Notions élémentaires d algèbre et de trigonométrie 1M Renf. Jean-Philippe Javet

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1 Notions élémentaires d algèbre et de trigonométrie M Renf Jean-Philippe Javet La tablette d argile, nommée Plimpton 3, est une pièce archéologique bablonienne (env. 800 ans av. J.-C.) écrite en cunéiforme et traitant de mathématiques. Cette tablette comporte un tableau de nombres rangés sur 5 lignes par quatre colonnes. Il semble être une liste de triplets pthagoriciens, c est-à-dire de nombres entiers vérifiant la relation de Pthagore a + b = c, comme par eemple (3,4,5).

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3 Table des matières 0 Quelques éléments de logique (et de th. des ensembles) 0. Introduction, un peu d histoire Notion de proposition Opérations logiques Les quantificateurs Les objets du raisonnement Les méthodes de démonstration Les ensembles Relations et Opérations sur les ensembles Fonctions du er degré 3. Fonctions linéaires et affines Équations Inéquations Quelques applications ( re partie) Fonctions définies par morceau Quelques applications ( e partie) Fonctions du e degré 49. Paraboles Équations du e degré Factorisation par produits remarquables Factorisation du trinôme (méthode Somme-Produit) Factorisation du trinôme (méthode Tâtonnement) Factorisation du trinôme (méthode Compléter le carré) Factorisation à l aide de la formule Inéquations du e degré Équations du e degré maquillées Équations bicarrées Équations avec des racines carrées Quelques applications I

4 3 Fonctions polnômes 7 3. Définitions Fonctions du 3 e degré Équations du 3 e degré et plus Résolution par factorisation Résolution par produits remarquables Résolution par division de polnômes Tableau de signes et inéquations Fonctions rationnelles Définitions Les fractions rationnelles Simplification de fractions Multiplication et division de fractions Addition et soustraction de fractions Équations rationnelles Inéquations rationnelles Trigonométrie Triangle rectangle Résolutions de triangles Mesure des angles Conversion d angles Longueur d arc et aire d un secteur Le cercle trigonométrique Fonctions trigonométriques Graphes des fonctions trigonométriques Le triangle quelconque A Quelques éléments de solutions I A.0 Logique I A. Fonctions du er degré IX A. Fonctions du e degré XV A.3 Fonctions polnômes XXII A.4 Fonctions rationnelles XXVIII A.5 Trigonométrie XXXI Inde XXXVIII Le polcopié que vous avez entre les mains est très largement inspiré du manuel Notions élémentaires publié par la Comission Romande de Mathématique ainsi que du polcopié La logique et les ensembles proposé au Gmnase du Bugnon (Slvain Amaudruz). Que tous ces différents auteurs soient remerciés ici ;-) Malgré le soin apporté lors de sa conception, ce support de cours contient certainement quelques erreurs et quelques coquilles. Merci de participer à son amélioration en m envoant un mail à : [email protected]

5 Quelques éléments de logique (et de th. des ensembles) 0 0. Introduction, un peu d histoire Les maths peuvent être définies comme la science dans laquelle on ne sait jamais de quoi l on parle ni si ce que l on dit est vrai. Bertrand Russell Introduction: Aristote Dans l accomplissement de leur tâche, les travailleurs manuels se servent d outils. Il en va de même dans l activité intellectuelle. Pour élaborer leurs raisonnements, les scientifiques, notamment les mathématiciens, emploient un instrument particulier, le même dans toutes les disciplines : la logique. Chacun sait qu il a des raisonnements corrects et d autres qui ne le sont pas ; c est la logique qui permet d établir cette distinction. Les logiciens et les mathématiciens se sont efforcés, au cours des âges, de développer cet instrument de façon à lui donner la souplesse eigée par les multiples circonstances où il intervient et la simplicité indispensable à une technique aussi universelle. Nous nous contenterons ici d une approche purement informelle de la logique, aant pour principal but d introduire des termes et des smboles mathématiques utiles pour le cours de mathématiques que vous allez suivre durant vos études gmnasiales. Nous introduirons également les différents tpes de démonstration. Gottfried Wilhelm Leibniz Mathématicien allemand George Boole Mathématicien britannique Un des pères de la logique fut Aristote (384-3 Av. J-C). Son travail fut publié sous le titre ORGANON. Le philosophe allemand Kant a déclaré que la logique était sortie close et achevée (geschlossen und vollendet) de l esprit d Aristote. Quelques autres grands noms de la logique : Leibniz (646-76) qui mécanise la pensée à l aide de smboles et signes. C est le fondateur de la logique formelle. Boole (85-864) qui libère la logique de la philosophie et l ancre au mathématiques. Russell et Gödel ont au XX e siècle également travaillé sur les liens entre logique, mathématique et philosophie.

6 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eercice 0.: On attribue à Épiménide (VII e siècle av. J.-C.) le propos suivant : «Tous les Crétois sont des menteurs» Or celui-ci est Crétois... Qu en pensez-vous? 0. Notion de proposition Définition: Une proposition est un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté qu il est vrai ou fau. L adjectif vrai ou fau qui accompagne une proposition est appelé valeur de vérité de cette proposition. Ainsi, ce qui définit une proposition en logique n est pas son contenu, mais le fait que l on puisse lui attribuer une valeur de vérité selon les trois principes suivants : Une proposition ne peut prendre une valeur autre que vrai ou fau. (Principe du tiers-eclu) Une proposition ne peut être à la fois vraie ou fausse. (Principe de non-contradiction) Une proposition conserve sa valeur de vérité. (Principe d identité) Les propositions sont souvent désignées par des lettres en majuscule : P, Q, R, S,... Eemple : Parmi les énoncés ci-dessous, trouver ceu qui peuvent être considérés comme des propositions et déterminer leur valeur de vérité : a) La baleine est un mammifère. b) La source du Rhône est dans le canton de Vaud. c) Elle est très belle. d) Deu plus deu égalent quatre. e) Lève-toi! f) Le soleil tourne autour de la Terre. g) Cette phrase est fausse.

7 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 3 Eercice 0.: Parmi les énoncés ci-dessous, trouver ceu qui peuvent être considérés comme des propositions. Déterminer alors leur valeur de vérité. Dans le cas contraire, epliquer pourquoi. a) Paris est la capitale de la France. b) Pourvu que tu viennes demain. c) Catherine se demande quels livres elle va choisir. d) Le soleil se lève à l ouest. e) La planète Mars est habitée. f) As-tu lu ma conférence? g) (3 8) donne le même résultat que 3 8. h) Demain, il fera un temps orageu. Eercice 0.3: Mullah Nasreddin vivait à la cour du grand et terrifiant conquérant Tamerlan, et jouait le rôle difficile du fou. Un jour, ecédé par les propos trop injurieu du Mullah, Tamerlan le condamna à mort. Mais par admiration et smpathie pour la liberté de son esprit, il décida de lui laisser choisir sa mort. Il devait faire une courte déclaration. Si celle-ci est vraie, il sera pendu. Si elle est fausse, il sera décapité. Mullah Nasreddin parla et eut la vie sauve. Qu a-t-il dit? 0.3 Opérations logiques Des propositions nouvelles peuvent être construites à partir d autres propositions grâce au opérations logiques. Définition: Étant donné une proposition P, la négation de P, notée nonp, est une proposition qui a la valeur fau quand P est vraie et la valeur vrai quand P est fausse. On résume cela à l aide de la table de vérité : P V F nonp La négation de la négation d une proposition est la proposition ellemême.. Quelques infos sur ce personnage mthique : http ://fr.wikipedia.org/wiki/nasr_eddin_hodja

8 4 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eemple : Proposer la négation des propositions suivantes : a) Le réel π est strictement compris entre 3 et 4. b) Tous les carrés sont des rectangles. c) Il eiste un poisson qui peut voler. Définition: Étant donné deu propositions P et Q, la conjonction de P et Q, notée P et Q, est une proposition qui a la valeur vrai lorsque P et Q sont toutes deu vraies et la valeur fau dans les trois autres cas. On résume cela à l aide de la table de vérité : P Q P et Q V V V F F V F F Eemple 3: Considérons les propositions : P : Les baleines sont des mammifères. Q : Le soleil tourne autour de la terre. Donner la conjonction de P et Q ainsi que sa valeur de vérité. Définition: Étant donné deu propositions P et Q, la disjonction de P et Q, notée P ou Q, est une proposition qui a la valeur vrai si l une au moins des propositions P et Q est vraie et la valeur fau si elles sont toutes deu fausses. On résume cela à l aide de la table de vérité : P Q P ou Q V V V F F V F F La table de vérité met en évidence le fait que le mot ou en mathématiques est à considérer dans son sens non eclusif.

9 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 5 Eemple 4: Considérons les propositions : P : Les baleines sont des mammifères. Q : Le soleil tourne autour de la terre. Donner la disjonction de P et Q ainsi que sa valeur de vérité. Eercice 0.4: Malik possède les caractéristiques suivantes : il est écossais, ne joue pas du biniou, ne porte pas de jupe et fait du rugb Pour adhérer à un club de loisir masculin, chaque candidat devra remplir toutes les conditions ci-dessous : être écossais ou jouer du biniou faire du rugb et ne pas porter une jupe ne pas faire du rugb ou être écossais a) Malik pourra-t-il adhérer à ce club? b) Qu en est-il de son camarade Léo qui, même n étant pas écossais et ne portant pas de jupe, joue du biniou et pratique le rugb. Eercice 0.5: a) Énoncer la négation des propositions suivantes : A : Je parle français et anglais ; B : Je vais à Paris ou à Londres. b) Montrer en quoi la table de vérité suivante justifie la négation de la proposition A. P Q P et Q non(p et Q) nonp nonq (nonp ) ou (nonq) V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V c) Proposer la table de vérité justifiant la négation de la proposition B.

10 6 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Définition: Étant donné deu propositions P et Q, l implication de P vers Q, notée P Q, est une proposition qui a la valeur fau si P est vraie et Q est fausse, et qui est vrai dans les trois autres cas. On résume cela à l aide de la table de vérité : P Q P Q V V V F F V F F La table de vérité met en évidence un fait pouvant paraître étonnant : du fau peut découler n importe quoi. Observons ceci sur un eemple : En campagne électorale, un politicien fait la promesse : Si je suis élu, il aura une réduction d impôts. Supposons qu il n est pas élu et qu il n a pas de réduction d impôts. Peut-on alors l accuser d avoir menti? Intuitivement, on sait bien qu il n a pas menti, puisqu il n avait rien promis du tout dans le cas où il ne serait pas élu. Donc notre intuition nous dit que la phrase qu il a prononcée est vraie (sinon il aurait menti). Cette intuition est en accord avec la table de vérité de, puisque la phrase prononcée est une implication du tpe (F F), qui est Vraie selon la table. Eemple 5: Au sujet d un quadrilatère ABCD, former des implications vraies à partir des propositions suivantes : P : Le quadrilatère est un losange. Q : Le quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires. R : Le quadrilatère est un carré. S : Le quadrilatère a ses diagonales isométriques.

11 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 7 Remarques: La conditionnelle se formule aussi en mathématiques en emploant l epression si P, alors Q. Le logicien averti aura remarqué l ambiguïté de cette dernière définition... En effet, nous ne différencierons pas les notions de conditionnelle (codée par P Q) et d implication. Eemple 6: La phrase : est-elle vraie ou fausse? Si 3 = 6 alors + = 3 Étonnant: Du fau il peut en découler n importe quoi... Si et font 5, alors je suis le pape. En effet, si + = 5, on a 4 = 5. En soustraant par 3 chacun des membres de l égalité, on obtient =. Cela signifie ainsi que le pape et moi sommes un, donc que je suis le pape! Bertrand Arthur William Russell mathématicien britannique (87-970) Bertrand Russell Définition: L implication Q P est appelée la réciproque de l implication P Q. Eemple 7: Formuler les réciproques des conditionnelles et comparer leur valeur de vérité avec la conditionnelle de départ. a) = 6 = 3 b) Jean a gagné au loto Jean a joué au loto. Vous trouverez plus d info sur : http ://

12 8 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Constatations: Une implication et sa réciproque n ont pas nécessairement la même valeur de vérité. Définition: Étant donné deu propositions P et Q, l équivalence entre P et Q, notée P Q, est une proposition qui possède la valeur vrai si P et Q ont la même valeur et la valeur fau sinon. On résume cela à l aide de la table de vérité : P Q P Q V V V F F V F F Les tables de vérité de l eercice qui suit met en évidence le fait que l équivalence P Q revient à avoir conjointement les implications P Q et sa réciproque Q P. L équivalence se formule aussi en mathématiques en emploant différentes epressions : P si et seulement si Q, si P, alors Q, et réciproquement. Eemple 8: a) Les propositions ci-dessous sont-elles équivalentes? P : = 5 Q : = 5 b) Les propositions ci-dessous sont-elles équivalentes? P : Une des soeurs de Paul s appelle Juliette. Q : Un des frères de Juliette s appelle Paul. Eercice 0.6: À l aide de tables de vérité, montrer que : (P Q) et (Q P ) est équivalent à P Q

13 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 9 Eercice 0.7: Soit les paires de propositions suivantes : a) P : n est un multiple de ; Q : n est un multiple de 6. b) P : le triangle ABC est rectangle en C ; Q : C appartient au cercle de diamètre AB. c) Soit a, b et c des nombres entiers. P : a divise b ; Q : a divise b c. Évaluer P Q et Q P pour chacune des paires ci-dessus, puis préciser quand P est équivalent à Q. Définition: L implication nonq nonp est appelée la contraposée de l implication P Q. Eemple 9: Formuler la contraposée des implications et comparer la valeur de vérité avec l implication de départ : a) Fabienne est née à Lausanne Fabienne est née en Suisse. b) est divisible par est divisible par 4. Remarque: En comparant les valeur de vérité, nous pouvons observer sur l eemple ci-dessus la propriété suivante : (P Q) est équivalent à (nonq nonp) Ce principe porte le nom de contraposition, nous le justifierons et l utiliserons un peu plus loin dans ce polcopié (page 7). Eercice 0.8: Soit P, Q et R des propositions définies comme suit : P : J ai soif Q : Mon verre est vide R : Il est quatre heures Décrire les propositions suivantes à l aide de P, Q et R et des opérateurs logiques. a) J ai soif et mon verre n est pas vide. b) Il est quatre heures et j ai soif. c) Je n ai pas soif ou mon verre est vide. d) S il est quatre heures, alors j ai soif. e) Si j ai soif et que mon verre est vide, alors il est quatre heures. f) Si j ai soif, alors mon verre est vide ou il est quatre heures.

14 0 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eercice 0.9: Évaluer les propositions de l eercice précédent sachant que : a) Les propositions P et R sont vraies, la proposition Q est fausse. b) La proposition P est fausse, les propositions Q et R sont vraies. Eercice 0.0: Sur une île, il a deu sortes d habitants : les chevaliers qui disent toujours la vérité et les coquins qui disent toujours des mensonges. Soit A et B deu habitants de l île. a) A dit : Si je suis un chevalier, alors B aussi, peut-on déterminer les identités de A et de B? b) A dit : Si je suis un chevalier, alors + = 5, que conclure? c) A dit : Si je suis un chevalier, alors + = 4, que conclure? Eercice 0.: On suppose les deu propositions suivantes vraies : A : J aime Bett ou j aime Jane, B : Si j aime Bett, alors j aime Jane. Est-ce que j aime Bett? Est-ce que j aime Jane?! Eercice 0.:! Sachant que chacune des propositions suivantes est vraie, que peuton en déduire? P : De deu choses l une : ou bien le malfaiteur est venu ou bien le témoin s est trompé. P : Si le malfaiteur a un complice, alors il est venu en voiture. P 3 : Le malfaiteur n avait pas de complice et n avait pas de clé ou le malfaiteur avait un complice et avait la clé. P 4 : Le malfaiteur avait la clé. (Scénario de Lewis Carrol) Définition: Soit P et P deu propositions composées dont on a constitué leur table de vérité. Si leur dernière colonne est identique, on dit alors que ces propositions sont logiquement équivalentes et on note : P P

15 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eemple 0: Démontrer à l aide des tables de vérité la re loi de Morgan : non(p et Q) ((nonp) ou (nonq)) Augustus de Morgan mathématicien britannique (806-87) Eercice 0.3: Démontrer à l aide des tables de vérité : a) la e loi de Morgan : non(p ou Q) ((nonp) et (nonq)) b) la négation d une conditionnelle : non(p Q) (P et (nonq)) c) le principe de la contraposition : (P Q) (nonq nonp) Eercice 0.4: a) Démontrer les équivalences logiques suivantes : (P Q) ((nonp) ou Q) (P et Q) non((nonp ) ou (nonq)) b) Il est possible d effectuer ces démonstrations sans utiliser les tables de vérité. Saurez-vous trouver comment?

