Table des matières. N Leçon Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Page X 18. Agnès Gay 2

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1 Numération

2 Table des matières N Leçon Niveau 1 Niveau 3 Page LES NOMBRES ENTIERS 3 N1 Chiffres et nombres X X X 4 N2 Les nombres entiers (1) de 0 à 999 X X X 5 N3 Les nombres entiers (2) de 0 à X X X 7 N4 Les nombres entiers (3) X X 7 N5 Ecrire les nombres entiers X X X 8 N6 Les intervalles X X 9 N7 Décomposer des nombres entiers X X 9 N8 Comparer et ranger des nombres entiers X X X 10 N9 Encadrer des nombres entiers X X 11 N10 Double, moitié, triple, quart X X X 12 N11 Les multiples X X 13 LES FRACTIONS 14 N12 Les fractions X X 15 N13 Lire les fractions X X 16 N14 Les fractions décimales X X 16 N15 Additionner et soustraire des fractions X 16 N16 Comparer des fractions X 17 N17 Décomposer des fractions X 18 Encadrer une fraction par deux entiers N18 consécutifs X 18 LES NOMBRES DECIMAUX 19 N19 Les nombres décimaux (1) X X 20 N20 Les nombres décimaux (2) X 20 N21 Décomposer des nombres décimaux X 21 N22 Comparer et ranger des nombres décimaux X X 21 N23 Encadrer des nombres décimaux X X 22 N24 Passer d une fraction à un nombre décimal X X 22 N25 Donner des valeurs approchées X 23 LES TABLEAUX DE NUMERATION 24 N26 Tableau de numération (1) X X X 25 N27 Tableau de numération (2) X X 26 N28 Tableau de numération (3) X X 27 Agnès Gay 2

3 Les nombres entiers Agnès Gay 3

4 Chiffres et nombres N1 Niveau 1 Un nombre est une écriture qui représente une quantité. L écriture 12 représente la quantité Un nombre peut être composé d un ou plusieurs chiffres. 12 est composé des chiffres 1 et 2. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 sont les chiffres qui permettent d écrire tous les nombres. Pour écrire, on utilise des lettres pour former des mots. Pour compter, on utilise des chiffres pour former des nombres. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 sont un peu comme l alphabet des nombres. Agnès Gay 4

5 Les nombres entiers (1) de 0 à 999 N2 Niveau 1 Un nombre entier sert à représenter une quantité d objets entiers. Cette quantité de pomme peut être représentée par le nombre entier 8 Cette quantité de pomme ne peut pas être représentée par un nombre entier. Il y en a 5 entière et 2 non entières. Compter des petites quantités, c est facile! Il y a 8, c'est-à-dire 8 unités. Mais quand il y a trop d objets à compter, ça devient compliqué. Pour bien compter, il faut les mettre en boîtes de 10 : les dizaines. Il y a 3 dizaines et 5 unités. 35 Agnès Gay 5

6 Quand les boîtes sont trop nombreuses, on peut alors les mettre dans une valise. Quand une valise de 10 boîtes est pleine, ça fait une centaine. Il y a 2 centaines, 5 dizaines et 4 unités 254 Dans un nombre, chaque chiffre a donc une signification. centaines dizaines unités Agnès Gay 6

7 Les nombres entiers (2) de 0 à N3 Niveau 1 Les nombres qui s écrivent avec plus de trois chiffres contiennent des milliers. On parle alors de la classe des «mille». Classe des mille Classe des unités centaines dizaines unités centaines dizaines unités dix-huit mille trois cent quarante-deux Remarque : on laisse un espace entre les classes pour faciliter la lecture douze mille huit cent cinquante-quatre mille trois cent soixante-neuf Les nombres entiers (3) N4 Après la classe des mille, on trouve la classe des millions et des milliards. classe des milliards classe des millions classe des mille classe des unités c d u c d u c d u c d u un milliard deux cent millions Remarque : on laisse un espace entre les classes pour faciliter la lecture douze millions trois cent quatre-vingt mille onze milliards trois cent vingt-deux millions six cent mille Agnès Gay 7

