Recherche Opérationnelle

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1 FSTM Recherche Opérationnelle Introduction à la méthode du simplexe Karam ALLALI

2 K. Allali 2

3 Méthode de résolution algébrique : l algorithme du simplexe - Pour des modèles linéaires continus dont les variables sont non négatives et dont les contraintes technologiques sont écrites sous forme d équations (i.e. avec un «=» au lieu d une inégalité du type «<» ou «>») - Remarque : dans le cours, on ne montre pas comment appliquer cette méthode «à la main». Il s agit plutôt de savoir utiliser les résultats dans le cadre d une analyse de sensibilité. Forme générale d un programme linéaire (PL) Max (Min) z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n n variables m contraintes Sous les contraintes : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n x 1, x 2,, x n > 0 = = = b 1 b 2 b m Pour pouvoir utiliser cette méthode lorsque les contraintes comportent des inégalités, il faut introduire de nouvelles variables non négatives. Ces nouvelles variables permettront de transformer le modèle linéaire en un modèle équivalent où toutes les contraintes technologiques sont de type «=». K. Allali 3

4 Transformation d un modèle (PL) en un modèle (PL=) Variable d écart : Pour transformer une contrainte du type «<» en une contrainte du type «=». Quantité qu il faut ajouter au coté gauche de la contrainte pour atteindre l égalité. Variable d excédent : Pour transformer une contrainte du type «>» en une contrainte du type «=». Quantité qu il faut soustraire au coté gauche de la contrainte pour atteindre l égalité. Exemples : Contrainte1 : a 11 x 1 + a 12 x 2 < b 1 Introduction d une nouvelle variable non négative «e 1» : Contrainte 1 : a 11 x 1 + a 12 x 2 + e 1 = b 1 e 1 = b 1 (a 11 x 1 +a 12 x 2 ) (variable d écart) Contrainte2 : a 21 x 1 + a 22 x 2 > b 2 Introduction d une nouvelle variable non négative «e 2» : Contrainte 2 : a 21 x 1 + a 22 x 2 e 2 = b 2 e 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 - b 2 (variable d excédent) K. Allali 4

5 Programme linéaire standard (PLS) (Toutes les contraintes technologiques sont du type <) 1. Transformation du modèle (PLS) en modèle (PLS=) en ajoutant une variable d écart dans chaque contrainte technologique. 2. Obtenir une solution de base admissible initiale. La plus simple : poser x 1 = x 2 =.=x n = 0 (correspond au sommet 0) Ainsi : (x 1 ; x 2 ; ; x n ; e 1 ; e 2 ;. ; e m ) = (0 ; 0 ; ; 0 ; b 1 ; b 2 ; ; b m ) Cette solution ne sera pas probablement pas optimale. On le vérifie en examinant la contribution marginale de chaque variable hors base à la fonction objectif Z (coûts marginaux : c J - z J ). - Pour un problème de maximisation, la solution de base est optimale si tous les coûts marginaux sont < 0. - Pour un problème de minimisation, la solution de base est optimale si tous les coûts marginaux sont > Modifier la solution initiale de façon à se rapprocher de l optimum (augmenter ou diminuer Z selon qu on veut maximiser ou minimiser). L algorithme du simplexe est un procédé par itérations. Chaque itération correspond au passage d un sommet à un autre sommet qui lui est adjacent. K. Allali 5

6 Exemple Fonderie Rivière-bleue Variables de décision : x 1 = quantité de tuyauterie traitée (en tonnes) x 2 = quantité de gueuse traitée (en tonnes) Objectif : Maximiser le profit Max z = 1000x x 2 Sous les contraintes : (1) 10x 1 + 5x 2 < 200 (ébarbage) (2) 2x 1 + 3x 2 < 60 (peinture) (3) x 1 < 34 (demande tuyauterie) (4) x 2 < 14 (demande gueuses) x 1, x 2 > 0 (non négativité) Notez qu il s agit bien d un programme linéaire standard car toutes les contraintes technologiques sont du type «<». Résolution graphique : (1) 45 fonderie bleue (3) 35 x2 (2) (4) x1 K. Allali 6

