FSAB Physique 3 Partie "Ondes"

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1 FSAB13 - Physique 3 Partie "Ondes" Module S4 Polarisation, réflexion, réfraction Matière traitée dans le 4ème module d'apprentissage de physique 3 1. Concept de polarisation d'une onde transverse (électromagnétique, mécanique,... polarisation linéaire polarisation circulaire polarisation elliptique 2. Réflexion et réfraction d'une onde à l'interface entre deux milieux non absorbants (diélectriques ondes transverses électromagnétiques (labo + cours ondes mécaniques (cours + Un peu d'histoire Snell * Descartes * Huygens * Newton * Malus * Biot * Arago * Fresnel * Maxwell

2 . Ondes planes : onde plane scalaire E y est une onde scalaire plane se propageant dans la directio x. Elle doit être définie pour tout temps t et pour tout endroit de l'espace désigné par un vecteur r de coordonnées (x,y,z dans le repère {1 x,1 y,1 z }. E y (r,t = E y (x,y,z,t = f(x - c.t = f(r.1 x - c.t 1 y r 1 z 1 x r.1 x = x. Ondes planes : onde plane scalaire monochromatique Décidons que E y est maintenant une onde scalaire plane monochromatique se propageant dans la directio x => la fonction f est un sinus (ou un cosinus. E y (r,t = E y (x,y,z,t = f(x - c.t = sin( k. (x - c.t [m -1 ] [m] = sin( k.x - k.c.t, où k est appelé le nombre d'onde E y se reproduit tout les 2.!/k mètres => 2.!/k = ", la longueur d'onde [m] E y se reproduit tout les 2.!/(k.c secondes => 2.!/(k.c = T, la période [sec]

3 . Ondes planes : onde plane scalaire monochromatique Décidons que E y est maintenant une onde scalaire plane monochromatique se propageant dans la directio x. La fonction f est un sinus (ou un cosinus. E y (r,t = E y (x,y,z,t = f(x - c.t = sin( k. (x - c.t [m -1 ] [m] = sin( k.x - k.c.t, où k est appelé le nombre d'onde = sin( 2.!.(x/" - t/t = sin(k.x - #.t, où # est la fréquence angulaire Comme x = r.1 x, E y (r,t = sin(k.x - #.t = sin(k. r.1 x - #.t = sin(k. r - #.t, où k = k.1 x est appelé le vecteur d'onde. Onde plane monochromatique scalaire : le cas général M(x,y,z,t = A. sin(k.r - #.t r = (x,y,z : les coordonnées de l'endroit où on veut calculer M t le temps auquel on veut calculer M sinusoïdale (monochromatique fréquence angulaire # longueur d'onde " Amplitude A r 1 P fréquence f = #/2! période T = 1/f vitesse c = " /T = ".f nombre d'onde k = 2!/" Le vecteur d'onde k : sa direction est la direction de propagation; sa norme vaut k = 2!/". k r 2 Plan P perpendiculaire à k => k.r 1 = k. r 2 => M a la même valeur (à un temps donné pour tous les points du plan P => onde PLANE

4 . Onde plane monochromatique scalaire : le cas général M(x,y,z,t = A. sin(k.r - #.t r = (x,y,z : les coordonnées de l'endroit où on veut calculer M t le temps auquel on veut calculer M Est-ce bien une onde??! 2 M +! 2 M +! 2 M = 1! 2 M! x 2! y 2! z 2 c 2! t 2 (Démonstration au tableau Et si l'onde est vectorielle et non scalaire? M(x,y,z,t => M(x,y,z,t Il faut spécifier l'orientation du vecteur M au cours du temps. $ le concept de polarisation émerge.

