Commande prédictive des systèmes non linéaires dynamiques

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1 Rébliqe Algérienne Démocratiqe et olaire Ministère de l Enseignement Sérier et de la Recherche Scientifiqe Université Molod Mammeri de Tizi-Ozo Faclté de Génie Electriqe et Informatiqe Déartement Atomatiqe MEMOIRE DE MAGISTER En Atomatiqe Otion : Atomatiqe des systèmes contins et rodctiqe résenté ar IDIRI Ghania Thème : Commande rédictive des systèmes non linéaires dynamiqes Mémoire soten le 06 /07/ 0 devant le ry d examen comosé de : Président : DJEOUE Saïd Professer à l UMMTO Raorter : HAMMOUCHE Kamal Maître de conférences A à l'ummto Examinater : OUAES Mohand Maître de conférences A à l'ummto Examinater : MASOURI Rachid Maître de conférences A à l'ummto Examinater : DJAMAH Tonsia Maître de conférences B à l'ummto

2 Sommaire Chaitre 0. Introdction Générale 0 Chaitre. Généralités sr la Commande Prédictive 05. Introdction 05. Princie de la commande rédictive 06.3 Eléments d ne commande rédictive Modèle d système Prédiction Critère de erformance (fonction obectif) Contraintes.3.5 Loi de commande.4 Algorithme DMC 3.4. Modèle de rédiction 3.4. Synthèse d n correcter DMC Evalation des erformances de l algorithme DMC Etde de l inflence des aramètres de réglage d ne commande rédictive 9.5 Stabilité de la commande rédictive.6 Etat de l art sr la commande rédictive 4.7 Conclsion 5

3 Chaitre. Otimisation Globale dans R 6. Introdction 6. Formlation mathématiqe d n roblème d otimisation 7.3 Classification des roblèmes d otimisation dans R 8.4 Conditions or n minimm 9.5 Méthodes de résoltion des roblèmes d otimisation 30.6 Classifications des méthodes d otimisation 3.7 Intérêt des méthodes globales 34.8 Méthodes d otimisation globales et commande rédictive 37.9 Conclsion 38 Chaitre 3. Méthodes d otimisation globale : Alienor et Essaim de Particles Introdction Méthode d Alienor Méthode d essaim de articles Princie de la méthode d essaim de articles Algorithme de la méthode d essaim de articles Alication à l identification d n système non linéaire Méthode d modèle Modèle d système non linéaire à identifier Conclsion 56 Chaitre 4. Commande Prédictive on linéaire Basée sr l Otimisation Globale Introdction Etat de l art de la commande rédictive non linéaire Commande rédictive non linéaire Commande rédictive basée sr la méthode d Alienor Commande rédictive basée sr la méthode d essaim de articles Conclsion 69 Chaitre 0. Conclsion Générale 74

4 Liste des figres. Princie de la commande rédictive 07. Stratégie de commande rédictive 08.3 Réonse indicielle d système 7.4 Porsite et reet de ertrbation 8.5 Evoltion de la commande 8.6 Inflence de l horizon de commande 0.7 Inflence de l horizon de rédiction. Evoltion de la fonction obectif d roblème d otimisation (.4) 36. Evoltion de la fonction obectif d roblème d otimisation (.5) 36.3 Fonction obectif et son enveloe convexe Exloration globale d lan aramétrée ar α (sirale d Archimède) 4 3. Schéma de rincie d délacement d ne article Princie de la méthode d modèle Strctre générale de la commande rédictive non linéaire 6 4. Méthode d Alienor : cas sans contrainte sr la variable de commande ( ) Méthode d Alienor : cas avec contrainte sr la variable de commande (,5) ( ) ( ) Méthode d essaim de articles : cas sans contrainte sr la variable de commande ( ) Méthode d essaim de articles : cas avec contrainte sr la variable de commande ( ) 73

5 Liste des tableax. Version commercialisés des correcters rédictifs 3. Classification des roblèmes d otimisation 8 4. Tems moyen or le calcl de la commande 68

6 Introdction Générale La commande rédictive constite actellement l aroche de commande la ls indiqée or la commande des systèmes comlexes dans le milie indstriel. L'intérêt est qe des sécifications de fonctionnement ainsi qe des contraintes d'exloitation (sécrité de fonctionnement des biens, des ersonnels et de l environnement, qalité des rodits), inévitables or la lart des systèmes, event être conointement traitées dans l'élaboration de la loi de commande (Flas, 994 ; Camacho et Bordons, 008 ; Findeisen et al. 007). De ls, la mise en œvre d ne commande rédictive est relativement simle et il en va de même or les otils théoriqes nécessaires à ler étde, ce qi stifie sa olarité en tilisation indstrielle (Henson, 998). Assi, l évoltion de l informatiqe sr le lan matériel et logiciel a rolsé la commande rédictive or occer ne lace réondérante dans les miliex académiqe et indstriel (Martinsen, 00). La commande rédictive est ne commande basée sr le modèle, ar conséqent avoir de bonnes erformances est lié directement à la récision et la comlexité d modèle tilisé dans l algorithme de commande or la rédiction des sorties ftres d système (Hang, 008; Magni et al. 009). Sr ce lan, l existence des calclaters nmériqes avec des vitesses de traitement vertigineses, et des caacités de stocage énormes a largement contribé a sccès de la commande rédictive. Dans ne stratégie de commande rédictive, les obectifs de commande sont sécifiés ar n critère à minimiser et des contraintes à imoser sr les variables d'état, de commandes et de sorties (Flas, 994 ; Hang et Kadali, 008 ; Camacho et Bordons, 008). Par conséqent, la commande à aliqer, à chaqe instant d échantillonnage, est obtene en résolvant n

7 roblème d otimisation avec contraintes en n tems inférier à la ériode d échantillonnage (Cannon, 004 ; Tatewsi, 007). La natre d roblème d otimisation déend généralement d tye d modèle tilisé or la rédiction isqe le critère est généralement qadratiqe et exrime des obectifs de orsite et de minimisation d énergie (Hang et Kadali, 008 ; Camacho et Bordons, 008). Lorsqe le modèle est linéaire, la soltion analytiqe d roblème d otimisation existe et simle à calcler et les erformances seront meilleres isqe l otimm global est atteint (Ctler, 979 ; Clare, 987 ; Flas, 994 ; Hang et Kadali, 008). Par contre l tilisation d n modèle non linéaire, bien qe les rédictions seront récises, mais la natre d roblème d otimisation est non linéaire dont la comlexité est lié directement à la récision d modèle. Avoir n roblème d otimisation non linéaire, à résodre à chaqe ériode d échantillonnage, constite ne tâche arde et emêche l alication de la commande rédictive à des systèmes non linéaires (Cannon, 004 ; Findeisen, 007 ; Magni et al., 009). En effet, dans ne stratégie de commande rédictive, les erformances seront meilleres si l otimm global d critère est atteint avec ne très grande récision, et la convergence est assrée en n tems inférier à la ériode d échantillonnage (Long et al., 006). Par conséqent, l algorithme d otimisation doit osséder les roriétés de convergence et de raidité (Cannon, 004). La théorie de l otimisation offre ne anolie de méthodes d otimisation locales et globales (Horst et Pardalos, 995). Dans ne commande rédictive, or avoir de bonnes erformances, les méthodes d otimisation intéressantes sont les méthodes globales, c est-àdire les méthodes ermettant de localiser l otimm global d critère contrairement ax méthodes locales qi localise l otimm local (Cannon, 004 ; Long et al., 006). Les méthodes d otimisation globale, roosées dans la littératre, sont scindées en trois classes (Berthia et Siarry, 00): les méthodes exactes or lesqelles la convergence vers l otimm globale est assrée a rix d n tems de calcl imortant, les méthodes heristiqes caractérisées ar ne convergence asymtotiqe et raide, et les méthodes hybrides qi combinent des algorithmes exactes et heristiqes or fsionner lers avantages et avoir des algorithmes raides. Parmi les méthodes d otimisation globale qi ont rové lers efficacités, on retrove la méthode d Alienor (Cherralt, 99; Ziadi et al. 00 ; Cherralt and Mora, 005), qi est ne méthode exacte, et la méthode d essaim de articles qi est ne méthode heristiqe (Van Den Bergh, 00 ; Poli et al. 007). La méthode d Alienor ermet de ramener, à l aide

8 d ne transformation rédctrice, n roblème d otimisation à lsiers variables de décision à n roblème d otimisation à ne sele variable de décision ce qi ermet de localiser facilement l otimm globale et avec ne récision sohaitée (Cherralt and Mora, 005). La méthode d essaim de articles est caractérisée ar n algorithme simle à comrendre et à rogrammer. Le rincie de la méthode reose sr n ensemble de articles qi rerésente n ensemble de soltion admissibles a roblème d otimisation (Poli, et al. 007). Les articles sont initialement disosées de manière aléatoire et vont se délacer dans le domaine de soltions. Chaqe article disose d ne mémoire concernant sa meillere soltion visitée ainsi qe la caacité de commniqer avec les articles de son voisinage. A artir de ces informations, la article va sivre ne tendance faite, d ne art, de sa volonté à retorner vers sa soltion otimale, et d atre art, de son mimétisme ar raort ax soltions trovées dans son voisinage. A artir des soltions initiales, l ensemble des articles va converger vers l otimm global. Dans ce mémoire, on s intéresse à étdier l aort des méthodes d otimisation globale dans ne stratégie de commande rédictive d n système non linéaire. L obectif d travail consiste à aliqer les méthodes d otimisation globale d Alienor et d essaim de articles or la résoltion d roblème d otimisation non linéaire d ne commande rédictive non linéaire, is de comarer lers erformances. L étde se limite a système non linéaire caractérisé ar ne dynamiqe lente, et à la orsite de consigne en résence des contraintes, de tye boîtes, sr la variable de commande. otons qe la commande des systèmes raides constite n domaine de recherche overt, c est orqoi la commande rédictive a fait ses reves dans le cas des systèmes caractérisés ar ne très grande inertie, ar exemle les rocédés chimiqes et thermiqes. L'organisation de ce mémoire est la sivante : Le remier chaitre est consacré à la commande rédictive dans leqel nos allons résenter le rincie d n algorithme de commande rédictive, ses différents éléments, et son réglage, is or illstrer le rincie d n algorithme rédictif, nos abordons de manière détaillée l algorithme Dynamic Matrix Control (DMC) et on résente n exemle d alication avec des résltats de simlation or montrer l inflence des aramètres de réglage sr les erformances obtenes. Le chaitre se termine ar n état de l art sr la commande rédictive. Dans le dexième chaitre, on s intéresse à l otimisation globale dans l ensemble des nombres réels. Le chaitre commence ar des notions de base de la théorie de l otimisation. 3

9 Dans la remière artie, arès avoir introdit la formlation mathématiqe d n roblème d otimisation, nos résentons la classification des roblèmes d otimisation sivie des conditions or n minimm. Dans la dexième artie, on résente les différentes classes de méthodes d otimisation, et on indiqe l intérêt des méthodes globales. Dans la fin d chaitre, on mentionne le lien fort existant entre l otimisation globale et la commande rédictive non linéaire. Le troisième chaitre est réservé ax méthodes d otimisation globale. Dans ce chaitre, on résente articlièrement la méthode exacte d Alienor et la méthode heristiqe d essaim de articles. Por illstrer et comarer ces dex méthodes, ne alication concernant l identification des aramètres d n système non linéaire en tilisant la méthode d modèle est résentée. A qatrième chaitre, arès avoir résenté n état de l art sr la commande rédictive non linéaire, les méthodes d Alienor et d essaim de articles seront adotées dans ne stratégie de commande rédictive d n système non linéaire monovariable. Les sécifications exigées imosent d assrer la orsite de consigne en résence des contraintes, d tye boîtes, sr la variable de commande. L obectif rincial est d évaler l aort de chaqe méthode d otimisation, is de comarer lers erformances en résence et en absence de la contrainte sr la variable de commande. La fin d mémoire est réservée à la conclsion sr l ensemble des alications réalisées et ax ersectives de continité. 4

10 Chaitre Généralités sr la Commande Prédictive. Introdction Ces dernières années la commande rédictive est largement tilisée dans le domaine indstriel et a été aliqée avec sccès or différentes alications. Le terme commande rédictive ne désigne as ne stratégie de commande sécifiqe mais n ensemble d algorithmes qi tilisent exlicitement le modèle d système dans n roblème d otimisation, à résodre, or déterminer la commande à aliqer. Le modèle d système est essentiellement tilisé or dex tâches (Hang, et al. 008) : la rédiction d comortement dynamiqe ftre d système et le calcl de l action correctrice aroriée or assrer la orsite de la consigne imosée. La commande rédictive basée sr le modèle résente des avantages qi ont fait d elle ne aroche de commande attractive. Parmi ces avantages, on et citer (Flas 994 ; Hang et al. 008) : elle ermet de resecter les différentes contraintes sr les états, les commandes et les sorties, 5

11 elle ermet d assrer la orsite or certaines consignes tot en maintenant d atres dans des coloirs bien sécifiés, elle évite les variations excessives or les variables de commandes, elle et s aliqer à des systèmes avec o sans retard, son réglage est aisé et son rincie est intitif, elle est assez robste ax errers de modèle. L intérêt de la commande rédictive est mltile : comarés ax techniqes classiqes, elle est extrêmement erformante si le rocédé réagit avec n certain retard o si les changements de consignes sont conns à l avance, comarés ax techniqes ls sohistiqées réalisant la minimisation d n critère à n as, les techniqes rédictives sont nettement robstes, en articlier lorsqe la strctre d modèle tilisée or décrire le rocédé est mal conne. elle et être tilisée en conservant n sel aramètre libre or le réglage. Ce chaitre est consacré à la commande rédictive basée sr le modèle où il sera résenté le rincie de la commande rédictive, la commande rédictive linéaire et non linéaire et n état de l art sr les techniqes de commande rédictives.. Princie de la commande rédictive La commande rédictive est basée sr le rincie de la Figre., elle est décrite ar la stratégie sivante :. A chaqe instant d échantillonnage, les sorties ftres d système sont rédites sr n horizon de tems, aelé horizon de rédiction, qi est relativement long ar raort à la vitesse d évoltion d rocédé. Les rédictions y ( / ) ˆ, or =, K,, sont réalisées en tilisant le modèle d système et déendent non selement d assé d système (les commandes et les sorties avant l instant ), mais assi des commandes ftres ( i), or i 0, K,, à déterminer et aliqer a système. Par conséqent, le = modèle d système fait artie de l algorithme de commande. Ainsi la rédiction ne va as déendre niqement des sorties récédentes mais assi de l évoltion envisagée dans le tems ftr or la variable de commande. otons qe lsiers évoltions sont ossibles or la variable de commande. 6

12 y d ( ) ( ) Prédiction y ˆ / Horizon de commande Horizon de rédiction Tems ( ) ( ) / ( / ), = 0,, K Tems Figre. Princie de la commande rédictive.. La séqence de commande est déterminée en minimisant n critère de erformances qi ermet d assrer la orsite de la consigne désirée. Le critère est ne fonction qadratiqe des errers entre les sorties rédites et la traectoire de référence. L effort de commande est généralement incls dans le critère à minimiser. Ainsi, ne soltion exlicite et être facilement obtene dans le cas où le critère est qadratiqe et le modèle d système ainsi qe les contraintes sont linéaires, sinon ne méthode d otimisation nmériqe doit être aliqée. otons qe or la strctre de la loi de commande, certaines hyothèses event être considérées, ar exemle la commande reste constante arès n certain instant d échantillonnage. 3. La soltion déterminée ar otimisation sera ensite aliqée a système réel, mais sele sa valer à l instant résent est réellement tilisée. A l instant sivant, la rocédre comlète est réétée. Ceci ermet d obtenir ne valer réactalisée or la 7

