NOMBRES RELATIFS : naissance d Archimède : 287 ans avant la naissance de J.C. 3 : température de 3 en dessous de 0

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1 I. Qu est-ce qu un nombre relatif? 1) Rappel NOMBRES RELATIFS 1 Dans de nombreuses situations, on utilise des nombres «positifs» ou «négatifs».ce sont les nombres relatifs. Ils sont utiles dans les cas suivants : Les températures Les dates (avant et après J.C) Les altitudes (au dessus ou au dessous de la mer). Les calculs bancaires Etc. 2) Exemples de nombres positifs : 14 ans ; 25 mètres ; 3) Exemples de nombres négatifs : Remarque : 287 : naissance d Archimède : 287 ans avant la naissance de J.C. 3 : température de 3 en dessous de 0 Le signe + n est pas toujours noté : +14 s écrit 14 ou +25 s écrit 25 II. La droite graduée 1) Représentation des nombres relatifs sur la droite graduée L unité choisie est ici le cm, elle est reportée régulièrement sur tout l axe D C E E A B L origine On dit que l abscisse de A est 3, et on note A(3). Le mot «abscisse» vient du latin «abscissa» (ligne coupée) dû à l allemand Gottfried Wilhelm von Leibniz en Exemples : Quelles sont les abscisses de B et C? B(4,5) et C(-3) Placer les points D et E d abscisses respectives 5 et 2,5.

2 NOMBRES RELATIFS 2 2) Opposé d un nombre On obtient l opposé d un nombre en changeant son signe. Exemples : L opposé de est Remarque : Deux points dont les abscisses sont opposées sont situés à égale distance de l origine. Exemple : Placer le point E dont l abscisse est l opposé de celle de E. 0 E III. Comparaison des nombres relatifs Rappel : Ordre croissant (comme croître) : du plus petit au plus grand. Ordre décroissant: du plus grand au plus petit. Méthode: 1) Comparer : a) 2,5 et 5,5 b) 1,8 et -3,2 c) -1 et -2, a) 2,5 < 5,5 b) 1,8 > -3,2 c) -1 > -2,5 2) Ranger les nombres suivants dans l ordre croissant : -4,03 ; 2,5 ; -4,3 ; -3,4 ; 2,9 Pour des nombres négatifs, la plus grande partie numérique donne le nombre le plus petit! -4,3 < -4,03 < -3,4 < 2,5 < 2,9

3 NOMBRES RELATIFS 3 IV. Repère du plan On dit que René Descartes ( ) eut l idée d un repère du plan en géométrie, un jour où il vit une mouche se promener sur les carreaux des fenêtres de sa cuisine. Le nom de repère cartésien est resté aujourd hui. Descartes nous laisse l adjectif «cartésien» ; on dit d un esprit cartésien, qui présente des qualités intellectuelles, claires, logiques et méthodiques. Descartes est aussi l auteur de la célèbre citation : «Je pense donc je suis.» 1) Un repère orthogonal Axe des ordonnées 3 2 A origine -1 Axe des abscisses ) Se repérer Pour le point A : Sur l axe des abscisses, on lit : 3 Sur l axe des ordonnées, on lit : 2 L abscisse de A est : 3 L ordonnée de A est : 2 Les coordonnées de A sont : 3 et 2 On écrit : A ( 3 ; 2 ) On note d abord l abscisse ensuite l ordonnée. Exercice : Placer les points B(-2 ; -1), C(-3 ; 0) et D(0 ; 4).

