Notions élémentaires d algèbre et de trigonométrie 1M Renf. Jean-Philippe Javet

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1 Notions élémentaires d algèbre et de trigonométrie M Renf Jean-Philippe Javet La tablette d argile, nommée Plimpton 3, est une pièce archéologique bablonienne (env. 800 ans av. J.-C.) écrite en cunéiforme et traitant de mathématiques. Cette tablette comporte un tableau de nombres rangés sur 5 lignes par quatre colonnes. Il semble être une liste de triplets pthagoriciens, c est-à-dire de nombres entiers vérifiant la relation de Pthagore a + b = c, comme par eemple (3,4,5).

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3 Table des matières 0 Quelques éléments de logique (et de th. des ensembles) 0. Introduction, un peu d histoire Notion de proposition Opérations logiques Les quantificateurs Les objets du raisonnement Les méthodes de démonstration Les ensembles Relations et Opérations sur les ensembles Fonctions du er degré 3. Fonctions linéaires et affines Équations Inéquations Quelques applications ( re partie) Fonctions définies par morceau Quelques applications ( e partie) Fonctions du e degré 49. Paraboles Équations du e degré Factorisation par produits remarquables Factorisation du trinôme (méthode Somme-Produit) Factorisation du trinôme (méthode Tâtonnement) Factorisation du trinôme (méthode Compléter le carré) Factorisation à l aide de la formule Inéquations du e degré Équations du e degré maquillées Équations bicarrées Équations avec des racines carrées Quelques applications I

4 3 Fonctions polnômes 7 3. Définitions Fonctions du 3 e degré Équations du 3 e degré et plus Résolution par factorisation Résolution par produits remarquables Résolution par division de polnômes Tableau de signes et inéquations Fonctions rationnelles Définitions Les fractions rationnelles Simplification de fractions Multiplication et division de fractions Addition et soustraction de fractions Équations rationnelles Inéquations rationnelles Trigonométrie Triangle rectangle Résolutions de triangles Mesure des angles Conversion d angles Longueur d arc et aire d un secteur Le cercle trigonométrique Fonctions trigonométriques Graphes des fonctions trigonométriques Le triangle quelconque A Quelques éléments de solutions I A.0 Logique I A. Fonctions du er degré IX A. Fonctions du e degré XV A.3 Fonctions polnômes XXII A.4 Fonctions rationnelles XXVIII A.5 Trigonométrie XXXI Inde XXXVIII Le polcopié que vous avez entre les mains est très largement inspiré du manuel Notions élémentaires publié par la Comission Romande de Mathématique ainsi que du polcopié La logique et les ensembles proposé au Gmnase du Bugnon (Slvain Amaudruz). Que tous ces différents auteurs soient remerciés ici ;-) Malgré le soin apporté lors de sa conception, ce support de cours contient certainement quelques erreurs et quelques coquilles. Merci de participer à son amélioration en m envoant un mail à : jeanphilippe.javet@vd.educanet.ch

5 Quelques éléments de logique (et de th. des ensembles) 0 0. Introduction, un peu d histoire Les maths peuvent être définies comme la science dans laquelle on ne sait jamais de quoi l on parle ni si ce que l on dit est vrai. Bertrand Russell Introduction: Aristote Dans l accomplissement de leur tâche, les travailleurs manuels se servent d outils. Il en va de même dans l activité intellectuelle. Pour élaborer leurs raisonnements, les scientifiques, notamment les mathématiciens, emploient un instrument particulier, le même dans toutes les disciplines : la logique. Chacun sait qu il a des raisonnements corrects et d autres qui ne le sont pas ; c est la logique qui permet d établir cette distinction. Les logiciens et les mathématiciens se sont efforcés, au cours des âges, de développer cet instrument de façon à lui donner la souplesse eigée par les multiples circonstances où il intervient et la simplicité indispensable à une technique aussi universelle. Nous nous contenterons ici d une approche purement informelle de la logique, aant pour principal but d introduire des termes et des smboles mathématiques utiles pour le cours de mathématiques que vous allez suivre durant vos études gmnasiales. Nous introduirons également les différents tpes de démonstration. Gottfried Wilhelm Leibniz Mathématicien allemand George Boole Mathématicien britannique Un des pères de la logique fut Aristote (384-3 Av. J-C). Son travail fut publié sous le titre ORGANON. Le philosophe allemand Kant a déclaré que la logique était sortie close et achevée (geschlossen und vollendet) de l esprit d Aristote. Quelques autres grands noms de la logique : Leibniz (646-76) qui mécanise la pensée à l aide de smboles et signes. C est le fondateur de la logique formelle. Boole (85-864) qui libère la logique de la philosophie et l ancre au mathématiques. Russell et Gödel ont au XX e siècle également travaillé sur les liens entre logique, mathématique et philosophie.

6 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eercice 0.: On attribue à Épiménide (VII e siècle av. J.-C.) le propos suivant : «Tous les Crétois sont des menteurs» Or celui-ci est Crétois... Qu en pensez-vous? 0. Notion de proposition Définition: Une proposition est un énoncé dont on peut dire sans ambiguïté qu il est vrai ou fau. L adjectif vrai ou fau qui accompagne une proposition est appelé valeur de vérité de cette proposition. Ainsi, ce qui définit une proposition en logique n est pas son contenu, mais le fait que l on puisse lui attribuer une valeur de vérité selon les trois principes suivants : Une proposition ne peut prendre une valeur autre que vrai ou fau. (Principe du tiers-eclu) Une proposition ne peut être à la fois vraie ou fausse. (Principe de non-contradiction) Une proposition conserve sa valeur de vérité. (Principe d identité) Les propositions sont souvent désignées par des lettres en majuscule : P, Q, R, S,... Eemple : Parmi les énoncés ci-dessous, trouver ceu qui peuvent être considérés comme des propositions et déterminer leur valeur de vérité : a) La baleine est un mammifère. b) La source du Rhône est dans le canton de Vaud. c) Elle est très belle. d) Deu plus deu égalent quatre. e) Lève-toi! f) Le soleil tourne autour de la Terre. g) Cette phrase est fausse.

