La méthode des Éléments Finis (I) Nicolas Moulin

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1 La méthode des Éléments Finis (I) Nicolas Moulin

2 Informations Dr. Nicolas Moulin, centre SMS / dept. MPE / lab. LGF, nicolas.moulin@mines-stetienne.fr, bureau : J3-11, web : nmoulin. Activite s de recherche : 2/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La me thode des E le ments Finis (I)

3 Quelques re fe rences The finite element method : its basis & fundamentals, O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, J.Z.Zhu, Elsevier Butterworth-Heinemann, A First Course in Finite Elements, J. Fish, T. Belytschko, John Wiley & Sons, The Finite Element Method : Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, T.J.R. Hughes, Dover Publications Inc., Me thode des e le ments finis, G. Dhatt, G. Touzot, E. Lefranc ois, Hermes Science Publications, Finite element procedures, K.J. Bathe, Prentice hall Englewood Cliffs, /88 03/09/2021 Nicolas Moulin La me thode des E le ments Finis (I)

4 Organisation & Évaluation Évaluation : 50% examen sur table - 50 % travail à la maison Examen Examen classique sur table, Cf. Emploi du Temps (plate-forme Campus ou Prométhée). Travail à la maison Les travaux à la maison sont à rendre pour la séance de cours suivante (voir dates via Campus). Les programmes seront réalisés avec Python ou MATLAB. L utilisation de codes commerciaux, i.e. ABAQUS ou Z-set, sera possible pour certains travaux. Informations complémentaires : plate-forme campus (TB-MSNA). 4/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

5 Sommaire 1 Introduction 2 Problèmes physiques & Formulation forte 3 Formulation faible 4 Approximation Éléments Finis 5/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

6 Sommaire 1 Introduction 2 Problèmes physiques & Formulation forte 3 Formulation faible 4 Approximation Éléments Finis 6/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

7 Pourquoi la simulation numérique? Parce que les expériences sont parfois impossibles. cycle de vie des galaxies, prévisions météorologiques... Parce que les expériences ne sont pas toujours souhaitées ou facile à mettre en œuvre. avalanches, essais nucléaires, essais médicaux... 7/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

8 Pourquoi la simulation numérique? Parce que les expériences sont parfois très coûteuses et chrono-phages. repliement de protéines, sciences des matériaux... Parce que les expériences sont parfois trop onéreuses. aérodynamique, crash... 8/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

9 La simulation nume rique (MEF) dans diffe rents domaines! Ae ronautique 1 Ge nie civil /88 Produits de consommation 2 Automobile 1 Sciences des mate riaux 4 MSC Software ( Stress Engineering Services Inc. ( Abaqus ( Z-set software ( 03/09/2021 Nicolas Moulin La me thode des E le ments Finis (I) Bio-inge nierie

10 Objectif : Objectif de la simulation numérique Fournir une solution approchée (solution numérique) du comportement réel d un phénomène physique (continu) en utilisant l outil informatique. On parle ainsi de modèle numérique (discret). Continu [11] Discret [11] ( ) k 2 φ + 2 φ = 0 F = KU 2 x 2 y 10/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

11 Démarche de modélisation Modélisation : La modélisation mathématique est un processus par lequel on passe d un système physique à un modèle mathématique. C est une étape d idéalisation qui constitue l une des phases les plus importantes de la démarche de modélisation ; le modèle mathématique ainsi obtenu est une abstraction de la réalité physique. Discrétisation : La modélisation mathématique est une étape de simplification. Cependant les modèles physiques ne sont pas nécessairement simples à résoudre. Ils font généralement appel à des systèmes d équations aux dérivées partielles (EDP) couplées en espace et en temps associées à des conditions aux limites et/ou aux interfaces. De tels modèles sont composés d une infinité d inconnues ou degrés de libertés (DDL). En pratique, pour réaliser une simulation, il est nécessaire de réduire le nombre de DDL à un nombre fini d inconnues. Ce processus est appelé discrétisation et fournit un modèle numérique (discret). Résolution : Des méthodes numériques et des outils informatiques sont utilisés pour résoudre le modèle numérique et permet ainsi d obtenir une solution numérique (discrète). 11/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

12 Boucle de modélisation 3D, 2D, 1D, (non)-stationnaire, linéaire / non-linéaire, comportement, couplages... maillage, approximation. algorithme de résolution, précision, programmation... Validation : Est-ce que l on résout le bon modèle mathématique? Vérification : Est-ce que l on résout le modèle mathématique correctement? 12/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

13 Rôle du modélisateur Compétences scientifiques Connaissances théoriques solides, ne pas se limiter aux seules connaissances des codes de calculs (Ansys, Abaqus...). as simple as possible but not simpler (Einstein). Maîtriser les erreurs de manière à assurer que la solution numérique est assez proche du comportement réel du système physique (convergence). Connaissances/Compétences inter-disciplinaires. Un bon modélisateur? Annuler les erreurs Estimer et Contrôler les erreurs Valider & Vérifier 13/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

