(candidature initiale) Adresse : 351 COURS DE LA LIBERATION F TALENCE CEDEX FRANCE Code postal : 33405

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1 Dossier de candidature à un PHC 2008/2009 (candidature initiale) Projet : 18732ZJ Programme concerné PHC SAKURA (Japon) 1 - Partenaires Chef de projet Nom : Fonction : Mlle CADORET ANNA Maitre de Conférences France Japon M TAMAGAWA AKIO Professeur Laboratoire Nom : Institution de Rattachement : INSTITUT DE MATHEMATIQUES DE BORDEAUX I.M.B. Université : UNIVERSITE BORDEAUX 1() RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES KYOTO UNIVERSITY Adresse : 351 COURS DE LA LIBERATION F TALENCE CEDEX FRANCE Code postal : Ville : TALENCE Tél : Télécopie : mél : [email protected] Directeur : M METIVIER GUY RIMS KYOTO UNIVERSITY KYOTO JAPON KYOTO [email protected] M KASHIWARA MASAKI Professeur 2 - Projet Titre : Torsion sur les Schémas Abéliens et Points Rationnels sur les Espaces de Modules. Domaine : Mathématiques et leurs interactions 3 - Moyens demandés en 2008 Nombre total de personnes Nombre total de voyages Durée totale des séjours (en jours) France vers Japon Japon vers France Moyens demandés en 2009 Nombre total de personnes Nombre total de voyages Durée totale des séjours (en jours) France vers Japon Japon vers France Autres financements reçus Autres financements reçus ou demandés : Avez-vous déjà bénéficié d'un financement pour ce PHC? Sur le même thème de recherche? Avec le même partenaire? Autres demandes déposées pour 2008 : NON NON NON 1/ 8 / DOSSIER 17617

2 6 - Description du projet Objectif scientifique et/ou technologique de la collaboration Ce projet est basé sur une collaboration récente entre les deux responsables, qui leur a permis de prouver la "Modular Tower Conjecture" (MT) en dimension 1 (MT1). (MT) est une conjecture classique (M. Fried) de la théorie de Galois inverse régulière: si (H_n) est un système projectif d'espaces de modules classifiant les G-revêtements de courbes de genre g avec pour groupe G_n et indices de ramification e_1,...,e_r (indépendants de n) alors pour tout k corps de nombres H_n(k) est vide pour n>>0 dès lors que la limite projective des G_n contient un sous-groupe ouvert pro-p libre de rang fini. Par exemple si (g,r)=(0,4); G_n est le groupe dihédral d'ordre 2p^n; et e_i=2 (i=1,...,4), alors H_n est la courbe modulaire Y_1(p^n) classifiant les courbes elliptiques avec un point de torsion d'ordre exactement p^n. Dans ce cas, (MT) résulte de la conjecture de Mordell (Faltings) et du fait que Y_1(p^n) est de genre >1 pour n>>0. La preuve de (MT1) repose sur les résultats suivants. Soit A un schéma abélien sur une courbe lisse S definie sur un corps k de caractéristique 0 et soit p un nombre premier. (GeomT) Supposons k algébriquement clos et, pour simplifier, que A ne contient pas de sous-variété isotriviale. Alors pour tout g>0 il existe un entier N dépendant (à priori) de A, g, p tel que pour n>n tout point de torsion de la fibre générique d'ordre exactement p^n ne peut être défini sur le corps de fonctions d'un revêtement étale fini S' de S si le genre de S' est <g. (AritT) Supposons k de type fini. Alors il existe un entier N dépendant (à priori) de A, p tel que pour tout point k-rationnel sur S et tout n>n il n'y a pas de sous-groupe de torsion k-rationnel isomorphe à Z/p^n ou Z/p^n(1) (comme module galoisien) sur la fibre spéciale correspondante. L'objectif de ce projet est de généraliser (MT), (GeomT) et (AritT) comme suit: - (GeomT): (1) Rendre les bornes effectives et, en particulier, montrer qu'elles ne dépendent que de la dimension de A et de g. (2) Obtenir un énoncé similaire pour la gonalité. Etendre le résultat (3) à la caractéristique positive et (4) à un schéma de base S de dimension m quelconque en remplaçant le genre par la dimension de Kodaira (plus précisément, de