5 1. Polarisation Concept qui sert à donner une information sur la direction d'oscillation d'un vecteur associé à une onde transverse. Onde électromagnétique : le vecteur champ électrique Le type de polarisation indique la forme du lieu parcouru par l'extrémité du vecteur champ électrique au cours du temps, à un endroit donné de l'espace. 1. Polarisation Concept qui sert à donner une information sur la direction d'oscillation d'un vecteur associé à une onde transverse. Onde électromagnétique : le vecteur champ électrique Polarisation linéaire Exemple: E( r, t = A.1 y. sin( k. z - #. t = A.1 y. sin( k. r - #. t direction du champ électrique = A.1 y. sin( ( k.1 z. r - #. t = A. sin( k. r - #. t direction de propagation

6 1. Polarisation Concept qui sert à donner une information sur la direction d'oscillation d'un vecteur associé à une onde transverse. Onde électromagnétique : le vecteur champ électrique Polarisation elliptique? Représentation mathématique? 1. Polarisation Représentation mathématique d'un état de polarisation elliptique Le lieu décrit par l'extrémité du vecteur champ électrique à un endroit donné de l'espace est une ellipse E(t = A x sin( # t 1 x + A y sin( # t + % 1 y où 1 x et 1 y sont deux vecteurs de base perpendiculaires à k

7 1. Polarisation Représentation mathématique d'un état de polarisation elliptique Polarisation elliptique E( r, t = A x sin( k. r - # t 1 x + A y sin( k. r - # t + % 1 y où 1 x et 1 y sont deux vecteurs de base perpendiculaires à k Cas particuliers: % = n! : polarisation linéaire % =! / 2 et A x = A y : polarisation circulaire 1. Polarisation Mon laser est-il polarisé? Dans la nature, les ondes émises par une source ne sont pas nécessairement polarisées; elles peuvent être polarisées à l'aide de dispositifs simples (polariseurs, ou suite à leur interaction avec la matière. Certaines sources émettent des ondes polarisées (antennes, certains lasers,

8 plan d incidence Questions z y k 1 & 1 & 1r k 1r milieu 1 x milieu 2 & 2 k 2 1. Qu'est-ce qu'un interface? Que s'y passe-t-il? => indice de réfraction 2. Quelles sont les fréquences, longueurs d'onde et directions de propagation des ondes réfléchies et transmises? => loi de Snell(-Descartes 3. Quelles sont les amplitudes des ondes réfléchies et transmises? => lois de Fresnel (en fonction des caractéristiques de l'onde incidente et de la nature des deux milieux 2. Réflexion / réfraction Un cas simple: une onde mécanique transverse Cours précédent:! 2 ' = v 2! t 2! 2 '! x 2 Corde tendue : rappel où v = ( F / µ L 1/2 F : tension dans la corde ( N µ L : densité linéique ( kg / m

9 2. Réflexion / réfraction y Un cas simple: une onde mécanique transverse Corde tendue : interface x milieu 1 milieu 2 ( ; ' i La tension F est constante dans toute la corde, de part et d'autre de l'interface; Les densités linéiques diffèrent de part et d'autre de l'interface. la vitesse de propagation change à l'interface de ( F / µ L1 1/2 à ( F / µ L2 1/2 Onde incidente : ' 1 ( x,t = I sin ( k 1 x - # t avec k 1 = 2.! / " 1 = # / v 1 Onde réfléchie : ' 1r ( x,t = R sin ( -k 1 x - # t avec k 1 = 2.! / " 1 = # / v 1 Onde transmise : ' 2 ( x,t = T sin ( k 2 x - # t avec k 2 = 2.! / " 2 = # / v 2 2. Réflexion / réfraction y Un cas simple: une onde mécanique transverse Corde tendue : interface x Conditions d'interface : milieu 1 milieu 2 ( ; ' i Continuité du déplacement vertical : ' 1 (,t + ' 1r (,t = ' 2 (,t I + R = T Continuité de la force verticale exercée sur la corde : F y 1 (,t + F y 1r (,t = F y 2 (,t Or (cours précédent : F y 1 ( x,t = -F. (! ' /! x k 1 I - k 1 R = k 2 T