7 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 3 Eercice 0.: Parmi les énoncés ci-dessous, trouver ceu qui peuvent être considérés comme des propositions. Déterminer alors leur valeur de vérité. Dans le cas contraire, epliquer pourquoi. a) Paris est la capitale de la France. b) Pourvu que tu viennes demain. c) Catherine se demande quels livres elle va choisir. d) Le soleil se lève à l ouest. e) La planète Mars est habitée. f) As-tu lu ma conférence? g) (3 8) donne le même résultat que 3 8. h) Demain, il fera un temps orageu. Eercice 0.3: Mullah Nasreddin vivait à la cour du grand et terrifiant conquérant Tamerlan, et jouait le rôle difficile du fou. Un jour, ecédé par les propos trop injurieu du Mullah, Tamerlan le condamna à mort. Mais par admiration et smpathie pour la liberté de son esprit, il décida de lui laisser choisir sa mort. Il devait faire une courte déclaration. Si celle-ci est vraie, il sera pendu. Si elle est fausse, il sera décapité. Mullah Nasreddin parla et eut la vie sauve. Qu a-t-il dit? 0.3 Opérations logiques Des propositions nouvelles peuvent être construites à partir d autres propositions grâce au opérations logiques. Définition: Étant donné une proposition P, la négation de P, notée nonp, est une proposition qui a la valeur fau quand P est vraie et la valeur vrai quand P est fausse. On résume cela à l aide de la table de vérité : P V F nonp La négation de la négation d une proposition est la proposition ellemême.. Quelques infos sur ce personnage mthique : http ://fr.wikipedia.org/wiki/nasr_eddin_hodja

8 4 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eemple : Proposer la négation des propositions suivantes : a) Le réel π est strictement compris entre 3 et 4. b) Tous les carrés sont des rectangles. c) Il eiste un poisson qui peut voler. Définition: Étant donné deu propositions P et Q, la conjonction de P et Q, notée P et Q, est une proposition qui a la valeur vrai lorsque P et Q sont toutes deu vraies et la valeur fau dans les trois autres cas. On résume cela à l aide de la table de vérité : P Q P et Q V V V F F V F F Eemple 3: Considérons les propositions : P : Les baleines sont des mammifères. Q : Le soleil tourne autour de la terre. Donner la conjonction de P et Q ainsi que sa valeur de vérité. Définition: Étant donné deu propositions P et Q, la disjonction de P et Q, notée P ou Q, est une proposition qui a la valeur vrai si l une au moins des propositions P et Q est vraie et la valeur fau si elles sont toutes deu fausses. On résume cela à l aide de la table de vérité : P Q P ou Q V V V F F V F F La table de vérité met en évidence le fait que le mot ou en mathématiques est à considérer dans son sens non eclusif.

9 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 5 Eemple 4: Considérons les propositions : P : Les baleines sont des mammifères. Q : Le soleil tourne autour de la terre. Donner la disjonction de P et Q ainsi que sa valeur de vérité. Eercice 0.4: Malik possède les caractéristiques suivantes : il est écossais, ne joue pas du biniou, ne porte pas de jupe et fait du rugb Pour adhérer à un club de loisir masculin, chaque candidat devra remplir toutes les conditions ci-dessous : être écossais ou jouer du biniou faire du rugb et ne pas porter une jupe ne pas faire du rugb ou être écossais a) Malik pourra-t-il adhérer à ce club? b) Qu en est-il de son camarade Léo qui, même n étant pas écossais et ne portant pas de jupe, joue du biniou et pratique le rugb. Eercice 0.5: a) Énoncer la négation des propositions suivantes : A : Je parle français et anglais ; B : Je vais à Paris ou à Londres. b) Montrer en quoi la table de vérité suivante justifie la négation de la proposition A. P Q P et Q non(p et Q) nonp nonq (nonp ) ou (nonq) V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V c) Proposer la table de vérité justifiant la négation de la proposition B.

10 6 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Définition: Étant donné deu propositions P et Q, l implication de P vers Q, notée P Q, est une proposition qui a la valeur fau si P est vraie et Q est fausse, et qui est vrai dans les trois autres cas. On résume cela à l aide de la table de vérité : P Q P Q V V V F F V F F La table de vérité met en évidence un fait pouvant paraître étonnant : du fau peut découler n importe quoi. Observons ceci sur un eemple : En campagne électorale, un politicien fait la promesse : Si je suis élu, il aura une réduction d impôts. Supposons qu il n est pas élu et qu il n a pas de réduction d impôts. Peut-on alors l accuser d avoir menti? Intuitivement, on sait bien qu il n a pas menti, puisqu il n avait rien promis du tout dans le cas où il ne serait pas élu. Donc notre intuition nous dit que la phrase qu il a prononcée est vraie (sinon il aurait menti). Cette intuition est en accord avec la table de vérité de, puisque la phrase prononcée est une implication du tpe (F F), qui est Vraie selon la table. Eemple 5: Au sujet d un quadrilatère ABCD, former des implications vraies à partir des propositions suivantes : P : Le quadrilatère est un losange. Q : Le quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires. R : Le quadrilatère est un carré. S : Le quadrilatère a ses diagonales isométriques.

11 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 7 Remarques: La conditionnelle se formule aussi en mathématiques en emploant l epression si P, alors Q. Le logicien averti aura remarqué l ambiguïté de cette dernière définition... En effet, nous ne différencierons pas les notions de conditionnelle (codée par P Q) et d implication. Eemple 6: La phrase : est-elle vraie ou fausse? Si 3 = 6 alors + = 3 Étonnant: Du fau il peut en découler n importe quoi... Si et font 5, alors je suis le pape. En effet, si + = 5, on a 4 = 5. En soustraant par 3 chacun des membres de l égalité, on obtient =. Cela signifie ainsi que le pape et moi sommes un, donc que je suis le pape! Bertrand Arthur William Russell mathématicien britannique (87-970) Bertrand Russell Définition: L implication Q P est appelée la réciproque de l implication P Q. Eemple 7: Formuler les réciproques des conditionnelles et comparer leur valeur de vérité avec la conditionnelle de départ. a) = 6 = 3 b) Jean a gagné au loto Jean a joué au loto. Vous trouverez plus d info sur : http ://