14 Quelques exemples de codes éléments-finis Codes commerciaux : Abaqus : Logiciel américain développé et commercialisé par la société HKS (Hibitt, Karlson, Sorensen) en Nastran : Logiciel américain développé par la NASA dans les années 60 et commercialisé aujourd hui principalement par la société MSC Software (MSC : Mc Neal Schwendler Corporation). Ansys : Logiciel américain développé par Westinghouse et commercialisé par Ansys Corporation. Systus : Logiciel français développé pour les besoins propres de Framatome (désormais Areva) aujourd hui commercialisé par ESI Group. Marc : Logiciel américain lui aussi développé pour des analyses non linéaires et commercialisé par la société MSC Software. Samcef : Logiciel développé par l université de Liège et commercialisé par la société SAMTECH. Comsol : Logiciel de simulation spécialisé dans la prise en compte des couplages multi-physiques, développé au Royal Institute of Technology (KTH) à Stockholm en Suède. 14/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

15 Quelques exemples de codes éléments-finis Codes commerciaux (suite...) : Forge : Logiciel dévéloppé par le CEMEF et commercialisé par la société Transvalor. Autres démarches : Modulef, FreeFEM++, FEAP, Castem, Code Aster, Z-set ( 15/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

16 Origines de la Méthodes des Éléments Finis (MEF) : Premiers développements sous l impulsion de l industrie aéronautique avec Boeing et Bell Arerospace aux États-Unis et Rolls Royce au Royaume-Uni : J.H. Argyris [1, 2] puis M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin, L.J. Topp [17] et R.W. Clough [8] publient les premiers articles et posent les idées de base de la Méthode des Éléments Finis (MEF) actuelle : L age d or, rapprochement entre les approches ingénieur et les formulations mathématiques : La NASA lance un projet de développement de code EF dirigé par Dick MacNeal appelé NASTRAN. Au même moment, John Swanson développe un programme EF chez Westinghouse Electric Corp. qu il quittera en 1969 pour acheter le programme ANSYS : Zienkiewicz et Cheung [18], premier livre pour les ingénieurs. 16/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

17 Origines de la Méthodes des Éléments Finis (MEF) Développement des éléments iso-paramétriques et des outils numériques associés (intégration numérique, fonctions de forme, patch test) par Iron et al. [14] et de formations mixtes (résumé dans [16]). Plus tard, les mathématiciens découvriront un article de R. Courant (1943) [9] qui aborde les problèmes variationnels pour la résolution de problèmes vibratoires. Beaucoup de mathématiciens revendiquent qu il s agit de la découverte de la méthode : Consolidation, meilleure compréhension des aspects théoriques. Progrès des formulations mixtes et des méthodes hybrides. Début du contrôle d erreur et de l adaptation de maillage. Développement important des codes commerciaux : Maturité, la méthode se démocratise en dehors des laboratoires et grands groupes industriels. Développement de l informatique (station puis PC) et des interfaces utilisateurs. Publication d ouvrages de référence ; en français [10] et anglais [3, 13]. 17/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

18 Origines de la Méthodes des Éléments Finis (MEF) aujourd hui : intégration dans les processus de fabrication (lien EF-CAO), nouveaux livres de références [3, 4, 5, 6, 7], prise en compte des non-linéarités, dynamique et optimisation, méthodes alternatives (méthodes sans-maillages), méthodes de stabilisation, calcul parallèle, multi-physiques... 18/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

19 Feuille de route 19/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

20 Sommaire 1 Introduction 2 Problèmes physiques & Formulation forte 3 Formulation faible 4 Approximation Éléments Finis 20/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

21 Classification des systèmes physiques Formulation forte établie à partir : des bilans de conservation (masse, quantité de mouvement, énergie) et des équations de continuité, des lois de comportements (loi de Fourier, Hooke, Fick...), des conditions aux limites et initiales. Formes synthétiques des équations de conservation : t (ρξ) + (ρξv) + j ξ = Q ξ Éq. de conservation ξ j ξ Q ξ masse 1 [-] 0 [-] 0 [-] diffusion 5 c i [mole kg 1 ] j i [mole m 2 s 1 ] s i [mole m 3 s 1 ] énergie (chaleur) H [J kg 1 ] q T [W m 2 ] s T [W m 3 ] qté. de mvt. (selon x) v x [m s 1 ] σ x. [N m 2 ] F v,x [N m 3 ] est l opérateur gradient (vecteur) défini par (en 2D) = ( i x + j y ). Le produit scalaire de l opérateur gradient avec un vecteur correspond à la divergence du de ce vecteur : div q = q. 5. indice i pour l espèce chimique i 21/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

22 Classification des systèmes physiques Les équations de conservation donnent lieu à des Équations aux Dérivées Partielles (EDP) de nature très diverse. Ex : EDP générale du 2 nd ordre ( A (x, y) 2 u 2 x + 2B (x, y) 2 u x y + C (x, y) 2 u 2 y = Φ x, y, u, u x, u ) y Classification : B 2 AC < 0 elliptique B 2 AC = 0 parabolique B 2 AC > 0 hyperbolique Conditions Limites (C.L.) : Dirichlet (essentielle) : ξ = ξ Neumann (naturelle) : j ξ,n = j ξ n 22/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