13 commande, en fonction des mesres les ls récentes en tilisant le concet de l horizon glissant..3 Eléments d ne commande rédictive Tos les algorithmes de la commande rédictive ossèdent les mêmes éléments (Figre.), et différentes otions event être considérées or chaqe élément, ce qi donne ne mltitde d algorithmes. Ces éléments sont :. le modèle d système (or la rédiction),. le critère de erformances et 3. l algorithme d otimisation (or déterminer la séqence de commande)..3. Modèle d système La ierre anglaire d ne stratégie de commande rédictive est le modèle d système. Le modèle d système comrend généralement dex arties : le modèle d système et le modèle de ertrbation. Le remier rerésente les relations entrée-sortie d système et le dexième est sovent tilisé or rerésenter les ertrbations o simlement or aroximer les errers de modélisation. Il existe différentes formes or le modèle tilisé dans ne commande rédictive, mais ils doivent être toors de natre discrète isqe la commande rédictive est ne commande nmériqe. Les formes coramment tilisées sont d tye entrée-sortie, elles sont résentées ci-arès. y d ( ) Critère Contraintes Algorithme d otimisation Modèle (Prédiction) ( ) Système à commander y ( ) - Réonse imlsionnelle Dans ce cas, la réonse d système est : Figre. Stratégie de commande rédictive. 8

14 ( ) = r( i) ( i) i= y (.) où r ( i) rerésentent les coefficients de la réonse imlsionnelle (les valers de la sortie, ax instants d échantillonnage, lorsqe l entrée est ne imlsion de Dirac). Sovent cette somme est tronqée et seles les valers sont considérées isqe à artir de l instant la s s sortie est nlle. T rerésente le tems de réonse d système. s e - Réonse indicielle Dans ce cas, la réonse d système est : ( ) = s( i) ( i) i= y (.) où s ( i) rerésentent les coefficients de la réonse indicielle or ne entrée échelon nité, et ( ) = ( ) ( ). Por n système stable, les coefficients s ( i) sont constants arès l instant s. rerésente le tems de réonse d système. T Comme les coefficients de la réonse imlsionnelle event être considérés comme la différence entre dex coefficients sccessifs de la réonse indicielle, alors les relations sivantes sont vérifiées : - Eqation ax différences Dans ce cas, la sortie d système est : y ( i) = s( i) s( i ) r (.3) = s ( i) = r( ) (.4) ( ) = F( y( ),, y( n ), ( ), K, ( )) K (.5) y n où n y et n sont des entiers natrels. La fonction F (.) et être linéaire o non linéaire selon la natre d système. s e Remarqe. D atres formes d modèle event être assi tilisées armi lesqels on et citer la fonction de transfert discrète, le modèle d état discret, modèle de Volterra, modèle neronal, modèle flo. Dans ce mémoire, l étde est limitée ax modèles résentés dans cette sossection. 9

15 .3. Prédiction Dans la commande rédictive, n modèle d système n est as tilisé or la concetion de la loi de commande, mais il est tilisé or la rédiction des sorties ftres d système. Ces rédictions seront tilisées ar la site or la détermination de la séqence de la variable de commande en résolvant n roblème d otimisation. Comme exemle, considérons le modèle sivant : ( ) = a y( ) b ( ) y (.6) Les dex remières rédictions ftres de la sortie sont données comme sit : yˆ yˆ ( / ) = ay ( ) b ( ) yˆ (.7) ( / ) = a yˆ ( / ) b ( ) ( / ) = a( a y( ) b ( ) ) b ( ) ( / ) = a y( ) a b ( ) b ( ) y ˆ (.8) Les atres rédictions sont déterminées de la même manière en tilisant le modèle (.6). Sos forme matricielle, les dex remières rédictions sont données comme sit : yˆ yˆ ( / ) ( / ) a = y a ( ) b ab 0 ( ) b ( ) (.9) Les rédictions (.9) sont comosées de dex termes. Le second terme d côté droit de l éqation (.9) déend des entrées ftres. Par contre le remier terme déend selement des sorties récédentes o également des entrées récédentes selon le système. Ainsi, les rédictions event être décomosées en général en dex arties : La réonse libre, y ˆ ( ) libre ( / ) = yˆ ( ) yˆ libre ( ) y ˆ (.0) forcée est maintene constante à sa valer actelle ( ) contre la réonse forée, y ˆ ( ) forcée ftres ( ) =, K,.,, corresond à la rédiction de la sortie lorsqe la commande le long de l horizon de rédiction. Par, corresond à la rédiction de la sortie de ax actions.3.3 Critère de erformance (fonction obectif) Por déterminer la loi de commande, les algorithmes de la commande rédictive tilisent différentes formes or le critère. Généralement, le bt recherché est d assrer la orsite de 0

16 la consigne désirée y d ( ) avec n minimm d effort ( ) ls sovent rend la forme qadratiqe car différentiable : J = = = 0 d T d [ y ( ) yˆ ( / )] Q y ( ) yˆ ( / ) r T ( ) R ( ) [ ]. Ainsi, le critère tilisé le (.) où les matrices Q et R sont symétriqes et définies ositives. Ler choix caractérise l imortance relative qe nos sohaitons donner ax diverses comosantes d critère à minimiser. Elles event assi être constantes. Les aramètres r, et sont les aramètres de réglage d correcter rédictif et rerésentent resectivement l instant d débt de la rédiction, l horizon de rédiction maximal et l horizon de commande. L horizon de rédiction rerésente la longer de l intervalle de tems ftr sr leqel on cherche à minimiser le critère. L horizon de commande rerésente le nombre de variations de la commande qe l on atorise dans le ftr avant q elle ne soit maintene à ne valer constante. Por les algorithmes qi tilisent n modèle de convoltion tronqé, on tilise n atre aramètre s qi rerésente la longer de la réonse indicielle o imlsionnelle. Il fat assi choisir convenablement la ériode d échantillonnage T e isqe le correcter rédictif est de tye discret. Ceendant ce roblème n est as sécifiqe à la commande rédictive, mais à tote commande nmériqe. Le sel asect ar leqel le choix de la ériode d échantillonnage et être lié de façon étroite à la synthèse d correcter rédictif est celi de la longer s d modèle de convoltion. Si on définit le tems de réonse t r comme le tems à artir dqel la réonse d système a atteint 99% de la valer finale, on doit vérifier : T = t (.) s or tenir comte de la dynamiqe d système. Dans le cas où la ériode d échantillonnage T e a été choisie etite (cas d n système raide), la longer d modèle de convoltion et devenir excessive et entraîner des calcls imortants. e L inflence de ces différents aramètres sr les erformances d système sera abordée dans le cas de l algorithme Dynamic Matrix Control (DMC), qi fera l obectif de la Section.4.4, et sera illstré ar n exemle d alication. otons qe les conclsions concernant l inflence des différents aramètres orront facilement être transosées or n atre algorithme même dans le cas de la commande rédictive non linéaire. r

17 .3.4 Contraintes Les contraintes caractérisent en général les limitations hysiqes sr la commande, sr l état o sr la sortie d système. Elles sont introdites or éviter des changements brsqes or la commande. Por certains systèmes, des contraintes sr les sorties (rédites) doivent être resectées or des raisons économiqes o de sécrité. Généralement, les contraintes sont instantanées et s exriment ar des inégalités de la forme : min ( ) max (.3) ( / ) y,, y yˆ min max (.4) Dans ce mémoire, on considère qe les contraintes sr la commande de tye (.3). r.3.5 Loi de commande Les actions de commande, ( i), sont calclées en minimisant le critère (.). Ainsi, on commence d abord ar la détermination des rédictions en tilisant le modèle d système (voir l exemle de la sos-section.3.). Ces dernières seront forcément fonction des actions de commande ( i). Ainsi, en sbstitant ces rédictions dans le critère J à minimiser, donnée ar la relation (.), et en résolvant le système d éqations algébriqes obten en imosant le gradient J ar raort ax actions de commande ( i) égale à zéro, c est-àdire : ( ( ) ( ),, ( )) J ( ), ( ), K, ( ) ( ( ), ( ), K, ( )) ( ) ( ( ), ( ), K, ( )) ( ) J J ( ) K = 0 (.5) M J ( ( ), ( ), K, ( )) ( ), = on détermine les actions de commandes ( i) rincie de la commande rédictive sel l action de commande ( ) système, et la rocédre sera réétée à l instant d échantillonnage sivant. otimales. Raelons qe d arès le sera aliqée a Annler le gradient d critère J est ne rocédre d otimisation. Por le système d éqations algébriqes (.5) ne soltion analytiqe et être obtene, dans le cas contraire ne méthode nmériqe (itérative) doit être tilisée dont le tems de convergence ne doit as

18 déasser ne ériode d échantillonnage or qe l action otimale ( ) soit disonible à l instant. Lorsq ne méthode nmériqe est tilisée, l obtention de la soltion d roblème d otimisation sivant : min ( ), ( ), K, ( ) J ( ( ), ( ), K, ( )) (.6) n est as nécessairement garantie srtot si le roblème d otimisation est non linéaire, et la difficlté s accente davantage en résence des contraintes sr la commande o/et sr la sortie commandée. De ls, assrer la convergence en n tems inférier à T e rerésente ne atre contrainte à rendre en considération, et la lart des méthodes nmériqes event être iégées dans n minimm local or (.6) a lie de minimm global, d où la nécessité d tiliser des algorithmes d otimisation globale raides. otons qe la soltion analytiqe et être obtene selement dans le cas d modèle linéaire avec contraintes linéaires, ar exemle dans le cas de l algorithme Dynamic Matrix Conrtol (cet algorithme sera étdié dans la section sivante). Por les atres cas, la soltion nmériqe est inélctable, ar conséqent le choix de la méthode d otimisation oe n rôle d remier lan dans ne stratégie de commande rédictive. Le chaitre s inscrit dans cette otiqe, il sera consacré à l otimisation globale. Dans la section sivante, nos résenterons n des algorithmes de la commande rédictive or illstrer le rincie de cette dernière. Il s agit de l algorithme DMC (Dynamic Matrix Control)..4 Algorithme DMC L algorithme DMC a été initialement déveloé ar Ctler et Ramaer (979) de la société Shell Oil Co vers la fin des années 70. Cet algorithme est largement acceté et tilisé ar les indstriels, en articlier dans le secter des hydrocarbres et de la étrochimie. Dans cette section, nos résentons ne version simlifiée de cet algorithme dans le cas où le modèle est forni sos forme de réonse à n échelon. Cette formlation est généralement la ls choisie car elle ermet la comréhension intitive d fonctionnement de la commande rédictive. éanmoins des déveloements éqivalents event être condits or le modèle de réonse imlsionnelle où fonction de transfert condisant resectivement a Model Algorithmic Control (MAC) et a Generalized Predictive Control (GPC). 3

19 .4. Modèle de rédiction Le modèle tilisé or la rédiction dans l algorithme de commande rédictive DMC est le modèle réonse indicielle. Considérons la réonse indicielle d système q on et mettre sos la forme sivante : ( ) = s ( i) i= y (.7) i s ( ) = s ( i) s ( i) y (.8) i i i= i= s y s = i i= Réonse indicielle finie ( ) s ( i) Z( ) (.9) Ainsi, on remarqe bien qe la réonse indicielle infinie (.8) d système fait intervenir ne réonse indicielle finie q on et exloiter or l étae de rédiction, c est-à-dire : s ( / ) = s ( i) Z( ) yˆ i (.0) i= Comme cela a été indiqé récédemment, la réonse d système rédite ar le modèle et être divisée en dex arties : libre et forcée. Ainsi, l éqation (.0) et être décomosée en dex termes : le remier terme contient les actions de commande ftres ( ( ), ( ),K), et le second terme contient les actions de commande assées ( ( ), ( ),K) donne ( / ) = s ( i) s ( i) Z( ) s, ce qi yˆ i i (.) i= i= Cette dernière éqation et être arrangée or faire aaraître les dex termes de la sortie (forcée et libre) comme sit : où le terme ( / ) = s ( i) y ( ) yˆ i (.) i= y s ( ) = s ( i) Z( ) i i= (.3) rerésente le terme libre : ( ) = y ( ) y ˆ (.4) libre Le terme restant rerésente le terme forcé qi est l évoltion de la réonse d système à artir de l instant dû à l alication des actions de commande ftres. Ainsi, 4

20 5 ( ) ( ) = = i i i s y forcée ˆ (.5) Le critère considéré dans n algorithme DMC consiste à minimiser la différence entre la consigne désirée et la sortie rédite ar le modèle le long de l horizon de rédiction. Les sorties rédites sont données comme sit : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ˆ / ˆ 3 3/ ˆ / ˆ / ˆ 3 = = = = = s s s y y s s s y y s s s y y s s y y s y y L M L L (.6) otons qe ( ) ( ) ( ) 0 = = = = L car l action de commande est maintene constante à artir de l instant =. Les rédictions (.6) event être écrites sos la forme matricielle comme sit : M y y = ˆ (.7) Avec : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = =,, / ˆ / ˆ / ˆ ˆ y y y y y y y y M M M et la matrice = s s s s s s s s s s s M L M M M M M L M M M M M L L est aelée matrice dynamiqe (Dynamic Matrix).

21 .4. Synthèse d n correcter DMC Raelons qe l obectif consiste à orsivre ne traectoire, le long de l horizon de rédiction, donnée comme sit : y d y y = d y d d ( ) ( ) M ( ) Ainsi, or déterminer la séqence des commandes à aliqer, il sffit de résodre, à chaqe instant, le roblème d otimisation sivant : set à : min J d T d ( ) = ( y yˆ ) Q ( y yˆ ) (.8) yˆ = y M En sbstitant ŷ dans le critère J, il vient : min J d T d ( ) = ( y y M ) Q ( y y M ) La soltion otimale est obtene comme sit : (.9) Ce qi donne T T d ( ) = M Q ( y y M ) = 0 J (.30) = T T T T d ( M Q M ) M Q ( y y ) (.3).4.3 Evalation des erformances de l algorithme DMC Por illstrer et évaler les erformances de l algorithme DMC, nos roosons d étdier la commande d n système de dexième ordre avec n retard imortant. Considérons le rocédé décrit ar la fonction de transfert : G ( s) 8s = e (.3) ( 7s)( 5s) La réonse indicielle de ce système est donnée ar la Figre.3. D arès cette dernière, nos ovons rendre la longer s d modèle de convoltion sériere à 80. Dans notre cas on a ris le doble, c est-à-dire =60. Por déterminer la matrice dynamiqe M, cette s 6

22 réonse est échantillonnée avec ne ériode d échantillonnage égale à s. Por les aramètres de réglage de l algorithme DMC, on considère qe la rédiction commence arès 8 ériodes d échantillonnage ( = 8), l horizon de commande =, et l horizon de rédiction r = 30. Por le critère à minimiser, la matrice de ondération Q = I. Por le roblème de orsite, la consigne désirée d y est sosée constante et égale à 60. Por le test de réglation (reet de ertrbation), on considère ne ertrbation d bornée qi affecte la sortie d système avec ne dynamiqe d n système d remier ordre c est-à-dire : Par conséqent la sortie d système, en bocle overte est : y G d ( s) = (.33) 0. s ( s) G( s) ( s) G ( s) d( s) = (.34) Por le test concernant le reet de ertrbation, on a aliqé ne ertrbation d amlitde d = 0, à l instant 50 s. Les Figres.4, et.5 résentent les résltats de simlation obtens. On constate qe l algorithme DMC assre la orsite de la consigne et reette arfaitement l effet de la ertrbation (Fig..4). L évoltion de la commande (Fig..5) est hysiqement accetable. d Figre.3 Réonse indicielle d système. 7

23 Figre.4 Porsite et reet de ertrbation. Figre.5 Evoltion de la commande. 8

24 .4.4 Etde de l inflence des aramètres de réglage d ne commande rédictive En ls de la ériode d échantillonnage, ne commande rédictive est caractérisée ar les aramètres de réglage sivant : Instant de débt de rédiction Si le système ne résente as de retard, on rend =. r : ce aramètre est ris égale a retard d système τ. r horizon d système s : il est déterminé selon la relation (.). Des valers entre 0 et 70 sont des recommandations tyiqes. horizon de commande : il rerésente le nombre d actions ftres calclées ar otimisation d critère or rédire les errers de rédictions. La valer de ce aramètre infle sr le tems de calcl de la soltion otimale. L agmentation de ce aramètre ermet d accélérer le système, mais en contre artie on va avoir des actions ls énergiqes. Comme le rincie de commande rédictive consiste à aliqer selement la remière commande, alors il est intile de rendre ne valer sériere à 5. horizon de rédiction : il rerésente le nombre de rédictions tilisées dans le critère à otimiser. La valer minimale doit être égale à τ où τ désigne le tems de retard d système à commander. L agmentation de revient à considérer ls de rédictions, ar conséqent la sortie sera bien amortie et les commandes seront de faibles amlitdes, mais ler traitement nécessite n tems de calcl imortant. Ainsi, or le réglage des aramètres d ne commande rédictive, on s intéresse en articlier à l astement de et. Por illstrer l inflence de ces dex aramètres, nos roosons de rerendre l exemle étdié récédemment. Por montrer, l inflence de chaqe aramètre, on fixe n des aramètres is on considère dex valers or l atre aramètre. La ertrbation d est considérée nlle. La Figre.6 montre qe l agmentation de, ( = 30 ), donne des réonses raides (Fig..6a), mais a rix d ne sollicitation ls imortante de la commande (Fig..6b). Por l inflence de, ( = ), d arès la Figre.7, on note l effet stabilisant or la sortie (Fig..7a), avec ne commande moins énergiqe (Fig..7b). 9

25 a) Evoltion de la sortie. b) Evoltion de la commande. Figre.6 Inflence de l horizon de commande. 0

26 a) Evoltion de la sortie. b) Evoltion de la commande. Figre.7 Inflence de l horizon de rédiction.