7 Résolution algébrique : (selon méthode du simplexe) 1. Transformation du modèle (PLS) en (PLS=) Max z = 1000x x 2 Sous les contraintes : (1) 10x 1 + 5x 2 + e 1 = 200 (2) 2x 1 + 3x 2 + e 2 = 60 (3) x 1 + e 3 = 34 (4) x 2 + e 4 = 14 x 1, x 2, e 1, e 2, e 3, e 4 > 0 (Interprétation concrète des variables d écart dans le contexte.) 2. Déterminer une solution de base admissible initiale et construire le tableau initial: Poser x 1 = 0 et x 2 = 0 e 1 = 200 ; e 2 = 60 ; e 3 = 34 ; e 4 = 14 Tableau initial du simplexe : Tableau no. 0 (correspond au sommet (0,0)) BASE Coeff Variable x 1 x 2 e 1 e 2 e 3 e 4 valeur 0 e e e e z J Coût marginal c J - z J K. Allali 7

8 3. Déterminer s il s agit d une solution optimale : La solution de base admissible initiale n est pas optimale car z = 0. On peut aussi constater qu il existe des coûts marginaux c J z J positifs. Par exemple : - si on augmente x 1 d une unité et qu on laisse les autres variables fixes, cela se traduira par une augmentation de z de 1000 unités. - si on augmente x 2 d une unité et qu on laisse les autres variables fixes, cela se traduira par une augmentation de z de 1200 unités. Nous n entrons pas dans les détails de calcul de la méthode du simplexe dans le cours. Selon cette méthode, une nouvelle variable doit remplacer une des anciennes variables de la base, à chaque itération. Le tableau du simplexe sera recalculé à chaque étape. Le processus continuera jusqu à l obtention d une solution optimale. Tel que mentionné, chaque itération correspond au passage d un sommet de la région admissible à un autre sommet qui lui est adjacent. Les logiciels spécialisés en programmation linéaire sont programmés pour effectuer tous les calculs intermédiaires. La solution sera donnée dans le tableau final du simplexe. K. Allali 8

9 Voici, à titre indicatif, la séquence des tableaux correspondant à chaque itération pour l exemple Fonderie Rivière-Bleue: Seuls le tableau initial et le tableau final seront étudiés dans le cadre du cours. K. Allali 9

10 Reprenons le tableau final : correspond au sommet C : (15 ; 10) BASE Coeff Variable x 1 x 2 e 1 e 2 e 3 e 4 Valeur 0 e ,10-0, x ,15-0, e ,15 0, x ,10 0, z J c J - z J Solution : (15 ; 10 ; 0 ; 0 ; 19 ; 4) z = Les coûts marginaux des variables hors base e 1 et e 2 sont négatifs. Toute augmentation de ces variables résulterait en une diminution de Z. La solution est donc optimale. Plan optimal de production: 15 tonnes de tuyauterie 10 tonnes de gueuses Profit correspondant : 27000$ Contraintes : (1) e 1 = 0 L atelier d ébarbage est utilisé à pleine capacité. (2) e 2 = 0 L atelier de peinture est utilisé à pleine capacité. (3) e 3 = 19 Il manque 19 tonnes de tuyauterie pour satisfaire la demande maximale. (4) e 4 = 4 Il manque 4 tonnes de gueuses pour satisfaire la demande maximale. K. Allali 10

11 Analyse post-optimale : Qu advient-il de la solution optimale si on modifie la valeur des coefficients de la fonction objectif ou des contraintes? Revenons à l exemple Fonderie Rivière-Bleue et essayons de voir graphiquement ce qui se passe lorsqu on modifie les coefficients. Max z = 1000x x 2 sc. (1) 10x 1 + 5x 2 < 200 (ébarbage) x 1, x 2 > 0 (2) 2x 1 + 3x 2 < 60 (peinture) (3) x 1 < 34 (demande tuyauterie) (4) x 2 < 14 (demande gueuses) (non négativité) (1) 45 fonderie bleue (3) 35 x2 (4) (2) x1 K. Allali 11