16 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Codage: Codage avec des connecteurs logiques : Il est fort probable que la prochaine fois que vous suivrez un cours de logique formelle après le gmnase, on vous introduira le codage suivant : La négation : La conjonction : La disjonction : Ainsi l équivalence suivante : non(p et Q) ((nonp) ou (nonq)) devient : (P Q) ( P Q) Eercice 0.5: Traduisez les 5 équivalences des deu eercices précédents en utilisant le codage défini ci-dessus. Eercice 0.6: a) Démontrer que : (P Q) (P ) (Q) b) Compléter alors : (P Q) Eercice 0.7: Soit les propositions suivantes : A: Si ABCD est un carré, alors ABCD est un rectangle. B : Si n premier, alors n = ou n est impair. C : Si n est divisible par 6, alors n est divisible par et par 3. D : Si le quadrilatère ABCD a des diagonales qui se coupent perpendiculairement en leur milieu, alors ABCD est un losange. Pour chacune de ces propositions, énoncer : a) la négation et évaluer-la ; b) la contraposée et évaluer-la ; c) la réciproque et évaluer-la.

17 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Les quantificateurs Définition: Le quantificateur eistentiel : Soit P () une proposition dépendant d un paramètre appartenant à un ensemble E. La proposition : E, P () se lit Il eiste un élément de E tel que P () est vraie ; signifie qu il eiste au moins un élément appartenant à l ensemble E tel que la proposition évaluée pour est vraie. Définition: Le quantificateur universel : Soit P () une proposition dépendant d un paramètre appartenant à un ensemble E. La proposition : E, P () se lit Quel que soit de E, P () est vraie ; signifie que la proposition évaluée en est vraie pour tout élément de l ensemble E. Eemple : Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes : a) Æ, + est un carré parfait b) Æ, ( + ) est un nombre entier pair Règles: Négations d une proposition quantifiée : (, P ()) (, P ()) (, P ()) (, P ()) Eemple : Proposer les négations des propositions de l eemple précédent puis déterminer leur valeur de vérité : a) Æ, + est un carré parfait b) Æ, ( + ) est un nombre entier pair

18 4 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eercice 0.8: En utilisant pour chat et P () pour la condition : a des moustaches, écrire les propositions suivantes à l aide de quantificateurs : a) Tous les chats ont des moustaches. b) Il eiste un chat sans moustaches. c) Il n eiste pas de chat sans moustaches. d) Aucun chat n est sans moustaches. Eercice 0.9: Évaluer les propositions : a), = 4. b), est un nombre entier et = 7. c), est un canton suisse et est bilingue. d), est un multiple de 3 et de 5 est un multiple de 0. e), est un être vivant mortel. f), Ê, ( + ) = + +. Eercice 0.0: Former la négation des propositions suivantes : a) Certains Lausannois parlent chinois. b) Les Lausannois savent lire. c) Tous les Lausannois ont des cheveu blonds ou des eu noirs. d) Un Lausannois a 0 ans et parle tibétain. e) Certains Lausannois parlent chinois ou le tibétain. f) Aucun poisson ne respire avec des poumons. Eercice 0.: Les données de cet eercice se trouvent sur le site : puis en sélectionnant le niveau : M renf.

19 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Les objets du raisonnement C est avec la logique que nous prouvons et avec l intuition que nous trouvons. Henri Poincaré Le trait spécifique des mathématiques, par rapport au autres sciences est d être une science déductive. Plus précisément, une fois élaborée toute théorie mathématique comportera nécessairement : Des objets fondamentau: Des aiomes: Ce sont des objets primitifs, intuitivement évidents, qui ne sont rattachés à aucune notion antérieure. De ce fait, on ne peut malheureusement pas en donner une définition rigoureuse. a) En géométrie : les points, les droites, les plans, l espace. b) En algèbre : les nombres entiers. Ce sont des propriétés élémentaires considérées comme vraies sans aucune justification. a) En géométrie : par deu points distincts passe une droite et une seule. b) En algèbre : sur les nombres entiers : tout nombre X admet un successeur noté succ(x) Des théorèmes: Des conjectures: Ce sont des résultats nouveau que l on établit par un procédé appelé preuve ou démonstration. La démarche est toujours la même : on part d une proposition appelée hpothèse, puis en appliquant les règles de la logique et les faits antérieurement admis (aiomes et théorèmes), on cherche par une suite de déductions, à aboutir à une nouvelle proposition appelée conclusion. a) En géométrie : si deu droites d et d sont perpendiculaires à une troisième droite d, alors ces deu droites sont parallèles. b) En algèbre : la somme de deu nombres entiers consécutifs est impaire. Une conjecture est une proposition qui a été proposée comme vraie, mais que personne n a encore pu ni démontrer ni réfuter. La conjecture de Goldbach : Tout nombre entier pair strictement supérieur à peut être écrit comme la somme de deu nombres premiers 8 = 8 = Lettre de Christian Goldbach à Léonard Euler (74) lui présentant sa conjecture

20 6 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eemple 3: Dans l énoncé du théorème suivant, identifier clairement les hpothèses et la conclusion : Le quotient de nombres rationnels quelconque est un nombre rationnel. Eercice 0.: Dans l énoncé des théorèmes suivants, identifier clairement les hpothèses et la conclusion : a) La somme des angles d un triangle vaut 80 b) Deu triangles qui ont respectivement un angle et les côtés adjacents isométriques sont isométriques. c) Pour qu un nombre soit divisible par 3, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit un multiple de 3. d) Tout nombre impair peut s écrire comme le double d un entier, augmenté d une unité. 0.6 Les méthodes de démonstration Méthode directe: Eemple 4: Pour montrer qu une implication P Q est vraie à l aide de la méthode directe, on suppose que la proposition P est vraie et on démontre que la proposition Q est également vraie. Prouver que le produit de nombres impairs est impair.

21 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 7 Eercice 0.3: Démontrer à l aide la méthode directe, les propositions suivantes : a) Si on double les dimensions d un rectangle, alors on double son périmètre. b) La somme de deu nombres impairs est paire. Comme souvent dans la vie, la méthode directe n est pas toujours recommandée. Il faut utiliser une méthode indirecte. L une d entre elles se fonde sur le principe de la contraposition. Méthode par contraposée: Pour montrer qu une implication P Q est vraie à l aide de la méthode par contraposée, on suppose que la proposition Q est vraie et on démontre que la proposition P est aussi vraie : ( Q P ) (P Q) Eemple 5: Soit n un nombre entier. Montrer que si n est pair, alors n est pair. Eercice 0.4: Formuler la contraposée des propositions suivantes : a) Si le produit de deu nombres réels positifs est supérieur à 00, alors au moins l un des deu nombres est supérieur à 0. b) Si n est un nombre premier différent de, alors il est impair. c) m, n, si m + n est pair, alors m et n sont tous les deu pairs ou tous les deu impairs.

22 8 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eercice 0.5: Démontrer, à l aide de la méthode par contraposée, les 3 propositions de l eercice précédent. Eercice 0.6: Démontrer les théorèmes suivant en appliquant soit la méthode directe, soit la méthode par contraposée : a) Si 3n + est impair alors n est impair. b) La somme de nombres rationnels est rationnelle. Une autre forme de méthode indirecte est la méthode de réduction à l absurde. Celle-ci se fonde sur le principe de non-contradiction. Méthode par l absurde: Eemple 6: Pour montrer H C, on suppose H vraie et C fausse. On cherche, en cours de raisonnement un résultat qui soit contradictoire et donc contredisant H vraie C fausse. Démontrer que est irrationnel.

23 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 9 Cette dernière démonstration est considérée comme le premier raisonnement par l absurde de l histoire des mathématiques 3. Eercice 0.7: Démontrer par l absurde, les propositions suivantes : a) La somme d un rationnel et d un irrationnel est irrationnelle. b) Un triangle dont les côtés mesurent 0 cm, cm et cm n est pas rectangle. Contre-eemple: Eemple 7: Pour démontrer qu une proposition est fausse, on utilise la méthode du contre-eemple : il suffit de trouver un seul eemple, dans lequel la proposition n est pas vérifiée, permettant de conclure que celle-ci est fausse dans le cas général. Est-il vrai qu un quadrilatère formé par quatre côtés isométriques est un carré? Eercice 0.8: Réfuter à l aide d un contre-eemple, les propositions suivantes : a) Si a et b sont deu nombres quelconques et que a < b, alors a < b. b) Deu triangles sont isométriques s ils possèdent deu paires de côtés isométriques et un angle égal. c) Si un nombre entier est divisible par 4, il est aussi divisible par. Disjonction des cas: Pour montrer qu une proposition P Q est vraie à l aide de la méthode par disjonction des cas, on distingue tous les cas de la proposition P : P,... P k et on démontre chaque implication : P Q,..., P k Q 3. La découverte de l eistence des nombres irrationnels, mettant en péril la base de la philosophie Pthagoricienne, devait absolument rester secrète. On raconte que le premier Pthagoricien, qui a révélé ce secret, Hippase de Métaponte (vers 500 av. J.-C) fut eclu de l école, et on lui érigea un tombeau pour signifier qu il était comme mort pour les autres Pthagoriciens. Des auteurs rapportent qu il se serait jeté dans la mer pour se punir, ou même qu il fut jeté à la mer par ses condisciples.

24 0 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eemple 8: Pour tout entier n, n(n + ) est entier. Eercice 0.9: Démontrer à l aide de la méthode par disjonction des cas, les propositions suivantes : a) Pour tout entier n, n + n est pair. b) Pour tout entier a, 4 ne divise pas a. Méthode par récurrence: n Æ, nous désirons démontrer la formule : n = n(n + ) Sous cette formule se cache en réalité une infinité de propositions : une pour chaque valeur de n. si n = : = si n = : + = si n = 3 : = si n = 4 : =.. Le problème qui se pose est le suivant comment, avec un nombre fini d étapes, peut-on démontrer une infinité de résultats? La réponse à cette question est précisément la méthode du raisonnement par récurrence (ou induction), dont voici la description :

25 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Soit P (n) une proposition dépendant de la variable entière n et n 0 un entier. Pour démontrer que P (n) est vraie n n 0, on effectue les étapes suivantes : Initialisation : on démontre que P (n 0 ) est vraie, Hérédité : on suppose que P (n) est vraie n n 0 et on démontre que P (n + ) est aussi vraie. Si on arrive à faire tomber le premier domino, autrement dit P() est vraie et si, peu importe quand le n e domino est poussé, il fait tomber le (n + ) e domino c est-à-dire P(n) P(n + ) est vraie, alors tous les dominos peuvent tomber les uns après les autres. Eemple 9: Montrer que n = n(n + ), n Æ.

26 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eercice 0.30: Démontrer à l aide de la méthode du raisonnement par récurrence, les propositions suivantes, où n Æ : a) n n(n + )(n + ) =. 6 b) 8 n est divisible par 7. Eercice 0.3: Déceler l erreur commise dans la démonstration suivante : 6 n + est un multiple de 5, pour tout entier naturel non nul. Preuve : Supposons par récurrence que 6 n + est un multiple de 5, pour tout entier naturel non nul. Alors k tel que 6n + = 5k. Mais : 6 n+ + = 6 6 n + = 6(6 n + ) 5 = 6 5k 5 = 5(6k ) On en déduit donc que 6 n+ + est un multiple de 5. Pause sourire: Plus il a de gruère, plus il a de trous. Et plus il a de trous, moins il a de gruère. Donc, plus il a de gruère, moins il a de gruère!

27 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Les ensembles Dieu fit le nombre entier, le reste est l œuvre de l homme. Léopold Kronecker Introduction: Définition: Giuseppe Peano (858-93) Notation énumérative: Notation par propriété caractéristique : Cette dernière partie ne fait pas eplicitement partie de ce que l on appelle la logique formelle. Néanmoins, elle peut lui être associée dans les définitions des objets que l on manipule. On profitera de rappeler les différents ensembles de nombres déjà croisés ainsi que la signification des signes :, /,,,,. Nous profiterons également de rappeler le codage des ensembles de nombres. Une collection d objets est un ensemble lorsqu on peut dire avec certitude si un objet appartient ou n appartient pas à cette collection. Un élément d un ensemble désignera l un de ces objets. Il figurera au maimum une fois dans celui-ci. Généralement, nous désignerons les ensembles par des lettres majuscules, et leurs éléments par des lettres minuscules. Pour eprimer que l élément e appartient à l ensemble E, on note e E. Dans le cas contraire, on note e / E. Ce signe a été introduit en 888 par le mathématicien italien Peano. Les ensembles peuvent être décrits de manière énumérative ou à l aide d une propriété caractéristique : Lorsqu un ensemble se compose d un petit nombre d éléments, on peut en dresser la liste. Par eemple : A = { ; 4 ; 7}. Lorsque la liste des éléments d un ensemble est clairement définie, on peut écrire les premiers éléments de la liste, suivis de trois points de suspension. Par eemple B = { ; 4 ; 6 ; 8 ;...}. Un ensemble A se définit souvent par rapport à un ensemble de référence E : les éléments de A sont alors ceu de E qui vérifient une condition P, appelée propriété caractéristique. La notation : A = { E P ()} se lit : A est l ensemble des éléments de E qui vérifient la propriété P.

28 4 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eemple 0: Soit E = {0 ; ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0}. Compléter : Notation par propriété caractéristique Notation énumérative A = { E < 4} A = B = B = { ; 3 ; 5 ; 7 ; 9} C = C = { ; 3 ; 4 ; 5} D = { E = 0} D = F = { E } F = Eercice 0.3: Écrire sous forme énumérative les ensembles suivants : A = ensemble des diviseurs de 48, B = ensemble des chiffres apparaissant dans le code décimal de 7, C = { Æ 68}, D = { Ê + = 6}, E = { Ê = n, n Æ, n 5}, F = { { ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} est premier est impair}. Eercice 0.33: Écrire sous forme de propriété caractéristique : A = { ; 3 ; 7 ; 9 ; 3 ; 9}, B = {a ; e ; i ; o ; u ; }, C = {0 ; 7 ; 4 ; ;...}, D = { 35 ; 34 ; 33 ;... ; ; 0}, E = { ; 5 ; 9 ; 3 ; 7 ;...}.

29 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 5 Définition: Il est souvent utile de représenter graphiquement les ensembles afin de mieu visualiser la situation. On utilise généralement les diagrammes de Venn, constitué par une ligne fermée sans recoupement (cercle, ovale, rectangle), à l intérieur de laquelle on écrit les éléments de l ensemble. Utilisons cette représentation pour visualiser les ensembles de nombres : L ensemble des nombres qui servent à dénombrer est appelé ensemble des nombres entiers naturels : John Venn mathématicien britannique (834-93) Æ = {0 ; ; ; 3 ; 4 ;...} L ensemble des nombres entiers qui sont positifs et négatifs est appelé ensemble des nombres entiers relatifs : = {... ; 3 ; ; ; 0 ; ; ; 3 ;...} L ensemble des nombres pouvant s écrire sous la forme d une fraction de nombres entiers relatifs est appelé ensemble des nombres rationnels : { } a É = b a,b, b 0 L ensemble des nombres pouvant être représentés par un développement décimal fini ou illimité (périodique ou non) est appelé ensemble des nombres réels : Ê.