27 .5 Stabilité de la commande rédictive La commande rédictive est basée sr le modèle or calcler des rédictions de la sortie qi seront tilisées ar la site dans l algorithme d otimisation, sovent itératif, or déterminer la séqence des commandes otimale à aliqer. Ainsi, à chaqe instant d échantillonnage, n roblème d otimisation est résol en tems réel. Par conséqent, la stabilité de la commande rédictive est liée directement, à la stabilité d modèle tilisé (Lee et Par, 99) or l étae de rédiction donc d système à commander, et à la convergence de l algorithme d otimisation. Por assrer la stabilité en bocle fermée, le système en bocle overte doit être stable or qe les rédictions le seront assi, et l algorithme d otimisation doit garantir ne convergence même locale. Por la commande des systèmes instables o intégraters, n correcter de remier nivea doit être synthétiser a remier lie or stabiliser le système (Lee et Par, 99 ; Mayne et al., 000 ; Richalet et al., 005), is on tilise la commande rédictive or assrer certaines erformances, sécifiées ar n critère à otimiser, et resecter bien sûr des contraintes de fonctionnement d système, et de sécrité..6 Etat de l art sr la commande rédictive La commande rédictive est largement tilisée dans des domaines très variés de l indstrie tels qe la étrochimie, en articlier le génie des rocédés et l atomobile (Kovaritais et Cannon, 00 ; Findeisen et al., 007 ; Hang et Kadali, 008 ; Magni et al., 009) où elle a démontré ses reves. Elle fait artie des stratégies de commande qi tilise exlicitement le modèle d système à commander en s acqittant de dex tâches essentielles : la rédiction exlicite d comortement dynamiqe d système et le calcl de la commande aroriée or assrer la orsite de la traectoire de consigne en minimisant n certain critère de erformance (Flas, 994 ; Hang et Kadali, 008). Le rincie de la commande rédictive résenté reste le même, les différentes méthodes roosées dans la littératre différent srtot ar la strctre choisie or rerésenter le modèle de système, c est-à-dire or la rédiction. Por le critère, en général, c est le critère qadratiqe qi est reten. Dans le cas de la commande rédictive non linéaire, en ls de la strctre de modèle considérée, la différence entre les techniqes de commande réside assi dans la techniqe d otimisation tilisée or la détermination de la séqence des actions de commande. Les remiers travax sr la commande rédictive remontent à la fin des années 70 et ont été initiés ar Richalet (976) en roosant le Model Algorithmic Control (MAC). Pis De Keyser et Van Cawenberghe (979) introdisent le Extended Prediction Self Adative

28 Control (EPSAC) qi est ne commande ato-adatative rédictive étende déveloée. L idée consiste à tiliser n signal de commande constant or tot l'horizon de rédiction, et qi est aliqé dès le débt d calcl de la commande qi otimise le critère. Ctler et Ramaer (979) ont déveloé le célèbre algorithme Dynamic Matrix Control (DMC), basé sr le modèle de convoltion (réonse indicielle et imlsionnelle), résenté dans ce chaitre. Cet algorithme est le ls indiqé or illstrer le rincie d ne commande rédictive. Le DMC est l algorithme qi connaît ne large tilisation, dans le domaine indstriel, srtot or les systèmes linéaires et or les systèmes non linéaires lorsq ne linéarisation ator d n oint de fonctionnement est ossible. Ydstie (984) roose l Extended Horizon Adative Control (EHAC) qi est ne commande adatative à horizon étend. L'idée fondamentale consiste à calcler à chaqe instant, la séqence des signax de commande or essayer de maintenir la sortie ftre la ls roche ossible de la consigne or n horizon de tems ls grand qe le retard résent sr le système. Clare (987) déveloe le Generalized Predictive Control (GPC) qi détrône le DMC et qi devient la méthode la ls olaire. Comarativement a DMC, cet algorithme tilise ne adatation en ligne d modèle tilisé (modèle) or réaliser les rédictions. Le GPC est très roche de l ESPAC et de l EHAC. On et trover ne synthèse sr ces méthodes et de lers caractéristiqes les ls imortantes dans De Keyser et al. (988) et dans Clare et Mohtadi (989). Le sccès de ces différents algorithmes, en articlier le DMC et le GPC, a sscité gradellement n grand intérêt or la commande rédictive, as selement a milie académiqe mais assi a milie indstriel, deis les années 80. Cet engoement a déboché sr d'atres méthodologies, artageant le même rincie, qi sont aares dans la littératre sécialisée de la commande dont certaines sont actellement commercialisées ar certaines firmes (voir le Tablea.). 3

29 Algorithme DMC (Dynamic Matrix Control) Asen Target ADMC (Adative DMC) IDCOM (Identification and Command) HIECO (Hierarchical Constraint Control) PFC (Predictive Fnctional Control) RMPCT (Robst Mltivariable Predictive Control) SMCA (Setoint Mltivariable Control Architectre) IDCOM-M (Identification and Command Mltivariable) APCS (Adative Predictive Control System) SMOC (Shell Mltivariable Otimising Controller) Connoisser (Control and Identification acage) MVC (Mltivariate Control) OVA-LC (OVA onlinear Controller) Process Perfecter Firme ASPE Tech CTC Adersa Honeywell Steoint Inc. SCAP Eroa Shell Invensys Continental Controls Inc. DOT Prodcts Pavilion Technologies Tablea. Version commercialisés des correcters rédictifs. Les années 90, ont marqé ne vraie exlosion dans le nombre des alications de la commande rédictive rincialement en Etats-Unis, en Jaon et en Eroe. Par exemle, or l indstrie des rocesss chimiqes et le domaine de la robotiqe, lsiers algorithmes ont été aliqés avec sccès (De Keyser, 988). Ces alications ont été accomagné d ne forte activité de recherche (Camacho et Bordons, 998). Comme la lart des algorithmes tilisent des modèles entrée-sortie, la commande rédictive a été formlée dans le contexte de la rerésentation en variables d'état (Morari, 994). L obectif visé est de faire sage des théorèmes et résltats existant dans la théorie d'esace d'état, mais assi facilite l'extension de la théorie MPC à des cas ls comlexes. Étant donné qe la détermination de la séqence de commande demande ls d efforts de calcl et exige des algorithmes de rogrammation non linéaire (algorithme d otimisation) raides et convergeant, alors les travax de recherche se sont focalisés, dans les années 000, sr le déveloement et l étde des algorithmes ermettant d'obtenir ne soltion, le ls sovent locale, or le roblème d'otimisation à résodre à chaqe ériode d échantillonnage (Ramirez et Camacho, 00 ; Bemorad et al. 00 ; Cannon, 004, Magni et al., 009). Ainsi, résenter n état de l art concernant cette ériode, revient à esqisser les 4

30 différents algorithmes et stratégies d otimisation déveloées or accélérer la convergence des algorithmes d otimisation et l obtention de la soltion globale, en articlier or le cas de la commande rédictive non linéaire. Le travail résenté dans ce mémoire s inscrit dans cette otiqe dont l obectif consiste à aliqer certains algorithmes de l otimisation globale rétés robstes dans ne stratégie de commande rédictive non linéaire. Ainsi, ne synthèse sr les différents algorithmes d otimisation et aroches tilisées dans ne stratégie de commande rédictive fera l obet d chaitre 4 dédié à la commande rédictive non linéaire..7 Conclsion Ce chaitre a été consacré à des généralités sr la commande rédictive et l état de l art concernant cette aroche de commande. Ainsi, arès avoir résenté le rincie de la commande rédictive, nos avons détaillé les différents éléments d ne commande rédictive, et les aramètres de réglage d ne commande rédictive, en l occrrence l instant de débt de rédiction, l horizon de commande, l horizon de rédiction, et l horizon d système. Por illstrer le rincie de la commande rédictive, l algorithme Dynamic Matrix Control (DMC) est résenté d ne manière détaillée, et aliqée à n système de second ordre avec retard. Des résltats de simlation ont été résentés or démontrer les erformances d DMC et or illstrer l inflence de dex aramètres de réglage imortants, en l occrrence les horizons de commande et de rédiction. Les conclsions tirées coïncident avec celles raortées dans la littératre. La fin d chaitre constite ne synthèse sr les différents travax réalisés dans le cadre de la commande rédictive des systèmes. Cette synthèse retrace les contribtions imortantes qi ont marqé le déveloement de la commande rédictive. Dans ne commande rédictive, l obtention de la soltion otimale asse ar la résoltion d n roblème d otimisation sovent non linéaire, ar conséqent cette étae d otimisation oe n rôle d remier lan dans ne stratégie de commande rédictive. En effet, le sccès d ne stratégie de commande rédictive est lié directement à l algorithme d otimisation tilisé. Ainsi, l examen de la littératre dédiée à la commande rédictive, en articlier la commande rédictive non linéaire montre qe les efforts de recherche sont focalisés, ces dernières années, a déveloement d algorithmes d otimisation raides qi convergent vers l otimm globale en n tems inférier à ne ériode d échantillonnage, qi constitent actellement n vrai challenge or les mathématiciens aliqés et en articlier ax atomaticiens. 5

31 Dans ce travail, des algorithmes d otimisation globale seront adotés dans la stratégie de commande rédictive non linéaire. Ainsi, le chaitre sivant est consacré à l otimisation globale différentiable et non différentiable des fonctions mathématiqes où les différentes notions tilisées le long d travail seront exosées. 6

32 Chaitre Otimisation Globale dans R. Introdction Dans ne stratégie de commande rédictive, n roblème d otimisation doit être résol à chaqe instant d échantillonnage or déterminer la commande à aliqer a système. L étae de résoltion d roblème d otimisation est rimordiale dans ne commande rédictive, car les erformances attendes déendent de la soltion d roblème d otimisation, elles sont meilleres si l otimm global d critère est atteint. A cette contrainte s aote celle relative a tems de résoltion qi doit être inférier à ne ériode d échantillonnage. La natre d roblème d otimisation à résodre déend de la natre d critère, d système, et des contraintes. Hormis le cas où le système et les contraintes sont linéaires et le critère est qadratiqe or leqel la soltion analytiqe est disonible (cas d Dynamic Matric Control résenté a chaitre ), les atres cas sont sovent des roblèmes d otimisation non linéaires or lesqels la localisation de l otimm global est très difficile. Résodre n roblème d otimisation revient à localiser l otimm global d critère en résence o en absence de contraintes. Le domaine de l otimisation constite n domaine de 7

33 recherche immense. Ces dernières années, avec l évoltion de l informatiqe, ne attention articlière a été accordée à l otimisation globale dont l obectif est de déveloer des algorithmes sohistiqés et raides ermettant de localiser l otimm global d ne fonction mathématiqe et d échaer ainsi a roblème rencontré avec les méthodes de l otimisation locale qi sont sovent iégées dans n minimm local. Ce chaitre est consacré à des généralités sr l otimisation globale dans l ensemble des nombres réels. L obectif consiste à résenter les différentes notions tilisées, le long de ce mémoire, relatives ax mathématiqes réertoriées sos le vocale otimisation globale. Ainsi, arès la formlation mathématiqe d roblème d otimisation, on donne ne classification des roblèmes d otimisation. Pis à l aide d n exemle, on illstre la nécessité et le besoin de déveloer des méthodes d otimisation globale, sivi de la classification des méthodes d otimisation globale déveloées dans la littératre. La fin d chaitre est réservée à la relation étroite entre l otimisation globale et la commande rédictive non linéaire.. Formlation mathématiqe d n roblème d otimisation Considérons ne fonction scalaire de lsiers variables x,, x, K xn, aelées variables de décision, notée f ( x), et aelée fonction obectif o critère. Le vecter de variables de n x = x, x,,, doit aartenir à n domaine donné D R. Ce dernier est x n décision, noté ( ) T K défini ar des relations de contraintes d tye égalité et/o inégalité ( x) 0, i =, K g i =, (.) ( x) 0, =, K q h, (.) L obectif de l otimisation globale est de rechercher armi les x D, n x articlier qi est aelé minimm absol o global (n est as obligatoirement niqe), noté f ( x ) f ( x), x D x, tel qe : os résentons n roblème d otimisation mathématiqement sos la forme sivante : o encore Set à : g h i ( x) min f x ( x) = 0, i =, K, ( x) 0, =, K, q (.3) (.4) 8

34 Set à : g h i arg min f ( x) x ( x) = 0, i =, K, ( x) 0, =, K, q (.5) L argment argmin identifie la valer des variables de décision qi atteignent le minimm, c est-à-dire ( x) x = arg min f (.6) x Alors qe l oérater min identifie la valer corresondante de la fonction obectif o critère, c est-à-dire Remarqe. f ( x ) min f ( x) = (.7) otons qe, moyennant le changement de fonctions f ( x) en f ( x) x, on et asser d ne formlation minimiser à ne formlation maximiser et vice versa : minimiser f ( x) revient à maximiser f ( x), c est-à-dire : ( x) = max[ f ( x) ] min f (.8) x Dans l étde résentée dans ce mémoire, on considère les différents résltats et théories relatifs à la formlation «minimiser». x.3 Classification des roblèmes d otimisation dans R Sivant la natre de la fonction obectif o d critère et des contraintes qi définissent le domaine des soltions admissibles D, le roblème d otimisation corresondant orte des noms divers. On distinge ls articlièrement les cas rassemblés dans le Tablea.. Fonction obectif Contraintes Linéaire Qadratiqe (convexe) on linéaire Linéaire Programmation linéaire Programmation on linéaire Programmation on linéaire Qadratiqe (convexe) Programmation Qadratiqe Programmation Convexe Programmation on linéaire Tablea. Classification des roblèmes d otimisation on linéaire Programmation on linéaire Programmation on linéaire Programmation on linéaire 9

35 - Programmation linéaire Il s agit d ne classe de roblèmes d otimisation où la fonction obectif o le critère est linéaire f T ( x) C x = (.9) (C est n vecter des cœfficients) et où l ensemble des contraintes est n olyèdre convexe fermé (rerésenté sos la forme matrice et n vecter constants). Ax b ar exemle, avec A et b sont resectivement ne - Programmation qadratiqe Il s agit d n roblème d otimisation où la fonction obectif est qadratiqe convexe, c est-à-dire f T T ( x) x Ax C x = (.0) avec A est ne matrice symétriqe semi-définie ositive et l ensemble de contrainte est toors n olyèdre convexe fermé comme dans le cas de la rogrammation linéaire. - Programmation convexe Ici la fonction obectif est convexe, et l ensemble admissible D est convexe. Le cas de la rogrammation qadratiqe est n cas articlier de la rogrammation convexe. Un domaine D est convexe si : ( x, x ) D et 0 x = α x ( α ) x D α (.) Une fonction f ( x) est convexe dans n domaine convexe D si : ( x, x ) D et 0 α f ( α x ( α ) x ) α f ( x ) ( α ) f ( x ) (.) - Programmation non linéaire Totes les données d roblème d otimisation sont des fonctions différentiables (continûment différentiables), c est-à-dire la fonction obectif est différentiable et les contraintes sont sosées différentiables..4 Conditions or n minimm Dans la site d travail résenté dans ce mémoire, on considère selement n cas articlier de contraintes d tye inégalités, il s agit des contraintes «de boîtes» données comme sit : 30