12 8 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Constatations: Une implication et sa réciproque n ont pas nécessairement la même valeur de vérité. Définition: Étant donné deu propositions P et Q, l équivalence entre P et Q, notée P Q, est une proposition qui possède la valeur vrai si P et Q ont la même valeur et la valeur fau sinon. On résume cela à l aide de la table de vérité : P Q P Q V V V F F V F F Les tables de vérité de l eercice qui suit met en évidence le fait que l équivalence P Q revient à avoir conjointement les implications P Q et sa réciproque Q P. L équivalence se formule aussi en mathématiques en emploant différentes epressions : P si et seulement si Q, si P, alors Q, et réciproquement. Eemple 8: a) Les propositions ci-dessous sont-elles équivalentes? P : = 5 Q : = 5 b) Les propositions ci-dessous sont-elles équivalentes? P : Une des soeurs de Paul s appelle Juliette. Q : Un des frères de Juliette s appelle Paul. Eercice 0.6: À l aide de tables de vérité, montrer que : (P Q) et (Q P ) est équivalent à P Q

13 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 9 Eercice 0.7: Soit les paires de propositions suivantes : a) P : n est un multiple de ; Q : n est un multiple de 6. b) P : le triangle ABC est rectangle en C ; Q : C appartient au cercle de diamètre AB. c) Soit a, b et c des nombres entiers. P : a divise b ; Q : a divise b c. Évaluer P Q et Q P pour chacune des paires ci-dessus, puis préciser quand P est équivalent à Q. Définition: L implication nonq nonp est appelée la contraposée de l implication P Q. Eemple 9: Formuler la contraposée des implications et comparer la valeur de vérité avec l implication de départ : a) Fabienne est née à Lausanne Fabienne est née en Suisse. b) est divisible par est divisible par 4. Remarque: En comparant les valeur de vérité, nous pouvons observer sur l eemple ci-dessus la propriété suivante : (P Q) est équivalent à (nonq nonp) Ce principe porte le nom de contraposition, nous le justifierons et l utiliserons un peu plus loin dans ce polcopié (page 7). Eercice 0.8: Soit P, Q et R des propositions définies comme suit : P : J ai soif Q : Mon verre est vide R : Il est quatre heures Décrire les propositions suivantes à l aide de P, Q et R et des opérateurs logiques. a) J ai soif et mon verre n est pas vide. b) Il est quatre heures et j ai soif. c) Je n ai pas soif ou mon verre est vide. d) S il est quatre heures, alors j ai soif. e) Si j ai soif et que mon verre est vide, alors il est quatre heures. f) Si j ai soif, alors mon verre est vide ou il est quatre heures.

14 0 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eercice 0.9: Évaluer les propositions de l eercice précédent sachant que : a) Les propositions P et R sont vraies, la proposition Q est fausse. b) La proposition P est fausse, les propositions Q et R sont vraies. Eercice 0.0: Sur une île, il a deu sortes d habitants : les chevaliers qui disent toujours la vérité et les coquins qui disent toujours des mensonges. Soit A et B deu habitants de l île. a) A dit : Si je suis un chevalier, alors B aussi, peut-on déterminer les identités de A et de B? b) A dit : Si je suis un chevalier, alors + = 5, que conclure? c) A dit : Si je suis un chevalier, alors + = 4, que conclure? Eercice 0.: On suppose les deu propositions suivantes vraies : A : J aime Bett ou j aime Jane, B : Si j aime Bett, alors j aime Jane. Est-ce que j aime Bett? Est-ce que j aime Jane?! Eercice 0.:! Sachant que chacune des propositions suivantes est vraie, que peuton en déduire? P : De deu choses l une : ou bien le malfaiteur est venu ou bien le témoin s est trompé. P : Si le malfaiteur a un complice, alors il est venu en voiture. P 3 : Le malfaiteur n avait pas de complice et n avait pas de clé ou le malfaiteur avait un complice et avait la clé. P 4 : Le malfaiteur avait la clé. (Scénario de Lewis Carrol) Définition: Soit P et P deu propositions composées dont on a constitué leur table de vérité. Si leur dernière colonne est identique, on dit alors que ces propositions sont logiquement équivalentes et on note : P P

15 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eemple 0: Démontrer à l aide des tables de vérité la re loi de Morgan : non(p et Q) ((nonp) ou (nonq)) Augustus de Morgan mathématicien britannique (806-87) Eercice 0.3: Démontrer à l aide des tables de vérité : a) la e loi de Morgan : non(p ou Q) ((nonp) et (nonq)) b) la négation d une conditionnelle : non(p Q) (P et (nonq)) c) le principe de la contraposition : (P Q) (nonq nonp) Eercice 0.4: a) Démontrer les équivalences logiques suivantes : (P Q) ((nonp) ou Q) (P et Q) non((nonp ) ou (nonq)) b) Il est possible d effectuer ces démonstrations sans utiliser les tables de vérité. Saurez-vous trouver comment?

16 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Codage: Codage avec des connecteurs logiques : Il est fort probable que la prochaine fois que vous suivrez un cours de logique formelle après le gmnase, on vous introduira le codage suivant : La négation : La conjonction : La disjonction : Ainsi l équivalence suivante : non(p et Q) ((nonp) ou (nonq)) devient : (P Q) ( P Q) Eercice 0.5: Traduisez les 5 équivalences des deu eercices précédents en utilisant le codage défini ci-dessus. Eercice 0.6: a) Démontrer que : (P Q) (P ) (Q) b) Compléter alors : (P Q) Eercice 0.7: Soit les propositions suivantes : A: Si ABCD est un carré, alors ABCD est un rectangle. B : Si n premier, alors n = ou n est impair. C : Si n est divisible par 6, alors n est divisible par et par 3. D : Si le quadrilatère ABCD a des diagonales qui se coupent perpendiculairement en leur milieu, alors ABCD est un losange. Pour chacune de ces propositions, énoncer : a) la négation et évaluer-la ; b) la contraposée et évaluer-la ; c) la réciproque et évaluer-la.

