Université Joseph Fourier. UE PHY114 et PHY115 Examen terminal : mécanique du point. Mercredi 17 décembre 2014 durée : 1 heure 30 minutes

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1 Université Joseph Fourier UE PHY114 et PHY115 Examen terminal : mécanique du point Mercredi 17 décembre 2014 durée : 1 heure 30 minutes Numéro d anonymat : documents non autorisés calculatrices autorisées Les quatre exercices sont indépendants. 1

2 Problème I : freinage d urgence Un automobiliste roule sur une portion de route rectiligne à une vitesse constante v 0 = 50 km/h. Soudain, un obstacle fixe apparait devant lui à une distance d = 20 m. Après un temps de réaction noté t R, correspondant à la durée écoulée depuis le moment où il a aperçu l obstacle, le conducteur appuie sur la pédale de freins. Après une durée t 1 = 1,0 s de freinage, la voiture a une vitesse v 1 = 20 km/h, et poursuit son mouvement jusqu à arrêt complet. I.1 : Déterminer, en justifiant, les équations temporelles de l accélération a(t), de la vitesse v(t) et de la position x(t) de la voiture avant la phase de freinage. I.2 : Donner l expression, en fonction des données du problème, de la distance d R parcourue par l automobiliste pendant la durée t R correspondant à son temps de réaction. I.3 : Tracer l évolution de la vitesse de la voiture en fonction du temps en considérant que sa décélération est constante. Indiquer clairement sur ce graphe, v 0, v 1, t R et t 1. Déterminer l expression de la décélération de la voiture a en fonction de v 0, v 1 et t 1. 2

3 I.4 : En déduire la durée totale t 2 de la phase de freinage ainsi que la distance d f parcourue par la voiture jusqu à son arrêt complet pendant la phase de freinage. On exprimera cette distance en fonction des seules données de l énoncé. I.5 : En déduire l expression de la distance totale d t parcourue entre le moment où le conducteur a détecté l obstacle et le moment où la voiture s immobilise. I.6 : Faire l application numérique en considérant un temps de réaction typique pour un conducteur attentif t R = 1s. Conclure : la voiture entrera-t-elle en collision avec l obstacle? 3

4 Problème II : coup droit gagnant ou faute directe? Un joueur de tennis lance dans le plan (xoy) une balle de tennis depuis le point de coordonnées (x 0 = 0 ; y 0 = 2m), en lui donnant une vitesse initiale 0 faisant un angle α = 30 avec l horizontale et de norme v 0 = 11 ms -1. On prendra l accélération de la pesanteur g = 10 ms -2. II.1 : Etablir soigneusement les équations horaires x(t) et y(t) du mouvement de la balle. II.2 : En déduire l équation y(x) de sa trajectoire. Quel est le nom donné à ce type de courbe? II.3 : Le filet du court de tennis d une hauteur h = 90 cm se trouve à x =12 m du joueur. La balle passe-t-elle au-dessus du filet? si oui, à quelle hauteur? 4

5 II.4 : La ligne de fond du court se trouve à une distance x = 24 m du joueur. La balle retombet-elle dans les limites du terrain? Problème III : le parachutiste Un parachutiste de masse totale m = 100 kg se laisse tomber d un hélicoptère considéré comme immobile par rapport à la Terre, d une altitude h = 3000 m. Durant la première phase de son saut, la vitesse passe de 0 à 180 km/h. Puis, à l ouverture du parachute, la vitesse décroit jusqu à 18 km/h, pour rester ensuite constante jusqu à l atterrissage qui a lieu sur un plateau situé à une altitude h 0 = 500 m. Les altitudes sont mesurées par rapport au niveau de la mer et on considère que l accélération de la pesanteur reste constante et égale à 10 ms -2. On négligera la poussée d Archimède qui s exerce sur le parachutiste. III.1 : Calculer l énergie mécanique du parachutiste au moment où il quitte l hélicoptère. Par convention, l origine de l énergie potentielle dans le champ de pesanteur terrestre est choisie au niveau de la mer. 5

6 III.2 : Calculer l énergie mécanique du parachutiste juste avant son atterrissage. III.3 : En déduire le travail des forces de frottement de l air sur le parachutiste sur l ensemble de sa trajectoire. III.4 : discuter la variation de la norme de la force de frottement de l air sur le parachutiste au cours des 3 phases du mouvement : 1 ère phase : chute libre (parachute fermé) : 2 ème phase : décélération du parachutiste suite à l ouverture du parachute : 3 ème phase : chute à vitesse constante (v = 18 km/h) : 6

7 III.5 : Déterminer la norme de la force de frottement dans la dernière phase du saut correspondant au mouvement à la vitesse constante de 18 km/h. Etudiants de PHY115 : l exercice IV est facultatif : les points attribués à cet exercice interviendront sous forme de bonus dans la notation. Etudiants de PHY114 : l exercice suivant fait partie intégrante de l examen. Problème IV : le pendule simple On considère un pendule simple constitué d un fil inextensible de longueur l = 50 cm et de masse négligeable, et d une bille d acier de masse m =100 g liée à une extrémité du fil, l autre extrémité restant fixe. A l instant initial t 0, on écarte la bille de la verticale d un angle θ m =10 et on la lâche sans vitesse initiale. Le pendule se met alors à osciller. Tous les frottements seront négligés. 7

8 IV.1 : En choisissant comme origine de l énergie potentielle la position de la bille lorsque le pendule est au repos, donner l expression de l énergie potentielle de la bille pour un angle θ(t) quelconque. IV.2 : Exprimer l énergie mécanique du pendule en fonction de θ(t) et de v(t). IV.3 : En déduire l expression de la vitesse maximale atteinte par la bille en fonction de l et θ m. IV.4 : En dérivant par rapport au temps l expression de l énergie mécanique obtenue en IV.2, établir l équation différentielle caractéristique du mouvement. Pour cela, on remarquera que la vitesse de la bille se déplaçant selon une trajectoire circulaire de rayon l s écrit v = l. 8