1 TD n 1:dénombrement

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1 MA3 Exercices corrigés TD n :dénombrement Exercice On considère un groupe de n personnes. Quelle est la probabilité que deux d entre elles aient le même jour d anniversaire? (On suppose qu il n y a pas d années bissextiles) Exercice Un savant possède livres dans son bureau, livres de maths et livres de physique. Il souhaite ranger ses livres sur une étagère.. Combien y a t-il de rangements possibles s il souhaite ranger ses livres de façon à ce que les livres de maths soient groupés ensemble et les livres de physique ensemble?. Combien y a t-il de rangements possibles si la seule chose qui compte est que les livres de maths soient groupés ensemble? Exercice 3 Robert fait ses affaires pour aller skier. Son armoire est remplie de paires de gants. Il décide de prendre 4 gants. Le problème est que Robert est un garçon dans la lune et qu il choisit les gants au hasard. Quelle est la probabilité qu il tire:. deux paires complètes? ( veinard ). au moins une paire? 3. une paire et une seule? Exercice 4 On dispose d une urne contenant n boules, dont m sont noires, le reste étant des boules blanches. On effectue un tirage sans remise de r boules parmi ces n boules. Calculer la probabilité detirerk boules noires dans un tel tirage. Exercice 5 Un joueur de Poker recoit une main de 5 cartes d un jeu de 3. contienne: Quelle est la probabilté quesamain. Une seule paire?. deux paires? 3. un brelan? 4. un carré?

2 MA3 Exercices corrigés Exercice 6 On considère les lettres du mot : ANNIVERSAIRE. Combien de mots peut on former avec ces lettres? (On ne se préoccupera pas du sens des mots formés). Combien de mots commençant et finissant par une voyelle peut on former? 3. Combien de mots peut on former si on veut que toutes les voyelles soient groupées ensemble? Correction de l Exercice Il est ici plus facile de calculer la probabilité de l évènement contraire: A aucune des n personnes n a la même date d anniversaire On donne des numéros aux n personnes, et on note dans un n uplet leurs dates d anniversaire. L ensembles des résultats possibles est donc Ω {(d,d,...,d n ),d i date d anniversaire de la ième personne} Quel est le cardinal de Ω? C est évidemment 365 n (Pour chaque d i, il y a 365 choix possibles). Calculons card(a): Si aucune des personnes n a la même date d anniversaire, alors les d i sont àdistincts. Donc A {(d,d,...,d n ),d i d j si i j}. Pardéfinition, card(a) A n 365 (A est l ensemble des n arrangements) Donc P ( personnes ont la même date d anniversaire) An n Correction de l Exercice. Il y a deux choix: Soit les livres de maths sont à gauche, soit ils sont à droite. Ensuite, à l intérieur du bloc des livres de maths, on peut faire! rangements différents. Etdanslegroupedeslivresdephysique, on peut faire! rangements différents. D où.!! rangements possibles. Ici, le bloc des livres de maths peut avoir plusieurs positions: être à gauche, avoir livre de physique à gauche et le reste à droite, livres de physique àgaucheetleresteà droite, etc. ce qui fait positions. Ensuite, on peut comme précédemment permuter les livres de maths de! façons et les livres de physique de! façons. D où.!! rangements possibles Correction de l Exercice 3. On suppose qu il choisit les gants simultanément. Il y a donc C 4 possibilités. Il a C façons de choisir les paires. Donc P ( il choisit paires ) C C 4.9. On va calculer la probabilité de l évènement contraire: { tous les gants proviennent de paires différentes }

3 MA3 Exercices corrigés 3 Il y a C 4 façons de choisir les 4 paires d où proviennent les gants. Ensuite, pour une paire, il y a choix possibles. D où P ( il tire au moins paire ) C4 4 C En notant E {il tire paires}, E {il tire au moins une paire} et E 3 {il tire paire et seule}, ona: E E E 3.OrE et E 3 sont disjoints, donc P (E )P (E )+P (E 3 ). D où P ( il choisit paire et seule) C4 4 C 4 C C 4.97 On peut aussi le calculer directement, en écrivant P ( il choisit paire et seule) C 9 C 4 Correction de l Exercice 4 On peut ici raisonner de deux manières différentes. Le tirage effectué, on peut considerer le résultat comme:. une partie à r éléments de l ensemble des n boules, où l ordre n intervient pas.. Une liste ordonnée de r boules. ere méthode L ensemble des résultats possibles a dans ce cas Cn r éléments. il y a Cm k façons de tirer les k boules noires, et Cr k n m façons de tirer les boules blanches. Donc P (ilyak boules noires dans le tirage) Ck mcn m r k Cn r eme méthode L ensemble des résultats possibles a dans ce cas A r n éléments. Choissisons les instants où onatirélesk boules noires. Il y a Cr k possibilités. Ensuite, on a A k m façons de tirer les k boules noires, et A r k n m façons de tirer les r k boules blanches. Donc P (ilyak boules noires dans le tirage) Ak ma r k n m Ck r A r n (On vérifie qu on trouve bien le même résultat avec les méthodes) Correction de l Exercice 5 Le problème de l exercice est de comprendre ce que demande l énoncé et de connaitre les règles du poker (ce qui n est pas trop mon cas...) En fait, la solution que je donne n est peut etre pas exacte du point de vue du poker, car je me suis rendu compte qu il existait d autres figures que la paire, les paires, le brelan, le full ou le carré. Par exemple la couleur: dans la solution que je donne je n en tiens pas compte.. Choisissons la paire: Il y a 8 choix pour la valeur; ensuite il y a C4 façons de choisir les cartes qui composent la paire. Ensuite il reste 3 cartes à choisir. Ces 3 cartes doivent être de valeur différente, car si deux d entre elles ont la même valeur, on a paires; elles doivent aussi ne pas avoir la même valeur que celle de la paire choisie, sinon on aurait un brelan. Ce qui laisse 3 valeurs à choisir parmi 7; ensuite on a 4 couleurs possibles pour chaque valeur choisie. D où 8C4C possibilités

4 MA3 Exercices corrigés 4. Choisissons les valeurs des paires: C8 possibilités. Une fois choisies ces valeurs, on a C 4 possibilités pour choisir les cartes qui compose une paire. Ensuite, il reste une carte à choisir, qui ne doit pas avoir la même valeur que les valeurs déjà choisies (sinon on aurait un full): ce qui donne cartes possibles. On obtient ( ) C 4 4 possibilités C 8 3. On choisit la valeur du brelan: 8 choix possibles. On choisit les 3 cartes du brelan: C3 4 choix. Ensuite il faut choisir les cartes restantes: elles ne peuvent pas avoir la même valeur, (sinon on a un full), elles doivent avoir une valeur différente de celle du brelan (sinon on a un carré); Il faut donc choisir valeurs parmi les 7 valeurs possibles restantes. Ensuite 4 choix pour chaque carte. On obtient 8C 3 4 C 7 4 possibilités (la aussi se pose un problème sémantique: si la main contient un full, dit-on en langage de poker qu elle contient un brelan??? je ne sais pas, dans mon calcul j ai estimé que non) 4. Choisissons la valeur du carré: 8 possibilités; ensuite on a 8 possibilités pour la carte restante. On obtient 8.8 possibilités Correction de l Exercice 6. er méthode: IlyaA,E,R,IetN;etVetN. ( ) ( ) ( ) 8 PlaçonslesA:ilya façons de faire; Ensuite, il y a façons de placer les E, puis façons pour les R, et ainsi de suite. Il reste ensuite le V et le N à placer sur les places qui restent: on a choix. On obtient donc ( )( )( 8 )( )( ) 6 4 mots possibles. ième méthode: Il y a lettres dans le mot ANNIVERSAIRE. En les permutant, on obtient! mots possibles. Cependant, il y a A, E, R, I et N. Il faut donc diviser! par!!!!! ( car en permutant les A, les E..., on obtient les mêmes mots). On obtient donc!!!!!!! mots possibles. 5. On va distinguer cas: er cas: Les voyelles du début et de la fin sont identiques. Il y a 3 types de voyelles différentes: A, E, I. On a donc 3 façons la voyelle qui commence et finit le mot. Ensuite, il faut calculer le nombre de mots faisables avec les types de voyelles identiques restantes ( A et E par exemple si on a choisi le I pour commencer et finir le mot) et les N, R, le S et le V. Avec un raisonnement identique à celui de la question ), on obtient ( )( 8 )( )( ) 6 4 mots possibles.

