé. RÈGLE La somme des robabilités inscrites sur les branches issues d un même nœud est égale à 1. La robabilité d un chemin est le roduit des robabilités figurant sur ses branches. La robabilité d un évènement est la somme des robabilités de tous les chemins menant à un sommet où aaraît cet évènement. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE PROBABILITÉ COMPOÉE PROBABILITÉ TOTALE A (B) B (A B)= A (B) (A) (A) A A (B)=1 A (B) B ( A B ) = A (B) (A) (B)= (A B)+ ( A B ) (A)=1 (A) A (B) B ( A B ) = A (B) (A) (B)= ( A B ) + ( A B ) A A (B)=1 A (B) B ( A B ) = A (B) (A) A. YALLOUZ (MATH@E) Page 3 sur 12

4 Lycée JANON DE AILLY 21 janvier 2014 PROBABILITÉ DICRÈTE T le E IV ÉVÈNEMENT INDÉPENDANT 1 INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÈNEMENT Dire ue deux évènements évènements A et B sont indéendants signifie ue : (A B)= (A) (B) Dire ue deux évènements sont indéendants signifie ue la réalisation de l un ne modifie as la réalisation de l évènement de l autre. 2 PROPRIÉTÉ i (A) 0 et (B) 0 on a les éuivalences : A et B indéendants B (A)= (A) A (B)= (B) Preuve : i (A) 0, alors (A B)= (A) A (B). Ainsi, A et B sont indéendants si, et seulement si, (A) (B)= (A) A (B) (B)= A (B) 3 LOI BINOMIALE CHÉMA DE BERNOULLI Une éreuve de Bernoulli est une exérience aléatoire ayant deux issues, l une aelée «succès» de robabilité et l autre aelée «échec» de robabilité =1. La réétition de n éreuves de Bernoulli identiues et indéendantes s aelle un schéma de Bernoulli. EXEMPLE On réète 3 fois une éreuve de Bernoulli successivement et de façon indéendante. La robabilité du succès est ()=, la robabilité de l echec est ()=1 =. IUE A. YALLOUZ (MATH@E) Page 4 sur 12

5 Lycée JANON DE AILLY 21 janvier 2014 PROBABILITÉ DICRÈTE T le E L exérience comorte huit issues, chacune de ces issues ouvant être schématisée à l aide d un mot de trois lettres : { ; ; ; ; ; ; ; } COEFFICIENT BINOMIAUX On réète successivement n éreuves de Bernoulli ( ) identiues et indéendantes. n On aelle coefficient binomial et on note le nombre de chemins réalisant k succès armi n éreuves de k Bernoulli réétées. ( ) 3 Dans l exemle récédent, il y a = 3 chemins our lesuels il y a deux succès 2 LOI BINOMIALE oit X la variable aléatoire comtant le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli à n éreuves où la robabilité du succès de chaue éreuve est. La loi de robabilité de la variable aléatoire X est aelée loi binomiale de aramètres n et. Cette loi est notée B(n; ). Elle est définie ar : ( ) n P(X = k)= k (1 ) n k, our tout entier k tel ue 0 k n k Remarue : L évènement «obtenir au moins un succès» est l évènement contraire de l évènement F «obtenir n échecs consécutifs» d où P(X 1)=1 P(X = 0)=1 (1 ) n EXEMPLE La loi de robabilité de la loi binomiale B(4; ) de aramètres 4 et (avec = 1 ) est : k P(X = k) A. YALLOUZ (MATH@E) Page 5 sur 12

6 Lycée JANON DE AILLY 21 janvier 2014 PROBABILITÉ DICRÈTE T le E EXERCICE 1 Une maladie M affecte les bovins d un ays. On a mis au oint un test our détecter cette maladie. On estime ue : 12 % des bovins ont la maladie M ; Quand un bovin est malade, le test est ositif dans 95 % des cas ; 98 % des bêtes saines ne réagissent as au test. On rend un animal de ce troueau au hasard. 1. Quelle est la robabilité our un animal d être malade et de réagir au test? 2. On rend un animal au hasard et on lui fait asser le test uelle est la robabilité our ue le test soit ositif? 3. On veut déterminer la fiabilité de ce test. Calculer la robabilité : a) our un animal d être malade si il réagit au test ; b) our un animal d être sain si il ne réagit as au test. EXERCICE 2 Une maladie M affecte les bovins d un ays. On a mis au oint un test our détecter cette maladie. On estime ue : 13,5 % des bovins d un troueau sont malades et ont réagi au test ; 1,5 % des bovins du troueau sont malades et n ont as réagi au test ; 84,8 % des bêtes n ont as réagi au test. On rend un animal de ce troueau au hasard. 