4 NOMBRES RELATIFS 4 ADDITION ET SOUSTRACTION DE NOMBRES RELATIFS Activité(dans le cahier d exercices) Effectuer sur le cahier d exercices les calculs suivants : (+9) + (+6)= (+12)+ (+13)= (-8) + (612)= (-8) + (-12)= (-6)+ (-2)= (+9) + (-6)= (-25) + (+12)= (+9) - (+6)= (-8) - (+12)= (-8) - (+8)= I) ADDITION DE DEUX NOMBRES RELATIFS Propriété1 : La somme de deux nombres relatifs de même signe est le nombre : -dont le signe est le signe commun aux deux nombres -dont la distance à zéro est la somme des distances à zéro des deux nombres Exemples : (+23) + (+6)= +29 (-10) + (-8)= -18 Propriété2 : La somme de deux nombres relatifs de signes contraires est le nombre : -dont le signe est celui du nombre ayant la plus grande distance à zéro -dont la distance à zéro est la différence entre la plus grande et la plus petite des distances à zéro. Exemples : (+24) + (-13)= +11 (+8) + (-32)= -24 Propriété3 : La somme de deux nombres relatifs opposés est égale à 0. Exemple : (+12) + (-12)= 0 (-4) + (+4)= 0 II) SOUSTRACTION DE DEUX NOMBRES RELATIFS Propriété : Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé. Exemples : (+5) (+ 3)= (+5) + (-3)= +2 ; (+9) (-8)= (+9) + (+8)= +17 ; (-10) (-5)= (-10) + (+5)= -5 ; (-6) (+12)= (-6) + (-12)= -18

5 Activités (cahier d exercices) Cf Activité Règle des signes d un produit NOMBRES RELATIFS 5 (Voir les activités et 4 pages 9 et 10 du livre de mathématiques) Conclure pour chaque activité avec les élèves III) MULTIPLICATION 1. De 2 nombres relatifs : Propriétés : -Le produit de 2 nombres relatifs de même signe est positif, -Le produit de 2 nombres relatifs de signes contraires est négatif. -Pour multiplier 2 nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro et on applique la règle des signes : Exemple 1 : A = (-2) x (-2,5) A = 4 x 2,5 A = 10 Exemple 2 : B = 0,2 x (-14) B = - (0,2 x 14) B = - 2,8 Exercices : C = (-7) x (-8) D = (-9) x 6 E = 10 x (-0,8) F = (-5) x (-11) G = (-8) x 0,5 H = (-7) x 0 Cas particuliers NB : + par + donne +, + par donne, par + donne, par donne +. -Le produit d un nombre relatif par 1 est égal à ce nombre. -Le produit d un nombre relatif par -1 est égal à l opposé de ce nombre. -Le produit d un nombre relatif par 0 est égal à 0. Ainsi : a étant un nombre relatif a x 1= 1 x a= a a x (-1)= (-1) x a=-a a x 0= 0 x a=0 Exemples : (-9) x 1= -9 (-6) x (-1)= x (-1)= -31 (-12) x 0= 0 2. De Plusieurs nombres relatifs : Propriété : - Le produit de plusieurs nombres relatifs est positif s il comporte un nombre pair de facteurs négatifs, - Le produit de plusieurs nombres relatifs est négatif s il comporte un nombre impair de facteurs négatifs. Exemples : -6 x (-3) x 5 x (-2) x (-4)= x (-3) x (-5) x 2 (-10)= -1200

6 NOMBRES RELATIFS 6 Activités (cahier d exercices) Cf Activité 5 page 10 du livre Exercices 30, 32 page 17 IV) DIVISION DES NOMBRES RELATIFS 1. Définition : a et b désignent des nombres relatifs avec b 0. Le quotient de a par b est le nombre qui multiplié par b donne a. On le note b a ou a : b 2. Propriétés: et b a x b = a. -Le quotient de 2 nombres relatifs de même signe est un nombre positif, -Le quotient de 2 nombres relatifs de signes contraires est un nombre négatif. -La distance à zéro du quotient de deux nombres relatifs est égale au quotient des distances à zéro des deux nombres Exemple 1 : A = 65 : (-5) Le résultat est négatif car c est le quotient d un nombre positif par un nombre négatif (signes contraires). A = - (65 : 5) A = - 13 Exemple2 : B = 40 4 Le résultat est positif car c est le quotient de 2 nombres négatifs (même signe). B = 4 40 B = 10 Exercices : H = 45 : (-5) I = (-56) : (-8) J = -59 : (-10)

