LES PROBABILITÉS EN FINANCE

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1 LES PROBABILITÉS EN FINANCE A quoi servent l maths en finance? DES ODÈLES PERETTANT D ESTIER LA VALEUR DES ACTIFS DES CAS OÙ ON PEUT DÉTERINER DES STRATÉGIES OPTIALES : QUAND ACHETER, QUAND VENDRE? QUEL RISQUE? ESTIATION D ACTIFS L AVERSION AU RISQUE L évolution d actifs financiers t gouvernée par la loi de l offre et de la demande sur un marché. Comme il t impossible de connaître à l avance l décisio de tous l agents, on la modélise avec d équatio où interviennent d term aléatoir, comme le mouvement brownien ci-dsous Préférez-vous gagner 0e à coup sûr ou gagner 00e avec 1 chance sur de gagner? Le gn moyen (rationnel) t supérieur da le second cas (0e au lieu de 0), ms l choix sont partagés... L agents, même parftement rationnels, ne sont pas tous prêts à prendre l mêm risqu. L aversion au risque modélise cette tendance. Ce phénomène souligne un intérêt d marchés dérivés, où cert agents achètent du risque à d autr, da la perspective d obtenir d rendements plus élevés. La financiarisation du marché de l assurance (de crédit, vie, immobilière...) en t une illustration. ouvement brownien linére vs. cours de l action BNP Paribas sur a C modèl sont couramment utilisés par l opérateurs de marché : savoir timer à terme la valeur d actio ou de devis permet d timer la valeur de produits plus complex (produits dérivés d actio, optio...) qui cotituent euxmêm un marché, créé par l existence même de c modèl. C marchés permettent par exemple d traferts de risqu entre agents C modèl sont fondés sur certn hypothès (information complète, marché complet, absence d opportunité d arbitrage...). Si ell ne sont pas vérifié, ils peuvent être en défaut. Une autre cause d itabilité : l existence de produits dérivés basés non pas sur d actio, ms sur d indic dont la valeur n t pas bien timée par c méthod. QUELLES STRATÉGIES POUR VENDRE/ACHETER? Pour savoir quand acheter ou vendre un actif, on peut cotruire d indicateurs simpl (ms peu performants): l moyenn mobil. On compare à chaque itant la moyenne du cours sur une courte période passée (m c ) et sur une période plus longue (m l ). Si m c > m l, on achète, et on vend lorsque m c < m l. POURQUOI DES "PORTEFEUILLES"? Pour un produit financier, deux grandeurs pertinent sont le revenu et le risque : Le revenu t le gn moyen auquel on peut s attendre au bout d une période déterminée. Le risque donne une idée de l écart possible entre le gn moyen et le gn réellement obtenu, qui peut être négatif! Lorsqu on utilise plusieurs produits financiers, l revenus et l risqu ne s additionnent pas : on peut, en jouant sur l proportio de chaque produit da un portefeuille, maximiser s revenus en minimisant l risqu... Courbe revenu/risque pour un portefeuille de produits financiers L traders utilisent d techniqu de couverture ou de réplication basé sur d produits dérivés (optio...), fonctionnant comme d assuranc contre l variatio de l actif. Exemple : Le 0 juin, le trader A achète au trader B l option d acheter 0 actio de l entreprise XYZ à 0e et à la date du 1 décembre suivant. Au moment de la traaction, l action s échange à e. A pe, pour s 0 optio (appelé calls), une prime de e chacun. Le 1 décembre, si l action s échange à 0e, A exerce s calls : B lui vend 0 actio de XYZ à 0e et touche 0e * 0 = 000e. A, s il revend immédiatement c actio da le marché, reçoit 0e * 0 = 000e. Son profit t de (0e - 0e - e ) * 0 = 100e. B, s il doit acheter l actio pour honorer sa part du contrat, perd 100e : (0e + e - 0e ) * 0 = -100e ; si l action s échange à 0e, A n exerce pas s optio. Sa perte t de e * 0 = 00e. Symétriquement, B gagne 00e.

