Mécanique des Structures et Approximations Numériques

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1 Mécanique des Structures et Approximations Numériques janvier 2016 S. Drapier Département Mécanique et Procédés d Elaboration Centre Science des Matériaux et des Structures & LGF UMR CNRS 5307 École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne 158, cours Fauriel Saint-Étienne Cedex 2 bureau J3-15, tél :00-79

2 Introduction générale La mécanique des milieux continus, ou MMC, est la base de la résolution de problèmes en mécanique des solides et mécanique des fluides. Si la MMC permet de traiter tout type de problème, la résolution analytique simultanée des 3 équations d équilibre en tout point du domaine considéré, devient vite insurmontable pour être utilisée directement dans le dimensionnement des produits industriels courants. Dans le cas de la mécanique des solides, les ingénieurs ont isolé des cas particuliers de la MMC, où via certaines hypothèses sur les géométries et le chargement, la résolution peut se faire plus aisément. Ce domaine de la mécanique des solides se nomme la mécanique des structures et se définit, par opposition à la MMC, comme la mécanique des solides de dimensions finies où une des dimensions au moins est très faible devant les autres. Les théories cinématiques qui sous-tendent la mécanique des structures ont été mises au point dans les 2 derniers siècles pour le dimensionnement des structures. Dans le même temps la résistance des matériaux, ou RdM, était mise en place comme un cadre particulier de la mécanique où des hypothèses supplémentaires simplifient encore les problèmes à traiter. Dans ce cours, la théorie des poutres sera plus particulièrement développée (Figure 1) et ensuite étendue à la théorie des plaques, ceci principalement dans le cadre de la RdM. On verra, à travers cette introduction à la mécanique des structures, que bien avant que les résolution numériques ne soient disponibles, le dimensionnement des structures à l aide de ces approches répondait, au moins en première approximation, à la plupart des cas de la vie courante. On peut toutefois noter que pour les cas complexes, les calculs s alourdissent considérablement, et le bon sens de l ingénieur doit primer dans le choix des hypothèses à poser pour mener à bien ces résolutions, que ce soit de façon analytique ou bien numérique. L introduction de la théorie des poutres en RdM peut être envisagée principalement de 2 façons différentes. Une première approche consiste à partir des considérations particulières pour des grandes familles d exemples. Une telle approche nécessite une bonne connaissance et une bonne maîtrise de la modélisation des problèmes physiques à résoudre. Une approche plus systématique, choisie ici, permet de poser la formulation rigoureuse de la théorie des poutres à partir de considérations purement mécaniques. Cette théorie tout à fait générale sera ensuite appliquée aux cas plus simples permettant d isoler les comportements linéaires en traction, flexion simple, et en torsion. Les comportements non-linéaires seront ensuite abordés, et la mécanique des plaques sera décrite à partir i

3 ii d une cinématique proche de celle des poutres. Au fur et à mesure des exemples traités, le lien entre les problèmes physiques et leur formulation devra apparaître de plus en plus naturellement. Enfin, même si les solutions proposées dans le cas des structures simples restent d un grand intérêt, il apparaîtra rapidement, dans le cas des plaques notamment, que la résolution analytique est de portée limitée. On comprend alors que la conception de systèmes avancés, de plus en plus complexes et multi-physiques (aéroélasticité/structure, thermo-mécanique, biomécanique,...) ne pourra se faire à l aide de solutions simplifiées seulement. Au contraire, la conception et le dimensionnement de structures doit s appuyer de façon systématique sur les 2 types d approches, analytique pour accéder rapidement à des ordres de grandeur, puis numérique pour prendre en compte plus finement des comportements extrêmes et/ou locaux. En effet, l avancée conjointe des connaissances dans le domaine du comportement des matériaux et de la puissance de calcul des ordinateurs fait que le recours aux simulations numériques, et souvent au calcul intensif (massivement parallèle), est dorénavant systématique et pointue. Il faut toutefois noter que l utilisation de ces simulations ne peut se faire sans connaissance avancée en mécanique, et notamment en mécanique des structures qui reste la base dans la formulation des éléments finis structuraux largement répandus en conception. Seule une bonne connaissance de ces éléments, et donc des hypothèses qui ont amené à leur formulation, ainsi que des méthodes de résolution numériques correspondantes, permet de mener à bien, de façon optimale et sûre, des calculs de dimensionnement des structures. Une extension à la résolution numérique des problèmes de mécanique est donc proposée en fin de ce cours, avec un accent particulier mis sur la mécanique numérique des structures. Ce chapitre représente également un avant-goût du module 2 mis en place à la rentrée dans l option Matériaux et Mécanique, intitulé Mécanique numérique, et qui se concentre exclusivement sur les méthodes numériques et la simulation en mécanique. Quelques ouvrages de référence Introduction à la mécanique des milieux continus, P.Germain et P.Muller, Éd. Masson 1995, collection Enseignement de la physique, Mécanique des Structures, Tome 2 Poutres, S.Laroze et J.-J. Barrau, Éd. Masson 1991, Cours de Mécanique des Milieux Continus de 1 ère année de l École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, R. Fortunier, 2000 et H. Klöcker, Theories of elastic plates, V.Panc, Éd. Noordhoff International Publishing 1975, collection Mechanics of Structures. Finite element simulations of heat transfers, J.-M. Bergheau et R. Fortunier, ISTE - J. Wiley, ISBN , 2008.

4 iii (a) (b) (c) (d) Figure 1: Exemples de structure : (a) poutre ventrale en composite carbone/époxyde d un Airbus A340 : 16 mètres de long pour 1600 kg, (b) la plus grande pale d éolienne au monde (LM61.5 par LMGlasfiber) : 61,5 m de long pour 17,7 tonnes ; composite verre / époxyde. (c) exemple de tablier de pont soumis à des charges de roulement et une poussée aérodynamique, et (d) caisson central de voilure A380 - concept et réalisation

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6 Table des matières 1 Théorie des poutres Rappels de MMC Mécanique des structures et RdM Définition des structures Résistance des Matériaux Hypothèses des poutres Cinématique Torseur des déformations Bilan de la cinématique de poutres Contraintes et déformations Torseur des efforts Énergie de déformation Élasticité Loi de comportement Conditions aux limites Méthode de résolution Calcul des efforts internes - Équations d équilibre Calcul des déplacements et des rotations Calcul des états de contraintes Bilan de la théorie des poutres Théorie des poutres droites Poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan Simplifications dans le cas des poutres à plan moyen chargées dans ce plan Interprétation des grandeurs cinématiques et statiques Prise en compte du cisaillement transverse Formulation des problèmes de flexion-tension v

7 vi 2.2 Applications Tension Flexion simple Flexion déviée Sollicitation composée Torsion Bilan Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme Rappels - calcul du travail Simplifications dans le cadre de la RdM Travail dans le cas des poutres Théorèmes énergétiques Théorème de réciprocité ou de Maxwell-Betti Théorème de Castigliano Hyperstatisme Résolution des systèmes hyperstatiques Principe de superposition Théorème de Ménabréa Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques Flambage des poutres droites Équations non-linéaires de la statique des poutres droites Application à une poutre droite Extension aux calculs numériques Modes et fréquences propres de vibration en flexion dans les poutres droites Introduction Équations de la dynamique des poutres droites à plan moyen Vibrations libres - application à la flexion simple Vibrations libres - calculs numériques Extension : réponse post-bifurquée d une poutre Poutre homogène Poutre sur fondation élastique à deux paramètres

8 vii 5 Plaques Plaques et coques - généralités Définition d une plaque Cas des coques Plaques planes de Love-Kirchhoff Cinématique en flexion Champ de déplacement complet Déformations et contraintes généralisées Équations d équilibre Introduction des efforts tranchants Exemples de plaque de Love-Kirchhoff en flexion Plaques de Hencky-Mindlin Cinématique et déformations Équations d équilibre Lois de comportement Approximations numériques Notions de base sur les approximations numériques en mécanique Approximations numériques les plus courantes en élasto-statique Résidus pondérés Formulation intégrale faible Galerkin Applications à la mécanique des structures : Barre soumise à son poids propre Solution analytique Résolution par différences finies Méthodes de collocation Méthode de Galerkin De la méthode de Galerkin aux éléments finis Conclusions sur les méthodes numériques en mécanique des structures Rappels - Éléments et Principes de la mécanique Rappel sur les torseurs Définition d un torseur Produit scalaire de deux torseurs

9 Dérivation d un torseur dans un repère mobile Calcul variationnel Extremum d une intégrale Condition d Euler-Lagrange Cas où la dérivée seconde intervient Importance des conditions aux limites Cas d une fonctionnelle faisant intervenir des dérivées en temps et en espace Remarque : Indépendance des formes de y dans la fonctionnelle I Cinétique - Dynamique - Énergétique Moments et autres caractéristiques du mouvement des corps Théorème de Huygens-Koënigs Tenseurs d inertie pour des géométries courantes Cinétique Dynamique Principe Fondamental de la Dynamique Théorème de l énergie cinétique Principe des puissances virtuelles - P P V - et lien avec les autres principes de la mécanique Principe des Travaux Virtuels et Principe de Hamilton pour les systèmes discrets Forme proposée par Lagrange pour les systèmes discrets Généralisation aux systèmes discrets non-conservatifs Principe de Hamilton pour les systèmes continus Liens avec le PPV/PTV, et le Principe de Hamilton dans les milieux continus Concepts de stabilité des équilibres Stabilité des équilibre Définition d un équilibre Petites oscillations autour d une configuration d équilibre Stabilité d un équilibre paramétrique Linéarisation des énergies

10 1. Théorie des poutres Sommaire 1.1 Rappels de MMC Mécanique des structures et RdM Définition des structures Résistance des Matériaux Hypothèses des poutres Cinématique Torseur des déformations Bilan de la cinématique de poutres Contraintes et déformations Torseur des efforts Énergie de déformation Élasticité Loi de comportement Conditions aux limites Méthode de résolution Calcul des efforts internes - Équations d équilibre Calcul des déplacements et des rotations Calcul des états de contraintes Bilan de la théorie des poutres

11 Théorie des poutres 3 Dans ce chapitre, la théorie des poutres est présentée d un point de vue général. Une grande partie des développements, notamment concernant la définition des grandeurs cinématiques et statiques en 3D, est tirée du document Mécanique des milieux continus présenté en première année du cycle ICM de l ÉNSM.SE par le professeur H.Klöcker (centre SMS). 1.1 Rappels de MMC La mécanique des milieux continus permet de caractériser le comportement physique de milieux continus, solides ou fluides (schématisé Figure 1.1), soumis à des sollicitations extérieures (forces de volume f ou ponctuelles F d (ou forces surfaciques), ou déplacements u d ). Dans la résolution d un problème, des équations d équilibre définissent l équilibre de tout élément de matière occupant un domaine Ω (Eq. 1.2). Sur ses frontières ( Ω) le milieu est en contact avec l extérieur. Dans le cas des solides (Figure 1.1), ces contacts peuvent correspondre à des efforts imposés (sur Ω F Eq. 1.3) ou des déplacements imposés (sur Ω u Eq.1.1). Finalement, la loi de comportement (Eq. 1.4) permet de relier les 2 grandeurs duales que sont les contraintes, notées ici σ( x ), et les déplacements dont dérivent les déformations, notées ici ɛ( x ). Le problème est alors complètement posé (fermé) et peut être résolu, en utilisant les équations rappelées ci-dessous dans le cadre de la dynamique des milieux continus (Eqs 1.1 à 1.4). Figure 1.1: Représentation générale d un solide occupant un domaine Ω, de frontière Ω ( Ω = Ω u Ω F et Ω u Ω F =Ø), soumis à des sollicitations extérieures. On rappelle qu un champ de déplacement vérifiant les conditions aux limites cinématiques est dit cinématiquement admissible ou C.A.. Un champ de contraintes vérifiant les équations d équilibre au bord ou conditions aux limites statiques et les équations

12 Théorie des poutres 4 d équilibre intérieur est dit statiquement admissible ou S.A.. On comprend bien alors que la résolution d un problème posé en déplacements est plus simple car la famille de champs de déplacements C.A., à laquelle appartient la solution, est simple à poser. Par contre, résoudre un problème posé en contraintes est plus complexe puisque la famille des champs S.A, à laquelle le champ de contraintes solution appartient, doit vérifier à la fois les conditions aux limites statiques et les équations d équilibre intérieur. Il est donc peu aisé de poser a priori des familles de champs de contraintes solution. 1. Conditions aux limites cinématiques - champ C.A. 2. Équilibre intérieur 3. Équilibre au bord u ( x, t) = u d ( x, t), x Ω u (1.1) σ ij ( x, t) x j + f i ( x, t) = ρü i ( x, t), x Ω (1.2) σ ij ( x, t)n j ( x ) = F d i ( x, t), x Ω F (1.3) 4. Loi de comportement σ ij = L ijkl ɛ kl (1.4) 1.2 Mécanique des structures et RdM Définition des structures La mécanique des structures se définit comme la mécanique des solides de dimensions finies où une des dimensions au moins est faible devant les autres. La mécanique des structures couvre donc un grand nombre de géométries dont les plus courantes sont les poutres (1D), les plaques et coques (2D), et les solides axisymétriques (2D) (Figure 1.2). En observant la géométrie des structures étudiées, des hypothèses peuvent être faites quant à la cinématique qui prévaut dans ces solides. Toute la difficulté de ce type d approche réside dans le choix judicieux de cette cinématique qui doit être suffisamment riche pour observer tous les phénomènes rencontrés durant l utilisation des structures considérées, mais assez simple pour permettre des résolutions analytiques. Ce point sera vu en détail dans ce cours. On peut remarquer que ces structures sont également utilisées dans les simulations numériques, telles que les simulations par éléments finis par exemple. Dans ce cas, comme lors de la résolution analytique d ailleurs, les temps de calcul nécessaires à la résolution d un problème sont amplement plus faibles que si le même problème était traité avec une approche de type MMC (3D dans un calcul par éléments finis).

13 Théorie des poutres 5 Figure 1.2: Type de structures Résistance des Matériaux La résistance des matériaux est un cadre restreint, mais utilisable pour la plupart des applications courantes, pour traiter des problèmes de mécanique des structures. Principalement, les hypothèses simplificatrices de la RdM portent sur des conditions de réversibilité et de linéarité. Les études en RdM sont conduites sous les hypothèses suivantes : cadre de l HPP : petites déformations, petits déplacements (pas de flambage ou de striction par exemple), les matériaux constitutifs sont élastiques linéaires isotropes, les problèmes appartiennent au domaine de la statique, ou sont supposés quasistatiques, principe de Saint-Venant : loin de son point d application, une sollicitation extérieure peut être remplacée par son torseur équivalent, principe de superposition : quelque soit l ordre d application des efforts extérieurs sur un solide, l état final est invariant. Sous ces hypothèses, la RdM permet de traiter des problèmes de poutres, plaques, coques,... Il faut maintenant introduire la notion de modélisation géométrique des solides. Ceci fait l objet du paragraphe suivant qui traite plus particulièrement de la théorie des poutres.

14 Théorie des poutres Hypothèses des poutres Les hypothèses sur la géométrie des poutres permettent de représenter un solide 3D élancé par sa ligne moyenne. Ceci s applique également aux plaques et coques où cette fois-ci l épaisseur étant faible devant les autres dimensions le solide est remplacé par le feuillet moyen correspondant. Définition d un poutre Une poutre est un solide engendré par une aire plane S qui est déplacée dans l espace, de sorte que durant son mouvement le centre de gravité G de la section S parcourt une ligne donnée L, et que l aire se maintienne constamment normale à cette surface (Figure 1.3). De plus, la section peut varier au cours de ce parcours, mais de façon continue, i.e. le profil ne doit pas présenter de discontinuités. La ligne L est appelée fibre moyenne de la poutre. Une poutre est dite : gauche si la ligne L suit une courbe gauche, plane si la ligne L suit une courbe plane, droite si la ligne L suit une droite. Figure 1.3: Définition géométrique d une poutre Une poutre à plan moyen est une poutre dont la section S possède un plan de symétrie. Cette hypothèse est finalement peu restrictive et permet de traiter de trés nombreux cas (Figure 1 page iii). Enfin, si la fibre moyenne est une courbe fermée, on parlera d anneau (les sections droites initiale et finale sont confondues). Finalement, les hypothèses permettant de classifier un solide comme étant une poutre sont les suivantes : L un élancement de la poutre suffisant : sup{l 2, L 3 } > 5 et L 2 10 (L 2 et L 3 L 3 étant les dimensions caractéristiques respectivement selon les directions x 2 et x3 ), un rayon de courbure de L grand devant les dimensions transversales,

15 Théorie des poutres 7 un profil sans discontinuité. Remarque : des problèmes complexes associant un grand nombre de poutres ont été largement utilisés au cours des 2 derniers siècles. Ces structures sont dites structures réticulées ou treillis. Les cas les plus typiques sont par exemple la Tour Eiffel, constituée de treillis à plusieurs échelles, imbriqués pour former des structures de plus en plus imposantes, et finalement constituant la Tour elle-même. De nombreux autres exemples d application existent pour ces approches où des méthodes de calcul propres ont été développées spécifiquement (méthode graphique de Crémona par exemple). Dans le cadre de cette introduction à la RdM, seules les poutres seront étudiées, offrant suffisamment d exemples d application pour donner une vision rapide mais détaillée de la RdM. Grandeurs physiques La théorie élastique des poutres est basée sur celle des milieux curvilignes. Une position sur la poutre sera caractérisée uniquement par l abscisse curviligne l d un point sur la fibre moyenne L. Le reste de la géométrie, c est-à-dire la section S, sera caractérisé en chaque point G(x 1 ) de la fibre moyenne, pour un matériau constitutif homogène, par : la section S de la poutre obtenue sous la forme : S(x 1 ) = ds = dx 2 dx 3 S(x 1 ) des moments d ordre 1 nuls puisque le point G de la fibre moyenne est le centre de gravité de la section S : x 2 ds = x 3 ds = 0 S(x 1 ) S(x 1 ) S(x 1 ) des moments d ordre 2, ou moments quadratiques (plans) : I 2 (x 1 ) = x 2 3ds et I 3 = x 2 2ds S(x 1 ) un moment produit, différent de 0 pour les sections non-symétriques ou dont les axes de symétrie ( x 2, x 3 ) ne sont pas confondus avec le repère global : I 23 (x 1 ) = x 2 x 3 ds S(x 1 ) S(x 1 ) un moment de giration ou moment quadratique polaire : I 0 (x 1 ) = (x x 2 3)ds = I 2 (x 1 ) + I 3 (x 1 ) S(x 1 ) Par exemple, pour une section S circulaire, de rayon R, on a I 2 = I 3 = πr4 et 4 I 23 = 0, tandis que pour une section rectangulaire, de hauteur L 2 et largeur et L 3, on a I 2 = L 2L 3 3, I 12 3 = L3 2 L 3 et I = 0.