36 x min i x x (.3) i max i où min xi et max xi sont des comosantes de dex vecters min max x et x, Ces dex vecters définissent n domaine admissible D hyerrectanglaire. de dimension n, données. Dex hyothèses classiqement rencontrées or le minimm. La remière hyothèse concerne l hyerrectanglaire D R sosé convexe et comact. La dexième est relative à la fonction obectif o critère, à minimiser, sosée contine et ossède des dérivées artielles remières et secondes, c est-à-dire qi sont contines or tot x. f ( x) x i et f x ( x) i, i =, K, n Sos ces dex hyothèses, les conditions nécessaires et sffisantes or qe minimm local o global de f ( x) sont : - Condition de stationnarité (relative a gradient de la fonction obectif) ( ) 0 (.4) x soit n x x f = (.5) - Condition or n minimm (relative a Hessien de la fonction obectif) x f ; i, =, K, n > 0 (.6) x x i x= x f ( ) ( x) x = La condition (.6) signifie qe le Hessien est ne matrice définie ositive. Les dex conditions (.5) et (.6) reviennent à soser qe la fonction obectif f ( x) est strictement convexe dans n voisinage de x. otons qe dans le cas d ne fonction convexe, vérifiant la condition (.6), la stationnarité à elle sele constite ne condition nécessaire et sffisante d otimalité globale. Horst et Pardalos (995, chaitre ) rassemble des résltats théoriqes récents relatifs à des roblèmes d otimisation globale dotés d ne strctre articlière..5 Méthodes de résoltion des roblèmes d otimisation L obtention de la soltion d roblème d otimisation, revient à résodre le système d éqations algébriqes (.5), ar conséqent la difficlté est liée directement à la natre de la fonction obectif f ( x). Ainsi, la soltion et être obtene analytiqement dans le cas où la résoltion d système d éqations (.5) est facile, dans le cas contraire, on rocède ar des méthodes nmériqes. Pratiqement, les fonctions obectifs à minimiser sont fortement non linéaire, ar conséqent résodre analytiqement le système algébriqe (.5) est qasiment 3

37 imossible d où la nécessité d tiliser les méthodes nmériqes. Ce besoin a donné naissance à n domaine de recherche, faisant artie des mathématiqes aliqées, aelé otimisation nmériqe dont les efforts sont centralisés sr le déveloement des algorithmes nmériqes qi ermettent de localiser l otimm d ne fonction en n nombre d itérations faible. La rogrammation linéaire (voir la section.3) constite n des rares cas articliers or leqel n algorithme itératif, aelé algorithme de simlexe, a été déveloé. Cet algorithme converge en n nombre d itérations fini, et n imliqent qe des calcls assez élémentaires. Dans le cas d ne rogrammation qadratiqe convexe (voir la section.3), les algorithmes déveloés sont efficaces et convergent, en général, en ne sele itération (ar exemle la méthode de ewton). Dans le cas de la rogrammation qadratiqe (voir la section.3), la soltion analytiqe est toors disonible et facile à déterminer (cet avantage a été exloité dans le cas de la commande rédictive or déveloer l algorithme Dynamic Matrix Control résentée a chaitre, section.4). Comme nos l avons déà signalé, ne soltion exlicite ne et as être en général obtene à artir des conditions théoriqes (.5). On va donc tiliser des méthodes itératives, dont le rincie général consiste à calcler à artir d ne valer initiale ( 0 x ), la site des valers ( ) ( ) (, x, K, x ), K Si l on choisit les oints sccessifs de façon qe : x (.7) ( 0 ) ( ) ( ) f ( x ) > f ( x ) > K > f ( x ) comme cette site nmériqe est bornée inférierement ar ( x ) (.8) f elle convergera. Si le minimm global x est niqe et s il n y a as d atre minimm local, la méthode converge alors vers le oint x cherché. Dans le cas contraire sel l n des minimms locax est atteint. Ce dernier cas stifie assi, le besoin à déveloer des algorithmes d otimisation globale. Pisq n algorithme nmériqe ne et as fornir miex q ne réonse arochée, dans le cas de contraintes boîtes, n élément x d n des ensembles sivants sera considéré comme soltion d roblème (Berthia et Siarry, 00), n nombre ositif qelconqe : ( ε ) = { x D ; x x ε } = { x D ; f x f x } x est n minimm global et ε est A x (.9) ( ) ( ) ( ) A f ε ε (.0) 3

38 .6 Classification des méthodes d otimisation Por l otimisation contine, on séare sommairement le cas linéaire (qi relève notamment de la rogrammation linéaire or leqel la soltion est facile à obtenir) d cas non linéaire. Por certains roblèmes qi vérifient la roriété de convexité, la soltion et être obtene en tilisant ne méthode locale qi exloite, o non, les gradients de la fonction obectif. éanmoins, la lart des roblèmes d otimisation sont classés difficiles, car le nombre de minima locax est très élevé, alors le recors à ne méthode globale s imose. Por le traitement des contraintes, on a recors à la méthode des mltilicaters de Lagrange dans le cas des contraintes d tye égalités, et la méthode de Khn-Tcer o la méthode de fonctions d écarts dans le cas de contraintes inégalités. otons qe la méthode de fonctions de énalisation constite ne aroche élégante or traiter les dex cas. Cette méthode ermet de ramener n roblème d otimisation osé avec contraintes à n roblème sans contraintes, is d aliqer les méthodes d otimisation nmériqes. En tilisant la méthode de fonction de énalisation, or le roblème d otimisation (.4), osé avec contraintes égalités et inégalités, on obtient : min L x [ ] ( x) = f ( x) [ g ( x) ] β h ( x) i= i i q = α (.) où les αi et β rerésentent les aramètres de énalisation, ositifs, associés resectivement ax contraintes g i ( x) et ( x) h. Les valers de ces aramètres sont en général considérés constantes drant la résoltion d roblème d otimisation, c est-à-dire : α = α, i =, K, et β = β, =, K q (.) i, Dans la relation (.), la fonction h ( x) est définie comme sit : ( x) si h ( x) h > 0 h ( x) = (.3) 0 si h ( x) 0 Dans la littératre, on distinge trois classes or les méthodes d otimisation nmériqes : les méthodes exactes (aelées encore classiqes o déterministes), les méthodes heristiqes (aelées encore méthodes stochastiqes), et les méthodes hybrides (cooération entre ne méthode exacte et ne méthode heristiqe). - Méthodes exactes Ces méthodes reqièrent des roriétés mathématiqes restrictives de la fonction obectif à otimiser telle qe la continité, la différentiabilité, et la convexité. Ces méthodes ermettent 33

39 de localiser la soltion avec ne très grande récision a rix, généralement, d n nombre d itérations imortant, c est-à-dire nécessite n tems de calcl énorme arfois. Comme exemles de méthodes, on et citer les méthodes d gradient et de ewton, et lers variantes. éanmoins, en ratiqe, il est très difficile de savoir si la fonction obectif satisfait o non de telles roriétés mathématiqes. De ls, la lart des fonctions sont mltimodales (lsiers maximms et minimms), discontines et non dérivables. Le rincie de ces méthodes et être exlicité ar l algorithme sivant : Etae. Initialisation = 0, ( 0) x et calcl de Etae. Por =, on calcle la variation de x ( ) ( 0) ( x ) f. ( ) x donnée ar le vecter sivant : ( ) x ( ) x = M ( ) xn en tilisant ne rocédre aroriée selon la méthode tilisée (ar exemle la méthode d gradient, méthode d gradient congé o la méthode de ewton). Etae 3. Calcl x Etae 4. Calcl de ( ) ( ) ( ) = x ( ) ( x ) x f et son gradient noté. x f ( ) ( x ), et vérification de la convergence en tilisant n critère arorié (ar exemle la norme d gradient de la fonction à otimiser doit être inférier à ne valer ε, c est-à-dire ( ( f x ) asse à l étae 5, sinon on revient à l étae. Etae 5. La soltion est ( ) x = x. x ( ) < ε ). Si la convergence est assrée on Par exemle dans le cas de la méthode de ewton, la variation de donnée comme sit : - [ ( ( )] ( f ( x ( ) ) ( ) ( x = f x ) x x. ( ) x, notée ( ) x, est - Méthodes heristiqes Ces dernières années, on marqe l arrivée d ne novelle classe de méthodes, nommées méthodes heristiqes o stochastiqes qi constitent ne alternative très intéressante ax méthodes exactes. Les méthodes heristiqes sont n ensemble d algorithmes d otimisation 34

40 visant à résodre des roblèmes d otimisation difficile. Ces méthodes vont chercher n otimm de façon aléatoire (a hasard). En général, elles rocèdent ar voisinages sccessifs. De façon ls récise : ne soltion étant obtene à l itération, à l itération on cherche a hasard ne soltion meillere dans n voisinage récédent. Les itérations sccessives doivent ermettre de asser d ne soltion de mavaise qalité à la soltion otimale. L algorithme s arrête arès avoir atteint n critère d arrêt, consistant généralement en l atteinte d tems d exéction imarti o en ne récision demandée. Parmi les heristiqes, on retrove les heristiqes de voisinage, qi font rogresser ne sele soltion à la fois (ar exemle la méthode de recit simlé, la recherche tabo), et les heristiqes distribées, qi manilent en arallèle tote ne olation de soltions (ar exemles les algorithmes génétiqes, les essaims de articles). L inconvénient maer de ces méthodes est q on ne et garantir ler convergence vers la soltion globale qe d ne ~ x A x (voisinage de manière asymtotiqe, c est-à-dire elles ermettant de localiser n ( ) l otimm global). Bien qe ces méthodes issent être adatées à tot tye de roblème d otimisation, mais elles sont sovent moins issantes qe les méthodes exactes sr certains tyes de roblèmes. Elles ne garantissent as non ls la décoverte de l otimm global en n tems fini. Ceendant, n grand nombre de roblèmes réels n est as otimisable efficacement ar des aroches rement mathématiqes, les heristiqes event alors être tilisées avec rofit ar exemle dans le cas où l exression analytiqe de la fonction obectif à otimiser est absente o cette dernière est non différentiable. ε - Méthodes hybrides Les méthodes hybrides rofitent des avantages des méthodes exactes et heristiqes. Le rincie de ces méthodes consiste à cooérer ne méthode heristiqe et ne méthode exacte or localiser l otimm global recherché avec ne récision déterminée. En général, la recherche de l otimm global commence ar l tilisation d ne heristiqe qi localise n x ~ aartenant a voisinage de l otimm globale, c est-à-dire A ε ( x), is on asse le relais à ne méthode d otimisation exacte qi ermet de localiser l otimm globale xˆ avec ne bonne récision..7 Intérêt des méthodes globales Por rerésenter avec récision les hénomènes et les granders hysiqes, on tilise sovent des modèles o des fonctions de natre non linéaire. Ces modèles non linéaires 35

41 constitent des clés ertinentes or réssir tote étde scientifiqe qantitative, en articlier les roblèmes ratiqes formlés sos forme de roblèmes d otimisation. éanmoins, la difficlté vient de la manilation des non linéarités. En otimisation, la résence des non linéarités demande ls d efforts de calcl, et ne difficlté or localiser l otimm global armi les extremms ossibles or la fonction obectif. Le roblème d otimisation devient ls comlexe avec la résence de contraintes et selon le degré de lers non linéarités. Assi, le nombre d extremms devient imortant avec l agmentation des variables de décision. Por illstrer cette difficlté, considérons le roblème d otimisation, à ne sele variable de décision, sivant : ( x) sin( x x) min cos x (.4) Set à : 0 x 0 L évoltion de la fonction obectif or ce roblème est donnée ar la Figre.. On constate qe la fonction admet lsiers minimms. L obectif de l otimisation est de localiser le minim global en n nombre fini d itérations et avec ne très grande récision. La comlexité d roblème d otimisation agmente exonentiellement avec l agmention d nombre de variables de décision o des contraintes. Por illstrer ce oint, considérons le roblème d otimisation obten simlement en considérant ne fonction obectif définie comme la somme de dex fonctions mathématiqes de même forme qe celle d roblème d otimisation (.4), c est-à-dire : min cos x Set à : 0 x ( x ) sin( x x ) cos( x ) sin( x x ) 0 x 0 (.5) 0 La Figre., montre qe le nombre des minimms a agmenté avec l agmentation de variables de décision. 36

42 Figre. Evoltion de la fonction obectif d roblème d otimisation (.4). Figre. Evoltion de la fonction obectif d roblème d otimisation (.5). La qestion qi se ose y a-t-il des tests ermettant de filtrer des minimms globax armi les minima locax? Mis à art le cas où la fonction obectif est convexe dans leqel il n y a as lie de faire de distingo, les conditions nécessaires et/o sffisantes de minimisation globale ne sont accessibles qe or certaines classes de roblèmes d otimisation sécialement strctrés. éanmoins, reconnaître n minimm global de la fonction obectif armi les oints critiqes (les oints qi vérifient le système d éqations algébriqes (.5)) de la fonction obectif est ossible grâce à la notion de l enveloe convexe de la fonction obectif. L enveloe convexe notée, conv f ( x) est définie comme la ls grande fonction convexe minorant ( x) n f sr D R. Ainsi, ce qi manqe or n oint critiqe ~ x or être n minimm global de f ( x) est exactement la roriété sivante (Hiriart-Urrty, 996) : 37

43 conv f ~ = ~ (.6) ( x ) f ( x ) Evidemment, cette roriété n est as facile à tester isq il est difficile habitellement de déterminer conv f ( x) exactement srtot or ne fonction à lsiers variables o non différentiables. De ls, l obtention de cette enveloe demande ls d efforts. La Figre.3 illstre la notion de l enveloe convexe. Ces difficltés rencontrées or localiser le minimm global a incité les mathématiciens, en articlier les mathématiciens aliqés, à déveloer des méthodes nmériqes ermettant de localiser directement le minimm globale d ne fonction non linéaire à lsiers variables. Ce qi a donné naissance à n domaine de recherche très actif aelé «otimisation globale». Fonction obectif f ( x) Enveloe convexe conv f ( x) Figre.3 Fonction obectif et son enveloe convexe..8 Méthodes d otimisation globales et commande rédictive Dans n roblème de commande rédictive n roblème d otimisation doit être résol à chaqe instant d échantillonnage. La natre d roblème d otimisation déend de la natre d système, d critère (fonction obectif) et les contraintes considérées. Généralement, le critère considéré rend ne forme qadratiqe inclant des obectifs de orsite et d énergie minimale. Bien qe le critère de erformances est qadratiqe, ce qi rerésente ne forme de fonction obectif intéressante or localiser la soltion globale, néanmoins la non linéarité d roblème d otimisation vient de la natre d modèle tilisée or la rédiction. Dans le cas d n modèle linéaire, ne soltion analytiqe d roblème d otimisation et être obten, c est le cas de l algorithme Dynamic Matrix Control, résenté dans la section.4 d chaitre 38