8 Ecrire les nombres entiers N5 Niveau 1 0 zéro 30 trente 1 un 31 trente et un 2 deux 32 trente-deux 3 trois 4 quatre 40 quarante 5 cinq 41 quarante et un 6 six 42 quarante-deux 7 sept 8 huit 50 cinquante 9 neuf 51 cinquante et un 10 dix 52 cinquante-deux 11 onze 12 douze 60 soixante 13 treize 61 soixante et un 14 quatorze 62 soixante-deux 15 quinze 16 seize 70 soixante-dix 17 dix-sept 71 soixante et onze 18 dix-huit 72 soixante-douze 19 dix-neuf 20 vingt 80 quatre-vingt 21 vingt et un 81 quatre-vingt-un 22 vingt-deux 82 quatre-vingt-deux 23 vingt-trois 24 vingt-quatre 90 quatre-vingt-dix 25 vingt-cinq 91 quatre-vingt-onze 26 vingt-six 92 quatre-vingt-douze 27 vingt-sept 28 vingt-huit 100 cent 29 vingt-neuf 1000 mille Règles à savoir PAR CŒUR : vingt prend un «s» à la fin de «quatre-vingts» s il est le dernier mot. 80 : quatre-vingts 92 : quatre-vingt-douze cent prend un «s» s il est le dernier mot et qu il y a un accord à faire. 300 : trois cents 323 : trois cent vingt-trois mille est toujours invariable : mille 4000 : quatre mille million et milliard s accordent normalement : trois millions : un milliard sept cent mille Le trait d union est uniquement pour les nombres entre 0 et 99, sauf quand il est remplacé par «et» : trois mille quatre cent cinquante-quatre : vingt-deux mille trois cent trente et un Agnès Gay 8

9 Les intervalles N6 Lorsqu on écrit un nombre, il faut faire attention à respecter les intervalles : il faut regrouper les chiffres par trois en commençant par la classe des unités Cela permet de pouvoir lire tout de suite le nombre. Décomposer des nombres entiers N7 Un nombre peut s écrire de plusieurs façons c est : unités de mille centaines dizaines unités malles de 1000, 4 valises de 100, 6 boîtes de 10, 5 billes 2 milliers, 4 centaines, 6 dizaines, 5 unités = On appelle la décomposition d un nombre : = (2 x 1 000) + (4 x 100) + (6 x 10) + (5 x 1) Agnès Gay 9

10 Comparer et ranger des nombres entiers N8 Niveau 1 Comparer des quantités, ça signifie dire quelle est la quantité la plus grande. est plus grand que 11 > 7 En mathématiques, pour comparer des nombres, on utilise les signes : > plus grand que < plus petit que = égal 150 > < = Pour comparer des nombres entiers, on regarde celui qui a le plus de chiffres : a cinq chiffres a quatre chiffres > Si ils ont le même nombre de chiffres, on compare les chiffres un à un en commençant par la gauche > < Ranger des nombres dans l ordre croissant, c est les ranger du plus petit au plus grand. 1 < 5 < 10 < 13 Agnès Gay 10

11 Ranger des nombres dans l ordre décroissant, c est les ranger du plus grand au plus petit. 13 > 10 > 5 > 1 Dans «croissant», on entend la «croissance», comme celle des enfants, des animaux ou des plantes. Ranger dans l ordre croissant, c est donc ranger dans l ordre de ce qui grandit, qui va du plus petit, vers le plus grand. Encadrer des nombres entiers N9 Encadrer un nombre entier, ça veut dire «faire le tour du nombre», en disant le nombre qui vient avant et celui qui vient après. Pour encadrer entre le nombre qui le précède et celui qui le suit : < < On peut aussi encadrer un nombre : - à la dizaine près (la plus proche inférieure, la plus proche supérieure ; les encadrants se termineront par un zéro) < < à la centaine près (les encadrants se termineront par deux zéros) < < à l unité de mille près (les encadrants se termineront par trois zéros) < < etc Agnès Gay 11

12 double, moitié, triple, quart N10 Niveau 1 Le double Pour calculer le double d un nombre, il faut le multiplier par 2. 6 x 2 = est le double de 6. Les doubles sont tous des nombres pairs, et tous les nombres pairs sont des doubles!! Le triple Pour calculer le triple d un nombre, il faut le multiplier par 3. 7 x 3 = est le triple de 7. Le quadruple Pour calculer le quadruple d un nombre, il faut le multiplier par 4. 5 x 4 = est le quadruple de 5. Les quadruples sont tous des nombres pairs, mais tous les nombres pairs ne sont pas des quadruples!! La moitié Pour calculer la moitié d un nombre, il faut partager ce nombre en deux parties égales, ou le diviser par = = est la moitié de 24. Le tiers Pour calculer le tiers d un nombre, il faut partager ce nombre en trois parties égales, ou le diviser par = = 9 9 est le tiers de 27. Le quart Pour calculer le quart d un nombre, il faut partager ce nombre en quatre parties égales, ou le diviser par = = 8 8 est le quart de 32. Agnès Gay 12

