Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE. Exercice 2 : TABLE ÉLÉVATRICE. Présentation. Voir vidéos sur site du professeur. Piston (6) Corps (7)

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1 TD 26 - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 1/6 Exercice 1 : BRIDE HYDRAULIQUE. Reprendre l exercice du TD25, et déterminer p f ( F) le plus rapidement possible. Exercice 2 : TABLE ÉLÉVATRICE. (Selon le concours Mines Albi, Alès, Douai et Nantes filière PCSI) Présentation. Voir vidéos sur site du professeur Position haute Piston (6) Corps (7) Position basse AO OB DO OC a Cet ensemble «table élévatrice» admet un plan de symétrie ( A, x, y ). Le bras extérieur 3 est en liaison pivot d axe ( Az, ) avec le châssis 1 et en liaison pivot d axe ( Bz, ) avec un galet 5 de rayon R. Le galet 5 roule sans glisser sur le plateau 2 au point I. Le bras intérieur 4 est en liaison pivot d axe ( Cz, ) avec le plateau 2 et en liaison pivot d axe ( Dz, ) avec un galet 5 de rayon R. Le galet 5 roule sans glisser sur le châssis 1 au point J. Le bras 3 est en liaison pivot d axe ( Oz, ) avec le bras 4. Le plateau peut se translater verticalement grâce à un vérin hydraulique 6+7. Ce vérin est en liaison rotule en E avec le bras 3 et en F avec le bras 4.

2 TD 26 - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 2/6 Objectif de l étude. Analyser les différents actions mises en jeu en vue de choisir et dimensionner les divers éléments constituants la table élévatrice. Hypothèses. Le plateau est arrêté à une position. Les différentes liaisons mécaniques sont supposées parfaites. Seul le poids du plateau 2 (de masse m) sera pris en compte. Ce poids est modélisable par un glisseur passant par un point G. On donne CG L. x H. y. Le poids des autres pièces sera négligé. Travail demandé. Question 1 : En isolant {2}, déterminer R5 2, puis R4 2 en fonction de m, g, et des données géométriques a et L. Pour une position donnée du bras 4 (voir schéma ci-dessous) les actions mécaniques en C et en D ont déjà été calculées. R24 avec R N R3 4 Droite d'action (support) de R6 4 = (EF) R5' 4 avec R5' N Question 2 : En isolant {4}, déterminer R6 4 (norme et sens) en utilisant le théorème du moment statique et en calculant les moments par la méthode du bras de levier (on mesurera les dimensions utiles sur le schéma). Question 3 : En isolant le piston {6}, exprimer la pression p de l huile à envoyer dans le vérin en fonction R6 4 et du diamètre D du piston.

3 TD 26 - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 3/6 Exercice 3 : LANCEUR DE ROULEAUX DE PAPIER D'IMPRIMERIE. (Selon le concours Mines Albi, Alès, Douai et Nantes filière PCSI) Présentation. Lorsque l on désire imprimer un très grand nombre d exemplaires d un même ouvrage (journal à grand tirage, annuaire téléphonique,...) on utilise généralement des machines à impression rotative. Ces machines sont alimentées en papier, grâce à de gros rouleaux de papier situés en amont. Au démarrage, les moteurs d'entraînement du rouleau, n ont pas un couple moteur suffisant pour lancer celui-ci. C est pour cela que l on utilise un lanceur, qui a pour fonction d accélérer le rouleau plein, d une vitesse initiale nulle à sa vitesse de fonctionnement normal. En fait, le rouleau 1, en liaison pivot d'axe ( Az, ) avec le bâti 3, est entraîné en rotation par adhérence à l'aide d une courroie 4 plaquée par un vérin 6+7 sur celui-ci, et entraînée par une poulie motrice d'axe ( Gz, ). Voir vidéos sur site du professeur

4 TD 26 - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 4/6 Dimensionnement du lanceur. Hypothèses : Liaisons parfaites (sans adhérence), à l exception du contact entre la courroie 4 et le rouleau 1. Modélisation globale de l action de 4 sur 1 en E par T4 1. x N4 1. y T 41. E 0 Angle d'adhérence entre le rouleau 1 et la courroie 4 : = 30. Poids des pièces négligé. Rayon du rouleau plein : R = 0,6 m. Couple résistant au démarrage du rouleau, appliqué sur l axe ( Az, ) : Cr 176 N. m (donné par une étude dynamique). Question 1 : On suppose qu au démarrage le rouleau 1 est en équilibre statique, sous l action de 4 sur 1, de 3 sur 1, et du couple résistant C C. z. Donner l expression de la résultante tangentielle T4 1 en fonction de r r C r et R. Faire une application numérique. Question 2 : En déduire l expression de la résultante normale N4 1 en fonction de et T4 1. Faire une application numérique. Question 3 : En supposant que L est la largeur de la courroie et que la répartition de pression p entre la courroie 4 et le rouleau 1 est uniforme (schéma cicontre), déterminer l expression de N4 1 en fonction de p,, L et R. dn4 1 p Remarque : Sur le schéma ci-contre, les composantes élémentaires d'adhérence (ou de résistance au glissement) dt4 1 n'ont pas été représentées. Pour les questions suivantes, on prendra T N et N N. Question 4 : En prenant 30, calculer la largeur L de la courroie, pour que la pression de contact p 1 2 ne dépasse pas 1 dan. cm. On pose R65 X65. x Y65. y. Question 5 : Isoler {6, 7} et en déduire une relation entre X6 5, Y6 5 et des données géométriques c et d. Question 6 : En précisant le système isolé, déterminer une 2 ème relation entre X6 5, Y6 5, T4 1, N4 1 et des données géométriques a, b, et. Question 7 : En déduire X6 5, Y6 5 et R6 5. Faire une application numérique. Question 8 : Sachant que la pression d huile p h est de 6 bars, calculer la section utile S u du vérin.