44 , ar conséqent v la caacité des calclaters nmériqes disonibles, l imlémentation ne ose as de roblème isqe la soltion et être calclée raidement. Par contre, si le modèle est non linéaire, les rédictions le seront assi, ar conséqent le critère rend ne forme non linéaire dont la comlexité déend directement des non linéarités d système. Ainsi, le roblème d otimisation est non linéaire, donc l obtention de la soltion à chaqe instant d échantillonnage est ne tâche très délicate, et nécessite des méthodes nmériqes qi convergent en n nombre fini d itérations et raidement vers la soltion otimale. Comme la qasi-totalité des systèmes sont de natre non linéaire, or lesqels l hyothèse de linéarité ne résente acn intérêt, alors l tilisation d n modèle non linéaire or rédire les sorties d système à commander est inévitable. De ls, tiliser n modèle non linéaire va dans le sens d accroître la récision de la rédiction ce qi ermet d améliorer davantage les erformances d système en bocle fermée. éanmoins, la rédiction non linéaire comlexifie l alication de la commande rédictive à des systèmes non linéaires isqe le roblème d otimisation à résodre est de natre fortement non linéaire dont la difficlté de localiser l otimm globale, en n nombre fini d itérations o en n tems inférier à la ériode d échantillonnage, se résente avec acité. L alication d ne soltion locale dans ne stratégie de commande rédictive n est as dramatiqe, mais en aliqant ne soltion globale les erformances seront meilleres, isqe minimiser miex le critère imliqe ne bonne orsite de consigne, n bon reet de ertrbation, et n minimm d énergie (obectifs sovent visés ar l tilisation d n critère qadratiqe). Par conséqent, l tilisation des méthodes d otimisation globale dans ne commande rédictive non linéaire constite ne soltion intéressante qi ermettra d élargir son cham d alication. Dans ce chaitre, nos avons récisé niqement la liaison directe entre l otimisation et la commande rédictive non linéaire, et l intérêt de l tilisation des méthodes d otimisation globales. Dans le chaitre 4, on résentera ne synthèse sr les différentes aroches d otimisation globale non linéaire roosées et tilisées dans le cadre d ne commande rédictive..9 Conclsion Ce chaitre a été consacré à des généralités sr l otimisation de fonctions mathématiqes, en articlier l otimisation globale. L obectif consiste à résenter les éléments essentiels tilisés le long de ce mémoire, et de montrer l intérêt des méthodes de l otimisation globale, en articlier dans ne stratégie de commande rédictive non linéaire. Qoiqe lsiers méthodes d otimisation globale ont été déveloées dans la littératre, mais en ratiqe il est 39

45 très difficile, voire imossible, de réconiser ne telle méthode o ne atre or n roblème d otimisation donné. En otre, l examen de la littératre, montre qe la théorie n est as d n grand secors, isqe les théorèmes de convergence sont sovent inexistants, o alicables sos des hyothèses restrictives. De ls, le réglage otimal des aramètres de la méthode réconisé ar la théorie est sovent inalicable en ratiqe srtot dans le cas des heristiqes. Assi, les comaraisons entre les différentes méthodes disonibles abordées dans la littératre se limitent à des roblèmes de tests idéalisés. Ainsi, le choix d ne méthode d otimisation globale fait ael sovent à l exérience. En consltant la littératre dédiée à l otimisation globale, dex méthodes d otimisation globale très intéressantes ont attiré notre attention, elles s agissent de la méthode d Alienor qi fait artie des méthodes exactes, et la méthode des essaims de articles qi est ne méthode heristiqe. Ces méthodes sont caractérisées ar des algorithmes simles à comrendre et à rogrammer, et nécessitent e de aramètres de réglages dont lers choix est sovent dictées ar des théories mathématiqes ossées, en articlier or la méthode d Alienor. Ces méthodes constitent des variantes intéressantes or réssir ne commande rédictive non linéaire. Les rincies de ces dex méthodes seront exosés dans le chaitre sivant, et or évaler ler caacité à localiser l otimm globale, ces méthodes seront aliqées or l identification des aramètres d n système non linéaire. 40

46 Chaitre 3 Méthodes d otimisation globale : Alienor et Essaim de Particles 3. Introdction Dans le chaitre récédent, on a montré l intérêt des méthodes d otimisation globale, en articlier dans ne stratégie de commande rédictive non linéaire. Le monde indstriel affronte ne cométition mondiale exacerbée : gagner ar exemle ne serait-ce q n or cent sr l énergie consommée ar n rocédé rerésente n gain de cométitivité très imortant. Por ce faire, les efforts se sont focalisés sr le déveloement de méthodes et d algorithmes d otimisation soles et raides qi ermettant de localiser avec sccès l otimm global tot en resectant les contraintes imosées ar le roblème. atrellement, l aroche nmériqe a été favorisée dû à l agmentation considérable de la issance des 4

47 ordinaters qi a largement contribé à réondre à l imératif de tems de calcl, et la comlexité des roblèmes d otimisation (fortement non linéaires). La littératre sr l otimisation décrit or l essentiel des méthodes locales qi ermettent l obtention de minima locax qi event être certes intéressantes dans ne étde réalable d hénomène mais q il fadra de tote façon améliorer or otimiser a miex le roblème formlé o modélisé. Qant ax méthodes globales existantes elles sont la lart d tems des améliorations des méthodes locales qe l on tente de débloqer d n minimm local or aller vers n meiller minimm, esérant q in fine on obtiendra n minimm global. Parmi ces méthodes, on retrove la méthode d Alienor déveloée ar l éqie de recherche d Yves Cherralt dans les années 80, dont le rincie est simle et l efficacité n est ls à démontrer. Ces dernières années, les méthodes heristiqes ont assi démontré ler efficience dans la localisation d n otimm globale, et commence à s imoser comme des méthodes alternatives intéressantes ax méthodes exactes qi exigent ne certaine réglarité des fonctions à minimiser (continité et différentiabilité) qi ne sont as nécessairement vérifiée. Parmi ces méthodes, on retrove la méthode d essaim de articles qi bénéficie d ne large tilisation or la résoltion des roblèmes d otimisation rétés difficiles. Cet méthode résente lsiers avantages ar raort ax atres heristiqes (Hammoche et al., 00). Dans ce chaitre, on résentera les rincies des méthodes d otimisation globale d Alienor et d essaim de articles. Por illstrer ler efficacité, les méthodes seront tilisées or l identification des aramètres d n système non linéaire. 3. Méthode d Alienor La méthode Alienor, roosée ar Cherralt (005), reose sr ne site de transformations rédctrices qi ermet de ramener tote fonction de lsiers variables à ne fonction d ne sele variable. On et alors tiliser, or résodre le roblème mltivariable, les méthodes issantes habitellement mises en œvre or le cas nidimensionnel. Soient dex variables réelles, x, x. os allons d abord asser en coordonnées olaires ( α ), x = r sin( α ), 0 x = r cos α (3.) Ce faisant nos obtenons dex novelles variables r et α qe nos allons relier grâce à la sirale d Archimède d éqation r = a α (3.) où a est n aramètre fixé, destiné à tendre vers 0. Ainsi, les relations (3.) deviennent 4

48 ( α ), x α sin( α ) x = a α cos = a (3.3) Par conséqent, elles ermettent d exrimer x et x à l aide d ne niqe variable α 0. La Figre 3. rerésente l exloration globale d lan (fonction obectif à dex variables) aramétrée ar le aramètre niqe α. Figre 3. Exloration globale d lan aramétrée ar α (sirale d Archimède). On et généraliser cette transformation à n variables. Il sffit de relier les variables dex à dex. Considérons, ar exemle, trois variables x, x, x3. os allons d abord relier x et x à l aide de α, on obtient : ( α ), x a α ( α ) x = a α = (3.4) cos sin Pis on relie les dex variables qi restent α et x 3 à l aide de α or obtenir : ( α ), x α sin( α ) α = a α cos 3 = a (3.5) Il est alors clair qe x, x, x3 s exriment à l aide de α. En effet, on a : x = a α cos x x 3 = a α cos = a α sin ( α ) cos( a α cos( α )) ( α ) sin( a α cos( α )) ( α ) On voit qe, d ne façon générale, on abotit à des relations ( α ), i =,, n ; 0 (3.6) xi = hi K α (3.7) avec des les fonctions hi faisant intervenir les fonctions trigonométriqes en sins et cosins. Par conséqent, ces fonctions sont infiniment différentiables. La méthode d Alienor et être exloitée or la résoltion des roblèmes d otimisation de la manière sivante : Soit à résodre le roblème d otimisation sivant : min f, x, K, x n ( x K, x ) n (3.8) 43

49 où f est ne fonction non linéaire contine. La transformation (3.7) ermet de remlacer la fonction f ( x,, ) fonction ( α ) f donnée comme sit : ( α ) f ( h ( α ), K h ( α )) qi est ne sele fonction d ne sele variable α. n K ar la novelle f =, (3.9) Le roblème d otimisation (3.8) est alors remlacé ar le roblème sivant : α 0 min f ( α ) x n (3.0) qi est n roblème de minimisation à ne sele variable qe l on et résodre simlement à condition de savoir définir l intervalle [, ] minima globax de f ( α ). 0 max α sr leqel on va rechercher le (o les) Le sccès de la méthode d Alienor de base résentée a ossé les cherchers à déveloer d atres transformations rédctrices or simlifier les calcls. Ainsi, ltôt qe de rédire dex à dex les variables ar la méthode d Alienor de base, des transformations rédctrices ont été roosées dont l idée de base consiste à exrimer totes les variables en fonction de la variable α en ne sele étae. Ceci imose de choisir correctement les fonctions h i de la transformation rédctrice (3.7). Par conséqent, les efforts se sont focalisés sr ce oint dont l obectif est de déveloer des transformations rédctrices simles qi demande moins de calcls, et srtot de bien aroximer le roblème d otimisation à n variables. Parmi les transformations rédctrices roosées dans la littératre, on retrove les transformations sivantes : - Transformation : ( ρ α ) x = β α cos (3.) i i où les aramètres ρ i forment ne site croissante et vérifient la condition sivante : - Transformation : avec m >. ρi ρ i < et β > 0 (3.) i ( m π α ) x = β cos (3.3) i 44

50 - Transformation 3 : ( ρ α ) x = β cos (3.4) i i Les aramètres ρ, K, ρ n sont choisis roches les ns des atres, tot en constitant ne site lentement croissante, ar exemle ρ i = ρi ε (3.5) avec ε > 0 et choisi très etit. Le aramètre ρ n est choisi comme sit : - Transformation 4 : xi ρ n n = π n (3.6) β ρ ( ω α ϕ ) = β cos (3.7) i i où les ω i > 0 forment ne site croissante. ϕi est ne site lentement croissante dont les termes sont roches l n des atres, ar exemle : avec ε > 0 et choisi très etit. ϕ i = ϕi ε (3.8) otons qe la dernière transformation rédctrice (3.7), ermet ne exloration globale d lan aramétré ar α en assrant ne très bonne récision ar raort ax atres. Assi, d atres variantes ont été roosées or lier r etα afin d améliorer la récision de l aroximation. Parmi ces relations, on et citer les sivantes (Bendiab et Cherralt, 995) : r = e r = e β α, β α bα, b > 0. Por illstrer la détermination de la fonction à ne sele variable f ( α ) (3.9), considérons le roblème d otimisation (.5). Por ce faire, on roose d tiliser la transformation 4 donnée ar la relation (3.7) et de modifier les contraintes d roblème d otimisation (.5), qi sont de tye boîtes, de manière à avoir 0 x, x 0. Ainsi, or resecter ces contraintes, il sffit de rendre β = 0, ω = 00, ω = 0, ϕ =, et ε = Ce qi donne la fonction sivante x = 0cos x = 0cos ( 00α ) ( 0α.0000) (3.0) 45

51 f ( ) sin( 0 cos 0α.0000 ) 0 cos( 0α.0000) ) ( α ) = cos( 0 cos( 00α ) ) sin ( 0 cos( 00α ) ) 0 cos( 00α ) cos ( 0cos( 0α.0000) ) ( ) En résolvant l éqation algébriqe sivante : ( α ) = 0 (3.) f (3.) α on détermine facilement le minimm global α et à artir de la transformation (3.0), on détermine la soltion otimale globale comme sit : x x = 0 cos 00 = 0 cos 0 ( α ) ( α.0000) (3.3) Arès avoir résenté la méthode d Alienor qi est ne méthode exacte, dans la section sivante, on résentera ne méthode d otimisation globale heristiqe, en l occrrence la méthode d essaim de articles. 3.3 Méthode d essaim de articles L otimisation ar essaim de articles o Particle Swarm Otimisation (PSO) en anglais fait artie des méthodes heristiqes, elle est basée sr la rerodction d n comortement social. Elle a été déveloée en 995 ar Eberhart et Kennedy (995) site ax travax de recherche sr la simlation de vols groés d oiseax et de bancs de oissons réalisés ar Reynold (987) et Hener et Grenander (990). Les résltats obtens ont démontré la caacité d n groe en movement à maintenir ne distance otimale entre ex et à sivre n movement global ar raort ax movements locax de ler voisinage. Un atre résltat imortant concerne l imortance d mimétisme dans la cométition qi oose les articles à la recherche de la norritre. Ces dernières sont disersées aléatoirement dans n esace de recherche, et lorsq ne article localise ne sorce de norritre, les atres articles vont alors chercher à le rerodire. Ce comortement social basé sr l analyse de l environnement et d voisinage rerésente réellement ne méthode d otimisation ar observation des tendances des articles voisines. Le rincie imose à chaqe article à chercher à otimiser ses chances en sivant ne tendance q elle modère ar ses rores vécs. 46

52 3.3. Princie de la méthode d essaim de articles Un essaim est disosé de façon aléatoire et homogène dans l esace de recherche et chaqe article ossède la caacité de se délacer avec ne vitesse aléatoire. Ainsi, à chaqe as de tems, chaqe article : évale la qalité de sa osition et garde en mémoire sa meillere erformance, c est-à-dire la meillere osition atteinte sq ici (elle et être la osition corante) et sa qalité (la valer de la fonction à otimiser en cette osition). interroge n certain nombre de articles or obtenir de chacne d'entre elles sa rore meillere erformance. choisit la meillere des meilleres erformances dont elle a connaissance, is adate sa vitesse en fonction de cette information et de ses rores données et se délace en conséqence. Une fois la article ayant ne meillere erformance est localisée, la modification de la vitesse est ne simle combinaison linéaire de trois tendances, à l aide des coefficients de confiance : la tendance aventrese, consistant à continer selon la vitesse actelle, la tendance conservatrice, ramenant ls o moins vers la meillere osition déà trovée, la tendance anrgienne, orientant aroximativement vers la meillere informatrice. L tilisation des termes ls o moins o aroximativement imliqe qe le hasard oe n rôle, grâce à ne modification aléatoire limitée des coefficients de confiance, ce qi favorise l exloration de l esace de recherche. Le rincie de la méthode d essaim de articles est résmé ar la Figre 3.. Por réaliser son rochain movement, chaqe article combine trois tendances : sivre sa vitesse rore, revenir vers sa meillere erformance, aller vers la meillere erformance de ses informatrices. 47

53 Vers ma meillere erformance Position actelle Vers la meillere erformance de ces informatrices 3.3. Algorithme de la méthode d essaim de articles Por illstrer la méthode d otimisation ar essaim de articles, on considère le roblème de minimisation d ne fonction à lsiers variables avec des contraintes boîtes : set à : x min f min x ( x) x x On note la taille de l essaim (nombre de articles) ar et sa vitesse, à l itération, resectivement ar x ( ) et v ( ) max (3.4) n et la osition d ne article. Por rédire le nombre d évalations de la fonction obectif, nécessaires or déterminer la soltion, on doit considérer ne etite taille or l essaim. Généralement, ne taille de 0 à 30 articles est sffisante. Les étaes de l algorithme de la méthode d essaim de articles sont :. choix de la taille de l essaim n,. génération de façon aléatoire ne olation initiale ( 0), x ( 0),, x ( 0). vecters x ( 0)(, K, n ) x K Les = corresondent ax articles. Par conséqent chaqe article est de dimension égale à n (dimension d vecter de variables de décision). 3. évalation de la fonction obectif or les différentes articles de la olation initiale en calclant x ( 0) ( ) n ( ), f ( x ( 0) ),, f x ( 0) f K. 4. Choix des vitesses initiales. Généralement, on considère or la olation initiale ( 0) 0, =, K n v, = et rendre =. Vitesse actelle ovelle osition Figre 3. Schéma de rincie d délacement d ne article. n 48