17 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Les quantificateurs Définition: Le quantificateur eistentiel : Soit P () une proposition dépendant d un paramètre appartenant à un ensemble E. La proposition : E, P () se lit Il eiste un élément de E tel que P () est vraie ; signifie qu il eiste au moins un élément appartenant à l ensemble E tel que la proposition évaluée pour est vraie. Définition: Le quantificateur universel : Soit P () une proposition dépendant d un paramètre appartenant à un ensemble E. La proposition : E, P () se lit Quel que soit de E, P () est vraie ; signifie que la proposition évaluée en est vraie pour tout élément de l ensemble E. Eemple : Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes : a) Æ, + est un carré parfait b) Æ, ( + ) est un nombre entier pair Règles: Négations d une proposition quantifiée : (, P ()) (, P ()) (, P ()) (, P ()) Eemple : Proposer les négations des propositions de l eemple précédent puis déterminer leur valeur de vérité : a) Æ, + est un carré parfait b) Æ, ( + ) est un nombre entier pair

18 4 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eercice 0.8: En utilisant pour chat et P () pour la condition : a des moustaches, écrire les propositions suivantes à l aide de quantificateurs : a) Tous les chats ont des moustaches. b) Il eiste un chat sans moustaches. c) Il n eiste pas de chat sans moustaches. d) Aucun chat n est sans moustaches. Eercice 0.9: Évaluer les propositions : a), = 4. b), est un nombre entier et = 7. c), est un canton suisse et est bilingue. d), est un multiple de 3 et de 5 est un multiple de 0. e), est un être vivant mortel. f), Ê, ( + ) = + +. Eercice 0.0: Former la négation des propositions suivantes : a) Certains Lausannois parlent chinois. b) Les Lausannois savent lire. c) Tous les Lausannois ont des cheveu blonds ou des eu noirs. d) Un Lausannois a 0 ans et parle tibétain. e) Certains Lausannois parlent chinois ou le tibétain. f) Aucun poisson ne respire avec des poumons. Eercice 0.: Les données de cet eercice se trouvent sur le site : puis en sélectionnant le niveau : M renf.

19 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Les objets du raisonnement C est avec la logique que nous prouvons et avec l intuition que nous trouvons. Henri Poincaré Le trait spécifique des mathématiques, par rapport au autres sciences est d être une science déductive. Plus précisément, une fois élaborée toute théorie mathématique comportera nécessairement : Des objets fondamentau: Des aiomes: Ce sont des objets primitifs, intuitivement évidents, qui ne sont rattachés à aucune notion antérieure. De ce fait, on ne peut malheureusement pas en donner une définition rigoureuse. a) En géométrie : les points, les droites, les plans, l espace. b) En algèbre : les nombres entiers. Ce sont des propriétés élémentaires considérées comme vraies sans aucune justification. a) En géométrie : par deu points distincts passe une droite et une seule. b) En algèbre : sur les nombres entiers : tout nombre X admet un successeur noté succ(x) Des théorèmes: Des conjectures: Ce sont des résultats nouveau que l on établit par un procédé appelé preuve ou démonstration. La démarche est toujours la même : on part d une proposition appelée hpothèse, puis en appliquant les règles de la logique et les faits antérieurement admis (aiomes et théorèmes), on cherche par une suite de déductions, à aboutir à une nouvelle proposition appelée conclusion. a) En géométrie : si deu droites d et d sont perpendiculaires à une troisième droite d, alors ces deu droites sont parallèles. b) En algèbre : la somme de deu nombres entiers consécutifs est impaire. Une conjecture est une proposition qui a été proposée comme vraie, mais que personne n a encore pu ni démontrer ni réfuter. La conjecture de Goldbach : Tout nombre entier pair strictement supérieur à peut être écrit comme la somme de deu nombres premiers 8 = 8 = Lettre de Christian Goldbach à Léonard Euler (74) lui présentant sa conjecture

20 6 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eemple 3: Dans l énoncé du théorème suivant, identifier clairement les hpothèses et la conclusion : Le quotient de nombres rationnels quelconque est un nombre rationnel. Eercice 0.: Dans l énoncé des théorèmes suivants, identifier clairement les hpothèses et la conclusion : a) La somme des angles d un triangle vaut 80 b) Deu triangles qui ont respectivement un angle et les côtés adjacents isométriques sont isométriques. c) Pour qu un nombre soit divisible par 3, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit un multiple de 3. d) Tout nombre impair peut s écrire comme le double d un entier, augmenté d une unité. 0.6 Les méthodes de démonstration Méthode directe: Eemple 4: Pour montrer qu une implication P Q est vraie à l aide de la méthode directe, on suppose que la proposition P est vraie et on démontre que la proposition Q est également vraie. Prouver que le produit de nombres impairs est impair.

21 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 7 Eercice 0.3: Démontrer à l aide la méthode directe, les propositions suivantes : a) Si on double les dimensions d un rectangle, alors on double son périmètre. b) La somme de deu nombres impairs est paire. Comme souvent dans la vie, la méthode directe n est pas toujours recommandée. Il faut utiliser une méthode indirecte. L une d entre elles se fonde sur le principe de la contraposition. Méthode par contraposée: Pour montrer qu une implication P Q est vraie à l aide de la méthode par contraposée, on suppose que la proposition Q est vraie et on démontre que la proposition P est aussi vraie : ( Q P ) (P Q) Eemple 5: Soit n un nombre entier. Montrer que si n est pair, alors n est pair. Eercice 0.4: Formuler la contraposée des propositions suivantes : a) Si le produit de deu nombres réels positifs est supérieur à 00, alors au moins l un des deu nombres est supérieur à 0. b) Si n est un nombre premier différent de, alors il est impair. c) m, n, si m + n est pair, alors m et n sont tous les deu pairs ou tous les deu impairs.

22 8 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eercice 0.5: Démontrer, à l aide de la méthode par contraposée, les 3 propositions de l eercice précédent. Eercice 0.6: Démontrer les théorèmes suivant en appliquant soit la méthode directe, soit la méthode par contraposée : a) Si 3n + est impair alors n est impair. b) La somme de nombres rationnels est rationnelle. Une autre forme de méthode indirecte est la méthode de réduction à l absurde. Celle-ci se fonde sur le principe de non-contradiction. Méthode par l absurde: Eemple 6: Pour montrer H C, on suppose H vraie et C fausse. On cherche, en cours de raisonnement un résultat qui soit contradictoire et donc contredisant H vraie C fausse. Démontrer que est irrationnel.

