Cours de Terminale S - Nombres remarquables dont les nombres premiers. E. Dostal

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1 Cours de Terminale S - Nombres remarquables dont les nombres premiers E. Dostal juin 2015

2 Table des matières 2 Nombres remarquables dont les nombres premiers Introduction Les nombres premiers Décomposition en produit de facteurs premiers Nombres remarquables

3 Chapitre 2 Nombres remarquables dont les nombres premiers 2.1 Introduction Qu est-ce qu un nombre premier? C est un entier naturel strictement supérieur à 1, n admettant que deux entiers naturels diviseurs distincts : 1 et lui-même. A quoi servent-ils? Ces nombres ont une importance centrale en mathématiques : on peut montrer que tout entier naturel peut se décomposer en produit d un ou de plusieurs facteurs premiers. Les nombres premiers peuvent donc être vu comme les composantes de base des nombres entiers. La simplicité de cette définition ainsi que l apparente importance de ce concept ont amené les mathématiciens à s y intéresser dès l antiquité. Les os d Ishango, également appelés bâtons d Ishango, sont des artéfacts archéologiques découverts dans l ancien Congo belge et datés de peut-être ans. Ils sont recouvert d en tailles marquant les nombres premiers 11, 13, 17 et 19. Est-ce ici l ébauche d une table de nombres premiers ou cette correspondance est-elle due au hasard? Aujourd hui, les nombres premiers sont à la base de tous les problèmes de chiffrement qui régissent notre vie de tous les jours (cartes à puces, site internet sécurisé,...). Combien y en a-t-il? Une infinité! (Cf. démonstration faite par Euclide) Y a t-il une régle gouvernant la succession des nombres premiers? Cette question est reliée à l hypothèse de Riemann. Les plus grands mathématiciens se sont confrontés à cette conjecture depuis plus d un siècle...sans succès! Quel est le plus grand nombre premier connu? Découvert le 25 janvier 2013, le plus grand nombre premier connu est le nombre premier de Mersenne , qui comporte chiffres en écriture décimale. On le doit à l équipe de Curtis Cooper, à l université du Central Missouri, dans le cadre de la grande chasse aux nombres premiers de Mersenne (GIMPS). Puis-je participer à la recherche du prochain nombre premier? Oui, en utilisant votre ordinateur!!! (http :// Et ensuite? La résolution de l hypothèse de Riemann est dotée d un prix de $ américains offert par le Clay Mathematical Institute. (Les problèmes du prix du millénaire comptent sept défis mathématiques réputés 2

4 insurmontables posés en l an A ce jour, six des sept problèmes demeurent non résolus.) 2.2 Les nombres premiers Définition 1 Un nombre entier naturel est premier si il admet exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Liste des nombres premiers inférieurs à 100 : Proposition 1 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Le plus petit diviseur de n compris entre 2 et n est premier. démonstration : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soit p le plus petit des diviseurs de n compris entre 2 et n. Supposons que p n est pas premier, alors il admet un diviseur d tel que 1 < d < p. d est un diviseur de p donc de n et est plus petit que p, ce qui est impossible. Donc p est premier. Théorème 2 L ensemble des nombres premiers est infini. (raisonnement par l absurde en utilisant la proposition 1) On sait qu il y en a une infinité, mais on ne les connait pas tous et on les cherche encore à l heure actuelle!!! Proposition 3 Tout entier naturel n supérieur à 2 qui n est pas premier, admet un diviseur premier au plus égal à n Conséquence : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Si aucun des entiers compris entre 2 et n ne divise n, alors n est premier. Exemple : 149 est-il premier? Il existe différents cribles permettant de trouver les nombres premiers inférieurs à un entier N choisi : Crible d Eratosthène, Crible de Matiassevitch,... 3