1. Calculer la robabilité ue le test soit négatif sachant ue l animal n est as malade. 2. Calculer la robabilité ue l animal ne soit as malade sachant ue le test est négatif. EXERCICE 3 Une maladie M affecte les bovins d un ays. On a mis au oint un test our détecter cette maladie. On estime ue : 20 % des bovins d un troueau sont malades ; 20,6 % des bovins du troueau ont eu un test ositif ; 1 % des bovins du troueau sont malades et n ont as réagi au test. On rend un animal de ce troueau au hasard. 1. Calculer la robabilité ue le test soit négatif sachant ue l animal n est as malade. 2. Calculer la robabilité ue l animal ne soit as malade sachant ue le test est négatif. EXERCICE 4 D arès une étude de la direction du tourisme concernant l ensemble des résidents Français : Est défini comme "voyage", tout déart du domicile, retour à celui-ci avec au moins une nuit assée en dehors. Ces voyages se décomosent en "séjours" de deux sortes : éjours courts définis ar le fait d avoir assé entre une nuit et trois nuits en lieu fixe ; éjours longs définis ar le fait d avoir assé au moins uatre nuits en lieu fixe. Le mode d hébergement d un séjour eut être marchand (hôtel, caming, gîte etc...) ou non marchand. On considère ue sur l ensemble des résidents Français ui ont effectué au moins un voyage : Les séjours courts rerésentent 55% de l ensemble des séjours ; 43% des séjours longs se font en hébergement marchand ; 36,4% de l ensemble des séjours se font en hébergement marchand. On interroge au hasard, un résident Français ayant effectué un voyage et on note : L : «l évènement la ersonne a fait un séjour long» ; M : l évènement «le mode d hébergement du séjour est marchand» ; A. YALLOUZ (MATH@E) Page 6 sur 12

7 Lycée JANON DE AILLY 21 janvier 2014 PROBABILITÉ DICRÈTE T le E 1. Calculer la robabilité ue la ersonne interrogée ait effectué un séjour long. 2. Rerésenter la situation ar un arbre ondéré. 3. a) Calculer la robabilité ue la ersonne interrogée ait effectué un séjour long en hébergement marchand. b) En déduire la robabilité ue la ersonne interrogée ait effectué un séjour court en hébergement marchand. 4. Un résident Français effectue un séjour court, uelle est la robabilité u il choisisse un hébergement marchand? 5. On interroge au hasard, un résident Français ayant choisi un hébergement non marchand au cours de son séjour. Quelle est la robabilité ue le séjour de cette ersonne soit un séjour long? EXERCICE 5 Une entrerise fabriue un article dans deux unités de roduction notées A et B. L unité A, assure 60% de la roduction. On a constaté ue : 3% des ièces rovenant de l unité A résentent un défaut de fabrication ; 8% des ièces rovenant de l unité B résentent un défaut de fabrication. 1. On rélève un article au hasard, et on note : A l évènement «la ièce rovient de l unité A» ; B l évènement «la ièce rovient de l unité B» ; D l évènement «la ièce résente un défaut», D l évènement contraire. a) Calculer la robabilité u un article résente un défaut et rovienne de l unité A. b) Montrer ue la robabilité u un article résente un défaut est égale à 0, L entrerise envisage de mettre en lace un test de contrôle de ces articles avant leur mise en vente. Ce contrôle détecte et élimine 82% des articles défectueux, mais il élimine également à tort 4% des articles non défectueux. Les articles non éliminés sont alors mis en vente. On rend au hasard un article fabriué et on note V l évènement «l article est mis en vente». a) Calculer (V D) et ( V D ). En déduire ue la robabilité u un article fabriué soit mis en vente arès contrôle est 0,921. b) L entrerise souhaite u il y ait moins de 1% des articles vendus défectueux. Ce contrôle ermet-il d atteindre cet objectif? EXERCICE 6 Un atelier roduit des ièces, dont certaines sont défectueuses à cause de deux défauts ossibles, le défaut A et le défaut B, à l exclusion de tout autre défaut. On a constaté ue, armi les ièces roduites, 28 % ont le défaut A, 27 % ont le défaut B, et 10 % ont les deux défauts. 