23 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 9 Cette dernière démonstration est considérée comme le premier raisonnement par l absurde de l histoire des mathématiques 3. Eercice 0.7: Démontrer par l absurde, les propositions suivantes : a) La somme d un rationnel et d un irrationnel est irrationnelle. b) Un triangle dont les côtés mesurent 0 cm, cm et cm n est pas rectangle. Contre-eemple: Eemple 7: Pour démontrer qu une proposition est fausse, on utilise la méthode du contre-eemple : il suffit de trouver un seul eemple, dans lequel la proposition n est pas vérifiée, permettant de conclure que celle-ci est fausse dans le cas général. Est-il vrai qu un quadrilatère formé par quatre côtés isométriques est un carré? Eercice 0.8: Réfuter à l aide d un contre-eemple, les propositions suivantes : a) Si a et b sont deu nombres quelconques et que a < b, alors a < b. b) Deu triangles sont isométriques s ils possèdent deu paires de côtés isométriques et un angle égal. c) Si un nombre entier est divisible par 4, il est aussi divisible par. Disjonction des cas: Pour montrer qu une proposition P Q est vraie à l aide de la méthode par disjonction des cas, on distingue tous les cas de la proposition P : P,... P k et on démontre chaque implication : P Q,..., P k Q 3. La découverte de l eistence des nombres irrationnels, mettant en péril la base de la philosophie Pthagoricienne, devait absolument rester secrète. On raconte que le premier Pthagoricien, qui a révélé ce secret, Hippase de Métaponte (vers 500 av. J.-C) fut eclu de l école, et on lui érigea un tombeau pour signifier qu il était comme mort pour les autres Pthagoriciens. Des auteurs rapportent qu il se serait jeté dans la mer pour se punir, ou même qu il fut jeté à la mer par ses condisciples.

24 0 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eemple 8: Pour tout entier n, n(n + ) est entier. Eercice 0.9: Démontrer à l aide de la méthode par disjonction des cas, les propositions suivantes : a) Pour tout entier n, n + n est pair. b) Pour tout entier a, 4 ne divise pas a. Méthode par récurrence: n Æ, nous désirons démontrer la formule : n = n(n + ) Sous cette formule se cache en réalité une infinité de propositions : une pour chaque valeur de n. si n = : = si n = : + = si n = 3 : = si n = 4 : =.. Le problème qui se pose est le suivant comment, avec un nombre fini d étapes, peut-on démontrer une infinité de résultats? La réponse à cette question est précisément la méthode du raisonnement par récurrence (ou induction), dont voici la description :

25 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Soit P (n) une proposition dépendant de la variable entière n et n 0 un entier. Pour démontrer que P (n) est vraie n n 0, on effectue les étapes suivantes : Initialisation : on démontre que P (n 0 ) est vraie, Hérédité : on suppose que P (n) est vraie n n 0 et on démontre que P (n + ) est aussi vraie. Si on arrive à faire tomber le premier domino, autrement dit P() est vraie et si, peu importe quand le n e domino est poussé, il fait tomber le (n + ) e domino c est-à-dire P(n) P(n + ) est vraie, alors tous les dominos peuvent tomber les uns après les autres. Eemple 9: Montrer que n = n(n + ), n Æ.

26 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eercice 0.30: Démontrer à l aide de la méthode du raisonnement par récurrence, les propositions suivantes, où n Æ : a) n n(n + )(n + ) =. 6 b) 8 n est divisible par 7. Eercice 0.3: Déceler l erreur commise dans la démonstration suivante : 6 n + est un multiple de 5, pour tout entier naturel non nul. Preuve : Supposons par récurrence que 6 n + est un multiple de 5, pour tout entier naturel non nul. Alors k tel que 6n + = 5k. Mais : 6 n+ + = 6 6 n + = 6(6 n + ) 5 = 6 5k 5 = 5(6k ) On en déduit donc que 6 n+ + est un multiple de 5. Pause sourire: Plus il a de gruère, plus il a de trous. Et plus il a de trous, moins il a de gruère. Donc, plus il a de gruère, moins il a de gruère!

27 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Les ensembles Dieu fit le nombre entier, le reste est l œuvre de l homme. Léopold Kronecker Introduction: Définition: Giuseppe Peano (858-93) Notation énumérative: Notation par propriété caractéristique : Cette dernière partie ne fait pas eplicitement partie de ce que l on appelle la logique formelle. Néanmoins, elle peut lui être associée dans les définitions des objets que l on manipule. On profitera de rappeler les différents ensembles de nombres déjà croisés ainsi que la signification des signes :, /,,,,. Nous profiterons également de rappeler le codage des ensembles de nombres. Une collection d objets est un ensemble lorsqu on peut dire avec certitude si un objet appartient ou n appartient pas à cette collection. Un élément d un ensemble désignera l un de ces objets. Il figurera au maimum une fois dans celui-ci. Généralement, nous désignerons les ensembles par des lettres majuscules, et leurs éléments par des lettres minuscules. Pour eprimer que l élément e appartient à l ensemble E, on note e E. Dans le cas contraire, on note e / E. Ce signe a été introduit en 888 par le mathématicien italien Peano. Les ensembles peuvent être décrits de manière énumérative ou à l aide d une propriété caractéristique : Lorsqu un ensemble se compose d un petit nombre d éléments, on peut en dresser la liste. Par eemple : A = { ; 4 ; 7}. Lorsque la liste des éléments d un ensemble est clairement définie, on peut écrire les premiers éléments de la liste, suivis de trois points de suspension. Par eemple B = { ; 4 ; 6 ; 8 ;...}. Un ensemble A se définit souvent par rapport à un ensemble de référence E : les éléments de A sont alors ceu de E qui vérifient une condition P, appelée propriété caractéristique. La notation : A = { E P ()} se lit : A est l ensemble des éléments de E qui vérifient la propriété P.