genre >1 par de type général). (5) Formuler et prouver une version pour les champs. - (AritT): Etendre le résultat aux sous-groupes de torsion rationnels (1) d'ordre p^n définis sur une extension de degré bornée et (2) d'ordre quelconque définis sur une extension de degré bornée. Etendre le résultat (3) à la caractéristique positive et (4) à un schéma de base quelconque. - (MT): (1) Réduire (MT) à une situation de modules fins. Etendre ces techniques à d'autres champs/espaces de modules. (2) Etablir (MT) par des méthodes inductives (l'énoncé en dimensions 0 et 1 est maintenant établi). (3) Etablir (MT) sous la conjecture de Bombieri-Lang (BL). Notons que l'argument utilisé pour déduire (AritT) de (GeomT) fonctionne encore- modulo quelques ajustements - pour déduire (AritT) (j) de (GeomT) (j), j=1,2,3. De plus, sous (BL) et (GeomT) (4), on peut, en procédant par induction et en utilisant ce même argument, prouver (AritT) (4). (GeomT), (AritT) et leurs généralisations proposent une approche définitivement nouvelle des conjectures de torsion (TC) pour les variétés abéliennes de dimension d. Mentionons par exemple que (TC) pour tout d est équivalente à (AritT) (4) pour tout m. Donc puisque sous (BL) (GeomT) (4) implique (AritT) (4), une preuve de (GeomT) (4) montrerait que (TC) est une conséquence de (BL), établissant ainsi une nouvelle implication entre deux des conjectures les plus standards de la géométrie arithmétique. Un des ingrédients de la preuve de (GeomT) est la non-existence de certaines représentations galoisiennes. L'extension de ce type d'énoncé sera nécessaire pour résoudre plusieurs des points ci-dessus mais c'est un problème intéressant en lui-même et que nous envisageons d'explorer parallèlement. Aucun fichier téléchargé par le candidat Programme de travail proposé et calendrier 1- Au sein de chaque équipe: organisation régulière de séminaires, workshops et rencontres informelles dès l'automne 2007 et durant toute la durée du projet. 2- Entre les deux équipes: (i) En fonction des compétences de chaque membre, entreprendre ou poursuivre une/ plusieurs collaborations via 1- (au sein de chaque équipe) et par communication électronique. (ii) Deux missions par an sont prévues de la France vers le Japon et trois missions la premiere anee, quatre missions (de plus courtes durée) la deuxieme annee du Japon vers la France. Les deux responsables projettent de se rencontrer au moins une fois par an (et, idéalement, deux fois) pour faire la synthèse des résultats collectés et préparer les orientations suivantes en fonction de l'avancement du projet. Outre ces aspects techniques, les missions des deux responsables ainsi que celles de M. Romagny (2008) et P. Parent (2009), cote francais et de K. Arai (2008) et T. Taguchi (2008), cote japonais seront consacrées (a) à des discussions mathématiques approfondies pour tenter de résoudre des points particulier qui seront restés problématiques et (b) à des communications sur les résultats obtenus de part et d'autre. Les quatre missions de sept jours des membres japonais seront destinees essentiellement a soutenir leur participation a une conférence cemtree sur notre projet (cf. "Résultats attendus du projet" et "Perspectives européennes" ci-dessous). Sur le plan scientifique, les premiers points que nous projetons d'aborder simultanément sont (GeomT)(4) dans le cas des surfaces, (GeomT)(1), (2) et (GeomT)(3). Les chercheurs spécialisés en théorie des champs pourront aussi considérer (GeomT)(5). Intérêt de la collaboration et complémentarité des équipes Aucune des étapes des preuves actuelles de (MT), (GeomT), (AritT) ne se généralise de façon évidente pour atteindre les objectifs listés dans "Objectif scientifique et/ou technologique de la collaboration". Pour cela, des compétences pointues issues de différents domaines de la géométrie arithmétique seront sans doute nécessaires. Nous cherchons donc à regrouper autour de notre projet les 2/ 8 / DOSSIER 17617