16 Théorie des poutres 8 Repère de Frenet Dans le cas général d une poutre paramétrée par son abscisse curviligne s, on peut définir pour des raisons de commodité un trièdre direct, le repère de Frenet ( τ, n, b ) (Table 1.1). Les grandeurs locales peuvent être exprimées dans ce repère, et les dérivations locales suivent les règles indiquées ci-après, avec les rayons de courbures R 1 et R 2 définis dans les plans (M, τ, n ) et (M, τ, b ) respectivement. d τ ds = τ = n R 1 d n ds = τ n = R 1 d b ds = b = n R 2 b R 2 t M b n Repère de Frenet. (s) Table 1.1: Définition du repère de Frenet pour une abscisse courante s. Avertissement : Dans la première partie de ce cours, nous établirons les équations dans le cas plus particulier des poutres où les courbures restent faibles. L extension, aux poutres quelconques, de la théorie développée ici passe par le prise en compte des courbures dans la dérivation des grandeurs cinématiques et statiques par rapport à l abscisse curviligne s, selon les règles rappelées ici. Ceci ne modifie pas fondamentalement les résultats présentés dans cette première partie, mais introduit une complexité qui n est pas nécessaire pour poser les bases des théories de poutre ; cette complexité apparaît dans les couplages des comportements, tels que le couplage traction-flexion par exemple dans les poutres courbes. Il en est de même pour les coques vis-à-vis des plaques. d ds τ n b = 0 1 R 1 (s) 0 1 R 1 (s) R 2 (s) R 2 (s) 0 τ n b 1.3 Cinématique Dans ce document, nous nous limiterons à la cinématique des déplacements issue de l hypothèse de Navier. D autres cinématiques existent, elles sont dites enrichies et répondent à une besoin de précision accrue dans la prise en compte du cisaillement notamment. Certaines de ces théories sont présentées dans le cas spécifique des matériaux composites, au Chapitre 5 du support de cours Mécanique des Composites Hautes

17 Théorie des poutres 9 Performances disponible à l adresse CoursPDF/Composites/Composites-Drapier-2014.pdf. Selon l hypothèse de Navier, au cours de la déformation de la poutre, la section droite S reste droite (elle ne subit aucun gauchissement). Cette section S subit donc : un mouvement de corps rigide, une déformation dans son plan. Mouvement de corps rigide de S Figure 1.4: Hypothèse cinématique de Navier La Figure 1.4 illustre la caractérisation du mouvement de corps rigide de la section S par un vecteur de déplacement u et un vecteur de rotation r appliqués à son centre de gravité G (voir également Figure 1.5). Le déplacement d un point M de la section S ( GM = x 2x2 + x 3x3 ) dû à ce mouvement de corps rigide sera de la forme : u(m, x 1 ) = u M (x 1 ) = u(g)(x 1 ) + MG r(g)(x 1 ) = u (x 1 ) + MG r (x 1 ) ce qui peut encore se mettre sous la forme du torseur des déplacements exprimé au point G (voir Rappel sur les torseurs page 177), dont les éléments de réduction au point G sont les vecteurs u et r représentant respectivement le déplacement et la rotation de la section S en ce point : {U M (x 1 )} = r (x1 ) u M (x 1 ) = u (x 1 ) + MG r (x 1 ) (M) (1.5) On voit ici l intérêt de la théorie des poutres, où le déplacement d un point M quelconque de la poutre s exprime complètement à partir des déplacements et rotations du centre de gravité de la section S contenant ce point. Les déplacements de tous les points de

18 Théorie des poutres 10 ce solide 3D sont donc représentés par les déplacements et les rotations des centres de gravité, ramenant le problème tridimensionnel à une modélisation unidimensionnelle. Dans l hypothèse des petites perturbations le vecteur GM (position d un point courant par rapport au centre de gravité de la section) est contenu, avant et après déformation, dans le plan formé par les vecteurs x 2 et x 3 portés par la section S. Les composantes du vecteur u M s écrivent donc dans le repère local de la section S : u M = u 1 u 2 + u 3 r 2 x 3 r 3 x 2 r 1 x 3 r 1 x 2 Dans l hypothèse des petites perturbations, on calcule le tenseur des déformations au point M, ɛ M (x 1 ), comme la partie symétrique du tenseur gradient des déplacements en ce point, d M (x 1 ) (Eq. 1.6). Comme les vecteurs u et r s appliquent au point G de la section S, et donc sur la ligne L, ils ne dépendent que de l abscisse curviligne l sur cette ligne. Les seuls gradients non nuls pour ces vecteurs sont donc ceux mettant en jeu la première coordonnée x 1, tandis que la dépendance en x 2 et x 3 est donnée explicitement par l équation précédente. Dans la suite, nous noterons x la dérivée de toute quantité x par rapport à la première coordonnée. Ceci permet d écrire : d M (x 1 ) = u 1 + r 2x 3 r 3x 2 r 3 r 2 u 2 r 1x 3 0 r 1 u 3 + r 1x 2 r 1 0 (1.6) On peut remarquer dans cette équation que les dérivée mises en jeu sont des dérivées totales, résultant de la formulation unidimensionnelle de la cinématique de poutre. Mais dans le cas d une poutre courbe par exemple, ces dérivées devront prendre en compte le fait que le repère ( x 1, x 2, x 3 ) "tourne" lorsque l on parcourt la fibre moyenne L. On recourt alors à une définition prenant en compte les courbures, tel que dans le repère de Frénet. À partir du tenseur gradient des déplacements d M (x 1 ), on peut maintenant obtenir le tenseur des déformations ɛ M (x 1 ) par sa partie symétrique. On constate que ce tenseur ne possède que trois termes non nuls qui sont une déformation normale (ɛ 11 ) et 2 glissements qui sont le double des cisaillements entre deux sections voisines (2ɛ 12, 2ɛ 13 - Figure 1.5) : ɛ 11 = u 1 + r 2x 3 r 3x 2 2ɛ 12 = u 2 r 1x 3 r 3 2ɛ 13 = u 3 + r 1x 2 + r 2 Le mouvement de corps rigide de la section S ne produit donc pas directement de déformations dans le plan de cette section (la section ne peut "s écraser" ni se cisailler dans son plan). Les seules déformations existantes correspondent au déplacement relatif des sections d abscisses curvilignes consécutives (Figure 1.5).

19 Théorie des poutres 11 Figure 1.5: Déformations dans les sections. Figure 1.6: Illustration des contraintes normales nulles sur les faces d une poutre à section prismatique. Déformation dans le plan de S Le plan de la section S contient les vecteurs x 2 et x 3. Il s ensuit qu une déformation dans son plan (une déformation plane) ne produira que des déformations ɛ 22, ɛ 23 et ɛ 33. Ces déformations doivent permettre de satisfaire les conditions aux limites au bord de la section. En effet, sur ces bords libres de contraintes extérieures, on doit vérifier que le vecteur contrainte relatif à la normale sortante à la section soit nul. Dans le cas d une section prismatique, les vecteurs contraintes par rapport aux normales x 2 et x 3 sont bien nuls (σ n ( x ) = 0 ) (Figure 1.6). Cette condition conduit à σ 22 = σ 23 = σ 33 = 0 en x 2 = ± L 2 2 x 3 = ± L 3 2. On a également σ 12 = 0 sur la face de normale x 2 et σ 13 = 0 sur la face de normale x 3. Toutefois ces dernières conditions sont difficilement vérifiables avec les théories classiques des poutres, mais sont acceptables dans les cas les plus courants comme nous le verrons sur un exemple en TD dans le chapitre 2. Dans le cas de poutres homogènes, on fait souvent l hypothèse que les contraintes

20 Théorie des poutres 12 σ 22, σ 33 et σ 23 sont nulles dans toute la section S. Pour cette composante du cisaillement, cette condition est bien vérifiée pour un matériau isotrope (σ 23 ɛ 23 = 0). Pour les contraintes normales, ceci peut se justifier compte-tenu de l épaisseur et de la largeur de la section qui sont des dimensions faibles. Les contraintes étant nulles sur les bords, elles ne peuvent se développer sur des dimensions aussi faibles, et sont donc également nulles à l intérieur de la section. En considérant un matériau à comportement élastique isotrope, cette hypothèse nous donne les valeurs suivantes pour les déformations dans la section S (λ et µ sont les coefficients de Lamé du matériau 1 ) : 2µɛ 22 + λ(ɛ 11 + ɛ 22 + ɛ 33 ) = 0 2µɛ 23 = 0 2µɛ 33 + λ(ɛ 11 + ɛ 22 + ɛ 33 ) = 0 { ɛ23 = 0 ɛ 22 = ɛ 33 = λ ɛ 2(λ+µ) 11 On constate que, dans ce cas, les déformations normales ɛ 22 et ɛ 33 de la section S dans son plan sont complètement déterminées à partir de la composante ɛ 11 calculée à partir de son mouvement de corps rigide. Ces déformations résultent uniquement de l effet de Poisson induit par des déformations normales ɛ 11, et sont donc faibles puisque la plus grande dimension de la section doit être au plus de 1 de la longueur de la poutre, soit 10 pour un matériau courant (ɛ 22, ɛ 33 ) ν sup(l 2,L 3 ) < 3. Ces déformations sont donc bien L 100 négligeables devant les déformations engendrées par le déplacement relatif des sections (ɛ 11,ɛ 12,ɛ 13 ). C est là tout l intérêt de la théorie des poutres qui permet de simplifier considérablement les problèmes à résoudre, les ramenant du 3D au 1D. Degrés de liberté Les résultats précédents nous montrent que le mouvement du solide peut être complètement déterminé à partir des vecteurs u et r de la Figure 1.4. La cinématique des déplacements ainsi mise en place permet de concentrer les inconnues du problème sur la fibre moyenne L de la poutre. Le solide tridimensionnel est remplacé par la ligne L. Chaque point de la ligne dispose de six degrés de libertés au lieu de trois (les déplacements dans les trois directions). Ces six degrés de liberté sont : les déplacements dans les trois directions du point G de la ligne L, représentés par le vecteur u, de composantes u 1, u 2 et u 3, la rotation de la section S, représentée par le vecteur rotation r, de composantes r 1, r 2 et r 3, appliqué au point G Torseur des déformations Les hypothèses faites sur la cinématique des déplacements dans la poutre nous conduisent au tenseur symétrique suivant des déformations en un point M quelconque 1. σ ij = 2µɛ ij + λɛ pp δ ij et ɛ ij = 1+ν E σ ij ν E σ ppδ ij avec E le module d Young et G le module de cisaillement du matériau isotrope

21 Théorie des poutres 13 d une section S : ɛ M = ɛ 11 = u 1 + r 2x 3 r 3x 2 ɛ 12 ɛ 13 ɛ 12 = 1 2 (u 2 r 1x 3 r 3 ) ɛ 22 = λ 2(λ+µ) ɛ 11 ɛ 23 = 0 ɛ 31 = 1 2 (u 3 + r 1x 2 + r 2 ) ɛ 23 = 0 ɛ 33 = λ 2(λ+µ) ɛ 11 Ce tenseur des déformations ne comporte que trois termes indépendants : ɛ 11, ɛ 12 et ɛ 13. En RdM, ces termes sont associés sous la forme d un vecteur e M, appelé vecteur déformation : e M (x 1 ) = ɛ 11 (M, x 1 ) 2ɛ 12 (M, x 1 ) 2ɛ 13 (M, x 1 ) Le vecteur e M contient une dilatation dans la direction de la fibre moyenne comme premier terme, puis des glissements (doubles des cisaillements entre deux sections voisines). Il représente la déformation du milieu curviligne au point M. Cette déformation peut à son tour être exprimée en fonction d une déformation e dite de membrane et d un gradient de rotation appelé courbure κ au point G sous la forme : e M (x 1 ) = e (x 1 ) + MG κ (x 1 ) où e et κ, éléments de réduction de la déformation au point G de S, constituent le torseur des déformations défini par : e (x1 ) = u (x 1 ) + x 1 r (x 1 ) = u 1 u 2 r 3 u 3 + r 2 et κ (x 1 ) = r (x 1 ) = r 1 r 2 r 3 (1.7) ce qui peut encore s écrire de façon similaire au déplacement en un point M de la section (Eq. 1.5) : κ (x1 ) {ɛ M (x 1 )} = e M (x 1 ) = e (x 1 ) + MG κ (x 1 ) Bilan de la cinématique de poutres déplacements : {U M (x 1 )} = r (x1 ) (M) u M (x 1 ) = u (x 1 ) + MG r (x 1 ) (M)

22 Théorie des poutres 14 déformations : κ (x1 ) {ɛ M (x 1 )} = e M (x 1 ) = e (x 1 ) + MG κ (x 1 ) u 1 0 = u 2 r 3 + x 2 u 3 + r 2 x 3 r 1 r 2 r 3 (M) On peut remarquer que l écriture avec des torseurs permet également d écrire directement les déformations par dérivation du torseur cinématique {ɛ M } = d {U M }, voir Eq. 7.2 dx 1 Rappel sur les torseurs page Contraintes et déformations Torseur des efforts L hypothèse de Saint-Venant, présentée précédemment, consiste à supposer que loin de leur point d application les efforts agissant sur S peuvent être schématisés par le torseur des efforts équivalent {τ(x 1 )}, dont les éléments de réduction sont une force R (x 1 ) et un moment M(x 1 ), appliqués au centre de gravité G de S (Figure 1.7). Dans le cas d efforts extérieurs appliqués à la poutre, à l abscisse x i, le torseur des actions extérieur peut par exemple (Figure 1.7) être : {F(x i )} = R (xi ) M(x i ) (G i ) (1.8) Pour les efforts intérieurs, les éléments de réduction se déduisent naturellement de l intégration des contraintes induites par les sections voisines sur la section S considérée (Figure 1.8). D après les hypothèses faites sur les contraintes dans le plan d une section S, les seules contraintes non nulles dans le solide sont σ 11, σ 12 et σ 13. En RdM, ces contraintes sont associées dans un vecteur t M, appelé vecteur contrainte, qui représente les efforts de cohésion ou efforts intérieurs. Par convention, on définit ces efforts internes entre 2 sections voisines, comme les efforts exercés par une section de gauche (S ) sur une section de droite (S+) (Figure 1.8) en comptant les abscisses curvilignes croissantes selon x 1 : t M (x 1 ) = σ 11 (M, x 1 ) σ 12 (M, x 1 ) σ 13 (M, x 1 ) Comme la normale à S est le vecteur x 1 (dans le cadre des petites perturbations la configuration finale est confondue avec la configuration initiale), on peut remarquer que

23 Théorie des poutres 15 Figure 1.7: Illustration du principe de Saint-Venant : (a) chargement sur la poutre, et (b) torseur équivalent sur la ligne moyenne. le vecteur contrainte t M (x 1 ) coïncide avec celui défini en mécanique des milieux continus, agissant sur un élément de surface contenu dans S. Figure 1.8: Définition des efforts intérieurs, torseur des efforts intérieurs. Dans le cas des efforts intérieurs à la poutre, les efforts agissant sur S résultent de l intégration du vecteur contrainte sur la section, et sont appelées contraintes généralisées. On distingue les contraintes généralisées de membrane et de flexion résultant respectivement de l intégration des contraintes sur la section et de l intégration des contraintes prenant en compte l éloignement du point considéré par rapport au centre de gravité de la section. Les efforts de membrane sont définis ci-dessous par les relations 1.9 et sont illustrés sur la Figure 1.9 :

24 Théorie des poutres 16 R (x1 ) = t M (x 1 )ds S(x 1 ) effort NORMAL : N(x 1 ) = = effort TRANCHANT / x 2 : T 2 (x 1 ) = effort TRANCHANT / x 3 : T 3 (x 1 ) = S(x 1 ) S(x 1 ) S(x 1 ) σ 11 (M, x 1 )ds σ 12 (M, x 1 )ds σ 13 (M, x 1 )ds (1.9) Figure 1.9: Contraintes généralisées de membrane. Les moments sont définis par les relations 1.10 et illustrés sur la Figure 1.10 : M(x 1 ) = S(x 1 ) GM t M (x 1 )ds moment de TORSION : M t (x 1 ) = = moment de FLEXION / x 2 : M f2 (x 1 ) = moment de FLEXION / x 3 : M f3 (x 1 ) = S(x 1 ) S(x 1 ) S(x 1 ) (x 2 σ 13 (M, x 1 ) x 3 σ 12 (M, x 1 ))ds x 3 σ 11 (M, x 1 )ds x 2 σ 11 (M, x 1 )ds (1.10) Figure 1.10: Contraintes généralisées de flexion.