5 MA3 Exercices corrigés 5 Dans ce cas, on trouve donc 3. ( )( 8 )( )( ) !!!!! 3.! 4 mots ième cas: Les voyelles du début et de la fin ne sont pas identiques. Choisissons les types de voyelles parmi les 3 qui seront au début et àlafindumot.ilya Ensuite on peut les permuter de façons. ( ) 3 façons. Ensuite il reste comme lettres: N, R, V, R, ( type de voyelle non choisie pour commencer le mot), voyelle identique à celle du début, voyelle identique à celle de la fin. ( )( )( ) 8 6 Avec ces lettres, on peut former 4! mots. ( )( )( )( ) On obtient donc 4! 3.! mots. Conclusion: Il y a donc 3.! ! Le bloc des voyelles a 7 places possibles. A l interieur de ce bloc, il y a ( cf question )) 6! façons de 3 ranger les voyelles. Ensuite, il y a ( cf question )) 6! façons de ranger les autres lettres. 3 On a donc 7!6! 34 façons de ranger les lettres. 5 TD n : probabilités conditionnelles et indépendance Exercice 7 On considère un groupe de personnes. Parmi ces personnes figurent des medecins (8%) et des profs de maths (5%), et des gens normaux (77%) C est bien connu: les profs de maths écrivent très mal. Mais dans ce domaine ils sont battus par les médecins, qui écrivent encore plus mal. Ainsi 5% des profs de maths écrivent de facon illisible, mais cette proportion atteint 7% des medecins. Quand aux gens normaux, seuls 3% ecrivent de façon incompréhensible. On considère un mot écrit par une personne du groupe.. Quelle est la probabilité que ce mot soit illisible?. Le mot est en effet illisible. Quelle est la probabilité qu il ait été écrit par une main noble? (c est a dire par un prof de math) Exercice 8 ( formule des probabilités conditionnelles en cascade) Soit (Ω, A,P) un espace probabilisé. Soient A,A,..., A n des évènements.. Montrer que P (A A...A n )P (A )P (A A )...P (A n A A...A n ) (on suppose que P (A A... A n ) )

6 MA3 Exercices corrigés 6. On considère une urne qui contient n boules noires et n boules blanches. On tire deux par deux, sans remise, toutes les boules de l urne. Quelle est la probabilité d obtenir à chaque tirage deux boules de couleur différentes? Exercice 9 Les Anglais et les Américains orthographient le mot rigueur, respectivement, rigour et rigor. On trouve dans un hôtel parisien ce mot sur un bout de papier. Une lettre est prise au hasard dans ce mot, c est une voyelle. Or 4% des anglophones de l hôtel sont des Anglais et les 6% restants sont Américains. Quelle est la probabilité que l auteur du mot soit anglais? Exercice (Indépendance) On considère une famille. Soit A l événement: la famille a des enfants des deux sexes et B l évènement: la famille a au plus un garçon.. Montrer que A et B sont indépendants si la famille a trois enfants.. Montrer que A et B ne sont pas indépendants si la famille a deux enfants. Exercice Un joueur de foot s entraine à tirer des penaltys. La probabilité qu il réussise est p. Iltiren penaltys. Les tirs sont supposés indépendants. Calculer la probabilité qu il réussisse k penaltys. (k n) Exercice On considère un jeu de 3 cartes truqué quipossède deux dames de coeur.. On tire n cartes au hasard dans le jeu. Calculer la probabilité de s apercevoir que le jeu est truqué.. On suppose n 4 et on renouvelle l expérience consistant à tirer 4 cartes du jeu (en remettant les 4 cartes tirées à chaque fois). Quel est le nombre minimum d expériences à réaliser pour qu on s apercoive que le jeu est truqué avec une probabilité de.95? Exercice 3 Un quart d une population a été vaccinée. Si on est vacciné, on tombe malade avec une probabilité de. Parmi les malades, il y a 4 non-vaccinés pour vacciné. Quelle est la probabilité pour un non-vacciné de tomber malade? Exercice 4 (encore des maladies) On considére une maladie dont est atteinte % de la population. Si on est malade, on meurt avec la probabilité.5. Il existe un traitement contre la maladie, qui fait qu un individu malade et traité n a plus que % de chances de mourir. Le test de dépistage permet de detecter 8 % des malades, mais désigne aussi à tort 3% de personnes saines. Or si une personne saine est traitée, elle meurt dans % des cas.

7 MA3 Exercices corrigés 7. Si on effectue aucun test de dépistage, quelle est la probabilité de mourir de cette maladie?. On décide de procéder àundépistage généralisé età un traitement des individus désignés comme malades. Quelle est la probabilité de mourir dans ce cas? (a cause de la maladie ou du traitement ) Correction de l Exercice 7 On note A l évènement : la personne qui a écrit le mot est un prof de math, A la personne qui a écrit le mot est un médecin, A 3 la personne qui a écrit le mot est normale On a d après l énoncé P (A ).5, P (A ).8, P (A 3 ).77 Les évènements (A,A,A 3 ) forment un système complet d évènements. En effet, ils sont à disjoints, de probabilité non nulle, et recouvrent tous les cas possibles.. Pour cette question, on applique la formule des probabilités totales: P ( le mot est illisible ) P ( le mot est illisible A )P (A )+P ( le mot est illisible A )P (A ) + P ( le mot est illisible A 3 )P (A 3 ) On utilise ici la formule de Bayes. P (A le mot est illisible ) P ( le mot est illisible A )P (A ) P ( le mot est illisible ) Correction de l Exercice 8. On développe le membre de droite; On a : P (A A ) P (A A ) P (A ),P(A 3 A A ) P (A 3 A A )... P (A A ) Donc D où lerésultat. P (A A...A n )P (A ) P (A A ) P (A )... P (A A...A n ) P (A... A n ). On pose A i on tire boules de couleur différente au ième tirage. On a facilement P (A ) n,p(a Cn A ) (n )... En effet, le conditionnement nous permet de savoir Cn ce qui s est passé aux tirages précédents. D où lerésultat: P ( boules différentes à chaque tirage ) n (n ) Cn Cn... n (n!) après calculs n!

8 MA3 Exercices corrigés 8 Correction de l Exercice 9 Notons V la lettre choisie dans le mot est une voyelle, C le lettre choisie est une consonne, A lemot est écrit par un anglais, A lemotestécrit par un américain. On cherche donc P (A V ). D aprèslaformuledebayes,p (A V ) { P (V A ) 3 6 Or P (V A ) 5 D où P (V A )P (A ) P (V A )P (A )+P (V A )P (A ) ( si l auteur du mot est anglais, c est rigour qui comporte 6 lettres dont 3 voyelles ) P (A V ), 5., 4, 5., 4+ 5, 6 Correction de l Exercice. Listons toutes les possibilités possibles: si la famille a 3 enfants, la composition de celle ci est {G, G, G}, {G, F, G}, {F, F, G}, {F, F, F} (4 posiblités, sans tenir compte de l ordre de naissance des enfants. Si on décide de tenir compte de l ordre, ce qui est un choix possible, on trouve 8 possibilités) P (A B) P ( la famille a exactement un garçon) 4 (un seul cas favorable: {F, F, G}) Or P (A) 4 ( les cas {G, F, G} et {F, F, G}), de même P (B) 4. D où l indépendance de A et B, puisque P (A B) P (A)P (B).. Il n y a plus que 3 eventualités possibles dans ce cas: {G, G}, {F, G}, {F, F} P (A B) 3,etP (A) 3, P (B) 3. On a plus d indépendance. Correction de l Exercice Vu en cours Correction de l Exercice. S apercevoir que le jeu est truqué, c est tirer les dames de coeur parmi les n; si on doit tirer les n cartes, et que pour deux d entre elles nous n avons pas le choix, cela revient àtirern cartes parmi les 3 qui restent. Or il y a en tout C3 n tirages possibles. Donc P (voir que le jeu est truqué ) Cn 3 C3 n. C est le même raisonnement que l on a fait dans un exercice du cours. On cherche k tel que P ( s apercevoir de l erreur en k tirages).95. Il est plus simple de calculer P ( ne pas s apercevoir de l erreur en k tirages). En effet, si on note p probabilité de s apercevoir de l erreur lors d un tirage, on a P ( ne pas s apercevoir de l erreur en k tirages) ( p) k par indépendance des tirages On cherche donc k tq ( p) k.95. On calculé p àlaquestionprécédente, ici on trouve p 3 48 et k 47