54 5. Détermination, or chaqe article, la meillere valer de ( ) x, notée P m,, or laqelle la fonction obectif est minimale or totes les itérations récédentes. Pis déterminer la meillere des meilleres notée P m comme sit : P m { P, =, K, n } = min m, (3.5) 6. Détermination de la novelle vitesse or chaqe article comme sit : v ( ) v ( ) c r P x ( ) [ ] c r [ P x ( ) ]; =, K, n, = (3.6) m, m Les aramètres c et c sont généralement égax à, et les aramètres r et r sont des nombres aléatoirement choisis entre 0 et. 7. Détermination de la novelle osition or chaqe article comme sit : ( ) x ( ) v ( ) ; =, K n x, = (3.7) et évalation de la fonction obectif or les novelles articles, c est-à-dire f ( x ( )), f x ( ) ( ) n ( ), K, f x ( ) 8. Vérifier la convergence de la soltion corante. La convergence de la soltion signifie qe totes les articles convergent vers le même ensemble de valers. Dans le cas contraire, on ose = et rerend à artir de l étae 5. Por rester dans n esace de recherche fini donné, alors on aote n mécanisme or éviter q ne article ne sorte de cet esace. Le ls fréqent est le confinement d intervalle. min max Par exemle or les contraintes boîtes, on a x x x. Par conséqent, si ne osition min max x, calclée selon les éqations de movement, sort de l intervalle [ x, ] on li attribe i i i i i x i en fait la valer d oint frontière le ls roche. Pratiqement, cela revient à remlacer l éqation de la osition (3.7) ar x ( ( v, x ) x ) ( ) min max x ( ) x = ( ) = (3.8) Por la vitesse, elle est modifiée soit en remlaçant la comosante qi ose roblème ar son oosé, sovent ondérée ar n coefficient inférier à, soit, tot simlement, en l annlant. otons assi qe des améliorations ont été roosées or améliorer la convergence de la méthode d essaim de articles et d adater la méthode or des roblèmes d otimisation avec contraintes et mlti-obectifs (Bans et al., 007 ; 008). Ainsi, lsiers formles ont été roosées or le calcl des novelles ositions des articles, c est-à-dire la relation (3.6). Chaqe méthode introdit n certains nombre de aramètres avec des réglages aroriées (Bans et al., 007). min, max 49

55 Parmi les formles sggérées or calcler les vitesses des articles, on e citer les sivantes (Bans et al., 007). : Formle. v ( ) = c v ( ) c r P x ( ) où c 0 est n aramètre à choisir. Formle. v [ ] c r [ P x ( ) ]; =, K, n, 0 m, m ( [ ] c r [ P x ( ) ]) ; =, K, n, ( ) = v ( ) c r P x ( ) c avec c = c c 4. > c 4 c m, m Por illstrer la méthode d essaim de articles, on considère le roblème d otimisation à ne sele variable de décision ( n = ) sivant : Set à : max f x ( x) x = x x Por rechercher la soltion, on rend n essaim de articles de taille n = 4. Por la olation initiale, on choisit : avec des vitesses initiales nlles Première itération : 3 4 x ( 0) =. 5, x ( 0) = 0. 0, x ( 0) = 0. 5, x ( 0) =. 5 v ( 0 ) = 0, =,, 3, 4. L évalation de la fonction obectif or les différentes ositions initiales donne : alors f f f f ( x ( 0) ) = f (.5) ( x ( 0) ) = f ( 0.0) = 3 ( x ( 0) ) = f ( 0.5) = 4 x ( 0) = f.5 = ( ) ( ) = P =.5, P 0. 0, P 0. 5, P. 5 et P =. 5. m, m, = m, 3 = m, 4 = m Les novelles vitesses des articles calclées ar la relation (3.6), avec c = c, r = et r = sont : v ( ) = (.5.5) (.5.5) =. 64 = 50

56 v v v 3 4 ( ) = ( ) (.5 0.0) =. 97 ( ) = ( ) (.5 0.5) = ( ) = (.5.5) (.5.5) = 0. 0 et la relation (3.7) donne les novelles ositions sivantes : x x x x ( ) =.5.64 = ( ) = =. 97 ( ) = =. 56 ( ) = =. 5 L évalation de la fonction obectif or les novelles ositions des articles donne f ( x ( ) ) = f ( x ( ) ) = f ( x ( ) ) = f ( x ( ) ) = On constate qe les articles convergent resqe vers la même valer, c est-à-dire vers le voisinage de la soltion d roblème qi est ( x ) = doit continer les itérations. f et x =. Dans le cas contraire, on Arès avoir résenté les rincies des méthodes d otimisation globale, en l occrrence la méthode d Alienor et méthode d essaim de articles, nos allons tiliser dans la section sivante ces dex méthodes or l identification d n système non linéaire en tilisant la méthode d modèle. 3.4 Alication à l identification d n système non linéaire La modélisation mathématiqe d n système dynamiqe est fréqemment tilisée or l étde de son comortement dynamiqe, vis-à-vis de différentes sollicitations, or l analyse des roriétés fondamentales (Söderström et Stoica, 989 ; Lng, 990 ; elles, 00 ; Raol et al., 004 ; Ognfnmi, 007) d système (stabilité, commandabilité et observabilité), or la concetion de la loi de commande (Gevers, 996 ; Sorosh, 998 ;Unbehaen et Rae, 998) et or la rédiction (commande rédictive) (Flas, 994). La modélisation consiste à décrire sos forme d éqations mathématiqes les relations liant les différentes variables caractéristiqes d système (entrées, sorties, états et ertrbations) (Söderström et Stoica, 989 ; Lng, 990 ; elles, 00 ; Raol et al., 004 ; Ognfnmi, 007). Le modèle et être 5

57 décrit sos forme d éqations différentielles ordinaires, de fonction de transfert (modèle de comortement) o de rerésentation d état (modèle de connaissance) (Flas, 994). Por l obtention d n modèle mathématiqe dex aroches sont ossibles (Söderström et Stoica, 989 ; Lng, 990). La remière aroche, aelée modélisation mathématiqe, consiste à écrire totes les lois hysiqes régissant le fonctionnement d système (relations mathématiqes entre les variables d système) en considérant n certain nombre d hyothèses simlificatrices accetables (Flas, 994). La dexième aroche, aelée modélisation exérimentale, consiste à déterminer n modèle de comortement (fonction de transfert) à artir des mesres entrées-sorties (Söderström et Stoica, 989 ; Lng, 990 ; elles, 00 ; Raol et al., 004 ; Ognfnmi, 007). Les aramètres d modèle sont alors déterminés ar des techniqes d identification. L identification est ne techniqe exérimentale qi s aie sr l tilisation des rocédres et des algorithmes manilant les mesres exérimentales (Gevers, 996 ; Dochain, 003 ; Faber et Wozny, 007 ; Lng, 008 ; Schwaab et al., 008) et qi a or bt d aster les aramètres d modèle de telle sorte à ce qe le comortement d modèle soit identiqe à celi d système. Les différentes méthodes d identification existantes event être scindées en trois classes (Flas, 994). La remière classe regroe les méthodes grahiqes (ar exemle la méthode de Stret), la seconde les méthodes non récrsives (comme la méthode des moindres carrés et la méthode d modèle) et la troisième les méthodes récrsives (ar exemle la méthode des moindres carrés récrsifs). La méthode d modèle reste l ne des méthodes d identification la ls efficace (Söderström et Stoica, 989 ; Lng, 990 ; elles, 00; Raol et al., 004 ; Ognfnmi, 007). Son rincie consiste à rooser, en se référant ax résltats exérimentax, ne strctre (fonction de transfert) or le modèle is de formler n roblème d otimisation dont la fonction obectif consiste à minimiser l écart entre les mesres exérimentales et celles rédites ar le modèle (Flas, 994). Les aramètres d modèle rerésentent les variables de décision dans ce cas (Söderström et Stoica, 989 ; Lng, 990 ; elles, 00; Raol et al., 004 ; Ognfnmi, 007). L algorithme des moindres carrés constite n exemle de la méthode d modèle, il est très tilisé dans le cas où le modèle est linéaire ar raort ax aramètres à identifier (Flas, 994 ; Gevers, 996). Dans le cas général, des méthodes exactes o heristiqes sont adotées or la résoltion d roblème d otimisation formlé (Unbehaen et Rae, 998 ; Lng, 004). Celles-ci sont généralement des méthodes exactes qi event échoer dans n minimm local (Ionen and K. aim, 00). Bien qe les méthodes heristiqes constitent ne alternative intéressante (Ursema et Vadstr, 004), 5

58 or ne meillere identification (localisation d voisinage d n minimm global), mais ler réglage est très délicat et le tems de convergence et être imortant or certaines alications. Les méthodes heristiqes tilisées sont, généralement, les algorithmes génétiqes (yaro et Scitovsi, 004 ; Patelli and Ferari, 009) et l essaim de Particles (Schwaab et al., 008 ; Sathivel et al. 00) Afin de srmonter ce roblème, nos roosons dans cette section d adoter les dex méthodes d otimisation globale résentées dans ce chaitre or l identification globale des aramètres d n système dynamiqe Méthode d modèle Le rincie de la méthode d modèle est donné ar la Figre 3.3 (Flas, 994). L idée consiste à minimiser l écart observé entre les mesres exérimentales y ( ) et celles rédites ar le modèle ŷ ( ) en tilisant n algorithme d otimisation qi adate les aramètres d modèle d ne manière à avoir l errer e( ) y( ) yˆ ( ) = roche de zéro or tote valer de qi désigne l instant d échantillonnage. Dans ce cas le modèle et le système hysiqe sont somis à ne même entrée ( ) sosée sffisamment excitante or totes les dynamiqes d système (ar exemle n signal SBPA) (Söderström et Stoica, 989 ; Lng, 990 ; elles, 00; Raol et al., 004 ; Ognfnmi, 007). Par conséqent, or l identification des aramètres, on considère la minimisation d ne fonction obectif (critère) qi déend exlicitement de l errer e ( ). Généralement, cette fonction obectif rend la forme sivante : = 0 ( e( ) ) = f ( y( ) yˆ ( ) ) J = f (3.9) = 0 où f est ne fonction non linéaire qi mesre l écart entre les dex sorties mesrée et rédite, i.e. y ( ) et ( ) avec ŷ. La sortie rédite ŷ ( ) d modèle, dans le cas discret, est donnée comme sit : x ( ) g( x( ),θ ) y ˆ = (3.30) ( ) = [ ( ),, ( r ), y( ), K, y( )] K (3.3) r y 53

59 où ( ) et y ( ) rerésentent resectivement la commande et la sortie d système. x ( ) rerésente le vecter de régression. r et r y rerésentent resectivement les retards tolérés or ( ) Système Modèle y ( ) ŷ ( ) e ( ) θ Otimisation min J θ ( θ ) l entrée et la sortie d système et θ rerésente le vecter des aramètres d modèle à identifier. Ce vecter est de dimension n. Ainsi, en remlaçant ŷ ( ) ar son exression (3.30) dans la fonction obectif (3.9), il vient : = 0 ( y( ) g( x( ), )) Comme les mesres y ( ) et les commandes ( ) J = f θ (3.3) sont disonibles, il est clair qe le critère J déend exlicitement d vecter des aramètres θ à identifier. Par conséqent, ( ) = f ( y( ) g( x( ), θ )) = 0 J θ (3.33) Le roblème d identification des aramètres, regroés dans le vecter désigné ar θ, se ramène à la résoltion d roblème d otimisation globale sivant : min J θ ( θ ) = min f ( y( ) g( x( ), θ )) θ = 0 (3.34) La comlexité d roblème d otimisation déend de la fonction f considérée. Généralement, cette fonction rend la forme qadratiqe telle qe : d où le critère à minimiser est Figre 3.3 Princie de la méthode d modèle. f ( e( ) ) e ( ) = ( y( ) y ˆ ( )) = (3.35) ( ) = ( y( ) g( x( ), θ )) = 0 J θ (3.36) Ce roblème d otimisation et être résol ar lsiers méthodes qi sont généralement itératives. Ceendant, ces méthodes nmériqes event tomber dans n minimm local et 54

60 deviennent très délicates lorsqe le nombre de variables est très élevé. A fin d y remédier à tos ces roblèmes, nos roosons de chercher le minimm d critère (3.36) ar les dex méthodes d otimisation globale résentées dans ce chaitre Modèle d système non linéaire à identifier Le modèle d système non linéaire à identifier est donné sos forme d ne éqation de récrrence (modèle entrée-sortie discret). Por générer les mesres, on rocède ar simlation. On roose de fixer d abord des valers or les aramètres d modèle, is de faire ne simlation sr n horizon de tems déterminé or récérer les valers de la sortie corresondante à ne entrée convenablement choisie (Söderström et Stoica, 989 ; Lng, 990 ; Flas, 994 ; elles, 00; Raol et al., 004 ; Ognfnmi, 007). Les valers obtenes or la sortie seront considérées comme les mesres exérimentales et seront tilisées or l identification. Le modèle d système non linéaire à identifier est donné comme sit : ( ) = a y( ) b y( ) ( ) c( ) y (3.37) Por obtenir les mesres exérimentales, les valers sivantes a = 0,9, b = 0, 7 et c = 0,5 ont été fixées or les aramètres d modèle. Ainsi, le vecter de aramètres à identifier est ( θ θ, ) T ( a, b, c) T θ = θ (3.38), 3 = Por l identification de système, treize mesres ont été considérées en renant y ( 0 ) = y( ) = 0 et ne entrée ( ) aléatoire. Por l identification, en tilisant la méthode d Alienor or la résoltion d roblème d otimisation (3.36), on tilise la transformation rédctrice (3.7) avec les aramètres sivants ω =00 0, ϕ =, et ε = Ainsi, en exlicitant les variables de décision θ i, regroé dans le vecter θ, en fonction de la sele variable de décision α, à l aide de la transformation rédctrice (3.7), le roblème d identification (3.36) se rédit a roblème d otimisation à ne sele variable de décision α sivant : min Jˆ ( θ ) = min ( y( ) g( x( ), h( α ))) α = 0 où h ( α ) est ne fonction vectorielle donnée comme sit : α (3.39) 55

61 ( α ) ( 00α.00000) θ = h cos h ( α ) = θ = h ( α ) = cos( 0α.00005) ( ) ( ) (3.40) θ = 3 h3 α cos 0α.0000 Le roblème d otimisation à résodre est le sivant : = 0 ( ( ) cos( 00α ) y( ) cos( 0α.00005) y( ) ( ) min y α (3.4) cos ( 0α.0000) ( )) La soltion de roblème a été réalisée en tilisant la méthode des évalations simltanées. Dans cette méthode, on fixe, à riori, le nombre de oints éqidistants axqels on évalera la valer d critère (3.4) (oints sorts de l évalation). L alication de la méthode condit à l otimm global α = 3, 450. En remlaçant α dans les relations (3.40), on obtient les aramètres d modèle sivants : La valer d critère est : θ = a = 0, 9055; θ = b = 0, 7339; θ = c 3 = 7 ( α ) = 4, J. 0, 499. Cet exemle montre qe la méthode d Alienor ermet d identifier de manière récise les aramètres d système, isqe les valers estimées sont très roches des valers réelles. Por l identification en tilisant la méthode d essaim de articles or la résoltion d roblème d otimisation (3.36) exrimé en fonctions des aramètres d modèle comme sit : min α ( y( ) a y( ) b y( ) ( ) c ( ) ) = 0 Par conséqent, ne article (osition) est donnée comme sit : ( ) (3.4) a θ ( ) = b ( ) ( ) (3.43) c La olation considérée est de taille n = 5 dont les articles (ositions) initiales sont : θ 0, 0,5,0, ( 0) =,5, θ ( 0) =,0, θ ( 0) = 0,6, θ ( 0) = 0,3, θ ( 0) 0,0 avec des vitesses initiales nlles 0, 0,3 0,6,50 = 0,0,80 56