3 chercheurs disposant de ces compétences. Nous pensons ainsi developper d'intenses échanges scientifiques et établir des collaborations nouvelles qui nous permettrons d'obtenir rapidement des résultats significatifs. Nous donnons ci-dessous une liste synthétique des compétences que nous estimons nécessaire. Entre parenthèses, nous avons indiqué le nom du ou des chercheurs sélectionnés (plus particulièrement) pour cette compétence ainsi que leur nationalité (J=Japon, F=France): Géométrie algébrique en dimension supérieure (Moriwaki (J)), Géométrie arithmétique des courbes (Liu (F)), Géométrie diophantienne (Moriwaki (J), Hindry (F)), Phénomènes de torsion sur les variétés abéliennes (Arai (J), Hindry (F), Parent (F)), Champs et espaces de modules (Moriwaki (J), Romagny (F)), Groupe fondamental (Tsunogai (J), Hoshi (J), Emsalem (F)), Représentations galoisiennes (Taguchi (J), Yasuda (J)). Il nous a semblé naturel d'inclure dans chaque équipe des chercheurs possédant des compétences nécessaires pour aborder la plupart des points, ceci afin de stimuler la coopération à la fois au sein de chaque équipe et entre les deux équipes. Pour les competences qui ne devraient interbvenir que sur certains aspects specifique du programme, nous n'avons selectionne qu'un chercheur sur les deux equipes (Eg. Moriwaki (J) pour l'aspect purement geometrie algebrique de (GeomT) (4) ou Romagny (F) pour les questions pointues sur les champs et espaces de modules de courbes). Avantages de la collaboration pour le laboratoire français Comme indique dans le titre du projet et decrit ci-dessus dans "Objectif scientifique et/ou technologique de la collaboration", les objets mathematiques au centre de notre projet sont les schemas abeliens, les revetements et les espaces de modules. La problematique meme du projet est l'aboutissement naturel de la demarche scientifique d'a. Cadoret depuis sa these de doctorat (Eg.: la preuve de (MT1) etait au coeur du projet de recherche supporte par sa bourse J.S.P.S. P06033) mais la methodologie proposee est issue de sa collaboration avec A. Tamagawa. L'avantage essentiel de la collaboration est donc scientifique: nous esperons que la collusion d'une problematique "typiquement francaise" (et donc de l'ensemble des techniques - maintenant classiques - developpees en France pour l'aborder) et du point-de-vue japonais novateur donneront jour a de nouvelles idees (cf la preuve de (MT1)). En outre, nous pensons que ces nouvelles idees reposeront en partie sur des competences plus specifiquement regroupees au sein de l'equipe japonaise (groupe fondamental, geometrie algebrique en dimension superieure). Signalons aussi que d'un point de vue administratif les partenaires japonais appartiennent aux plus prestigieux des instituts japonais en mathematiques (R.I.M.S., Tokyo Univ. et Kyoto Univ. notamment) et disposent donc de fonds (bourses personnelles et fonds des laboratoires) consequents qui a l'occasion permettront de completer le budget Sakura. Enfin, en ce qui concerne la formation par la recherche, ce projet devrait permettre aux doctorants francais inclus dans le projet d'etablir des contacts avec des mathematiciens japonais. Il est tout a fait envisageable que cela leur permette par exemple d'obtenir ensuite un post-doctorat au Japon. 3/ 8 / DOSSIER 17617