1. On choisit au hasard une des ièces roduites. Quelle est la robabilité de tomber sur une ièce défectueuse? 2. On admet ue 80 % des ièces ui n ont u un seul des deux défauts sont réarables, et ue 40 % des ièces ui ont les deux défauts sont réarables. On choisit une ièce au hasard et on note : D 1 l évènement : " La ièce a un seul défaut " ; D 2 l évènement : " La ièce a deux défauts" ; R l évènement : " La ièce est réarable ". a) Montrer ue la robabilité de l évènement : " La ièce choisie est réarable " est (R) = 0,32. b) achant ue la ièce choisie est réarable, déterminer la robabilité u elle n ait u un seul défaut. 3. On choisit au hasard successivement cin ièces. On suose ue le nombre de ièces est suffisamment imortant our ue ces tirages s effectuent dans des conditions identiues et de manière indéendante. Calculer la robabilité our ue, sur les 5 ièces choisies, au moins trois ièces soient réarables. A. YALLOUZ (MATH@E) Page 7 sur 12

8 Lycée JANON DE AILLY 21 janvier 2014 PROBABILITÉ DICRÈTE T le E EXERCICE 7 PARTIE A oit (u n ) la suite définie ar : u 1 = 0,2 et our tout entier naturel n 1, u n+1 = 0,8 u n + 0,2. 1. a) Dans le lan muni d un reère orthogonal, utiliser les droites d éuations y=x et y = 0,8x+0,2 our construire les uatre remiers termes de la suite (u n ). b) Conjecturer le sens de variation de la suite (u n ) ainsi ue la limite de la suite (u n ). 2. On considère la suite (v n ) définie our tout entier naturel n 1, ar v n = u n 1. Démontrer ue (v n ) est une suite géométriue dont on récisera le remier terme et la raison. 3. a) Exrimer, our tout entier naturel n 1, u n en fonction de n. b) Étudier le sens de variation de la suite (u n ). c) À l aide d un algorithme, déterminer le lus etit entier n tel ue u n 0,99 PARTIE B Une entrerise a chargé un centre d ael de démarcher des clients otentiels. On a constaté u une ersonne contactée sur cin accete un rendez-vous avec un commercial. Le centre d ael contacte n ersonnes successivement et de manière indéendante. On note n la robabilité u au moins une des n ersonnes contactées accete un rendez-vous. 1. Dans le cas où n = 5, calculer la robabilité u aucune des cin ersonnes contactées n accete un rendezvous, uis en déduire Quel est le nombre minimal de ersonnes u il faut démarcher our ue la robabilité u au moins une des ersonnes contactées accete un rendez-vous soit suérieure à 0,99? EXERCICE 8 (D arès sujet bac Antilles, Guyane 2013) Dans un magasin sécialisé en électroménager et multimédia, le resonsable du rayon informatiue fait le bilan sur les ventes d ordinateurs ortables, de tablettes, et d ordinateurs fixes. Pour ces trois tyes de roduit, le rayon informatiue roose une extension de garantie. Le resonsable constate ue 28 % des acheteurs ont oté our une tablette, et 48 % our un ordinateur ortable. Dans cet exercice, on suose ue chaue acheteur achète un uniue roduit entre tablette, ordinateur ortable, ordinateur fixe, et u il eut souscrire ou non une extension de garantie. Parmi les acheteurs ayant acuis une tablette, 5 % ont souscrit une extension de garantie et, armi ceux ayant acuis un ordinateur fixe, 12,5 % ont souscrit une extension de garantie. On choisit au hasard un de ces acheteurs. On note : T l évènement «l acheteur a choisi une tablette» ; M l évènement «l acheteur a choisi un ordinateur ortable» ; F l évènement «l acheteur a choisi un ordinateur fixe» ; G l évènement «l acheteur a souscrit une extension de garantie». On note aussi F, M, T, G les évènements contraires. 