10 2. Réflexion / réfraction Réfléchi ( k 1 R / I = - k 2 ( k 1 + k 2 Un cas simple: une onde mécanique transverse Transmis Corde tendue 2 k 1 T / I = ( k 1 + k 2 Exemple: 4 g / m 1 g / m 2. Réflexion / réfraction Onde électromagnétique plane Indice de réfraction Onde électromagnétique dans un milieu diélectrique transparent: Vide ( µ milieu diélectrique transparent (non absorbant, isotrope et linéaire ( = ( r ( µ = µ r µ v = c = 1 / (( µ 1/2 v = 1 / (( µ1/2 = 1 / (( µ 1/2 / (( r µ r 1/2 = c / (( r µ r 1/2 = c / n n=(( r µ r 1/2 est l'indice de réfraction du milieu; il est en général > 1 (sauf dans le domaine des rayons-x

11 2. Réflexion / réfraction Onde électromagnétique plane Indice de réfraction Onde électromagnétique dans un milieu diélectrique transparent: Vide milieu diélectrique transparent (non absorbant, isotrope et linéaire ( ( = ( r ( µ µ = µ r µ v = c = 1 / (( µ 1/2 v = 1 / (( µ1/2 = 1 / (( µ 1/2 / (( r µ r 1/2 = c / (( r µ r 1/2 = c / n ".(#/2! = c ".(#/2! = v H = (( /µ 1/2 ( 1 k X E = 1/(c.µ ( 1 k X E H = ((/µ 1/2 ( 1 k X E = n/(c.µ ( 1 k X E Interface entre deux milieux En passant d'un milieu d'indice de réfraction n1 à un milieu d'indice de réfraction n2, l'onde "doit" adapter sa vitesse, tout en respectant les conditions d'interface du champ électromagnétique aux interfaces.

12 plan d incidence Conventions z y k 1 & 1 & 1r k 1r milieu 1 x milieu 2 & 2 k 2 Les angles d'incidence, de réflexion, et de réfraction sont mesurés par rapport à la normale à l'interface. Quelques faits z y x k 1 & 1 & 1r k 1r milieu 1 milieu 2 # se conserve & 2 k 2 La fréquence # se conserve de part et d'autre de l'interface. Les vecteurs d'onde k 1, k 1r et k 2 appartiennent à un même plan, qui contient aussi la normale à l'interface (plan d'incidence & 1 = & 1r, l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence. sin( & 1 = n 2. sin( & 2 [loi de Snell-Descartes] Démonstrations: notes extraites de May & Cazabat

13 Sens physique de la loi de Snell Cas où < n 2 (ex.: air -> plastique " 1, v 1, # 1 # 2 = # 1 v 2 = v 1 ( / n 2 < v 1 => " 2 = " 1 ( / n 2 < " 1 " 1 & 1 " 2 & 2 " 1 / sin( & 1 = " 2 / sin( & 2. sin( & 1 = n 2. sin( & 2 E 1 Amplitudes des ondes / 1 E 1 // & 1 k 1 E 1 plan d incidence z y x & 1 milieu 1 milieu 2 1. Ecrire le champ électrique en fonction de ses composantes // et au plan d'incidence, toutes deux au vecteur d'onde (onde transverse : E 1 (r,t = [ E 1 //. cos( & 1 ; E 1 ; E 1 //. sin( & 1 ]. sin( k 1. r - #. t