30 6 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eercice 0.34: Établir un diagramme de Venn pour les ensembles Æ,, É, Ê et placer les nombres : a =, b = 3,0 c = 0 d = 7,84 e = 9 f = 5 g = π h = 0, i = 0.7. Relations et Opérations sur les ensembles Relations: Deu ensembles sont égau s ils ont les mêmes éléments. Si tous les éléments de l ensemble A sont également dans l ensemble B, on dit que A est un sous-ensemble de B, ou que A est inclus dans B. On note alors : A B Si A n est pas contenu dans B, on note A B A Opérations: B Soit A et B deu sous-ensembles d un ensemble E. La réunion de A et de B est le sous-ensemble formé des éléments qui appartiennent au moins à l un des deu ensembles A et B. On le note A B. A B E Formellement : A B = { E A ou B} A B L intersection de A et de B est le sous-ensemble formé des éléments qui appartiennent au deu ensembles A et B. On le note A B. A B E Formellement : A B = { E A et B} A B La différence de A et de B est le sous-ensemble formé des éléments qui appartiennent à l ensemble A, mais pas à l ensemble B. On le note A \ B A \ B E Formellement : A \ B = { E A et / B}

31 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 7 A B Le complémentaire de A dans E est le sous-ensemble formé des éléments qui n appartiennent pas à l ensemble A. On le note A A E Formellement : A = { E / A} Eemple : Soit A = { ; ; 3 ; 7} et B = { ; 3 ; 5 ; 6 ; 8}. Déterminer les ensembles : A B = A B = A \ B = B \ A = (A \ B) (B \ A) = Eemple : Étant donné 3 ensembles non disjoints, hachurer l ensemble : A (B C) A B C E Eemple 3: Coder au moen du langage des ensembles la région grisée : A B C E

32 8 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eercice 0.35: Représenter les ensembles suivants dans un diagramme de Venn : A = { est un carré} C = { est un trapèze} E = { est un rectangle} B = { est un parallélogramme} D = { est un losange} F = { est un quadrilatère} Eercice 0.36: On donne les ensembles A = {0 ; 6 ; 7 ; 8}, B = { ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7} et C = {0 ; ; 8 ; 9 ; 0}. Écrire en notation énumérative les ensembles : a) (A B) A b) A (B C) c) (A B) (B C) d) (C \ B) \ A Eercice 0.37: Hachurer les ensembles donnés : A B A B C E C E a) (A B) C b) (B C) \ A A B A B C E C E c) A B C d) A B C Eercice 0.38: Mettre des parenthèses dans les epressions ci-dessous afin qu elles représentent la région grisée : A B A B C E C E a) A \ B C \ A b) A B C

33 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 9 Définition: Soit a et b Ê tels que a < b, on défini et on note : a ; b = { Ê a b} intervalle fermé a b a ; b = { Ê a < < b} intervalle ouvert a b a ; b = { Ê a < b} a b a ; + = { Ê a} a ; b = { Ê < b} b Eemple 4: Déterminer ; 6 ; 9 puis Ê \ ( ; 6 ; 9 ) Eercice 0.39: Écrire l ensemble ; 5 ; + comme le complémentaire d un intervalle. Eercice 0.40: On donne trois intervalles I, J et K de Ê. Déterminer I J, I K, I \ (J K), (I \ J) (I \ K) dans les cas suivants : a) I = 3 ; 4 J = ; 0 K = 5 ; 3 b) I = 4 ; J = ; 3 K = 3 ; c) I = 5 ; 3 J = ; 5 K = 3 ; 4

34 30 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES)

35 Fonctions du er degré. Fonctions linéaires et affines Définition: La fonction définie par f() = m + h est appelée fonction affine. Son graphe est une droite qui passe par le point H(0; h), h étant l ordonnée à l origine et m sa pente. La fonction définie par f() = m est appelée fonction linéaire. Son graphe est une droite qui passe par l origine et dont la pente vaut m. f () = + f () = 3 Les fonctions linéaires sont des cas particuliers de fonctions affines admettant une ordonnée à l origine de h = 0. Eercice.: Tracer les graphes de ces fonctions dans un même sstème d aes f () = 3 + et g () = 3 Eercice.: 4 A On considère la fonction f () = 3 + esquissée ci-contre. 5 Compléter les coordonnées des points A ( ;?) et B ( )? ; 3 0. B 3

36 3 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ a b A a Rappel: B m b La pente d une droite est le rapport m = où est la différence de hauteur entre points situés sur la droite et leur écart horizontal. Pour trouver la pente m d une droite dessinée, on choisit deu points A (a ; a ) et B (b ; b ), on eprime alors le vecteur AB # : ( # b a AB = b a ). Finalement, m = = b a b a Eemple : Déterminer la pente de la droite représentée ci-contre puis en déduire l epression de la fonction Eercice.3: Estimer les pentes des si droites représentées ci-dessous 4 3 d d 3 d d 5 d 4 d Eercice.4: Représenter les graphes des fonctions affines f telles que : a) f( ) = et la pente du graphe de f vaut b) g(0) = et la pente du graphe de g vaut 3 c) h() = 0 et la pente du graphe de h vaut 3 5 d) j(4) = 5 et la pente du graphe de j vaut 0

37 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 33 Eemple : Représenter la fonction f () = + à l aide de deu points. Eemple 3: Représenter la fonction f () = à l aide de la pente et de 3 l ordonnée à l origine. Eercice.5: En utilisant la pente et l ordonnée à l origine, tracer les graphes de ces fonctions dans un même sstème d aes f () = et g () = Eercice.6: Déterminer la fonction g dont le graphe est la droite qui passe par le point B( ; ) et qui est parallèle au graphe de la fonction f donnée par f() = +

38 34 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ Eemple 4: Déterminer les fonctions f et g représentées ci-contre puis en déduire les solutions de l équation et de l inéquation suivante : f() = g() g() 0 f() < g() f g Eercice.7: Tracer les graphes de ces fonctions dans un même sstème d aes f () = + 6 et g () = 3 Résoudre ensuite les équations et inéquations suivantes : a) f () = 0 b) f () = g () c) f () = d) f () < 0 e) f () > g () f) f () Eemple 5: a) Déterminer la fonction affine de pente m = et dont le graphe 5 passe par le point P ( ; 3). b) Déterminer la fonction affine dont le graphe passe par les points A( ; 3) et B( ; 4).

39 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 35 Eercice.8: a) Trouver la fonction affine dont le graphe passe par les points A(7 ; ) et B( 3 ; ). b) Trouver la fonction affine dont le graphe coupe l ae O en I( 5; 0) et dont la pente vaut 5 8. c) Trouver la fonction affine telle que f() = 5 et dont le graphe passe par le point A(5 ; 5). d) Trouver l abscisse du point C( ; 0) sachant que les points A( ; ), B(3 ; ) et C sont alignés.. Équations Pour trouver le point d intersection I des graphes de deu fonctions f et g, on est amené à résoudre l équation f() = g() Eemple 6: Les graphes des fonctions f et g données par f() = + 3 et g() = + se coupent en un point I. Déterminer ses coordonnées. Eercice.9: Déterminer algébriquement les coordonnées du point d intersection du graphe des deu fonctions f et g : a) f() = + et g() = b) f() = 3 + et g() = ( 3) 3 c) f() = (3 5) et g() = (5 8) 3 4 d) f() = 6 et g() = ( 3) e) Justifier graphiquement les solutions obtenues dans les deu derniers cas. Eercice.0: Résoudre les équations suivantes : a) = b) = ( + 4) c) + 5 = (7 4) d) (8 + ) = + 4 e) t 5 3 = t f) 3 4 = 3

40 36 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ Eercice.: On considère la figure suivante : 4 3 I a) Calculer les coordonnées du point d intersection I des deu droites dessinées ci-dessus. b) Trouver la fonction f dont le graphe est une droite qui passe par l origine et par le point I. c) Trouver la fonction g dont le graphe est une droite parallèle au graphe de f et qui passe par le point P ( ; ). Eercice.: Les trois droites a, b et c se coupent-elles en un point ou formentelles un triangle? b 3 c a Eercice.3: On considère la fonction donnée par f a () = a + a (a Ê) a) Représenter le graphe de f a pour quelques valeurs de a. b) Pour quelle valeur de a Ê, le graphe de f a passe-t-il par le point A(3 ; 8)? c) Vérifier, que pour toute valeur de a, le graphe de f a passe par un même point B dont on donnera les coordonnées.

41 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 37.3 Inéquations Pour résoudre l inéquation a + b > 0 ou a + b 0 ou..., on peut observer le graphe de la fonction donnée par f() = a + b. On pourra également, comme le montre l eemple ci-dessous, la résoudre algébriquement. Eemple 7: Résoudre graphiquement puis algébriquement l inéquation + > 0 Eemple 8: Résoudre l inéquation > 0 Constatations: La résolution d une inéquation du er degré est analogue à celle d une équation du er degré, cependant il faut changer le sens de l inégalité lorsque l on multiplie ou divise les deu membres par un nombre négatif. On peut observer ceci sur la droite réelle : b a 0 a b Ê a < b a > b

42 38 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ Eercice.4: On considère les fonctions f() = et g() = a) Représenter ci-dessous le graphe de ces deu fonctions b) En déduire graphiquement la solution de l inéquation : f() g() c) Résoudre algébriquement cette même inéquation. Eercice.5: Résoudre les inéquations suivantes : a) 5 b) 4 5 < + 5 c) (7 ) 8 0 d) 3 (8 + ) 3 > 4 f) e) > Eemple 9: Résoudre le sstème d inéquations : Eercice.6: Résoudre les sstèmes d inéquations suivantes : 3 < a) b) + 4 <

43 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 39.4 Quelques applications ( re partie) Eercice.7: Eercice.8: Eercice.9: Eercice.0: La vitesse v (en mètres par seconde) d un objet en chute libre est donnée par la relation v(t) = 9,8 t + v 0 où v 0 est la vitesse initiale et t le temps (en secondes). a) Eprimer le temps en fonction de la vitesse. b) Quelle est la vitesse de l objet en t = 4 s sachant qu au temps t = s sa vitesse était de m/s. Une barre métallique mesure 45 cm à une température de 5 C et 45, cm à une température de 5. En admettant que l allongement de la barre est proportionnel à l élévation de la température, on demande : a) La longueur de la barre à une température de 60 C. b) La température à laquelle la barre mesure 44,7 cm. La relation entre la température c sur l échelle Celsius et la température f sur l échelle Fahrenheit est donnée par c = 5 (f 3). 9 a) Donner la température qui s eprime par le même nombre dans les deu échelles. b) Pour quelle température le nombre lu sur l échelle de Fahrenheit est-il le double du nombre lu sur l échelle de Celcius? Un père défie son fils au 00 m et lui laisse un certain nombre de mètres d avance. Les graphes simplifiés de cette course sont donnés ci-dessous. 00 distance [m] fils père temps[s] a) Combien de mètres d avance le père laisse-t-il au fils? b) Qui a gagné? Avec combien de secondes d avance? c) Quelle distance les sépare lorsque le vainqueur franchit la ligne d arrivée? d) Quelle est la vitesse du père, celle du fils? e) Le père et le fils ont-ils été côte à côte? Si oui, quelle distance avait parcourue le père?

44 40 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ Eemple 0: Une autoroute de 0 km relie les villes A et B. Un habitant de A se rend à la ville B à la vitesse moenne de 60 km/h. À quelle vitesse doit-il revenir de B à A s il veut que sa vitesse moenne sur le parcours aller-retour soit de 80 km/h? Eercice.: Une autoroute de 0 km relie les villes A et B. Un habitant de A se rend à la ville B à la vitesse moenne de 60 km/h. À quelle vitesse doit-il revenir de B à A s il veut que sa vitesse moenne sur le parcours aller-retour soit de : a) 00 km/h b) 0 km/h Eercice.: Eercice.3: Un garçon tond le gazon en 90 minutes, mais sa soeur peut le faire en 60 minutes. Combien leur faudra-t-il de temps s ils travaillent ensemble avec deu tondeuses? Une balle est tirée horizontalement sur une cible, et l on entend le bruit de l impact,5 seconde plus tard. Si la vitesse de la balle est de 990 m/s et la vitesse du son 330 m/s, quel est l éloignement de la cible?

45 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 4 Eercice.4: Pour quelles valeurs de l aire du carré grisé dépasse-t-elle l aire du rectangle grisé? 3 Eercice.5: (DÉFI) Le rectangle ABCD ci-dessous a été découpé en carrés. Calculer ses dimensions sachant que le plus petit des carrés, en noir sur le dessin, mesure cm de côté : D C A B

46 4 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ.5 Fonctions définies par morceau 4 3 Définition: Le graphe de la fonction valeur absolue donnée par f() = est représentée ci-dessous On constate que ce graphe est formé de deu demi-droites, la demidroite = pour les négatifs et la demi-droite d équation = pour les positifs. On peut donner une epression de cette même fonction sans utiliser le smbole valeur absolue, en séparant, dans la définition de f, les positifs des négatifs : = { si < 0 si 0 Une fonction donnée de cette façon est dite définie par morceau. Eemple : Écrire les fonctions suivantes sans utiliser de valeur absolue, puis esquisser les graphes a) f() = + 4 b) f() =

47 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 43 Eercice.6: Écrire les fonctions suivantes sans utiliser de valeur absolue, puis esquisser les graphes a) f() = 5 b) f() = c) f() = Eemple : Représenter f() = + 3 si < + 3 si si < Eemple 3: Représenter f() = + 3 si a) Calculer f( ) et f(3). b) Résoudre f() = 0 puis f() = 3.

48 44 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ + 5 si Eercice.7: Soit la fonction f() = si > a) Déterminer l ordonnée des points du graphe de f d abscisse =, = et = 4. b) Déterminer l abscisse des points du graphe de f d ordonnée = 3. c) Résoudre l équation f() = 5 puis f() =. Eercice.8: Déterminer f() et g() = f() = g() Eercice.9: Déterminer f() : 4 3 = f() Puis résoudre a) f() = b) f() >

49 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 45 3 si ; Eercice.30: On donne la fonction f() = si ; + 3 si ; + a) Dessiner le graphe de f. b) Résoudre les équations f() = puis f() =. c) Résoudre l inéquation f() <. Eercice.3: Pour quelle valeur de a le graphe de f() = forme-t-il une ligne brisée?.6 Quelques applications ( e partie) si a si > a Eercice.3: L unité de longueur étant le côté des carreau du quadrillage, on désigne par f() l aire du domaine grisé, pour a) Calculer f(0), f(3), f(7) et f(9). b) Déterminer f() sur chacun des intervalles 0 ; 3, 3 ; 7 et 7 ; 9. c) Représenter le graphe de f(). d) Résoudre les équations f() = 0 et f() = 5, graphiquement puis contrôler les résultats à l aide d un calcul.

50 46 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ Eercice.33: Une caisse d assurance maladie propose à ses clients différentes franchises : Pour une franchise de 30.-, la prime annuelle s élève à Pour une franchise de 400.-, la prime annuelle s élève à Pour une franchise de 600.-, la prime annuelle s élève à Pour une franchise de 00.-, la prime annuelle s élève à En plus de la franchise, une participation de 0% au frais qui dépassent la franchise reste à la charge de l assuré. a) Montrer que si un assuré choisit la première franchise et que ses factures médicales totalisent l an prochain, il devra s acquitter de la somme totale de b) Quelle franchise doit-il choisir pour obtenir la solution la moins chère en supposant que ses factures médicales totaliseront l an prochain c) (BONUS) Donner l epression de la fonction qui, pour une franchise f et une prime p, donne la dépense en fonction des coûts de santé.. La franchise est le montant que doit paer l assuré, chaque année, avant que la caisse maladie n intervienne.

51 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 47 Eercice.34: Un opérateur téléphonique propose différents contrats pour la téléphonie mobile : Minutes de Pri par minute de Tpe de contrat Tae mensuelle conversation communication gratuite supplémentaire Carte à prépaiement Abonnement A Abonnement B a) Un client a, en moenne, 90 minutes de communication par mois. Calculer, pour chacun des contrats, la somme à paer. b) Dans le sstème d aes ci-dessous, on a déjà représenté un des trois tpes de contrats. Lequel? c) Compléter le graphique en indiquant à quoi correspondent les aes. d) Représenter les derniers tpes de contrats, après avoir donné les epressions de ces 3 fonctions. e) Pour chacun des contrats, donner l intervalle de temps de communication où il est le meilleur marché.

