Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé

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1 Exercice Commun à tous les candidats Baccalauréat Blanc février 25 Corrigé. Réponse d. : e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e 5,4. 2. Réponse b. : positif sur [3; 4] En effet la fonction g est croissante sur cet intervalle. 4 points 3. Réponse c. : x e x2 2 On calcule H (x) en appliquant la formule ( e u(x)) = u (x)e u(x). 4. Réponse a. : 6,5 k() = 5 et k() = 8 ; de plus la fonction k est représentée par une droite. On cherche donc l aire d un trapèze de petite base 5, de grande base 8 et de hauteur. Exercice 2 Commun à tous les candidats 5 points Une personne décide d ouvrir un compte épargne le premier janvier 24 et d y placer 2 euros. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 %. Elle verse 5 euros sur ce compte tous les er janvier suivants. Pour tout entier naturel n, on note u n le montant présent sur ce compte au premier janvier de l année 24 + n après le versement de 5 euros. On a u = 2. Partie A. Les intérêts la première année sont de : 2 3 = 6 ; on a donc au bout d un an : = 22. Donc u = 22. Les intérêts la deuxième année sont de : 22 3 = 66,3 ; on a donc au bout de deux ans : ,3 + 5 = 2426,3. Donc u 2 = 2426,3. 2. Ajouter 3 % à un nombre, c est multiplier par + 3 =,3. Pour passer de l année n à l année n +, on multiplie le capital par,3 puis on ajoute 5 ; donc u n+ =,3u n + 5, pour tout entier naturel n. 3. Pour tout entier n, on pose v n = u n + 5 donc u n = v n 5. v n+ = u n+ +5 =,3u n +5+5 =,3(v n 5)+55 =,3v n =,5v n v = u + 5 = = 7 Donc la suite (v n ) est géométrique de raison q =,3 et de premier terme v = La suite (v n ) est géométrique de raison q =,3 et de premier terme v = 7 donc, pour tout entier n, v n = v q n = 7,3 n. Comme pour tout n, u n = v n 5, on déduit que pour tout n, u n = 7,3 n Cette personne aura au moins 4 euros sur son compte dès que u n 4. ère méthode : On peut également calculer u 3, u 4... u 8 et u 9, puis signaler que u 8 = 3867,39 < 4 et que u 9 = 433,4 > 4.

2 2 ème méthode : utiliser un programme : ariables : N est un nombre entier Initialisation : Affecter à N la valeur Traitement : Tant que 7,3 N 5 < 4 Faire Affecter à N la valeur N + Fin du Tant que Sortie : Afficher N 4 ème méthode : représenter graphiquement les fonctions f et g définies par : f (x) = 7,3 x 5 et g (x) = 4 et rechercher l abscisse du point d intersection des deux courbes représentatives de C f et C g. 5 ème méthode : On résout l inéquation u n 4 7,3 n 5 4 7,3 n 9,3 n 9 7 ln (,3 n) ln 9 7 n ln,3 ln 9 7 croissance de la fonction ln sur ]; + [ propriété de la fonction ln n ln 9 7 ln,3 car ln,3 > ln 9 Or 7 8,5 donc c est à partir de n = 9 que la personne aura au moins 4 euros sur son ln,3 compte, c est-à-dire à partir de l année = 223. Partie B L algorithme ci-dessous modélise l évolution d un autre compte épargne, ouvert le premier janvier 24, par une seconde personne. ariables : C et D sont des nombres réels N est un nombre entier Entrée : Saisir une valeur pour C Traitement : Affecter à N la valeur Affecter à D la valeur 2 C Tant que C < D faire affecter à C la valeur,3 C + 6 affecter à N la valeur N + Fin du Tant que Sortie : Afficher N. a. Dans cet algorithme, la variable C représente la somme que possède la personne l année 24 + N. b. On sait que C reçoit,3 C + 6 donc le capital est multiplié par,3 ce qui correspond à une augmentation de 3 %. c. On sait que C reçoit,3 C + 6 donc le versement annuel fait par cette personne est de 6 euros. 2. On saisit, pour la variable C, la valeur 3. Bac Blanc Corrigé 2 février 25

