Feuille d exercices 1

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1 Complexité Exercice 1 Démontrer que a) n 2 /2 O(n) b) 5n+3 = O(n) c) 30n+5 = O(n 2 ) d) 4n 3 +5n = O(n 3 ). Exercice 2 Donnez la complexité (en fonction de n) de l algorithme suivant. Vous donnerez une borne supérieure avec un O() dans un premier temps, puis vous affinerez votre calcul en utilisant la notation Θ(). for i = 1 : n for j = 1 : n x = x+2; Exercice 3 Donnez la complexité (en fonction de n) de l algorithme suivant. for i = 1 : n for j = 1 : i x = x 6; Exercice 4 Donnez la complexité (en fonction de n) de l algorithme suivant. for i = 5 : n 5 for j = i 5 : i+5 x = 2x; Exercice 5 Donnez la complexité (en fonction de n) de l algorithme suivant. for i = 1 : n for j = 1 : i for k = 1 : j x = 5x 1; Rappel: n i=1 i2 = (2n+1)(n+1)n 6. Exercice 6 Écrire un algorithme qui pr en entrée un tableau de n entiers compris entre 0 et n 1 et qui vérifie que tous les éléments sont distincts. Exprimer le temps d exécution de votre algorithme en fonction de n. Exercice 7 Écrire un algorithme qui pr en entrée un tableau de n entiers et qui vérifie que tous les éléments sont distincts. Exprimer le temps d exécution de votre algorithme en fonction de n. 1

2 Exercice 8 Considère un tableau A de n = 2 k nombres a 1,...,a n disposés en ordre croissant. Compute la complexité de l algorithme suivant, qui calcule l index i de l entier b, tel que a i = b. 0. Pose n = n, i = 0, A = A, et ses éléments a. 1. Si n = 1 donc on a trouvé i = i+1. Terminé. 2. Sinon, si b = a n /2, alors on a trouvé i = i+n /2. Terminé. 3. Sinon, 3a. Si b > a n /2 alors considère la deuxième moitié de A (A = {a n /2+1,a n /2+1,...,a n }) et pose i = i+n /2. 3b. Si b < a n /2 alors considère la première moitié de A (A = {a 1,a 2,...,a n /2 }). Pose n = n /2. Reviens à l étape 1. Pourquoi pas parcourir tous les éléments du tableau, du début jusqu à la fin? Division euclidienne Exercice 9 Effectuer la division euclidienne entre a) 7 et 3 b) -7 et 3 c) et 5 d) et 5 e) et 100 f) -21 et 20. Arithmétique Exercice 10 Montrer que 6 est irrationnel. Exercice 11 Montrer que un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Exercice 12 (Nombres de Marsenne) Rappel que x n 1 = (x 1)(x n 1 +x n 2 + +x+1) Montrer que si a n 1 est premier alors a = 2. Montrer que 2 pq 1 est divisible par 2 p 1. En déduire que 2 n 1 ne peut être premier que si p est premier. Exercice 13 Montrer que la somme de deux nombre impairs consécutifs est divisible par 4. Exercice 14 Montrer que si p est premier, avec p > 5, alors 24 divise p 2 1. Exercice 15 Est-il possible que x 2 y 2 soit premier? Exercice 16 Démontrer que PGCD(a,b) = PGCD(a,b+na). Exercice 17 Démontrer que, si c et a sont premiers entre eux, alors PGCD(a,b) = PGCD(a,bc). 2