9 MA3 Exercices corrigés 9 Correction de l Exercice 3 Notons : V être vacciné, M être malade. On notera V le contraire de V. D après l énoncé, on peut écrire: P (M V ), P (V M) 5, P (V ) 4. On cherche x P (M V ). On a: x P (M,V ) P (V ) P (V M)P (M) P (V ) Or: P (M) P (M V )P (V )+P (M V )P (V ) ( formule des probas totales ). D où: x P (V M) ( ) P (M V )P (V )+P (M V )P (V ) P (V ) P (V M) ( ) P (M V )P (V )+xp (V ) P (V ) Or P (V M) 4 5. D où x 4 5 ( 4 ) + x 4 5 x 5 4 Correction de l Exercice 4 Notons: M être malade, Mo mourir, D être désigné positif par le test. D après l énoncé, on sait que: P (M)., P (Mo M,D).5, P (D M).8, P (D M).3, P (Mo D, M)., P (Mo D, M). On aura besoin par la suite des valeurs suivantes:. P (D) P (D M)P (M)+P (D M)P (M) P (D, M) P (D M)P (M).8..8 P (D, M) P (D M)P (M) P (M,D) P (M) P (D, M)..8.. On cherche P (Mo). Dans ce cas, il n y a pas de test donc P (Mo)P (Mo M,D)P (M,D)+P (Mo M,D)P (M,D) C est plus compliqué. On a: P (Mo)P (Mo M)P (M)+P (Mo M)P (M). (a) Calculons P (Mo M) P (Mo,M). P (M) D où P (Mo M).8..8 P (Mo,M) P (Mo,M,D)+P (Mo,M,D) P (Mo M,D)P (M,D)+P (Mo M,D)P (M,D) (.).8

10 MA3 Exercices corrigés (b) Calculons P (Mo M) P (Mo,M). P (M) P (Mo,M) P (Mo,M,D)+P (Mo,M,D) P (Mo M,D)P (M,D)+P (Mo M,D)P (M,D) D où P (Mo M) (c) D où lerésultat: P (Mo) On constate donc que la probabilité de mourir est plus faible; il vaut donc mieux faire effectuer un traitement systématique des personnes détectées. Et tant pis pour les personnes traitées à tort et qui mourront des suites du traitement... 3 TD n 3: V.Adiscrètes Exercice 5 On considère une v.a X prenant 5 valeurs k,..., k 5. On a regroupé ces valeurs dans le tableau:. Calculer la valeur du paramètre a.. Calculer E(X), var(x). k i k k k 3 k 4 k 5 P (X k i ) a a a 3 a 4 a Exercice 6 Dans un zoo on a regroupé danslemême parc chameaux, 5 lamas et 4 dromadaires. Un visiteur prend au hasard 3 animaux en photo. On note X nombre de bosses présentes sur la photo.. Calculer la loi de X.. Calculer E(X) et var(x) Exercice 7 On considère un réseau où on transmet des bits. Chacun de ses bits a une probabilité p d être détruit ou perdu. Une trame formée de n bits est erronée si il manque au moins un bit.. Quelle est la probabilité qu une trame soit erronée?. Si on doit emettre 4 trames consécutivement (et de maniere indépendante), combien de trames intactes peut on espérer recevoir? 3. Combien peut on espérer recevoir de trames intactes avant l arrivée de la première trame erronée? Exercice 8 Robert vit mal son célibat et décide pendant cette soirée de quitter cette condition difficile. Il n est pas très doué pour la séduction, et adopte la tactique suivante: il va voir chaque fille jusqu à ce que l une d entre elle accepte ses propositions. La probabilité qu une fille accepte ses propositions est p.

11 MA3 Exercices corrigés. On note X nombre d essai avant qu une jeune fille cède à sa demande. Calculer la loi de X.. Au bout de combien d essais peut il espérer sortir du célibat? Exercice 9 Le nombre de clients entrant dans un magasin en un jour suit une loi de Poisson Poi(λ). Ce magasin possède n caisses, chaque client choisit sa caisse au hasard parmi les n. OnnoteX nombre d utilisateurs de la caisse.. On suppose que tous les clients entrant achètent au moins un article. Calculer la loi de X, etendéduire le nombre moyen de clients passant àlacaisse. On suppose que client sur n achete rien et ne passe pas à la caisse. Calculer la loi de X. Exercice Le nombre N d enfants d une famille d une population est une v.a de loi de Poisson de paramètre λ. Chaque enfant a la probabilité p d avoir un gène A, et ceci de façon indépendante. Soit X le nombre d enfants d une famille ayant le gène A et Y le nombre d enfants de la famille ne l ayant pas.. Quelle relation existe-t-il entre N, X, Y?. Pour n N et k {...n}, déterminer P (X k N n). Calculer la loi de X. 3. Déterminer la loi de Y. 4. Montrer que X et Y sont indépendantes. 5. Application. λ, p, 4. Déterminer la probabilité pour une famille d avoir 3 enfants présentant le gène A et enfants ne l ayant pas. Exercice Un fleuriste doit faire un bouquet de p + roses blanches pour un client. Son stock de roses est consitué de 4n roses, dont n sont blanches. (p +<n) Mais, troublé par une cliente venant d entrer, il choisit les roses au hasard. Soit X n le nombre de roses blanches dans le bouquet.. Calculer la loi de X n. Que se passe t-il si n tend vers +? Correction de l Exercice 5 Pas de problème Correction de l Exercice 6

12 MA3 Exercices corrigés. On determine d abord l ensemble des valeurs que peut prendre X. Au pire il y a 3 lamas et bosses, au mieux il y a 3 chameaux, donc 6 bosses sur la photo. X {,...6}. Donc Ensuite on en déduit le tableau suivant: k P (X k) C5 3 C9 3 C 5 C 4 C 3 9 C 4 C 5 + C C 5 C 3 9 C C 4 C C 5 C 3 9 C 5 C + C 5 C 4 C 3 9 C 4 C C 3 9 C 3 C9 3 On vérifie bien que k P (X k). On trouve E(X) et var(x) Correction de l Exercice 7. On a P (trame erronée) P (trame correcte) ( p) n. X nombres de trames intactes reçues. On a affaire au schéma classique d une loi binomiale. (nombre de succès dans la réalisation de 4 épreuves de Bernoulli indépendantes). Si on note q P (trame correcte), on a donc X B( 4,q). Donc E(X) 4 q 4 ( p) n 3. Notons Y nombre de trame intactes reçues avant de recevoir la premiere trame erronée. On a P (Y k) q k ( q) Pour faire une analogie avec le cours (nombre de tentatives que met un joueur de foot àréussir son penalty), Y + est un loi géométrique de paramètre q. Or l espérance d une telle loi géométrique est q. Donc E(Y )+E() q E(Y ) q q Correction de l Exercice 8. On est en présence d un schéma géométrique: la v.a prend ses valeurs dans {,...} N et P (X k) p( p) k Attention, ce n est pas (c en est presque une!) la loi géométrique telle qu elle a été définie dans le cours; il y a une translation de : la v.a X +estgéométrique de paramètre p. On cherche donc E(X). Or E(X +) p,donc E(X) p p Correction de l Exercice 9

13 MA3 Exercices corrigés 3. C est un exercice important, car on doit employer la formule des probabilités totales, ce qui arrive fréquemment. Le principe de raisonnement est le suivant: On est incapable de calculer directement la loi de X, car cette loi depend du nombre de clients qui sont entrées dans le magasin, or ce nombre est aléatoire! Notons N nombre de clients qui sont entrées dans le magasin. D après l énoncé, N Poi(λ). Si N k (si je sais combien de clients sont entrées), il est facile de calculer P (X k) En effet, cela revient à choisir parmi les k ceux qui sont passés à la caisse, sachant que pour un client, P ( passer àlacaisse n.c est un schéma binomial. Récapitulons : je connais Posons p n.ona: P (X i) { la loi de N: P (N k) e λ λ k k! la loi conditionnelle de X sachant N: P (X i N k) Ck i ( i ( n n) n + k + ki + ki e λ p i λ i + λ (λp)i e i! P (X i N k)p (N k) P (X i N k)p (N k) Ck i pi ( p) k i λ λk e k! ki + ki C i k k! λk i ( p) k i (λ( p)) k i (k i)! car on a forcément X N ) k i Or + ki (λ( p)) k i (k i)! e λ( p).d où P (X i) e λp (λp) i. Ainsi X Poi(λp) i!. C est exactement le même raisonnement, sauf que p ne vaut plus n,mais 9 n. Correction de l Exercice. On a N X + Y. Pour n N et k {...n}, onap (X k N n) Cnp k k ( p) n k. En effet, si on sait que la famille possède n enfants, que X k, onaforcément n k enfantsaveclegène B. On en déduit : P (X k) + nk + nk P (X k N n)p (N n) Cnp k k ( p) n k λ λn e n! e λ p k λ k + λ (λp)k e k! nk + nk C k n n! λn k ( p) n k (λ( p)) n k (n k)!