1. Construire un arbre ondéré en indiuant les données de l énoncé. 2. Calculer P(F) la robabilité de l évènement F, uis P(F G). 3. On sait de lus ue 12 % des acheteurs ont choisi un ordinateur ortable avec une extension de garantie. Déterminer la robabilité u un acheteur ayant acuis un ordinateur ortable souscrive une extension de garantie. 4. Montrer ue P(G) = 0, Pour tous les aareils, l extension de garantie est d un montant de 50 euros. Quelle recette comlémentaire eut esérer le resonsable du rayon lorsue aareils seront vendus? A. YALLOUZ (MATH@E) Page 8 sur 12

9 Lycée JANON DE AILLY 21 janvier 2014 PROBABILITÉ DICRÈTE T le E EXERCICE 9 (D arès sujet bac Centres Étrangers 2013) Une association de consommateurs a fait une enuête sur des ventes de sacs de ommes. On sait ue : 15% des sacs sont vendus directement dans l exloitation agricole et le reste est vendu dans des suermarchés. Parmi les sacs vendus directement dans l exloitation agricole, 80% contiennent des ommes de variétés différentes et les autres ne contiennent u un seul tye de ommes. Parmi les sacs vendus dans des suermarchés, l0% contiennent des ommes de variétés différentes et les autres ne contiennent u un seul tye de ommes. On désigne ar E l évènement «les sacs de ommes sont vendus sur l exloitation» et ar V l évènement «les sacs contiennent des ommes de variétés différentes». L évènement contraire de l évènement A sera noté A. On achète de façon aléatoire un sac de ommes. 1. Traduire les trois données de l énoncé en termes de robabilités. 2. Construire un arbre ondéré traduisant cette situation. 3. Définir ar une hrase l évènement E V uis calculer sa robabilité. 4. Montrer ue la robabilité ue le sac acheté contienne des ommes de variétés différentes est égale à 0, Le sac acheté contient des ommes d une seule variété. Calculer la robabilité u il ait été acheté directement sur l exloitation agricole, arrondir le résultat à 0,001 rès. 6. Des roducteurs, interrogés lors de l enuête, disosent ensemble de sacs. Chaue sac, u il contienne un seul tye de ommes ou des ommes de variétés différentes, est vendu 0,80 euro sur l exloitation agricole et 3,40 euros dans des suermarchés. Calculer le montant total des ventes u ils euvent révoir. EXERCICE 10 (D arès sujet bac Liban 2013) Un roriétaire d une salle louant des terrains de suash s interroge sur le taux d occuation de ses terrains. achant ue la location d un terrain dure une heure, il a classé les heures en deux catégories : les heures leines (soir et week-end) et les heures creuses (le reste de la semaine). Dans le cadre de cette réartition, 70 % des heures sont creuses. Une étude statistiue sur une semaine lui a ermis de s aercevoir ue : lorsue l heure est creuse, 20 % des terrains sont occués ; lorsue l heure est leine, 90 % des terrains sont occués. On choisit un terrain de la salle au hasard. On notera les évènements : C : «l heure est creuse» T : «le terrain est occué» 1. Rerésenter cette situation ar un arbre de robabilités. 2. Déterminer la robabilité ue le terrain soit occué et ue l heure soit creuse. 3. Déterminer la robabilité ue le terrain soit occué. 4. Montrer ue la robabilité ue l heure soit leine, sachant ue le terrain est occué, est égale à Dans le but d inciter ses clients à venir hors des heures de grande fréuentation, le roriétaire a instauré, our la location d un terrain, des tarifs différenciés : 10 C our une heure leine, 6 C our une heure creuse. On note X la variable aléatoire ui rend our valeur la recette en euros obtenue grâce à la location d un terrain de la salle, choisi au hasard. Ainsi, X rend 3 valeurs : 10 lorsue le terrain est occué et loué en heure leine, A. YALLOUZ (MATH@E) Page 9 sur 12