52 48 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ

53 Fonctions du e degré. Paraboles Définition: La fonction définie par f() = a + b + c (a 0) est une fonction du e degré que l on appelle aussi fonction quadratique. Son graphe est une parabole. Eemple : Graphes de fonctions du e degré f() = f() = ( ) = f() = ( ) = f() = ( ) +... =

54 50 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ Eemple : Graphes de fonctions du e degré (suite) f() = f() = ( + ) + = f() = f() = Constatations: L epression d une fonction du e degré peut s écrire sous la forme : f() = a ( re coord. du sommet) + e coord. du sommet où a représente l ouverture de la parabole et son signe indique son orientation. Eemple 3: Déterminer l epression de la fonction représentée ci-contre

55 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ 5 Eercice.: De la fonction de référence f() =, déterminer les fonctions représentées sur les graphes ci-dessous. On demande les formes : f() = a(... ) +... et f() = a + b + c a) c) e) b) d) f) Eercice.: Déterminer la fonction du e degré du tpe f() = + b + c dont le graphe admet un sommet S au coordonnées suivantes : a) S( ; 3) b) S(4 ; ) c) S( ; 0)

56 5 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ Eercice.3: Vérifier la relation suivante : a ( ( )) b b 4ac a 4a = a + b + c Puis en déduire que les coordonnées du sommet S de la parabole, représentation graphique de f() = a + b + c, est donné par : ( ) b S a ; 4ac b 4a Eemple 4: Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole définie par la fonction f() = 3 5 Eercice.4: Déterminer les coordonnées du sommet S des paraboles définies par les fonctions suivantes : a) f() = b) f() = c) f() = d) f() = + 4 Eemple 5: Eprimer la fonction f() = sous la forme : f() =... ( +... ) +... Eercice.5: Eprimer les fonctions sous la forme f() =... ( +... ) +... a) f() = b) f() = c) f() = 4 + d) f() = 9 + 5

57 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ 53 Eercice.6: En appliquant une démarche comparable à celle qui précède, montrer que a + b + c = a ( ( )) b b 4ac a 4a Théorème: Toute fonction du e degré f() = a + b + c peut s écrire sous la forme f() = a( s) + t avec s = b a et t = b 4ac 4a Son graphe est une parabole de sommet S (s ; t) t S s t S s a < 0 a > 0 Eercice.7: Eprimer f() sous la forme a( s) + t, et en déduire les coordonnées du sommet des paraboles. a) f() = 6 + b) f() = 4 8 c) f() = d) f() = Eemple 6: Esquisser rapidement la fonction f() = + 4 Eercice.8: Esquisser rapidement les fonctions suivantes : a) f() = b) f() = 4 5

58 54 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ. Équations du e degré Chercher les zéros de la fonction f() = a + b + c revient à résoudre l équation du e degré a + b + c = 0. Deu outils sont à votre disposition : la factorisation et la fameuse formule. Graphiquement, cela revient à déterminer l abscisse des points d intersection de la parabole et de l ae O... Factorisation par produits remarquables Eemple 7: Résoudre les équations ci-dessous. a) 6 = 0 b) 9( 3) = 4 Rappel: Les produits remarquables A B = (A + B)(A B) A + AB + B = (A + B) A AB + B = (A B) Eemple 8: Résoudre les équations ci-dessous. a) = 0 b) = 0

59 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ 55 Eercice.9: Résoudre les équations suivantes : a) 6 6 = 0 b) t + 0t + 00 = 0 c) 48z 6z + 43 = 0 d) 4 = 9 e) = 0 f) 96z + 80z = 00 g) t + t + 4 = 0 h) 9 9 = 0 i) 8z + 7z + 7 = 0 j) 5 = 0.. Factorisation du trinôme (méthode Somme-Produit) Eemple 9: Développer a) ( + )( 5) = b) ( + a)( + b) = Eemple 0: Résoudre les équations ci-dessous. a) + 4 = 0 b) = 0 Eercice.0: Résoudre les équations suivantes : a) 5 36 = 0 b) = 0 c) z + 4z + 64 = 0 d) = 0 e) = 0 f) t + t + 30 = 0 g) + 0 = 0 h) + 7 = 8 i) = 0 j) =

60 56 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ..3 Factorisation du trinôme (méthode Tâtonnement) Eemple : Développer a) ( + )(3 ) = b) (a + b)(c + d) = Eemple : Résoudre les équations ci-dessous. a) = 0 b) = 0 Eercice.: Résoudre les équations suivantes : a) = 0 b) = 0 c) = 0 d) 8 = 0 e) 3 + = 0 f) 4t + 7t = g) = 0 h) 4 + = 56 i) = 0 j) 45u + = u Eercice.: Résoudre les équations suivantes (un petit mélange) : a) 8 + = 0 b) = 0 c) 3 = 0 d) = 0 e) ( )( ) = ( )( + 3) f) t + 8t 48 = 0 g) = 6 h) 6 (3 + ) = 0

61 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ Factorisation du trinôme (méthode Compléter le carré) Eercice.3: Décoder l étrange méthode utilisée pour résoudre cette équation + 3 = = = ( + ) = 4... ( + ) 4 = 0... ( + ) + ( + ) = 0... ( + 3)( ) = 0 S = { 3 ; } Appliquer cette même démarche au équations : a) = 0 b) = 0 Eercice.4: Décoder alors celle-ci 5 3 = 0... ( 5 3 ) = 0... ( ) = 0... ( ) j = ( ( ) j 5 4) 7 = ( 5 + ) ( ) = 0... ( + ) ( 3) = 0 S = { ; 3} Appliquer cette même démarche au équations : a) = 0 b) = 0

62 58 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ Eercice.5: Résoudre en complétant le carré : a) = 0 b) 4 = 0 c) Et si vous appliquiez cette même démarche à l équation a + b + c = 0 Théorème: Formule de résolution de l équation du e degré Si a 0, les solutions de l équation a + b + c = 0 sont données par, = b ± b 4ac a Preuve: a + b + c = 0 a ( ( a + + ) = 0 + b a + + c a ) = 0 a ( ( + ) + ) = 0 a ( ( + ) ( ) ) = 0 a ( ( + ) ( ) ) = 0 ( a + ) = 0» a + b a + ( a + + b a ) ( + fi fl = 0 ) = 0 Ainsi S = { b b 4ac a ; b + } b 4ac a

63 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ 59 Constatations: Le nombre b 4ac sous la racine est appelé le discriminant de l équation du deuième degré. Il est souvent codé à l aide de la lettre grecque (delta). Le discriminant peut être utilisé pour déterminer la nature des solutions de l équation : Si > 0, l équation admet deu solutions :, = b ± a Si = 0, l équation admet une unique solution : = b a Si < 0, l équation n admet aucune solution réelle : S = Eemple 3: Résoudre à l aide de la formule a) = 0 b) = 0

64 60 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ Eercice.6: Chercher l erreur ;-) Les profs : Album n : Loto et colles

65 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ 6 Eercice.7: Résoudre les équations suivantes à l aide de la formule : a) = 0 b) = 0 c) 4 4 = 0 d) 3t + 5t + = 0 e) 3 4 = 0 f) 5 4 s + 3s + = 0..5 Factorisation à l aide de la formule Dans les paragraphes précédents, nous avons utilisé la factorisation pour résoudre des équations. En cas de difficultés, nous avons pu les résoudre grâce à la formule. Et si cette formule nous fournissait une nouvelle méthode de factorisation... Eemple 4: On considère la fonction f() = 6 Factoriser f() Résoudre, à l aide de la formule l équation f() = 0, puis en déduire une factorisation de f(). Eemple 5: On considère la fonction f() = Factoriser f() Résoudre, à l aide de la formule l équation f() = 0, puis en déduire une factorisation de f().

66 6 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ Théorème: Soit f() = a + b + c une fonction du e degré, alors : Si > 0 Si = 0 Si < 0 f possède deu zéros et, ainsi f() = a ( ) ( ) f possède un seul zéro, ainsi f() = a ( ) f ne possède aucun zéro et ne peut être factorisé. Eemple 6: L équation = 0 possède deu solutions = 4 et =. La fonction f() = peut donc se factoriser sous la forme : f() = Eercice.8: À l aide de la formule, factoriser les fonctions suivantes : a) f() = b) g() = c) h() = d) k() = 4 En résumé: Nous avons ainsi 5 méthodes de factorisation pour les fonctions du e degré. Il s agit dans l ordre : ) La mise en évidence ) Les produits remarquables 3) La méthode Somme-Produit 4) Le tâtonnement 5) À l aide de la formule Eercice.9: En appliquant la démarche la plus adéquate, factoriser : a) f() = b) f() = c) f() = 4 d) f() = e) f() = + 5 f) f() = g) f() = h) f() = i) f() = 3 7 j) f() = + + 4

67 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ 63 Eemple 7: À l aide d une factorisation, esquisser la fonction f() = 5+3 Eercice.0: À l aide d une factorisation, esquisser les fonctions suivantes : a) f() = 5 b) f() = 8 c) f() = d) f() = 3.3 Inéquations du e degré Pour résoudre l inéquation a + b + c > 0 (par eemple), il s agira de poser f() = a + b + c, de déteminer ses zéros (résoudre a + b+c = 0) puis d esquisser le graphe de la fonction f. On pourra ainsi déterminer l ensemble des valeurs vérifiant l inéquation f() > 0. Cet ensemble de solutions se codera sous la forme d intervalle ou union d intervalles. Eemple 8: Résoudre l inéquation > 0

68 64 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ Eemple 9: Résoudre les inéquations puis + + > 0 Eercice.: Résoudre les inéquations suivantes a) 9 0 b) < 0 c) d) + 4 < Eemple 0: 4 3 Observons le graphe des fonctions f() = 4 et g() = proposé ci-contre. Résoudre f() > g() Eercice.: Représenter (ou esquisser si vous jugez qu une esquisse est suffisante) le graphe des fonctions f et g pour 3 ; 4 f() = 6 et g() = + Résoudre ensuite les équations et inéquations suivantes : a) f() = 0 b) g() = 0 c) f() = g() d) f() > 0 e) g() 0 f) g() f()

69 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ 65 Eercice.3: Eercice.4: Eercice.5: Calculer l intersection des graphes de f() = et de g() = + 4, puis représenter graphiquement f et g dans un même sstème d aes. Pour quelles valeurs de a l équation + a + 4 = 0 ne possèdet-elle aucune solution? Pour quelles valeurs de m l équation +m+ = 0 possède-t-elle une solution. Eercice.6: Déterminer les points d intersection des graphes de f et de g. a) f() = et g() = b) f() = + et g() = 6 Eercice.7: Vérifier que la parabole, représentation graphique de f() = ( 3), est tangente au graphe de la fonction g() = 7. Déterminer les coordonnées du point de contact. Eercice.8: Pour quelles valeurs de a le graphe de la fonction f() = +a+5 est tangent à la droite = 4. Donner alors les coordonnées du (des) point(s) de contact. 4 3 Eemple : f g On considère le graphique ci-contre. Déterminer l epression fonctionnelle de f et de g

70 66 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ Eercice.9: Trouver l epression fonctionnelle des 5 fonctions dont les graphes sont les paraboles ci-dessous. h 4 i j g f Eercice.30: P (4 ; 9) Déterminer la pente d une fonction linéaire dont la représentation graphique est tangente à la parabole passant par le point P (4 ; 9) et de sommet S ( ; 5) S( ; 5).4 Équations du e degré maquillées.4. Équations bicarrées Eemple : Résoudre l équation suivante : = 0

71 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ 67 Eemple 3: Résoudre l équation suivante : 4 5 = 0 Eercice.3: Résoudre les équations suivantes. a) = 0 b) 4 = c) = 0 d) = 0 Eercice.3: Résoudre les équations suivantes. a) ( ) ( ) + = 0 b) ( ) 5 ( ) 4 = 0.4. Équations avec des racines carrées Pour résoudre une équation où l inconnue se trouve sous une racine carrée, on isole une racine avant d élever au carré les deu membres de l équation. On fait ainsi disparaitre cette racine carrée. Attention : le fait d élever au carré les deu membres d une équation peut introduire des solutions parasites qui ne satisfont pas l équation initiale. Il est donc indispensable de tester les solutions trouvées dans l équation de départ.

72 68 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ Eemple 4: a) Résoudre l équation = b) Quel lien faites-vous avec cette équation et le graphe ci-contre? f g Eemple 5: Résoudre l équation = 0 Eercice.33: Résoudre les équations suivantes : a) 7 = 5 b) = c) + = + d) = e) = f) =

73 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ 69.5 Quelques applications Eercice.34: Eercice.35: Eercice.36: Eercice.37: Eercice.38: m Le grand carré est de côté m. Trouver la largeur (constante) de la bande, sachant qu elle a la même aire que le carré intérieur. Un terrain rectangulaire de 6 m sur 30 m est entouré d un trottoir de largeur constante. Si l aire du trottoir est de 40 m, quelle est sa largeur? Un sol est recouvert de 500 dalles carrées. Si l on avait utilisé des dalles 5 cm plus longues et 5 cm plus larges, il en aurait fallu 30 pour recouvrir le sol. Quelles sont les dimensions des premières dalles? Lorsqu on lâche une pierre du haut d une falaise, elle parcourt approimativement 4,9t mètres en t secondes. On entend l impact 4 secondes plus tard. Sachant que la vitesse du son est d environ 330 m/s, estimer la hauteur de la falaise. On dit qu un rectangle est un rectangle d or si, lorsqu il est coupé en un carré et un rectangle, le rectangle obtenu est semblable au premier (préservation du rapport des côtés). a) Déterminer la longueur d un rectangle d or dont la largeur mesure mètre. b) Comment appelle-t-on ce nombre bien célèbre? Eercice.39: Un bateau relie en 45 minutes un port P et une île I située comme le montre la figure ci-dessous. Le bateau longe le rivage jusqu à un certain point T, puis se dirige en ligne droite vers l île. Si le bateau parcourt 4 km par heure le long du rivage et 0 km par heure lorsqu il est en pleine mer, déterminer la longueur du trajet. I P T 6 km 4 km l mb rivage c

74 70 CHAPITRE. FONCTIONS DU e DEGRÉ

75 Fonctions polnômes 3 3. Définitions Définition: La fonction donnée par : f() = c n n + c n n c + c 0 (c n 0) est une fonction polnôme de degré n. Les nombres c n, c n,..., c et c 0 sont les coefficients de f. Eercice 3.: On considère les polnômes p et q définis par : p() = + + q() = 3 Dans chaque cas, déterminer le polnôme demandé ainsi que c. a) p + q b) p q c) p q Eercice 3.: On considère les polnômes p et q définis par : p() = q() = a) Déterminer c 3 de p + q b) Déterminer c 4 de p q Rappel: L écriture d une fonction polnôme du n e degré : f() = c n n + c n n c + c 0 (c n 0) peut être condensée en utilisant le signe somme (Σ) : n f() = c i i i=0 7

76 7 CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES 3. Fonctions du 3 e degré La fonction définie par : f() = c c + c + c 0 (c 3 0) est une fonction polnôme du 3 e degré. Eemple : Graphes de fonctions du 3 e degré f() = f() = ( + ) 3 = f() = f() = ( ) = Eemple : Graphes de fonctions du 3 e degré (suite) f() = f() =

77 CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES 73 Constatations: On constate (sur les eemples précédents) que le graphe d une fonc-tion du 3 e degré coupe toujours l ae O, c est-à-dire qu elle admet entre et 3 zéros. La recherche de ces zéros s effectuera en résolvant une équation du 3 e degré 3.3 Équations du 3 e degré et plus... À l image des équations du e degré, il eiste également une formule générale pour résoudre les équations du 3 e degré : La formule de Cardan L équation a 3 + b + c + d = 0 admet une solution en : = ( ) ( ) ( ) 3 3 b 3 7a 3 + bc 6a d b 3 + a 7a 3 + bc 6a d c + a 3a b 9a Jérome Cardan (50-576) + ( ) ( ) ( ) 3 3 b 3 7a 3 + bc 6a d b 3 a 7a 3 + bc 6a d c + a 3a b 9a b 3a On comprend facilement pourquoi cette formule n est pas très pratique... Rafael Bombelli (56-57) Et si vous utilisiez cette formule, à l image de ce que propose Rafael Bombelli dans son ouvrage L Algebra, pour résoudre l équation : = 0 Que constatez-vous? On peut montrer que toute équation du 4 e degré peut se ramener à la résolution d une équation du 3 e degré. Évariste Galois, en 830, a même démontré qu il n eistait pas de formule générale de résolution des équations de degré supérieur ou égal à 5. Dans ce chapitre, nous contenterons de résoudre ce tpe d équations par factorisation et par division de polnômes. Évariste Galois (8-83)

78 74 CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES 3.3. Résolution par factorisation Eemple 3: Résoudre l équation 3 + = 0 Eemple 4: Résoudre l équation = 0 Cette dernière méthode de factorisation s appelle la méthode des groupements. Elle peut être utilisée lorsque l epression à factoriser contient 4 termes. Eercice 3.3: Résoudre les équations suivantes par factorisation a) 3 + = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0 Eercice 3.4: Décomposer le polnôme p() = en produit de facteurs irréductibles. Autrement dit, factoriser p(). Eercice 3.5: Résoudre les équations suivantes : a) = 0 b) ( ) ( ) ( ) = 0 c) = 0 d) ( + 4) ( + 9) = 0

79 CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES Résolution par produits remarquables Dans le chapitre précédent, nous avons utilisé trois produits remarquables afin de factoriser des epressions du e degré. Ajoutons à cette liste 4 nouvelles identités : A 3 + B 3 = (A + B)(A AB + B ) A 3 B 3 = (A B)(A + AB + B ) A 3 + 3A B + 3AB + B 3 = (A + B) 3 A 3 3A B + 3AB B 3 = (A B) 3 Eemple 5: Calculer : a) ( + 3) 3 b) (5 ) 3 Eercice 3.6: Calculer : a) (7 + 3) 3 b) ( 3) 3 c) ( )( + + 4) Eemple 6: Après avoir reconnu le produit remarquable, factoriser : a) b)

80 76 CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES Eercice 3.7: Après avoir reconnu le produit remarquable, factoriser a) b) c) 5 3 d) e) f) Eercice 3.8: Que suggèrent ces différentes figures? a) A B A B b) A A B B... Figure Figure Aire de la Figure = Aire de la Figure = c) Résolution par division de polnômes Avant de pouvoir utiliser cette méthode de résolution, il faut définir un nouvel outil mathématique : La division de polnôme.