14 MA3 Exercices corrigés 4 Or + nk (λ( p)) n k (n k)! e λ( p) D où P (X k) e λp (λp) k. Ainsi k! 3. Par le même raisonnement, Y Poi(λ( p). X Poi(λp) 4. Soient k N,q N. calculonsp (X k, Y q). On a {X k, Y q} {N k + q}. Donc P (X k, Y q) P (X k, Y q,n k + q) P (X k, Y q N k + q)p (N k + q) (C k+q k pk ( p) q) ( e λ ) (k + q)! (λ)k+q λp (λp)k λ( p) (λ( p))q e e k! q! D où P (X k, Y q) P (X k)p (Y q). QED 5. Application. λ, p, 4. On cherche P (X 3,Y ). Parindépendance, P (X 3,Y )P (X 3)P (Y ).8 Correction de l Exercice. P (X n k) C k p+ A k n Ap+ k 3n A p+. 4n Rmq: en raisonnant d une autre manière, on peut aussi trouver P (X n k) Ck nc p+ k 3n même chose!) C p+ 4n (ce qui est la. Quand n +, ona:a k n nk. En effet, A k n est un polynôme en n; en+, il est donc equivalent à son terme de plus haut degré. On en déduit: P (X n k) Cp+ k n k (3n) p+ k (4n) p+ Cp+ k ( 4 ) k ( ) 3 p+ k 4 ( Donc P (X n k) k ( 3 ) p+ k. n + Ck p+ 4) 4 Quand n est grand, la loi de Xn est la loi B(p +, 4 ). On parle de convergence en loi. 4 TD n 4: V.Acontinues

15 MA3 Exercices corrigés 5 Exercice La vitesse d une molécule au sein d un gaz homogène en état d équilibre est une variable aléatoire dont la fonction de densité est donnée par m kt où b de la molécule. Évaluer a en fonction de b. f(x) ax exp( bx )six>,f(x) sinon et k, T, m sont respectivement la constante de Boltzmann, la température absolue et la masse Exercice 3 (Calcul de densités). Soit X une variable aléatoire continue ayant pour densité f(x) rx (r+) si x etf(x) sinon. (r>) (a) Donner l espérance et la variance de X. (b) Trouver la densité delavariablealéatoire Y ln(x). Soit X une v.a de loi N(, ). calculer la densité dey e X 3. Soit λ R +,soitu une v.a de loi uniforme sur [, ]. On considère X ln(u) λ. (a) Pourquoi peut on dire que X existe presque surement? (b) Calculer la loi de X Exercice 4 On considère une requête informatique. Deux serveurs A et B peuvent la traiter; le routeur envoie la requête au serveur A dans x% des cas, sinon à B. Le serveur B traite la requete selon un temps S B qui suit une loi Exp(), le serveur A fait le même travail selon un temps S A qui suit une loi Exp( ).. Quel serveur est le plus rapide en moyenne?. On note T temps de traitement de la requete. Calculer la loi de T 3. Quelle valeur donner à x pour qu en moyenne, le temps T soit inférieur à.5? Exercice 5 (Minimum de v.a de loi exponentielles). Soient T et T v.a indépendantes de loi exponentielle de paramètre λ et λ. On considère la v.a Z min(t,t ). Calculer la loi de Z. Généraliser au cas de n v.a (X,..., X n ) suivant respectivement des lois Exp(λ i ) 3. Robert attend au bureau de poste. Devant lui sont deux guichets occupés. Soient X et X les temps d occupation respectifs des deux guichets, on suppose que X et X sont indépendants st suivent des lois Exp(λ )etexp(λ ). On note Y le temps d attente de Robert. Calculer la loi de Y.

16 MA3 Exercices corrigés 6 Exercice 6 Une entreprise fabrique du chocolat. Une presse façonne les tablettes dont le poids X (exprimé en grammes suit une loi N(m, σ ), avec σ 3. Le réglage de la presse permet de modifier m par pas de. sans affecter σ. Les services de contrôle permettent que.5% des articles puissent peser moins que le poids net mentionné sur l emballage.. Determiner m pour respecter la loi si on indique 5 g sur l emballage.. On décide de vendre les paquets par lots de, avec comme indication 5 g. Calculerm dans ce cas. Si on vend plaques, quelle est en moyenne l économie réalisée? (On se souviendra que la loi de la somme de v.a indépendantes de loi N(m,σ )etn(m,σ ) est la loi N(m + m,σ + σ )) Exercice 7 Un appareil éléctrique fonctionne avec 3 piles P, P, P 3. Chacune de ces piles P i a une durée de vie X i, qui est une v.a de loi Exp(λ). On suppose de plus que les 3 durées de vie sont indépendantes. L appareil cesse de fonctionner dès que de ses piles sont mortes. On note T la durée de fonctionnement de l appareil.. Calculer G, la fonction de répartition de T.. T admet elle une densité? Si oui, la calculer. Exercice 8 Robert entre chez le coiffeur. Celui ci est occupé avec un client. La coupe dure (exactement) 3 min, et celle ci a débuté selon une durée aléatoire uniformément répartieentreet3min. Calculer la probabilité que t minutes après l entrée de Robert, le coiffeur n ait pas fini la coupe. Correction de l Exercice Il suffit de vérifier que. f(x). R f(x)dx Il suffit d avoir a pour que la première condition soit vraie. Pour la deuxième par contre, il faut faire un calcul. + f(x)dx ax e bx dx R a[ x b e bx ] + + a b + + π e bx dx (IPP) a b a π 4b 3 e bx dx a b b D où a 4b 3 π

17 MA3 Exercices corrigés 7 Correction de l Exercice 3. + E(X) xf(x)dx R [ rx r+ E(X) r r r ] + xrx (r+) dx On a par ailleurs var(x) E(X ) E(X).CalculonsE(X ): E(X ) x f(x)dx donc R + r r var(x) r dx xr [ rx r+ r r ( ) r r r On demande la densité deln(x). Notons g cette densité. g est la dérivée de F ln(x),lafonctionde répartition de ln(x). Or a R, F ln(x) (a) P (ln(x) a) Notons d abord que P (ln(x) a) sia, car X ] + P (ln(x) a) P (X e a ) car e x est croissante F X (e a ) Ainsi F ln(x) (a) F X (e a ). Dérivons cette relation, on obtient: ( Fln(X) ) (a) e a (F X ) (e a ) g(a) f(e a )e a car (F X ) densitédex! D où Rmq: ln(x) Exp(r) g(a) { { sia sia r e a re ra e a(r+). On va noter f la densité dex (donc f(x) π e x ), et on note g la densité dee X. On va calculer la fonction de répartition de e X, et ensuite la dériver pour trouver g. Soita R, calculons F e X (a) P (e X a). On a trivialement P (e X a) sia care X. On prend donc a>. P (e X a) P (X ln(a)) car ln est croissante F X (ln(a)) Donc en dérivant cette relation: (F e X ) (a) (F X ) (ln(a)) a g(a) a f(ln(a)) a ln(a) π e

18 MA3 Exercices corrigés 8 sia La densité dee X est donc g(a) ln(a) e sinon a π 3. (a) X est définie si U>. Or P (U ) P (U )caru est une v.a àdensité. Ainsi P (X n est pas définie) (b) Soit x R. Si x, on a bien sûr P (X x). Sinon, si x, : Donc X Exp(λ). P (X x) P ( ln(u) x) λ P (U e xλ )carlnestcroissante e λx Correction de l Exercice 4. En moyenne, le temps que met A à accomplir sa tache est E(S A ) Ainsi B est plus rapide en moyenne.. Soit a R. CalculonsP (T a). Si a, on a P (T a). On prend donc a. ;pourb c est E(S B ). Onacas:soitlarequête est traitée par A, soit elle est traitée par B. On est donc dans la sitution de l utilisation de la formule des probabilités totales. On note P (A) P (la requete passe par A), idem pour P (B). P (T a) P (T a A)P (A)+P (T a B)P (B) P (T a A)x + P (T a B)( x) Mais { P (T a A) a e t dt car S A Exp( ) P (T a B) a e t dt car S B Exp() Donc 3. On a E(T ) P (T a) x( e a )+( x)( e a ) ( x)e a xe a + P (T a)da ( x)+x x + + ( x)e a + xe a da On a donc + x, 5 x, 5 Correction de l Exercice 5