10 Lycée JANON DE AILLY 21 janvier 2014 PROBABILITÉ DICRÈTE T le E 6 lorsue le terrain est occué et loué en heure creuse, 0 lorsue le terrain n est as occué. 5. Construire le tableau décrivant la loi de robabilité de X. 6. Déterminer l esérance de X. 7. La salle comorte 10 terrains et est ouverte 70 heures ar semaine. Calculer la recette hebdomadaire moyenne de la salle. EXERCICE 11 (D arès sujet bac Polynésie 2013) Une agence de voyage roose des formules week-end à Londres au déart de Paris our lesuelles le transort et l hôtel sont comris. Les clients doivent choisir entre les deux formules : «avion + hôtel» ou «train + hôtel» et euvent comléter ou non leur formule ar une otion «visites guidées». Une étude a roduit les données suivantes : 40% des clients otent our la formule «avion + hôtel» et les autres our la formule «train + hôtel» ; armi les clients ayant choisi la formule «train + hôtel», 50% choisissent aussi l otion «visites guidées» ; 12% des clients ont choisi la formule «avion + hôtel» et l otion «visites guidées». On interroge au hasard un client de l agence ayant souscrit à une formule week-end à Londres. On note : A l événement : le client interrogé a choisi la formule «avion + hôtel» ; T l événement : le client interrogé a choisi la formule «train + hôtel» ; V l événement : le client interrogé a choisi l otion «visites guidées». 1. a) Quelle est la robabilité de l événement : le client interrogé a choisi la formule «avion + hôtel» et l otion «visites guidées»? b) Calculer la robabilité P A (V). c) Rerésenter cette situation à l aide d un arbre ondéré. 2. a) Montrer ue la robabilité our ue le client interrogé ait choisi l otion «visites guidées» est égale à 0,42. b) Calculer la robabilité our ue le client interrogé ait ris l avion sachant u il n a as choisi l otion «visites guidées». Arrondir le résultat au millième. 3. L agence ratiue les rix (ar ersonne) suivants : Formule «avion + hôtel» : 390 C Formule «train + hôtel» : 510 C Otion «visites guidées» : 100 C Quel montant du chiffre d affaires l agence de voyage eut-elle esérer obtenir avec 50 clients ui choisissent un week-end à Londres? EXERCICE 12 (D arès sujet bac Asie 2013) Le tableau ci-dessous donne la réartition des élèves de terminale de séries générales selon la série et le sexe, à la rentrée Filles Garçons Littéraire (L) ciences économiues et sociales (E) cientifiue () Total On choisit au hasard un élève de terminale de série générale. On note : F : l évènement «L élève choisi est une fille». ource : Ministère de l Éducation nationale, DEPP A. YALLOUZ (MATH@E) Page 10 sur 12

11 Lycée JANON DE AILLY 21 janvier 2014 PROBABILITÉ DICRÈTE T le E G : l évènement «L élève choisi est un garçon». L : l évènement «L élève choisi est en série Littéraire». E : l évènement «L élève choisi est en série ciences Économiues et ociales». : l évènement «L élève choisi est en série cientifiue». 1. En utilisant les effectifs inscrits dans le tableau : a) achant u on interroge un garçon, calculer la robabilité u il soit en série Littéraire. b) Calculer (). 2. Recoier et comléter l arbre de robabilité ci-dessous : L 0,23 0,36 F E 0,56 L G 0,29 E 3. En utilisant l arbre comlété et les roriétés des robabilités : a) Montrer ue la robabilité, arrondie au centième, ue l élève choisi soit un élève de la série ciences Économiues et ociales est égale à 0,33. b) Calculer E (F). 