4 7 - Présentation des équipes Composition des équipes (signaler par "*" les personnes qui participent au projet) France : Nous indiquons par * les chercheurs supposés effectuer une mission sur les fonds Sakura. Tous les autres chercheurs participent cependant au projet. Anna CADORET* (Maitre de conférences - Univ. Bordeaux 1) [responsable], Michel EMSALEM (Professeur - Univ. Lille 1), Marc HINDRY (Professeur - Univ. Paris 7), Qing LIU (Professeur - Univ Bordeaux 1), Pierre PARENT* (Maitre de conférences - Univ. Bordeaux 1), Matthieu ROMAGNY* (Maitre de conférences - Univ. Paris 6). Japon : Nous indiquons par * les chercheurs supposés effectuer une mission sur les fonds Sakura. Tous les autres chercheurs participent cependant au projet.akio TAMAGAWA* (Professeur - R.I.M.S. Kyoto Univ.) [responsable], Atsushi MORIWAKI* (Professeur - R.I.M.S. Kyoto Univ.), Yuichiro TAGUCHI* (Professeur associé - Kyushu Univ.), Hiroshi TSUNOGAI* (Professeur associé - Jochi Univ.), Seidai YASUDA (Chargé de recherche - R.I.M.S. Kyoto Univ.), Yuichiro HOSHI (Chargé de recherche - R.I.M.S. Kyoto Univ.), Keisuke ARAI* (Post-Doctorant - Tokyo Univ.). Equipements disponibles pour la réalisation du projet France : Ressources des universités associées au projet (Univ. Bordeaux 1, Univ. Lille 1, Univ. Paris 6-7) incluant: bibliotheque de recherche, équipement informatique, bureaux et salles de séminaire/ conférence, équipes techniques et administratives etc. Japon : Ressources des universités associées au projet (Kyoto Univ., Kyushu Univ., Tokyo Univ., Jochi Univ.) incluant: bibliotheque de recherche, équipement informatique, bureaux et salles de séminaire/ conférence, équipes techniques et administratives etc. Publications significatives en rapport avec le projet (5 maximum) France : M. Hindry et J.H. Silverman, "Diophantine geometry. An introduction", GTM 201, Springer-Verlag, 2000.// Q. Liu, "Algebraic geometry and arithmetic curves", Oxford Univ. Press, 2002.// Q. Liu, D. Lorenzini et M. Raynaud, Neron models, Lie algebras and reduction of curves of genus one, Invent. Math. 157 (2004).// P. Parent, Bornes effectives pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres, J. Reine Angew. Math. 506 (1999).// M. Romagny, Group actions on stacks and applications, Michigan Math. Journal 53 (2005).// Japon : A. Tamagawa, Finiteness of isomorphism classes of curves in positive characteristic with prescribed fundamental groups, J. Algebraic Geom. 13 (2004).// A. Moriwaki, A generalization of conjectures of Bogomolov and Lang over finitely generated fields, Duke Math. J. 107 (2001).// Y. Taguchi, On potentially Abelian geometric representations, Ramanujan J. 7 (2003).// H. Tsunogai, The stable derivation algebras for higher genera, Israel J. Math. 136 (2003).// T. Hiranouchi, Finiteness of abelian fundamental groups with restricted ramification, C.R. Math. Acad. Sci. Paris 341 (2005).// Appuis demandés et/ou obtenus pour ce projet, en dehors de ce PHC France : Aucune. Japon : Aucune. 4/ 8 / DOSSIER 17617

5 8 - Perspectives de la coopération Rappel du contexte de la coopération et des relations existantes Ce projet repose sur une collaboration entre les deux responsables d'equipe. Cette collaboration s'est construite au cours de deux visites d'a. Cadoret au R.I.M.S.; la première (Aout-Septembre 2005) financée par une bourse du Prof. Tamagawa et la seconde (Sept Sept. 2007) par une bourse de recherche post-doctorale de la J.S.P.S. (P06033). Cette collaboration a pour l'instant donné lieu a deux preprints cosignés: l'un [CT06] soumis en 2006 et l'autre [CT07], ou sont prouvés (MT1), (GeomT) et (AritT), en préparation. Les resultats de [CT07] representent l'aboutissement du projet de recherche qui avait permis a A. Cadoret d'obtenir sa bourse J.S.P.S. et c'est a partir du travail conjoint et des methodes developpees sur [CT07] que s'est construit le programme de recherche propose pour le projet Sakura. Dans le choix des autres collaborateurs, nous avons egalement pris en compte l'existence de relations scientifiques avec des cherchuers non-inclus dans notre projet de facon a creer un maillage plus vaste. (La selection s'est faite, precisement, sur les criteres suivants: (i) competence scientifique, (ii) rattachement