62 v 0 ( 0) = 0, =, K, 5 0 Le critère d arrêt tilisé est le nombre d itération maximm à effecter fixé dans notre alication à 500 itérations. otons qe l agmentation d nombre d itération n améliore as les résltats. La soltion obtene est : La valer d critère est : θ = a = 0,979; θ = b = 0, 6; θ3 = c = J 5 ( θ ) = , 33. En comarant les résltats de la méthode d essaim de articles à cex obtens avec la méthode d Alienor, on constate qe la méthode d Alienor donne n résltat meiller ar raort à la méthode d essaim de articles. Ceci est évident, isqe la méthode d Alienor est ne méthode exacte, alors qe la méthode d essaim de articles est ne méthode heristiqe dont la convergence est garantie qe de manière asymtotiqe. C est or cette raison q ne méthode heristiqe doit être toors éalée ar ne méthode exacte or atteindre l otimm global avec ne très grande récision. Sr le lan tems de calcl, qi constite n critère de comaraison imortant, on constate qe la méthode d Alienor est ls erformante qe la méthode d essaim de articles. En effet les résltats obtens, en tilisant ne machine de fréqences de.83 GHz, montre qe la méthode d Alienor mis n tems de s or converger vers la soltion, ar contre la méthode d essaim de articles mis n tems de s or atteindre de manière asymtotiqe la soltion. 3.5 Conclsion Dans ce chaitre, nos avons résenté dex méthodes d otimisation globale, ne exacte et l atre heristiqe. La méthode exacte est la méthode d Alienor dont le rincie consiste à tiliser ne transformation rédctrice or ramener le roblème d otimisation initiale à lsiers variables à n roblème d otimisation à ne sele variable dont la résoltion est simle, et l obtention de l otimm global avec ne très grande récision est assrée. La méthode heristiqe est la méthode d essaim de articles fondée sr la notion de cooération entre articles qi event être ves comme des êtres vivants ax caacités intellectelles assez limitées (e de mémoire et de facltés de raisonnement). éanmoins, ar échange d informations entre ex fait qe, globalement, ils arrivent à résodre des roblèmes 57

63 difficiles. Ce comortement a été formalisé sos forme d n algorithme exloité or la résoltion des roblèmes d otimisation non linéaires difficiles. Cet algorithme est très simle à comrendre, à rogrammer et à tiliser, et se révèle très efficace. Por montrer l efficacité de ces dex méthodes d otimisation globale, ne alication à l identification des aramètres d n modèle mathématiqe a été résentée. L obectif est d estimer de manière globale les aramètres d n modèle d n système non linéaires à artir des mesres réalisées. L alication a ermis de mettre en évidence les roriétés de chaqe méthode. Ainsi, les résltats obtens, montre la convergence exacte de la méthode d Alienor, et la convergence asymtotiqe de la méthode d essaim de articles. Mais les dex méthodes s avèrent très intéressantes or localiser l otimm global d ne fonction obectif non linéaire. Arès avoir résenter et démontrer l efficacité des dex méthodes d otimisation globale, nos allons exérimenter ces dex méthodes or la résoltion d roblème d otimisation dans ne stratégie de commande rédictive d n système non linéaire. Cette étde fera l obet d chaitre sivant. 58

64 Chaitre 4 Commande Prédictive on linéaire Basée sr l Otimisation Globale 4. Introdction La commande rédictive ne désigne as ne stratégie de commande sécifiqe mais constite n ensemble d algorithmes de commande qi tilisent le modèle d système (or la rédiction) dans n roblème d otimisation qi consiste à minimiser n critère de erformance (Hang et Kadali, 008). La résoltion d roblème d otimisation ainsi formlé ermet de calcler ne séqence de valers or la variable manilée sr n horizon aelé horizon de commande où sele la remière commande sera aliqée a système (Cannon, 004 ; Findeisen et al., 007). Por la commande des systèmes linéaires, la soltion globale est obtene facilement isqe le roblème revient à résodre n roblème de rogrammation qadratiqe comme 59

65 dans le cas de la méthode DMC (Dynamic Matrix Control) (Flas, 994 ; Hang et Kadali, 008). Par contre or les systèmes non linéaires le roblème d otimisation est généralement non linéaire à case de la rédiction (modèle) (Henson, 998 ; Long et al., 006). Par conséqent, l otimm globale est très difficile à obtenir (Kovaritais et Cannon, 00; Cannon, 004 ; Findeisen et al., 007 ; Magni et al., 009). Comme la résoltion d roblème d otimisation doit être réalisée endant ne drée égale à ne ériode d échantillonnage, alors la commande rédictive des systèmes non linéaires nécessite des algorithmes d otimisation globale qi doivent être convergeant et raides (Cannon, 004 ; Magni et al., 009). Bien qe la théorie d otimisation globale offre ne anolie d algorithmes (Cannon, 004 ; Findeisen et al., 007 ; Hang et Kadali, 008), ler tilisation dans ne stratégie de commande rédictive est conditionnée ar le tems de convergence qi ne doit as déassé ne ériode d échantillonnage (Cannon, 004 ; Magni et al., 009). Par conséqent, ler alication à des systèmes raides et des systèmes fortement non linéaires est limitée (Henson, 998 ; Cannon, 004). Les différentes contribtions dans le cadre de la commande rédictive non linéaire se sont focalisées sr le tye d modèle tilisé or la rédiction et le déveloement d algorithmes d otimisation globale raides. Dans ce chaitre, les dex méthodes d otimisation globale, en l occrrence la méthode d Alienor et la méthode d essaim de articles seront tilisées or la commande rédictive, d système non linéaire identifié dans le chaitre récédent en considérant des contraintes boîtes or la variable de commande. Avant de rentrer dans le vif d set, on commence d abord ar la résentation d n état de l art de la commande rédictive non linéaire. 4. Etat de l art de la commande rédictive non linéaire Dans ne commande rédictive, l étae la ls imortante est la résoltion d roblème d otimisation qi consiste à minimiser n critère de erformances. Le vecter de variables de décision rerésente la séqence de la commande déterminée or n horizon de commande. éanmoins, sele la remière commande sera aliqée a système. Par conséqent à chaqe instant d échantillonnage, la séqence de commande otimale doit être calclée ce qi nécessite l tilisation des algorithmes d otimisation très raides (Cannon, 004 ; Magni et al., 009). 60

66 Dans totes les contribtions concernant la commande rédictive non linéaire, le rincie de commande reste le même, c est-à-dire n algorithme de commande rédictive est comosé de trois étaes essentielles à réaliser, à chaqe ériode d échantillonnage, qi sont : la rédiction (tilisation d n modèle mathématiqe), l otimisation (tilisation d ne méthode d otimisation) et alication de la commande. Les différentes aroches roosées dans la littératre event être scindées en dex groes, selon le tye d modèle tilisé or la rédiction (Findeisen et al., 007), et selon la méthode d otimisation adotée or localiser la séqence de commande otimale (Cannon, 004). La sélection d n modèle sohaitable or la rédiction des sorties ftres oe n rôle non négligeable dans ne stratégie commande rédictive non linéaire. Les modèles tilisés sont, généralement, d tye entrée-sortie et d tye d état. Parmi les modèles entrée-sortie, on retrove le modèle ARMAX donnée sos forme d éqation ax différences (elles, 00), le modèle de Volterra, le modèle neronal (résea de nerones), le modèle flo obten ar linéarisation ator de lsiers oints de fonctionnement (Tatewsi, 007). Le choix d modèle est lié directement a tems de calcl, isqe ne rédiction des sorties avec récision imose l tilisation d n modèle récis donc comlexe, ce qi comliqe les calcls des rédictions. Par conséqent, n comromis doit être fait entre récision et comlexité de calcls. Le modèle entrées-sorties rerésente ne variante très intéressante or le roblème de rédiction. Ces modèles donnent ne rédiction de qalité accetable, et l estimation de lers aramètres et être réalisée en ligne. Une fois le modèle sélectionné, la réssite d ne commande rédictive est directement liée à l algorithme d otimisation tilisé. Les exigences imosent qe l algorithme d otimisation doit être convergeant, à défat vers n minimm local, or assrer la stabilité en bocle fermée (Mayne et al., 000), et en tenant de la contrainte d tems, cet algorithme doit être raide, c est-à-dire la séqence de commande otimale doit être calclée et disonible en n tems inférier à la ériode d échantillonnage. Magni et al. (009) résente ne synthèse sr les différentes aroches d otimisation tilisées dans le cadre de la commande rédictive non linéaire et les différentes alications. Parmi les méthodes d otimisation tilisées on retrove les méthodes directes dont le rincie consiste à arocher le roblème d otimisation non linéaire ar ne séqence de roblèmes d otimisation qadratiqe (Berthia et Siarry, 00). Chaqe roblème d otimisation convexe et être résol ar la site ar ne méthode nmériqe (méthode de Powell, méthode de ewton et ses variantes, et méthode d oint intérier). Qoiqe la soltion isse être facilement obtene, l inconvénient est lié a tems de calcl nécessaire 6

67 or localiser la soltion otimale. Ainsi, la séqence des roblèmes d otimisation convexe doit être résol endant n tems égale à ne ériode d échantillonnage, ce qi n est as aisé à faire srtot or les systèmes caractérisés ar ne dynamiqe raide, et en résence de contraintes. De ls la convergence à l otimm global n est as assi garantie. Por srmonter ces difficltés, a lie de l aroche séqentielle adotée or la résoltion des roblèmes d otimisation convexe, des méthodes faisant artie de l aroche simltanée ont été roosées or résodre ces roblèmes d otimisation. Une atre classe de méthodes roosées or la résoltion d n roblème de commande rédictive non linéaire s insirent de la commande otimale. Ainsi, le roblème de commande rédictive sr n horizon de commande est v comme n roblème de commande otimale à horizon fini (égale à l horizon de commande) q on doit résodre en tilisant le rincie d minimm o la rogrammation dynamiqe. L examen de la littératre concernant la commande rédictive non linéaire, montre qe l alication des méthodes exactes d otimisation globale, et les méthodes heristiqes dans ne stratégie de commande rédictive non linéaire est n axe a stade de balbtiement. Dans ce chaitre, on s intéresse à l tilisation des méthodes d Alienor et d essaim de articles dans ne stratégie de commande rédictive d n système non linéaire. 4.3 Commande rédictive non linéaire La commande rédictive est ne commande otimale calclée sr n horizon glissant dont l obectif de orsite est formlé ar n roblème d otimisation non linéaire (Henson, 998 ; Tatewsi, 007). Ainsi, n critère de erformance mesrant l écart entre la consigne désirée o la traectoire de référence et la sortie commandée d système, sr n horizon de rédiction fini, doit être minimisé (Hang et Kadali, 008). Généralement, ce critère rend la forme qadratiqe, mais comme le système est non linéaire, alors on obtient n roblème d otimisation non linéaire (Cannon, 004). Le rincie de la commande rédictive non linéaire est résmé ar la Figre 4. (Tatewsi, 007). 6

68 Contrôler rédictif non linéaire d ( ) y d ( ) Prédiction et otimisation non-linéaire ( ) z ( ) Système y ( ) z ( ) Figre 4.. Strctre générale de la commande rédictive non linéaire. La commande rédictive fait artie de la famille des commandes basée sr le modèle (Flas, 994 ; Findeisen et al., 007 ; Hang et Kadali, 008). Ce dernier est tilisé or la rédiction d comortement ftre de la sortie d système or anticier et rendre la bonne décision (commande). Por le cas des systèmes non linéaires, lsiers formes de modèles event être considérées : modèle entrée-sortie (éqation ax différences), modèle de Volterra et modèle résea de nerone (Kovaritais et Cannon, 00 ; Findeisen et al., 007). Dans ce mémoire, on considère le modèle entrée-sortie donné ar l éqation générale : y ( ) = Φ( y( ),, y( n ), ( ), K, ( n ), d( ), K, d( n )) K (4.) y où y est la sortie d système, est la variable de commande, d est la ertrbation et Φ est ne fonction non linéaire. Le critère à minimiser englobe généralement dex obectifs : la orsite et l énergie minimale (Flas, 994 ; Cannon, 004 ; Hang et Kadali, 008). J d [ ] Q [ ( ) ˆ y y( / ) ] ( ) d ( U ) y ( ) yˆ ( / ) T [ ] R [ ( ) ] = = 0 = Porsite T d Energie minimale (4.) et rerésentent resectivement les horizons de rédiction et de commande. d y rerésente la consigne o la traectoire désirée et ŷ rerésente la sortie rédite ar le modèle (4.). Q et R sont des matrices de ondération qi event être constantes o variables. rerésente les instants de rédictions et est l instant actel. y ( / ) rédite à l instant d échantillonnage or le ftre instant ˆ rerésente la sortie. U rerésente le vecter regroant la séqence des commandes à aliqer ax instants d échantillonnage dont le nombre est égale à, i.e. : 63

69 [ ( ), ( ),, ( ) ] U K (4.3) = otons qe sele la commande ( ) sera aliqée a système à l instant. Por déterminer cette dernière, on doit résodre, en n tems égal à la ériode d échantillonnage, le roblème d otimisation non linéaire sivant (Cannon, 004) : set à : min J y U d [ ] Q [ y ( ) yˆ ( / ) ] d ( U ) = y ( ) yˆ ( / ) [ ( ) ] R [ ( ) ] = 0 ( ) = Φ( y( ), K, y( n ), ( ), K, ( n ), d( ), K, d( n ) ) ( ) M = 0 T y T d (4.4) La soltion recherchée revient à localiser l otimm global or le critère J ( U ) en n tems égal à la ériode d échantillonnage. Comme le roblème d otimisation (4.4) est généralement fortement non linéaire, localiser l otimm global en n tems faible est généralement très difficile voire imossible or certains systèmes dynamiqes (Kovaritais and Cannon, 00 ; Cannon, 004 ; Findeisen et al., 007 ; Tatewsi, 007 ; Magni et al., 009). Plsiers algorithmes d otimisation ont été adotés dans la littératre (Martinsen et al., 00 ;Cannon, 004). Une synthèse des différentes algorithmes tilisés or la commande rédictive des systèmes non linéaires est résentée dans (Cannon, 004 ; Findeisen et al., 007 ; Magni et al., 009). otons q il est difficile de recommander de manière générale n algorithme car chaqe algorithme résente ces rores limites et ses conditions d alicabilité sont difficiles à réciser (Findeisen et al., 007). Dans ce qi sit, les dex méthodes d otimisation globale résentées dans le chaitre récédent seront adotées or la commande rédictive d système non linéaire, identifié dans le même chaitre, c est-à-dire or la résoltion d roblème d otimisation non linéaire (4.4) dont le nombre de variables de décision est égal à l horizon de commande. L obectif est d assrer la orsite de consigne en resectant ne contrainte boîte sr la commande Commande rédictive basée sr la méthode d Alienor La méthode Alienor est adotée dans la stratégie de commande rédictive or la résoltion d roblème d otimisation non linéaire (4.4). Le vecter de variables de décision rerésente les valers de la commande à des instants d échantillonnage allant de sq à 64

70 avec <. Por,K,, on maintient la commande constante à ne valer égale à ( ) (Tatewsi, 007). Dans ce cas, le vecter de variables de décision U, donné ar la relation (4.3), est de dimension avec ( ) = ( ) = K = ( ). La résoltion d roblème d otimisation (4.4) n est as facile à obtenir et bte, généralement, ax dex roblèmes sivants (Martinsen et al., 00 ; Cannon, 004) : la convergence est lente lorsqe l horizon de commande est grand, et la lart des algorithmes d otimisation, généralement nmériqes, event être iégés dans n minimm relatif a lie d n minimm global ce qi n assre as de bonnes erformances. Les algorithmes d otimisation globale n échaent as à la comlexité des calcls (Cannon, 004 ; Findeisen et al., 007). Afin d éviter ces roblèmes, la méthode d otimisation globale d Alienor est adotée or la résoltion d roblème d otimisation (4.4). Cette méthode ermet de rédire davantage les calcls isqe le roblème se voit simlifié en le ramenant à n roblème d otimisation à ne sele variable (Cherralt et Mora, 005). Ainsi, il est facile d établir, q à artir d modèle, qe les rédictions des sorties y ( / ) ( ),( ) ˆ seront fonction des variables de commande,k. Par conséqent, le critère de erformance (4.) rend la forme sivante : ( U ) F( ( ),, ( ) ) Jˆ K (4.5) = et le roblème revient à rechercher, à chaqe instant d échantillonnage, la soltion d roblème d otimisation éqivalent sivant : min ( ), K, ( ) Jˆ ( U ) = F( ( ), K, ( ) ) (4.6) C est stement or simlifier la résoltion q on roose d tiliser la méthode d Alienor. Dans cette otiqe, chaqe variable de décision ( i) ne transformation rédctrice ( i) ( α ) = h i et le roblème d otimisation (4.6) rend la forme sivante α or i, K, sera définie ar = (4.7) ( ) ( α ) F h ( α ), ( α ) ming = K, (4.8) ce dernier est à ne sele variable de décision, en l occrrence α, dont l obtention de l otimm global α, à chaqe instant d échantillonnage, est très simle à réaliser. D arès la relation (4.7), la commande à aliqer à chaqe instant d échantillonnage est donnée comme sit : ( ) h ( α ) h = (4.9) 65