14 Amplitudes des ondes / 2 2. Ecrire le champ magnétique en fonction du champ électrique : H 1 = / (c.µ 1 ( 1 k X E 1 k 1 & 1 z y x 1 k = [ sin( & 1 ; ; -cos( & 1 ] E 1 (r,t = [ E 1 //. cos( & 1 ; E 1 ; E 1 //. sin( & 1 ]. sin( k 1. r - #. t H 1 (r,t = [ E 1. cos( & 1 ; -E 1 // ; E 1. sin( & 1 ]. / (c.µ 1. sin( k 1. r - #. t Amplitudes des ondes / 3 3. Idem pour les ondes transmises et réfléchies, en tenant compte des angles de réfraction et de réflexion : Onde transmise : E 2 (r,t = [ E 2 //. cos( & 2 ; E 2 ; E 2 //. sin( & 2 ]. sin( k 2. r - #. t H 2 (r,t = [ E 2. cos( & 2 ; -E 2 // ; E 2. sin( & 2 ]. n 2 / (c.µ 2. sin( k 2. r - #. t Onde réfléchie (attention aux conventions de signe! : E 1r (r,t = [ E 1r //. cos( & 1 ; E 1r ; -E 1r //. sin( & 1 ]. sin( k 1r. r - #. t H 1r (r,t = [ -E 1r. cos( & 1 ; E 1r // ; E 1r. sin( & 1 ]. / (c.µ 1. sin( k 1r. r - #. t

15 Amplitudes des ondes / 4 4. Introduire les équations d'interface : A l'interface entre deux milieux diélectriques (isolants, les composantes tangentielles du champ électrique et du champ magnétique se conservent : incident réfléchi transmis z y x k 1 R & 1 & 1r k 1r & 2 k 2 milieu 1 milieu 2 E 1 X (R,t + E 1r X (R,t = E 2 X (R,t E 1 Y (R,t + E 1r Y (R,t = E 2 Y (R,t H 1 X (R,t + H 1r X (R,t = H 2 X (R,t H 1 Y (R,t + H 1r Y (R,t = H 2 Y (R,t Milieu 1 Milieu 2 Amplitudes des ondes / 5 5. On obtient alors très facilement: Champ réfléchi : E 1r // =.cos( & 2 - n 2.cos( & 1 n 2.cos( & 1 +.cos( & 2 E 1 // E 1r =.cos( & 1 - n 2.cos( & 2.cos( & 1 + n 2.cos( & 2 E 1 Champ transmis : E 2 // = 2.. cos( & 1 n 2.cos( & 1 +.cos( & 2 E 1 // E 2 = 2.. cos( & 1.cos( & 1 + n 2.cos( & 2 E 1 Composantes // du champ électr. Composantes du champ électr. LOIS DE FRESNEL Découplage des équations pour les composantes // et au plan d'incidence.

16 Polarisation (perpendiculaire E 1, E 1r et E 2 au plan d'incidence H 1, H 1r et H 2 // au plan d'incidence plan d incidence z k 1 E 1 & 1 E & 1r 1r k 1r y x H 1 H 1r milieu 1 milieu 2 & 2 E 2 H 2 k 2 Polarisation // (parallèle E 1, E 1r et E 2 // au plan d'incidence H 1, H 1r et H 2 au plan d'incidence E 1 plan d incidence z k 1 H 1 & 1 & 1r H 1r k 1r E 1r milieu 1 y x milieu 2 & 2 E 2 H 2 k 2!!!! Attention aux conventions de signe!!!! (choix des directions positives pour les champs

17 Coefficients de réflexion Coefficients de transmission E 2 // / E 1 // < n 2 : air -> lucite Incidence NORMALE.5.5 E 2" / E 1" E 1r // / E 1 // E 1r" / E 1" ! 1 ( ! 1 ( Le champ électrique réfléchi est de sens opposé à celui du champ incident. Le champ électrique transmis est de même sens que le champ incident. Coefficients de réflexion Coefficients de transmission E 2 // / E 1 // < n 2 : air -> lucite Incidence RASANTE.5.5 E 2" / E 1" E 1r // / E 1 //.. k 1 & 1 k 1r -.5 E 1r" / E 1" ! 1 ( ! 1 ( Sous incidence rasante: la réflexion est totale.

