TD : les lois de Kepler et la détermination de la masse de Jupiter. 1. Les lois de la mécanique céleste dans le système solaire :

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1 TD : les lois de Kepler et la détermination de la masse de Jupiter Objectif : calculer la masse de Jupiter en observant le mouvement de ses satellites et en utilisant la 3ème loi de Kepler 1. Les lois de la mécanique céleste dans le système solaire : La masse de l'ensemble des planètes est très faible devant celle du Soleil. On peut donc calculer en première approximation la trajectoire de ces astres en négligeant leurs interactions mutuelles (approximation képlérienne). Il s'agit alors d'un problème à 2 corps, où la masse de l'un est négligeable devant la masse de l'autre (celle du Soleil). La loi de gravitation universelle de Newton : Les planètes sont soumises à la seule force de gravitation du Soleil, qui est inversement proportionnelle au carré de la distance héliocentrique (distance entre la planète et le Soleil) : F = G m M / r 2 F = force de gravitation m = masse de la planète M = masse du Soleil r = distance héliocentrique G = constante gravitationnelle, G = 6, m 3 Kg -1 s -2 Les lois de Kepler : Johannes Kepler ( ) énonce 3 lois basées sur l observation des planètes. 1ère loi (loi des orbites) : la trajectoire d'une planète est une ellipse dont le centre du Soleil est l'un des foyers. périhélie aphélie

2 2ème loi (loi des aires) : au cours du mouvement, le rayon vecteur (joignant le centre du Soleil à la planète) décrit des aires égales en des temps égaux. La planète se déplace d'autant plus vite qu'elle est proche du Soleil, avec une vitesse maximum au périhélie et minimum à l aphélie. 3ème loi (loi des périodes): il existe une relation entre la période de révolution P des planètes et le demi grand-axe a de l orbite : a 3 /P 2 = constante La période de révolution d'une planète est d'autant plus grande que sa distance au Soleil est grande. Isaac Newton ( ) acheva ce travail par sa démonstration mathématique : a 3 /P 2 = GM/(4π 2 ) Avec P en s, a en m, M la masse du Soleil en Kg (M = 2 x kg). Compléter le tableau : Planètes P (s) a (m) a 3 /P 2 (m 3 s -2 ) GM/(4π 2 ) Mercure 7,60 x ,79 x ,4 x Venus 1,94 x ,08 x Terre 3,16 x ,49 x Mars 5,94 x ,28 x Jupiter 3,74 x ,78 x Saturne 9,30 x ,42 x Uranus 2,66 x ,87 x Neptune 5,20 x ,50 x 10 12

3 Cas des planètes autour du Soleil : dans le cas du mouvement des planètes autour du Soleil, et dans ce cas seulement, on a : a 3 /P 2 = 1 si on exprime a en UA et P en année. Ceci vient de la définition de l UA (demi grand-axe de l orbite de la Terre) et de l année (période de révolution de la Terre). Compléter le tableau : Planètes a (UA) P (année) a 3 /P 2 (UA 3 année -2 ) Mercure 0,4 Venus 0,7 Terre Mars 1,5 Jupiter 5,2 Saturne 9,5 Uranus 19,2 Neptune 30,1 Cas des satellites de Jupiter : Dans le cas d'un système satellite-planète, on se ramène aussi à un problème à 2 corps. En première approximation, on néglige la masse du satellite devant celle de la planète (ce qui n est pas tout à fait vrai). Pour tout satellite en rotation autour de Jupiter, on a : a 3 /P 2 = GM J /(4π 2 )=constante Avec P en s, a en m, M J la masse de Jupiter en Kg (M J = 2 x kg). C'est donc cette loi que nous allons utiliser pour calculer la masse de Jupiter à partir du mouvement de ses satellites.

4 2. Jupiter et ses satellites : Jupiter est la plus grande et la 5ème planète du système solaire : son diamètre est 11 fois supérieur à celui de la Terre et elle possède un système d'anneaux. Elle est constituée principalement de gaz dont la composition est très semblable à celle d'une étoile H et He (dans des proportions 90%, 10%). Cependant, même si sa température et sa masse sont considérables, cela ne suffit pas à déclencher les réactions thermonucléaires qui font briller les étoiles. Jupiter se reconnaît aisément à ses bandes et à la Grande Tache rouge. Jupiter fut pour la première fois observée à la lunette par Galiléequi découvrit les 4 satellites les plus gros de Jupiter. Jupiter et ces 4 satellite galiléens La grande tache rouge La première fois que Galilée observa les satellites de Jupiter, il vit 4 points lumineux dans un même plan.en les observant sur de longues périodes, il remarqua que ces astres étaient en rotation autour de la planète. On les nomme aujourd hui les satellites galiléens : Io, Europe, Ganymède et Callisto (noms des filles ou amantes de Zeus). On décompte aujourd'hui plus de 60 satellites qui gravitent autour de Jupiter. Les satellites galiléens : Io, Europe, Ganymède, Callisto.

5 3. Détermination de la masse de Jupiter : Avec des données théoriques : Dans un premier temps, on utilise des données des éphémérides pour calculer la masse de Jupiter. Compléter le tableau : Satellite Période Distance moyenne Masse de Jupiter IO 1 j 18 h 14 min Km EUROPE 3 j 13 h 12 min 671 OOO Km GANYMEDE 7 j 3 h 50 min Km CALLISTO 16 j 16 h 48 min Km En déduire la masse de Jupiter et comparer avec la vraie valeur M J = 2 x kg. Avec des données observées : Dans un deuxième temps, on utilise des données d observation de Jupiter et ses satellites (images obtenues par des étudiants lors d un stage de Licence 3). Le rayon de Jupiter est R J = km. La distance Terre-Jupiter le soir des observations était d = 681,9 millions de km. En déduire le diamètre angulaire θ de Jupiter en secondes d arc.

6 Mesurer la taille de Jupiter sur l image et en déduire une correspondance entre 1 cm sur l image et la distance angulaire sur le ciel en secondes d arc. Donner les distances angulaires (ou séparations angulaires) en seconde d arc au moment de l observation entre Jupiter et les 3 satellites. Les étudiants ont pris plusieurs photos au cours de la nuit et ont tracé la distance angulaire des 3 satellites en fonction du temps. Afin de déterminer la période et le rayon des orbites, ils ont ajusté une courbe qui donne la variation de la distance en fonction du temps. Les orbites de ces 3 satellites galiléens étant quasi circulaires, cette courbe est alors une sinusoïde. A quoi correspondent la période et l amplitude de la sinusoïde?

7 A l aide du graphique, compléter le tableau : Satellite Période en minutes Distance en seconde d arc Io Europe Ganymède Compléter le tableau : Satellite Période P en secondes Distance a en Km Io Europe Ganymède Tracer la courbe P²en fonction a 3. Exprimer la pente de la droite en fonction de la masse de Jupiter et calculer la masse de Jupiter.