25 Théorie des poutres 17 Finalement, le torseur des efforts intérieurs s écrit en fonction de l abscisse du point considéré le long de la ligne moyenne G(x 1 ) : N(x 1 ) R (x1 ) = T 2 (x 1 ) T 3 (x 1 ) {τ(x 1 )} (G) = M(x 1 ) = M t (x 1 ) M f2 (x 1 ) M f3 (x 1 ) (G) Énergie de déformation En élasticité, l énergie de déformation du solide de volume V peut s écrire W = 1 σ( x ) : ɛ( x )dv. En RdM, puisque les hypothèses portant sur la géométrie et la cinématique ont conduit à formuler un problème purement unidimensionnel, cette énergie 2 V peut être écrite simplement à l aide des composantes des torseurs des efforts et des déformations. En effet, en utilisant la définition des vecteurs déformation e M (x 1 ) et contrainte t M (x 1 ), on obtient : W ( u ( x )) = 1 2 = 1 2 = 1 2 = 1 2 = 1 2 V L L σ( x ) : ɛ( x )dv = 1 σ( x ) : ɛ( x )dsdl 2 L S t M (x 1 ). e M (x 1 )dsdl S t M (x 1 ).( e (x 1 ) + κ (x 1 ) GM)dsdl S ( e (x1 ). t M (x 1 )ds + κ (x 1 ). GM ) t M (x 1 )ds L S (par définition des éléments de réduction) L ( R (x 1 ). e (x 1 ) + M(x 1 ). κ (x 1 ))dl S dl (1.11) Ceci montre que les forces R (x 1 ) agissant sur la fibre moyenne L sont associées à la déformation e (x 1 ) de membrane, tandis que les moments M(x 1 ) sont associés à sa courbure κ (x 1 ) (gradient de la rotation). Cette dualité résulte de l intégration des grandeurs physiques sur la section S(x 1 ) de la poutre, et reste également valable dans les structures de type plaques et coques. On trouvera dans certaines approches de la mécanique des structures, ces grandeurs appelées contraintes généralisées pour le torseur des efforts et déformations généralisées pour le torseur des déformations. L énergie de déformation de la poutre (Eq. 1.12) peut s écrire en utilisant le produit scalaire de torseurs définit par la somme des produits croisés des éléments de réduction des torseurs considérés,

26 Théorie des poutres 18 dépendant seulement de la position x 1 (voir Eq. 7.1 dans Rappel sur les torseurs page 177) : W ( u (x 1 )) = 1 {τ(x 1 )} {ɛ(x 1 )} dl 2 L = 1 (Nu 1 + T 2 (u 2 r 3 ) + T 3 (u 3 + r 2 ) + M t r 1 + M f2 r 2 + M f3 r 2 3) dl L (1.12) 1.5 Élasticité La RdM peut s appliquer à beaucoup de matériaux constitutifs différents. Généralement, en première approximation les matériaux sont supposés homogènes élastiques linéaires isotropes (HELI). La loi de comportement permet de relier les contraintes aux déformations, dernier élément nécessaire à la résolution de tout problème en mécanique. Le cadre de la statique sera adopté ici ( σ ij( x,t) x j + f i ( x, t) = 0) Loi de comportement La connaissance des déformations en tout point M du milieu curviligne permet d obtenir les contraintes en utilisant la loi de comportement. Nous nous sommes limités au cas d un comportement élastique linéaire isotrope. En notant λ et µ les coefficients de Lamé du matériau constituant la poutre, on a donc : σ 11 = µ(3λ+2µ) λ+µ ɛ 11 = Eɛ 11 = E(u 1 + r 2x 3 r 3x 2 ) σ 12 = 2µɛ 12 = G(u 2 r 1x 3 r 3 ) σ 13 = 2µɛ 13 = G(u 3 + r 1x 2 + r 2 ) (1.13) Dans cette équation, E désigne le module d Young du matériau et G le module de cisaillement associé. À partir de ces contraintes, il est possible de calculer les éléments de réduction des efforts appliqués en un point G quelconque de la ligne L sous la forme : M(x 1 ) = R (x1 ) = S S S S S S σ 11 ds = ESu 1 = ESe 1 σ 12 ds = GS(u 2 r 3 ) = GSe 2 σ 13 ds = GS(u 3 + r 2 ) = GSe 3 (x 2 σ 13 x 3 σ 12 )ds = GI 0 r 1 = GI 0 κ 1 x 3 σ 11 ds = E(I 2 r 2 I 23 r 3) = E(I 2 κ 2 I 23 κ 3 ) x 2 σ 11 ds = E( I 23 r 2 + I 3 r 3) = E(I 3 κ 3 I 23 κ 2 )

27 Théorie des poutres 19 On constate alors que le torseur des efforts s écrit relativement simplement en fonction du torseur des déformations sous la forme : N T 2 T 3 M t M f2 M f3 = ES GS GS GI EI 2 EI EI 23 EI 3. e 1 e 2 e 3 κ 1 κ 2 κ 3 (1.14) Cette loi de comportement peut se réécrire en utilisant les sous-matrices 3 3 ci-dessous (Eq. 1.15). On constate que pour les poutres homogènes considérées ici les comportements en membrane et en flexion sont totalement indépendants ([B] = [0]). Dans le cas de poutres constituées de matériaux composites par exemple, dont les axes d orthotropie ne sont pas confondus avec les axes des sections, ces comportements ne sont pas indépendants. : { R (x1 ) M(x 1 ) } = [ [A] [B] [B] [D] ] { e (x1 ) κ (x1 ) } {τ(x 1 )} = [L] {ɛ(x 1 )} (1.15) Remarque : en cisaillement l approximation faite sur la distribution des déformations, supposées constantes dans la section, conduit à surestimer la rigidité. Par des considérations énergétiques, on introduit un coefficient correcteur, dit coefficient de correction en cisaillement qui permet de prendre en compte la répartition parabolique (contrainte nulle sur les faces et non-nulle au centre de la section) réelle à l aide d une répartition constante sur la section. Ce coefficient est noté généralement k α, avec α = 2, 3, il est égal à 5 pour une section rectangulaire (voir 5.3.3). La loi de comportement en cisaillement 6 s écrit donc : T α (x 1 ) = k α GS e α (α = 2, 3) Conditions aux limites Nous avons vu que, selon l hypothèse de Navier (sections droites), chaque point du milieu curviligne (sur la fibre moyenne) possède six degrés de libertés. Ces degrés de liberté servent à représenter : le déplacement de la fibre moyenne (vecteur déplacement u ), la rotation de la section droite (vecteur rotation r ). De même, selon l hypothèse de Saint-Venant (efforts concentrés), les efforts internes (de cohésion) dans un milieu curviligne sont représentés par deux vecteurs, et donc six composantes, qui sont : les forces de cohésion de la fibre moyenne (vecteur force R ),

28 Théorie des poutres 20 les moments de cohésion de la fibre moyenne (vecteur moment M). Les conditions aux limites sur une poutre porteront donc sur ces six degrés de liberté et ces six efforts de cohésion. La frontière Ω (2D) sur laquelle s appliquent ces conditions dans un milieu 3D (Figure 1.1), sera donc remplacée par des abscisses sur la fibre moyenne (1D) pour les poutres. En chacun de ces abscisses, six informations doivent apparaître explicitement. Le nombre de degrés de liberté et d efforts connus, et leur combinaison, dépend essentiellement du type de liaison rencontré. Les conditions aux limites en déplacements les plus communes sont les suivantes : l encastrement : si une poutre est encastrée à l une de ses extrémités, alors en ce point on a u = r = 0, et les efforts résultants R et M sont inconnus. la rotule : une rotule empêche tout déplacement en ce point, u = 0, mais laisse les rotations libres. En contre-partie, les moments transmissibles en ce point sont nuls, soit M = 0, tandis que les forces de réaction sont inconnues. l appui simple : un appui simple empêche un déplacement dans une direction, par exemple u 3 = 0, et laisse libre les autres degrés de liberté. Le seul effort de cohésion non nul sera alors T 3. Ces conditions aux limites sont d une grande importance pour l intégration des équations d équilibre (obtention des efforts internes) et de la cinématique (obtention des déplacements). Pour déterminer les conditions aux limites en efforts, il est important de se fixer un sens de parcours de la ligne moyenne L. En effet, le torseur des efforts {τ(x 1 )} est lié au vecteur contrainte t M, et donc à la normale à la section S. Comme la normale à considérer est toujours sortante, le torseur des efforts sera affecté d un signe opposé entre les deux côtés de la poutre. En général, la convention de signe suivante est adoptée (voir par exemple l expression des termes de bords dans le principe des travaux virtuels - Eq b). En parcourant la ligne L de la gauche vers la droite : le torseur des efforts est affecté d un signe + à droite du segment considéré sur la poutre (la normale sortante de S est x 1 ), le torseur des efforts est affecté d un signe à gauche du segment considéré sur la poutre (la normale sortante de S est x 1 ). 1.6 Méthode de résolution La résolution du problème de poutre peut avoir des buts différents, ce qui conditionne en grande partie la stratégie de résolution à adopter. On peut par exemple souhaiter connaître des informations ponctuelles, comme un déplacement maximum ou les contraintes en des points précis. Dans ce cas, la résolution complète du problème n est pas toujours nécessaire, et des méthodes seront présentées ultérieurement pour obtenir ces informations ponctuelles. Dans la plupart des cas par contre, le lieu des déplacements ou contraintes maximales n est pas connu à priori, ce qui nécessite de caractériser complètement les champs de déplacements et contraintes solutions.

29 Théorie des poutres 21 Il faut noter dés à présent que l équilibre extérieur de la poutre étudiée, vis-à-vis des sollicitations et des conditions aux limites cinématiques imposées, peut être vérifié par un bilan des forces extérieurs, sans nécessité de connaître les efforts de cohésion ou efforts internes qui règnent à l intérieur de la poutre. À l opposé, dans l optique d un dimensionnement nous chercherons à connaître ces efforts de cohésion, définissant les contraintes dans les sections. Dans ce cas, les efforts extérieurs de réaction, résultant des conditions cinématiques imposées, seront inutiles pour vérifier l équilibre intérieur et pourront être connus a posteriori. Par contre les développements pourront devenir rapidement lourds. Le point clef de la résolution des problèmes de RdM passe de toute manière par la connaissance de ces efforts internes à la poutre. La stratégie de résolution permettra de connaître ces efforts avec plus ou moins de développements, et sera souvent la combinaison de l équilibre extérieur et de l équilibre intérieur de la poutre. Pour le moment, la recherche des efforts intérieurs, en vue de dimensionner les poutres, sera notre objectif unique. Dans ce cas, la résolution du problème peut se baser sur la connaissance des équations d équilibre intérieur de tronçons de poutre représentatifs. Nous nous proposons dans cette partie d établir ces équations dans le cadre le plus général possible, et de les utiliser dans le chapitre suivant pour résoudre les problèmes de poutre. L identification des efforts internes par transport des efforts extérieurs est également présentée rapidement Calcul des efforts internes - Équations d équilibre Dans le cas général, la résolution du problème passe par la détermination des efforts internes. La méthode la plus rigoureuse pour déterminer ces efforts est similaire à la résolution d un problème de MMC : intégration des équations d équilibre en veillant à avoir autant de conditions aux limites que nécessaire. Pour des problèmes simples, tels que ceux introduits dans le chapitre suivant consacré à la théorie des poutres à plan moyen, ces équations peuvent se dériver de l équilibre de tronçons de poutres de longueur élémentaire. Pour une approche générale, un des moyens les plus systématiques pour parvenir à exprimer ces équations d équilibre et les conditions aux limites correspondantes consiste à utiliser le Principe des puissances virtuelles ou PPV. On rappelle que le PPV (Eq. 1.16) exprime l équilibre, c est à dire l égalité entre la puissance virtuelle développée par les efforts intérieurs Pint( u ) et la puissance virtuelle développée par les efforts extérieurs Pext( u ) dans un champ de déplacement virtuel quelconque u. Ainsi, il y équivalence entre le PPV et l expression des équations d équilibre et des conditions aux limites statiques associées. Les conditions aux limites cinématiques sont quant à elles incluses dans le PPV si le champs virtuel est CA. Dans notre cas, on définit un champ de déplacements virtuel u M, qui se traduit par un torseur de déplacement virtuel {U (x 1 )} d éléments de réduction u (x 1 ) un déplacement virtuel, et r (x 1 ) une rotation virtuelle sur la fibre moyenne L. Ce déplacement virtuel produit un champ

30 Théorie des poutres 22 de déformations virtuel ɛ M dans chaque section S (Figure 1.11). Figure 1.11: Segment d une poutre où l on applique le principe des travaux virtuels : passage du solide 3D à la description de type poutre. On étudie ici les efforts internes à la poutre, c est-à-dire les efforts de cohésion dans un tronçon de poutre libre de tout chargement extérieur. On verra plus tard, que chaque effort ou déplacement imposé nécessite de découper notre poutre en autant de tronçons libres de sollicitations extérieures. On note t d M le vecteur contrainte qui règne sur les sections terminales, et qui représente l action des tronçons voisins sur le tronçon isolé. Toutefois, ce vecteur contrainte peut tout aussi bien être imposé par l extérieur si l une des surfaces extrémités S 1 et S 2 est une surface terminale de la poutre. Pour ce tronçon de poutre, comme seules ces surfaces extrémités S 1 et S 2 sont soumises à un chargement extérieur, l intégration du travail virtuel des efforts extérieurs sur la frontière du volume V se traduit par une intégrale sur la surface S aux points extrémités du segment de L considéré. On remarque que sur S 1 (Figure 1.11), la normale sortante à la section est forcément opposée au sens de parcours de la fibre moyenne (vecteur x 1 ). Cela donne l expression suivante du principe des travaux virtuels :

31 Théorie des poutres 23 σ M : ɛ dv M V } {{ } + f v. ( u Mdv + t d M. u Mds t d M. ) u Mds V S 2 S } {{ 1 } = 0, u P int( u ) + P ext( u ) = 0, u (1.16) Contribution des efforts extérieurs Dans cette équation 1.16, t d M est le vecteur contrainte appliqué sur la section S considérée (avec une normale sortante). Les deux derniers termes de la puissance virtuelle des efforts extérieurs peuvent donc être calculés assez simplement en remplaçant le champ virtuel u M par la cinématique issue de l hypothèse de Navier (torseur des déplacements virtuels {U (x 1 )}). On obtient pour une section S t quelconque (soit S 1, soit S 2 ), au signe négatif prés pour S 1 : t d M. u Mds = t d M.( u + r GM)ds S t S t = u. t d M ds + r. GM t d M ds S t S t = R d. u + M d. r = { F d}. {U } (1.17) De même, l intégrale sur V des forces de volume f v devient : S(x 1 ) f v. u Mdv = f v.( u + r GM)ds S = u. f v ds + r. GM f v ds S = p ( x 1 ). u ( x 1 ) + c ( x 1 ). r ( x 1 )) = {F v }. {U } S (1.18) Les vecteur p ( x 1 ) et c ( x 1 ) ainsi introduits, éléments de réduction du torseur des efforts linéiques, représentent respectivement : une force par unité de longueur répartie sur la fibre moyenne (pour p ), un couple par unité de longueur réparti sur la fibre moyenne (pour c ). Remarque : En toute rigueur, des forces réparties peuvent s appliquer sur les faces de la poutre (cf Figure 1.11). La contribution de ces efforts peut être calculée de la même

32 Théorie des poutres 24 façon que pour les forces de volume ci-dessus : f s. u Mds = f s.( u + r GM)d Σ S(x 1 ) S = u. f s d Σ + r. GM f s d Σ S Toutefois, la présence de ces efforts est extrêmement rare compte tenu des hypothèses qui conduisent à considérer une structure comme une poutre. Nous négligerons les contributions correspondantes dans la suite des calculs qui viendraient simplement s ajouter aux efforts extérieurs répartis p et c définis ci-dessus. S Contribution des efforts intérieurs En utilisant la même méthode que pour l équation 1.11 (calcul de l énergie de déformation), puis la définition du torseur des déplacements, puis enfin une intégration par parties, le premier terme de l expression à annuler dans le principe des travaux virtuels s écrit de la façon suivante : V σ M : ɛ M dv = = L L ( R (x 1 ). e (x 1 ) + M(x 1 ). κ (x 1 ))dl R 1 u 1 + R 2 (u 2 r3) + R 3 (u 3 + r2) +M 1 r1 + M 2 r2 + M 3 r3 x ydl = Théorème de la divergence = L L dl xy dl + [xy] l 2 l 1 R 1u 1 R 2u 2 R 3u 3 L M 1r 1 (M 2 R 3 )r2 (M 3 + R 2 )r3 dl + R (l 2 ). u (l 2 ) R (l 1 ). u (l 1 ) (1.19) + M(l 2 ). r (l 2 ) M(l 1 ). r (l 1 ) l2 = ( R. u + ( M + x 1 R ). r )dl l 1 + R (l 2 ). u (l 2 ) R (l 1 ). u (l 1 ) + M(l 2 ). r (l 2 ) M(l 1 ). r (l 1 ) l2 = l 1 d {τ}. {U } dl + [{τ}. {U }] l 2 l dx 1 1

33 Théorie des poutres 25 On montre en effet que l expression de la dérivée d un torseur, et notamment du torseur des efforts internes, s écrit au centre de gravité de la section G (Eq. 7.3 page 179) : d dx 1 {τ(x 1 )} (G) = R (x 1 ) M (x 1 ) + x 1 R (x 1 ) (G) Équations d équilibre d un tronçon de poutre En utilisant l ensemble de ces résultats (Eq 1.19= Eq 1.17+Eq1.18+Eq??), le principe des travaux virtuels s écrit simplement de la façon suivante (Eqs 1.20) sur tout segment de la fibre moyenne ne contenant pas d effort ponctuel : (l 1, l 2 ) L, ( u, r ) l2 (( R + p ). u + ( M + x 1 R + c ). ) r dl l 1 [( R + d. u + M d. ) ( R r. u + M. )] r l2 = 0 l 1 (1.20a) (1.20b) ou en écriture torsorielle : (l 1, l 2 ) L, {U }, l2 l 1 ( ) d {τ} + {F v }. {U } dl + [({ F d} {τ} ). {U } ] l 2 dx l 1 = {0} 1 Cette équation doit être vérifiée sur tout segment, et pour tout champ de déplacement virtuel, i.e. pour tout torseur {U }. Sachant que l intégrale ne peut être nulle que si la quantité intégrée est nulle si elle est continue (voir Annexes- Chapitre 7, page 182), on choisit le champ virtuel nul au bord et non-nul à l intérieur de la poutre. De l équation (1.20a) on déduit les équations d équilibre des milieux curvilignes (Eq. 4.13), à comparer à l équilibre des milieux continus ( divσ( x )+ f ( x ) = 0 ). C est à partir de ces équations que tout problème de poutre peut être résolu de manière rigoureuse : Équations d équilibre intérieur des poutres d dx 1 {τ} + {F v } = {0} { R (x 1 ) + p (x 1 ) = 0 M (x 1 ) + x 1 R (x 1 ) + c (x 1 ) = 0 (1.21)

34 Théorie des poutres 26 Les équations d équilibre sont deux équations vectorielles. Elles conduisent à six équations différentielles scalaires qui traduisent l équilibre mécanique du milieu unidimensionnel. Les forces volumiques sont représentées par les vecteurs p (forces réparties sur le segment) et c (couples répartis sur le segment). L intégration de ces équations différentielles nécessite six conditions aux limites. Ces conditions sont obtenues aux points d abscisse l 1 et l 2, extrémités du segment considéré, à partir de l expression des termes de bord du PPV (Eq. 1.20b) en choisissant un champ de déplacement virtuel nul à l intérieur de la poutre et non-nul aux bords. Ces équations (Eq. 1.22) traduisent simplement le fait que les efforts internes doivent être égaux aux efforts imposés aux même endroits (σ( x F ) n = t d ( x F ) en MMC) : {τ} (li ) = { F d} (l i ) (1.22) En complément de ces conditions aux limites, si un torseur d efforts {F i } (Gi ), d éléments de réduction R i (G i ) et M i (G i ), est imposé sur la section S i du tronçon considéré (Figure 1.12), une équation des discontinuités apparaît. Cette équation peut s exprimer à l aide du PPV, modifié par la contribution de ces efforts : [ {τ} ] (xi ) le saut des efforts internes dans la puissance virtuelle des efforts internes, et {F i } (xi ) dans la puissance virtuelle des efforts imposés. On n a plus alors simplement égalité entre les efforts internes et les efforts imposés, mais ces efforts viennent se superposer aux efforts extérieurs. Cette superposition donne lieu à un saut des efforts intérieurs qui peut s exprimer en considérant 2 sections infiniment proches. Ce saut s écrit, en prenant en compte le sens de parcours de la poutre : [ {τ} ] (xi ) = { τ(x + i )} { τ(x i )}. Finalement cette équation de discontinuité s écrit : [ {τ} ] (xi ) = { τ(x + i )} { τ(x i )} = { F i} (x i ) (1.23) Figure 1.12: Torseur d efforts extérieurs appliqué sur une section S i du tronçon étudié. On notera que les équations d équilibre au bord de la poutre (Eq. 1.22) se déduisent de cette condition (Eq. 1.23) en écrivant que { τ(l 1 ) } et { τ(l + 2 ) } sont nuls, soit { τ(l + 1 ) } = {F 1 } (x1 ) et { τ(l 2 ) } = {F 2 } (x2 ).