12 Méthode algébrique : Modification du coefficient c 1 : c 1 = BASE Coeff Var x 1 x 2 e 1 e 2 e 3 e 4 valeur 0 e ,10-0, x ,15-0, e ,15 0, x ,10 0, z J c J - z J z J c J - z J K. Allali 12

13 Modification du coefficient c 2 : c 2 = BASE Coeff Var x 1 x 2 e 1 e 2 e 3 e 4 valeur 0 e ,10-0, x ,15-0, e ,15 0, x ,10 0, z J c J - z J z J c J - z J K. Allali 13

14 Modification du coefficient b 1 : b 1 = Contrainte de forme < et e 1 hors base. BASE Coeff Var x 1 x 2 e 1 e 2 e 3 e 4 valeur 0 e ,10-0, x ,15-0, e ,15 0, x ,10 0, z J c J - z J K. Allali 14

15 Modification du coefficient b 4 : b 4 = 14 + Contrainte < et e 4 dans la base. BASE Coeff Var x 1 x 2 e 1 e 2 e 3 e 4 valeur 0 e ,10-0, x ,15-0, e ,15 0, x ,10 0, z J c J - z J K. Allali 15

16 CAS GÉNÉRAL : Effet d une modification d un coefficient sur le tableau final du simplexe. 1. Modification d un coefficient c j dans la fonction objectif z. a) Modification du c j d une variable originale hors base : - Dans la ligne supérieure du tableau final, remplacer le coefficient c j par c j = c j +. - La modification apportée au tableau n affectera qu une seule autre entrée, celle du coût marginal de x j. Calculer ce coût marginal c j z j. - S il s agit d un problème de maximisation, la solution admissible de base restera optimale si c j z j < 0. - S il s agit d un problème de minimisation, la solution admissible de base restera optimale si c j z j > 0. (remarque : si le coût marginal d une variable hors base est nul, il existe une infinité de solutions) b) Modification du c j d une variable originale de base : - Dans la ligne supérieure du tableau final et dans la colonne des coefficients des variables de base du tableau final, remplacer le coefficient c j par c j = c j +. - La modification apportée au tableau affectera tous les coûts marginaux des variables hors base. Calculer les nouveaux z j et les nouveaux coûts marginaux c j z j. - S il s agit d un problème de maximisation, la solution admissible de base restera optimale si c j z j < 0. - S il s agit d un problème de minimisation, la solution admissible de base restera optimale si c j z j > 0. K. Allali 16

17 2. Modification du coefficient b i d une contrainte a) Contrainte de signe «<» : b i = b i + Variable e i hors base : Dans le tableau final, ajouter une colonne associée à à droite de la colonne «Valeur». Les entrées de cette colonne sont identiques à celles de e i. Les modifications apportées n affectent pas les coûts marginaux. Toutefois, les valeurs de certaines variables de bases pourraient changer. Déduire les équations d ajustement à partir des lignes du tableau modifié et recalculer la valeur des variables de base tout en s assurant de la non négativité de ces variables (b i doit rester dans un certain intervalle de variation. En dehors de cet intervalle, il faudrait utiliser un nouveau tableau optimal). Variable e i dans la base : Même principe sauf qu il n y aura qu une seule équation d ajustement. Si b i demeure dans son intervalle de variation, la base optimale et sa solution restent inchangées. b) Contrainte de signe «>» : attention : b i = b i - On a recours au signe «-» de façon à ce que les entrées de la colonne associée à dans le tableau final demeurent identiques aux entrées de la colonne e i. Pour le reste : mêmes indications que les cas précédents. K. Allali 17