23 Classification des systèmes physiques Exemple de problème elliptique 1D : Conduction thermique 1D d dx ( Ak dt ) + s = 0 avec dx q = k dt (loi de Fourier) dx ( q(x = 0) = k dt ) = q C.L. Neumann dx T (x = l) = T x=0 C.L. Dirichlet 23/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

24 Classification des systèmes physiques Exemple de problème elliptique 1D : Barre élastique en traction uniaxiale ( d AE du ) + b = 0 sur 0 < x < l dx dx σ = E du (loi de Hooke) dx ( σ(x = 0) = E du ) = t C.L. Neumann dx u(x = l) = ū x=0 C.L. Dirichlet 24/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

25 Classification des systèmes physiques 6 Stationnaire 0 = (a u) Instationnaire u t = (a u) EDP elliptique (ordre 2) EDP parabolique (ordre 2) v u = (a u) u + v u = (a u) t EDP elliptique (ordre 2) EDP parabolique (ordre 2) v u = 0 u t + v u = 0 EDP hyperbolique (ordre 1) EDP hyperbolique (ordre 1) 6. [15] 25/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

26 Sommaire 1 Introduction 2 Problèmes physiques & Formulation forte 3 Formulation faible 4 Approximation Éléments Finis 26/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

27 Forme forte vs. forte faible Particularité de la Méthode des Éléments Finis (MEF) : Discrétiser, non pas l équation d équilibre, mais une forme affaiblie de cette équation. On parle alors de forme faible, intégrale ou variationnelle. Conséquence : La solution d une forme faible correspond à une solution faible en termes de continuité. 27/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

28 De la forme forte à la forme faible Différentes approches pour passer de la forme forte à la forme faible : 1. Principe des puissances virtuelles, 2. Principe de minimisation de l énergie potentielle, 3. Méthode des résidus pondérés (Galerkin, collocation, moindres carrés...) Remarque : On détaillera par la suite la troisième approche. 28/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

29 De la forme forte à la forme faible avec Principe des puissances virtuelles - Approche 1 L équation locale d équilibre peut être exprimée sous une forme intégrale équivalente, c est à dire multiplication par un champ de vitesse virtuelle w C arbitraire et intégration sur le domaine Ω. On obtient la formulation faible de l équation locale d équilibre : σ : ε( w)dv = ρf ( ) wdv + σ n wds w C Ω } {{ } W int Ω Ω } {{ } W ext ( ) C u = { v v continu et régulier sur Ω et v = ū sur Γ D}, ( ) C 0 = { w w continu et régulier sur Ω et w = 0 sur Γ D}, C = { w w continu et régulier sur Ω}. 29/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

30 De la forme forte à la forme faible Principe des puissances virtuelles - Approche 1 Remarque : Pour un problème de mécanique en élasticité linéaire, la formulation faible associée à l équilibre ( ) revient à écrire : trouver u C u tel que Ω avec σ = A : ε ε( u) : A : ε( w)dv = Ω ρf wdv + t wds Γ N ( w C 0) 30/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

31 De la forme forte à la forme faible Principe de minimisation de l énergie potentielle - Approche 2 Dans le cadre d un solide élastique, on peut chercher le déplacement solution u par minimisation de l énergie sur l ensemble des déplacements cinématiques admissibles : u = arg min P( v) v C( u) où l énergie potentielle P( v) est définie comme l énergie de déformation W( v) moins l énergie des efforts extérieurs F( v) : P( v) = W( v) F( v) W( v) = 1 ε( v) : A : ε( v)dv F( v) = ρf 2 vdv + t vds Ω Γ N Ω La condition de stationnarité de l énergie potentielle conduit à la formulation linéaire suivante dans le cas du problème d élasticité linéaire trouver u C( u) tel que ε( u) : A : ε( w)dv = ρf wdv + t wds w C( 0) Ω Ω Γ N 31/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

32 De la forme forte à la forme faible Remarques : Une formulation faible est appelée formulation variationnelle quand elle exprime la stationnarité d une fonctionnelle (généralement de nature énergétique). L équilibre d un solide élastique pouvant être (par exemple) formulé comme la minimisation de l énergie potentielle, la formulation faible découlant du principe des puissances virtuelles coïncide avec la formulation variationnelle associée à ce principe. En pratique, rechercher le minimum absolu de l énergie potentielle est impossible dans la majorité des cas en raison de la complexité géométrique des systèmes mécaniques réels ; d où la troisième approche... 32/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

33 De la forme forte à la forme faible Méthode des résidus pondérés - Approche 3 1. Pondération du résidu par une fonction test, 2. Intégration sur le domaine, 3. Introduction des conditions limites. Résidu? Nous appelons résidu (noté R), l expression mathématique de la forme forte du problème étudié. 33/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