3 Arithmétique (difficiles) Exercice 18 Soit A un ensemble de n+1 2 entiers distincts tous inférieurs ou égaux à 2n. Montrer qu il existe deux éléments de A tels que l un divise l autre. Exercice 19 On suppose que n est un entier 2 tel que 2 n 1 est premier. Montrer que n est un nombre premier. Exercice 20 Montrer qu il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3. Relation d équivalence Exercice 21 Est-ce que < est une relation d équivalence? Montrer que elle ne génère pas une partition de [1;5]. Exercice 22 Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive et transitive. On définit les nouvelles relations S et T par xsy (xry et yrx) et xt y (xry ou yrx) Les relations S et T sont-elles des relations d équivalence? Exercice 23 Soit E un ensemble et A une partie de E. On définit une relation R sur ρ(e) (ensemble de toutes les parties de E) par XRY X A = Y A a) Montrer que R est une relation d équivalence. b) Décrire la classe d équivalence de X ρ(e). Classe de congruence Exercice 24 Démontrer que dans Z/3Z x 3 x = 0. Exercice 25 Résoudre dans Z/9Z les équations a) 5x+7 = 0 b) 3x+2 = 0 Exercice 26 Même question que la précédente, mais dans Z/31Z. Exercice 27 Démontrer que 9 k = 2 k mod 7. Généraliser en disant que a k = (a mod n) k mod n. Exercice 28 Caractérise les éléments inversibles de Z/nZ Exercice 29 Résoudre les équations suivantes: a) 3x+5 = 0 dans Z/10Z b) x 2 = 1 dans Z/8Z c) x 2 +2x+2 = 0 dans Z/5Z 3

4 Exercice 30 Résoudre les systèmes suivants: a) { x = 1 mod 6 x = 2 mod 7 { 3x = 2 mod 5 b) 5x = 1 mod 6 { x+y = 4 mod 11 c) xy = 10 mod 11 Exercice 31 Si p est un nombre premier, quel est le nombre de carrés dans Z/pZ? Exercice 32 Soit p un nombre premier. Calculer a) p k=1 k mod p b) p k=1 k2 mod p Exercice 33 Déterminer le reste de la division de par 7. Exercice 34 Déterminer mod mod 13 Classe de congruence (difficiles) Exercice 35 Soit p un nombre premier et k un entier premier avec p 1. Montrer que l application φ : Z/pZ Z/pZ définie par φ(x) = x k est bijective. Exercice 36 Soit p un entier premier. Montrer que x Z/pZ xk est égal à 0 ou 1. Exercice 37 (Théorème de Wilson) Soit p un nombre premier supérieur à 2. a) Quels sont les éléments de Z/pZ qui sont égaux à leurs inverses? b) En déduire que p divise (p 1)!+1. c) Montrer que si n 2 divise (n 1)!+1 alors n est premier. Petit Théorème de Fermat Exercice 38 Soit n 2 un entier. On suppose que Montrer que n est un nombre premier. Indicatrice d Euler a {1,...,n 1}, a n 1 = 1 mod n. Exercice 39 Combien y a-t-il d éléments inversibles dans Z/78Z. 4

5 Factorisation de polynômes Exercice 40 Factorise dans la forme (x a)(x b)(x c)(x d) le polynôme suivant: x 4 +4x 3 81x 2 16x+308. Astuce: commence par rechercher les racines évidentes comme (-2,-1,1,2,3,...) qui soient diviseur de 308. Exercice 41 Factorise dans la forme (x a)(x b)(x c)(x d) le polynôme suivant: x 4 +2x 3 16x 2 2x+15. Exercice 42 Calculer le quotient et le reste des divisions euclidiennes suivantes à l aide du schéma de Horner: a) (2x 3 3x+2) : (x+2) b) (2x 3 3x+2) : (x 2) c) (3y 3 +2y 2 3y 2) : (y 1) d) (3y 3 +2y 2 3y 2) : (y +1) e) (x 3 +5x 2 +5x 2)(x+2) Remarque: A(x) : B(x) = Q(x)B(x)+R(x). Exercice 43 Effectuer la division euclidienne de P(x) = 2x 2 +x+5 par x 3/2. En déduire la division euclidienne de P(x) par 3/2 x, par 2x 3, par 3 2x, par 4x 6. En déduire aussi la division euclidienne de S(x) = 6x 2 +3x+15 par x 3/2, par 3/2 x, par 2x 3, par 3 2x, par 4x 6. Exercice 44 Nous sommes des polynômes à coefficients réels de dégrée 2, nous sommes divisibles par (x 1) et nos coefficient de puissance 2 est 4. Qui suis-je? Exercice 45 Je suis un polynôme à coefficients réels de dégrée 3 et je suis divisible par x 2 +1, mon reste dans la division euclidienne par x 1 est 2, mon reste dans la division euclidienne par x+1 est 10, Qui suis-je? 5

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