19 MA3 Exercices corrigés 9. Soit x R +.L évènement (Z >x) est egal àl évènement (T >x; T >x) En effet, si le minimum de deux nombres est plus grand que x, cela revient à dire que ces deux nombres sont plus grands que x. Donc : P ((Z >x) P (T >x; T >x) P (T >x)p (T >x)parindépendance e λx e λx e (λ +λ )x Donc P (Z <x) e (λ +λ )x, ce qui prouve que Z Exp(λ + λ )(six<, on trouve trivialement P (Z <) ). Montrons par récurrence que la loi de min(t,..., T n )estexp(λ + λ λ n ). Si n, c est evidemment vrai. Soit n. Supposons que la loi de min(t,..., T n ) est la loi Exp(λ λ n ), et calculons la loi de min(t,..., T n ). Si on note Z min(t,...t n ), on a: Z et T n indépendantes Z et T n suivent des lois exponentielles de paramètres (λ λ n )etλ n min(t,..., T n )min(z, T n ) Donc d après la question ), la loi de min(t,..., T n ) est donc la loi Exp((λ λ n )+λ n ). Donc: n N, la loi de min(t,..., T n ) est une loi exponentielle dont la paramètre est la somme des paramètres des T i. Correction de l Exercice 6. On cherche m tel que P (X >5).975. On a : Or si X N(m, σ ), X m σ P (X >5) P ( X m σ N(, ). > 5 m ) σ La table nous indique que si α.96, P ( X m σ >α).975. On a donc.96 5 m m 5.96σ m44. σ. On cherche maintenant m tel que P (X + X > 5) 975, où X et X représentent les poids de tablettes fabriquées. X et X sont donc indépendantes et suivent toutes deux des lois N(m, σ ). X + X suit donc la loi N(m, σ ). On a: P (X >5) P ( X m σ > 5 m σ ) On a donc comme au ) 5 m σ.96 m 5.96 σ m45.8

20 MA3 Exercices corrigés En moyenne, chaque plaque pèse donc m 45.8 grammes. En moyenne, on gagne donc 4. g par tablette si le réglage avait été simplement fait sur m 5 Ce qui fait, sur plaques, une écomomie de 4 g... 4 tonnes de chocolat, ce qui n est pas négligeable!!! Correction de l Exercice 7. Soit x R. CalculonsP (T x) Si x<, on a evidemment P (T x). Sinon, P (T x) P ( piles au moins sont tombées en panne pendant l intervalle [,x]) P ( piles exactement sont en panne ) + P (les3pilessontenpanne) Notons p P (une pile choisie au hasard tombe en panne pendant [,x]). Les piles ayant des durées de vie indépendantes, les évènements P i estenpanne et P j est en panne sont indépendants. Donc: P (T x) C 3 p ( p)+p 3 Or p P (D <x) e λx. Donc P (T x) 3e λx ( e λx ) +( e λx ) 3 { six< La loi de T est donc donnée par: P (T x) 3e λx ( e λx ) +( e λx ) 3 sinon Remarque: en développant, on obtient une expression plus simple: G(x) { six< +e 3λx 3e λx sinon. La fonction de répartition de G, calculée àlaquestionprécédente, est continue et de classe C par morceaux; ainsi T possède une dénsité qui est la dérivée de G. Le densité det est donc donnée par: { six< 6e 3λx +6e λx sinon Correction de l Exercice 8 Notons U le temps (en minutes) que le coiffeur a déjà passé avec le client qu il coiffe à l entrée de Robert. D après l énoncé, ce temps suit une loi uniforme sur [, 3]. Ainsi, la coupe va durer encore (3 U) minutes.soitt P ( le coiffeur n a pas fini sa coupe t minutes apres l entrée de Robert) P (3 U>t)P (U <3 t) si 3 t 3 t Or P (U <3 t) 3 si 3 t 3 si 3 3 t si 3 t t 3 si t 3 sit

21 MA3 Exercices corrigés 5 TD n 5 : Couples de v.a Exercice 9 Soient X et Y deux v.a discrètes dont la loi conjointe est donnée par le tableau suivant:. Déterminer les lois marginales de X et Y. X et Y sont elles indépendantes? X Y Exercice 3 On considère Robert et Brad dans une soirée. Ces deux jeunes hommes tentent de sortir du célibat en faisant des propositions aux jeunes filles présentes, jusqu à ce que l une d entre elles acceptent. Chaque demoiselle refuse les propositions de Robert avec la probabilité r, et celles de Brad avec la probabilité b. On note U nombre d essais avant que Robert ne sorte du célibat. V nombre d essais avant que Brad ne sorte du célibat.. Quelles lois suivent U et V?. On suppose que U et V sont indépendantes. Calculer P (U < V) Exercice 3 (Loi de sommes de v.a) Soient X et Y deux v.a indépendantes, de loi Exp(λ) etexp(α). Montrer que la densité dex + Y est f(x) λα e αx e λx λ α ],+ [ (x) Exercice 3. Montrer qu il existe c tel que f(x, y) c[ + xy(x y )] [,] (x) [,] (y) soit une densité de probabilité sur R.. Soit (X, Y ) un couple ayant f(x, y) comme densité. Expliciter les lois de X et Y. Exercice 33 (Utilisation des lois conjointes pour calculer des probabilités) Robert a décroché un rendez vous avec une jeune fille. Celle ci l attend. Le temps qu elle patiente avant de partir suit une loi Exp( 5 ). Robert lui est coincé par les embouteillages. Le temps qu il met avant de rejoindre le point de rendez vous suit une loi uniforme sur [, 5].. calculer la probabilité que Robert ne rate pas son rendez vous. Même question si le temps qu il met pour arriver suit une loi Exp(λ)

22 MA3 Exercices corrigés Exercice 34 { P (Y ) Soit X une v.a de loi N(, ), et Y une v.a discrète de loi : P (Y ) On suppose que X et Y sont indépendantes, et on pose Z XY.. Calculer la loi de Z. Les v.a Z et X sont elles indépendantes? Exercice 35 Robert est amoureux de Stéphanie, mais il n ose pas lui dire. Il sait qu elle passe tous les jours entre 4h et 5h au même endroit, et qu elle reste assise minutes à cet endroit. Robert passe à cet endroit, et attend minutes pour voir la belle. Passé ce délai, il s en va. On suppose qu ils arrivent indépendamment l un de l autre à des instants uniformément distribués entre 4h et 5h.. Calculez la probabilité que Robert réussisse à voir la jolie Stéphanie. Maintenant Robert change sa stratégie, il n arrive plus au hasard entre 4h et 5h, mais à une heure fixée x. Quelle est la probabilité qu il apercoive la jeune fille? Exercice 36 (Macabre) On suppose que des coeurs arrivent à un hopital suivant le processus suivant: Le premier coeur arrive à la date T,ledeuxiememetuntempsT à arriver après que le premier coeur soit arrivé. T et T sont deux v.a de loi exponentielle Exp(µ) Deux malades attendent d être greffés. Le premier coeur va au premier patient, si celui est encore en vie; sinon au second (s il est encore en vie...) On suppose que leurs durées de vie (qui sont indépendantes) suivent des lois exponentielles de paramètre λ et λ. Ces durées de vie sont indépendantes des arrivées des coeurs! Calculer la probabilité que le premier patient soit greffé, que le second soit greffé. Correction de l Exercice 9. On applique le cours, il suffit de sommer les lignes pour avoir la loi margnale de X: onobtient { P (X 4) P (X 8) On somme les colonnes pour la loi marginale de Y.. Les v.a X et Y ne sont pas indépendantes: on a par exemple P (X 4,Y ). d après le tableau. Mais d autre part, on a: P (Y )P (X 4)..6. d après le calcul des lois marginales. Donc P (Y )P (X 4) P (X 4,Y ). Correction de l Exercice 3

