Probabilité d un événement. Combinaisons d événements. Probabilité conditionnelle

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1 Probabilités classiques Mathématiques discrètes Théorie des probabilités Cours 31, MATH/COSC 1056F Julien Dompierre Département de mathématiques et d informatique Université Laurentienne 7 novembre 00, Sudbury Une expérience aléatoire (ou tout simplement expérience) est une action ou procédure qui produit un des résultats possibles d un ensemble donné de résultats possibles. Un résultat est une issue possible d un simple essai d une expérience aléatoire. Un événement E est n importe quel sous-ensemble de résultats de l ensemble fondamental S de tous les résultats possibles. On suppose que chaque résultat, de l ensemble fondamental de tous les résultats, est équiprobable, c est-à-dire, que tous les résultats ont la même probabilité de se réaliser. La probabilité p(e) d un événement E, qui est un sous-ensemble de l ensemble fondamental fini S de résultats équiprobables, est p(e) = E S. Affectation de probabilités Distribution uniforme Soit S l ensemble fondamental d une expérience aléatoire qui est composée de n résultats possibles, disons x 1, x,..., x n. On attribue une probabilité p(x i ) à chacun des résultats x i, i = 1,,...,n. Il faut que les deux conditions suivantes soient satisfaites : i) 0 p(x i ) 1, pour chaque résultat x i. Cette condition énonce que la probabilité de chaque résultat est égale à un nombre réel non négatif qui n est pas plus grand que 1. ii) n i=1 p(x i) = 1. Cette condition énonce que la somme des probabilités doit être égale à 1. Supposons que l ensemble fondamental S est composé de n éléments. Une distribution uniforme est une fonction de probabilité qui assigne la probabilité 1/n à chaque élément de S. Note : La fonction p de l ensemble de tous les résultats possibles vers l intervalle [0, 1] est appelée distribution de probabilité.

2 Probabilité d un événement Combinaisons d événements La probabilité d un événement E est la somme des probabilités des résultats dans E. Autrement dit, si E = {x 1, x,...,x m } S, alors p(e) = m p(x i ). i=1 Avec cette nouvelle définition des probabilités, les théorèmes de la section précédente sont toujours valides. p(e) = 1 p(e) et p(e) = 1 p(e) Quand deux événements E 1 et E de la même expérience aléatoire sont mutuellement exclusifs, la probabilité que E 1 ou E se réalisent est p(e 1 E ) = p(e 1 ) + p(e ). Combinaisons d événements Probabilité conditionnelle Si les événements E 1, E,..., de la même expérience aléatoire, est une suite d événement mutuellement exclusifs deux à deux, alors ( ) p E i = p(e i ). i i Quand deux événements E 1 et E ne sont pas mutuellement exclusifs, la probabilité que E 1 ou E se réalisent est p(e 1 E ) = p(e 1 ) + p(e ) p(e 1 E ). Soit E et D des événements avec p(d) > 0. La probabilité conditionnelle de E étant donné D, notée p(e D), est définie par p(e D) = p(e D). p(d) En général, pour trouver la probabilité conditionnelle de E étant donné que l événement D s est réalisé, on utilise D comme ensemble fondamental. Dans ce cas, pour qu un résultat de E se produise, il faut que ce résultat soit également dans D.

3 Événements indépendants Expérience de Bernoulli Si p(e D), qui est la probabilité conditionnelle de E sachant D, est égale à p(e), alors le fait que D se réalise ou pas ne change pas la probabilité de E. Dans ce cas, E et D sont des événements indépendants. Les événements E et D sont indépendants si et seulement si p(e D) = p(e)p(d). Il existe plusieurs expériences aléatoires qui se conforment exactement ou presque à cette liste de conditions : 1. L expérience aléatoire est composée de n essais, où le nombre d essais n est fixé à l avance.. Les essais sont identiques. Chaque essai peut produire seulement deux résultats, ou peut être réduit à deux résultats. Ces deux résultats sont soit un succès, soit un échec. 3. Les essais sont indépendants, le résultat de n importe quel essai en particulier n a aucune influence sur le résultat de n importe quel autre essai. 4. Le probabilité de succès est constante d essais en essais. Une expérience aléatoire pour laquelle les conditions 1 à 4 sont satisfaites est appelée expérience de Bernoulli ou expérience binomiale. Notation Probabilités binomiales p(s) Le symbole pour la probabilité d un succès. p(e) Le symbole pour la probabilité d un échec. p La probabilité d un succès. p = p(s). q La probabilité d un échec. q = 1 p = p(e). n Le nombre d essais. k Le nombre de succès parmi les n essais. Notez que 0 k n. n k Le nombre d échecs parmi les n essais. Dans une expérience binomiale avec une probabilité de succès p (et donc une probabilité d échec q = 1 p), la probabilité de k succès dans n essais (et donc de n k échecs) est p(k) = C(n, k) p k q n k = n! (n k)! k! pk q n k = b(k; n, p).