2 ODÈLES DE PERCOLATION ÉTUDE DE LA PERÉABILITÉ D UNE ROCHE. On coidère une roche volcanique (par exemple la pierre ponce) et on veut déterminer en fonction de sa porosité* si l eau peut la traverser (perméable) ou bien si elle forme une barrière étanche (imperméable). Pour mener cette étude on coidère la roche en coupe (dimeion ) et on la modèlise par d gr (carrés) situés sur l sit du réseau Z. Fig. 1: roche imperméable Roche Fig. : Roche perméable *porosité: l eemble d interstic (connectés ou non) d une roche ou d un autre matériau pouvant contenir d fluid (liquide ou gaz). Il s agit aussi d une valeur numérique da [0,1] qui caractérise c interstic, le rapport du volume d vid du matériau divisé par le volume total. On cotruit à présent un modèle mathématique pour étudier ce phénomène. UN ODÈLE DE PERCOLATION EN DIENSION PERCOLATION CRITIQUE odèle probabiliste: Z joue le rôle du réseau sur lequel l gr de matière sont placés. En chaque site de ce résau (i.e., chaque (i,j) Z ) on place, indépendemment d autr sit, un grn de matière avec probabilité p (i.e., le site rte vide avec probabilité 1 p). On appelle tirage de percolation le résultat de cette opération. La porosité* t donc donnée par 1 p. Deux sit occupés sont plus proche voisi si ils sont à distance1l un de l autre (par ex: (i,j) et (i+1,j)). On dit que deux sit communiquent entre eux si ils sont occupés et qu ils peuvent être reliés par une suite de sit occupés et coécutivement plus proche voisi; On forme l sous eembl maximaux (amas) de sit qui communiquent entre eux. Il existe une probabilité critique p c ]0,1[ telle que: sip < p c, tous l amas sont de tlle finie. De plus, pour un amas particulier, la probabilité qu il contienne plus de k sit décroît très rapidement (i.e., exponentiellement vite en k). si p > p c, parmi tous l amas, un seul contient une infinité de sit. La deité de cet amas infini (i.e., la probabilité qu un site en particulier lui appartienne) t strictement positive et croissante en p. L résultats rigoureux sur le plan mathématiqu permettent seulement d encadrerp c entre 0. et0.. Fig. : p=0. Fig. : p=0. Fig. : p=0. Fig. : p=0. Fig..: amas sur une partie finie de Z Cependant, à l de de simulatio numériqu, on time que p c se situe aux enviro de 0.. On peut le cotater sur l figur,, et sur lquell on représente à la fois l sit occupés (en gris) et l plus gros amas d un tirage de percolation sur une boîte contenant 10 sit et pour différent valeurs dep. INTERPRÉTER LES RÉSULTATS OBTENUS AVEC LE ODÈLE La roche que l on souhte modéliser t de tlle finie ms contient un très grand nombre de gr. Aii, sur une grande boîte carrée du réseau Z, on réalise un tirage de percolation de probabilité p. On obtient l imperméabilité si l un d amas au moi traverse la boîte Λ N horizontalement. On présente ci-dsous plusieurs simulatio sur lquell tous l amas en contact avec le côté gauche apparssent en violet. L imperméabilité t obtenue quand p dépasse p c 0.. Aii d après notre modèle en dimeio, une roche t imperméable lorsque sa porosité t inférieure a1 p c 0.0. Fig. : p=0. Fig. : p=0. Fig. : p=0. Fig. 11: p=0.