81 Division euclidienne de polnômes Division de nombres (F : G) Division de polnôme (F : G) () Le résultat d une division peut s écrire sous formes : () Le résultat d une division peut s écrire sous formes : Le Quotient est de... et Le Quotient est de... et le Reste est de... le Reste est de... F= Quotient G + Reste F= Quotient G + Reste F G F G Reste Quotient Reste Quotient Égalité fondamentale : Égalité fondamentale : () Les polnômes F et G doivent être ordonnés selon les puissances décroissantes de CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES 77

82 78 CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES Eercice 3.9: Effectuer la division euclidienne de F par G et écrire l égalité fondamentale. a) F = G = 5 b) F = G = + c) F = G = d) F = G = 3 + e) F = G = f) F = G = 3 g) F = G = Eercice 3.0: Définition: Déterminer un polnôme F tel que le quotient de la division de F par + soit égal à et le reste égal à +. Un polnôme F est dit divisible par un polnôme G si le reste de la division de F par G vaut zéro. Eercice 3.: Montrer que le polnôme F = 5 est divisible par G = Eercice 3.: On considère le polnôme F = a) En effectuant la division, montrer que le reste de la division de F par G = + vaut -3. b) Calculer F( ). Que constatez-vous? Qu en est-il si F = et G =? Théorème: Le truc du reste Le reste de la division d un polnôme F par a vaut F(a). Preuve : en eercice Théorème: Le nombre = a est une solution de l équation F() = 0 F() est divisible par a Eemple 7: Montrer que le polnôme 5 est divisible par Eercice 3.3: Montrer que est divisible par.

83 CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES 79 Eercice 3.4: Eercice 3.5: Eercice 3.6: Calculer le reste de la division de par +. Déterminer le paramètre a pour que 4 a a a soit divisible par. Calculer ensuite le quotient. Déterminer a et b pour que a+b soit divisible par Eercice 3.7: a) Déterminer un polnôme qui s annule en =, =, = 4 et en = 0.(à proposer sous sa forme développée) b) Eiste-t-il d autres polnômes satisfaisant au mêmes conditions? Eercice 3.8: Eercice 3.9: Déterminer un polnôme F du quatrième degré vérifiant les cinq conditions suivantes : il admet = pour zéro ; il est divisible par + ; il admet le facteur dans sa factorisation ; F() = 0 ; il admet -8 pour reste de sa division par. Déterminer un polnôme F du troisième degré vérifiant les quatre conditions suivantes : F(0) = 0 ; F() = 0 ; il est divisible par + ; le reste de sa division par 3 vaut 6. Eemple 8: Factoriser le polnôme F =

84 80 CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES Théorème: Les suspects Soit F = c n n +c n n +...+c +c 0 un polnôme à coefficients entiers. Si a est un zéro entier de F, alors a est un diviseur de ± c 0. Eercice 3.0: Factoriser les polnômes suivants : a) b) c) d) Eemple 9: Sans effectuer de division, factoriser le polnôme : F = Eercice 3.: Factoriser les polnômes suivants : a) b) Eemple 0: Résoudre l équation = 0

85 CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES 8 Eercice 3.: Résoudre les équations : a) = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0 e) = 0 f) = Tableau de signes et inéquations Eemple : Le but de ce paragraphe est de vous présenter un nouvel outil mathématique : le tableau de signes. Il nous permettra d esquisser rapidement des fonctions polnomiales ainsi que de résoudre des inéquations. Le tableau de signes d une fonction présente les intervalles pour lesquels cette fonction admet des valeurs positives et ceu pour lesquels elle admet des valeurs négatives. Donner le tableau de signes de la fonction représentée ci-contre Eemple : On considère la fonction f définie par f() = ( )( ). Donner son tableau de signes puis en déduire une esquisse de f.

86 8 CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES Eercice 3.3: Établir le tableau de signes des fonctions suivantes puis en esquisser le graphe : a) f() = 3 + b) f() = 3 5 c) f() = ( 4) (9 ) ( ) d) f() = ( + ) ( ) e) f() = ( 3 + )( ) f) f() = g) f() = h) f() = Eercice 3.4: On considère la fonction f() = , ainsi que les esquisses suivantes : 3 3 Laquelle représente bien le graphe fonction f? Eercice 3.5: Établir le tableau de signes puis esquisser le graphe de f() = Eemple 3: Trouver une fonction dont le graphe est donné ci-contre 3 Eercice 3.6: Trouver les fonctions dont le graphe est proposé ci-dessous : 4 4 a) b)

87 CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES 83 Eemple 4: Résoudre l inéquation suivante : > + 6 Eercice 3.7: Résoudre les inéquations suivantes a) b) 3 c) ( ) ( + 6 ) > ( 4) ( + ) Eemple 5: Former une équation du 4 e degré admettant l ensemble de solutions S = { + ; ; } 3

88 84 CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES Eercice 3.8: Former des équations polnomiales de degré n à coefficients entiers dont S est l ensemble des solutions (forme factorisée et développée). { } a) n = S = 3 ; 3 { } b) n = 3 S = 3 ; 3 { } c) n = 4 S = 3 ; 3 d) n = S = { 3 ; 3 + } e) n = 3 S = { 0 ; 3 ; + 3 } f) n = 4 S = { ; 3 ; } 3 ; g) n = 4 S = h) n = 6 S = { 3 ; ; ; 3 } Eercice 3.9: Eercice 3.30: On veut construire une boîte sans couvercle à partir d une feuille de carton rectangulaire de 0 cm sur 30 cm en découpant de chaque coin un carré d aire, et en relevant les côtés. Montrer qu il a deu façons de construire une telle boîte d un volume de 000 cm 3. On veut construire un hangar cubique surmonté d un toit en forme de prisme triangulaire (cf. figure ci-contre). Il faut encore déterminer la longueur du côté du cube. a) Si la hauteur totale de la construction est de 6 m, montrer que le volume V est donné par la fonction : V () = 3 + (6 ). b) Déterminer pour que le volume soit de 80 m 3. Eercice 3.3: Un météorologue a déterminé que la température T (en F) pour une certaine période de 4 heures en hiver est donnée par la formule : T(t) = t(t )(t 4) pour 0 t 4, 0 où t est le temps écoulé en heures depuis 6 heures du matin. a) Quand a-t-on T(t) > 0? b) Représenter le graphe de la fonction T. c) À quelle heure la température a-t-elle été de 3 F (= 0 C)

89 CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES 85 Eercice 3.3: Un troupeau de cent cerfs est introduit sur une petite île. Tout d abord, le troupeau grandit rapidement, mais par la suite les ressources en nourriture baissent et la population diminue. Supposons que le nombre N(t) de cerfs après t années est donné par la fonction : N(t) = t 4 + t + 00 a) Quand a-t-on N(t) > 0? b) Déterminer quand la population de cerfs va s éteindre. c) Déterminer quand le troupeau de cerfs aura plus de 80 têtes.

90 86 CHAPITRE 3. FONCTIONS POLYNÔMES

91 Fonctions rationnelles 4 4. Définitions Définition: La fonction donnée par f() = p() où p() et q() sont des q() polnômes est appelée fonction rationnelle. L ensemble de définition E D d une fonction rationnelle comprend toutes les valeurs réelles de sauf celles qui annulent le dénominateur q(). Eemple : On considère la fonction f définie par f() = +. a) Compléter le tableau de valeurs puis tracer le graphe de f. f() -5 0,75-4 0,83-3 -,5 -,5 - -0,5 -,5 0 0, b) Que se passe-t-il en =? c) Calculer f( 0,999) et f(,00) d) Proposer le tableau de signes de f. 87

92 88 CHAPITRE 4. FONCTIONS RATIONNELLES Eercice 4.: On considère la fonction f() = 3 + a) Déterminer son ensemble de définition. b) Proposer un tableau de valeurs pour 4 ; 5. c) Esquisser le graphe de f. d) En déduire le tableau de signes de f. Eemple : Quelques eemples de graphes de fonctions rationnelles f() = f() = f() = f() = Dans la suite de ce chapitre, nous nous concentrerons plutôt dans le calcul purement algébrique sur les fractions rationnelles et nous garderons l étude de ces fonctions pour la e année.

93 CHAPITRE 4. FONCTIONS RATIONNELLES Les fractions rationnelles 4.. Simplification de fractions Lorsque l on désire simplifier une fraction rationnelle, on divise le numérateur et le dénominateur par une même epression qui a été mise en évidence à l aide d une factorisation. Eemple 3: Préciser l ensemble de définition des fractions suivantes, puis les simplifier : 6 a) 4 b) Eercice 4.: Préciser l ensemble de définition des fractions suivantes, puis les simplifier : a) b) c) d) 3 + e) 3 6 f) ( )(5 ) ( 5)( 6)

94 90 CHAPITRE 4. FONCTIONS RATIONNELLES 4.. Multiplication et division de fractions Pour multiplier deu fractions rationnelles, on multiplie les numérateurs entre eu et les dénominateurs entre eu. On n effectuera pas à proprement parlé ces distributivités, mais on tentera après une factorisation maimum de simplifier cette fraction. Eemple 4: Préciser E D, puis effectuer l opération indiquée et simplifier : a) Pour diviser une fraction rationnelle par une autre, on multiplie la première par l inverse de la deuième. Eemple 5: Préciser E D, puis effectuer l opération indiquée et simplifier : a) b)

95 CHAPITRE 4. FONCTIONS RATIONNELLES 9 Eercice 4.3: Préciser E D, puis effectuer l opération indiquée et simplifier : a) c) b) d) Addition et soustraction de fractions On commence toujours par factoriser au maimum les dénominateurs. Si les fractions ont même dénominateur : a d + b d = a + b d a d b d = a b d Si les dénominateurs des fractions n ont pas de facteur commun, alors le dénominateur commun s obtient en les multipliant : a c + b ad + bc = d cd a c b ad bc = d cd Si les dénominateurs des fractions contiennent un ou des facteurs communs, alors le dénominateur commun s obtient en déterminant le plus petit multiple commun : a cd + b d = a cd + bc cd = a + bc cd a cd b d = a cd bc cd = a bc cd À la fin du calcul, on proposera toujours le code irréductible de la fraction. Eemple 6: Préciser E D, puis effectuer l opération indiquée et simplifier : a)

96 9 CHAPITRE 4. FONCTIONS RATIONNELLES Eemple 7: Préciser E D, puis effectuer l opération indiquée et simplifier : a) Eercice 4.4: Préciser E D, puis effectuer l opération indiquée et simplifier : a) c) e) g) b) + d) f) h) Eercice 4.5: Un petit mélange de tout... Effectuer et simplifier : a) b) c) + d) ( ) + e) ( + f) ) ( ) + + g) + h) ( 3 ) ( ) 3

97 CHAPITRE 4. FONCTIONS RATIONNELLES Équations rationnelles ) Préciser l ensemble de définition E D. On est donc amené à factoriser tous les dénominateurs. ) Écrire l équation initiale sous la forme p() q() = 0. 3 ) Une fraction est égale à zéro si et seulement si son numérateur est égal à zéro. Ainsi, il s agira de résoudre p() = 0 en factorisant le numérateur. 4 ) Les solutions de l équation initiale sont les solutions de p() = 0, sauf celles qui correspondent à des valeurs interdites! Eemple 8: Résoudre les équations suivantes : a) 8 3 = 5 b) = 36 9 Eercice 4.6: Résoudre les équations suivantes : a) ( + 3)(4 ) 7 + c) = e) 3 t 3t = t 4 = 0 b) = 7 + d) 4 3 = 3 f) 3 + = 7 3

98 94 CHAPITRE 4. FONCTIONS RATIONNELLES 4.4 Inéquations rationnelles ) Préciser l ensemble de définition E D. On est donc amené à factoriser tous les dénominateurs. ) Écrire l inéquation initiale sous la forme p() q() ) Factoriser au maimum le numérateur p(). 4 ) Les solutions de l inéquation initiale pourront être obtenues en étudiant le signe de p() dans un tableau de signes. q() Eemple 9: Résoudre l inéquation suivante : > 0 Eercice 4.7: Résoudre les inéquations suivantes : a) 4 c) 0 b) ( 3) 4 < > 0 d)

99 CHAPITRE 4. FONCTIONS RATIONNELLES 95 Eemple 0: Résoudre l inéquation suivante : a) + 4 (4 + ) Eercice 4.8: Résoudre les inéquations suivantes : a) + + c) e) b) d) f) >

100 96 CHAPITRE 4. FONCTIONS RATIONNELLES Eercice 4.9: La règle de Young est une formule qui est utilisée pour modifier le dosage d un médicament pour adultes en un dosage pour enfants. Si la dose pour un adulte est de 00 mg, alors la dose D pour un enfant est donnée par : D(t) = 00t t + pour 0 < t < 8, où t est l âge de l enfant (en années). a) Représenter le graphe de la fonction D. b) On donne à un enfant une dose de 40 mg. Déterminer algébriquement son âge. c) Pour quelle tranche d âge, la dose doit-elle être supérieure à 50 mg? Eercice 4.0: Dans une grande ville, la densité de population D (en habitants par km ) d un quartier, liée à la distance (en km) qui le sépare du centre de la ville, est donnée par : D() = 5000( + ) pour a) À quelles distances du centre aura-t-on une densité de 50 hab/km? b) Dans quelles zones de ville, la population ecède-t-elle 400 hab/km?

101 Trigonométrie 5 5. Triangle rectangle Rappel: Dans un triangle rectangle, les rapports de deu côtés ne dépendent que de l angle α. Considérons les deu triangles semblables (de côtés abc et a b c ) représentés ci-dessous, on a bien : 5.. Résolutions de triangles a c = a c b c = b c a b = a b Par conséquent, on peut définir les rapports trigonométriques suivants en fonction de l angle α : sinus défini par sin(α) = a c cosinus défini par cos(α) = b c tangente défini par tan(α) = a b α c b a c b côté opposé = hpoténuse côté adjacent = hpoténuse côté opposé = côté adjacent Ces rapports sinus, cosinus, tangente définissent les fonctions trigonométriques pour les angles aigus (α 0 ; 90 ). Résoudre un triangle consiste à calculer les éléments non donnés (côtés, angles et aire). On pourra s aider de la machine à calculer après avoir développé les formules permettant de calculer les éléments manquants en fonction des données de départ. Observons cette démarche, nouvelle pour vous (??), sur les eemples qui suivent : a 97

102 98 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE Eemple : Résoudre le triangle rectangle dont on donne le côté b et l angle α. Application numérique : b = 8, et α = 37 Eemple : Résoudre le triangle rectangle dont on donne le côté a et l hpoténuse c. Application numérique : a = 7,6 et c = 8,4

103 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE 99 Eercice 5.: Un triangle ABC est rectangle en C. Résoudre ce triangle connaissant : a) c = 4,5 et β = 67,0 b) c =,77 et a = 3,9 c) a = 4,85 et α = 5,37 d) a =,50 et b = 45,80 e) b = 39,50 et A = 987,0 f) α = 39,50 et A = 0,0 Eercice 5.: Un triangle ABC est isocèle en A. Résoudre ce triangle connaissant : a) α = 4,50 et a = 3,60 b) β = 56,30 et a = 0,30 Eercice 5.3: L ombre d une tour mesure L = 4 m lorsque le soleil est élevé de α = 35,5 au-dessus de l horizon. Calculer la hauteur de la tour. Eercice 5.4: Connaissant l angle au sommet α = 36 et la base a = 0 cm d un triangle isocèle, calculer les raons de ses cercles inscrit et circonscrit. Eercice 5.5: La voûte d un tunnel routier est un arc de cercle d angle au centre α = 0. Calculer le raon de ce cercle pour que la largeur de la route soit de L = m. Calculer aussi la hauteur de la voûte maimale au-dessus du sol. Eercice 5.6: Un homme aperçoit un arbre vertical sous un angle de 4,0. Il recule de 5 m et voit l arbre sous un angle de,0 (on admettra que les eu de l observateur et le pied de l arbre sont au même niveau). a) Quelle est la hauteur de l arbre? b) À quelle distance du pied de l arbre l observateur se trouvaitil au début? Eercice 5.7: Déterminer la hauteur d une tour sachant que son ombre s allonge de 6 mètres quand l élévation du soleil au-dessus de l horizon passe de 5 à 3,5. Eercice 5.8: Un observateur, placé à une altitude de 5 m au-dessus de la mer, a trouvé que le raon visuel aboutissant à l horizon faisait un angle de 89,49 avec la verticale. On demande de calculer, d après cette mesure, le raon terrestre.