28 4 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eemple 0: Soit E = {0 ; ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 0}. Compléter : Notation par propriété caractéristique Notation énumérative A = { E < 4} A = B = B = { ; 3 ; 5 ; 7 ; 9} C = C = { ; 3 ; 4 ; 5} D = { E = 0} D = F = { E } F = Eercice 0.3: Écrire sous forme énumérative les ensembles suivants : A = ensemble des diviseurs de 48, B = ensemble des chiffres apparaissant dans le code décimal de 7, C = { Æ 68}, D = { Ê + = 6}, E = { Ê = n, n Æ, n 5}, F = { { ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} est premier est impair}. Eercice 0.33: Écrire sous forme de propriété caractéristique : A = { ; 3 ; 7 ; 9 ; 3 ; 9}, B = {a ; e ; i ; o ; u ; }, C = {0 ; 7 ; 4 ; ;...}, D = { 35 ; 34 ; 33 ;... ; ; 0}, E = { ; 5 ; 9 ; 3 ; 7 ;...}.

29 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 5 Définition: Il est souvent utile de représenter graphiquement les ensembles afin de mieu visualiser la situation. On utilise généralement les diagrammes de Venn, constitué par une ligne fermée sans recoupement (cercle, ovale, rectangle), à l intérieur de laquelle on écrit les éléments de l ensemble. Utilisons cette représentation pour visualiser les ensembles de nombres : L ensemble des nombres qui servent à dénombrer est appelé ensemble des nombres entiers naturels : John Venn mathématicien britannique (834-93) Æ = {0 ; ; ; 3 ; 4 ;...} L ensemble des nombres entiers qui sont positifs et négatifs est appelé ensemble des nombres entiers relatifs : = {... ; 3 ; ; ; 0 ; ; ; 3 ;...} L ensemble des nombres pouvant s écrire sous la forme d une fraction de nombres entiers relatifs est appelé ensemble des nombres rationnels : { } a É = b a,b, b 0 L ensemble des nombres pouvant être représentés par un développement décimal fini ou illimité (périodique ou non) est appelé ensemble des nombres réels : Ê.

30 6 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eercice 0.34: Établir un diagramme de Venn pour les ensembles Æ,, É, Ê et placer les nombres : a =, b = 3,0 c = 0 d = 7,84 e = 9 f = 5 g = π h = 0, i = 0.7. Relations et Opérations sur les ensembles Relations: Deu ensembles sont égau s ils ont les mêmes éléments. Si tous les éléments de l ensemble A sont également dans l ensemble B, on dit que A est un sous-ensemble de B, ou que A est inclus dans B. On note alors : A B Si A n est pas contenu dans B, on note A B A Opérations: B Soit A et B deu sous-ensembles d un ensemble E. La réunion de A et de B est le sous-ensemble formé des éléments qui appartiennent au moins à l un des deu ensembles A et B. On le note A B. A B E Formellement : A B = { E A ou B} A B L intersection de A et de B est le sous-ensemble formé des éléments qui appartiennent au deu ensembles A et B. On le note A B. A B E Formellement : A B = { E A et B} A B La différence de A et de B est le sous-ensemble formé des éléments qui appartiennent à l ensemble A, mais pas à l ensemble B. On le note A \ B A \ B E Formellement : A \ B = { E A et / B}

31 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 7 A B Le complémentaire de A dans E est le sous-ensemble formé des éléments qui n appartiennent pas à l ensemble A. On le note A A E Formellement : A = { E / A} Eemple : Soit A = { ; ; 3 ; 7} et B = { ; 3 ; 5 ; 6 ; 8}. Déterminer les ensembles : A B = A B = A \ B = B \ A = (A \ B) (B \ A) = Eemple : Étant donné 3 ensembles non disjoints, hachurer l ensemble : A (B C) A B C E Eemple 3: Coder au moen du langage des ensembles la région grisée : A B C E

32 8 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) Eercice 0.35: Représenter les ensembles suivants dans un diagramme de Venn : A = { est un carré} C = { est un trapèze} E = { est un rectangle} B = { est un parallélogramme} D = { est un losange} F = { est un quadrilatère} Eercice 0.36: On donne les ensembles A = {0 ; 6 ; 7 ; 8}, B = { ; ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7} et C = {0 ; ; 8 ; 9 ; 0}. Écrire en notation énumérative les ensembles : a) (A B) A b) A (B C) c) (A B) (B C) d) (C \ B) \ A Eercice 0.37: Hachurer les ensembles donnés : A B A B C E C E a) (A B) C b) (B C) \ A A B A B C E C E c) A B C d) A B C Eercice 0.38: Mettre des parenthèses dans les epressions ci-dessous afin qu elles représentent la région grisée : A B A B C E C E a) A \ B C \ A b) A B C

33 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES) 9 Définition: Soit a et b Ê tels que a < b, on défini et on note : a ; b = { Ê a b} intervalle fermé a b a ; b = { Ê a < < b} intervalle ouvert a b a ; b = { Ê a < b} a b a ; + = { Ê a} a ; b = { Ê < b} b Eemple 4: Déterminer ; 6 ; 9 puis Ê \ ( ; 6 ; 9 ) Eercice 0.39: Écrire l ensemble ; 5 ; + comme le complémentaire d un intervalle. Eercice 0.40: On donne trois intervalles I, J et K de Ê. Déterminer I J, I K, I \ (J K), (I \ J) (I \ K) dans les cas suivants : a) I = 3 ; 4 J = ; 0 K = 5 ; 3 b) I = 4 ; J = ; 3 K = 3 ; c) I = 5 ; 3 J = ; 5 K = 3 ; 4

34 30 CHAPITRE 0. QUELQUES ÉLÉMENTS DE LOGIQUE (ET DE TH. DES ENSEMBLES)

