Theme 4 - Lois usuelles discrètes

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1 L2 AES TD de statistique 2008/2009 Cours de Mme Mériot M.-A. Jambu & S.Turolla Theme 4 - Lois usuelles discrètes Exercice 1 (Loi binomiale) A et B sont deux avions ayant respectivement 4 et 2 moteurs. Les moteurs sont supposés indépendants les uns des autres, et ils ont une probabilité p de tomber en panne. Chaque avion arrive à destination si moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne. Quel avion choisissez-vous? (on discutera en fonction de p). Loi binomiale : Si on effectue n épreuves successives indépendantes où on note à chque fois la réalisation ou non d un certain événement A, on obtient une suite de la forme AAAA... AAA. A cet événement élémentaire w on associe le nombre X (w) de ralisations de A. On définit ainsi une v.a. X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p = P (A)., caractérisée par X (Ω) = {0, 1,..., n} et pour k X (Ω) : P (X = k) = Cnp k k (1 p) n k E (X) = np et V (X) = npq On définit par X la variable aléatoire associée au nombre de moteurs qui tombent en panne pour l avion A et par Y la variabe aléatoire associée au nombre de moteurs qui tombent en panne pour l avion B. D après l énoncé, X (Ω) = {0, 1, 2, 3, 4} et Y (Ω) = {0, 1, 2}. Ainsi l événement l avion A arrive à destination est réalisé si [(X = 0) (X = 1)] et l événement l avion B arrive à destination est réalisé si [(Y = 0)]. D après l énoncé, on en déduit que X suit une loi binomiale de paramètres X B (4, p) et Y suit une loi binomiale de paramètres Y B (2, p). Ainsi, P (X = 0) = C 0 4p 0 (1 p) 4 = (1 p) 4 et P (X = 1) = C 1 4p 1 (1 p) 3 = 4p (1 p) 3 De plus P (Y = 0) = C 0 2p 0 (1 p) 2 = (1 p) 2 De ce fait, nous choisirons de voyager dans l avion A si P (X = 0) + P (X = 1) > P (Y = 0), ou 1

2 inversement. D après les calculs précédents, nous en déduisons (1 p) 4 + 4p (1 p) 4 > (1 p) 2 (1 p) 4 + 4p (1 p) 4 (1 p) 2 > 0 p (1 p) 2 (2 3p) > 0 avec (A B) 4 = ( A 4 + B 4 4A 3 B + 6A 2 B 2 4AB 3). Par conséquent, si 0 < p < 2/3 on choisira l avion A, si p = 2/3 ou p = 0 ou p = 1 on est indifférent entre les deux avions et si 2/3 < p < 1 on choisira l avion B. Exercice 2 (Loi binomiale) Un concessionnaire de voitures vend le même jour 7 véhicules identiques à des particuliers. Sachant que la probabilité pour que ce type de voiture soit en état de rouler deux ans après est de 0.9, calculez la probabilité : 1. Que les 7 voitures soient en service deux ans plus tard; On dénome par X la variable aléatoire associée au nombre de voitures en état de rouler deux ans après leur achat. D après l énoncé, X (Ω) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} et cette variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres X B (7, 0.9). Ainsi, la probabilité que 7 voitures soient en service deux ans plus tard est P (X = 7) = C (1 0.9) 0 = Que les 7 voitures soient hors de service deux ans plus tard; La probabilité que 7 voitures soient hors service deux ans plus tard est P (X = 0) = C (1 0.9) 7 = Que 4 voitures soient hors de service; La probabilité que 4 voitures soient hors service deux ans plus tard est P (X = 3) = C (1 0.9) 4 = Que 3 voitures au plus soient hors de service. 2