104 00 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE 5. Mesure des angles Diviser un cercle en 360 parties, permettant ainsi de définir le degré, est une ecellente idée qu a eue un illustre Bablonien anonme il a environ 4000 ans. Mais pourquoi 360? D abord, 360 admet un grand nombre de diviseurs, et les Babloniens comptaient en base 60. D ailleurs ils divisèrent le degré en 60 minutes, et la minute en 60 secondes d arc. Aussi probablement parce que est un petit angle, mais un angle encore facilement mesurable à l oeil : le diamètre angulaire de la Lune et du Soleil sont proches de 0,5 (donc 30 ). Hipparque de Nicée trouva ces unités tellement pratiques et les publia si bien que le degré, la minute et la seconde sont aujourd hui toujours les unités d angle bien utilisées. Hipparque ( e siècle avant J-C) Définition: Constatations: Le radian a probablement été découvert le jour où l illustre inventeur oublié de la roue a mesuré son raon avec une ficelle et enroulé la ficelle sur le périmètre de son oeuvre. Ce n est qu en 873 qu un dénommé James Thomson imprima le mot «radian» sur des questions d eamen à ses étudiants. Dans la suite de vos études, vous constaterez que le radian est l unité de mesure d angle la plus utilisée. Les raisons vous seront alors eplicitées. Un radian est la mesure d un angle au centre interceptant un arc de cercle de longueur égale au raon r de ce cercle. O α r M α = radian r I r r β r O r r β = 6 radians Le périmètre d un cercle de raon r vaut π r. Il s en suit que la mesure en radians d un tour complet vaut π = (6,8 radians) r r I M 5.. Conversion d angles Eemple 3: a) Convertir 7,5 en degrés, minutes et secondes b) Convertir en degré décimal

105 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE 0 Eemple 4: Compléter le tableau suivant, si possible sans calculatrice : degrés radians 3π/4,34 En résumé: Tableau de conversions d... m s d r π... Eercice 5.9: Convertir en degrés les angles donnés par leur mesure en radians : a) π 6 f) 5π 4 b) π 3 c) π 0 d) 4 π e) 5π 6 g) h) 0,7 i) - j) 3

106 0 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE Eercice 5.0: Convertir en radians les angles donnés par leur mesure en degrés : a) 45 b) 60 c) 75 d) 30 e) 0 f) 35 g),7 h) 07,9 i) 9,3 j) 5,5 Eercice 5.: La parallae annuelle α d une étoile est l angle sous lequel on voit le segment Terre-Soleil depuis l étoile. Elle s eprime en secondes d arc ( ). La parallae est mesurée en visant l étoile depuis deu positions de la Terre diamétralement opposées sur sa trajectoire autour du Soleil. L intervalle de temps entre deu visées est donc égal à 6 mois. En 838, l astronome Bessel trouva 0,3 seconde d angle pour la parallae de l étoile 6 Cgni. La valeur admise à l heure actuelle est 0,93 seconde d angle. Sachant que la terre est située à,5 0 8 km du soleil, quelle est l erreur faite par Bessel sur la distance Terre-6 Cgni, eprimée en km? Eprimer ensuite cette erreur en % (erreur relative).

107 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE Longueur d arc et aire d un secteur Eemple 5: On considère un cercle de raon 0 cm. a) Déterminer la longueur de l arc correspondant à un angle au centre de α = 0. b) Déterminer la longueur de l arc correspondant à un angle au centre de α = 4π/5 rad. c) Lequel des calculs est le plus agréable? Eemple 6: On considère un cercle de raon 0 cm. a) Déterminer l aire du secteur circulaire correspondant à un angle au centre de α = b) Déterminer l aire du secteur circulaire correspondant à un angle au centre de α = 5π/6 rad. c) Lequel des calculs est le plus agréable? Constatations: Considérons un cercle de raon r et un angle au centre de α radians La longueur l de l arc correspondant à l angle α est donnée par l = r α L aire A du secteur circulaire correspondant à l angle α est donnée par l A α r A = r α

108 04 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE Eercice 5.: a) Trouver le raon d un cercle pour lequel un arc de cercle de longueur 3 cm est sous-tendu par un angle de 0. b) Calculer le périmètre et l aire du parterre de fleurs de la figure ci-contre. 8 m π/4 8 m c) Trouver la mesure en degré et en radian de l angle au centre d un cercle de raon 4, qui sous-tend un arc de cercle de longueur 7. d) Sur la figure ci-contre, l aire du secteur grisé est égale à 5 m. Calculer le raon du cercle ainsi que l angle au centre. l = 4 m e) Un vendeur de pizza (au USA) vend deu tpes de tranches : the small slice : $ pour d une pizza de 8 pouces de 6 diamètre ; the large slice : 3 $ pour d une pizza de 6 pouces de 8 diamètre ; Quelle est la tranche aant le meilleur rapport quantitépri? Eercice 5.3: Une roue tourne à la vitesse de 48 tours/minute. Eprimer cette vitesse de rotation en : a) tours/seconde b) radians/minute c) radians/heure d) degré/seconde

109 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE Le cercle trigonométrique Définition: Le cercle trigonométrique est un cercle de raon muni d un sstème d aes perpendiculaires O et O dont l origine est le centre O du cercle. Les angles sont toujours représentés depuis la partie positive de l ae horizontal O. On associe à chaque angle un point sur le cercle trigonométrique. - O α β A Le point A est associé à l angle α = 5. L angle β = π/3 est associé au point B. - B 5.3. Fonctions trigonométriques Les fonctions trigonométriques sont définies à l aide d un cercle trigonométrique. Définition: Considérons le point M du cercle trigonométrique correspondant à l angle α. Le cosinus de α, noté cos(α), est l abscisse de M. Le sinus de α, noté sin(α), est l ordonnée de M. La tangente de α, noté tan(α), est l ordonnée de T, où T est le point d intersection de la droite OM avec la tangente au cercle au point (; 0). sin tan M (cos(α) ; sin(α)) α - O cos - T( ; tan(α))

110 06 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE Eercice 5.4: Tracer, avec précision, un cercle trigonométrique (origine au centre d une nouvelle page quadrillée, prendre 0 carrés pour unité). À l aide d un rapporteur, représenter sur le cercle les points A, B, C et D dont l angle au centre correspondant vaut respectivement : 7 ; π/3 ; 5π/4 ; 55 En mesurant les coordonnées des points A, B, C et D sur la figure, compléter le tableau ci-dessous ( décimales), puis les comparer avec le résultat obtenu à l aide d une calculatrice. A 7 B π/3 C 5π/4 D 55 α cos(α) sin(α) tan(α) Eercice 5.5: Quel que soit α Ê, justifier les affirmations suivantes : a) sin(α) et cos(α). b) tan(α) n est pas définie si α = π + k π (k ). c) Calculer OM. # En déduire la relation : sin (α) + cos (α) = d) Justifier que # OM et # OT sont colinéaires et en déduire que : tan(α) = sin(α) cos(α) Eercice 5.6: Les affirmations suivantes sont-elles vraies? Justifiez-le dans chaque cas à l aide d un petit cercle trigonométrique : a) sin(0 ) = sin(70 ) b) cos(40 ) = cos(40 ) c) cos(70 ) = sin(0 ) d) cos(π/3) = cos( π/3) e) sin(π/4) = sin( π/4) f) tan(40 ) = tan(0 )

111 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE 07 Eercice 5.7: L ae des cosinus et celui des sinus partagent le plan en quatre parties appelées quadrants. Ces quadrants sont numérotés de I à IV suivant le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d une montre.) Dans quel quadrant se trouve le point du cercle trigonométrique associé à l angle α dans les cas suivants? a) cos(α) > 0 et sin(α) < 0 b) tan(α) > 0 et cos(α) < 0 c) cos(α) < 0 et sin(α) < 0 d) tan(α) < 0 et sin(α) > 0 Eemple 7: Déterminer les valeurs eactes de sin(π/3), cos(π/3), tan(π/3). Eercice 5.8: En utilisant une démarche comparable a) Déterminer les valeurs eactes de sin(30 ), cos(30 ), tan(30 ). b) Déterminer les valeurs eactes de sin(π/4), cos(π/4), tan(π/4). Compléter le tableau des valeurs particulières ci-dessous degrés radians sin cos tan 0 60 π 6 π 4 π

112 08 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE Eemple 8: Déterminer, sans calculatrice, les valeurs eactes de sin(7π/6), cos(7π/6) et tan(7π/6) Eercice 5.9: Déterminer, sans calculatrice, les valeurs eactes de sin(α), cos(α) et tan(α) dans les cas suivants : a) α = 0 b) α = π/3 c) α = 945 d) α = 5π/6 e) 70 f) α = 6π Eercice 5.0: Quel que soit α Ê représenté sur un cercle trigo : a) Déterminer tous les angles qui admettent le même sinus de α. b) Même question pour le cosinus. c) Même question pour la tangente. Eercice 5.: Déterminer tous les angles α compris entre 0 et 360 pour lesquels : a) sin(α) = /3 b) cos(α) = / c) tan(α) = d) cos(α) = 0,9 e) sin(α) = 0 f) cos(α) =,4 Indication : dans chaque cas, une première solution doit être trouvée avec une calculatrice, les autres avec un petit cercle trigonométrique.

113 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE Graphes des fonctions trigonométriques Pour représenter graphiquement les fonctions trigonométriques, nous nous servons d un sstème d aes orthonormés dans lequel nous portons en abscisse les mesures en radians (evt. en degré) des angles, et en ordonnée les sinus, cosinus ou tangente de ces angles. f() = sin() - π 0 π π 3π π g() = cos() - π 0 π π 3π π On peut constater sur un cercle trigonométrique que l ajout à l angle α d un multiple entier de π ne change pas la position du point M. Ainsi cos(α + k π) = cos(α), k sin(α + k π) = sin(α), k On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période π. 6 4 h() = tan() - π 0 π π 3π π 4 La fonction tangente est périodique de période π tan(α + k π) = tan(α), k

114 0 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE Eemple 9: En partant des courbes de référence = sin() ou = cos(), esquisser pour 0 ; π les fonctions suivantes : a) f() = sin() = sin() b) g() = sin() π π = cos() Eercice 5.: Même consigne pour π ; π : a) f() = sin ( ) ( ) puis g() = 3 sin b) f() = cos (3) puis g() = cos (3) c) f() = cos( + π) d) f() = sin( π/)

115 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE Eemple 0: Indiquer en couleur sur la figure l endroit où l on lit sur le cercle trigonométrique la valeur de cos(t) t Eercice 5.3: Indiquer en couleur sur la figure l endroit où l on lit sur le cercle trigonométrique la valeur de : a) sin(t) b) sin( t) c) cos(t + π) t t t d) sin(t + π/) e) sin(π t) f) cos(t π/) t t t g) cos( t) h) tan( t) i) tan( t π/) t t t

116 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE Eercice 5.4: Dans chacune des figures suivantes, représenter tous les angles α vérifiant que : a) sin(α) = cos(t) b) cos(α) = cos(t) t t

117 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE Le triangle quelconque Dans ce paragraphe, nous considérerons un triangle quelconque ABC et on désigne ses angles par α, β et γ et ses côtés par a, b et c. B c β a A α b H γ C Les 3 théorèmes ci-dessous permettent de résoudre tout triangle quelconque. Théorème: Théorème de l aire A = a b sin(γ) = b c sin(α) = a c sin(β) Théorème: Théorème du sinus a sin(α) = b sin(β) = c sin(γ) Théorème: Théorème du cosinus (ou théorème de Pthagore généralisé) a = b + c b c cos(α) b = a + c a c cos(β) c = a + b a b cos(γ)

118 4 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE Eemple : En utilisant les théorèmes précédents, résoudre le triangle suivant : a = 85,80 c = 57,9 β = 7,8 Eercice 5.5: En utilisant les théorèmes précédents, résoudre les triangles suivants : a) a = 70,4 b = 8, γ = 30,69 b) a = 85,67 β = 3,8 γ = 4,54 c) a = 4,94 b = 96,9 c = 07,6 Eercice 5.6: Résoudre le triangle connaissant son aire A =,5 cm ainsi que les angles α = 54,08 et β = 88,94. Eercice 5.7: Démontrer les 3 théorèmes précédents dans l ordre suivant : B a) th. de l aire en eplicitant l aire du ABC à l aide de la hauteur BH. A c α h H a b C b) th. du sinus à l aide du th. de l aire. c) th. du cosinus en appliquant Pthagore au triangles rectangles ABH et CBH sur la figure

119 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE 5 Eercice 5.8: Eercice 5.9: D un parallélogramme ABCD, on donne les côtés AB = 30 cm, BC = 0 cm et l angle β = 60 en B. Calculer la longueur des diagonales AC et BD, ainsi que l angle aigu θ qu elles forment entre elles. Un point B est inaccessible et invisible d un point A. Pour déterminer la distance AB, on a choisi deu points C et D alignés avec A et d où l on voit les points A et B. On a mesuré les distances AD = 43,3 m et AC = 5,8 m ainsi que les angles ADB = 55,3 et ACB = 4,6. calculer la distance AB lorsque le point A est situé entre C et D. Eercice 5.30: On considère le cube ABCDEF GH représenté cicontre. On désigne par I le centre de la face EFGH et par J le centre de la face BCGF. Calculer les angles du triangle AIJ. Eercice 5.3: Déterminer les coordonnées des sommets A et B du carré A B C D obtenu par rotation de 30 autour de l origine du carré ABCD dont on donne les sommets A( ; ), B(5 ; ) et C(5 ; 5). Eercice 5.3: On considère le triangle ABC représenté ci-dessous : E A C γ H D I F B J G C A β B On connaît les côtés AB = 0 cm et BC = 5 cm ainsi que l angle β = 43. Calculer : a) la longueur du côté AC ; b) la mesure de l angle γ à l aide du théorème du sinus ; c) la mesure du même angle γ à l aide du théorème du cosinus ; d) Comment epliquez-vous ces valeurs différentes? laquelle est alors correcte?

120 6 CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE

121 A Quelques éléments de solutions A.0 Logique Eercice 0.: Le destin de ce paradoe est intéressant. On raconte que le philosophe Philatos de Cos, ne pouvant supporter la contradiction, se suicida vers 330 av. J.-C. Il a fallu attendre 500 ans pour qu il soit résolu. Bertrand Russel posa dans son ouvrage Principia mathematica (90) que «aucune proposition ne peut eprimer quelque chose au sujet d elle-même». D où la nécessité epliqua-t-il en 90 de formaliser la logique. Eercice 0.: a) Proposition vraie. b) Ce n est pas une proposition. c) Ce n est pas une proposition. d) Proposition fausse. e) Proposition fausse. f) Ce n est pas une proposition. g) Proposition fausse. h) Ce n est pas une proposition. Eercice 0.3: Par eemple : «Je vais être décapité». Eercice 0.4: a) Oui b) Non, la dernière condition n est pas vérifiée Eercice 0.5: a) nona : «Je ne parle pas le français ou pas l anglais». nonb : «Je ne vais pas à Paris et pas à Londres». b) En effet, il suffit de comparer la 4 e colonne avec la dernière de la table de vérité : c) P Q P ou Q non(p ou Q) nonp nonq (nonp ) et (nonq) V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V I

122 II ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Eercice 0.6: P Q P Q Q P (P Q) et (Q P ) P Q V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V Eercice 0.7: a) P Q est fau. Q P est vrai. P Q est fau. b) P Q est vrai. Q P est vrai. P Q est vrai. c) P Q est vrai. Q P est fau. P Q est fau. Eercice 0.8: a) P et (nonq) b) P et R c) (nonp ) ou Q d) R P e) (P et Q) R f) P (Q ou R) Eercice 0.9: a) V, V, F, V, V, V. b) F, F, V, F, V, V. Eercice 0.0: a) A et B sont des chevaliers. b) Personne n a pu énoncer cette proposition. c) A est un chevalier. Eercice 0.: J aime assurément Jane. Eercice 0.: Le malfaiteur est venu en voiture, avec la clé et avait un complice ; quant au déclarations du témoin, on ne peut pas se prononcer. Eercice 0.3: a) b) P Q P ou Q non(p ou Q) nonp nonq (nonp ) et (nonq) V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V P Q P Q non(p Q) P nonq P et (nonq) V V V F V F F V F F V V V V F V V F F F F F F V F F V F

123 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS III c) P Q V F V V nonq nonp V F V V Eercice 0.4: a) Avec les tables de vérité (dernière colonne) P Q V F V V nonp ou Q V F V V P et Q V F F F b) Et si vous utilisiez les équivalences de l eercice précédent... non((nonp ) ou (nonq)) V F F F Eercice 0.5: a) (P Q) ( P Q) b) (P Q) (P Q) c) (P Q) ( Q P ) d) (P Q) ( P Q) e) (P Q) ( P Q) Eercice 0.6: a) Cette faute classique de croire que : non(p Q) nonp nonq se justifie rapidement à l aide d une table de vérité. b) La réponse se trouve dans l eercice 0.3 b). Eercice 0.7: a) A : ABCD est un carré et ABCD n est pas un rectangle : Fau. B : n est premier et n est pair différent de : Fau. C : n est divisible par 6 et n n est pas divisible par ou n est pas divisible par 3 : Fau. D : Le quadrilatère ABCD a des diagonales qui se coupent perpendiculairement en leur milieu et ABCD n est pas un losange : Fau. b) A : Si ABCD n est pas un rectangle, alors ABCD n est pas un carré : Vrai. B : Si n est pair différent de, alors n n est pas premier : Vrai. C : Si n n est pas divisible par ou n est pas divisible par 3, alors n n est pas divisible par 6 : Vrai. D : Si ABCD n est pas un losange, alors le quadrilatère ABCD a des diagonales qui ne se coupent pas perpendiculairement ou pas en leur milieu : Vrai.