a un iinstitut mathematique de haut niveau, (iii) autres collaborations nationales ou internationales (iv) liens prealables avec le responsable de projet et (v) doctorants.) Formation par la recherche (ce projet sert-il de support à une formation par la recherche, notamment dans le cadre d'une cotutelle de thèse? Le cas échéant, préciser le nom des doctorants ainsi que leur sujet de recherche). Ce projet doit permettre de développer des collaborations et transferts de compétences entre participants sous les formes suivantes: (1) Collaboration mathématique rapprochée entre deux ou plusieurs chercheurs (idéalement entre plusieurs jeunes chercheurs ou un (plusieurs) jeune(s) chercheur(s) et un chercheur expérimenté) sur un point précis du projet avec pour objectif sa résolution et la publication d'articles cosignés (rapportant notamment les résultats intermédiaires obtenus). (2) Organisation de séminaires, cours et workshops ayant pour objectifs: (i) de diffuser les connaissances et outils nécessaires pour aborder certains points du programme et (ii) de présenter et discuter les avancées scientifiques significatives liées sous une forme ou une autre au projet. Nous espérons particulièrement que les doctorants assisteront a ces sessions plus ou moins informelles et y interviendront sous forme d'exposés. Nous listons ci-dessous les doctorants participant directement a notre projet ainsi que les mots-clefs de leur sujet de thèse. Au Japon: Shinya HARADA (Y. Taguchi, Kyushu Univ.) - représentations galoisiennes, Toshiro HIRANOUCHI (Y. Taguchi, Kyushu Univ.) - groupe fondamental arithmétique, Isamu IWANARI (A. Moriwaki, Kyoto Univ.) - champs, log-géométrie et géométrie rigide. En France: Marco ANTEI (M. Emsalem, Univ. Lille 1) - groupes fondamentaux de Nori et de Gasparri, Huajuan LU (Q. Liu, Univ. Bordeaux 1) - réduction des courbes elliptiques, Fabien PAZUKI (H. Cohen, Univ. Bordeaux 1/M. Hindry, Univ. Paris 7) - Conjecture de Lang pour la hauteur de Néron-Tate. Résultats attendus du projet (Publications, communications, organisation de colloques, formation, valorisation économique, sociale, industrielle, dépôt de brevet) Notre objectif principal est d'établir autant des points listés dans "Objectif scientifique et/ou technologique de la collaboration" que possible. Nous estimons que ce projet propose une approche définitivement nouvelle de problèmes aussi classiques et profonds que les conjectures de torsion pour les variétés abéliennes ou le problème de Galois inverse régulier. Tout progrès significatif devrait donc donner lieu à des publications dans des revues mathématiques de haut niveau ainsi qu'à des communications en séminaires, workshops et conférences internationales. (les resultats de [CT07] peuvent déjà être considérés comme l'une des avancées les plus significatives dans le domaine depuis une dizaine d'années). Plus concrètement, nous envisageons d'exposer nos résultats dans la troisième conférence du cycle "around the modular tower program" en 2008 (cf. "Autres perspectives internationales") et d'organiser en 2009 un workshop d'une semaine autour de notre projet conjointement avec le G.T.E.M. (cf. "perspectives européennes"). Pour ce qui relève de la formation pour la recherche, cf. "Formation par la recherche" ci-dessus. Perspectives européennes (Participation existante ou envisagée à un programme communautaire ; le ou les nommer. Préciser votre ou vos partenaires) Du côté français, les trois départements de mathématiques sélectionnées: Bordeaux 1, Lille 1 et Paris 6-7 sont les trois noeuds français du réseau européen G.T.E.M. (Galois Theory and Explicit Methods). En particulier, nous prévoyons d'utiliser les fonds du G.T.E.M. pour organiser au moins un workshop structuré autour de notre projet (en 2009). La participation des membres du réseau G.T.E.M. (France et hors