3 LES ATHÉATIQUES DU POKER TEXAS HOLD'E Chaque joueur reçoit cart qu'il t seul à voir (mn de départ). Premier tour d'enchèr, Flop : cart sont dévoilé au centre à tous l joueurs, Deuxième tour d'enchèr, Turn : une quatrième carte t dévoilée au centre, Troisième tour d'enchèr, River : une cinquième carte t dévoilée au centre, Dernier tour d'enchèr. La meilleure combinson de cart remporte la partie. VALEURS DES AINS DE DÉPART joueurs A R D V joueurs A R D V A D V assorti m dépareillé Pre de,% de chance de victoire Décroissance lente de la probabilité avec l valeurs d cart as so rti assorti > m dépareillé Pre de 1% de chance de victoire Décroissance rapide de la probabilité avec l valeurs d cart da l m dépareillé R D V as s or ti joueurs dé pa re illé A joueurs R dé pa re illé AIDE À LA DÉCISION : LES COTES turn ou river Cote du pot = ontant du pot ontant à invtir Cote d'amélioration = Nombre d'outs % de gn Cote contre 1 % de gn Cote contre 1 1,%,,%,0,%,,%,0 1,%,,% 1, 1,%,,%, 1,%,,%,,%, 1,0%, 0,1%, 1,%,,% 1, 1,%,,% 1, 1,%,1,0% 1, 1,%, 11,% 1,1,%, brelan 1 1,% 0,,1%, 1,% 0,,%, quinte 1 0,% 0, 0,%, 1,% 0,,%,1 quinte 1,% 0,,% 1, 1,1% 0,,0% 1, 1,% 0,,1% 1, 1 1,% 0, 1,% 1, 0,0% 0,,% 1, EN PRATIQUE THÉORIE DES COTES Probabilité de perdre Probabilité de gagner Si Cote du pot > Cote d'amélioration, il t intérsant de jouer, sinon il vaut mieux s'arrêter. 1. Calcul de la cote du pot. Calcul de la cote d'amélioration : on compte le nombre d'outs (cart qui peuvent nous fre gagner) on lit la cote corrpondante da le tableau. Pour un calcul rapide, on a l approximatio : - turn ou river, proba gn x nb d'outs % - river, proba gn x nb d'outs % EXEPLE n : Tableau : Pot : 00 euros ontant pour suivre : 0 euros 00 Cote du pot = = contre 1 0 Outs : outs Conclusion : cote du pot > cote d'amélioration river Cote d'amélioration =, contre 1 il t intérsant de jouer!

4 ALÉA DANS LES ENQUÊTES D OPINION Que cache l affirmation suivante? "L E CANDIDAT A EST CRÉDITÉ DE 1% DES INTENTIONS DE VOTE AU ND TOUR CONTRE % POUR SON ADVERSAIRE B, D APRÈS UN SONDAGE EFFECTUÉ SUR UN ÉCHANTILLON DE 01 PERSONNES, REPRÉSENTATIF DE LA POPULATION FRANÇAISE ÂGÉE DE 1 ANS ET PLUS." LE ÉCHANTILLON REPRÉSENTATIF? En annotation d rultats de sondag, on précise souvent : "La représentativité de l échantillon a été assurée par la méthode d quotas (sexe, âge, profsion de la personne interrogée) après stratification par région et catégorie d agglomération." Aii, pour chaque région et catégorie d agglomération : L proportio d homm et de femm da l échantillon rpectent cell de la France; Idem pour l proportio de chaque classe d âge; Idem pour l proportio de type de profsion. CANDIDAT A VA - T- IL GAGNER? En coidérant la marge d erreur, on peut affirmer qu il y a au moi % de chanc pour que A recueille entre.% et.% d vot, B recueille entre.% et.% d vot. Il t difficile de conclure que A va gagner. Supposo que A recueille réellement 1% d vot. Quelle t la probabilité de l annoncer vnqueur à partir d un sondage sur 01 personn? oi de %. Il y a plus d une chance sur que l ordre annoncé soit faux. Par contre : l proportio croisé ne sont pas forcément rpecté (par exemple le sexe da chaque classe d âge), encore moi la proportion pour d autr critèr (statut matrimonial, patrimoine, religion, etc.) Un échantillon n t donc jams représentatif de toute la diversité d une population. EST LA PRÉCISION DU SONDAGE? AÉLIORER LE SONDAGE? Si on augmente le nombre de sondés? Cela améliore la précision de l timation. Si A t finalement gagnant avec 1% d