35 Théorie des poutres 27 Identification des efforts internes par transport des efforts extérieurs Les efforts internes peuvent être identifiés rapidement, en recourant à l équilibre extérieur de la poutre. En effet, chaque tronçon de la poutre isolé doit être en équilibre sous l action, d une part des efforts de cohésion, et d autre part des efforts extérieurs imposés (Figure 4.20). Il suffit donc de procéder par la pensée à des coupes successives le long de l abscisse curviligne, et de vérifier l équilibre de ces tronçons pour identifier les efforts internes en tout point de l abscisse. Figure 1.13: Identification des efforts internes qui règnent dans une section située en A par transport des efforts extérieurs à cet abscisse. Considérons un tronçon de poutre en équilibre sous l action d un torseur d actions terminales en l i dont les éléments de réduction sont définis en ce point : { F d (l i ) } (l i ) (Figure 4.20). Effectuons une coupure imaginaire de ce tronçon en un point A de l abscisse curviligne. La section située en A est donc en équilibre sous l action d une part des actions extérieures terminales s exerçant en l i, et d autre part sous l action des efforts de cohésion qui règnent en A ({τ} (A) ) et qui représentent l action de la section voisine située en x 1 = A (par définition des effort internes, efforts de la section de GAUCHE sur la section de DROITE). Rappelons que la normale sortante est dans ce cas x 1. Finalement, l équilibre s écrit simplement, en prenant soin de transporter en A le torseur des actions extérieures : {τ} (A) + { F d} (A) = 0 {τ} (A) = { F d} (A) (1.24) Les efforts intérieurs sont rapidement identifiés par transport des efforts extérieurs s exerçant sur le tronçon isolé. Cette identification permet de traiter rapidement les problèmes simples, mais rappelons que la vérification de l équilibre extérieur est un préalable incontournable pour cette identification. Cet équilibre peut poser des problèmes, notamment dans le cas des problèmes hyperstatiques pour lesquels une surabondance d inconnues sta-

36 Théorie des poutres 28 tiques ne peut être levée sans recourir à des méthodes complémentaires telles que celles présentées dans le chapitre 3 de ce document Calcul des déplacements et des rotations La connaissance du torseur des efforts intérieurs {τ(x 1 )} (G) sur le segment permet, par la loi de comportement, d obtenir les éléments de réduction (déformations de membrane e (x 1 ) et de courbure κ (x 1 )) du torseur des déformations dans la poutre. Ce torseur est relié au torseur des déplacements (vecteur déplacement u (x 1 ) et vecteur rotation r (x 1 )) par les relations introduites précédemment (Eq. 1.7). L intégration des six équations différentielles ainsi obtenues permet de connaître le torseur des déplacements en tout point de la fibre moyenne de la poutre, et donc le champ de déplacement par la cinématique introduite. Lors de l intégration, il est nécessaire d utiliser six conditions aux limites cinématiques, qui s ajoutent aux six conditions aux limites en efforts utilisées précédemment (Eq. 1.22). Globalement, sur chaque segment considéré, les conditions aux limites (aux points d abscisse l 1 et l 2 ) que l on doit appliquer sont au nombre de douze. Ceci correspond aux six degrés de liberté de chaque côté du segment. En chaque point d abscisse l 1 et l 2, on doit donc connaître : (u 1 ou N) ET (u 2 ou T 2 ) ET (u 3 ou T 3 ) ET (r 1 ou M t ) ET (r 2 ou M f2 ) ET (r 3 ou M f3 ) En pratique, il arrive que certaines conditions aux limites proviennent de considérations de symétrie. Dans ce cas, les conditions portent sur la continuité des déplacements et/ou de leurs dérivées. Par exemple, en flexion trois points sur une poutre à plan moyen (voir exercice Flexion 2), par des considérations physiques on écrira la continuité des déplacements ( u ), des pentes ( u ) et des rotations ( r ) au centre Calcul des états de contraintes Il est souvent essentiel de pouvoir connaître les contraintes qui règnent dans les sections, par exemple pour vérifier que les limites à rupture ou la limite d élasticité n ont pas été dépassées. Comme la théorie des poutres est basée sur l intégration de ces contraintes sur les section (Eqs ), les contraintes locales doivent être déduites des informations moyennes. Pour ce faire, on peut utiliser d une part la loi de comportement de la structure, notée [L], qui relie le torseur des efforts internes au torseur des déformations (Eq. 1.14), et d autre part la loi de comportement matériau qui relie les contraintes aux déformations locales (Eq. 1.13). En effet, les déformations qui règnent dans la section sont calculées à partir des éléments de réduction du torseur des déformations connus au centre de gravité

37 Théorie des poutres 29 de la section. On peut donc recalculer les déformations en tout point de la section et en déduire les contraintes correspondantes. Contrainte normale La contrainte normale est directement reliée à la déformation normale (Eq. 1.13) par le module d Young dans le cas d un matériau isotrope. Par ailleurs l effort normal est relié d une part à la déformation de membrane (e 1 ) et d autre part aux courbures de flexion (κ 2 et κ 3 ). En résumé, on a : { σ11 ( x ) = Eɛ 11 = Eu 1 + E(r }{{} 2x 3 r 3x 2 ) } {{ } = σ11( m x ) + σ11( f x ) et N(x 1 ) = ESu 1(x 1 ) M f2 (x 1 ) = EI 2 r 2(x 1 ) EI 23 r 3(x 1 ) M f3 (x 1 ) = EI 23 r 2(x 1 ) + EI 3 r 3(x 1 ) Contribution de la déformation de membrane Pour le terme de membrane, l expression de la contrainte est évidente, et recoupe le résultat classique où la contrainte est directement égale à l effort appliqué rapporté à la surface de la section sollicitée : u (x 1 ) = σm 11( x ) E = N(x 1) ES(x 1 ) σm 11(M, x 1 ) = σ11(x m 1 ) = N(x 1) S(x 1 ) Contribution de la déformation de flexion Cette part de la contrainte normale est évaluée assez simplement dans le cas où les moments produits sont nuls, c est-à-dire pour des sections à plan de symétrie et des efforts appliqués dans ce plan (pour une expression plus compl!te, voir Eq. 2.6 page 51)). Dans ce cas : σ f 11(x 1, M) = M f2(x 1 ) I 2 (x 1 ) x 3 M f3(x 1 ) I 3 (x 1 ) x 2 Pour des sections non-symétriques ou des efforts appliqués hors de ce plan de symétrie, on a alors de la flexion déviée, introduite au pour les poutres droites. Expression complète de la contrainte normale Finalement la contrainte normale est la somme des contributions des termes de membrane et de flexion (Figure 1.14), et s écrit de manière générale : σ 11 (x 1, M) = N(x 1) S(x 1 ) + M f2(x 1 ) I 2 (x 1 ) x 3 M f3(x 1 ) I 3 (x 1 ) x 2 Dans les cas courants, la contrainte est maximale sur les fibres extrêmes des sections, i.e. en x 2 = ± L 2 2 et x 3 = ± L 3 2. La rigidité de tension est directement liée à la surface de la section transverse, tandis que la rigidité de flexion dépend des moments quadratiques de la section, c est-à-dire de la forme de la section. Ce dernier point est abordé en détails dans les exercices sur la flexion simple.

38 Théorie des poutres 30 Figure 1.14: Représentation plane de la contrainte normale : contributions de (a) membrane et (b) flexion. Contraintes de cisaillements Comme dans le cas de la contrainte normale, les contraintes de cisaillements dépendent de termes de membrane (e 2 et e 3 ) et de courbure (κ 1 ) : σ 12 ( x ) = Gɛ 12 = G(u 2 r 3 ) } {{ } + Gr 1x 3 } {{ } = σ12( m x ) + σ12( t T 2 (x 1 ) = GS(u 2(x 1 ) r 3 (x 1 )) x ) σ 13 ( et T 3 (x 1 ) = GS(u 3(x 1 ) + r 2 (x 1 )) x ) = Gɛ 13 = G(u 3 + r 2 ) } {{ } + Gr } {{ 1x } 2 = σ13( m x ) + σ13( t M t (x 1 ) = GI 0 r 1(x 1 ) x ) (1.25) Si les termes de membrane s expriment simplement, par contre la contribution des contraintes de cisaillement dans la torsion ne s exprime simplement que dans le cas de sections circulaires où les contributions de σ 12 et σ 13 sont identiques (notée σ 1r (x 1, r)). Au final, les contraintes de cisaillements sont : σ m 12(x 1 ) = T 2(x 1 ) S(x 1 ) σ m 13(x 1 ) = T 3(x 1 ) S(x 1 ) τ(x 1, r) = σ 1r (x 1, r) = f (σ t 12(x 1, r), σ t 13(x 1, r)) (Rc) = M t(x 1 ) I 0 (x 1 ) r avec r la position radiale du point M dans un système de coordonnée cylindrique (R c ) attaché à la section circulaire centrée en G, et τ(r, x 1 ) la contrainte de cisaillement dans ce repère. La contrainte due à la torsion seule sera établie plus précisément dans le cas d une poutre droite soumise à un moment de torsion terminal (58). On remarque que pour la partie membrane des contraintes de cisaillement, seule la section transverse est importante, tandis que pour la torsion le moment quadratique polaire représente la rigidité géométrique de la section.

39 Théorie des poutres Bilan de la théorie des poutres Le dimensionnement des poutres passe généralement par la résolution des équations d équilibre intérieur (Eq. 1.27). Pour intégrer ces équations différentielles en efforts, on dispose des conditions aux limites cinématiques (Eq. 1.26), utilisables via la loi de comportement (Eq. 1.29), ainsi que des conditions d équilibre au bord (Eq. 1.28). Les équations des discontinuités sont également nécessaires si des efforts sont appliqués ailleurs qu aux extrémités de la poutre (Eq. 1.28). Enfin, lorsque les déplacements sont connus les déformations peuvent être calculées (Eq. 1.30) et les contraintes évaluées en tout point à partir des efforts internes (Eq. 1.31).

40 Théorie des poutres 32 Bilan de la théorie des poutres 1. Conditions aux limites cinématiques - champ C.A. 2. Équilibre intérieur d dx 1 {τ}+{f v } = {0} 3. Équilibre au bord et discontinuités {U} (li ) = { U d} (l i ), l i {l 1, l 2 } (1.26) { R (x 1 ) + p (x 1 ) = 0 M (x 1 ) + x 1 R (x 1 ) + c (x 1 ) = 0, x 1 [0, L] (1.27) {τ} (li ) = { F d} (l i ), l i {l 1, l 2 } [ {τ} ] (xi ) = { τ(x + i )} { τ(x i )} = {F i } (xi ), x i [0, L] (1.28) 4. Loi de comportement { R } [ (x1 ) [A] = M(x 1 ) [B] [B] [D] ] { e (x1 ) κ (x1 ) } {τ(x 1 )} = [L] {ɛ(x 1 )} (1.29) 5. Relations utiles : Relations déplacements/déformations { r (x 1 ) = κ (x 1 ) u (x 1 ) + x 1 r (x 1 ) = e (x 1 ) (1.30) Expressions des contraintes en fonction des efforts internes tension : σ m 11(x 1 ) = N(x 1) S(x 1 ) flexion : σ f 11(x 1, M) = M f2(x 1 ) I 2 (x 1 ) x 3 M f3(x 1 ) I 3 (x 1 ) x 2 cisaillement : σ m 1α(x 1 ) = T α(x 1 ) S(x 1 ) (α = 2, 3) torsion : τ(x 1, r) = f (σ t 1α(r, x 1 )) (Rc) = M t(x 1 ) I 0 (x 1 ) r (1.31)

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42 2. Théorie des poutres droites Sommaire 2.1 Poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan Simplifications dans le cas des poutres à plan moyen chargées dans ce plan Interprétation des grandeurs cinématiques et statiques Prise en compte du cisaillement transverse Formulation des problèmes de flexion-tension Applications Tension Flexion simple Flexion déviée Sollicitation composée Torsion Bilan

43 Théorie des poutres droites 35 Généralement, les poutres présentent des sections et des courbes moyennes dont les particularités peuvent être utilisées pour réduire la complexité des problèmes traités. Dans la plupart des cas en effet, les sections présentent des symétries, c est la cas en particulier des poutres à plans moyens. De plus, les poutres droites sont les plus largement utilisées. 2.1 Poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan Dans le cas des poutres courbes, la rotation du repère de la section par rapport au repère de référence doit être pris en compte, par exemple en utilisant un repère de Frénet. Les poutres droites ont la particularité de posséder une ligne moyenne rectiligne. Dans ce cas les axes du repère de référence et du repère attaché aux sections sont confondus, et le restent dans le cadre HPP. On notera dorénavant ce repère R(O, x, y, z ). Comme il a été défini au début de ce document, les poutres à plans moyens sont des poutres dont la section présente un plan de symétrie (Figure 2.1). Généralement ces poutres sont chargées dans le plan de symétrie de la section, on parle alors de poutres à plan moyen chargées dans leur plan. Des sections à plan moyen plus particulières peuvent être utilisées, il s agit des profils creux ou de profils ouverts (Figure 2.1). Dans le cas des profils ne possédant pas de plan de symétrie par rapport à y, le centre de gravité n est plus confondu avec le centre géométrique, il y a donc apparition de flexion déviée. De plus dans le cas des profils ouverts, des théories spécifiques doivent être utilisées, notamment pour prendre en compte le cisaillement qui peut se développer dans les parois minces des sections. Dans cette introduction à la RdM, nous nous limiterons aux sections fermées présentant 2 plans de symétrie (xgy et xgz), telles que les 3 premières sections de la Figure 2.1. Figure 2.1: Exemples de sections à plans moyens et section ouverte. Ces hypothèses de symétrie conduisent à des problèmes beaucoup plus simples que les cas généraux présentés jusqu alors. En effet dans ce cas, les moments produits des sections sont nuls, il n y a donc pas de couplage entre les 2 déformations de flexion (voir Eq. 1.14). On supposera de plus que le chargement s applique dans le plan de symétrie de la section, ce qui évite notamment la prise en compte de la flexion déviée.

44 Théorie des poutres droites Simplifications dans le cas des poutres à plan moyen chargées dans ce plan Lorsqu une poutre à plan moyen est chargée dans son plan, les efforts internes en tout point d abscisse x (qui joue ici le rôle de l abscisse curviligne l) sont contenus dans le plan du chargement et sont : une réaction R dans le plan xoy, donc avec deux composantes, un moment M dirigé selon Oz, donc avec une composante. Les deux composantes de R sont alors notées N (effort normal) et T 2 = T (effort tranchant), tandis que la composante non nulle de M est notée M 3 = M (moment de flexion). De même, les déplacements de tout point de la poutre (y compris des points situés hors de la ligne moyenne) sont représentés par : un vecteur déplacement de la fibre moyenne u dans le plan xoy, un vecteur rotation r de la section selon Oz. Les deux composantes non nulles de u sont notées u x = u (déplacement normal) et u y = v (flèche), tandis que la composante non nulle de r est notée r z = φ (rotation). Nous voyons dans ce cas que nous travaillons sur trois degrés de liberté (au lieu de six). Les équations d équilibre (Eqs. 4.13) deviennent dans ce cas fonctions des efforts N, T, et M, eux-même fonctions de l abscisse x sur la poutre. Elles s écrivent : N (x) + p x (x) = 0 T (x) + p y (x) = 0 M (x) + T (x) + c z (x) = 0 On remarque dans ces équations que les charges et couples répartis sur la fibre moyenne de la poutre (issus des forces volumiques) se réduisent à : une force par unité de longueur p avec seulement deux composantes non nulles p x et p y, un couple par unité de longueur c porté par l axe z. Le problème à traiter dans le cas des poutres droites à plan moyen chargées dans ce plan est totalement plan, et grandement simplifié par rapport au cas des poutres courbes dans l espace. On note que la torsion n apparaît pas ici, c est en effet un mécanisme qui fait intervenir une rotation hors du plan de symétrie des sections (κ 1 (x 1 ) = r 1(x 1 )). Cette sollicitation sera traitée séparément Interprétation des grandeurs cinématiques et statiques Dans ce cas plan de la théorie des poutres, on peut donner aisément une interprétation physique simple des quantités telles que la rotation des sections. Les hypothèses de poutre ont conduit à poser une cinématique dans laquelle le déplacement de tout point

45 Théorie des poutres droites 37 M de la section s exprime en fonction des déplacements plans du centre de gravité (u(x) et v(x)) de la section et d une rotation (φ(x)) de cette section (Figure 2.2). Figure 2.2: Cinématique de poutre, sans cisaillement (Bernoulli) et avec cisaillement (Timoshenko) Prise en compte du cisaillement transverse Dans la cinématique sans cisaillement ou de Bernoulli, les sections sont supposées rester normales à la ligne moyenne (φ(x) = dv(x) ). Dans ce cas, la connaissance du déplacement de la ligne moyenne suffit, par des considérations géométriques simples, à définir dx complètement les déformations de membrane et de courbure. Dans la cinématique avec cisaillement ou de Timoshenko, la rotation totale de la section (φ(x)) est indépendante de la rotation de la section due à la flexion ( dv(x) ). Cet effet peut-être schématisé simplement en flexion pure : la flèche totale est la somme de la flèche de la poutre possédant dx uniquement une rigidité de flexion et de la flèche de la même poutre possédant cette fois-ci une rigidité de cisaillement uniquement (Figure 2.2). Dans cette théorie, le cisaillement (γ(x)) est donc la différence de la rotation totale (φ(x)) et de la rotation due à la flexion ( dv(x) dx ). Ou vu autrement, pour une flèche donnée, le cisaillement provoque une rotation totale moindre par rapport à la flexion seule. Ce point sera abordé plus en détails dans les applications ci-dessous. Finalement, les théories avec et sans cisaillement reposent sur

46 Théorie des poutres droites 38 les cinématiques suivantes : Bernoulli - sans cisaillement u M (x, y) = u(x) y dv(x) dx v M (x, y) = v(x) Timoshenko - avec cisaillement u M (x, y) = u(x) yφ(x) v M (x, y) = v(x) ( γ(x) = dv(x) dx φ(x) ) (2.1) Pour la théorie avec cisaillement, l introduction du cisaillement nécessite de corriger la contribution de cette rigidité. En effet, compte-tenu de l hypothèse de répartition constante du cisaillement dans l épaisseur de la poutre (γ fonction de x seul), la répartition réelle qui est parabolique (maximum au centre et condition de contraintes nulles sur les bords) est légèrement surestimée. On introduit un coefficient de correction, souvent noté k, qui permet d ajuster cette approximation. Ce coefficient est calculé à partir de considérations énergétiques, il est égal à 5 pour une section prismatique (voir 5.3.3). La 6 loi de comportement en cisaillement s écrit donc : T (x) = kgsγ(x) Formulation des problèmes de flexion-tension Au final, les problèmes de flexion-tension pour les poutres droites tels que représenté sur la Figure 2.3, sont complètement formulés grâce aux équations suivantes données pour la théorie avec cisaillement. Figure 2.3: Poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan : conditions aux limites en x 1 et x 2 et chargements répartis et concentrés en x i.