34 De la forme forte à la forme faible Méthode des résidus pondérés - Approche 3 Cas de la conduction thermique Dans ce cas : q s = 0 q = k T T = T q n = q sur Ω sur Ω sur Γ D sur Γ N R(T ) = q s Le terme R(T ) est appelé résidu, il s agit d une quantité à annuler dans le solide Ω, tout en respectant les conditions aux limites. 34/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

35 De la forme forte à la forme faible Méthode des résidus pondérés - Approche 3 Écriture matricielle du problème q s = 0 q = D T T = T q n = q sur Ω sur Ω sur Γ D sur Γ N Avec q = D T la loi de Fourier généralisée. Pour un matériau isotrope : k 0 0 D = 0 k 0 = ki 0 0 k 35/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

36 De la forme forte à la forme faible Méthode des résidus pondérés - Approche 3 Nous devons annuler le résidu en tout point x du solide Ω. Remarquons que si un champs u(x) annule ce résidu, alors pour toute fonction w(x) w RdV = 0 ou < w R > = 0 Ω Les fonctions w(x) introduites par cette méthode sont appelées fonctions de pondération ou fonctions test. La seule condition exigée pour ces fonctions est de donner un sens à l équation précédente. On demandera donc à ces fonctions d être intégrables sur Ω. Quelques notations... < f g > = f g dv f g = Ω Ω f g ds f g N = f g ds Γ N f g D = f g ds Γ D 36/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

37 De la forme forte à la forme faible Méthode des résidus pondérés - Approche 3 Pondération du résidu par une fonction test La méthode des résidus pondérés nous amène ainsi à formuler le problème de la façon suivante : ( ) w q s dv = 0 w Ω q n = q sur Γ N T = T sur Γ D 37/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

38 De la forme forte à la forme faible Méthode des résidus pondérés - Approche 3 Intégration dur le domaine En intégrant sur le domaine et en appliquant le théorème de la divergence : ( ) w q s dv = 0 w Ω Ω (w q) dv Γ w q nds Ω Ω w qdv w qdv w q nds + w q nds Γ N Γ D Ω Ω Ω w s dv = 0 w s dv = 0 w qdv Ω w w w s dv = 0 w Notation matricelle Ω ( w) D T dv = w qds wq nds + w s dv Γ N Γ D Ω w 38/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

39 De la forme forte à la forme faible Méthode des résidus pondérés - Approche 3 Remarques : Réduction de l ordre maximum des dérivées, il n y a plus de dérivées secondes. La régularité requise pour T à. La régularité requise pour w à. Une analyse mathématique détaillée (que nous ne mènerons pas ici) permet de montrer que ces conditions de régularité correspondent au premier espace de Sobolev H 1 (Ω), qui contient les fonctions de carré intégrable sur Ω et dont les dérivées sont aussi de carré intégrable. 39/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

40 De la forme forte à la forme faible Méthode des résidus pondérés - Approche 3 Une des étapes importantes dans l écriture de la formulation faible du problème consiste à incorporer les conditions aux limites sur Γ D (conditions de Dirichlet) dans l espace des fonctions admissibles, pour cela : U = {u u H 1 (Ω), u = ū sur Γ D} Les conditions aux limites de Dirichlet (i.e. température imposée) sont donc incorporées directement dans l espace des solutions. Ces conditions sont dites essentielles pour la formulation du problème. 40/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

41 De la forme forte à la forme faible Méthode des résidus pondérés - Approche 3 On choisit par ailleurs des fonctions de pondération (ou test) qui s annulent sur Γ D. Ces fonctions w peuvent être ainsi considérées comme des variations admissibles de fonctions de U. On définit donc l espace U 0 suivant : U 0 = {w w H 1 (Ω), w = 0 sur Γ D} En prenant en compte les conditions aux limites en flux sur Γ N et la définition de U, l exemple donné précédemment s écrit : Incorporation des conditions limites Ω ( w) D T dv = w qds + Γ N Γ wq nds + D Ω w s dv w 41/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

42 De la forme forte à la forme faible Méthode des résidus pondérés - Approche 3 La formulation faible du problème de conduction thermique s écrit (notation matricielle) : avec Trouver T U tel que ( w) D T dv = Ω w qds + Γ N U = {T T H 1 (Ω), T = T on Γ D} U 0 = {w w H 1 (Ω), w = 0 on Γ D} Ω w s dv w U 0 42/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

43 Sommaire 1 Introduction 2 Problèmes physiques & Formulation forte 3 Formulation faible 4 Approximation Éléments Finis 43/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

44 Approximation Éléments Finis La solution exacte d un problème aux dérivées partielles sous sa formulation faible ou forte est en général impossible (à l exception de quelques cas particuliers). Il s agit donc de trouver une approximation u h de la solution exacte u. La méthode de Galerkin suppose que l approximation u h puisse être exprimée comme une combinaison linéaire de valeurs nodales inconnues u i u h (x) = n N i(x)u i i=1 où N i(x) sont les fonctions de forme spécifiées à priori et l(indice i correspond au numéro du nœud. Remarque : La qualité de l approximation dépend : du choix des fonctions N i(x), du nombre n de fonctions. 44/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