3 a. Pour cette valeur de C, on complète le tableau en suivant pas à pas l algorithme : aleur de C ,7 5 32, , ,3 aleur de N aleur de D Test C < D vrai vrai vrai vrai vrai faux b. L algorithme affiche la valeur de N en sortie de boucle, c est-à-dire dès que C devient supérieur ou égal à D ; l algorithme affiche donc 5. La variable D est égale au double du capital initial ; cet algorithme donne donc le nombre d années qu il faut pour que le capital double, donc 5. À partir de = 29, le capital aura doublé. Exercice 3 5 points Enseignement obligatoire. Déterminer : P(A), P(T ), P( ), P A ( ) et P T ( ). D après les données de l énoncé : 4% des clients utilisent la compagnie pour des raisons professionnelles alors, P(A) =,4 35% des clients utilisent la compagnie pour des raisons touristiques alors, P(T ) =,35. Sur l ensemble de la clientèle, 4% choisit de voyager en première classe alors, P( ) =,4. 6% des clients pour raisons professionnelles voyagent en première classe alors, P A ( ) =,6. 2% des clients pour raison touristiques voyagent en première classe alors, P T ( ) =,2. On peut représenter la situation à l aide d un arbre.,4 A,6 Ω,35 T,2 2. a. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons professionnelles. P( A) = P A ( ) P(A) =,6,4 =,24 D La probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons professionnelles est égale à,24. b. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons touristiques. P( T ) = P T ( ) P(T ) =,2,35 =,7 La probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons touristiques est égale à,7. Bac Blanc Corrigé 3 février 25

4 c. En déduire la probabilité que le client interrogé voyage en première classe et pour des raisons autres que professionnelles ou touristiques. A, T et D forment une partition de l univers Ω alors, d après la formule des probabilités totales : P( ) = P( A) + P( T ) + P( D) D où P( D) = P( ) P( A) P( T ) =,4,24,7 =,9 3. Déterminer la probabilité que le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles sachant qu il a choisi la première classe. P( A) P (A) = p( ) =,24,4 =,6 La probabilité que le client interrogé voyage pour des raisons professionnelles sachant qu il a choisi la première classe est égale à,6. 4. a. Chaque client a deux possibilités : soit il voyage en première classe avec une probabilité de p = P( ) =,4, soit non. Nous sommes donc dans le cas d une épreuve de Bernoulli que l on répète 5 fois de manière identique et indépendante, c est donc un schéma de Bernoulli de paramètres n = 5, p =,4. La variable aléatoire X est la variable aléatoire comptant le nombre de succès de cette épreuve, X suit donc une loi binomiale B(n, p) de paramètres n = 5, p =,4. b. avec la calculatrice on trouve P(X = 2), EXERCICE 3 Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité 5 points A B C E D. sommets A B C D E degré Comme le graphe est connexe (exemple ABCE AD est une chaîne reliant tous les sommets) et comme il y a exactement deux sommets de degré impair A et E, il y a une chaine eulérienne qui commence et finit par chacun de ces deux sommets, et comme la somme des degrés est 4, il y a 7 arêtes. A,B,D,A,E,C,B,E est un tel itinéraire complet d accrobranches, empruntant une fois et une seule chaque parcours et commençant par l arbre numéro A. Bac Blanc Corrigé 4 février 25

5 2. a. La matrice M :. M = b. On utilise la matrice M 3, et son coefficient situé en première ligne quatrième colonne m ( 4 3). C est 5 ; c est le nombre d «itinéraires express» qui débutent à l arbre numéro A, empruntent trois parcours d accrobranches et finissent à l arbre D. Ce sont A, E, B, D ; A,B,A, D ; A, E, A, D ; A,D, A, D ; A, D, B, D. 3. a. On sait que K (2 ; ) est sur la courbe C donc f (x K ) = y K donc f (2) = or f (2) = a b 2 + c donc 4a + 2b + c =, c est la première ligne du système. On sait que J( ; 2,5) est sur la courbe C donc f (x J ) = y J donc f () = 2,5 or f () = a 2 + b + c donc a + b + c = 2,5, c est la deuxième ligne du système. On sait que I (2 ; 8,) est sur la courbe C donc f (x I ) = y I donc f (2) = 8, or f (2) = a b 2 + c donc 4a + 2b + c = 8,, c est la troisième ligne du système. a b. Prenons X = et = b c 2,5 8, alors le système précédent est équivalent à 4 2 U X = où U =. 4 2 c. La calculatrice nous permet de savoir que U existe. On sait qu alors : U X = X = U. On trouve à la calculatrice que U = 4 Ainsi, a =,b = et c =. Donc f (x) = 4 4 x2 x + EXERCICE 4 Commun à tous les candidats 6 points On considère f la fonction définie sur R par f (x) = xe x +. On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan et f la fonction dérivée de f.. a. f (x) = e x + x ( ) e x = e x ( x) b. Pour tout réel x, e x > ; donc f (x) est du signe de x. Bac Blanc Corrigé 5 février 25