47 Théorie des poutres droites 39 Bilan de la théorie des poutres droites chargées dans leur plan moyen 1. Conditions aux limites cinématiques - champ C.A. u(x i ) = u d, v(x i ) = v d, φ(x i ) = φ d 2. Équilibre intérieur N (x) + p x (x) = 0 T (x) + p y (x) = 0 M (x) + T (x) + c z (x) = 0 3. Équilibre au bord et discontinuités N(x j ) = N d (x j ) N(x + i ) N(x i ) = N d (x i ) T (x j ) = T d (x j ) T (x + i ) T (x i ) = T d (x i ) M(x j ) = M d (x j ) M(x + i ) M(x i ) = M d (x i ) 4. Loi de comportement N(x) = ES du(x) dx T (x) = kgsγ(x) M(x) = EI dφ(x) dx 5. Relations utiles : Relations déplacements/déformations ɛ(x) = u (x) yφ (x) γ(x) = v (x) φ(x) Expressions des contraintes en fonction des efforts internes tension : σ m xx(x) = N(x) S(x) flexion : σ f xx(x, y) = M(x) I(x) y cisaillement : σ xy (x) = T (x) S(x) En pratique, la contribution du cisaillement dans la rigidité de la poutre est souvent négligée. En effet, ce terme est très souvent d un ordre de grandeur inférieur au terme de rotation φ(x) lors du calcul de la flèche v(x). Ceci est illustré dans les second et troisième

48 Théorie des poutres droites 40 exemples de flexion traités ci-dessous (exercice Flexion 2 et Flexion 3 ). On remarque finalement que, en négligeant la contribution du cisaillement, et en dérivant la dernière équation d équilibre, on obtient une équation différentielle en v(x) et M(x). Cette équation est souvent utilisée pour obtenir rapidement la flèche de la poutre en fonction du moment M(x) calculé par transport des actions extérieures en un point x quelconque de l abscisse. La méthode est appelée double intégration de la ligne élastique : EIv(x) = M(x) 2.2 Applications Les sollicitations des poutres droites à plans moyens étudiées ici sont soit de la tension ou de la flexion, ou leur combinaison. Ces 2 sollicitations, imposées dans le plan de symétrie de la poutre, sont étudiées à travers des exercices. La torsion est ensuite abordée séparément, pour des arbres cylindriques Tension Dans le cadre de la théorie en HPP présentée jusqu alors, dans une poutre sollicitée en tension, seule la contrainte normale est non nulle. On sait de plus que cette contrainte est constante dans l épaisseur de la poutre. Tension 1 : exemple de base On considère une poutre à plan moyen de longueur l chargée dans son plan en tension par un effort normal ponctuel (vecteur F x. x ) appliqué en B (Figure 2.4). On notera E le module d Young du matériau constitutif et S la section de la poutre constante ici. Figure 2.4: Poutre droite à plan moyen chargée en tension par un effort terminal normal.

49 Théorie des poutres droites Résolution complète Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités cinématiques et statiques (équations d équilibre + conditions aux limites). Résoudre complètement le problème 2. Résolution par transport des efforts extérieurs Donner l expression du torseur des efforts internes en tout point de la poutre. En déduire le torseur des déformations. Donner le déplacement longitudinal de la poutre en tout point x, en prenant en compte les conditions aux limites cinématiques. Tracer le profil de la contrainte normale le long de la poutre. Choisir une section rectangulaire de poutre, pour une largeur b fixée, telle que la limite élastique σ 0 du matériau constitutif ne soit pas dépassée. Tension : utilisation des continuités et discontinuités On considère la même poutre, mais le chargement est ici un chargement réparti d intensité constante P qui s applique seulement sur une partie [AB] de la poutre (Figure 2.5). Figure 2.5: Poutre droite à plan moyen soumise à un chargement réparti. 1. Résolution complète Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités cinématiques et statiques (équations d équilibre + conditions aux limites). Résoudre complètement le problème en intégrant les équations d équilibre. 2. Résolution par transport des efforts extérieurs Donner l expression du torseur des efforts internes en tout point de la poutre. En déduire le torseur des déformations. Donner le déplacement longitudinal de la poutre en tout point x. Tracer le profil des contraintes le long de la poutre. Quelle est la contrainte maximale dans cette poutre?

50 Théorie des poutres droites 42 Choisir une section de poutre, pour une largeur b fixée, telle que la limite élastique σ 0 du matériau constitutif ne soit pas dépassée Flexion simple Les équations d équilibre ont été présentées ci-dessus, il reste à expliciter les contraintes engendrées par la flexion des poutres. En se rappelant que la cinématique s exprime par rapport aux grandeurs mesurées au centre de la section, on en déduit que la répartition de la contrainte normale à travers l épaisseur est linéaire. Flexion 1 : Flexion simple d une poutre console Considérons la poutre représentée sur la Figure 2.6 sollicitée par une force ponctuelle (vecteur F y (l)) en son extrémité B (x = l). On notera E le module d Young du matériau, G son module de cisaillement, S la section de la poutre et I son moment d inertie par rapport à l axe Oz. Figure 2.6: Flexion simple d une poutre à plan moyen 1. Résolution complète Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités cinématiques et statiques (équations d équilibre + conditions aux limites). Résoudre complètement le problème en intégrant les équations d équilibre. Tracer les profils des efforts tranchants et des moments fléchissants. 2. Résolution par transport des efforts extérieurs Donner l expression du torseur des efforts internes en tout point de la poutre. En déduire le torseur des déformations. Donner la flèche et la rotation de la poutre en tout point x, en utilisant la méthode de la double intégration, et donner leur profil. 3. Influence du cisaillement

51 Théorie des poutres droites 43 Montrer que la contribution de l effort tranchant peut être négligée dans les expressions des déplacements obtenues ci-dessus ( v flex v cis ), dans le cas des matériaux isotropes. On notera r le degrés d anisotropie (r = E ). G Évaluer la limite d utilisation de la théorie de Timoshenko, pour ce problème. On notera que le degrés d anisotropie peut atteindre une valeur limite supérieure à 35 pour des matériaux composites isotropes transverses de type carbone/époxyde. 4. Choix d une section en fonction de sa rigidité de flexion Évaluer et comparer les moments quadratiques des sections (a) et (b) présentées sur la Figure 2.7. Comparer les moments quadratiques et les masses des sections en I et sandwich par rapport à la section pleine en fonction de k. On considérera de l acier, et de la mousse PUR pour l âme du sandwich, avec un rapport de rigidité Ea E p = Figure 2.7: Profils de section considérés : (a) section rectangulaire pleine, (b) section en I, et (c) matériau sandwich.

52 Théorie des poutres droites 44 Remarques sur la rigidité en flexion des sections de type profilé et sandwich On note I hom le moment d inertie de la section homogène (Figure 2.7-a) : I hom/g = b/2 h/2 b/2 h/2 y 2 dy = 2b 3 ( ) 3 h (2.2) 2 Pour la poutre en I (Figure 2.7-b), le moment quadratique est calculé en 2 parties. Il faut tout d abord évaluer la contribution de la partie centrale (l âme dans les sandwichs), puis celle des deux peaux. Pour l âme, le calcul est similaire à celui de la poutre homogène (Eq. 2.2), avec une largeur kb pour la section en I et b pour le sandwich. Pour les deux peaux (les voiles dans la section en I), on utilise soit une intégrale de bornes ayant pour origine le centre de section, soit le théorème d Huyghens qui permet de rapporter le calcul du moment d inertie par rapport à la ligne moyenne d une peau à la ligne moyenne de la poutre sandwich (Eq. 2.3). Ainsi, un terme supplémentaire apparaît dans le calcul du moment d inertie des peaux (des voiles). Il est constitué du produit de l aire de la section transverse des peaux par le carré de la distance entre la ligne moyenne d une peau et celle du sandwich. La rigidité équivalente de flexion de la poutre sandwich < EI > sand est proche de celle de la section en I, calculée en deux parties, mais ici le matériaux constitutif n est pas le même dans toute la section de la poutre (Eq. 2.4). I I/G = I ame/g + 2I peau/g kb/2 ( h/2+kh) b/2 = y 2 dy + 2 kb/2 (h/2 kh) b/2 kb/2 ( (h/2+kh) b/2 ou y 2 dy + 2 kb/2 = 2kb 3 (h/2 kh) ( ) 3 ( h b(kh) 3 2 kh b/2 h/2 + bkh 4 (h/2 kh) kh /2 k h /2 y 2 dy ) ( ) ) 2 h kh y 2 dy + bkh 2 ) (h kh)2 (2.3) < EI > sand/g = b/2 h/2 b/2 = 2E ab 3 h/2 E(y) y 2 dy = E a I ame/g + 2E p I peau/g ( ) 3 ( h b(kh) 3 2 kh + 2E p 12 + bkh 4 (h kh)2 ) (2.4) Les matériaux sandwich généralement rencontrés dans les applications industrielles possèdent les caractéristiques suivantes (Eq. 2.5) (h p est l épaisseur des peaux et h a est l épaisseur de l âme). 0, 02 < h p h a < 0, 1 0, 001 < E a E p < 0, 02 (2.5)

53 Théorie des poutres droites 45 Figure 2.8: Effet sandwich : rigidité et masse du sandwich d épaisseur h a + 2h p rapporté à la section d épaisseur 2h p (E peau = 10 3 E ame et ρ ame = 0, 09ρ peau ). Ainsi, en considérant ces ordres de grandeurs pour les rapports des épaisseurs et des modules, on montre que le troisième terme de la relation (2.4) est prépondérant devant les deux autres. En effet, si on note respectivement < EI > i s (i = 1..3) les trois termes composant la rigidité équivalente de flexion de la poutre sandwich (Eq. 2.4), les rapports suivants peuvent être établis : < EI > 1 s < EI > 3 s < EI > 2 s < EI > 3 s E ah a 6E p h p < 1 6 kh2 3h 2 a < La rigidité de flexion propre des peaux rapportée à la ligne moyenne du sandwich constitue donc le terme prépondérant de l expression de la rigidité globale de flexion (< EI > sand ). C est donc l assemblage des deux constituants qui confère à l ensemble une rigidité équivalente conséquente en flexion, c est l effet sandwich. Pour illustrer cet effet, on calcul la rigidité du sandwich formé par des peaux d épaisseur h p séparées par une âme d une épaisseur h a. On vérifie aisément que la rigidité du sandwich est beaucoup plus élevée que la rigidité de la section constituée des mêmes peaux seules, formant un matériau massif d épaisseur 2h p (Figure 2.8), et ceci pour une masse sensiblement identique. La rigidité de membrane est, quant à elle, très peu modifiée. On voit ici tout l intérêt de l utilisation de ce type de section, notamment dans le secteur des transports où l allégement est un souci constant. Plus généralement, on peut "gagner de la matière" en utilisant ce type de section,

54 Théorie des poutres droites 46 ou de manière équivalente des profils creux, en utilisant les matériaux les plus rigides le plus loin du centre de flexion de la section. L intérêt de ces sections peut être mis en évidence en représentant la rigidité de flexion et la masse de la section en I (Figure 2.9-a) et de la section sandwich (Figure 2.9-b), rapportées à la rigidité de flexion et la masse de la section de même dimension mais homogène. Sur la Figure 2.9 (k est le rapport des épaisseurs de peaux par rapport à l épaisseur totale dans les sections en I (Figure 2.7-b) et sandwich (Figure 2.7-c)) on peut voir que pour un gain de masse appréciable, on obtient des rigidités très proches de celles de la section homogène.

55 Théorie des poutres droites 47 (a) (b) Figure 2.9: Rigidités et masse des sections (a) en I, et (b) matériau sandwich (E peau = 10 3 E ame et ρ ame = 0, 09ρ peau ).

56 Théorie des poutres droites 48 Flexion 2 : Flexion trois points La Figure 2.10 représente une poutre à plan moyen sollicitée en flexion trois points dans son plan par une force F y. Par symétrie, nous allons utiliser le segment 0 x l/2 pour traiter le problème, en posant des conditions de symétrie en x = l/2. Du fait de cette symétrie, la sollicitation ponctuelle F y est diminuée de moitié. Une théorie avec cisaillement sera utilisée pour résoudre ce problème. Figure 2.10: Flexion trois points d une poutre à plan moyen. 1. Résolution complète Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités cinématiques et statiques (équations d équilibre + conditions aux limites). Résoudre complètement le problème en intégrant les équations d équilibre. Donner la flèche et la rotation maximale ainsi que les abscisses de ces maxima. Tracer les profils des efforts tranchants et des moments fléchissants. 2. Résolution par transport des efforts extérieurs Donner l expression du torseur des efforts internes en tout point de la poutre. Attention aux réactions aux appuis!!! En déduire le torseur des déformations. Donner la flèche et la rotation de la poutre en tout point x, et tracer leur profil. 3. Influence du cisaillement Montrer que la contribution de l effort tranchant peut être négligée dans les expressions des déplacements obtenues ci-dessus ( v flex v cis ), dans le cas des matériaux isotropes. On notera r le degrés d anisotropie (r = E ). G Évaluer la limite d utilisation de la théorie de Timoshenko, pour ce problème. On notera que le degrés d anisotropie peut atteindre une valeur limite supérieure à 35 pour des matériaux composites isotropes transverses de type carbone/époxyde.

57 Théorie des poutres droites 49 On a vu que le cisaillement peut être négligé dans le cas des matériaux courants (r 2, 6), mais doit être pris en compte dans le cas des matériaux dont le rapport d orthotropie est élevé. C est le cas des matériaux composites par exemple, où le cisaillement n est plus une fonction du module d Young et du coefficient de Poisson, et pour lesquels le rapport peut atteindre des valeurs élevées, de l ordre de 35. Il faut également préciser que plus la poutre est élancée, plus le cisaillement est négligeable. On utilise d ailleurs un essai dit Short Beam Shear Test pour déterminer la résistance en cisaillement interlaminaire dans les poutres composites. Il s agit d un essai de flexion 3 points, tel que celui présenté ci-dessus sur la Figure (2.10), mais dont les appuis sont si rapprochés (l = 5h) que le cisaillement contrôle en grande partie la réponse de la poutre.dans la suite des applications, le cisaillement sera négligé afin d alléger les développements analytiques. La flexion 3 points est un essai couramment utilisé dans l industrie pour caractériser les matériaux. Pourtant, cet essai, s il a l avantage d être simple à mettre en œuvre, pose de nombreux problèmes pour des mesures de résistance. En effet, le profil des efforts tranchants et des moments fléchissants montre clairement que ces 2 grandeurs sont maximales au centre de la poutre. De plus, sous l appui central, la poutre subit un écrasement transverse (ɛ yy ). La concomitance de ces valeurs extrêmes au centre de la poutre conduit systématiquement à une rupture sous l appui central, rendant difficile l identification du mode de rupture et l état de contraintes à l intérieur de la poutre au moment de la rupture. Un moyen simple de pallier à cette rupture incontrôlée est de mettre en œuvre un essai de flexion 4 points (Figure 2.11), traité ci-dessous. Flexion 3 : Flexion quatre points Nous allons étudier la flexion quatre points d une poutre à plan moyen. Les caractéristiques mécaniques et géométriques de la poutre étudiée sont identiques à celles utilisées dans les exemples précédents (voir Figure 2.11). Dans ce problème, une théorie sans cisaillement sera considérée. Il faut noter qu il est possible d étudier avec cette théorie l évolution de la contrainte de cisaillement le long de la poutre. En effet, l effort tranchant existe, et il va engendrer des contraintes de cisaillement, mais qui ici ne vont pas influer sur la rotation des sections et donc la flèche. Simplement, aucune loi de comportement ne permet de dériver la déformation de cisaillement à partir de l effort tranchant. 1. Résolution complète Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités cinématiques et statiques (équations d équilibre + conditions aux limites). Résoudre complètement le problème en intégrant les équations d équilibre. Tracer les profils des efforts tranchants et des moments fléchissants. Tracer la déformée. Comparer ces répartitions avec celles de l essai de flexion 3 points. 2. Résolution par transport des efforts extérieurs

58 Théorie des poutres droites 50 Figure 2.11: Flexion 4 points d une poutre à plan moyen. Donner l expression du torseur des efforts internes en tout point de la poutre. En déduire le torseur des déformations. Donner la flèche et la rotation de la poutre en tout point x. Flexion 4 : Poutre d égale résistance Les poutres en flexion sont très répandues dans les applications technologiques courantes. On peut souhaiter avoir des poutres dites d égale résistance, c est-à-dire que l état de contrainte soit le même partout dans la poutre. Ceci assure une homogénéité dans toute la poutre, et donne l assurance qu en tout point de la poutre la résistance du matériau constitutif ne sera pas dépassée si le dimensionnement est effectué correctement. Nous allons appliquer ce principe à la poutre console vue précédemment (Figure 2.6) qui est chargée dans un premier temps par un effort ponctuel terminal comme dans l exercice Flexion 1, puis dans une autre configuration avec cette fois-ci un effort réparti vertical d intensité p y constante (Figure 2.12). La section de cette poutre est rectangulaire, de largeur b et de hauteur h. Figure 2.12: Poutre console soumise à une charge répartie p y constante. 1. Résolution du problème posé sur la Figure 2.12

59 Théorie des poutres droites 51 Poser le problème à résoudre pour déterminer complètement les quantités cinématiques et statiques (équations d équilibre + conditions aux limites). Exprimer les déplacements en tout point x. Tracer le diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants. 2. Expliciter, pour les 2 cas de chargements, la contrainte normale maximale, en fonction du moment de flexion maximum et des dimensions de la section qui peuvent dépendre de x. 3. Donner le profil de la poutre si la largeur b est fixe (variation de la hauteur h(x)). 4. Donner le profil de la poutre si la hauteur h est fixe (variation de la largeur b(x)) Flexion déviée La flexion déviée se produit lorsque les moments produits de la section ne sont pas nuls. Ce peut être le cas par exemple lorsque les directions principales d inertie de la section ne sont pas confondues avec les axes du repère de référence, ou bien pour les sections ne possédant pas de plans de symétrie. On retrouve alors le résultat énoncé précédemment (Eq. 1.14), où le moment fléchissant M fz est dû pour une part à la flexion selon z, mais également à de la flexion selon y. Ce qui donne dans une théorie sans cisaillement : M fz (x) = EI Gz v (x) EI Gyz w (x) où I Gy, I Gz et I Gyz sont respectivement le moment quadratique de la section par rapport à l axe y, par rapport à l axe z, et le moment produit. w est la courbure due à la flèche selon z. Dans ce cas la contrainte normale se calcule en prenant en compte les grandeurs suivant les 2 axes concernés. L expression de la contrainte normale s établit à partir des lois de comportement en flexion (M fz = f(v, w ) et M fy = f(v, w )), en explicitant les courbures et en les introduisant dans l expression de la contrainte normale, telle qu exprimée par exemple dans l équation 1.25 page 29. Au final, l expression complète de la composante de flexion de la contrainte normale s écrit : σ f xx(x) = M fz (x) yi Gy zi Gyz I Gy I Gz I 2 Gyz + M fy (x) zi Gy yi Gyz I Gy I Gz I 2 Gyz (2.6) Poutre à section quelconque Considérons une section quelconque mais constituée d un matériau homogène. On comprend bien que les directions principales dites d inertie 1 de cette section ne seront pas 1. En fait ces propriété dites - abusivement - d inertie ne sont pas liées directement au comportement dynamique, mais par extension représentent les propriétés géométriques et matériaux de la section