4 Pile ou face Pile ou face probabilités binomiales Une pièce est lancée trois fois. Trouver la probabilité d avoir exactement deux faces. Solution : Ce problème peut être résolue à l aide des probabilités classiques. S = {FFF, FFP, FPF, FPP, PFF, PFP, PPF, PPP} Il y a trois façons d obtenir exactement deux faces. La réponse est 3/ ou Il y a un nombre fixé d essais (trois).. Il y a seulement deux résultats possibles pour chaque essai. 3. Les essais sont indépendants les uns des autres. 4. La probabilité de succès (avoir une face) est de 1/ pour chaque essai. Dans ce cas, le nombre d essais est n = 3, le nombre de succès est k =, la probabilité d un succès est p = 0.5 et la probabilité d un échec est q = 1 p = 0.5. En substituant dans la formule, on obtient p( = b(; 3, 0.5) = 3! (3!! ( 1 ) ( 1 ) 1 = = 3 = ce qui est la même réponse obtenue qu au transparent précédent. Distribution binomiale Garçons et filles On note b(k; n, p) la probabilité d obtenir k succès parmi n essais indépendants de Bernoulli avec une probabilité de succès p et une probabilité d échec q = 1 p. Considérée comme une fonction de k, cette fonction est appelée distribution binomiale. k p(k)c(3,0) ( 1 0 ( 1 3 ( C(3,1) 1 1 ( 1 ( C(3, 1 ( 1 1 ( C(3,3) 1 3 ( 1 p(k) p(k) ) 0 Supposons que la probabilité d avoir un garçon est de 0.51 (et donc que la probabilité d avoir une fille est de 0.49) et que le sexe des enfants nés dans une famille est indépendant les une des autres. Quelle est la probabilité que dans une famille de cinq enfants il y ait exactement 3 garçons? Solution : Supposons que d avoir un garçon soit un succès avec une probabilité de p = 0.51 et avoir une fille soit un échec avec une probabilité de q = Le nombre d essais est de n = 5 pour ce problème. On demande pour le probabilité d avoir k = 3 succès. p(3) = b(3; 5, 0.51) = C(5, 3)

5 Garçons et filles (suite) Garçons et filles (suite) Quelle est la probabilité qu une famille de cinq enfants ait au moins un garçon? Solution : Il y aura au moins un garçon s il n y a pas juste des filles. La probabilité d avoir juste des filles est C(5, 0) = = , et donc la réponse est Quelle est la distribution de probabilité de la variable k = nombre de garçons pour une famille de cinq enfants? k p(k) p(k) p(k) 0 C(5, 0) C(5, 1) C(5, C(5, 3) C(5, 4) C(5, 5) k=0 p(k) = 1 Variable aléatoire Variable aléatoire Une variable aléatoire est une fonction de l ensemble fondamental d une expérience aléatoire vers l ensemble des nombres réels. Autrement dit, une variable aléatoire affecte un nombre réel à chaque résultat possible. Note : Une variable aléatoire est une fonction. Elle ni une variable, ni aléatoire! Une variable aléatoire est une fonction de l ensemble fondamental d une expérience aléatoire vers l ensemble des nombres réels. Expérience aléatoire : Lancer deux pièces. Ensemble fondamental : S = {(F, F), (F, P), (P, F), (P, P)} Variable aléatoire X 1 = nombre de faces. Variable aléatoire X = nombre de piles. Variable aléatoire X 3 = 1 si les deux côtés sont les mêmes, 0 sinon. Résultat de S (F, F) (F, P) (P, F) (P, P) Variable aléatoire X Variable aléatoire X Variable aléatoire X

6 Variable aléatoire Espérance mathématique Une variable aléatoire est une fonction de l ensemble fondamental d une expérience aléatoire vers l ensemble des nombres réels. Expérience aléatoire : Lancer un dé. Ensemble fondamental : S = {1,, 3, 4, 5, 6} Variable aléatoire X 1 = 1 si paire, 0 si impaire. Variable aléatoire X =.5 si égal à 6, 0 sinon. Variable aléatoire X 3 = résultat. Résultat de S Variable aléatoire X Variable aléatoire X Variable aléatoire X L espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X(s) définie dans l ensemble fondamental S = {s 1, s,...,s n } est égale à E(X) = n p(s i )X(s i ). i=1