5 TD 26 - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 5/6 Exercice 4 : POMPE À PISTONS AXIAUX DU PILOTE HYDRAULIQUE DU LABORATOIRE. Paramétrage. La pompe à pistons axiaux est principalement constituée : - d un corps 1, - d un barillet 2 (entraîné par un moteur à l'aide de la pièce 6), - et de six pistons 7i (i[1, 6]) dont les axes sont répartis sur un cylindre de révolution d axe ( Ox, 1) et de diamètre D. La rotation du barillet 2 entraîne le déplacement des pistons et l aspiration ou le refoulement du fluide hydraulique. 9 1 v Mi O y 1 7i Voir vidéos sur site du professeur u 1 2 x 1 Schéma cinématique de la pompe. NB : l axe du piston 7i a été ramené dans le plan ( O, x1, y 1) Notons R1( O, x1, y1, z 1) le repère lié au corps 1 tel que ( Ox, 1) soit l axe de la liaison pivot corps 1 / barillet 2. Considérons également un repère R ' 1( O, u, v, z 1) lié au corps 1 où u définie la normale au plan de la butée à billes 9. Posons ( x1, u) ( y1, v). Notons R2 ( O, x1, y2, z 2 ) le repère lié au barillet 2 et posons ( t). t ( y1, y2 ) ( z1, z2 ) avec constante positive. La liaison entre chaque piston 7i et le barillet 2 est une liaison pivot glissant d axe ( Mi, x 1). Chaque piston est en liaison ponctuelle de centre liaison pivot d axe ( Ou, ) avec le corps 1. M i et de normale u avec une butée à billes 9 qui a une Fonctionnement. Question 1 : Quel est le rôle de la butée à billes 9?

6 TD 26 - PFS Résolution analytique (Loi entrée-sortie statique) Page 6/6 Modélisation. Action mécanique Du moteur électrique (exerçant un couple moteur Cm) sur le barillet 2 Du fluide à la pression P i sur chaque piston 7i De chaque ressort de rappel 8i sur le piston 7i T8i 7i Modélisée par le torseur moteur 1 2 T Tfluide7i k.( i 0). x 1 P( M, 1) 0 i x 0 Cm. x1 P Pi. S. x 1 P( M, 1) 0 i x k : raideur du ressort avec : i MiO. x1 0 : valeur particulière de lorsque le ressort est détendu Question 2 : A partir du schéma cinématique de la pompe, et de la modélisation de quelques actions, donner le graphe de structure de la pompe (pour seulement un piston). Détermination du couple moteur en fonction de la pression. Hypothèses. Dans le cadre d une étude en régime permanent ( cte ), on peut montrer que le torseur dynamique de la pompe est nul. Par conséquent on pourra lui appliquer le principe fondamental de la statique. On négligera les masses des différents solides devant les autres actions mécaniques mises en jeu. Le repère R 1 lié au corps 1 sera considéré comme galiléen. Étude du piston 71. Question 3 : Par une étude «statique» sur le piston 71, exprimer l action mécanique du corps 9 sur le piston 71 en fonction de la pression P1 (pression au niveau du piston 1). NB : En choisissant bien l une des 6 équations algébriques issues du PFS, vous éviterez de longs calculs... Étude de l ensemble {piston 71, barillet 2, ressort 81, fluide}. Question 4 : Par une étude «statique» sur l ensemble {piston 71, barillet 2, ressort 81, fluide} les autres pistons n étant pas pris en compte, exprimer le couple Cm1 (couple moteur minimum nécessaire à l entraînement du piston 1) en fonction de P1 et 1. NB : - En choisissant bien l une des 6 équations algébriques issues du PFS, vous éviterez de longs calculs... D - Une étude géométrique a permis de déterminer : 1.tan. 1 cos 1, 2 - Les seuls variables de l équation sont 1 et P1, les autres paramètres sont les caractéristiques de la pompe Relation globale. Question 5 : Calculer la valeur moyenne, Cm1moyen, du couple Cm1(1) sachant que : - P1 = Pmax si le piston est en phase de refoulement ( 1 0, ), - P1 = 0 si le piston est en phase d admission ( 1,2 ) Question 6 : En déduire la valeur moyenne Cmmoyen du couple nécessaire à l entraînement de la pompe à six pistons. Question 7 : Faire l application numérique puis tracer la fonction Cmmoyen(Pmax) pour : 0 < Pmax < 25 bars (on prendra 11, d 6mm et D 19mm.