18 Exercices S1) Ecrivez le problème PL suivant sous forme standard avec des M.d.D. non négatifs: Max z = 2x x x 3 s. c. x1 + x2 x3 5 ( 1) 6x1 + 7x2 9x3 4 ( 2) x1 + x2 + 4x3 = 10 ( 3) x1, x2 0 x sans restriction 3 Formulez son dual. S2) Considérons l ensemble de contraintes suivant: x x 2 + 3x x x 1 - x 2 + x x x x 2 - x 3 + x 4 10 Résolvez par la méthode du simplexe le problème obtenu lorsque la fonction objectif est donnée par: a) max z = 2x 1 + x 2-3x 3 + 5x 4 b) max z = - 2x 1 + 6x 2 + 3x 3-2x 4 c) max z = 3x 1 - x 2 + 3x 3 + 4x 4 d) min z = 5x 1-4x 2 + 6x 3 + 8x 4 e) min z = 3x 1 + 6x 2-2x 3 +4x 4 S3) Résolvez le problème suivant par la méthode du simplexe max z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 s.c. 2 x x 2 + x x 1 + x x x x x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 K. Allali 18

19 S4) Résolvez le problème suivant par simple inspection, puis par la méthode du simplexe max z = 5 x 1-6 x x 3-5 x x 5 s.c. x + 3x + 5x + 6x + 3x 90 x j S5) Résolvez le problème suivant par la méthode du simplexe : On doit organiser un pont aérien pour transporter 1600 personnes et 90 tonnes de bagages. Les avions disponibles sont de deux types: 12 du type A et 9 du type B. Le type A peut transporter, à pleine charge, 200 personnes et 6 tonnes de bagages. Le type B, 100 personnes et 6 tonnes de bagages. La location d un avion du type A coûte F; la location d un avion du type B coûte F. S6) Les dictionnaires ci-dessous ont été obtenus après exécution de quelques itérations de la méthode du simplexe sur différents problèmes. Quelles conclusions pouvez-vous tirer sur base de l information contenue dans ces dictionnaires? Les conclusions possibles sont par exemple:. la solution courante est optimale, et vaut...;. le problème est non borné parce que...;. le problème est non réalisable parce que...;. la solution courante n est pas optimale; dans ce cas, calculez la solution optimale. a) min z s. c. z x1 5x5 = 12 3x1 + x2 + 5x4 = 3 x1 + x3 + x4 4x5 = 6 4x1 x5 + x6 = 4 x, x, x, x, x, x K. Allali 19

20 b) max z s. c. z + x1 x4 2x5 = 20 3x1 + x2 5x4 = 3 x1 + x3 + 2x4 x5 = 6 4x1 2 x5 + x6 = 4 x, x, x, x, x, x c) max z s.c. z 5x2 + 3x5 = 12 2 x2 + x3 2x5 = 4 x1 x2 3x5 = 2 x2 + x4 x5 = 3 x, x, x, x, x K. Allali 20

21 Dualité & Sensibilité DS1) Suite de l exercice S6a). Quel est le coût réduit de chacune des variables du problème? DS2) Suite de l exercice S3). a) Si le coefficient de la variable x 2 dans la fonction objectif augmentait de 2 unités, quel serait l effet produit sur la solution optimale et la valeur optimale du problème? Et si cette augmentation était de 4 unités? b) Quel est le coût réduit de chacune des variables du problème? c) Quel est le prix dual de chacune des contraintes d inégalité du problème? DS3) Considérons le programme linéaire suivant, exprimé sous forme standard: min z = 2x 1 + x 2 s.c. 3x1 + x2 x3 = 3 4x1 + 3x2 x4 = 6 x1 + 2x2 + x5 = 3 x, x, x, x, x a) Calculer le dictionnaire associé à la base B définie par les variables de base x 1, x 2, x 5. 3 / 5 1 / 5 0 B 1 = 4 / 5 3 / b) La solution de base associée à B est-elle réalisable et optimale? DS4) Soit le problème (P): max z = 2x 1 + 4x 2 + 4x 3-3x 4 K. Allali 21

22 s. c. x + x + x = x + 4x + x = x, x, x, x La base optimale de (P) est B = et son inverse 0 1/ 4 B 1 = 1 1/ 4 a) Formulez le problème dual de (P). b) Sur base des informations fournies (et donc, sans utiliser la méthode du simplexe ni la méthode graphique), calculez la solution optimale de (P) et celle de son dual. Expliquez la méthode que vous utilisez. c) Si la fonction objectif de (P) est remplacée par max z = 3x 1 + 4x 2 + 4x 3-3x 4, la base B donnée ci-dessus reste-t-elle optimale? Justifiez votre réponse. DS5) Soit le problème suivant (P): max z = 100x x x 3 s. c. 5x1 + x2 + x3 + s1 = 25 ( 1) x1 + 2x2 + x3 + s2 = 25 ( 2) x1 + x2 + x3 + s3 = 10 ( 3) x1 + x2 + 5x3 + s4 = 50 ( 4) x, s 0 La base optimale de (P) est K. Allali 22