45 Approximation Éléments Finis Il y a donc n degrés de liberté pour définir un élément particulier du sous-espace discret U h U. La dimension de U h est clairement n et les fonctions de forme sont une base de cet espace dont tous les éléments sont obtenus par une combinaison linéaire unique des éléments de cette base. La plupart des fonctions de forme utilisées sont associées à un point particulier de l espace x j et satisfont la propriété suivante : N i(x j) = δ ij où δ ij est le symbole de Kronecker d où : { 1 si i = j N i(x j) = 0 si i j 45/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

46 Approximation Éléments Finis Opération de maillage Opération de découpage (maillage) : création des sous domaines ou éléments-finis : m Ω = Ω e, Ω e Ω f, if e f e=1 [12] 46/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

47 Approximation Éléments Finis Approximation nodale par sous-domaine (dans chaque élément) Les paramètres de l approximation sont les valeurs des fonctions en certains points particuliers appelés nœuds. x Ω e, u e (x) = Ni e (x)u e i n e i=1 Notation matricielle avec u e (x) = N e i (x) {u e i } Ni e (x) = N1 e (x) N2 e (x)...nn e e(x) {ue i } = u e 1... u e n e 47/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

48 Approximation Éléments Finis RAPPEL : Propriétés des fonctions de forme : N i(x j) = { 1 if i = j 0 if i j Exemple : Pour un élément fini à deux nœuds : { N 1(0) = 1 N 1(L) = 0 et { N 2(0) = 0 N 2(L) = 1 48/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

49 Approximation Éléments Finis Calcul des fonctions N i : élément à deux nœuds 1. Choisir l ordre d approximation : deux nœuds (ordre 1) N 1(x) = a 1x + b 1, N 2(x) = a 2x + b 2 2. Construction des deux systèmes d équations : { N 1 (0) = a b 1 = 1 N 1 (L) = a 1 L + b 1 = 0 et { N 2 (0) = a b 2 = 0 N 2 (L) = a 2 L + b 2 = 1 3. Résolution : N 1(x) = 1 x L, N2(x) = x L 49/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

50 Approximation Éléments Finis De manière générale pour un élément à deux nœuds de coordonnées x e 1 et x e 2 : avec N e 1 (x) = (xe 2 x) (x e 2 xe 1 ) N e 2 (x) = (x xe 1) (x e 2 xe 1 ) La propriété N e i (x e j) = δ ij est vérifiée. 50/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

51 Approximation Éléments Finis Réécriture des approximations sous la forme matricielle : u h (x) = N 1(x)u 1 + N 2(x)u 2 = N 1(x) N 2(x) La fonction test est approximée de la même manière : w h (x) = N 1(x)w 1 + N 2(x)w 2 = N 1(x) N 2(x) { u1 u 2 { w1 w 2 } } Les dérivées se calculent selon : { } du h (x) dn1(x) dn 2(x) u1 =, dwh (x) dx dx dx u 2 dx dn1(x) = dx dn 2(x) dx { } w1 w 2 Remarque : Il n est pas obligatoire d utiliser les même approximations pour w(x) et u(x) (formulation Petrov-Galerkin). 51/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

52 Approximation Éléments-Finis La méthode des résidus pondérés fournit, selon le choix des fonctions de pondération, tout un ensemble de formulations intégrales : 1. Collocation par points ou par sous domaine, 2. Formulation de type Moindres carrés, 3. Formulation de type Galerkin. Remarques : La technique classique dite de Galerkin consiste à annuler en moyenne le produit des résidus avec les fonctions forme, on prend : < w ir h >= 0 i = 1,..., n avec w i = N i Pour les problèmes elliptiques la technique de Galerkin est optimale. 52/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

53 Approximation Éléments-Finis Un mot sur la continuité... Une fonction est noté fonction C n si ses dérivées d ordre j pour 0 j n existent et sont continues sur le domaine. On s intéressera en particulier aux fonctions C 0, C 1 et C 1. Une fonction C 0 est une fonction continue et dérivable par morceaux, i.e. sa dérivée première est continue excepté pour certains points. La dérivée d un fonction C 0 est une fonction C 1. Donc par exemple, si le déplacement est une fonction C 0, la déformation est une fonction C 1. De la même manière, si un champs de température est une fonction C 0, le flux est une fonction C 1 si la conductivité est C 0. En général, la dérivée d une fonction C n est C n 1. 53/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

54 Approximation Éléments-Finis Un mot sur la continuité... Régularité Nœuds Sauts Commentaires C 1 oui oui continue par morceaux C 0 oui non continue et dérivable par morceaux C 1 non non continûment dérivable 54/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

55 Approximation Éléments-Finis Pour illustrer quelques caractéristiques (continuité) des fonctions de forme, on considère un maillage de deux éléments numérotés de manière successives. Rappel : La présence de l exposant sur la variable indique que l indice se réfère au numéro local du nœud. 55/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