60 Théorie des poutres droites 52 directement confondues avec les axes du repère global (Figure 2.13-a). Pour le montrer plus rigoureusement, déterminons dans un premier temps les coordonnées du centre de gravité de cette section. Ensuite, les directions principales d inertie seront déterminées en diagonalisant le tenseur d inertie de cette section, dans le plan (G, y, z ). y (s) y' z' y G G α h y (S1) e O z G (a) z z G (S3) O b G y G (b) (S2) z Figure 2.13: Description géométrique de la section : (a) centre de gravité et directions principales d inertie pour une section quelconque, et (b) section en L. Dans le plan (O, y, z ), les coordonnées du centre de gravité se calculent par la définition même de ce point particulier de la section, qui est tel que : centre de gravité en 3D x G (x) = Ω Ω x dω ρdω centre d une section homogène en 2D y ds z ds S(x) S(x) y G (x) = z G = ds ds S(x) S(x) (2.7) Le terme au numérateur est appelé le moment statique de la section par rapport à l origine du repère O, on le notera J Oz et J Oy ci-dessous. Ce moment est évidemment nul lorsqu on le calcule par rapport au centre de gravité G. Lorsque les coordonnées du point G sont déterminées, les moments quadratiques et produit peuvent être calculés par rapport à ce point, et relativement aux axes du repère global, dans le repère centré en G par exemple (R G = (G, y, z )). D après les relations page 7 rappelées ci-dessous, on obtient le tenseur d inertie de la section (en 2D) par rapport au centre de gravité, appelé alors tenseur central d inertie : I Gy = z 2 ds I Gyz = yzds I(G, S) = S(x) S(x) (R G ) I Gyz = yzds I Gz = y 2 (2.8) ds S(x) qualifiant son comportement mécanique en termes de rigidité S(x) (G, y, z )

61 Théorie des poutres droites 53 Ces moments peuvent également se calculer par rapport à un système d axes orthogonaux centré en G, formant un angle α par rapport à l axe z par exemple - α = z G z - tel que représenté sur la Figure En introduisant le changement de base (G, y, z) (G, y, z ) avec le tenseur P (RG de changement de base (orthogonal si R G ) les bases sont orthonormées directes) tel que x = P (RG x en 2D : R G ) [ P = cos α (RG R G ) sin α ] sin α cos α (R G R G ) et en notant que le tenseur d inertie est d ordre 2, ce changement de base s écrit : ( ) T I(G, = P S)(R G ) (RG R I(G, S) P G ) (R G ) (RG R G ) ce qui conduit finalement aux expressions des moments par rapport à ce nouveau système d axe : I Gy = 1 2 (I Gy + I Gz ) (I Gy I Gz ) cos 2α I Gyz sin 2α I Gz = 1 2 (I Gy + I Gz ) (I Gz I Gy ) cos 2α + I Gyz sin 2α I Gy z = 1 2 (I Gz I Gy ) sin 2α I Gyz cos 2α Remarque : Les moments produits sont stockés sous la forme I Gyz = yzds, S(x) il faut être très attentif au signe, selon qu on écrit la forme tensorielle ou non. Ici on a exprimé le terme hors-diagonal de la forme tensorielle, soit I Gy z pour être cohérent. On en déduit encore, que inversement, l angle α entre le repère R G et le repère principal d inertie R G, tel que le moment produit est nul, s exprime en fonction des moments caractéristiques de la section tan 2α = 2 I Gyz I Gy I Gz Plus généralement, déterminer les axes principaux de la section, pour lesquels le moment produit est nul, se fait par diagonalisation du tenseur d inertie. Il s agit de déterminer les vecteurs propres x i associés aux valeurs propres I i de ce tenseur. Ces valeurs propres représentent la projection du tenseur sur les directions propres associées, soit I(G, S) (R G ) xi = I i x i. Ou encore, pour que la solution triviale ne soit pas solution : ([ I Gy I i det I Gyz I Gyz I Gz I i ]) (G, y, z ) = I 2 i (I Gy + I Gz ) I i + ( I Gy I Gz I 2 Gyz) = 0 d où on déduit les valeurs prises par les moments d inertie principaux, solution de l équation du second degré en I I (max,min) = I Gy + I Gz 2 ± (IGz I Gy 2 ) 2 + I 2 Gyz

62 Théorie des poutres droites 54 Sans entrer dans les détails, ces valeurs propres sont réelles et distinctes, et les vecteurs propres correspondant sont donnés par ( ) z I 1 = Gy I Gz (I Gy I Gz ) 2 + 4IGyz 2 z 2 = ( I Gy I Gz + 2I Gyz ) (I Gy I Gz ) 2 + 4IGyz 2 (G, y, z ) 2I Gyz (G, y, z ) Illustration sur la cas de la poutre console - TP Pour illustrer ces calculs de propriétés géométriques de sections, et pour étudier la flexion déviée, considérons une section en L telle que présentée sur la Figure 2.13, de hauteur h, de largeur b, et d épaisseur de voile e, constituée d un matériaux homogène de type PVC : Dimensions : e=3,5 mm, h=3 cm et b=2 cm ; longueur l = 70 cm Propriétés mécaniques : module d Young 0, 35 GP a < E < 2, 5GP a. Ici E = 1 GP a 1. Pour ce cas de la cornière en L (Figure 2.13), nous allons procéder comme indiqué ci-dessus dans le cas général. On pourra raisonner en termes de 3 surfaces composant cette cornière, telles que présentées sur la Figure 2.13 : 2 rectangles composant les ailes - (S 1 )/(z, y) [0, h] [0, e] et (S 2 )/(z, y) [0, b] [0, h]) - auxquels on retranchera le carré (S 3 )/(z, y) [0, e] [0, e] : (a) Calculer la position du centre de gravité. Pour cela déterminer d abord la surface S puis les moments statiques J Oz et J Oy de la section Réponses y G = J S 1 Oz + J S 2 Oz J S 3 Oz S 1 + S 2 S 3 = A.N. e 2 (h2 + be e 2 ) e (h + b e) z G = e (he + 2 b2 e 2 ) e (h + b e) S = 162, 75 mm 2 y G = 10, 3 mm z G = 5, 3 mm (b) Déterminer les moments quadratiques par rapport à l origine du repère I Oz, I Oy, et I Oyz puis par rapport au centre de gravité I Gz, I Gy et I Gyz - utiliser le théorème de Huygens par exemple. On rappelle (Eq. 7.32), à toutes fins utiles, que ce théorème permet d exprimer le tenseur d inertie d un solide par rapport à n importe quel axe en connaissant le tenseur d inertie exprimé en son centre de gravité calculé par rapport à un axe colinéaire. Pour la section de poutre étudiée ici, la relation inverse donne donc : z I = I G(RG O S G 2 y G z G (2.9) ) (RG ) y G z G y 2 G (R G )

63 Théorie des poutres droites 55 Réponses A.N. I Oz = I S 1 Oz + IS 2 Oz IS 3 Oz = e 3 (h3 + be 2 e 3 ) I Oy = e 3 (he2 + b 3 e 3 ) I Oyz = e2 4 (b2 + h 2 e 2 ) I Oz = mm 4 I Oy = mm 4 I Oyz = mm 4 A.N. I Gz = (b e)e3 + eh 3 3 I Gy = eb3 + (h e)e 3 3 y 2 G S z 2 G S I Gyz = e2 4 (b2 + h 2 e 2 ) + y G z G S I Gz = mm 4 I Gy = mm 4 I Gyz = mm 4 (c) Calculer les directions principales et valeurs des moments principaux pour exprimer le tenseur central d inertie. Réponses A.N. On associe la plus petite valeur propre I min au premier vecteur propre z 1 et la plus grande valeur propre I max au second vecteur propre z 2 : ( ) z 0, (G, y, z ) = et z 1 (G, 0, 918 y, z ) / = z 1 z 2 = 0 α 2 = z Gz 2 = 23, 3 I max = mm 4 I min = mm 4 2. Afin de comparer ces prévisions avec le comportement réel de la poutre, réaliser les mesures suivantes avec le montage mis à disposition : (a) Mesurer le déplacement l extrémité de la poutre (déplacement latéral et/ou le déplacement le long de l axe portant l effort), en fonction de l angle de la sollicitation par rapport à la poutre. En déduire les directions principales d inertie.

64 Théorie des poutres droites 56 (b) Comparer les grandeurs prévues par la théorie des poutres appliquée au cas de la poutre console prenant en compte la flexion déviée, aux valeurs relevées avec le TP de poutre console. v(x) = F ( ) x 3 E 6 I Gy lx2 2 I Gy I Gz IGyz 2 ( ) x 3 w(x) = F E 6 lx2 2 I Gyz I Gy I Gz I 2 Gyz Sur la Figure 2.14 est représenté la norme du déplacement de l extrémité de la poutre console en fonction de l angle α = y G y entre la direction de la sollicitation et la direction principale y (voir Figure 2.13). On vérifie bien que le déplacement maximum correspond à la plus petite valeur propre I min associée à l angle α = 66, 7, et que le déplacement minimum correspond à la seconde valeur propre I max associée à l angle α = 23, 3. On rappel que la rigidité en flexion d une poutre s exprime par rapport à l axe perpendiculaire au plan contenant la déformée - M fz = f(v, I z ). Norme du déplacement de l'extrémité 23,3-66,7 angle entre la sollicitation et le repère principal dela section Figure 2.14: Déplacement de l extrémité de la poutre console en fonction de l angle α entre la sollicitation et la direction principale de la section en L de la Figure Les évolutions des déplacements correspondants au problème résolu sont également représentés sur la Figure 2.15, en coordonnées polaires. Pour information, les industriels fournissent des données géométriques pour les profils qu ils commercialisent. La Figure 2.16 présente un exemple de données pour un profilé en L, fourni par exemple par Arcelor-Mittal.

65 Théorie des poutres droites 57 y y x 0 x (a) (b) Figure 2.15: Représentation polaire des déplacements à l extrémité de la poutre console à section en L - les échelles sont les mêmes : (a) déplacement selon l axe d application de l effort, et (b) dans la direction perdendiculaire. Figure 2.16: Données pour une poutre à section en L - source Arcelor-Mittal.

66 Théorie des poutres droites 58 Figure 2.17: Poutre sollicitée en flexion et en tension Sollicitation composée Expliciter l état de contraintes (σ xx,σ xy ) qui règne dans la poutre ci-dessous (Figure 2.17) sollicitée en flexion-tension Torsion La torsion est une sollicitation rencontrée trés fréquemment, et plus spécialement dans les arbres de transmission par exemple. Ces arbres sont dans la plus grande partie des applications de section cylindrique à section circulaire, creuse ou pleine. Les sections carrées remplissent la même fonction mais servent le plus souvent à transmettre les moments de torsion en évitant d utiliser des accouplements. En tenant un raisonnement analogue à celui qui permet d expliquer l avantage des poutres en I en flexion, on comprend bien qu en torsion les fibres matérielles périphériques sont les plus sollicitées. Dans l exercice ci-dessous, on démontre sur un cas simple l intérêt d utiliser des tubes creux pour transmettre des couples. On rappel que les expressions des contraintes de cisaillement font apparaître les contributions des termes de membrane et des termes de courbure, appelée torsion dans ce cas particulier (Eqs. 1.25). C est le différentiel de contraintes de cisaillement de part et d autre du centre de gravité qui va induire de la torsion. Ceci est illustré sur la Figure 2.18, d abord (Figure 2.18-a) dans un repère cylindrique R c = (G, x, e r, e θ ) où ces contraintes sont contenues dans un plan (G, x, e r ) invariant par rotation autour de l axe de la poutre, et également dans une section prismatique (Figure 2.18-b) où la torsion apparaît par exemple si des contraintes de cisaillement σ xy (x, M) opposées en intensité règnent en ± b 2. z dans le plan (G, x, y ). Pour simplifier les calculs, dans le repère cylindrique les contraintes de cisaillement σ xr (x, r) s écrivent : σ xr (x, r) = Gɛ m xr(x) + Gɛ t xr(x, r)

67 Théorie des poutres droites 59 y (x ) 2 er γ xr M M' dω r G x z (x ) 3 G M t x e θ dx (a) dx (b) Figure 2.18: Longueur élémentaire de poutre soumise à de la torsion : (a) section circulaire, et (b) section prismatique. En considérant une sollicitation de torsion pure, notons la rotation entre 2 sections voisines r 1. x = ω. x et la déformation correspondante ɛ t xr(x, r) = γ xr (x, r), tels qu illustrés sur la Figure 2.18-a. La déformation de cisaillement induite par la torsion peut alors s exprimer géométriquement sur ce tronçon de poutre de longueur dx, en calculant la longueur de l arc de cercle caractérisant le déplacement d un point M initial vers un point M final, à une distance r du centre de gravité G, pour une rotation élémentaire dω. En petites perturbations, on a la relation : γ xr (x, r) = dω dx. r Comme dans le cas de la flexion, il suffit alors d exprimer la courbure en fonction des grandeurs agissant à l échelle de la poutre, et d introduire cette courbure dans la loi de comportement locale du matériaux en cisaillement pour obtenir l expression de la contrainte de cisaillement locale, en torsion pure, en fonction du moment de torsion et du moment quadratique polaire : M t (x) = GI 0 dω dx σ xr(x, r) = Gγ xr (x, r) = G dω dx r = M t(x) I 0 (x) r Dans le cas plus général où la poutre est soumise à un effort tranchant, comme en flexion la contrainte totale est la somme des contraintes de cisaillement de membrane et de flexion (torsion). Passons à une application du problème de torsion. Soit une poutre de section circulaire, soumise à un moment de torsion d intensité M t en son extrémité l et encastrée à son autre extrémité O (Figure 2.19). Cette poutre de moment polaire I 0 est constituée d un matériau homogène isotrope élastique linéaire de module de cisaillement G. 1. Déterminer pour les 2 sections considérées (diamètres D 1 et D 2 extérieur / kd 2 intérieur) les moments d inertie polaires I 1 0 et I 2 0.

68 Théorie des poutres droites 60 Figure 2.19: Poutre sollicitée en torsion. 2 sections circulaires sont considérées (a) pleine et (b) creuse. 2. Calculer pour ces 2 sections les contraintes de cisaillement dans les arbres. 3. La contrainte limite τ 0 est la même pour les 2 sections. Déterminer le rapport de leur diamètre puis de leur masse. 4. Calculer ces rapports des diamètres et des masses pour k = 0, Bilan Au travers de ces applications, nous avons mis en évidence 2 façons de résoudre les problèmes de RdM : utiliser le transport des torseurs des efforts extérieurs pour exprimer le torseur des efforts internes dans les sections. Les contraintes peuvent alors être obtenues directement à partir de ces efforts internes, et les déplacements sont connus en intégrant, résoudre complètement les équations d équilibre intérieur de la poutre en utilisant les conditions aux limites cinématiques, les conditions d équilibre au bord, et les équations de discontinuités. Dans le premier cas, la connaissance des efforts extérieurs réduit les développements nécessaires à la résolution, mais l équilibre extérieur doit être connu et peut se révéler indéterminé dans certains cas, par exemple dans les cas hyperstatiques où les liaisons avec l extérieur sont surabondantes. Ces cas sont traités dans le chapitre suivant. Dans le second cas, les développements peuvent rapidement devenir lourds mais permettent de résoudre certains problèmes dont l équilibre extérieur n est pas connu. Finalement, au cours des exemples traités, les problèmes ont pu être résolus de manière optimale en mixant ces 2 méthodes. Dans ces exemples, la sollicitation de tension a d abord été abordée, et ne pose pas de problème majeur. Dans le cas de la flexion on a pu observer que le cisaillement peut être négligé dans la plupart des cas, et que par conséquent une théorie de Bernoulli peut être utilisée en première approximation. Cette théorie, si elle ne permet pas de

69 Théorie des poutres droites 61 prendre en compte la rigidité de cisaillement, permet tout de même de caractériser l état de contrainte de cisaillement. Quant à la rigidité de flexion, l utilisation de sections creuses ou de sandwichs est tout à fait pertinente puisque ce sont les fibres matérielles les plus éloignées de l axe neutre qui donnent la rigidité de flexion de la section. Il en va de même dans le cas de la torsion. Enfin, pour les sollicitations combinées, compte-tenu des hypothèses de réversibilité et de linéarité de la RdM, les effets des sollicitations sur les différents axes se superposent.