23 MA3 Exercices corrigés 3. L ensemble des valeurs que peuvent prendre U et V est {,,...}. Eneffet,siRobertréussit du premier coup, avant de sortir du célibat il n a fait aucun essai. On peut éventuellement se tromper en disant que U {,...}, car l enoncé estunpeuflou. On a ensuite P (U k) r k ( r) etp (V k) b k ( b) (schéma d une loi géométrique).. On doit calculer une probabilité où interviennent conjointement v.a, et où ces v.a sont de loi discrète. Dans ce genre de situation, on utilise toujours la formule des probabilités totales qui permet de fixer V à une valeur, et donc de calculer facilement P (U <V). P (U <V) + k + k + k P (U <V V k)p (V k) P (U <k V k)p (V k) P (U <k)p (V k) car U et V sont indépendantes Avant de finir ce calcul, nous devons calculer P (U <k). On remarque que si k, cette probabilité est nulle. Si k : P (U <k) k k P (U i) r i ( r) i i k ( r) r i ( r) rk r i r k (formule sur les sommes géométriques) Donc P (U <V) + k + k P (U <k)p (V k) + ( r k )b k ( b) ( b) ( b ( b) b rb ) rb b( r) rb k + P (U <k)p (V k) k b k (rb) k Correction de l Exercice 3 On applique le cours: Si X et Y sont indépendantes, si X possède une densité f X,siY possède une densité f Y,alorsX + Y possède une densité g X+Y donnée par: g X+Y (u) + f X (u t)f Y (t)dt Appliquons ce résultat ici, avec f X (t) λe λt R +(t) etf Y (t) αe αt R +(t). On obtient: g X+Y (u) + λe λ(u t) R +(u t)αe αt R +(t)dt

24 MA3 Exercices corrigés 4 Or R +(t) si t<, donc g X+Y (u) er cas : u<. Alors dans l expression Donc ième cas : u. + + On a: R +(u t) si u t/ R + u<t.d où λe λ(u t) R +(u t)αe αt dt λe λ(u t) R +(u t)αe αt R +(t)dt, u t<etainsi R +(u t). g X+Y (u) u g X+Y (u) λe λ(u t) αe αt dt u λαe λu e λt e αt dt [ ] u λαe λu e t(α λ) λ α λα λ α e λu (e u(α λ) ) λα e αu e λu λ α La réunion des deux cas se note donc g X+Y (u) λα e αu e λu λ α R +(u) Correction de l Exercice 3. pour être une densité, f doit vérifier deux conditions: Examinons la condition (). f(x, y)dxdy R Or par symétrie il est clair que Donc c( + xy(x y )) dxdy f(x, y) () f(x, y)dxdy () R cdxdy+ c x 3 ydxdy c y 3 xdxdy x 3 ydxdy R f(x, y)dxdy y 3 xdxdy c 4c ainsi () c 4 On vérifie qu avec ce choix pour c, la condition () est aussi vérifiée. Donc f est une densité c 4

25 MA3 Exercices corrigés 5. On applique le cours. La densité marginale de X est donnée par: f X (u) f(u, y)dy R [ ;] (u) 4 [ ;] (u) 4 4 ( + uy(u y )) [ ;] (u)dy ( + u 3 y + uy 3 )dy dy + [ ;] (u) 4. [ ;] (u)++ [ ;] (u) 4 u3 [ y. [ ;] (u) u 3 ydy + [ ;] (u) 4 ] ++ [ ;] (u) 4 u [ y 4 4 ] uy 3 dy D où Par symétrie, on obtient f X (u). [ ;] (u) f Y (u). [ ;] (u) Correction de l Exercice 33. On note U le temps que Robert met pour venir au rdv, et X le temps que la jeune fille met avant de partir. P (Robert ne rate pas la belle) P (U X) P ((U, X) B), où B {(u, v) R tq u v} f (U,V ) (u, v)dudv B La densité f (U,V ) du couple (U, V ) est le produit des densités de U et de V car ces v.a sont indépendantes. P (Robert ne rate pas la belle) 4 4 u [, 5] v u v u [ e v 5 4 u [ ] 5e u (e ) 5 e 4. Même raisonnement, mais ici U Exp(λ). Reprenons les calculs: P (Robert ne rate pas la belle) λ λ + 5 u v u v 5 e v 5 dvdu ] + λe λu + u 5 e v 5 dudv du 4 λe (λ+ 5 )u du 5 e u 5 du λ 5 e v 5 e λu dudv 5 e v 5 dvdu

26 MA3 Exercices corrigés 6 Correction de l Exercice 34. Soit a R, calculonsp (Z a): P (Z a) P (Z a Y )P (Y )+P (Z a Y )P (Y ) P (X a Y ) + P ( X a Y ) (P (X a)+p ( X a)) car X et Y sont indépendantes (P (X a)+p (X a)) Mais X N(, ); par symétrie de la loi normale P (X a) P (X a) (faire le dessin) donc P (Z a) P (X a) la loi de Z est la loi N(, ). A voir la tête de Z et X, onapastropd idées sur le résultat: pour résoudre cette question, une méthode s impose: appliquer le cours et calculer, pour a et b quelconques, P (Z a; X b) et regarder si on a P (Z a; X b) P (Z a)p (X b) On fait le calcul au brouillon, et a priori ca n a pas l air de vouloir de se simplifier: trouvons donc un contre exemple. P (Z ; X ) P (XY ; X Y )P (Y )+P (XY ; X Y )P (Y ) P (X ; X Y ) + P ( X ; X Y ) } {{ } } {{ } P (X ) P (X) P (X ) D autre part, P (Z )P (X ) P (X )P (X ) car Z et X ont la même loi. Comme P (X ),onabien P (Z )P (X ) P (Z ; X ) Correction de l Exercice 35 Correction de l Exercice 36 Notons V et V les durées de vie respectives des deux patients. D après l enoncé, V Exp(λ ), V Exp(λ ) et ce sont deux v.a indépendantes.. Dire que le premier patient est gréffé, cela revient àdirequet <V. (sa durée de vie est plus grande

27 MA3 Exercices corrigés 7 que le temps que met le premier coeur à arriver) P (T <V ) P ((T,V ) A) où A A + + µe µt λ e λ v dt dv + µe µt +. Le deuxième patient est gréffé dans deux cas: { t,v R + t <v µe µt λ e λ v dv dt t ] + [ e λ v dt t µe (µ+λ )t dt [ µ e (µ+λ )t µ + λ µ µ + λ le premier patient prend le premier coeur et le deuxième survit suffisamment pour qu on lui greffe le deuxieme coeur: T <V et T + T <V Le premier patient meurt avant de recevoir le premier coeur, et le deuxieme patient est gréffé avec ce coeur: T >V et T <V ] + On cherche donc P (T <V ; T + T <V )+P (T >V ; T <V ). P (T <V ; T + T <V ) t +t t,t,v,v > t <v t + t <v µe µt µe µt λ e λ v λ e λ v dt dt dv dv µe µt µe µt λ e λ v λ e λ v dv dv dt dt t ] + µe µt µe µt λ e λ v [ e λ v dv dt dt t +t t µe (µ+λ )t µe µt λ e λ v dv dt dt t +t ] + µe (µ+λ )t µe µt [ e λ v dt dt t +t µe (µ+λ +λ )t µe (µ+λ )t dt dt [ ] µ + e (µ+λ +λ )t µ + λ + λ µ µ µ + λ µ + λ + λ [ µ ] + e (µ+λ )t µ + λ

28 MA3 Exercices corrigés 8 D autre part, P (T >V ; T <V ) t,v,v > t >v t <v + + v + + µe µt λ e λ v λ e λ v dt dv dv µe µt λ e λ v λ e λ v dv dt dv t ] + µe µt λ e λ v [ e λ v dt dv v t µe (µ+λ )t λ e λ v v [ λ e λ v µ ] + e (µ+λ )t dv µ + λ v µ λ e (λ +µ+λ )v dv µ + λ [ ] µ λ + e (λ +µ+λ )v µ + λ λ + µ + λ µ λ µ + λ λ + µ + λ Donc P ( le deuxieme patient est gréffé) µ µ + λ µ µ + λ + λ + µ µ + λ λ λ + µ + λ 6 TD n 6 : Convergences de v.a Exercice 37 (Surbooking) Le surbooking est une pratique employée par les compagnies aeriennes qui consiste à vendre plus de billets qu il n y a de places dans l avion, car on a constaté que 5% des personnes qui ont réservé une place ne viennent pas. Or une place non occupée coûte très cher.... Sur un vol de places, la compagnie accepte réservations. Quelle est la probabilité qu il y ait plus de 9 personnes présentes?. Toujours sur un vol de places, combien peut on accepter de réservations si on veut etre sur à9% qu il n y ait pas de clients insatisfaits? Exercice 38 (les fameux sondages) On veut estimer le pourcentage p de réponses positives à un référendum. On fait donc un sondage parmi n individus, et on pose F n fréquence de réponses positives observée dans ce sondage. On cherche n, le plus petit entier n tel que la probabilité quef n diffère de p de plus de α soit inférieure à c ]; [. Calculez n si on prend c.5, α. dans les deux cas suivants:. Si on sait que p ];.3[