18 Coefficients de réflexion Coefficients de transmission E 2 // / E 1 // E 1 //.5.5 E 1r // / E 1 // E 2" / E 1" & B < n 2 : air -> lucite Angle de Brewster E 1r" / E 1" -.5 & 2 E 2 // -1. 4! 1 ( ! 1 ( Quand & 1 = & B, l'angle de Brewster, la composante // de l'onde réfléchie s'annule => polariseur par réflexion => transmission totale de la composante // E 1r // =.cos( & 2 - n 2.cos( & 1 n 2.cos( & 1 +.cos( & 2 E 1 // = tan( & 2 - & 1 tan( & 1 + & 2 Loi de Snell Si & 1 + & 2 =! / 2, alors tan( & 1 + & 2 = infini => E 1r // = < n 2 : air -> lucite E 1 // L'angle de Brewster & B est l'angle d'incidence & 1 pour lequel & 1 + & 2 =! / 2 sin( & B = n 2 /. sin( & 2 = n 2 /. sin(! / 2 - & B = n 2 /. cos( & B & B & B & 2 tan( & B = n 2 / & 2

19 Coefficients de réflexion Coefficients de transmission E 2 // / E 1 // < n 2 : air -> lucite.5.5 E 2" / E 1" E 1r // / E 1 // E 1r" / E 1" ! 1 ( ! 1 ( En général, l'état de polarisation d'une onde est modifié lors d'une réflexion ou d'une réfraction. < n 2 : air -> lucite En général, l'état de polarisation d'une onde est modifié lors d'une réflexion ou d'une réfraction.

20 < n 2 : air -> lucite En général, l'état de polarisation d'une onde est modifié lors d'une réflexion ou d'une réfraction. < n 2 : air -> lucite En général, l'état de polarisation d'une onde est modifié lors d'une réflexion ou d'une réfraction.

21 < n 2 : air -> lucite Voir le site web pour l'effet sur une polarisation elliptique... Coefficients de réflexion Coefficients de transmission 1. E 2 // / E 1 // E 1r" / E 1" 2.4 n 2 < : lucite -> air Incidence NORMALE E 2" / E 1" E -.5 1r // / E 1 // ! 1 ( ! 1 ( Le champ électrique réfléchi est de même sens que celui du champ incident. Le champ électrique transmis est toujours de même sens que le champ incident.

22 Coefficients de réflexion Coefficients de transmission 1. E 2 // / E 1 // E 1r" / E 1" 2.4 n 2 < : lucite -> air Angle critique E -.5 1r // / E 1 // E 2" / E 1" Angle critique ! 1 ( ! 1 ( Coefficients de réflexion 1. E 1r" / E 1".5. E -.5 1r // / E 1 // ! 1 ( ! 2 ( & critique sin (! 2 sin (! ! 1 ( > n 2 : lucite -> air 6 4 Angle critique. sin( & 1 = n 2. sin( & 2 sin( & 1 = n 2 /. sin( & 2 sin( & 1c = n 2 / Si n1 > n2, alors il existe un angle critique au-delà duquel la réflexion est totale (ex.: de la Lucite à l'air.

23 2. Réflexion / réfraction Onde mécanique transverse Réfléchi ( k 1 R / I = - k 2 ( k 1 + k 2 où k j = 2! / " j est le nombre d'onde Transmis 2 k 1 T / I = ( k 1 + k 2 Onde électromagnétique transverse E 1r / E 1 =.cos( & 1 - n 2.cos( & 2.cos( & 1 + n 2.cos( & 2 E 2 / E 1 = 2.. cos( & 1.cos( & 1 + n 2.cos( & 2 si & 1 = (incidence normale E 1r / E 1 = - n 2 + n 2 or k j = 2! / " j = 2! n j / " où " E 2 / E 1 = 2. + n 2 est la longueur d'onde dans le vide E 1r / E 1 = k 1 - k 2 k 1 + k 2 E 2 / E 1 = 2. k 1 k 1 + k 2 Deux prochaines semaines : Interférence et diffraction S5 : Laboratoire L5 (mêmes horaire et locaux que L4; Préparer le laboratoire AVANT la séance CM5 (avec tirage au sort; S6 : APE6; CM6 (sans tirage au sort.