124 IV ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS c) A : Si ABCD est un rectangle, alors ABCD est un carré : Fau. B : Si n est impair ou n =, alors n est premier : Fau. C : Si n est divisible par et par 3, alors n est divisible par 6 : Vrai. D : Si ABCD est un losange, alors le quadrilatère ABCD a des diagonales qui se coupent perpendiculairement en leur milieu : Vrai. Eercice 0.8: a), P () b), nonp () c) non(, nonp ()) d), P () Eercice 0.9: a) Vrai b) Fau c) Vrai d) Fau e) Vrai f) Vrai Eercice 0.0: Proposition de réponse, vérifiez si la vôtre est équivalente. a) Les Lausannois ne parlent pas chinois. b) Certains Lausannois ne savent pas lire. c) Certains Lausannois n ont ni des cheveu blonds, ni des eu noirs. d) Les Lausannois n ont pas 0 ans ou ne parlent pas tibétain. e) Les Lausannois ne parlent ni le chinois, ni le tibétain. f) Il eiste au moins un poisson qui respire avec des poumons. Eercice 0.: Pas de corrigé proposé. Eercice 0.: a) H :soit ABC un triangle d angles α, β et γ. C : α + β + γ = 80. b) H :soit ABC et A B C deu triangles qui ont respectivement un angle et les côtés adjacents isométriques. C : ABC isométriques au A B C. c) Ici, on a à faire à une équivalence ( ), il a donc formulations : H : soit un nombre divisible par 3. C : la somme de ses chiffres est un multiple de 3. H : soit un nombre tel que la somme de ses chiffres soit un multiple de 3. C : le nombre est divisible par 3. d) H :soit n un nombre impair. C : n = k + avec k un entier.

125 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS V Eercice 0.3: Quelques éléments de preuve (idées, mais sans rigueur!!) a) P = + = () + () = ( + ) = P b) a = k +, b = m + a + b = k + m + = (k + m + ) = k où k, m et k. Eercice 0.4: a) Si nombres sont inférieurs à 0 alors le produit est inférieur à 00. b) Si n est pair alors il n est pas premier ou il est égal à. c) m, n, si m et n sont de parité différente alors m + n est impair. Indication : non(m et n sont tous les deu pairs ou tous les deu impairs) est équivalent à n et Eercice 0.5: m de parité différente. Quelques éléments de preuve (idées, mais sans rigueur!!) a) Supposons a < 0 et b < 0 alors a b < 00. b) Supposons n pair, donc n = k (avec k entier). Ainsi, si n alors n n est pas premier. c) Supposons l un pair (j) et l autre impair (k + ) alors : n + m = j + k + = (j + k) + = k + est impair. Eercice 0.6: a) Se démontre par contraposée : Si n est pair alors 3n + aussi. b) Se démontre directement : R + R = a b + c d = ad + bc bd qui est bien un rationnel, car... Eercice 0.7: Quelques éléments de preuve (idées, mais sans rigueur!!) a) Soit les deu nombres : a = p q et b un irrationnel. Supposons par l absurde que a + b = n m, alors b = n m p q Ainsi, un irrationnel est rationnel = nq pm mq qui est un rationnel. b) Supposons que le triangle soit rectangle, il doit vérifier le théorème de Pthagore : = = ce qui est absurde

126 VI ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Eercice 0.8: a) Il suffit de considérer a = 5 et b =. b) Il suffit que l angle ne soit pas compris entre les côtés isométriques (cf. figure ci-contre) : C AB commun AC = AC AC B = AC B les deu sont isométriques A O B C c) 8 est divisible par 4 mais pas par. Eercice 0.9: Quelques éléments de preuve (idées, mais sans rigueur!!) a) Si n est pair, alors n = k (k ) et ainsi : n + n = 4k + k = (k + k) qui est pair car k + k. Si n est impair, alors n = k + (k ) et ainsi : n + n = 4k + 6k + = (k + 3k + ) qui est pair car k + 3k +. b) Si a est pair, alors a = k (k ) et ainsi a = 4k qui ne peut s écrire comme 4 fois un entier. Si a est impair, alors a = k + (k ) et ainsi a = 4k + 4k qui ne peut s écrire comme 4 fois un entier. Eercice 0.30: Quelques éléments de preuve (idées, mais sans rigueur!!) a) Initialisation : Ok pour n =. Hérédité : (n + ) = n + (n + ) b) Initialisation : Ok pour n =. n(n + )(n + ) = + (n + ) 6 j n(n + ) = (n + ) + (n + ) 6 «ff n + 7n + 6 = (n + ) 6 = (n + )(n + )(n + 3) 6 Hérédité : Supposons par récurrence que n Æ, 8 n est un multiple de 7, k tel que 8 n = 7k. Ainsi 8 n+ = 8 8 n = 8(8 n ) + 7 = 8 7k + 7 = 7(8k + ), on observe donc bien que 8 n+ est un multiple de 7 (car 8k + ).

127 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS VII Eercice 0.3: Ne manque-t-il pas une première étape dans cette démonstration? Eercice 0.3: A = { ; ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; ; 6 ; 4 ; 48} B = { ; ; 4 ; 5 ; 7 ; 8} C = {0 ; ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} D = { 3 ; } E = { ; ; 3 ; 5 ; 7 ; 9} F = { ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} Eercice 0.33: Par eemple : A = {p p est premier et p 9} B = { est une voelle} C = { est un multiple de 7} D = { 35 0} E = {4n + n Æ} Eercice 0.34: Æ 3,0 0 9 Ê É π, 5 7,84 0, Le nombre irrationnel 0, est appelé constante de Champernowne. Il contient dans son développement décimal toutes les séquences de nombres naturels (nombre Univers). Eercice 0.35: D A E C B F Eercice 0.36: a) {0 ; 6 ; 7 ; 8} = A b) c) {0 ; ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} d) {9 ; 0} Eercice 0.37: A B A B C E C E a) (A B) C b) (B C) \ A A B A B C E C E c) A B C d) A B C

128 VIII ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Eercice 0.38: a) (A \ B) (C \ A) b) A (B C) Eercice 0.39: Ê \ 5 ; Eercice 0.40: a) ; 0 3 ; 3 3 ; 4 3 ; 0 ; 4 b) ; 3 ; 4 ; 3 4 ; ; c) ; 3 3 ; 3 5 ; 3 5 ;

129 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS IX A. Fonctions du er degré Eercice.: 3 g Remarques : 3 4 f Eercice.: f() = = 6 5 f() = 3 0 Eercice.3: m d = 0 m d = ( = A ; 6 ) = 3 0 = 7 6 = B ( 7 6 ; 3 ) 0 m d3 = m d4 = m d5 = m d6 = Eercice.4: 3 b) 6 d) ( ; ) 4 (4 ; 5) 3 (0; ) a) ( ; 0) c) 4

130 X ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Eercice.5: f g Eercice.6: g() = + h passe par B( ; ) = () + h h = g() = + Eercice.7: 6 = g f Eercice.8: a) f() = a) S = {3} b) S = {8/5} c) S = {} d) S = 3 ; + e) S = ; 8/5 f) S = ; b) f() = c) f() = 5 d) = 5 Eercice.9: ( a) P 3 ; 07 ) 0 d) {P (; ) = 6} b) P ( 39 0 ; 3 ) 0 c) Pas de point d intersection Eercice.0: a) S = { 3} b) S = {0} c) S = { } { 6 e) S = f) S = 5 3} { 3 } 8 d) S = Ê

131 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XI Eercice.: ( 7 a) I ; 4 b) f() = 4 7 c) g() = Eercice.: Elles forment un triangle ), les fonctions représentées : m() = et n() = + Les 3 fonctions représentées sont : a() = , b() = et c() = 7 ( Les 3 points d intersection sont : I 7 ; 7 ) ( 9, I 7 3 ; 5 ) ( et I ; ) 5 En fait, le calcul des 3 fonctions et d un point d intersection peut suffire. Voez-vous comment? Eercice.3: 8 A 6 f - 4 B f f f 3 4 b) a = c) B( ; 0) Eercice.4: S = 30 9 ; + Eercice.5: a) S = ; b) S = ; + 5 c) S = ; + d) S = 5 j j 8 ; + e) S = 7 ; + f) S = ; 98 j 4 Eercice.6: j 9 a) S = 4 ; + b) S = 3 ; 3 Eercice.7: a) t = v v 0 9,8 ou mieu t(v) = v v 0 9,8 b) v(4) = 40,6 m/s

132 XII ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Eercice.8: a) 45,5 cm b) 39 C Eercice.9: a) 40 C b) 60 C qui correpond à 30 F Eercice.0: a) 30 m b) Le père a gagné avec 3 secondes d avance c) env,35 m d) v père = 7,4 m/s et vfils = 4, m/s e) d = 70,83 m Eercice.: a) v = 300 km/h b) impossible!! Eercice.: t = 36 min Eercice.3: L éloignement est de 37,5 m Eercice.4: Il s agira de considérer Eercice.5: Pas de réponse j j 6 5 ; Eercice.6: a) b) a) 5 si ; 5 si 5 ; b) si ; 0 si 0 ; +

133 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XIII c) si ; 6 c) 3 + si ; 3/ 4 5 si 3/ ; Eercice.7: a) f() = 3 ; f( ) = 6 ; f(4) = 7 b) = c) S = {0 ; 3} puis S = Eercice.8: si ; + si ; f() = si ; si ; g() = si ; 0 3 si 0 ; Eercice.9: + 4 si 3 ; + si ; f() = 5 si ; 3 si 3 ; si 5 ; 7 Eercice.30: g() = b) S = a) S = b) S = { ; 7 } 3 j 3 ; 0 5 ; 7 { 4 ; } puis S = { 3 } ; 0 ; 6 c) S = j 3 ; 0 6 ; + Eercice.3: a = 4

134 XIV ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Eercice.3: a) f(0) = 0 ; f(3) = 3 ; f(7) = ; f(9) = 7 si 0 ; 3 b) f() = 3 si 3 ; si 7 ; 9 d) S = { } { } 3 5 et S = (3 ; 3) (9 ; 7) (7 ; ) Eercice.33: a) %( ) = 5 77 b) La dernière offre (franchise à 00.-) est la plus avantageuse. Il ne paiera que c) Pas de réponse Eercice.34: a) Carte P : 7.- ; abonnement A : 66.5 Fr. ; abonnement B : 69.5 Fr. b) Abonnement B. c) Cf. ci-dessous 5 si 0 ; 5 d) P () = 0,8 ; A() = 0,55 + 6,75 si 5 ; + 40 si 0 ; 5 B() = 0,45 + 8,75 si 5 ; pri en fr. minutes de conv. P () A() B() e) P : moins de 67 min ; A : entre 67 et 0 min ; B : plus de 0 min

135 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XV A. Fonctions du e degré Eercice.: a) f() = ( ( )) 3 puis f() = b) f() = ( ) puis f() = c) f() = ( 0) 4 puis f() = 4 d) f() = ( 0) + 3 puis f() = + 3 e) f() = ( ( )) + 3 puis f() = + f) f() = ( 3) + puis f() = Eercice.: a) f() = ( ( )) + 3 = b) f() = ( 4) = c) f() = ( + ) 0 = + + Eercice.3: Après développement de (... ), distributivité, mise au même dénominateur et finalement simplification du membre de gauche de l égalité, on obtient bien le membre de droite. (chaîne d égalités) En identifiant l epression avec f() = a ( re coord. du sommet) + e coord. du sommet Eercice.4: ( 9 a) S( ; 3) b) S 4 ; 4 8 ) ( 4 c) S 3 3) ; d) S ( ; 4) Eercice.5: a) f() = ( ) + 3 b) f() = ( + 3) 7 c) f() = ( + ) + 3 ( d) f() = 9 ) Eercice.6: Quelques éléments de réponses peuvent être vus à votre demande.

136 XVI ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Eercice.7: a) f() = ( 3) + = S(3 ; ) b) f() = ( + ) 4 = S( ; 4) ( c) f() = ) + 7 ( = S ; 7 ) 6 d) f() = ( ) + 57 ( = S 8 ; 57 ) 8 Eercice.8: 3 S( ; ) S( ; ) a) 5 b) Eercice.9: a) 6( + )( ) = 0 = S = {±} b) (t + 0) = 0 = S = { 0} { { 9 c) 3(4z 9) = 0 = S = d) ( + 3)( 3) = 0 = S = ± 4} 3 } { e) 8( 7) = 0 = S = {7} f) 4(7z + 5) = 0 = S = 5 } 7 ( g) t + { = 0 = S = ) } ( h) 3 ) ( 3 + ) { = 0 = S = ± } i) 8(z + ) = 0 = S = { } j) ( 5 ) ( + 5 ) = 0 = S = { ± 5 } Eercice.0: a) ( 9)( + 4) = 0 = S = {9 ; 4} b) ( + 6)( 3) = 0 = S = { 6 ; 3} c) (z + 4)(z + 8) = 0 = S = { 4 ; 8} d) ( + 6)( + ) = 0 = S = { 6 ; } e) ( 9)( ) = 0 = S = {9 ; } f) (t + 6)(t + 5) = 0 = S = { 6 ; 5} g) ( 0)( ) = 0 = S = {0 ; } h) ( + 9)( ) = 0 = S = { 9 ; } i) ( + 5)( + 3) = 0 = S = { 5 ; 3} j) ( 8)( + 4) = 0 = S = {8 ; 4}

137 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XVII Eercice.: a) ( + 3)( + 5) = 0 = S = { 3 } ; 5 c) (5 + 6)( ) = 0 = S = { 6 } 5 ; { } e) (3 )( + ) = 0 = S = 3 ; { } g) (7 )( + 7) = 0 = S = 7 ; 7 i) (3 + 7)( 5) = 0 = S = { 7 } 3 ; 5 { } b) (9 )( + ) = 0 = S = 9 ; d) ( + 7)( 4) = 0 = S = { 7 } ; 4 { } f) (4t )(t + ) = 0 = S = 4 ; { } 7 h) ( 7)( + 4) = 0 = S = ; 4 j) 3(4u + )(u 4) = 0 = S = { } 4 ; 4 Eercice.: a) ( )( 6) = 0 = S = { ; 6} { b) (3 + )( + ) = 0 = S = } 3 ; c) ( + )( ) = 0 = S = {0 ; ±} { } d) (3 )( + 3) = 0 = S = 3 ; 3 { e) ( )( 3) = 0 = S = ; } f) (t + )(t 4) = 0 = S = { ; 4} g) ( + 4) ( 4) = 0 = S = {±4} { h) (4 + (3 + )) (4 (3 + )) = 0 = S = ; } 3 Eercice.3: Sera vu ensemble a) S = {3 ; 5} b) S = { 7 ; } Eercice.4: Sera vu ensemble a) S = { 5 ; 7 } b) S = { 5 ; } 3 Eercice.5: Sera vu ensemble a) = 0 ( + 3) = 0 ( ) ( + 3 ) = 0 S = { 3 ± }

138 XVIII ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Eercice.5: ( b) 4 = ) = 0 4 ( ) = 0 4 «( 4 3 ) 0 ff = 0 4 «( 4 3 ) ff «( 0 3 ) ff 0 + = 0 «4 3 + ff «0 3 ff 0 = 0 c) Sera vu ensemble dans le cadre du théorème qui suit. Eercice.6: Et il a même trois erreurs mathématiques dans cette BD!! Les avez-vous repérées? Eercice.7: { } 5 ± 7 a) S = d) S = e) S = b) S = { ± } c) S = { ± 3 } { } 4 ± Eercice.8: ( a) f() = ) ( + 3) ou plutôt f() = ( ) ( + 3) ( b) g() = 3 ) ( ) ou plutôt g() = (3 ) ( ) 3 ( c) h() = 4 5 ) ( 5 ) ou plutôt h() = ( 5) d) k() = ( + 5 ) ( 5 ) 3 f) S = { ; /5} S = { } 3 ± 5 Eercice.9: a) f() = ( 9)( 7) b) f() = ( + 3)( 3) c) f() = ( 4) d) f() = ( 3 )( 3 + ) e) f() = ( + 3)( 5) f) f() = ( )( + 00) ( g) f() = (3 )(3 ) h) f() = 3 + ) ( ( i) f() = 3( 9) j) f() = + ) )

139 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XIX Eercice.0: a) b) 5 - c) d) 3+ 3 Eercice.: a) S = 0 ; 9 b) S = ; 3 5 ; + ı c) S = Ê d) S = 5 ; + 5 Eercice.: 4 f 4 g 6 a) S = { ; 3} b) S = { } 3 ± 4 c) S = d) S = ; 3 ; + 4 «3 4 e) S = Ê f) S = ; 3 + ff Eercice.3: 6 g Point d intersection : I(6 ; 6) I 0 f Eercice.4: < 0 a 3 ; 5 Eercice.5: = 0 m = ±4 Eercice.6: a) I( ; 8) et J(3 ; ) b) I( ; ) et J(3 ; )

140 XX ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Eercice.7: L équation f() = g() admet bien une solution ( = 0), I(4 ; ) Eercice.8: Pour a = 6, Point de contact : I( 3 ; 4) Pour a = 6, Point de contact : I(3 ; 4) Eercice.9: f() = ( 4)( 7) donc f() = + 4 g() = h() = ( + 4) + donc h() = i() = ( 3) donc i() = 3 j() = 3 ( + 5) 3 donc h() = Eercice.30: La fonction quadratique étant f() = 4 + 9, on obtient fonctions linéaires possibles : Eercice.3: g () = ou g () = 0 a) S = {± ; ±3} b) S = {±} c) S = d) S = { ± } Eercice.3: a) S = { ± } b) S = { 3 ; 0 ; 3} Eercice.33: { a) S = {6} b) S = {5 ; 7} c) S = ; 3 } 4 { d) S = e) S = 5 } f) S = {3} 4 Eercice.34: La largeur est d environ 4,64 cm. Eercice.35: La largeur du trottoir est de m. Eercice.36: Les dimensions des premières dalles sont 0 cm 0 cm. Eercice.37: La hauteur de la falaise est d environ 70,7 m.