23 B = avec B = a) Ecrivez le dual de (P) b) Quelle est la solution optimale du programme (P) et celle de son dual? c) Dans quel intervalle peut varier le membre de droite de la contrainte (2) sans affecter l optimalité de B? DS6) Soit le problème de programmation linéaire max z = 60x x x 3 s. c. 8x + 6x + x 48 ( 1) x + 2x + 1, 5x 20 ( 2) x + 1, 5x + 0, 5x 8 ( 3) x, x, x La résolution de ce problème par la méthode du simplexe permet de calculer la base optimale B = 4 1, , , 5 1, 5 et son inverse B 1 = a) Calculez la solution optimale et la valeur optimale du problème. b) Calculez et interprétez le prix dual de la contrainte (2). DS7) Soit le problème de programmation linéaire max z = 30 x x 2 K. Allali 23

24 s. c. 5x + 4x 400 ( 1) x x, x, 1 2 x 2 60 ( 2) 75 ( 3) 0 a) Résolvez le problème graphiquement. b) Sur base de a), déterminez la base optimale B. c) Pourrait-on déduire les prix duaux sur base de cette information? DS8) Soit le problème de programmation linéaire (P): min z = 500x x x x x 5 s. c. x + x + x x + 4x + x + 3x x, x, x, x, x A l optimum de (P), on a x 1 = x 2 = x 3 = x 5 = 0 a) Trouvez la solution optimale et la matrice de base optimale pour (P). b) A partir de la matrice de base, calculez la valeur optimale des variables duales. c) Ecrivez le problème dual de (P). DS9) Soit le problème de programmation linéaire max z = 4x 1 + 5x 2 + 6x 3 3x1 + 4x2 + 5x3 11 s. c. x1, x2, x3 0 a) Formulez le dual et résolvez-le (par inspection) b) Utilisez a) et le théorème de dualité forte pour résoudre le primal. DS10) Soit le problème de programmation linéaire: K. Allali 24

25 min z = 2x 1 + 3x 2 s. c. 2x + 3x 30 x x 1 2 x, x, + 2x x K. Allali 25

26 Son dual s écrit max w = 30y y 2 s. c. 2y + y + y 2 3y + 2y y 3 y y , y Déterminez si les solutions suivantes sont réalisables et optimales: a) ( x 1 = 10, x 2 = 10/3; y 1 = 0, y 2 = 1, y 3 = 1) b) (x 1 = 20, x 2 = 10; y 1 = 1, y 2 = 4, y 3 = 0) c) (x 1 = 10/3, x 2 = 10/3; y 1 = 0, y 2 = 5/3, y 3 = 1/3) DS11) Considérons le programme linéaire suivant max z = 5x 1 + 2x 2 + 3x 3 s. c. x + 5x + 2x = x 5x 6x x, x, x La solution optimale est donnée par le dictionnaire final max z z + 23x2 + 7x3 = 150 x1 + 5x2 + 2x3 = 30 s. c. 10x2 8x3 + s2 = 10 x, s 0 a) Ecrivez le problème dual associé. b) Déterminez la matrice de base optimale B. Déduisez-en la solution optimale du dual. c) Dans quel intervalle peut varier c 1 (idem c 2, c 3 ) sans affecter l optimalité de la solution? K. Allali 26