6 x e x x f (x) f e + e Et : f () = e +,37 e Finalement : Sur ] ;[, x > donc f est strictement croissante. Sur ];+ [, x < donc f est strictement décroissante. 2. a. D après la question.b, la fonction f est strictement croissante et continue (en effet elle est dérivable) sur [ ;] ; de plus f ( ) = e + < et f () = >. D après la propriété des valeurs intermédiaires, l équation f (x) = admet une solution unique α sur [ ;]. [ ] b. D après la calculatrice, f (,6),9 < et f (,5),8 > donc α,6;,5. 3. L équation réduite de la tangente au point de la courbe C f d abscisse a est y = f (a)(x a)+ f (a). En a =, l équation de T est : y = f ()(x ) + f (). Or f (x) = e x ( x) donc f () = e = et on sait que f () =. L équation réduite de la tangente T est : y = x a. D après le tableau donné dans le texte, f (x) = e x (x 2) ; cette dérivée seconde est du signe de x 2 car e x > pour tout réel x.. Sur l intervalle ] ;2[, x 2 < donc f (x) < et donc la fonction dérivée f est strictement décroissante. Sur l intervalle ]2;+ [, x 2 > donc f (x) > et donc la fonction dérivée f est strictement croissante. b. On sait qu une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée première est croissante sur cet intervalle. Or f est croissante sur ]2;+ [, donc la fonction f est convexe sur l intervalle ]2;+ [. On sait qu une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa dérivée première est décroissante sur cet intervalle. Or f est décroissante sur ] ;2[, donc la fonction f est concave sur l intervalle ] ;2[. c. Une fonction est concave sur un intervalle quand sa courbe représentative est entièrement située en dessous de toutes ses tangentes. On sait que la fonction f est concave sur l intervalle ] ;2[ et que T est une tangente à la courbe au point d abscisse qui appartient à ] ;2[. Donc la courbe C f est située en dessous de T sur l intervalle ] ;2[. 5. On a tracé ci-dessous la courbe C f et la tangente T dans un repère orthonormé. Bac Blanc Corrigé 6 février 25

7 T 2 C f 2 O a. On considère la fonction F définie sur R par F (x) = e x ( x) + x. F est une primitive de f si et seulement si F = f. F (x) = ( ) e x ( x) + e x ( ) + = e x ( + x ) + = x e x + = f (x) Donc F est une primitive de f. b. La tangente T est d équation y = x + donc c est la représentation graphique de la fonction g définie par g (x) = x +. On sait que sur ] ;2[ la droite T est au dessus de la courbe C f donc c est encore vrai sur [;] ; donc sur cet intervalle g > f et donc g f >. ( ) D après le cours,on peut dire que l aire du domaine hachuré est, en unités d aires, A = g f (x) dx. D après la linéarité de l intégration, ( ) g f (x) dx = g (x) dx f (x) dx. Or F est une primitive de f sur R donc f (x) dx = F () F () = ( e ( 2) + ) ( e ( ) + ) = 2 2e. Cette quantité correspond à l aire du domaine situé entre la courbe C f, l axe des abscisses et les droites d équations x = et x =. La fonction polynôme g a pour primitive la fonction G définie par G (x) = x2 2 + x. ( ) Donc g (x) dx = G () G () = 2 + = 3 2. L aire vaut en unités d aire : A = 3 2 ( 2 2e ) = 2e,236 u.a. 2 Bac Blanc Corrigé 7 février 25