29 MA3 Exercices corrigés 9. Si on ne sait rien sur p! Exercice 39 (L aiguille de Buffon: suite) On rappelle les résultats suivants: Si on jette une aiguille de longueur l sur une table rayée dont les lignes sont espacées de D cm, la probabilité que l aiguille coupe une ligne est l πd. Proposer une méthode pour calculer π. Combien de lancers effectuer si on veut une valeur approchée de π à.près, fiable à 95%? Exercice 4 Les statisticiens on établi que la probabilité qu un homme de 45 ans vive encore dans 6 ans est de.5. Une société d assurance vient de vendre à 3 hommes de 45 ans une police d assurance-vie. On note X le nombre de personnes, qui parmi ces 3, atteindront 5 ans.. (a) Donner la loi de X (b) Calculer p la probabilité pour que l assureur débourse de l argent pour au moins 98 contrats.. On choisit d approcher X par une loi de Poisson. (a) Quel paramètre choisir pour la loi de Poisson? (b) Calculer dans ce cas une valeur approchée de p 3. On choisit d approcher X par une loi normale. (a) Quel paramètres choisir pour la loi normale? (b) Calculer dans ce cas une valeur approchée de p 4. Comparer les résultats. Correction de l Exercice 37 { silaième personne qui a reservé vient. On pose X i sinon D après l énoncé, on a P (X i ).85: Les X i suivent donc la loi B(.85). Elles sont indépendantes (les personnes n ont pas de lien entre elles). Notons m E(X i ).85 et σ var(x).357 On cherche P (X + X X 9) P (X + X X 9) P ( X + X X m σ P (Z 3.6) 9 m σ )

30 MA3 Exercices corrigés 3 On a posé Z X +X +...+X m σ On peut appliquer ce théorème car:, qui suit la loi N(, ) d après le TCL. { les X i sont indépendantes, de même loi les X i possèdent une espérance et une variance P (X + X X 9) P (Z 3.6) P (Z 3.6) par symétriedelaloinormale.99. Cette fois, le problème est différent: on cherche n tel que P (X X n ).9. P (X X n ).9 P ( X X n nm nσ nm nσ ).9 Or, d après le TCL, X +...+X n nm nσ la relation cherchée. N(, ). D après la table, il suffit d avoir nm nσ nm nσ.9 ( nm).9 nσ.9 pour avoir n m n(.9σ + m)+ 4 n.9 oun 3.6 Avoir n 3.6 est impossible, la condition est donc la suivante: n.9. Il faut reserver au plus sièges. Correction de l Exercice { 38 silaième personne interrogée répond oui On pose X i sinon D après l énoncé, on a P (X i )p: Les X i suivent donc la loi B(p). Elles sont indépendantes (les personnes n ont pas de lien entre elles). Notons m E(X i )p et σ var(x) p( p). Avec ces notations, on a F n X +...+X n n. On cherche donc n tel que P ( F n p α) c P ( F n p α) c P ( X X n p α) c n P ( X X n np α) c n P ( X X n np nα nσ σ ) c On pose Z X +...+X n np nσ pour simplifier, car d après le TCL (les X i vérifient toutes les hypothèses), Z N(, ). nα ( F n p α) c P ( Z σ ) c nα P ( Z σ ) c nα (P (Z ) ) c Il suffit d après la table de prendre c σ nα P (Z σ ) nα σ ).975 P (Z nα σ.96 n.96 σ α Mais se pose un problème... σ est inconnu! il dépend de p, que l on cherche àestimer.

31 MA3 Exercices corrigés 3. Dans cette question, on a une idée de l ordre de grandeur de p (ce qui arrive souvent dans la pratique). L idée est : je ne connais pas σ, mais je vais arriver à l encadrer. σ p( p) Une rapide étude de fonction montre que σ croit quand p [, ], puis décroit quand p [, ]. Ici, on a donc toujours σ.3(.7). Pour revenir à notre problème, il suffit donc de prendre n.96.3(.7) α et on aura toujours n.96 σ.onobtient: α n 868 personnes à interroger. C est beaucoup!. On refait le même raisonnement, sauf qu ici la seule majoration de σ dont on dispose est σ 4. On obtient n 964 Correction de l Exercice 39. D après la loi des grands nombres, si on lance beaucoup d aiguilles, le rapport l πd nb d aiguilles touchant une ligne nb d aiguilles lancées va tendre vers. Il suffit donc de lancer beaucoup d aiguilles pour calculer une valeur approchée de l πd,doncdeπ.. Le problème qui se pose est le suivant: je vais arriver facilement, avec cette méthode, à calculer une valeur approchée de l πd, donc en fait de π. Mais si j approche π à.près, approcherais-je π à. près? Ce n est pas du tout evident, par exemple.4 et.5 sont proches à.près, mais pas.4 et.5 : En fait on a a b b a ba : on s apercoit donc du fait suivant: si ba, alors. ba., d où a b. a b. ba b a ba. b a. ba Or ici, a π et b approximation de π. Comme on sait que π, on aura bien ba. Calculons donc une valeur approchée de { π à.près: silei ième lancer est réussi Posons X i Les X i sont des v.a indépendantes de Bernoulli, elles sinon vérifient toutes les hypothèses du théorème central limit et de la loi des grands nombres. On a E(X i )P (X i )p l πd Une valeur approchée de l πd est X +...+X n n : On cherche donc n tel que P ( D(X X n ) ln π.).95 D(X X n ) n l π P (.).95 ln D(X X n l πd P ( n).).95 ln X X n l πd P ( n ) n.(l) D.95 X X n l πd P ( n ) nσ.(l) n.95 Dσ

32 MA3 Exercices corrigés 3 où σ var(x i ) p( p), où p l πd.d après le TCL, la loi de Y X +...+X n l nσ N(, ). P ( D(X X n ) ln π.).95 P ( Y.(l) n.95 Dσ P (Y.(l) n ).95 Dσ P (Y.(l) n ).975 Dσ πd n est la loi D où, en cherchant sur la table.(l) n Dσ.96 n ( ).96Dσ.(l) σ p( p) est inconnu, on peut le majorer en écrivant p( p) sondages) (cf exercice sur les Ainsi on devra effectuer n (.96D.(l)) lancers Correction de l Exercice 4. (a) La loi de X est une loi binomiale de paramètres n 3 et p.5 (b) p P (X ) P (X )+P (X )+P (X ) (a) On choisit comme paramètre np 5 (b) p P (X )+P (X )+P (X ) (a) On a X X +...X 3,oùlesX i sont des lois de bernoulli indépendantes. On peut donc appliquer le TCL et affirmer que X N(np, np( p), car E(X i )p et var(x i )p( p). (b) On pose σ np( p) p P (X ) P ( X 5 3 σ σ P (Y ) où Y N(, ) P (Y ) où Y N(, ) par symétrie de la loi normale P (Y ) L approximation par la loi normale est moins bonne que celle par la loi de Poisson, car la loi normale est continue et que la loi binomiale ne l est pas. 7 TD n 7: Données statistiques Exercice 4 (production cinématographique) Le tableau ci dessous regroupe le nombre de films produits en 999 par certains pays:

33 MA3 Exercices corrigés 33 Canada 45 Italie 8 Allemagne 88 Japon 65 Belgique Algérie Brésil 4 Mexique Espagne 8 Suede 3 Etats-Unis 5 Royaume Uni 3 France Portugal 5 Inde 764 Liban Danemark Russie 6 Israel 8 Suisse 3 Pakistan 5 Pologne 5. Comment regrouper ces données pour qu elles soient plus lisibles?. Calculer la moyenne de cette série. 3. Calculer médiane et quartiles. Exercice 4 Voici les notes qu ont obtenu les étudiants d une classe àundevoir:. Regrouper ces données. Représenter graphiquement ces données. 3 6,5 4 9, , , ,5,5 5,5 5,5 9,5 5,5 5,5 8 8, , ,5 9,5,5 4, Calculer la moyenne et l écart type de cette série. 4. Determiner les paramètres de dispersion de la série. Le devoir était il bien conçu à votre avis? Exercice 43 (Les Rongeurs et le blé) On considère le tableau suivant donnant le lien entre la population de rongeurs d un pays et le prix du blé ( en euros/quintal): Année t R Rongeurs (millions) P Prix Y a-t-il une corrélation linéaire entre le nombre de rongeurs et le temps, entre le prix et le temps, entre les rongeurs et le prix?. La corrélation devinée en. est elle valide? 3. Calculer les coefficients de la droite d ajustement 4. Peut-on réellement affirmer qu il y a un lien entre R et P?