7 Activité (cahier d exercices) NOMBRES RELATIFS 7 Dans chaque cas, effectuer les produits suivants. Que remarquez-vous a) 10 x = b) x =.. c) -5 x ( 1 5 )=. d) 10 x 0,1=. e) -0,5 x (-2)=.. f) (-100) x (-0,01)=. V) INVERSE D UN NOMBRE RELATIF DIFFERENT DE 0 1. Définition : Lorsque le produit de deux nombres relatifs est égal à 1, on dit qu ils sont inverses l un de l autre ou que l un est inverse de l autre. Rem : Attention, Ne pas confondre inverse et opposé. 2. Propriété 1: L inverse d un nombre relatif x 0 est le quotient de 1 par x. Il est noté x 1 ou x -1 (x exposant -1 : voir calculatrice). Exemple : (-0,2).(-5) = 1 donc -0,2 et -5 sont inverses l un de l autre ou bien -0,2 est l inverse de -5 ou bien - 5 est l inverse de -0,2. Ainsi : 0 1,2 = -5 et 1 5 = -0,2. 3. Propriété 2 : Diviser par un nombre relatif non nul revient à multiplier par son inverse. Ainsi, quels que soient les nombres relatifs a et b 0, a = a x 1. b b Exemple : 0 17 = 17 x,5 0 1 = 17 x 2 = 34,5 Exercices : 0 5 =,2 0 12,4 0 10,1

8 Activités (cahier d exercices) NOMBRES RELATIFS 8 1) Dans chaque cas, rappeler les règles de priorité utilisées et calculer l expression. A= x (-7) B=5 2 (3-8) C=12 8 : (-4) D= (-12) : 2 (-8) x (-7) E= F=2 - G= -2,98 + 5,3 0, H= -8 : (-2) x (-7) ,75 1 2) Soit l expression suivante : A= 100 (x+3). (Où x désigne un nombre relatif) En considérant que soustraire (x+ 3) cela revient à ajouter l opposé de (x+ 3), écrire A sans parenthèses, puis réduire l expression obtenue. Tester l égalité obtenue. Ecrire sans parenthèses les expressions suivantes : B= 100 (x 3) C= 100 2(x -3) Cours (cahier de leçon) VI- ORGANISATION D UN PROGRAMME DE CALCUL 1. Règles de priorité : Propriétés : Dans une succession d opérations sur les nombres relatifs, on effectue d abord les calculs entre parenthèses, puis les multiplications et les divisions, enfin les additions et les soustractions. - Lorsqu il y a égalité de priorité, on effectue les calculs de la gauche vers la droite. Exemple 1 : A = 7 (3 5) x 4 A = 7 (-2) x 4 A = 7 (-8) A = A = 15 Exercices : 2. L opposé d une somme : Propriété : Exemple2 : B = 8,7 18,7 + 2 B = B = -8 (6 3) ( 9 + 5) C = D = ( ) ( 2) + 7 E = (-3 6) x (6 8) F = 12 (-21) x 3 L opposé d une somme de nombres relatifs est la somme de leurs opposés. Quels que soient les nombres relatifs a et b : -(a + b) = (-a) + (-b) = - a b -(a b) = -(a + (-b)) = - a + b Exemple 1 : A = 8,2534 (3, ,2534) A = 8,2534 3,5729 5,2534 A = 3 3,5729 A = - 0,5729 Exemple2 : B = 3(x + 15) (4x 1) + (x 3) B = 3x x x 3 B = 3x 4x + x B = 0x + 43 B = 43

9 NOMBRES RELATIFS 9 EXERCICES ENTRAINEMENT DIVISIONS

10 NOMBRES RELATIFS 10