4. On choisit successivement et au hasard 10 élèves de terminale de série générale. On admet ue le nombre de lycéens est suffisamment grand our ue ces choix soient assimilés à des tirages indéendants avec remise. Calculer la robabilité de choisir exactement trois élèves de la série E. EXERCICE 13 (D arès sujet bac France métroolitaine La Réunion etembre 2013) Un oérateur de téléhonie mobile organise une camagne de démarchage ar téléhone our rooser la souscrition d un nouveau forfait à sa clientèle, comosée à 65 % d hommes. Des études réalables ont montré ue 30 % des hommes contactés écoutent les exlications, les autres raccrochant aussitôt (ou se déclarant immédiatement non intéressés). Parmi les femmes, 60 % écoutent les exlications. On admet ue ces roortions restent stables. PARTIE A On choisit au hasard une ersonne dans le fichier clients. Chaue ersonne a la même robabilité d être choisie. On note H l évènement «la ersonne choisie est un homme», F l évènement «la ersonne choisie est une femme», E l évènement «la ersonne choisie écoute les exlications du démarcheur» et E l évènement contraire de E. 1. Recoier et comléter l arbre de robabilité roosé ci-dessous : 0,65 H ,6... E F... E E E A. YALLOUZ (MATH@E) Page 11 sur 12

12 Lycée JANON DE AILLY 21 janvier 2014 PROBABILITÉ DICRÈTE T le E 2. a) Traduire ar une hrase l évènement E F et calculer sa robabilité. b) Montrer ue la robabilité ue la ersonne choisie écoute les exlications du démarcheur est égale à 0,405. c) Le démarcheur s adresse à une ersonne ui l écoute. Quelle est la robabilité ue ce soit un homme? (On donnera le résultat arrondi au centième.) PARTIE B Les relevés réalisés au cours de ces remières journées ermettent également de constater ue 12 % des ersonnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait. Chaue emloyé de l oérateur effectue 60 aels ar jour. On suose le fichier suffisamment imortant our ue les choix soient considérés réalisés de façon indéendante et dans des conditions identiues. On note X la variable aléatoire ui comtabilise le nombre de souscritions réalisées ar un emloyé donné un jour donné. 1. Justifier ue la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les aramètres. 2. Déterminer la robabilité ue l emloyé obtienne 5 souscritions un jour donné. (On arrondira le résultat au centième). 3. Déterminer la robabilité ue l emloyé obtienne au moins une souscrition un jour donné. (On donnera une valeur arrondie au dix millième). EXERCICE 14 (D arès sujet bac Pondichéry 2013) Une enuête a été réalisée aurès des élèves d un lycée afin de connaître leur oint de vue sur la durée de la ause du midi ainsi ue sur les rythmes scolaires. L enuête révèle ue 55 % des élèves sont favorables à une ause lus longue le midi et armi ceux ui souhaitent une ause lus longue, 95 % sont our une réartition des cours lus étalée sur l année scolaire. Parmi ceux ui ne veulent as de ause lus longue le midi, seulement 10 % sont our une réartition des cours lus étalée sur l année scolaire. On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants : L : l élève choisi est favorable à une ause lus longue le midi ; C : l élève choisi souhaite une réartition des cours lus étalée sur l année scolaire. 1. Construire un arbre ondéré décrivant la situation. 2. Calculer P(L C) la robabilité de l évènement L C. 3. Montrer ue P(C) = 0, Calculer P C (L), la robabilité de l évènement L sachant l évènement C réalisé. En donner une valeur arrondie à On interroge successivement et de façon indéendante uatre élèves ris au hasard armi les élèves de l établissement. oit X la variable aléatoire ui donne le nombre d élèves favorables à une réartition des cours lus étalée sur l année scolaire. Le nombre d élèves étant suffisamment grand, on considère ue X suit une loi binomiale. a) Préciser les aramètres de cette loi binomiale. b) Calculer la robabilité u aucun des uatre élèves interrogés ne soit favorable à une réartition des cours lus étalée sur l année scolaire. En donner une valeur arrondie à c) Calculer la robabilité u exactement deux élèves soient favorables à une réartition des cours lus étalée sur l année scolaire. A. YALLOUZ (MATH@E) Page 12 sur 12