27 d) Dans quel intervalle peut varier b 1 (idem b 2 ) sans affecter l optimalité de la base B? e) Déterminez les prix duaux. DS12) Considérons le problème de l exercice DS11. a) Supposons que le M. de D. des contraintes devienne (30 + θ, 40 - θ), où θ est un paramètre non négatif. Déterminez les valeurs de θ pour lesquelles la base B reste optimale. b) Pour chacune des fonctions objectif suivantes, trouvez la nouvelle solution optimale en utilisant la procédure d analyse de sensibilité. i) max z = 12x 1 + 5x 2 + 2x 3 ii) min z = 2x 2-5x 3 DS13) Voici la formulation d un petit problème de transport impliquant 3 entrepôts et 2 clients: min z = 3x x x 21 + x x x 32 x11 + x12 60 x 21 + x x 31 + x s. c x11 + x 21 + x 31 = 90 x12 + x 22 + x 32 = 60 x, x, x, x, x, x (remarquez que le problème est non équilibré). Ce problème a été mis sous forme standard en introduisant des variables d écart s 1, s 2 et s 3 dans les trois premières contraintes, puis résolu par un logiciel utilisant la méthode du simplexe. Voici quelques informations sur la solution optimale: les variables en base à l optimum sont x 11, x 12, x 22, x 31 et s 1 ; le coût réduit de x 21 et celui de x 32 sont égaux à 2; les prix duaux des contraintes sont donnés par (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5 ) = (0, -1, -1, 3, 2). a) Mettez le problème sous forme standard (comme suggéré ci-dessus) et formulez son problème dual. b) Utilisez l information donnée plus haut pour calculer la solution optimale du problème et le coût de transport correspondant. K. Allali 27

28 c) Si le coût unitaire de transport entre l entrepôt 2 et le client 1 diminuait de 1 unité (passant ainsi de 4 à 3), quelle serait l incidence de ce changement sur la solution optimale et la valeur optimale calculées précédemment? d) Le gestionnaire du troisième entrepôt s aperçoit qu il a commis une erreur en évaluant ses stocks: il possède en fait 55 unités en stock. En supposant que la base optimale ne soit pas affectée, quel sera l effet de cette correction sur le coût de transport optimal? K. Allali 28

29 Solutions des exercices S2) d) Solution optimale: (z *, x *, s * )=(-40/3, 0, 10/3, 0, 0, 68/3, 34/3, 0). S3) Solution optimale: (z *, x *, s * )=(13, 2, 0, 1, 0, 1, 0). S4) Solution optimale: (z *, x *, s * )=(450, 90, 0, 0, 0, 0, 0). S5) Solution optimale: (z *, x *, s * )=(4600, 7/2, 9, 0, 22, 17/2, 0). S6) a) Il existe une infinité de solutions optimales; b) Dictionnaire non optimal; c) Dictionnaire non optimal. DS1) Coût réduit de x 1 =1, de x 5 =5; les autres sont nuls. DS2) a) i)pas de changement; ii) x 2 peut entrer en base. Nouvelle solution optimale: (z *, x *, s * )=(14, 0, 1, 2, 0, 6, 0); b) Coût réduit de x 2 =3; c) Prix duaux=1, 0, 1 resp. DS3) b) Oui. DS4) b) x * =(0, 2, 2, 0), y * =(4, 0); c) Oui. DS5) b) (x *, s * )=(15/4, 25/4, 0, 0, 35/4, 0, 40), y * =(25/2, 0, 75/2, 0); c) [65/4, + [. DS6) a) (z *, x * )=(280, 2, 0, 8, 24, 0, 0); b) y 2 * =10. DS7) b) x B =(x 1, x 2, s 3 ); c) y * =(5, 5, 0). DS8) a) x 4 * =150, s 1 * =0, s 2 * =0; b) y * =(300,0). DS9) a) y * =4/3; b) x 1 * =11/3. DS10) a) Réalisables; b) Pas réalisables; c) Réalisables et optimales. DS11) b) y * =(5, 0); c) c 1 [3/2, + [, c 2 ]-, 25], c 3 ]-,10]; d) b 1 [0, 40], b 2 [30, + [. DS12) a) θ [0,5]; b) i) La solution optimale est inchangée; ii) Faire entrer x 3 en base. DS13) b) z * =290, x B * =(40, 10, 50, 50, 10); c) Pas de changement; d) Valeur optimale: 285. K. Allali 29