34 MA3 Exercices corrigés 34 Exercice 44 Une entreprise cherche à faire la promotion d un de ses produit. Elle a relevé les données suivantes: X Publicité dépensée (k$) Ventes (en milliers) La corrélation semble être de quel type?. Calculer le coefficient de corrélation linéaire 3. Chercher un meilleur ajustement 4. A l aide de l ajustement obtenu, donner une prévision de la valeur que l on devra dépenser si on souhaite vendre 43 unités du produit. Correction de l Exercice 4. Il n y a pas de réponse unique à cette question: L idée est de choisir des classes pour qu un histogramme permette de bien lire ces données. La seule contrainte à respecter est de faire au moins 5 classes (c est ce qui est pratiqué) Je propose le choix suivant: On trouve x, La médiane est Me 35, 5 (il y a valeurs, la médiane est la valeur entre la et la ième ). Le er quartile est 6, le troisième est 3. Correction de l Exercice 4. le plus naturel est de regrouper les notes avec des classes de même amplitude: [, ], [, 3],... effectifs Notes

35 MA3 Exercices corrigés On trouve comme moyenne 8,9 et 4,35 comme ecart type. 4. La médiane est 9, le er quartile est 5,5 le troisième,5. La moyenne et la médiane sont proches: c est bon signe, cela veut dire que les notes se répartissent de façon àpeuprès égales de part et d autres de la moyenne. De même, le er quartile est proche de 5( 4 ), ce qui suggère une bonne répartition. Par contre le fait que le 3 ième quartile,5 soit en dessous de 5( 3 4 )suggère qu il y a eu peu de bonnes notes. l ecart type est elevé: ce qui montre qu il y a eu de gros écarts entre les notes. Pour conclure, on peut dire que ce devoir a bien mis en evidence les différents niveaux des élèves (écart type elevé) et une certaine hétérogénéité de la classe. (quartiles proches des quarts). La moyenne semble un peu basse par contre... Correction de l Exercice 43. Les courbes suivantes nous suggèrent un lien entre les rongeurs et le prix. Rongeurs Prix Rongeurs temps Prix Temps. le coefficient de corrélation linéaire est r σ PR σ P σ R 46, 6, 5, 6.98 ce nombre est (en valeur absolue) proche de, la correlation est valide. 3. Avec les formules du cours, on trouve a, 85 et b 86, Il parait étrange, ce lien entre les souris et le prix du blé! (et effrayant, car se dire que le nombre de souris conditionne le prix de notre pain n est pas rassurant sur la fragilité de ce prix) En réalité, il n y a pas de lien direct, mais ces deux grandeurs dépendent d un même paramètre: la quantité de blé produit. Plus il y a de blé, plus il y a de rongeurs, et plus le blé estbonmarché.

36 MA3 Exercices corrigés 36 Correction de l Exercice 44. On trouve la courbe suivante: Ventes Dépenses ce qui suggère un lien de type logarithmique ventes a ln(depenses)+ b. En calculant le coefficient de corrélation linéaire pour les données ventes et depenses, on trouve.9 3. En prenant comme données les ventes et ln(depenses), on obtient un coefficient de corrélation linéaire de.98, ce qui est meilleur qu à la question précédente D après les formules du cours, on trouve Ventes 9, ln(depenses) 94, En prenant V 43, on doit résoudre 43 9, ln(x) 94, x 57k$ 8 TD n 8 :Estimation Exercice 45 On a réalisé une étude portant sur les temps de transmissions de fichiers informatiques à travers un réseau. On obtient le tableau: (temps en s) Calculer la moyenne et la variance empirique de cet echantillon.. Donner une estimation ponctuelle de µ et σ 3. Donner un intervalle de confiance pour la moyenne µ au seuil de confiance de 95% Exercice 46 Mêmes questions avec le tableau suivant, donnant le temps par jour passé devant la télé par des enfants:

37 MA3 Exercices corrigés 37 Exercice 47 (estimation d une proportion) On a vu comment estimer la moyenne d une v.a. On se demande maintenant comment calculer une proportion p. Exemple: Robert cherche l école qui l acceuillera à la rentrée prochaine. Il visite l une d entre elles lors d une journée portes ouvertes, et se demande quelle est la proportion p de filles dans cette école (un de ses critères de choix). Il apercoit en tout élèves de l école, et parmi eux filles.. Montrer comment, en utilisant les résultats du cours, on peut estimer p.. Donner une estimation ponctuelle de p, puis une estimation par intervalle, au seuil de confiance de 95 %. Le problème est que l échantillon n est pas réellement choisi au hasard: le responsable local du recrutement ayant sans doute demandé aux rares filles de l école de venir montrer leur charmant visage... Correction de l Exercice 45. On trouve x, 79 et s, 3. Pour l estimation ponctuelle, on prend µ x, 79 et σ n n s, 34 (car n 34) 3. Pour l estimation par intervalle, on reprend les formules du cours (vous en avez le droit, vous n étes pas obligés de refaire la démonstration). Ici c.95, on doit trouver un nombre α tel que P (X α) +c si X N(, ). Ce qui donne α, 96. Si l intervalle de confiance est [x a, x + a], ce nombre α vaut a σ.96 n na σ. D où L intervalle de confiance est donc [.7;.86] Correction de l Exercice 46. On trouve x.9 et s, 7. Pour l estimation ponctuelle, on prend µ x.9 et σ n n s.6 (car n 4) 3. Ici c.95, on doit trouver un nombre α tel que P (X α) +c si X N(, ). Ce qui donne α, 96. Si l intervalle de confiance est [x a, x + a], ce nombre α vaut a σ.96 n na σ. D où L intervalle de confiance est donc [.77;.6] Correction de l Exercice 47 On a vu, dans les exercices précédents, comment estimer une moyenne. Dans cet exercice, ce qui est demandé est (a priori) différent: on demande d estimer une proportion. Il s agit donc ici d être capable de faire le lien entre ces deux problèmes, qui en fait sont les mêmes.

38 MA3 Exercices corrigés 38 { silaième personne vue par Robert est une fille. Considérons les v.a X i sinon Ces v.a sont des v.a de loi de Bernoulli. Le paramètre est P (X i )p, soit la proportion que l on cherche àestimer:ore(x i )p. Estimerp revient donc àestimere(x i ), ce que l on sait faire.. On est donc dans le schéma suivant: On a observations d une v.a de loi B(p). Le tableau regroupant ces valeurs observées est donc un tableau à cases, comportant et 89 zéros. On applique les formules du cours: Une estimation ponctuelle de p est donc x.9. Calculons une estimation de p par intervalle de confiance. On a s ( ).544 (en effet, i x i 89, car les x i valent ou ) n On estime σ par n s.559. On peut appliquer les formules du cours: L intervalle est [x,96σ a, x + a], avec ici c.95, la table nous fournit donc, 96 qui correspond à.donca n, na σ L intervalle de confiance pour p est donc [.,.6] Quelques remarques fondamentales sur cet exercice: (a) Un intervalle de confiance du type [%, 6%] beaucoup plus de possibilités pour p que l estimation ponctuelle 9%. Cela parait moins satisfaisant du point de vue pratique, mais c est quand même beaucoup plus sûr que l estimation ponctuelle: rappellons qu il y a 95 % de chances pour que p [%, 6%]. (b) Par contre, on a aucune idée de la position que p occupe dans l intervalle: la théorie ne nous donne aucun renseignement. (c) Ce genre de questions est au coeur du problème des sondages politiques. Par exemple, si le dernier sondage pour le référendum européen donne un intervalle de confiance à 95% du type [49, 53] pour le oui, que peut on en déduire? pas grand chose, et c est le problème car si mathématiquement entre 49 et 5 il n y a pas bcp de différence, politiquement c est une autre musique. Un autre problème se pose aussi dans les sondages pré-élections, c est qu il sont basés sur la bonne foi des personne intérrogées: or ce n est pas toujours le cas. Ces sondages sont, pour cette raison, à distinguer des sondages faits après coup, par exemple les sondages de mesures d audience type audimat, qui eux se basent sur des faits constatés.