35 Fonctions du er degré. Fonctions linéaires et affines Définition: La fonction définie par f() = m + h est appelée fonction affine. Son graphe est une droite qui passe par le point H(0; h), h étant l ordonnée à l origine et m sa pente. La fonction définie par f() = m est appelée fonction linéaire. Son graphe est une droite qui passe par l origine et dont la pente vaut m. f () = + f () = 3 Les fonctions linéaires sont des cas particuliers de fonctions affines admettant une ordonnée à l origine de h = 0. Eercice.: Tracer les graphes de ces fonctions dans un même sstème d aes f () = 3 + et g () = 3 Eercice.: 4 A On considère la fonction f () = 3 + esquissée ci-contre. 5 Compléter les coordonnées des points A ( ;?) et B ( )? ; 3 0. B 3

36 3 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ a b A a Rappel: B m b La pente d une droite est le rapport m = où est la différence de hauteur entre points situés sur la droite et leur écart horizontal. Pour trouver la pente m d une droite dessinée, on choisit deu points A (a ; a ) et B (b ; b ), on eprime alors le vecteur AB # : ( # b a AB = b a ). Finalement, m = = b a b a Eemple : Déterminer la pente de la droite représentée ci-contre puis en déduire l epression de la fonction Eercice.3: Estimer les pentes des si droites représentées ci-dessous 4 3 d d 3 d d 5 d 4 d Eercice.4: Représenter les graphes des fonctions affines f telles que : a) f( ) = et la pente du graphe de f vaut b) g(0) = et la pente du graphe de g vaut 3 c) h() = 0 et la pente du graphe de h vaut 3 5 d) j(4) = 5 et la pente du graphe de j vaut 0

37 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 33 Eemple : Représenter la fonction f () = + à l aide de deu points. Eemple 3: Représenter la fonction f () = à l aide de la pente et de 3 l ordonnée à l origine. Eercice.5: En utilisant la pente et l ordonnée à l origine, tracer les graphes de ces fonctions dans un même sstème d aes f () = et g () = Eercice.6: Déterminer la fonction g dont le graphe est la droite qui passe par le point B( ; ) et qui est parallèle au graphe de la fonction f donnée par f() = +

38 34 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ Eemple 4: Déterminer les fonctions f et g représentées ci-contre puis en déduire les solutions de l équation et de l inéquation suivante : f() = g() g() 0 f() < g() f g Eercice.7: Tracer les graphes de ces fonctions dans un même sstème d aes f () = + 6 et g () = 3 Résoudre ensuite les équations et inéquations suivantes : a) f () = 0 b) f () = g () c) f () = d) f () < 0 e) f () > g () f) f () Eemple 5: a) Déterminer la fonction affine de pente m = et dont le graphe 5 passe par le point P ( ; 3). b) Déterminer la fonction affine dont le graphe passe par les points A( ; 3) et B( ; 4).

39 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 35 Eercice.8: a) Trouver la fonction affine dont le graphe passe par les points A(7 ; ) et B( 3 ; ). b) Trouver la fonction affine dont le graphe coupe l ae O en I( 5; 0) et dont la pente vaut 5 8. c) Trouver la fonction affine telle que f() = 5 et dont le graphe passe par le point A(5 ; 5). d) Trouver l abscisse du point C( ; 0) sachant que les points A( ; ), B(3 ; ) et C sont alignés.. Équations Pour trouver le point d intersection I des graphes de deu fonctions f et g, on est amené à résoudre l équation f() = g() Eemple 6: Les graphes des fonctions f et g données par f() = + 3 et g() = + se coupent en un point I. Déterminer ses coordonnées. Eercice.9: Déterminer algébriquement les coordonnées du point d intersection du graphe des deu fonctions f et g : a) f() = + et g() = b) f() = 3 + et g() = ( 3) 3 c) f() = (3 5) et g() = (5 8) 3 4 d) f() = 6 et g() = ( 3) e) Justifier graphiquement les solutions obtenues dans les deu derniers cas. Eercice.0: Résoudre les équations suivantes : a) = b) = ( + 4) c) + 5 = (7 4) d) (8 + ) = + 4 e) t 5 3 = t f) 3 4 = 3

40 36 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ Eercice.: On considère la figure suivante : 4 3 I a) Calculer les coordonnées du point d intersection I des deu droites dessinées ci-dessus. b) Trouver la fonction f dont le graphe est une droite qui passe par l origine et par le point I. c) Trouver la fonction g dont le graphe est une droite parallèle au graphe de f et qui passe par le point P ( ; ). Eercice.: Les trois droites a, b et c se coupent-elles en un point ou formentelles un triangle? b 3 c a Eercice.3: On considère la fonction donnée par f a () = a + a (a Ê) a) Représenter le graphe de f a pour quelques valeurs de a. b) Pour quelle valeur de a Ê, le graphe de f a passe-t-il par le point A(3 ; 8)? c) Vérifier, que pour toute valeur de a, le graphe de f a passe par un même point B dont on donnera les coordonnées.

41 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 37.3 Inéquations Pour résoudre l inéquation a + b > 0 ou a + b 0 ou..., on peut observer le graphe de la fonction donnée par f() = a + b. On pourra également, comme le montre l eemple ci-dessous, la résoudre algébriquement. Eemple 7: Résoudre graphiquement puis algébriquement l inéquation + > 0 Eemple 8: Résoudre l inéquation > 0 Constatations: La résolution d une inéquation du er degré est analogue à celle d une équation du er degré, cependant il faut changer le sens de l inégalité lorsque l on multiplie ou divise les deu membres par un nombre négatif. On peut observer ceci sur la droite réelle : b a 0 a b Ê a < b a > b

42 38 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ Eercice.4: On considère les fonctions f() = et g() = a) Représenter ci-dessous le graphe de ces deu fonctions b) En déduire graphiquement la solution de l inéquation : f() g() c) Résoudre algébriquement cette même inéquation. Eercice.5: Résoudre les inéquations suivantes : a) 5 b) 4 5 < + 5 c) (7 ) 8 0 d) 3 (8 + ) 3 > 4 f) e) > Eemple 9: Résoudre le sstème d inéquations : Eercice.6: Résoudre les sstèmes d inéquations suivantes : 3 < a) b) + 4 <