56 Approximation Éléments-Finis Commentaires : Pour des raisons évidentes, ces fonctions de forme sont également appelées fonctions chapeau. Une des propriétés importantes est qu elles sont C 0 continues. Comme mentionné précédemment, les solutions éléments-finis et les fonctions tests sont une combinaison linéaire des fonctions de forme. Comme les fonctions de forme sont C 0, toute combinaison linéaire est C 0, ce qui garantie la continuité C 0 de u h (x) et w h (x). Enfin, comme on choisi des fonctions de formes polynomiales, le résultat de l intégration dans la forme faible est fini, ces fonctions sont donc de carrés intégrables. Mathématiquement, ces fonctions appartiennent à l espace H 1. 56/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

57 Approximation Éléments-Finis Rappel : Exemple de la conduction thermique trouver T U tel que ( w) D T dv = Ω w q ds + Γ N avec U = {T T H 1 (Ω), T = T sur Γ D} U 0 = {w w H 1 (Ω), w = 0 sur Γ D} Ω w s dv = 0 w U 0 Conduction thermique 1D trouver T U tel que ( ) dw Ak dt dx dx dx 0 } {{ } W int L L 0 ( ) w s dx + w A q x=l } {{ } W ext = 0 w U 0 57/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

58 Approximation Éléments Finis Introduction des approximations dans la forme intégrale Soit, W int = L 0 W int = { } N w 1 w 1 2 Ak N 1(x) N 2(x) { } T 1 dx T 2 L 0 N 2 [ ] { } (N w 1 w 2 Ak 1 ) 2 N 1N 2 T1 N 1N 2 (N 2) 2 dx T 2 58/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

59 Approximation Éléments Finis Pour 1 maillage avec un seul élément fini 2 nœuds de longueur L avec N 1(x) = 1 x L, N2(x) = x L W int = L 0 [ ( 1 ) 2 ( ) ] 1 2 {T1 } w 1 w 2 Ak L L ( ) 1 2 ( 1 ) 2 dx T 2 L L W int = w 1 w 2 Ak L [ 1 ] { 1 T1 1 1 T 2 } 59/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

60 Approximation Éléments Finis Pour le terme source et le terme de CL : W ext = W ext = L 0 W ext = L 0 w 1 w 2 w 1 w 2 L 0 ( ) w s dx + w A q x=l { N1 N 2 } s dx + w 1 w 2 A q { N1 N 2 } x=l { } { } 1 x L 1 x x s dx + w 1 w 2 A q L x x=l L L W ext = w 1 w L { } { } s + w w 2 A q 1 60/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

61 Approximation Éléments Finis En regroupant les expressions de W int et W ext, on obtient : ( [K ] { } T 1 w 1 w 2 { F }) = 0 w T 2 D où { R } = [ K ] { T } { F } autrement dit w R = 0 w Vocabulaire : [ K ] = matrice de rigidité, { T } = vecteur des solutions (inconnues nodales), { F } = vecteur des sollicitations externes, { R } = vecteur résidus (ou vecteurs des réactions externes inconnus). 61/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

62 Pour résumer Mailler le domaine. Obtention de la forme faible : En pondérant par une fonction test. En intégrant par parties sur le domaine avec les conditions aux limites. Approximation des variables et des dérivées au sens éléments finis : Discrétisation de la forme faible et calcul des matrices et vecteurs. Résoudre le système. Post-traitement : Affichage du champs solution (ex : température). Calcul des réactions externes (inconnues) : { } { } [ ] T1 R = K { F } }{{} T 2 }{{} avant C.L. solution Calcul du/des flux à l intérieur du domaine. 62/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

63 Cas général : plusieurs éléments finis... Exemple de maillage : Un maillage éléments finis est décrit à l aide de deux tables : tables de coordonnées : vcor = [ ] x 1 x 2 x 3 x 4 tables des connectivités : conec = ***geometry **node e e e e e e e e e e e e-01 **element c2d c2d c2d c2d ***return 63/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

64 Remarque 1 : Remarques sur le maillage La numérotation des nœuds peut être aléatoire. Un maillage éléments finis est dit non structuré! Remarque 2 : Les éléments peuvent être de longueurs différentes /88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

65 Cas général : plusieurs éléments finis... Conduction thermique 1D trouver T U tel que ( ) dw Ak dt dx dx dx 0 } {{ } W int L L 0 ( ) w s dx + w A q x=l } {{ } W ext = 0 w U 0 Le découpage du domaine en un maillage se traduit par un découpage du signe intégral : L x n el e i+1 (...)dx (...)dx 0 e=1 x e i }{{} intégrale élémentaire 65/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

66 Cas général : plusieurs éléments finis... Soit : nel w e e=1 x e i+1 x e i }{{} K e x e i+1 B e A e kb e dx T e x e i N e sdx + ( ) N e A e q x=0 } {{ } F e = 0 Vocabulaire : [ K e ] K e : matrice de rigidité élémentaire, { T } T e vecteur des solutions élémentaires(inconnues nodales), { F } F e vecteur des sollicitations externes élémentaire. 66/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