71 On remarqe bien qe la méthode d Alienor facilite l imlémentation de la commande rédictive or n système non linéaire. L aroche roosée sera illstrée or la commande d système non linéaire, identifié dans le chaitre récédent, sivant : ( ) = 0.9y( ) 0.7y( ) ( ) 0.5( ) y (4.0) L obectif est de concevoir n correcter rédictif or assrer ne orsite de consigne d y, sosée constante, ce qi revient à minimiser le critère sivant ( = critère (4.)) : Q et R = 0 dans le J = d ( y ( ) y( / )) = ˆ (4.) Ainsi, le roblème d otimisation à résodre à chaqe instant d échantillonnage est formlé comme sit : Les rédictions y ( / ) y U ( ) d ( U ) = y ( ) yˆ ( / ) min J (4.) = ˆ sont données ar le modèle (4.0) : ( / ) = 0.9yˆ ( / ) 0.7yˆ ( / ) ( / ) 0.5( / ) (4.3) En considérant = 7 et = 4, le roblème d otimisation s écrit alors : 7 min U = ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) d 0,9 yˆ / 0,7 yˆ / / 0,5 / y (4.4) Por résodre le roblème d otimisation (4.4) ar la méthode d Alienor, on considère la transformation rédctrice (3.7). Ainsi : ( i) ( ω α ϕ ), i =,,4. = β cos i i K (4.5) En sbstitant (4.5) dans les rédictions données ar la relation de récrrence (4.3) is dans le roblème d otimisation (4.4), on obtient le roblème d otimisation à ne sele variable α sivant : min α 7 ( y d Ψ( α )) = (4.6) où Ψ est ne fonction non linéaire à ne sele variable α. Par conséqent, la commande à aliqer à chaqe instant est dédite de (4.5) comme sit : où ( ) = β cos( ω α ϕ ) (4.7) α est l otimm global d roblème d otimisation (4.6) calclé à chaqe instant d échantillonnage. La ériode d échantillonnage considérée est de 0 s. Les aramètres tilisés or la transformation rédctrice (4.5) sont : 66

72 ( l ), = 0,0005( l ) ; =,,4. β =, ω l = 00 ϕ l K (4.8) Raelons qe le bt recherché ar la commande est d assrer la orsite d ne consigne d constante y =. Les résltats de simlation sont donnés ar la Figre 4.. On constate qe la sortie (Fig. 4.a) orsit convenablement la consigne désirée avec des variations admissibles or la commande (Fig. 4.b). l Maintenant or le même roblème de commande récédent, on considère qe la variable de commande ( ) est somise à la contrainte sivante : ( ), 5 (4.9) Dans ce cas, il sffit de oer sr le réglage des aramètres de la transformation rédctrice (4.5). Ainsi, or resecter la contrainte (4.9), il fat rendre β =,5. (4.0) Les résltats de simlation obtens sont donnés ar la Figre 4.3. On constate qe la sortie atteint la consigne imosée arès n certain nombre de ériodes d échantillonnage (Fig. 4.3a). Por la commande, on constate qe la contrainte est resectée (Fig. 4.3b) isqe les valers de cette dernière ne déasse as la limite,5. L examen des Figres 4.b et 4.3b montre d q en absence de contrainte, or atteindre la consigne désirée y =, la commande générée rend des valers sérieres à,5. Par contre en imosant la contrainte sr la commande et d or atteindre la même consigne y =, la commande générée reste dans le domaine admissible, i.e. ( ),5,. En somme, la méthode d Alienor ermet de rendre aisément les contraintes sr la commande sans transformer le roblème d otimisation ar introdction des variables d écarts o l tilisation des conditions de Khn-Tcer Commande rédictive basée sr la méthode d essaim de articles Por résodre le roblème d otimisation ar la méthode d essaim de articles à chaqe itération, nos avons considéré les aramètres de réglage de l algorithme de la commande rédictive sivants : = 7 et = 4, le roblème d otimisation (4.4) s écrit alors : min U 7 d ( ( ) Γ( U )) = et ne article (osition) est donnée comme sit : y (4.) 67

73 U ( ) ( ) ( ) = ( 3) (4.) La taille de la olation considérée est n = 5 dont les articles (ositions) initiales, = 0, sont choisies U 0,,5 0,5, ( 0) =, U ( 0) =, U ( 0) =, U ( 0) =, U ( 0) 0,0 0,0 avec des vitesses initiales nlles 0, 0, V,0 0, ,3 0,3 ( 0) =, =, K, 5 0 0,5 0,30 0,60 0,60,50 0,00 =,80,80 A chaqe instant d échantillonnage, les articles initiales (ositions) sont rises égales ax meilleres soltions récédentes, c est-à-dire, U ( 0) = U ( 0), =, K,5. Et, à chaqe instant d échantillonnage, les vitesses initiales sont considérées nlles. Comme critère d arrêt de l algorithme d essaim de articles, on tilise n nombre d itérations maximal égale à 0. Une valer sériere n améliore as les résltats. d Le bt recherché est d assrer la orsite de la consigne y =. Por le cas sans contrainte sr la variable manilée, les résltats obtens sont donnés ar la Figre 4.4. On constate qe, la sortie atteint la consigne désirée (Fig. 4.4a) mais avec n régime transitoire comarativement long ar raort a résltat obten ar la méthode d Alienor (Fig. 4.a). Ceci et être exliqé ar le fait qe la méthode d otimisation globale d essaim de articles ermet de localiser qe de manière asymtotiqe l otimm globale, ce qi donne n écart n e imortant, mais qi décroît à chaqe instant d échantillonnage, or devenir nl arès n certains nombre de ériodes d échantillonnage. Assi, on constate qe l évoltion de la variable de commande est hysiqement accetable (Fig. 4.4b). Maintenant, nos allons imoser ne contrainte sr la variable de commande. Comme la méthode d essaim de articles est caractérisée ar ne convergence asymtotiqe, ar 68

74 conséqent en résence des contraintes la convergence est très difficile. Ainsi, or évaler les erformances de la commande rédictive basée sr la méthode d essaim de articles en résence de la contrainte, on considère la contrainte sivante : ( ), 5 (4.3) La olation initiale est de taille n = 5, et les comosantes des articles initiales doivent évidement vérifient la contrainte (4.3). Initialement, = 0, nos avons choisi U 0,,5 0,5,0,0 0,6,5 0, ( 0) =, U ( 0) =, U ( 0) =, U ( 0) =, U ( 0) 0,0 0,0 0, 0, 0,3 0,3 0,60 0,60,50 0,00 =,50,40 avec des vitesses nlles. Por l arrêt de l algorithme, on fixe le nombre d itérations maximal à 5. De la même manière, à chaqe instant d échantillonnage, les articles initiales (ositions) sont rises égales ax meilleres soltions récédentes, c est-à-dire avec des vitesses initiales nlles. U ( 0) = U ( 5), =, K,5. Por resecter la contrainte imosée sr la commande, si l ne des comosantes de chaqe article ne resecte as la contrainte (4.3), alors on roose de garder sa valer récédente. Les résltats obtens sont donnés ar la Figre 4.5. Concernant l évoltion de la sortie, on et noter le même constat, comme dans le cas sans contrainte. La sortie atteint sa consigne imosée et la commande reste dans son domaine admissible défini ar la contrainte (4.3). Le dernier oint concerne la comaraison des dex méthodes sr le lan de tems de calcl. Dans le cas de la commande rédictive, à chaqe ériode d échantillonnage on doit résodre le roblème d otimisation or déterminer la commande à aliqer a système, alors or n bt de comaraison, on considère le tems de calcl moyen. Méthode d Alienor Méthode d essaim de articles Sans contrainte 6.64 s s Avec contrainte 6.95 s.775 s Tablea 4. Tems moyen or le calcl de la commande. 69

75 4.4 Conclsion Dans ce chaitre, nos avons adoté les méthodes d otimisation globale d Alienor et d essaim de articles dans ne commande rédictive d n système non linéaire, or la résoltion d roblème d otimisation. L obectif tradit ar le critère, à minimiser, consiste à assrer la orsite d ne consigne constante. Les dex cas avec et sans contrainte boîte sr la variable de commande ont été étdiés. Sans contrainte, les dex méthodes ermettent d assrer la orsite de consignes avec des régimes transitoires accetables. éanmoins la méthode d Alienor donne n meiller résltat ar raort à la méthode d essaim de articles. Ceci est exliqé ar le fait qe la convergence est exacte dans le cas de la méthode d Alienor et asymtotiqe de la méthode d essaim de articles. Por les dex méthodes d otimisation, les commandes générées résentent des flctations hysiqement accetables. Dans les dex cas avec et sans contrainte sr la variable de commande, le résltat est nettement meiller dans le cas de la méthode d Alienor. Cet exemle a ermis de mettre en évidence, ne des roriétés imortantes des méthodes exactes d otimisation globale à savoir la convergence exacte. Por les méthodes heristiqes qoiq elles ermettent d atteindre asymtotiqement l otimm global mais ler réglage (choix d nombre de articles et de la olation initiale) reste ne tâche stochastiqe. Par conséqent, ler alication à des roblèmes d otimisation en tems réel nécessite inélctablement de les aider ar ne méthode d otimisation exacte, même locale, c est-à-dire tiliser des méthodes hybrides, ar exemle la méthode d essaim de articles avec la méthode de ewton. De ls en résence de la contrainte, le réglage devient très difficile et la convergence est assrée mais a rix d n effort de calcl imortant. En résmé, l exemle étdié montre clairement qe la commande rédictive non linéaire basée sr l otimisation globale donne de bons résltats si la convergence exacte est assrée. 70

76 (a) Evoltion de la sortie commandée y ( ). (b) Evoltion de la commande ( ). Figre 4. Méthode d Alienor : cas sans contrainte sr la variable de commande ( ). 7

77 (a) Evoltion de la sortie commandée y ( ). (b) Evoltion de la commande ( ). Figre 4.3 Méthode d Alienor : cas avec contrainte sr la variable de commande ( ) ( ),5. ( ) 7

78 (a) Evoltion de la sortie commandée y ( ). (b) Evoltion de la commande ( ). Figre 4.4 Méthode d essaim de articles : cas sans contrainte sr la variable de. commande ( ) 73

79 (a) Evoltion de la sortie commandée y ( ). (b) Evoltion de la commande ( ). Figre 4.5 Méthode d essaim de articles : cas avec contrainte sr la variable de. commande ( ) 74

80 Conclsion Générale Le travail réalisé dans ce mémoire s inscrit dans le cadre de la commande à base d n modèle. Il orte essentiellement sr la commande rédictive des systèmes dynamiqes, en articlier les systèmes monovariables non linéaires. L obectif d travail consiste à tiliser des techniqes d otimisation globale dans la commande rédictive d n système non linéaire monovariable, de montrer lers aorts et de comarer lers erformances. Ainsi, les dex méthodes étdiées sont : la méthode exacte d Alienor, et la méthode heristiqe d essaim de articles. Arès avoir introdit le rincie et ses différents éléments d ne commande rédictive, nos avons résenté en détail n des célèbres algorithmes de la commande rédictive qi est le Dynamic Matrix Control dont les erformances ont été évalées en considérant n système de second ordre avec n retard imortant, tot en étdiant l inflence des aramètres de réglages de la commande rédictive. Comme l étae de l otimisation oe n rôle d remier lan dans ne commande rédictive, nos avons assé en reve les différentes notions d otimisation tiles le long de notre travail, tot en insistant sr l otimisation globale des fonctions mathématiqes et son imortance dans ne commande rédictive. Par la site, dex méthodes d otimisation globale ont été résentées de manière détaillée, en l occrrence la méthode exacte d Alienor et la méthode heristiqe d essaim de articles. Por mettre en évidence les roriétés des dex méthodes, ne alication à l identification des aramètres d n système non linéaire a été résentée. Ensite, nos avons adoté les dex méthodes or la commande rédictive d n système non linéaire monovariable dont l obectif est d assrer ne orsite de consigne tot en resectant des contraintes sr la variable de commande. 75

81 Les différentes alications réalisées ont démontré l efficacité de la commande rédictive et son réglage simle. Concernant la commande rédictive des systèmes non linéaires, nos avons montré qe l tilisation des méthodes d otimisation globale or la résoltion d roblème d otimisation ermet d améliorer davantage les erformances. Ainsi, les résltats d identification et de commande rédictive obtens démontrent qe la méthode exacte d Alienor est très intéressante ar raort à la méthode heristiqe d essaim de articles. Qoiqe la convergence est assrée or les dex méthodes, mais elle est globale dans le cas de la méthode d Alienor alors q elle est asymtotiqe dans le cas de la méthode d essaim de articles. Atteindre l otimm global dans le cas de l identification et de la commande rédictive garantie ne très bonne estimation des aramètres et ne orsite arfaite de la consigne. La méthode d Alienor bénéficie d n ensemble de transformations rédctrices ermettant d avoir ne convergence avec ne très grande récision et le réglage de ces différents aramètres est dicté ar des théorèmes. Assi, les contraintes d tye boîtes sr les variables de décision event être rises en comte directement dans l algorithme d otimisation sans faire ael a Lagrangien o à la fonction de énalisation, ce qi rédit énormément les calcls, ar conséqent le tems de convergence. Par contre, dans le cas de la méthode d essaim de articles, otre sa convergence asymtotiqe, le réglage est sovent fait de manière aléatoire, et le choix de la taille de la olation initiale, de ces articles initiales et lers vitesses constite ne tâche très difficile srtot en résence de la contrainte. En résmé, les résltats obtens montre clairement qe la méthode d otimisation globale d Alienor est bien adatée à l imlémentation de commande rédictive or n système non linéaire. éanmoins, certains oints event être exlorés dans le cadre de la commande rédictive non linéaire tel qe : La comaraison entre lsiers transformations rédctrices dans le cas d ne commande rédictive, L alication des méthodes hybrides, ar exemle hybrider la méthode d essaim de articles avec la méthode de Qasi-ewton, L alication de la commande rédictive à base de la méthode d Alienor basée sr n modèle d état et d étendre l étde à des systèmes mltivariables. Prise en comte d reet de ertrbations. 76

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87 Résmé Dans ce mémoire, on s intéresse à étdier l aort des méthodes d otimisation globale dans ne stratégie de commande rédictive d n système non linéaire. L obectif d travail ;consiste à aliqer les méthodes d otimisation globale d Alienor et d essaim de articles or la résoltion d roblème d otimisation non linéaire d ne commande rédictive non linéaire, is de comarer lers erformances. L étde se limite a système non linéaire caractérisé ar ne dynamiqe lente, et à la orsite de consigne en résence des contraintes, de tye boîtes, sr la variable de commande. Les dex méthodes sont imlémentées en simlation or la commande rédictive d n système non linéaire dont la rédiction est réalisée ar n modèle d tye entrée-sortie. Les dex cas avec et sans contrainte sr la variable de commande sont étdiés. Mot clés : Commande rédictive, système non linéaire, otimisation globale, méthode Alienor, méthode d essaim de articles.