43 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 39.4 Quelques applications ( re partie) Eercice.7: Eercice.8: Eercice.9: Eercice.0: La vitesse v (en mètres par seconde) d un objet en chute libre est donnée par la relation v(t) = 9,8 t + v 0 où v 0 est la vitesse initiale et t le temps (en secondes). a) Eprimer le temps en fonction de la vitesse. b) Quelle est la vitesse de l objet en t = 4 s sachant qu au temps t = s sa vitesse était de m/s. Une barre métallique mesure 45 cm à une température de 5 C et 45, cm à une température de 5. En admettant que l allongement de la barre est proportionnel à l élévation de la température, on demande : a) La longueur de la barre à une température de 60 C. b) La température à laquelle la barre mesure 44,7 cm. La relation entre la température c sur l échelle Celsius et la température f sur l échelle Fahrenheit est donnée par c = 5 (f 3). 9 a) Donner la température qui s eprime par le même nombre dans les deu échelles. b) Pour quelle température le nombre lu sur l échelle de Fahrenheit est-il le double du nombre lu sur l échelle de Celcius? Un père défie son fils au 00 m et lui laisse un certain nombre de mètres d avance. Les graphes simplifiés de cette course sont donnés ci-dessous. 00 distance [m] fils père temps[s] a) Combien de mètres d avance le père laisse-t-il au fils? b) Qui a gagné? Avec combien de secondes d avance? c) Quelle distance les sépare lorsque le vainqueur franchit la ligne d arrivée? d) Quelle est la vitesse du père, celle du fils? e) Le père et le fils ont-ils été côte à côte? Si oui, quelle distance avait parcourue le père?

44 40 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ Eemple 0: Une autoroute de 0 km relie les villes A et B. Un habitant de A se rend à la ville B à la vitesse moenne de 60 km/h. À quelle vitesse doit-il revenir de B à A s il veut que sa vitesse moenne sur le parcours aller-retour soit de 80 km/h? Eercice.: Une autoroute de 0 km relie les villes A et B. Un habitant de A se rend à la ville B à la vitesse moenne de 60 km/h. À quelle vitesse doit-il revenir de B à A s il veut que sa vitesse moenne sur le parcours aller-retour soit de : a) 00 km/h b) 0 km/h Eercice.: Eercice.3: Un garçon tond le gazon en 90 minutes, mais sa soeur peut le faire en 60 minutes. Combien leur faudra-t-il de temps s ils travaillent ensemble avec deu tondeuses? Une balle est tirée horizontalement sur une cible, et l on entend le bruit de l impact,5 seconde plus tard. Si la vitesse de la balle est de 990 m/s et la vitesse du son 330 m/s, quel est l éloignement de la cible?

45 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 4 Eercice.4: Pour quelles valeurs de l aire du carré grisé dépasse-t-elle l aire du rectangle grisé? 3 Eercice.5: (DÉFI) Le rectangle ABCD ci-dessous a été découpé en carrés. Calculer ses dimensions sachant que le plus petit des carrés, en noir sur le dessin, mesure cm de côté : D C A B

46 4 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ.5 Fonctions définies par morceau 4 3 Définition: Le graphe de la fonction valeur absolue donnée par f() = est représentée ci-dessous On constate que ce graphe est formé de deu demi-droites, la demidroite = pour les négatifs et la demi-droite d équation = pour les positifs. On peut donner une epression de cette même fonction sans utiliser le smbole valeur absolue, en séparant, dans la définition de f, les positifs des négatifs : = { si < 0 si 0 Une fonction donnée de cette façon est dite définie par morceau. Eemple : Écrire les fonctions suivantes sans utiliser de valeur absolue, puis esquisser les graphes a) f() = + 4 b) f() =

47 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 43 Eercice.6: Écrire les fonctions suivantes sans utiliser de valeur absolue, puis esquisser les graphes a) f() = 5 b) f() = c) f() = Eemple : Représenter f() = + 3 si < + 3 si si < Eemple 3: Représenter f() = + 3 si a) Calculer f( ) et f(3). b) Résoudre f() = 0 puis f() = 3.

48 44 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ + 5 si Eercice.7: Soit la fonction f() = si > a) Déterminer l ordonnée des points du graphe de f d abscisse =, = et = 4. b) Déterminer l abscisse des points du graphe de f d ordonnée = 3. c) Résoudre l équation f() = 5 puis f() =. Eercice.8: Déterminer f() et g() = f() = g() Eercice.9: Déterminer f() : 4 3 = f() Puis résoudre a) f() = b) f() >

49 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ 45 3 si ; Eercice.30: On donne la fonction f() = si ; + 3 si ; + a) Dessiner le graphe de f. b) Résoudre les équations f() = puis f() =. c) Résoudre l inéquation f() <. Eercice.3: Pour quelle valeur de a le graphe de f() = forme-t-il une ligne brisée?.6 Quelques applications ( e partie) si a si > a Eercice.3: L unité de longueur étant le côté des carreau du quadrillage, on désigne par f() l aire du domaine grisé, pour a) Calculer f(0), f(3), f(7) et f(9). b) Déterminer f() sur chacun des intervalles 0 ; 3, 3 ; 7 et 7 ; 9. c) Représenter le graphe de f(). d) Résoudre les équations f() = 0 et f() = 5, graphiquement puis contrôler les résultats à l aide d un calcul.

50 46 CHAPITRE. FONCTIONS DU er DEGRÉ Eercice.33: Une caisse d assurance maladie propose à ses clients différentes franchises : Pour une franchise de 30.-, la prime annuelle s élève à Pour une franchise de 400.-, la prime annuelle s élève à Pour une franchise de 600.-, la prime annuelle s élève à Pour une franchise de 00.-, la prime annuelle s élève à En plus de la franchise, une participation de 0% au frais qui dépassent la franchise reste à la charge de l assuré. a) Montrer que si un assuré choisit la première franchise et que ses factures médicales totalisent l an prochain, il devra s acquitter de la somme totale de b) Quelle franchise doit-il choisir pour obtenir la solution la moins chère en supposant que ses factures médicales totaliseront l an prochain c) (BONUS) Donner l epression de la fonction qui, pour une franchise f et une prime p, donne la dépense en fonction des coûts de santé.. La franchise est le montant que doit paer l assuré, chaque année, avant que la caisse maladie n intervienne.