3 La probabilité que 3 voitures au plus soient hors service deux ans plus tard est P (X 4) = P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7). Il nous faut donc calculer P (X = 4) = C (1 0.9) 3 = et P (X = 5) = C (1 0.9) 2 = et P (X = 6) = C (1 0.9) 1 = Ainsi, la probabilité de cet événement est P (X 4) = P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) = = Exercice 3 (Loi hypergéométrique) Une urne est constituée de 10 boules blanches et 8 boules noires. On tire au hasard, et sans remise, 5 boules dans l urne. Soit la variable aléatoire X = { nombres de boules noires }. 1. Quelle est la loi de probabilité de X? Loi hypergéométrique : On effectue n tirages sans remise dans une urne contenant N objets dont N A objets A. On note X (w) le nombre d objets A tirés à l issue de l événement élémentaire w. Dans le schéma hypergéométrique ici, ces n tirages sans remise sont équivalents à un seul tirage de n objets et il y a donc équiprobabilité de chacun des C n N échantillons possibles. POur calculer la probabilité d obtenir k objets A il faut donc dénombrer tous les échantillons qui contiennent exactement k des N A objets A, il y en a CN k A chacun d eux contenant simultanément n k objets A, il y en a C n k N N A. Ainsi, pour tout entier k tel que 0 k n : P (X = k) = Ck N A C n k N N A CN n E (X) = np et V (X) npq Dans cette expérience, la variable aléatoire X suit une loi hypergéométrique. 3

4 Par conséquent, la probabilité que k boules noires soient tirées s écrit : La loi de probabilité de X s écrit alors P (X = x i ) = Cx 8 C5 x 18 8 C 5 18 x i P (X = x i ) Calculer son espérance et sa variance. L espérance de la variable aléatoire s écrit E (X) = E ( i=8 ) i=8 x i = E (x i ) i=1 i=1 = = 2.22 La variance de la variable aléatoire s écrit Exercice 4 (Loi de Poisson) V (X) = V ( i=8 ) i=8 x i = V (x i ) i=1 i=1 = = 1.23 Le nombre de micro-ordinateurs vendus chaque jour dans le magasin X suit une loi de Poisson de paramètre (λ = 5). 1. Calculer la probabilité que dans une journée : (a) On ne vend aucun micro-ordinateur; Loi de Poisson : Une v.a. X suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0 si c ets une variable à valeurs entières, X (Ω) = N, donc avec une infinité de valeurs possibles, de probabilité λ λk P (X = k) = e k! k N E (X) = V (X) = λ On définit par X la variable aléatoire associée au nombre de micro-ordinateurs vendus chaque jour dans le magasin. La probabilité associée à la vente d aucun micro-ordinateur 4

5 se détermine par : (b) On vend 5 micro-ordinateurs; λ λk P (X = k) = e k! 5 50 P (X = 0) = e 0! = La probabilité associée à la vente de 5 micro-ordinateurs se détermine par : (c) On vend au moins 2 micro-ordinateurs; 5 55 P (X = 5) = e 5! = La probabilité associée à la vente d au moins 2micro-ordinateurs se détermine par : P (X 2) = 1 P (X < 2) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1)] ] = 1 [ e = ! (d) Le nombre de micro-ordinateurs vendus soit compris dans [2, 6]. La probabilité associée à la vente d un nombre de micro-ordinateurs compris entre 2 et 6 se détermine par : P (2 X 6) = P (X 6) P (X < 2) [ ] = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) +P (X = 5) + P (X = 6) P (X < 2) = [ ] e ! 1! 2! 3! 4! ( ) 5! +e ! ! = [ ] = Déterminer l espérance et la variance de la variable aléatoire associée au nombre de micro-ordinateurs vendus chaque jour dans le magasin. La variable aléatoire X suivant une loi de Poisson, on sait par définition que E (X) = V (X) = λ = 5 5