France) sera supportée par les fonds de ce réseau. Les fonds japonais du projet Sakura pour 2009 seraient utilisés pour supporter la participation des chercheurs japonais. Mentionnons aussi que le laboratoire de Paris 6-7 fait maintenant partie de la "Fondation Mathématiques de Paris", qui dispose de fonds importants pour organiser des séminaires, des conférences et financer des post-doctorats. Du côté japonais, A. Tamagawa est membre externe du réseau européen A.A.G. (Arithmetic Algebraic Geometry). Il est également invité à participer au nouveau programme de l'institut Isaac Newton intitulé "Non-abelian fundamental groups in arithmetic geometry". Soulignons qu'il collabore (via des articles co-signés) avec deux ces organisateurs, M. Kim (UK) et M. Saidi (UK). Autres perspectives internationales Parmi les collaborations internationales hors communauté européenne mais directement liées à notre projet, mentionnons par exemple que A. Tamagawa, H. Tsunogai, Y. Hoshi, A. Cadoret et M. Emsalem ont participé à au moins l'une des deux premières conférences co-organisées par P. Dèbes (F), M. Fried (U.S.A.), J. Koenigsman (U.K.), H. Nakamura (J) et K. Ribet (U.S.A.) du cycle "around the modular tower program". Une troisième conférence est prévue en A. Tamagawa est également invité à participer au projet international monté par C.-L. Chai, T. Chinburg, D. Harbater et F. Pop à UPenn (U.S.A.) et dont l'un des objectifs est de tisser et renforcer les liens avec le réseau européen G.T.E.M. mentionné ci-dessus. Citons enfin les collaborations actuelles de M. Hindry avec J.H. Silverman (U.S.A.) et Q. Liu avec D. Lorenzini (U.S.A.). Perspectives industrielles actuelles ou attendues (Partenaires, retombées envisagées) A. Tamagawa, Y. Taguchi, S. Yasuda et Y. Hoshi sont membres du programme J.S.P.S. "Core-to-Core" intitulé "New Developments of 5/ 8 / DOSSIER 17617

6 Arithmetic Geometry, Motives, Galois Theory, and Their Practical Applications", dont les objectifs sont de (1) développer les mathématiques modernes de pointe, (2) développer des applications pratiques des mathématiques classiques/ contemporaines telle que la cryptographie ou les séries aléatoires et les implémenter informatiquement pour usage public et (3) collecter les retours et demandes d'optimisation concernant la mise en oeuvre pratique ces technologies mathématiques. Le réseau européen G.T.E.M. mentionné ci-dessus et dont font partie tous les membres francais du projet poursuit des objectifs similaires au sein de la Communauté Européenne. Pus précisément, l'un de ses aspects consiste a rendre les objets de la théorie des nombres et de la géométrie arithmétique effectivement calculables afin de pouvoir développer des applications concretes en cryptographie et réseaux. 6/ 8 / DOSSIER 17617

7 9 - Tableau récapitulatif des moyens demandés pour la réalisation du projet en 2008 Nom des chercheurs Fonctions Nombre de voyages Durée totale en jours Laboratoire-Ville Mlle Cadoret Anna Maitre de Conférences 1 20 R.I.M.S.-Kyoto M Romagny Matthieu Maitre de Conférences 1 10 R.I.M.S.-Kyoto F r a n c e M Tamagawa Akio Professeur 1 15 I.M.B.-Bordeaux M Taguchi Yuichiro Professeur Associé 1 15 Univ. Joseph Fourier-Grenoble M Arai Keisuke Post-Doctorant 1 7 Univ. Paris 6-7-Paris J a p o n 7/ 8 / DOSSIER 17617

8 10 - Tableau récapitulatif des moyens demandés pour la réalisation du projet en 2009 Nom des chercheurs Fonctions Nombre de voyages Durée totale en jours Laboratoire-Ville Mlle Cadoret Anna Maître de Conférences 1 20 R.I.M.S.-Kyoto M Parent Pierre Maître de Conférences 1 10 Tokyo Univ.-Tokyo F r a n c e M Tamagawa Akio Professeur 1 7 I.M.B.-Bordeaux M Moriwaki Atsushi Professeur 1 7 I.M.B.-Bordeaux M Taguchi Yuichiro Professeur Associé 1 7 I.M.B.-Bordeaux M Tsunogai Hiroshi Professeur Associé 1 7 I.M.B.-Bordeaux J a p o n 8/ 8 / DOSSIER 17617