67 Cas général : plusieurs éléments finis... Remarque : Chaque intégrale élémentaire est définie par des bornes distinctes, d où : des fonctions d approximation N 1 et N 2 différentes d un élément à un autre. Nécessite de recalculer les fonctions pour chaque élément! = Il existe une solution (on verra + tard). 67/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

68 Phase d assemblage Après calcul de toutes les contributions élémentaires, la phase d assemblage consiste à assembler : toutes les matrices élémentaires en une seule matrice globale [ K ] K tous les vecteurs élémentaires en un seul vecteur global { F } F tel que w (KT F ) = 0 w, w R = 0 w /88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

69 Phase d assemblage Il existe plusieurs techniques d assemblage! 1. Utilisation d une matrice d assemblage, 2. Assemblage par projection directe. Remarque : Le résultat des deux méthodes est équivalent. Dans le code de calcul la procédure d assemblage est réalisée par projection. Cependant, le concept de la matrice d assemblage est utile pour montrer comment l équilibre et les conditions de compatibilité sont assurées au niveau global. 69/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

70 1. Utilisation d une matrice d assemblage Numérotation locale vs. numérotation globale : Matrice d assemblage des quantités élémentaires : { T e } = [ L e] { T } 1 si le noeud numéroté j L e sur la strucuture complète coincide avec le ij = ième noeud de l élément e 0 sinon 70/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

71 1. Utilisation d une matrice d assemblage Ex : assemblage de la matrice élémentaire de l élément 1 [ ] [ ] L = [ ] L 1 [ ] [ K 1 L 1] 1 0 [ ] [ ] = 0 1 K 1 11 K12 1 K K K21 1 K22 1 = K21 1 K /88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

72 1. Utilisation d une matrice d assemblage Au final le système se met sous la forme : w (KT F ) = 0 w R = 0 avec n el K = L e K e L e e=1 n el F = L e F e e=1 72/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

73 3. Assemblage par projection Principe : Il consiste à localiser la zone de la matrice globale où sera projetée la matrice élémentaire. Remarque : Cette zone possède les mêmes dimensions que la matrice élémentaire. Mise en œuvre La table des connectivités conec N ligne = numéro de l'élément Contenu des colonnes = liste des noeuds de l'élément = liste des lignes et colonnes de la matrice globale! 73/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

74 3. Assemblage par projection Algorithme : On boucle sur tous les éléments : 1. Calcul de [K e] et {F e} 2. Extraction de la connectivité de l élément (numéros des nœuds) 3. On isole dans [K] et {F } les lignes et colonnes correspondantes On projette [K e] dans [K] On projette {F e} dans {F } Retour de boucle Introduction des conditions aux limites 74/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

75 3. Assemblage par projection Assemblage de l élément 1 : conec(1, [1 2]) = [1 2] T A e k T 2 L e T 3 = s Le T 4 0 Assemblage de l élément 2 : conec(2, [1 2]) = [2 3] T A e k T 2 L e T 3 = s Le T 4 0 Assemblage de l élément 3 : conec(3, [1 2]) = [3 4] T A e k T 2 L e T 3 = s Le T 4 1 Remarque : Pour simplifier : L (1) = L (2) = L (3) = L e conec(n. d élément, [N. des colonnes]) = [Liste des noeuds] 75/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

76 Cas particulier : liste des nœuds non consécutives Exemple : conec(e, [1 2]) = [1 3] Remarque : On distribue en conservant les positions relatives respectives! 76/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

77 Cas particulier : liste des nœuds inversée Exemple : conec(e, [1 2]) = [4 2] Remarque : On distribue en inversant les lignes et les colonnes! 77/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

78 Prise en compte des conditions aux limites Conditions aux limites de type Dirichlet (essentielles) : 1. Méthode d élimination Partitionnement du système d équations avec les quantités inconnues et imposées Réduction de la taille du système en intégrant ces conditions 2. Méthode du terme unité sur la diagonale Modifier directement la matrice [K] et le vecteur {F } Méthode plus coûteuse et plus complexe à programmer car modifie beaucoup de terme de [K] et {F }. 3. Méthode de pénalisation ou terme diagonal dominant Ajouter un terme très grand par rapport à tous les termes de la matrice [K] Méthode très simple à mettre en œuvre car il suffit de changer deux termes (un dans [K] et un dans {F }). 78/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

79 Conditions de Dirichlet (1/3) Méthode d élimination : K K 14 T 1 F 1 0 K 22 K 23 K 24 T 2 F 2 0 K 23 K 33 0 = T 3 F 3 K 14 K 24 0 K 44 T 4 F 4 K 22 K 23 K 24 T 2 F 2 K 32 K 33 0 T 3 = F 3 ; T1 = T 1 K 42 0 K 44 T 4 F 4 K 14T 1 Remarques : Réduction de la taille du système, La taille du système (nb. de ddl) dépend directement des CL. Les conditions limites sont appliquées exactement. 79/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