13 Les multiples N11 Le multiple d un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par un autre. 7 x 2 = est donc un multiple de 7 14 est donc aussi un multiple de 2 Tous les nombres de la table de 7 sont multiples de 7 (7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63), et tout autre nombre que l on peut diviser par 7 (105 est multiple de 7 puisque = 15, ou 15 x 7 = 105). Quelques règles à retenir : Tous les nombres pairs sont multiples de 2. 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,, 50, 52, 54,, 98, 100,, 6 574, Tous les nombres qui se finissent par 0 sont multiples de 10. 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110,, 340, 350,, , Tous les nombres qui se finissent par 0 ou 5 sont multiples de 5. 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,, 105, 110,, 785, Tous les nombres dont la somme des chiffres est égale à 3, 6 ou 9 sont multiples de ( = 9) 144 est multiple de 3 (3 x 48 = 144) ( = 15, = 6) est multiple de 3 (4119 x 3 = ) Agnès Gay 13

14 Les fractions Agnès Gay 14

15 Les fractions N12 Quand on partage (divise) une unité (1) par un nombre entier (1, 2, 3, 4, ) on obtient un nouveau nombre appelé fraction. Un demi-litre de lait, c est un litre divisé par 2. On écrit : Un quart d heure, c est une heure divisée par 4. On écrit : Le tiers d une feuille, c est une feuille divisée par 3. On écrit : Pour comprendre une fraction : 3 est le numérateur : Il indique qu on a reporté 3 fois la part 4 est le dénominateur : Il indique qu on a partagé l unité en 4 parts égales 14 est le numérateur : Il indique qu on a reporté 14 fois la part 10 est le dénominateur : Il indique qu on a partagé l unité en 10 parts égales Agnès Gay 15

16 Lire les fractions N13 Toutes les fractions se lisent en commençant par le numérateur suivi du dénominateur auquel on ajoute le suffixe «ième(s)» trois huitièmes deux dixièmes 1 32 un trentedeuxième 5 16 cinq seizièmes 1 7 un septième Sauf : un demi, un tiers ; un quart Les fractions décimales N14 Les fractions décimales sont les fractions dont le dénominateur est une puissance de 10 (10, 100, 1 000, , ),,, sont des fractions décimale. Additionner et soustraire des fractions N15 Niveau 3 Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut qu elles aient le même dénominateur. Il suffit alors d additionner ou soustraire les numérateurs. + = = Agnès Gay 16

17 Comparer des fractions N16 Niveau 3 Comparer une fraction par rapport à 1 : < 1 La fraction ne remplit même pas un gâteau. Elle est inférieure à 1. Toutes les fractions dont le numérateur est inférieur au dénominateur sont inférieures à 1. > 1 La fraction remplit plus d un gâteau. Elle est supérieure à 1. Toutes les fractions dont le numérateur est supérieur au dénominateur sont supérieures à 1. = 1 La fraction remplit un gâteau exactement. Elle est égale à 1. Toutes les fractions dont le numérateur est égal au dénominateur sont égales à 1. Comparer des fractions entre elles : Pour comparer des fractions, il faut qu elles soient toutes au même dénominateur. Si c est le cas, il suffit de comparer les numérateurs entre eux. 3 6 < 8 6 < 17 6 < 55 6 Agnès Gay 17

18 Décomposer des fractions N17 Niveau 3 Décomposer une fraction, c est l écrire sous la forme de la somme d un entier et d une fraction inférieure à 1. =3+ Combiende fois 7 dans 59? 7 x 8 = = 3 Il y a 8 fois 7 dans 59, il reste 3. =8+ Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs N18 Niveau 3 Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs, c est dire quel est le nombre entier qui vient juste avant et celui qui vient juste après la fraction < <3 Pour trouver ces deux entiers, on peut : - Faire un schéma (cf. : exemple ci-dessus) - Trouver la partie entière de la fraction : On cherche à encadrer par deux entiers consécutifs. Combien de fois y a-t-il 7 dans 18? 7 x 2 = 14 7 x 3 = 21 Il y a 2 fois 7 dans 14. = + = 2 + Donc est compris entre 2 et 3. On peut donc écrire : 2 < <3 Agnès Gay 18