6 Exercice 5 (Binomiale qui tend vers une Poisson) Lors d un sondage portant sur un grand nombre d individus, 2% des personnes interrogées acceptent de ne pas rester anonymes. Sachant que l un des sondeurs a interrogé 250 personnes, calculez la probabilité que : 1. Ces 250 personnes souhaitent rester anonymes; On définit par X la variable aléatoire associée au nombre de personnes désireuses de ne pas rester anonymes. Cette variable aléatoire suit donc une loi binomiale de paramètres X B (250, 0.02). Néanmoins, on sait que lorsque n > 50 et p < 0.1, alors la loi binomiale converge vers une loi de Poisson. Ainsi, la probabilité que les 250 personnes souhaitent rester anonymes se détermine de la facon suivante : P (X = 0) = C (1 0.02) 250 = ou 5 50 P (X = 0) = e 0! = personnes acceptent de ne pas rester anonymes; La probabilité que 3 personnes acceptent de ne pas rester anonymes se détermine de la facon suivante : P (X = 3) = C (1 0.02) 247 = ou 5 53 P (X = 3) = e 3! = Plus de 10 personnes acceptent de ne pas rester anonymes. La probabilité que plus de103 personnes acceptent de ne pas rester anonymes se détermine de la facon suivante : P (X > 10) = 1 P (X 10) =

7 Exercice 6 (Loi binomiale négative) On lance un dé à six faces équilibrées successivement et de façon indépendante. On associe la variable aléatoire X au nombre de face 1 obtenue. 1. Calculer le nombre de lancers nécessaires à l obtention de 6 faces 1. Loi binomiale négative : On effectue des épreuves successives indépendates jusqu à ce que n événements A soient réalisés et on note Y le nombre (aléatoire) d épreuves effectuées. On en déduit la probabilité P (Y = y) = C n 1 y 1 pn (1 p) y n, y n E (Y ) = n p et V (Y ) = nq p 2 On est ici en présence d une loi binômiale négative. Ainsi, le nombre de lancers nécessaires l obtention de six faces 1 se détermine par à P (X = x) = C n 1 x 1 pn (1 p) x n où n correspond au nombre de réalisations que l on souhaite (ici n = 6). A l aide d Excel, on peut déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X et observer que la probabilité la plus grande est associée de façon égale à 30 ou 31 lancers. 2. Calculer l espérance et la variance de X. Par définition E (X) = n p = = Exercice 7 (Loi de Poisson) V (X) = nq p 2 = = Un chef d entreprise, pour éviter l attente des camions venant livrer, envisage de construire de nouveau poste de déchargement. Actuellement, 5 postes sont en activité. Pour simplifier l étude, on considère qu il faut une journée entière pour décharger un camion. mesurant le nombre de camions venant livrer chaque jour. On désigne par X la variable aléatoire 1. Une enquête statistique préalable à montré qu on pouvait assimiler la loi de X à une loi de Poisson de paramètre λ = 4. (a) Quelle est, à 10 3 près, la probabilité de n avoir aucun camion en attente? 7

8 La probabilité qu à un poste aucun camion n attende revient à calculer la probabilité qu il y au plus un camion par jour, soit P (X 6) = 1 P (X < 6) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) 4 40 = e 0! = e 4 + e 4 + e 4 + e 4 + e 4 1! 2! 3! 4! 5! (b) Combien faudrait-il de postes de déchargement pour porter cette probabilité à 0,95? Il faudrait 7 postes de déchargement car P (X 8) = 1 P (X < 8) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) +P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) 4 40 = e 0! = e 4 + e 4 + e 4 + e 4 + e 4 1! 2! 3! 4! 5! e 4 e 4 6! 7! 2. On prévoit à l avenir de doubler la fréquence de livraison, ce qui porterait le paramètre λ de la loi de Poisson de la variable aléatoire X à λ = 8. Combien faudrait-il alors de postes de déchargement pour que la probabilité de n avoir aucun camion en attente soit supérieure à 0,95? A l aide d Excel, on peu trépondre à cette question facilement. On trouve ainsi qu il faudrait 13 postes de déchargements. 8