Chapitre 3: Analyse des signaux non périodiques

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1 Chapitre 3: Analyse des signaux non périodiques Mahjoub DRIDI Contents 1 Transformation de Fourier 1.1 PassagedelasérieàlatransformationdeFourier DéfinitiondelatransforméedeFourier Propriétés Exemple de spectres continus 6.1 Spectred uneimpulsionrectangulaire Spectred unsinusamorti Spectredeimpulsions Calcul de quelques transformées Exponentielledécroissante Exponentielledécroissantesymétrique Signalunité(oufonctioncste) Sautunité Phaseur Signalsinusoidal

2 1 Transformation de Fourier 1.1 PassagedelasérieàlatransformationdeFourier Dans le chapitre précédent, nous avons traité le cas particulier des fonctions périodiques. Nous allons à présent étendre ces résultats à des fonctions non périodiques. Le passage d un signal périodique à un signal apériodique peut se faire en considérant que la période T devient de plus en plus grande pour finalement tendre vers l infini. Lesraiesspectralesdistantesf = 1 T serapprochentpourpeuàpeusetransformerenspectrecontinu. Reprenons l exemple de la fonction créneau périodique: Nous pouvons constater que: si la période T augmente, l espacement entre deux fréquences harmoniquesconsécutives diminue: Si nous faisons tendre la période vers l infini, la fonction f(t) n est plus périodique. ladistance 1 T quisépareunefréquenceharmoniquedel autredanslespectrevatendreverszéro = le spectre devient un continuum = la sommation de Fourier sur des fréquences harmoniques discrètes, cède la place à une intégration sur toutes les fréquences.

3 x(t)= + k= C k.e iwkt = quand T,f df k.f f 1 T C(f)exp(iπft)df + k= 1. Définition de la transformée de Fourier X k.e iπ T kt = + k= Unefonctionx(t)peutêtredéfinieàl aidedesonintégraledefourier: X k.e iπf kt x(t)= X(i.f).e iπft df X(i.f)= 1 T x(t).e iπft df OnditqueX(i.f)estlatransforméedeFourierdirectedex(t).Lacourbey=X(i.f)estlespectre de la fonction x(t). x(t) exp( iπft)dt Onditquex(t)estlatransforméedeFourierinversedeX(f) OnlesnotesparfoisparlesopérateursTF{}etTF 1 {} X(f)=TF{x(t)} ; x(t)=tf 1 {X(f)} 3

4 Si la fonction x(t) ne possède pas de symétries particulières, sa densité spectrale d amplitude X(i.f) est une fonction complexe: x(t) X(if)=X r (f)+i.x i (f) Les densités spectrale du module et de la phase valent alors: X(if) =X(f)= X r(f)+x i (f) X(if)=α(f)=arctan( X i(f) X r (f) ) Ainsi,sionaunsignalnonpériodique(fonctionx(t)),onpeutledécomposer(ouanalyser)enses composantes spectrales à l aide de la transformée de Fourier. TF{x(t)}= Analysespectraledex(t)-AnalysedeFourier Inversement, si on connait le spectre X(i.f) d une fonction, on peut la synthétiser à l aide de la transformée de Fourier inverse TF 1 {X(i.f)}=x(t) = Synthèsespectrale-SynthèsedeFourier Une fonction non périodique x(t) peut être considérée comme l addition(superposition) d un nombre infinidefonctionsharmoniquese iπft,chacuneayantun poids (enamplitudeetenphase)donnée parlespectredex(i.f). x(t)= X(f).e iπft df Remarque: Si le signal n est pas périodique, les signaux élémentaires résultent de la décomposition couvrent un domaine continu de l espace des fréquences. 4

5 1.3 Propriétés Linéarité: { x1 (t) X 1 (if) x (t) X (if) } = a 1.x 1 (t)+a.x (t) a 1.X 1 (if)+a.x (if) (a 1,a ) C La transformée de Fourier est donc une transformation linéaire. Translation(ou décalage temporel): six(t) X(if)onaalors: décalage fréquentiel: x(t+t ) X(if).e i..π.f.t t R x(t).e i..π.f.t X(i(f f )) f R La multiplication par une exponentielle entraine un décalage en fréquence du signal. Changement d échelle: Produit de convolution: F{x(a.t)}= 1 a X(f a ) x(t) X(if) et y(t) X(if) x(t) y(t) X(if).X(if) x(t).y(t) X(if) X(if) 5

6 La transformation de Fourier transforme convolution en multiplication et multiplication en convolution. Parité: Sixestpaire. Onsaitquee iθ =cos(θ)+i.sin(θ). Doncl intégraledefouriers écrit: X(f)= x(t).[cos(.π.f.t) i sin(.π.f.t)].dt Orlesfonctionst x(t).cos(πft)ett x(t).sin(πft)sontrespectivementpaireetimpaire Donc: x(t).[cos(.π.f.t)].dt=. x(t)[cos(.π.f.t)].dt et x(t).[sin(.π.f.t)].dt= Donc sixestpaire,x(f)estunnombreréelet X(f)=. x(t)(cos(.π.f.t)dt Sixestimpairealorsonadelamêmefaçon: X(f)=.i x(t).[sin(.π.f.t)].dt Propriétés de parité et symétrie x(t) X(f) Réelle et paire Réelle et paire Réelle et impaire Imaginaire et impaire Imaginaire et paire Imaginaire et paire Imaginaire et impaire réelle et impaire Complexe et paire Complexe et paire Complexe et impaire Complexe et impaire Exemple de spectres continus.1 Spectre d une impulsion rectangulaire Considéronsuneimpulsionx(t)delargeur tetd amplitudeacentréeent=. Pardéfinitionde latransformationdefourier,ona: x(t) exp( iπft)dt or d après la définition de l impulsion rectangulaire centrée, on a: 6