80 Dirichlet BC (2/3) Méthode du terme unité sur la diagonale : K K 14 T 1 F 1 0 K 22 K 23 K 24 T 2 F 2 0 K 23 K 33 0 = T 3 F 3 K 14 K 24 0 K 44 T 4 F T 1 T 1 0 K 22 K 23 K 24 T 2 F 2 0 K 32 K 33 0 = T 3 F 3 0 K 42 0 K 44 T 4 F 4 K 14T 1 Remarques : Modification explicite de la matrice globale [K] et du second membre {F }. Le terme diagonal correspondant à la valeur à imposer est remplacer par 1, et les autres termes sont remplacer par 0. La valeur correspondante dans le membre de droite est remplacée par la valeur à imposer. Coûteux, N + 1 opérations, La taille du système (nb. de ddl) n est pas modifiée. 80/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

81 Conditions de Dirichlet (3/3) Méthode de pénalisation : K 11 + α 0 0 K 14 0 K 22 K 23 K 24 0 K 23 K 33 0 K 14 K 24 0 K 44 ( ) 4 L équation 1 s écrit : αt 1 + K ijt j = αt 1 j=1 Elle admet la solution approchée : T 1 T 1 si αt 1 Remarque : T 1 T 2 T 3 T 4 αt 1 F = 2 F 3 F 4 4 K ijt j j=1 Avec α = Max(K ij), l erreur est donc de l ordre de la précision machine, Beaucoup moins coûteux, seulement 2 opérations, La taille du système (nb. de ddl) n est pas modifiée, Ce type de condition peut poser problème lorsque [K] est mal conditionnée et lorsque certaines composantes de {T n} sont grandes. 81/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

82 Analyse de la validité des résultats Vérification de base : programmation, mise en données, Conditions aux limites de Dirichlet, Conditions de Neumann, Analyse de la solution EF (i.e. solution linéaire par morceaux), Calcul des réactions, Permet de vérifier : l équilibre statique en mécanique, la conservation des flux en thermique... 82/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

83 Post-traitement : calcul du gradient Utile pour : Calculer le flux thermique : q = k dt dx Calculer un effort mécanique : N = EA du dx Exemple : dt e dx = N 1(x) N 2(x) { } e T 1 = 1 { } e 1 T1 = T 2 L e L e T 2 T2 T1 L e Constat : une approximation linéaire de la solution : Assure la continuité de la solution inter-éléments. N assure pas la continuité des dérivées de la solution. Solutions envisageables : Utiliser un élément fini à 3 nœuds (approximation quadratique). Moyenner la solution aux nœuds. 83/88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

84 References I J.H. Argyris and S. Kelsey. Energy theorems and structural analysis. Aircraft Engineering and Aerospace Technology, 26, J.H. Argyris and S. Kelsey. Energy theorems and structural analysis. Aircraft Engineering and Aerospace Technology, 27, K.J. Bathe. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J, J.L. Batoz. Modélisation des structures par éléments finis, volume 1. Solides élastiques. Hermes Science Publications, Paris, J.L. Batoz. Modélisation des structures par éléments finis. Volume 2 : Poutres et plaques. Hermès science publications, Paris, /88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

85 References II J.L. Batoz and G. Dhatt. Modélisation des structures par éléments finis, volume 3 : Coques. Hermes Science Publications, Paris, March P.G. Ciarlet and J.L. Lions. Handbook of Numerical Analysis : Finite Element Methods (Part 1), Numerical methods for solids (Part 2). North Holland, R.W. Clough. The finite element method in plane stress analysis. Proc. 2nd ASCE Conf. Electronic Computation, R. Courant. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bull. Amer. Math. Soc, 49(1) :1 23, /88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

86 References III G. Dhatt and G. Touzot. Une présentation de la méthode des éléments finis. Presses Université Laval, J. Fish and T. Belytschko. A first course in finite elements. John Wiley, Chichester ; Hoboken, NJ, C. Geuzaine and J.-F. Remacle. Gmsh : A 3-D finite element mesh generator with built-in pre-and post-processing facilities. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 79(11) : , T.J.R. Hughes. Finite Element Method : Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., /88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

87 References IV B. Irons and S. Ahmad. Techniques of Finite Elements. Ellis Horwood, Ltd., Chichester, Vincent Legat. Introduction aux éléments-finis. Notes pour le cours MECA1120 version , T.H.H. Pian. Some notes on the early history of hybrid stress finite element method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 47(1-3) : , M.J. Turner, R.W. Clough, H.C. Martin, and L.J. Topp. Stiffness and deflection analysis of complex structures. J. Aero. Sci., 23 : , /88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)

88 References V O.C. Zienkiewicz and Y.K. Cheung. The finite element method in structural and continuum mechanics : numerical solution of problems in structural and continuum mechanics, volume 1. McGraw-Hill London, New York, /88 03/09/2021 Nicolas Moulin La méthode des Éléments Finis (I)