19 Les nombres décimaux Agnès Gay 19

20 Les nombres décimaux (1) N19 Observons un double décimètre : 1 cm = 10 mm, 1 cm est donc l unité que l on a divisé en 10 parts égales. 1 mm = 28 mm = cm cm Or : = + =2+ est donc égale à 2 unités et 8 dixièmes. Elle s écrit sous la forme d un nombre à virgule 2,8. On lit : «deux virgule huit». Un nombre décimal est un nombre à virgule qui peut s écrire sous forme d une fraction décimale. Il comporte une partie entière et une partie décimale séparées par une virgule. 45,23 est un nombre décimal. 45,23 = 45, 23 Partie entière Partie décimale Les nombres décimaux (2) N20 Niveau 3 Les nombres décimaux peuvent avoir un très grand nombre de chiffres après la virgule. On a donné un nom aux trois premiers : les dixièmes, les centièmes et les millièmes. 3,716 a 3 unités, 7 dixièmes, 1 centième et 6 millièmes. Agnès Gay 20

21 Dizaines de mille Unités de milles centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes Place 4 680,25 dans le tableau ci-dessus. Décomposer des nombres décimaux N21 Niveau 3 On appelle décomposition d un nombre décimal : 4 680,25 = (4 x 1000) + (6 x 100) + (8 x 10) + (0 x 1) + (2 x ) + (5 x ) Ou : 4 680,25 = (4 x 1000) + (6 x 100) + (8 x 10) + (0 x 1) + (2 x 0,1) + (5 x 0,01) Comparer et ranger des nombres décimaux N22 Pour comparer des nombres décimaux, on compare d abord les parties entières. 7,994 < 81,3 car 7 < 81 Si les parties entières sont égales, on regarde la partie décimale en comparant les chiffres un à un en commençant par la gauche : 3,47 > 3,23 car 4 dixièmes > 2 dixièmes 5,191 > 5,121 car 9 centièmes > 2 centièmes 14,253 < 14,254 car 3 millièmes < 4 millièmes Agnès Gay 21

22 Encadrer des nombres décimaux N23 Encadrer un nombre décimal par deux entiers, ça veut dire donner l entier inférieur le plus proche et l entier supérieur le plus proche au nombre. 4 < 4,382 < 5 On peut aussi encadrer un nombre : - au dixième près (le plus proche inférieure, le plus proche supérieure) 4,3 < 4,382 < 4,4 - au centième près 4,38 < 4,382 < 4,39 - etc Passer d une fraction à un nombre décimal N24 =28,3 Pour les dixièmes, on décale la virgule de un rang vers la gauche. =45,07 Pour les centièmes, on décale la virgule de deux rangs vers la gauche. Etc Agnès Gay 22

23 Donner une valeur approchée N25 Niveau 3 Quand un nombre décimal a un très grand nombre de chiffres dans la partie décimale, on peut en donne une valeur approchée. - Valeur approchée au dixième près : 34, ,6 - Valeur approchée au centième près : 34, ,62 - Valeur approchée au millième près : 34, ,619 Pour être le plus proche possible de la valeur réelle : - si le chiffre qui suit celui après lequel on coupe est 0, 1, 2, 3 ou 4, on ne change pas le chiffre après lequel on coupe. 210, ,9 - si le chiffre qui suit celui après lequel on coupe est 5, 6, 7, 8 ou 9, on ajoute 1 au chiffre après lequel on coupe. 409, ,4 Donner la valeur approchée d un nombre est très utile quand par exemple : le résultat d une division décimale est infini on utilise le nombre π qui a un nombre de chiffre infini dans sa partie décimale. Agnès Gay 23

24 Tableaux de numération Agnès Gay 24

25 Tableau de numération (1) N26 Niveau 1 Classe des mille Classe des unités Centaines Dizaines Unités Centaines Dizaines Unités x x x x 100 x 10 x 1

26 Tableau de numération (2) N27 Classe des milliards Classe des millions Classe des mille Classe des unités Centaines Dizaines Unités Centaines Dizaines Unités Centaines Dizaines Unités Centaines Dizaines Unités x x x X x x x x x x 100 x 10 x 1 Agnès Gay 26

27 Tableau de numération (3) N28 Partie entière Classe des millions Classe des mille Classe des unités Partie décimale Centaines Dizaines Unités Centaines Dizaines Unités Centaines Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes X x x x x x x 100 x 10 x 1 x x x Agnès Gay 27