7 { si t > t x(t)= A si t t } ona: + t t A.e iπft dt X(i.f)= A iπf.e iπft + t t X(i.f)= A iπf [e iπf t e +iπf t ] X(i.f)= A πf.e+iπf t e iπf t.i X(i.f)=A. t. sin(π.f. t) π.f. t =A. t.sinc(π.f. t) R La densité spectrale d amplitude d une impulsion rectangulaire centrée en t = [s] est décrite par un sinus cardinal. Remarque: le spectre passe par zéro chaque fois que le sinus cardinal s annule, c est-à-dire, chaque foisquelafréquenceestunmultiplede 1 t. unsignaldecourteduréepossèdeunspectrelargebande; àunspectreétroitcorrespondunsignaldelonguedurée. 7

8 . Spectre d un sinus amorti y(t)= Y(i.f)= Y(i.f)= { si t< A.e a.t.sin(.π.f p.t) si t Y(i.f)= y(t)e ( iπft) dt } A.e a.t.sin(.π.f p.t)e ( iπft) dt A.e a.t. e+iπfpt e iπfpt.e iπft dt.i π.f p Y(i.f)=A. (a+i..π.f) +(.π.f p ) C Ici on n a pas de symétrie particulière, donc Y(i.f) est non réelle(complexe).3 Spectre de impulsions tt Considéronsunsignalconstituédedeuximpulsionsd amplitudeaplacéessymétriquementen± t Le spectre se calcule facilement à partir de celui d une impulsion centrée en t = et à l aide du théorème du décalage. z(t)=x(t+ t )+x(t t ) 8

9 Z(i.f)=A. t. sin(π.f. t).e +iπft +A. t. sin(π.f. t) e iπft π.f. t π.f. t Z(i.f)=A. t. sin(π.f. t) [e +iπft +e iπft ] π.f. t Z(i.f)=.A. t. sin(π.f. t).cos(π.f.t ) π.f. t 3 Calcul de quelques transformées 3.1 Exponentielle décroissante x(t)= { si t< e a.t si t } X(i.f)= e a.t.e i..π.f.t 1 a+i..π.f 9

10 3. Exponentielle décroissante symétrique Cesignalestdécritpar: Onaalors: x(t)=e a. t <t<+ e +a.t.e i..π.f.t.dt+ e a.t.e i..π.f.t.dt d où: X(i.f)estreellecarx(t)estpair 3.3 Signal unité(ou fonction cste) 1 a i..π.f + 1 (a+i..π.f) =.a a +(.π.f) Lesignalconstantunitévautsimplement1quelquesoitt.Ausensdeslimites,ilpeutêtredécrità partir de l exponentielle symétrique: x(t)=1= lim a e a. t <t<+ 1

11 Ce passage par la limite est nécessaire car le signal constant n est pas intégrable en valeur absolue et satransforméedefouriernepeutdoncpasêtrecalculéeàpartirdesadéfinition. Onadonc: { }.a si f X(i.f)= lim a a +(.π.f) = si f = Cerésultatcoïncideavecladéfinitiond uneimpulsiondedirac. LaTF d unsignalunitéestdonc uneimpulsiondediracsituéeenf = 3.4 Saut unité 3.5 Phaseur δ(f) unphaseurdefréquencef peuts écrirecommesuit: Utilisant la TF de l exponentielle symétrique et la propriété de modulation x(t)=e +i..π.f.t = lim a e a. t.e +i..π.f.t.a a +(.π.f) ona: x(t).e +i..π.f.t X(i.(f f ) {.a si X(i.f)= lim a a +(.π.(f f )) = f f si f=f } LaTFd unphaseurdefréquencef estdoncuneimpulsiondediracsituéeenf=f : X(i.f)=δ(f f ) 3.6 Signal sinusoidal un signal sinusoïdal est constitué de phaseurs conjugués complexes(formule d Euler), sa TF comporteraimpulsionsdediracsituéeen±f. Onaalors: x(t)=cos(.π.f.t)= 1.[e+i..π.f.t +e i..π.f.t ] X(i.f)= δ(f f )+δ(f+f ) x(t)=sin(.π.f.t)= 1.i.[e+i..π.f.t e i..π.f.t ] X(i.f)= δ(f f ) δ(f+f ).i 11

12 LapremièreTFestréelle,carlacosinusoïdeestpaire,alorsqueladeuxièmeTFestimaginairecar la sinusoïde est impaire. On notera que les modules des densités spectrales sont les mêmes et que seuls diffèrent leurs arguments. afaire......,tfpeignedirac 1