70 3. Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme Sommaire 3.1 Rappels - calcul du travail Simplifications dans le cadre de la RdM Travail dans le cas des poutres Théorèmes énergétiques Théorème de réciprocité ou de Maxwell-Betti Théorème de Castigliano Hyperstatisme Résolution des systèmes hyperstatiques Principe de superposition Théorème de Ménabréa

71 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 63 Comme nous l avons vu dans les exemples précédents, la résolution complète des problèmes de plus en plus réalistes devient vite lourde. Qui plus est, la connaissance du champ de déplacement complet n est pas toujours nécessaire, par exemple pour le dimensionnement qui se base sur les contraintes maximales rencontrées dans la structure. Il existe des méthodes pour connaître ponctuellement une information telle qu un déplacement, et donc une contrainte. La connaissance de cette information peut également s avérer nécessaire dans le cas des problèmes ouverts tels que les cas hyperstatiques par exemple, dans lesquels les seules équations d équilibre extérieur ne sont plus suffisantes pour la résolution. Les théorèmes énergétiques permettent de connaître assez rapidement des informations ponctuelles. Ils se basent sur le bilan énergétique du problème posé, ce bilan étant fortement simplifié dans le cadre des hypothèses de la résistance des matériaux : pas de dissipations, cadre de travail statique et hypothèse des petites perturbations, matériaux élastiques linéaires (homogènes). Ces techniques sont basées sur la connaissance du bilan énergétique du système étudié, via le calcul du travail produit par les efforts extérieurs. 3.1 Rappels - calcul du travail Considérons, pour des raisons de simplicité, un système d efforts appliqué sur la frontière Ω F d un solide, tel que dans le cas général représenté sur la Figure 1.1 page 3 par exemple. Le travail produit entre deux instants t 1 et t 2 par ces efforts F d dans le champ de vitesse u ( x ) est défini par : W ( u ( t2 ( x, t)) = F d ( x, t) u ( ) x, t) dω F dt (3.1) Ω F Simplifications dans le cadre de la RdM t 1 Dans le cadre de la RdM, l intensité des efforts est indépendante du temps, leur point d application peut par contre être en mouvement. Toutefois, dans le cadre de l hypothèse des petites perturbations, cette position est confondue avec la position dans l état initial (sauf dans de le cas des problèmes non-linéaires géométriques sur lequel nous reviendrons dans le chapitre 4). Le champ cinématique est de plus la dérivée par rapport au temps du champ des déplacements : u ( x, t) = d dt u ( x, t). On peut alors calculer le travail fournit par le système d efforts entre l état initial et l état final, états qui peuvent être définis par les positions du système à ces instants. Pour un effort ponctuel, ce travail

72 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 64 s écrit : W ( u ( x ), t)) = t2 t 1 F d ( x, t) u ( x, t) dt = x (t2 ) x (t1 ) F d ( x ) du( x, t) en HPP et si x (t 1 ) = 0 : x (t 2 ) = x (t 1 ) + u ( x (t 1 )) = 0 + u ( x ) = u ( x ) 0 F d ( u ) d u Travail dans le cas des poutres Dans le cas des poutres, les efforts extérieurs sont définis par des efforts et des moments, respectivement résultante et moment du torseur des actions extérieures {F(x 1 )} (M) appliqué sur la ligne moyenne, tel que défini dans l équation 1.8 page 14 par exemple. Dans ce cas, le travail des efforts extérieurs s exprime en faisant intervenir le torseur des déplacements de la ligne moyenne {U} (M) tel que défini dans l équation 1.5 page 9. On peut alors calculer le travail fourni par le système d efforts entre l état initial et l état final défini par le torseur des déplacements : W (U(x 1 )) = U(x1 ) 0 {F(U)} (M) {du} (M) = r (x1 ) 0 M( r ) d r (x 1 )+ u (x1 ) 0 R ( u ) d u (x1 ) (3.2) À partir de cette dernière forme du travail (Eq. 3.2), on peut alors calculer le travail d un système d efforts. On distingue deux cas, selon que les efforts dépendent des déplacements ou non. Efforts indépendants des déplacements Le calcul est direct et se ramène au produit scalaire des efforts et des déplacements de leurs points d application. Par exemple, pour un système discret de n efforts et n moments, on a : W (U( x )) = n ( F ( xi ) u ( x i ) + M( x i ) r i ( x i )) Efforts dépendants des déplacements (et inversement) i=1 (3.3) S il existe une relation entre les efforts et les déplacements, cette relation ne peut être que linéaire en RdM compte-tenu du cadre HPP et de l élasticité linéaire. Dans ce cas le calcul du travail fait apparaître un coefficient 1 provenant de l intégration de cette 2 relation linéaire. Le cas typique de base est celui d un ressort unidimensionnel linéaire

73 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 65 de rigidité k qui fournit un effort de rappel proportionnel au déplacement imposé à son extrémité libre u(x) : W (u(x)) = u(x) 0 k ξ dξ = 1 2 k u(x)2 pour un ensemble d efforts extérieurs, on peut définir un tenseur de rigidité, noté L e, reliant l effort appliqué et le déplacement résultant du point d application, et de la même manière un tenseur de compliance, noté M e, reliant ce déplacement à l effort imposé correspondant. Ces tenseurs seront précisés dans la partie suivante. Pour un système d efforts ponctuels discrets, le travail s écrit : W (U( x )) = 1 2 = 1 2 n i=1 n i=1 ( Fe ( x i ) M i e F e ( ) x i )) ( u ( xi ) L i e u ( ) (3.4) x i )) Ce calcul du travail des efforts extérieurs s étend sans difficulté aux efforts répartis et moments ponctuels et répartis. pour les efforts intérieurs, une relation similaire a été définie préalablement par la relation 1.15 dans le cas des poutres. Comme il s agit de quantités internes à la poutre, la relation entre le torseur des efforts intérieurs (contraintes intégrées sur la section) et les déformations aux points correspondants, c est à dire les déplacements par unité de longueur de la poutre, est appelée loi de comportement : {τ(x 1 )} = [L] {ɛ(x 1 )}. Le travail produit par ces efforts dans le champ de déplacement correspondant est alors appelé énergie de déformation interne ou élastique dans le cas de l élasticité. Dans le cas des poutres, en utilisant la loi de comportement définie en 1.14, pour une section symétrique, cette énergie de déformation par unité de longueur s écrit : d W ( u ( x )) = 1 ( R (x1 ). e (x 1 ) + M(x 1 ). κ (x 1 )) d x 1 2 = 1 ( N 2 2 ES + T 2 2 GS + T 3 2 GS + M t 2 + M f2 2 + M 2 ) (3.5) f3 GI 0 EI 2 EI 3 Coefficients d influence Certaines démonstrations des théorèmes énergétiques que nous allons étudier sont facilitées en recourant à des coefficients dits coefficients d influence, permettant de relier les efforts imposés et les déplacements résultants en tout point du solide sollicité. Ces coefficients se définissent intuitivement, par analogie avec les ressorts, tout comme dans le cas de la méthode des éléments finis. Par exemple si on applique un effort F 1 au point M 1 d un solide, cet effort induit un déplacement de ce point d application. Le travail effectué par cet effort dans le déplacement de son point d application étant le produit scalaire de l effort et du déplacement

74 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 66 résultant, considérons simplement le déplacement dans la direction de l effort imposé. Ce déplacement est relié à l effort par le coefficient d influence u 11 qui a donc la dimension d une souplesse ( inverse de la raideur ) : u 1 (M 1 ) = F 1 u 11 On en déduit alors facilement l expression du travail de cet effort F 1 dans le déplacement u 1 : W F1 = 1 2 F 1 u 1 = 1 2 F 2 1 u 11 Ceci se généralise aisément si le déplacement en un point M i dans la direction de l effort F i correspondant du solide considéré, résulte de l application d un ensemble de n efforts F j : u i = n j=1 u ij F j Donc le travail effectué par l effort F i dans ce déplacement est : W Fi = 1 2 F i n j=1 u ij F j Finalement, le travail développé par l ensemble des n efforts F i dans le déplacement résultant est : W T = 1 n F i u i = 1 n n F i F j u ij (3.6) 2 2 i=1 On montrera ci-dessous la symétrie des coefficient u ij qui forment, dans une écriture vectorielle de discrétisation du système, une matrice dite matrice de souplesse symétrique et définie positive. i=1 j=1 3.2 Théorèmes énergétiques Compte-tenu des hypothèses simplificatrices de la RdM, notamment concernant d une part les vitesses de chargement supposées suffisamment lentes pour ne pas engendrer de dissipations, et d autre part les matériaux élastiques, le bilan énergétique est extrêmement simple : le travail fourni par les sollicitations extérieures est intégralement stocké en énergie de déformation élastique à l intérieur de la structure se déformant sous le chargement imposé. Ceci permet, connaissant le système des actions extérieures, de déduire des informations précieuses quant à l état de déformation interne de la structure.

75 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme Théorème de réciprocité ou de Maxwell-Betti L idée de base de ce théorème consiste à utiliser le principe de superposition : quelque soit l ordre d application des actions extérieures, l état final du système est identique (hypothèses de linéarités géométriques et matériaux). L utilisation de ce théorème fait souvent appel à des chargements fictifs, sur la géométrie étudiée, de façon à faire travailler le terme inconnu recherché (souvent un déplacement). Illustration sur un exemple Considérons l exemple de la poutre console représenté sur la Figure (1) du Tableau 3.1 page 68, sollicitée en flexion par un effort F C appliqué en C à l abscisse l C. Les caractéristiques de la poutre sont celles utilisées jusqu ici : l, E, S, I. On souhaite connaître la flèche v(x = l) = v B de l extrémité de cette poutre. La résolution simultanée des deux équations différentielles du quatrième ordre caractérisant l équilibre intérieur de ce problème conduit à l expression de la flèche de l extrémité de cette poutre : v B = F C l 2 C 6 EI (l C 3l)) Cette résolution nécessite des calculs assez longs. Par contre, ce résultat peut être déterminé presqu immédiatement en montrant que les coefficients d influence v BC = v CB. C est-à-dire que le déplacement du point B induit par l application d un effort unitaire en C est identique au déplacement du point C lorsque qu un déplacement unitaire est appliqué en B. L intérêt étant ici que ce dernier cas de chargement est connu et déjà résolu (cf exercice Flexion 1). Considérons pour cela le cas de cette poutre que l on charge par l effort F C et également par un effort terminal F B qui permet de faire travailler le terme inconnu recherché v B (Tab. 3.1). On vient superposer un problème fictif associé sur le chargement réel. Dans le premier cas (Tab. 3.1-(1) et (1 )), on sollicite la poutre console successivement par l effort F C en C (1) puis par un effort terminal F B en B (1 ). Le travail total W1 T ot est la somme de trois termes, le premier dû au travail de l effort C dans le déplacement résultant de son application (1), le second est le travail produit par l effort B dans le déplacement résultant de son application (1 ), et enfin le troisième terme correspond au travail produit par l effort F C dans le déplacement résultant de l application de F B (1 ). On notera que dans ce dernier terme, le déplacement du point d application C ne dépend pas de l effort F C. Dans le second cas (Tab. 3.1-(2) et (2 )), on considère la même poutre console chargée cette fois-ci d abord par l effort terminal F B puis par l effort F C. De part le principe de superposition, le travail total doit être identique pour ces deux scénari. Il en découle que les termes suivants ne peuvent être qu identiques : W T ot 1 = W T ot 2 F B.v BC.F C = F C.v CB.F B v BC = v CB

76 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 68 (1) (2) W 1 = 1 2 F 2 C.v CC W 2 = 1 2 F 2 B.v BB (1 ) (2 ) W 1 = 1 2 F 2 B.v BB + F B.v BC.F C W 2 = 1 2 F 2 C.v CC + F C.v CB.F B W T ot 1 = 1 2 F 2 C.v CC F 2 B.v BB+ F B.v BC.F C W T ot 2 = 1 2 F 2 B.v BB F 2 C.v CC+ F C.v CB.F B Table 3.1: Illustration du théorème de Maxwell-Betti Finalement, connaissant la flèche du point C sous un chargement unitaire appliqué en B, on obtient directement la flèche du point B sous un chargement quelconque appliqué en C. On a établi précédemment que pour la poutre console telle que représentée sur la Figure 2.6 page 42, le déplacement v (x) de tout point de cette poutre sollicitée par un effort terminal d intensité F est v (x) = F x2 (x 3l). Donc dans notre cas, on obtient 6EI directement la flèche pour un effort d intensité F C : v (x = l c ) = F C l 2 C 6EI (l C 3l) = v B ce qui correspond bien au résultat qu on peut obtenir en résolvant le problème par les équations d équilibre. On notera toutefois que ce résultat est une information ponctuelle

77 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 69 qui ne possède pas l attrait de la solution complète permettant de connaître le déplacement en tous points et surtout l état de contrainte le long de l abscisse. Exemple 2 Considérons un second exemple représenté sur la Figure 3.1-(a). On cherche le déplacement du point central D d une poutre sollicitée en flexion trois points par un effort situé à une distance l C < l. De nouveau, la résolution de ce problème est longue. 2 On connaît par ailleurs la solution d un problème de flexion trois points classique avec un effort central. On peut donc utiliser cette sollicitation fictive pour faire travailler le déplacement central (Figure 3.1-(b)). Figure 3.1: Poutre en flexion trois points avec chargement excentré : (a) problème réel et (b) problème fictif associé. L expression v (x) de la flèche pour la flexion trois points avec chargement central a été établie dans l exemple Flexion 2 du chapitre précédent. On a donc immédiatement la solution de notre problème de flexion trois points excentré : v D = v (x = l C ) = F.v DC = F l C ( 3l 2 4l 2 48EI C)

78 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 70 Exemple 3 La poutre console étudiée précédemment est maintenant sollicitée par 3 efforts ponctuels F 1, F 2 et F 3, tel que présenté sur la Figure 3.2. On cherche la flèche à l extrémité de cette poutre v(x = l) = v B. La résolution des quatre équations d équilibre interne conduit à déterminer 16 constantes d intégration. Comme dans le premier exemple, en utilisant le chargement fictif associé appliqué en B, on peut résoudre très facilement ce problème. Figure 3.2: Poutre console sous 3 charges. La flèche v (x) étant connue pour la poutre console chargée à son extrémité, on détermine aisément les coefficients d influence de notre problème et donc la flèche totale v B : F 1.v BA1 = F 1 l EI (l 1 3l) + F 2.v BA2 = F 2 l EI (l 2 3l) + F 3.v BA3 = F 3 l EI (l 3 3l) v B = 1 6 EI (F 1 l 2 1 (l 1 3l) + F 2 l 2 2 (l 2 3l) + F 3 l 2 3 (l 3 3l)) Théorème de Castigliano Ce théorème, d une utilisation triviale, fournit un précieux outil pour traiter les problèmes de RdM, notamment les problèmes hyperstatiques sur lesquels nous reviendrons plus loin dans ce document. Son utilisation nécessite le calcul de l énergie de déformation du système. C est en minimisant cette énergie de déformation qu une relation est établie entre un effort, respectivement un moment, et le déplacement du point d application dans la direction de cet effort, respectivement l angle de rotation correspondant. En reprenant

79 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 71 l expression du travail proposée dans l équation 3.6 qui permet de faire apparaître clairement toutes les dépendances des efforts par rapport aux déplacements, on démontre très aisément le théorème de Castigliano à l aide des coefficients d influence. La minimisation de l énergie de déformation, ou du travail des efforts extérieurs donnés, par rapport à un effort par exemple donne : ( W T = 1 F i F i 2 n i=1 F i n j=1 = F 1 u 1i + F 2 u 2i F i u ii F n u ni n = F k u ik k=1 = u i par définition ) F j u ij = 1 (F1 2 u F2 2 u 22 + F 2 F nu 2 nn + 2F 1 F 2 u ) i soit le déplacement du point d application de cet effort. Comme l énergie de déformation interne est égale strictement au travail produit par les efforts extérieurs, on a finalement les relations suivantes : W (F 1,..., F n ) F i = W int({u}) F i = u i Remarque : il faut, lorsqu on utilise l énergie de déformation du système, faire apparaître tous les efforts extérieurs, même si un ou plusieurs peuvent s exprimer en fonction des autres. L application de ce théorème au cas de la poutre console sollicitée en son extrémité (Figure 2.6 page 42) permet de déterminer rapidement la flèche de l extrémité. Il faut noter que l effort est négatif et donc que pour obtenir le déplacement dans la direction positive, il faut prendre l opposé de la minimisation de l énergie de déformation par rapport à l effort F : W int = 1 2 l 0 ( ) d 2 2 v EI dx = 1 l M 2 (x) dx = 1 l [F (x l)] 2 dx dx 2 2 EI 0 2 EI 0 v(x = l) = W int ( F ) = W int F F l3 = 3 EI Bien évidemment, dans ce cas, le travail des efforts extérieurs ne peut être utilisé puisque le déplacement recherché est nécessaire pour le calcul de ce travail. En pratique, on recourra au travail des actions extérieures essentiellement dans le théorème de Ménabréa qui repose sur la nullité du travail produit par les efforts de réactions. Ceci est présenté plus loin dans ce document.

80 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme Hyperstatisme Un système est dit hyperstatique si certaines liaisons sont surabondantes, c està-dire si leur suppression ne remet pas en cause l équilibre statique du système, et les mouvements de corps rigides sont supprimés. Le degrés d hyperstatisme est défini par le nombre de liaisons surabondantes qu a le système avec l extérieur. Ceci se traduit par un nombre insuffisant d équations pour résoudre le problème de l équilibre statique extérieur : q = n p avec q le degré d hyperstatisme, n le nombre de liaisons avec l extérieur, et p le nombre d équations de la statique. De nombreux exemples existent dans la pratique, les systèmes isostatiques étant très peu nombreux dans la vie courante (pourquoi mettre systématiquement quatre pieds aux tables, alors qu on sait pertinemment que la patte surabondante doit être réglable!!). Dans notre cas des poutres, on trouve souvent des arbres de transmission reposant sur plus d appuis que nécessaires, ceci bien souvent dans un but de sécurité, ou de réduction des dimensions (réduction des portées) ou encore de modification du spectre des vibrations qui est lié à la longueur libre. Pour ce qui nous concerne, voici sur la Figure 3.3 deux exemples de problèmes de poutres hyperstatiques d ordre 1, la liaison surabondante est représentée en pointillés. Figure 3.3: Problèmes hyperstatiques d ordre 1 : exemple 1 (a) et exemple 2 (b). Considérons par exemple le cas de la Figure 3.3-(a). Si on veut caractériser l équilibre statique global de la poutre, on a à disposition les équations de la statique, et comme

81 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 73 inconnues les efforts appliqués sur la poutre : bilan des efforts donnés en C et en E : 0 { τ F C } F ext S = (C) 0 (C) { τ F E ext S }(E) = 0 F 0 (E) bilan des efforts de réaction aux appuis en M i où M i = {A, B, D} : 0 { τ R i } R i réact S = (M i ) 0 (M i ) Les réactions constituent donc les inconnues, et sont donc au nombre de 3. Pour résoudre le problème, on dispose des équations de la statique qui caractérisent l équilibre extérieur : forces : 0 F ext S = = 0 R A F + R D F + R B moments : M( F ext S,P) = M P + { P M τ F M ext S avec {M, P } }(P ) {A, B, C, D, E} et M P. Quelque soit le choix de M et P pour calculer les moments, on a toujours une seule équation. Au final, on a donc 2 relations pour 3 inconnues. Il faut trouver une équation supplémentaire pour caractériser la solution de l équilibre extérieur. C est à ce niveau que les théorèmes énergétiques peuvent être utilisés idéalement, comme nous le verrons ci-dessous. Lorsque cette équation supplémentaire est trouvée, il suffit alors d exprimer les moments de flexion, puis la flèche par intégration de la ligne élastique par exemple. On peut toutefois remarquer que si l équilibre extérieur ne peut être caractérisé pour ces cas hyperstatiques, en revanche l équilibre intérieur peut être vérifié. Par exemple, la résolution de l exemple 2 (Figure 3.3) est possible à partir des équations d équilibre intérieur, en recourant aux quatre équations de discontinuité qui permettent de déterminer quatre des huit constantes résultant de l intégration des deux équations différentielles du quatrième ordre pour les deux zones. Les constantes restantes étant déterminées par les 2 conditions cinématiques et statiques aux bords de la poutre, soit 4 conditions : 0 < x l 2 v(x) = F ( ) 11 x 3 3lx 2 32 EI 3 v(x) = l < x l 2 F ( 5 x3 8 EI ) lx2 l 2 x + l3 4 6

82 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme Résolution des systèmes hyperstatiques La résolution des systèmes hyperstatiques est comparable à la résolution d un système isostatique lorsque le nombre d équations suffisant est explicité, voir Tableau 3.2. On a deux moyens de déterminer ces équations supplémentaires qui sont les théorèmes énergétiques, et le principe de superposition lui-même. système ISOSTATIQUE résolution complète système HYPERSTATIQUE résolution complète - équilibre intérieur M(x) et v(x) - équilibre intérieur + éq. de (dis)continuité limitée et fastidieuse M(x) et v(x) - équilibre global M(x) intégration v(x) - équilibre global IMPOSSIBLE souvent PLUS RAPIDE + th. énergétique ou superposition } {{ } M(x) intégration v(x) une donnée théorème énergétique - RAPIDE une donnée théorème énergétique Table 3.2: Synthèse de la résolution d un problème de poutre en flexion Principe de superposition Dans notre cadre linéaire (HPP et élasticité linéaire), le problème hyperstatique peut être décomposé en problèmes isostatiques dont les solutions sont connues. Ensuite, par application du principe de superposition, la flèche du problème initial est déterminée. Dans le cas de l exemple 1, présenté sur la Figure 3.3-(a), on superpose une poutre soumise à de la flexion quatre points (Figure 3.4-1), et la même poutre en flexion trois points soumise à un effort central d intensité (Figure 3.4-2) R D égal à la réaction produite par l appui central du problème initial. La flèche totale étant la superposition de ces deux problèmes, le déplacement au centre doit être nul pour satisfaire la condition cinématique imposée par l appui central. Cette condition conduit finalement à une relation permettant de déterminer l effort de réaction, et donc par suite d expliciter les moments et donc les flèches : v(x = l 2 ) = v 11 F l3 D = v D1 + v D2 = 384 EI + R D l 3 48 EI = 0 R D = 11 F 8 Pour l exemple 2 le même type de décomposition peut être utilisé (Figure 3.5). L effort de réaction est déterminé de façon similaire à l exemple 1 :

83 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 75 Figure 3.4: Décomposition de l exemple 1 en problèmes isostatiques de solution connue. v(x = l) = v B = v B1 + v B2 = 5 F l3 48 EI + R B l 3 3 EI = 0 R B = 5 F 16 (3.7) Figure 3.5: Décomposition de l exemple 2 en problèmes isostatiques de solution connue.