5 2.3 Décomposition en produit de facteurs premiers Théorème 4 Tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique à l ordre des facteurs près. On écrira n = p α 1 1 pα 2 2 pα pα k k où p 1, p 2,..., p k sont des nombres premiers et α 1, α 2,... α k sont des entiers naturels non nuls. démonstration de l existence. (pour l unicité, nous attendrons le théorème de Gauss (du chapitre 3)) Exemple : Décomposer en produit de facteurs premiers 360, puis Algorithme 1 Un test de primalité est un algorithme permettant de savoir si un nombre entier est premier. Le test le plus simple est le suivant : pour tester N, on vérifie s il est divisible par l un des entiers compris entre 2 et N (2 compris). Si la réponse est négative, alors N est premier, sinon il est composé. Plusieurs changements permettent d améliorer les performances de cet algorithme : il suffit de tester tous les nombres de 2 à N on peut encore diviser par deux le travail en ne testant que les nombres impairs, une fois que la divisibilité par deux a échoué, de façon générale, on peut calculer à l avance une liste des nombres premiers inférieurs à une limite (avec un crible), pour ne tester que ceux-ci. Par exemple, pour tester les nombres inférieurs à , il suffit de tester les nombres premiers inférieurs à 198 (car > 39000), soit 45 nombres premiers. 4

6 2.4 Nombres remarquables Nombres de Fermat Histoire : Pierre Simon de FERMAT, français, Philologue, administrateur puis Conseiller du Roi au Parlement de Toulouse (l équivalent d une cour de justice), cet érudit restera dans la mémoire des hommes comme un des plus grands mathématiciens du 17 è siècle. Il fut un des artisans fondateurs de l Académie des sciences qui vit officiellement le jour un an après sa mort. Définition 2 Nombres de Fermat Un nombre entier de Fermat est un nombre de la forme 2 2n + 1 avec n entier naturel. Une conjecture (fausse) de Fermat est que ces nombres sont premiers (Cf Activité) Nombres de Mersenne Histoire : MERSENNE Marin, français, Philosophe, abbé, ordonné en 1611, après des études de théologie à la Sorbonne, Marin Mersenne compléta ses études au collège royal de la Flèche en compagnie de Descartes avec lequel il nouera une grande amitié. C est ainsi qu il se passionna (1625) pour les sciences physiques et mathématiques. Définition 3 Nombres de Mersenne Un nombre entier de Mersenne est un nombre de la forme M p = 2 p 1 avec p entier naturel. Les nombres de Mersenne sont très utile pour chercher les nombres premiers énormes. Notons d abord que M p est composé si p est composé. Mais si p est premier, il arrive parfois que M p soit lui aussi premier. On ne connait actuellement que 48 cas où cela arrive (Cf Activité) Le plus grand nombre premier connu à ce jour est M découvert le 25 janvier 2013 (http :// 5

7 2.4.3 Nombres de Carmichael Histoire : CARMICHAEL Robert Daniel, américain, Physicien au début de sa carrière (il étudia la théorie de la relativité initiée par Albert Einstein), philosophe et mathématicien (il obtint son doctorat à l université de Princeton sous la houlette de Birkhoff en 1911), Carmichael se consacra tout particulièrement, dès les années 1910, à la théorie des nombres et aux nombres premiers en particulier. Il enseigna à l université de l Illinois. Définition 4 Nombres de Carmichael Un nombre de Carmichael est un nombre entier non premier n qui vérifie la congruence a n 1 1 [n] pour a entier premier avec n. Il revient au même de dire que pour tout entier a tel que 1 < a < n tel que a et n sont premiers entre eux, on a a n et a qui ont le même reste dans la division euclidienne par n. Ces nombres sont peu nombreux, c est un euphémisme! C est dire que leur recherche peut prendre un certain temps, même au moyen de l ordinateur... Les premiers sont les suivants : 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633,... Théorème 5 Petit théorème de Fermat (HORS PROGRAMME) Si p est un nombre premier, alors pour tout entier a, l entier a p aura le même reste que a dans la division euclidienne par p. On comprend alors pourquoi les nombres de Carmichael sont appelés aussi les menteurs de Fermat. 6