141 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XXI Eercice.38: a) La longueur est de + 5. b) Il s agit du nombre d or. Connaissez-vous un peu son histoire? Et si vous alliez faire un saut sur Wikipedia!?! or Eercice.39: La longueur du trajet est soit de 6 km, soit d environ 5,64 km.

142 XXII ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS A.3 Fonctions polnômes Eercice 3.: a) (p + q)() = 3 + c = b) (p q)() = c = 3 c) (p q)() = c = 5 Eercice 3.: a) c 3 = 5 b) c 4 = Eercice 3.3: a) ( )( + )( + ) = 0 = S = { ; ; } b) ( ) = 0 = S = {0 ; } c) ( 3)( )( + ) = 0 = S = {3 ; ±} { d) ( 3) = 0 = S = 0 ; 3 } Eercice 3.4: 3( )( + )( + )( ) Eercice 3.5: { a) ( 5)(3 + ) = 0 = S = 0 ; 5 ; } 3 b) 4 ( 9)( ) ( + ) = 0 = S = {0 ; 9 ; ; } c) ( ( ) ) ( ( + ) ) = 0 = S = { 0 ; ± } d) ( + 4)( + 9) = 0 = S = Eercice 3.6: a) b) c) 3 8 Eercice 3.7: a) ( 5) 3 b) ( + 3) 3 c) (5 )( ) d) (4 + 3)(6 + 9) e) ( ) 3 f) Non factorisable à l aide d un produit remarquable!!

143 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XXIII Eercice 3.8: Ces trois figurent permettent de visualiser géométriquement les 3 produits remarquables suivants : a) (A + B) = A + AB + B b) Figure : A B Figure : (A + B)(A B) c) (A + B) 3 = A 3 + 3A B + 3AB + B 3 } = A B = (A + B)(A B) Eercice Défi : Quelle figure pourrait-on proposer pour visualiser : (A B) 3 = A 3 3A B + 3AB B 3? Eercice 3.9: a) = ( 5) ( 3 + ) b) = ( + ) ( ) + (0 8) c) = ( ) ( ) + (3 + 4) d) = ( 3 + ) ( ) + ( + 3) e) = ( ) ( 5 + 6) ( f) = ( 3) ) ( g) = (3 3 + ) ) ( ) Eercice 3.0: F = Eercice 3.: Le reste de la division vaut bien zéro. Eercice 3.: a) EF : = ( + ) ( ) - 3 b) F( ) = 3. Le reste de la division par ( + ) semble s obtenir en évaluant le polnôme F en =. c) F() = 3 qui correspond à nouveau au reste de la division "effectuée à la main". Eercice 3.3: En posant F() = , on obtient bien F() = 0. Eercice 3.4: Le reste = -4

144 XXIV ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Eercice 3.5: a = 4 a = = = Eercice 3.6: a = 48 et b = 73 Eercice 3.7: a) Par eemple F() = ( + )( )( 4) = b) Oui, une infinité, on peut proposer F() = ( + )( )( 4) 3 ou plus généralement : F() = a... ( + )... ( )... ( 4)... avec a Ê Eercice 3.8: F() = 3( )( + )( + ) = Eercice 3.9: F() = 5 ( )( + ) = Eercice 3.0: a) ( )( + 3)( + 7) b) ( + )( )( + 3) c) ( ) ( + ) d) ( ) ( )( 3) Eercice 3.: a) ( )( 3)( 5) b) ( )( 3)( 4) Eercice 3.: a) S = { 3 ; 4 ; 4} b) S = { ; 3 ; 5} c) S = {3 ; 4} { d) S = { ; 3 ; 4} e) S = { ; 3} f) S = ; } 5 ; 7 Eercice 3.3: a) f()

145 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XXV b) f() c) f() d) f() e) f() f) f() / / g) f() h) f()

146 XXVI ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Eercice 3.4: À l aide d une division polnomiale de f par + 3 (cf. esquisse), on obtient : f() = ( + 3)( )( + ) Il s agit de la re esquisse. Proposer le tableau de signes pour vous en convaincre. Eercice 3.5: f() Eercice 3.6: a) f() = ( + )( + )( ) donc f() = b) f() = ( ) ( + ) donc f() = Eercice 3.7: a) S = ; ; 0 ; c) S = 3 ; ; b) S = ; + Eercice 3.8: Soit a un nombre réel quelconque. Vous avez probablement considéré a =. Non? a) a(3 )( 3) = 0 donc a ( ) = 0 b) Deu solutions possibles : a(3 ) ( 3) = 0 donc a ( ) = 0 a(3 )( 3) = 0 donc a ( ) = 0 c) Plusieurs solutions possibles. Par eemple : a(3 ) ( 3) = 0 donc a ( ) = 0 a(3 )( 3)( + ) = 0 donc a ( ) = 0 d) a ( ( 3 )) ( ( 3 + )) = 0 donc a ( 6 + 7) = 0 e) a ( ( 3 )) ( ( + 3 )) = 0 donc a ( ) = 0 f) a( )(3 + )(3 )( + ) = 0 donc a ( ) = 0 g) Plusieurs solutions possibles. Par eemple : a( + )( + ) = 0 donc a ( ) = 0

147 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XXVII h) Plusieurs solutions possibles. Par eemple : a( 3)( )( + ) = 0 donc a ( ) = 0 Eercice 3.9: Il suffit de découper, dans chaque coin, un carré de côté = 5 cm ou = 5 ( ) cm. Eercice 3.30: b) = 4 m Eercice 3.3: a) Pour t 0 ; b) 40 T c) À 0h00 et env. h t 0 40 Eercice 3.3: a) Pour t 0 ; 5 ı b) Après 5 ans. c) Pour t 5 ; 4

148 XXVIII ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS A.4 Fonctions rationnelles Eercice 4.: a) E D = Ê { } b) + c) f() -4-3, ,5 0,67 0, ,7 5-0, d) f() II + 0 Eercice 4.: a) E D = Ê { } 5 ( )( + ) c) E D = Ê { 3} ( + 3) e) E D = Ê { ; } ( + ) 3 ( + ) + 3 b) E D = Ê {±} d) E D = Ê { } f) E D = Ê {0 ; 5 ; ±4} 00 ( )( + 3) + ( + 4) ( 4) Eercice 4.3: a) E D = Ê { ; ; 3 ; 4} ( + )( + 4) + b) E D = Ê { 3 ; 5} + c) E D = Ê { } ± ; 0 ; 5 ( + 4)(5 + ) d) E D = Ê {±}

149 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XXIX Eercice 4.4: a) E D = Ê { ; 5} b) E D = Ê { } c) E D = Ê { 3 ; 3} d) E D = Ê { ; } e) E D = Ê { ; ; } f) E D = Ê { ; ; } g) E D = Ê {±} h) E D = Ê { ; ; } 3 8 ( 5)( + ) ( + ) 5 ( + 3) 3 ( )( + ) ( + ) ( )( )( + ) ( ) ( + )( )( + ) 3 ( + )( ) 8 0 ( + )( )( + ) = ( 4 6 ) ( ) ( + )( )( + ) Eercice 4.5: a) + + b) e) f) + 3 c) ( + )( ) g) + d) + + h) 3 ( ) Eercice 4.6: a) E D = Ê { } 7 S = b) E D = Ê {0 ; } S = { 3 ; } 4 { } 3 7 ; 4 c) E D = Ê {0 ; 5} S = { 3 ; 0} d) E D = Ê {0 ; 3} S = {} e) E D = Ê {0} S = {6} { } f) E D = Ê ; S = { } ± 73 3

150 XXX ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Eercice 4.7: ( + )( ) a) 0 S = ; 0 ; ; + ( ) b) c) d) ( 3) ( + )( ) < 0 S = ; 0 ; 3 3 ; ( 3) ( )( ) > 0 S = ; 3 ; + (3 + 5)( 4) ( + 6)( ) 0 S = 6 ; 5 3 ; 4 Eercice 4.8: 4 a) ( )( + ) 0 S = ; 0 ; b) c) d) e) f) ( + ) ( + )( ) > 0 S = ; ; ; + ( ) ( ) ı 0 S = ; 3 ı 3 ; 3 + ; ( + )( + )( + 3) ( + )( + ) 0 S = ; 0 0 ; + 7(3 + ) ( )(3 + ) 0 S = ; 3 ; + 8( + 3) ( 4)( + ) 0 S = ; 4 Eercice 4.9: a) D b) t = 8 ans c) Pour t ; t Eercice 4.0: a) = km ou = 7 km b) pour 7 ; 7

151 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XXXI A.5 Trigonométrie Eercice 5.: a b c α β A a) c cos(β) c sin(β) 90 β c sin(β) cos(β) b) c a sin -( ) a cos -( ) a a c c c a c) d) e) f) A b A tan(α) Applications numériques a tan(α) A tan(α) a sin(α) a + b 4 A + b 4 b A (tan (α) + ) tan(α) tan -( ) a b tan -( ) A b 90 α a tan(α) tan -( ) b a b a tan -( ) b A 90 α a b c α β A a),65 3,9,80 3,3 b) 8,49 35,7 54,9,86 c) 3,74 6, 37,63 9,07 d) 50,60 5,5 64,85 49,35 e) 49,98 63,7 5,68 38,3 f) 4,0 4,97 6,45 50,50 Eercice 5.: a) b) a b = c α β = γ A a sin(α/) a cos(β) 80 β 90 α/ a 4 tan(α/) a tan(β) 4 Applications numériques a b = c α β = γ A a) 3,56 68,75 358,06 b) 9,8 67,40 39,77

152 XXXII ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Eercice 5.3: h = L tan(α) = h = 9,96 m Eercice 5.4: cercle inscrit : r i = a tan ( 80 α 4 cercle circonscrit : r c = ) = r i = 3,63 cm a 4 sin (α/) cos (α/) ou r c = a sin (α) = r c = 8,5 cm Eercice 5.5: raon : r = L sin ( 360 α hauteur : h = L tan ( ) α Eercice 5.6: ) = r = 6,39 m sin ( 360 α ) = h = 8,57 m En posant h et les inconnues cherchées, vous obtiendrez le sstème : Dont les solutions sont : = h = tan(4,0 ) h + 5 = tan(,0 ) 5 tan(,0 ) tan(4,0 ) tan(,0 ) 5 tan(,0 ) tan(4,0 ) =,63 m puis h = = 8,93 m tan(4,0 ) tan(,0 ) Eercice 5.7: Cet eercice est un clone de l eercice précédent. Vous obtiendrez : h = 6 tan(3,5 ) tan(5 ) tan(5 ) tan(3,5 ) = 40,83 m Eercice 5.8: r = 5 sin(89,49 ) sin(89,49 ) = ,3 m Eercice 5.9: a) 30 b) 0 c) 8 d) 70 e) 50 f) 675 g) 57,30 h) 40, i) -4,59 j) 7,89

153 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XXXIII Eercice 5.0: a) π 4 b) π 3 c) 5π d) π 6 e) π 3 f) 7π 4 g) 0,40 h) -,88 i) 5,0 j),66 Eercice 5.: Erreur absolue :,464 0 km Erreur relative :,33% Eercice 5.: a) 8,59 cm b),8 m ; 5,3 m c) 00,7 ;,75 rad d) Il s agit de résoudre un sstème de équations à inconnues.vous obtiendrez : raon =,50 m angle =,60 rad e) La e. Eercice 5.3: a) 4/5 b) 96π c) 5760π d) 88 Eercice 5.4: Pas de corrigé proposé Eercice 5.5: Ces affirmations se justifient en les visualisant sur un cercle trigonométrique. Eercice 5.6: a) Vrai b) Vrai c) Vrai d) Fau e) Fau f) Vrai Eercice 5.7: a) IV b) III c) III d) II Eercice 5.8: Sera vu ensemble

154 XXXIV ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS Eercice 5.9: α sin(α) cos(α) tan(α) 3 a) b) π/3 3 c) 945 d) 5π/ e) 70 0 non défini f) 6π 0 0 Eercice 5.0: a) α + k π mais aussi (π α) + k π k b) α + k π mais aussi α + k π k c) α + k π k Eercice 5.: a) α = 9,47 et α = 60,53 b) α = 60 et α = 300 c) α = 6,57 et α = 96,57 d) α = 54,6 et α = 05,84 e) α = 0, α = 80 et α 3 = 360 f) aucun Eercice 5.: a) 3 ( ) f() = sin -π -π π π ( ) g() = 3 sin 3

155 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XXXV b) f() = cos (3) g() = cos (3) -π -π π π c) f() = cos ( + π) d) f() = sin ( π/) -π -π π π -π -π π π Eercice 5.3: Sera vu ensemble Eercice 5.4: Sera vu ensemble Eercice 5.5: a) c = a + b ab cos(γ) = c = 4,9 α = sin - a sin(γ) = α = 58,79 a + b ab cos(γ) β = sin - b sin(γ) = β = 90,5 a + b ab cos(γ) A = ab sin(γ) = A = 47

156 XXXVI ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS b) α = 80 β γ = α = 3,8 b = c = A = a sin(β) sin(80 β γ) a sin(γ) sin(80 β γ) a sin(β) sin(γ) sin(80 β γ) ( a c) α = cos - b c ) bc ( b β = cos - a c ) ac ) = b = 34,6 = c = 66,6 = A = 388,55 = α =,99 = β = 64,5 ( c γ = cos - a b = γ ab = 9,48 ( ( c A = ab sin cos - a b )) = A ab = 030,50 Eercice 5.6: γ = 80 α β = γ = 36,98 A sin(β) b = sin(α) sin(80 α β) A sin(α) a = sin(β) sin(80 α β) c = A sin(80 α β) sin(α) sin(β) = b = 7,7 = a = 5,8 = c = 4,3 Eercice 5.7: Sera vu ensemble Eercice 5.8: AC = 0 7 = 6,46 cm BD = 0 9 = 43,59 cm θ = 64,3 Eercice 5.9: AB = 59, m Eercice 5.30: IAJ = 33,56 AIJ = AJI = 73,

157 ANNEXE A. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS XXXVII Eercice ( 5.3: 3 A ; + ) 3 B ( 3 5 ; 5 ) 3 + Eercice 5.3: a) AC = BA + BC BA BC cos(β) = 7,0 cm ( ) AB sin(β) b) γ = sin - = 7,6 AC ( CA c) γ = cos - + CB AB ) = 08,74 CA CB d) Sera vu ensemble. Mais si vous commenciez par étudier cette figure... B 43 0 O B A 7. 7,6 08,74 C

158 Inde A absurde appartient aiome C cercle trigonométrique coefficients d une fonction complémentaire conditionnelle conjecture conjonction , contraposée , 7 contre-eemple cosinus , 05 D degré diagramme de Venn différence discriminant disjonction ,, 9 divisibilité division de polnôme E élément ensemble ensemble de définition équation bicarrée du er degré du e degré du 3 e degré et plus racine rationnelle équivalence F factorisation par compéter le carré par division de polnômes par groupement par la formule par produits remarquables par Somme-Produit par tâtonnement fonction affine définie par morceau du 3 e degré linéaire périodique polnôme quadratique rationnelle trigonométrique , 05 valeur absolue formule de Cardan du e degré fraction rationnelle addition division XXXVIII

159 INDEX XXXIX multiplication simplification soustraction I implication inéquation du er degré du e degré par tableau de signes rationnelle inclusion induction intersection intervalle L le truc du reste logique M minute d arc sinus , 05 sommet de la parabole sous-ensemble sstème d inéquation T table de vérité tableau de signes tangente , 05 théorème de l aire des suspects du cosinus du sinus théorème V valeur absolue valeur de vérité Z zéro d une fonction N négation , O ordonnée à l origine P parabole pente produits remarquables , 75 proposition Q quantificateurs quotient d une division R résolution de triangles radian rapports trigonométriques réciproque récurrence reste d une division réunion S seconde d arc

160 Si vous souhaitez commander ou utiliser ce polcopié dans vos classes, merci de prendre contact avec son auteur en passant par son site web : Notions élémentaires MRenf (0. 06) CADEV - n o