84 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme Théorème de Ménabréa Un des inconvénients majeurs de cette technique de superposition est la connaissance des problèmes isostatiques simples. Il existe, avec les théorème énergétiques, un moyen plus rapide de déterminer une de ces informations sans connaître la solution des problèmes fictifs introduits. Dans le cas des appuis par exemple, le théorème de Ménabréa est commode à utiliser. Il s agit simplement d un cas particulier du théorème de Castigliano où le déplacement déduit de la minimisation de l énergie déformation est nul car cette minimisation a lieu par rapport à des efforts de réaction dont le travail est nul dans le déplacement réel cinématiquement admissible. Ces efforts de réaction étant considérés comme un chargement extérieur à part entière. L énoncé du théorème de Ménabréa est le suivant : soit un système hyperstatique (S) et un système isostatique associé (S 0 ). Considérons le système isostatique (S 0 ) soumis aux charges données F i et aux réactions hyperstatiques R j. L état d équilibre des deux systèmes étant identique : W (S) = W (S 0 ) = f(f i, R j ) Aux points d appui on a donc, d après Castigliano : W S0 (F i, R j )) R j = 0 Ce qui nous fournit autant d équations supplémentaires que d inconnues hyperstatiques. Dans le cas de l exemple 2 représenté sur la Figure 3.3-(b), le système isostatique associé est obtenu en remplaçant l appui terminal par un effort de réaction R B pris positif, de façon similaire au principe de superposition schématisé sur la Figure 3.5. Mais ici les deux efforts F et R B sont appliqués dans le même temps. L énergie de déformation se calcule alors à partir des moments de flexion exprimés dans les deux zones de la poutre à partir de ces deux efforts : 0 R B zone 1 : l 2 < x l {τ ext 1} (M) = (l x)r B 0 R B F zone 2 : 0 x < l {τ 2 ext 2} (M) = (M) (l x)r B ( l 2 x) F (M) L énergie de déformation peut être calculée, et la minimisation de cette énergie par rapport

85 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 77 à l effort de réaction nous fournit l expression de cette réaction : W S0 (F, R B ) = W S0 (F, R B ) = 0 = 1 R B EI R B = 5F 16 l [ ( ) ] l (l x)r B 2 EI 0 2 x F dx + 1 l [(l x)r B ] 2 dx 2 EI l 2 l 0 (l x) 2 R B dx 1 EI l 2 0 (l x)( l x)f dx 2 ce qui, fort heureusement, correspond bien au résultat obtenu par le principe de superposition (Eq. 3.7).

86 4. Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques Sommaire 4.1 Flambage des poutres droites Équations non-linéaires de la statique des poutres droites Application à une poutre droite Extension aux calculs numériques Modes et fréquences propres de vibration en flexion dans les poutres droites Introduction Équations de la dynamique des poutres droites à plan moyen Vibrations libres - application à la flexion simple Vibrations libres - calculs numériques Extension : réponse post-bifurquée d une poutre Poutre homogène Poutre sur fondation élastique à deux paramètres

87 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques Flambage des poutres droites Introduction générale En Résistance des Matériaux "classique", il n existe pas de couplage entre les comportements en tension, flexion ou encore torsion. Cette hypothèse, qui peut sembler très restrictive, permet de résoudre un très grand nombre de cas concrets de structures génériques supportant des charges de fonctionnement courantes. On peut, pourtant, dans certains cas vouloir dimensionner des structures contre des comportements non-linéaires d une point de vue géométrique. Par exemple, une surcharge rencontrée ponctuellement (séisme, accident,..) ne devra pas générer des distorsions géométriques susceptibles d altérer la géométrie et donc les propriétés de la structure, de telle sorte que le fonctionnement normal sera assuré pour la durée de vie prévue. Ces distorsions peuvent par exemple être générées, pour des poutres, par une flèche trop importante qui engendrerait de la torsion appelée déversement. Pour illustrer ces phénomènes, nous nous concentrerons sur un type de non-linéarité géométrique, le flambage qui apparaît sous un chargement de compression axiale pour une poutre ou dans le plan pour une plaque. Lorsque ce chargement déstabilisant augmente et atteint une valeur dite critique, le comportement va alors devenir instable. Le phénomène de flambage va apparaître, caractérisé par le passage d un état où règne principalement de la compression (terme de membrane), à une configuration où la flexion est prépondérante (courbure). Il existe de nombreux exemples de comportements de type flambage, et l étude de ces phénomènes instables donne lieu à de nombreuses études tant analytiques que numériques ou expérimentales. On peut noter que les études analytiques s appuient sur des outils mathématiques trés pointus qui permettent par exemple de prévoir le comportement post-bifurqué des structures simples, c est-à-dire la (non)stabilité qui caractérise le comportement après l apparition du flambage. À titre d illustration, on peut voir sur la Figure 4.1 le mode (la déformée) de flambage d origine thermique d un rail soumis à un gradient de température élevé (-40 ;40 C dans les pays nordiques) et le mode de flambage d un cylindre en compression axiale. Ces 2 structures représentent 2 grands types de comportement qui sont respectivement sur-critiques, où la structure est encore susceptible de supporter le chargement imposé, et sous-critique où la ruine de la structure survient dès que l instabilité se produit. Le phénomène de flambage Le cas typique de la règle que l on comprime illustre parfaitement le phénomène de flambage (voir Figure 4.2 page 81 et Figure 4.3 page 83). Pour appréhender ce comportement, traçons l évolution de la flèche au centre de cette poutre en fonction du chargement

88 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 80 (a) (b) Figure 4.1: (a) Flambage d origine thermique d un rail,(b) flambage en compression axiale d un cylindre isotrope (Figure 4.2). On constate que dans la première partie du chargement, en l absence de défaut géométrique, avant le point de bifurcation le chargement augmente sans donner lieu à de la flexion. La poutre est en compression et subit un raccourcissement proportionnel au chargement ( l l = F ES ). Lorsque la charge imposée atteint la charge critique F c, la flexion apparaît et la flèche tend vers l infini sans accroissement de l effort. En réalité, cette flèche est limitée car la réponse complète charge-déplacement est de type parabolique (Figure 4.2). D un point de vue pratique, la rupture de la poutre intervient lorsque la limite à rupture du matériau est dépassée. C est donc la caractérisation de cet effort critique qui est primordiale, car l apparition de l instabilité est généralement associée à un état instable. Ceci est d autant plus vrai dans les cas d instabilités sous-critiques rencontrés dans les problèmes de type coque, où le point de bifurcation correspond à l effondrement de la structure (cf boîte métallique de boisson, ou Figure 4.1-b). De plus on voit qu en présence de défauts (Figure 4.2), la charge à laquelle apparaît l instabilité diminue. Donc la réponse de la structure réelle sera majorée par cette force critiques. L influence des défauts peut engendrer des baisses trés importantes, jusqu à % de la charge critique. Le dimensionnement des structures vis-à-vis du flambage est une problème extrêmement délicat, du fait de la nature instable de ce phénomène, ce qui en fait un des principaux facteurs de dimensionnement.

89 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 81 (a) (b) Figure 4.2: Poutre libre-libre en compression : (a) montage de flambage rotulé, (b) réponse charge-déplacement vertical : réponse fondamentale et en présence d imperfections géométriques Équations non-linéaires de la statique des poutres droites Nous nous intéresserons ici plus particulièrement à la caractérisation analytique du flambage des poutres droites à plan moyens chargées dans ce plan (en abrégé poutres droites à plan moyen). La théorie utilisée sera de type Bernoulli, i.e. ne prenant pas en compte le cisaillement qui est tout à fait négligeable ici. Nous verrons que les charges critiques et les modes de flambage dépendent à la fois des caractéristiques mécaniques (rigidité = module d Young E), géométriques (section S et moment quadratique par rapport à z, I) de la poutre, mais également des conditions aux limites du problème traité. Les principes exposés ici restent valables dans le cas de structures plus complexes, mais la détermination de la charge critique fait alors appel à des méthodes de résolution numériques.

90 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 82 Origine de la non-linéarité géométrique dans le cas du flambage Dans la formulation classique HPP, on considère que la géométrie initiale est confondue avec la géométrie finale, ce qui permet d écrire toutes les grandeurs dans un repère unique. Ceci est valable lorsque les déplacements, ou plus rigoureusement les déformations, restent infinitésimales. Lorsqu on passe en grandes déformations et/ou en grands déplacements, il faut prendre en compte la nouvelle géométrie et l actualiser. C est cette dépendance de la géométrie vis-à-vis des déplacements qui induit la non-linéarité géométrique. Numériquement, dans les codes de calculs par éléments finis par exemple, on résout le problème de manière incrémentale, en recalculant à chaque itération les positions de tous les points ( x i = x i 1 + u ( x i )). D un point de vue analytique, on essaie de linéariser le problème à résoudre. C est cette démarche que nous adoptons ici, en justifiant les hypothèses qui conduisent au problème linéaire associé. Dans le cas du flambage des structures, on se restreint à prendre en compte un seul terme non-linéaire, appelé rotations modérées, valable pour des rotations des sections < 10, c est-à-dire à mi-chemin entre les rotations infinitésimales et les grandes rotations. C est par ce terme que la déformation de membrane, classiquement reliée uniquement à la déformation due au déplacement u( x ), va dépendre également de la flèche v( x ). On montre qu en première approximation, le phénomène de flambage se produit à contrainte constante (Figure 4.2). En effet, pour une poutre inextensible sur appuis simples (poutre elastica, Euler 1745 ) un accroissement de l effort de 1 8 % correspond à l augmentation de l angle de rotation des sections de 0,01 rad (0, 57 ), cette rotation étant identique en tous points pour une courbure constante. On peut donc estimer que la détermination de la charge critique peut se faire à l aide d un modèle linéarisé dans lequel la contrainte axiale est supposée constante dans la poutre. Bien évidemment, la réponse lorsqu on s éloigne du point de bifurcation, doit être recherchée à l aide d un modèle plus raffiné. D un point de vue de la MMC, ce terme de rotation modérée est une des composantes de la partie non-linéaire du tenseur des déformations de Green-Lagrange, notée γ NL ( u ), que l on rappelle ci-dessous : γ( u ) = 1 2 ( u + t u ) u t u = ɛ( u ) + γ NL ( u ) (4.1) Déformation de membrane incluant les rotations modérées Nous avons vu dans le cadre de la statique que les équations des poutres quelconques peuvent se déduire, via le Principe des Puissances Virtuelles, de la formulation générale de l équilibre statique des milieux continus. Dans le cas qui nous intéresse ici, plutôt que de passer par les déformations des milieux continus, nous allons chercher la forme de la déformation de membrane qui permet de relier le raccourcissement de la poutre à

91 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 83 l état de flexion. C est par cette composante du tenseur des déformations, que le couplage tension-flexion est introduit dans le problème linéarisé. Considérons la poutre ci-dessous (Figure 4.3) en appui simple, soumise à un chargement de compression F. x en X = 0 et bloquée en translation le long de x en X = l. Un point situé à l abscisse X sera après flambage situé en x : Position initiale X = { X 0 } Position après flambage x = { X + u(x) v(x) } d x = dx = dx + du(x) dx dx dy = dv(x) dx dx Figure 4.3: Poutre sur appuis simples en compression Raccourcissement et déformation non-linéaire Le problème de flambage est intrinsèquement non-linéaire, mais de part la formulation adoptée, la non-linéarité va disparaître. En effet, conformément à la remarque sur la contrainte dans la poutre pour des charges proches de la charge critique, on considère que la contrainte dans la poutre ne varie pas le long de l axe de la poutre : le flambage se produit à contrainte, et donc déformation, constante. Cette hypothèse est vérifiée expérimentalement pour des structures élancées, c est-à-dire lorsque les effets de bords sont négligeables. Elle est intégrée dans la formulation choisie, c est elle qui permet de linéariser le problème. Le raccourcissement local correspondant à la déformation de membrane ɛ( x ) de la fibre moyenne s exprime en fonction des déplacements du point X intégrés le long de l abscisse (curviligne). Ce raccourcissement est dû pour une part à l effet du chargement de compression, et d autre part à l apparition de la flexion. On sait que le raccourcissement total de la poutre s écrit : δ = l 0 ds l 0 dx

92 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 84 en supposant que la déformation est constante dans la poutre, on peut exprimer la déformation moyenne, et donc la déformation locale : ɛ = δ l = l 0 l 0 ds dx 1 = ds dx 1 ce qui finalement conduit à l expression de la déformation locale. En utilisant les expressions des incréments dx et dy cette déformation de membrane s écrit : ɛ = ds ( ) dx 1 avec ds2 = dx 2 + dy 2 = dx 2 (1 + u ) 2 + v 2 Simplifications Finalement, l expression de la déformation est connue, et peut se simplifier en première approximation : ds dx = 1 + 2u + u 2 + v u + u 2 + v 2 2 On a donc l expression de la déformation. Des simplifications peuvent encore être faites en comparant les ordres de grandeurs des différents termes intervenant dans cette expression. En effet, l apparition du flambage induit des rotations des sections qui, bien qu étant faibles, sont plus grandes que le raccourcissement de membrane dû à la compression : u, v << 1 u << v ds dx 1 + u + v 2 2 ɛ = u + v 2 2 et θ tan θ = dy dx = v 1 + u v courbure dθ ds dθ dx = v Remarque on notera que cette expression peut être calculée à partir de l expression du tenseur des déformations non-linéaires des milieux continus (Eq.4.1) appliqué aux poutres, en prenant en compte les simplifications faites ci-dessus. Finalement, l énergie de déformation s écrit toujours de la même façon, mais avec une expression de la déformation de membrane qui dépend de la flèche ɛ(u, v ) : W int = 1 2 l 0 ( ESɛ 2 (u, v ) + EIv 2 ) ds (4.2)

93 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 85 Équations d équilibres En utilisant l expression de la déformation de membrane établie ci-dessus (ɛ = 2 u + v ), on peut déduire les équations d équilibre du problème en utilisant le Principe 2 des Puissances Virtuelles. On considérera ici le cas d une poutre sur laquelle le système d efforts appliqué se limite à un effort ponctuel de compression qui agit en x = l (Figure 4.4). Donc le travail virtuel des efforts extérieurs est Wext = F u (l). On introduit les notations classiques pour l effort normal (N(x) = ESɛ(x)) et le moment de flexion (M(x) = EI d2 v(x) ). Il faut noter que le terme de rotation modérée, introduit dans la déformation virtuelle, 2 prend en compte la non-linéarité du phénomène. La rotation virtuelle dx v est en effet en produit avec un terme représentant le moment induit par le décalage de l effort normal par rapport à la ligne moyenne de la poutre (Nv ) : l 0 ( ( ) ) N(x) u + v v + M z (x)v dx + F u (l) = 0, (u, v )C.A. après intégration par parties, on exprime tous les termes en fonction des déplacements virtuels : l 0 ( N (x)u (x) + { (N(x)v (x)) + M (x)} v (x)) dx+ [ Nu + Nv v + Mv M v ] l + F 0 u (l) = 0, (u, v )C.A. En choisissant judicieusement les champs virtuels, on arrive aux équations d équilibre intérieur suivantes, les équations aux bords étant fonction des conditions aux limites. Dans le cas traité ici, on a N(l) = F : Équilibre intérieur N (x) = 0 (N(x)v (x)) M (x) = 0 C.L cinématiques + statiques u = 0 ou N = 0(= N d ) x = (0, l) v = 0 ou M Nv = 0 v = 0 ou M = 0(= M d ) Application à une poutre droite Poutre droite sur appuis simples Nous étudions le cas de la poutre sur appuis simples présentée sur la Figure / Montrer que le système à résoudre s écrit (equation 4.3) : EI d4 v(x) dx 4 + F d2 v(x) dx 2 = 0 (4.3)

94 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 86 Figure 4.4: Poutre sur appuis simples en compression 2/ Donner les conditions aux limites correspondant au problème de la Figure / Montrer que le champ de déplacement solution s écrit, en posant k 2 = F EI v(x) = A + Bx + C cos kx + D sin kx 4/ Montrer que ce problème possède 2 solutions : une solution droite et une solution fléchie. 5/ Montrer que la pulsation de rang n solution est : k = nπ l, n Z 6/ Montrer que la charge critique et le déplacement solutions sont : F = EI ( nπ ) 2 l v(x) = D sin nπx l 7/ Tracer les courbes charge-déplacement ainsi que la déformée correspondant aux 3 premiers modes. Poutre droite encastrée-encastrée Nous étudions maintenant la même poutre, mais cette fois-ci les conditions aux limites sont de type encastré à ses 2 extrémités (Figure 4.5). On recherchera les solutions symétriques par rapport à x = l. 2 1/ Donner les conditions aux limites permettant de résoudre ce problème. Finalement, on constate que la charge critique de flambage dépend à la fois du matériau constitutif, mais aussi de la géométrie de la poutre. En effet, c est le rapport entre la rigidité de tension et la rigidité de flexion qui représente la capacité de la poutre à

95 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 87 Figure 4.5: Poutre droite encastrés-encastrée en compression supporter la compression directe sans fléchir, ce qu on caractérise par le rayon de giration q de la section : r = SI. On peut exprimer la solution pour le cas de la poutre homogène traité ci-dessus, en fonction des conditions cinématiques imposées aux limites de la poutre (Eq. 4.4). En effet, on peut constater expérimentalement que la charge évolue en fonction de ces conditions, comme illustré sur la figure 4.6. Figure 4.6: Illustration de la charge de flambe pour une même poutre possédant différentes conditions aux limites. Ainsi, la charge de flambage est connue en fonction du paramètre α qui prend en compte les conditions aux limites (Tableau 4.1). Ce qu on retrouve dans les expériences présentées sur la figure ci-dessus (Figure 4.6). Fc (α) = απ 2 EI L2 (4.4)