vot, la probabilité de s être trompé da le pronostic (l annoncer perdant) à partir d une enquête décroit avec le nombre de sondés : On peut lire sur le site d IPSOS (section FAQ): "L inconvénient majeur de la méthode d quotas t de ne pas permettre de calculer scientifiquement la marge d erreur du sondage. L lois statistiqu qui permettent de la déterminer ne valent théoriquement que pour l sondag aléatoir. En pratique, on coidère cependant que la marge d erreur d sondag par quotas t égale ou inférieure à celle d sondag aléatoir." Q UELLE C OENT 0 D après la théorie d sondag aléatoir, 1 la marge d erreur à % t de plus ou moi n (à peu près*), en notant n le nombre de sondés. Da le sondage précédent, elle vaut donc.% Pour avoir un risque de moi de % de se tromper, il faudrt sonder plus de 000 personn. Et si la population totale étt moi nombreuse? Cela n a quasiment aucun impact. La marge d erreur t impactée par le coefficient 1 f, où f t le ratio nombre de sondés/population totale. Elle vaut :.% si l on sonde 01 personn sur 0 millio, *La marge d erreur exacte à % associée aux vot pour A vaut r p(1 p) p : proportion (inconnue) de vot pour A, (1 f ) f : ratio nombre de sondés/population totale. n % si l on sonde 01 personn sur 000. Il n y a guère que da le cas d un receement (f = 1) que l erreur devient nulle.

5 STRATÉGIE ET JEUX ALÉATOIRES LE PARADOXE DU ONTY HALL UN JEU DE CARTES A la fin d un jeu télévisé, un candidat doit choisir une porte parmi trois : derrière l une d elle se trouve une voiture, derrière l deux autr se trouvent d chèvr. Le candidat choisit une porte, diso la numéro 1 (la porte n t pas ouverte), et l animateur ouvre une autre porte, diso la numéro, derrière laquelle il y a une chèvre. Puis il vous propose de changer votre choix initial, c t à dire de prendre la porte numéro. Doit-on changer de porte? Indication : Que feriez vous s il y avt 00 port et que l animateur vous en ouvrt, en découvrant chèvr? La valeur d cart va décroissant : As, Roi, Dame, Valet,,,..., de 1 jusqu à 1. On tire cart face cachée. On retourne la première carte. On peut soit arrêter et marquer le nombre de points de cette carte, soit continuer. Si on continue, on retourne la deuxième carte. On peut alors soit arrêter, et marquer l points de la deuxième carte, soit continuer et marquer l points de la troisième carte. La stratégie optimale coiste à s arrêter si la première carte t au moi un dix, et sinon s arrêter si la deuxième carte t au moi un. VALEUR D UNE STRATÉGIE La loi d grands nombr dit que la fréquence d apparition d un évènement tend vers la probabilité, et que la moyenne arithmétique tend vers l pérance. Le calcul d probabilités ne peut der à prendre une décision que da le cas où on répète une expérience aléatoire a. En clr si vous jouez une fois à onty Hall, ou au jeu de cart, calculer d probabilités ne vous sert à rien. Pour le jeu de cart, la moyenne arithmétique d points gagnés converge vers l pérance de la variable aléatoire EV s,t de la stratégie pour laquelle on s arrête à la première carte si sa valeur t plus grande que s, et à la deuxième si sa valeur t plus grande quet. C t un polynôme du second degré qu il t facile de maximiser a Da l fts ce n t pas totalement vr. Par exemple on peut utiliser efficacement l probabilités si on lsse évoluer un système durant une grande période de temps (c t une d applicatio de la théorie ergodique) ONTY HALL : IL FAUT CHANGER DE PORTE Il y a deux stratégi entre lquell nous merio choisir la meilleure. S 1 coiste à choisir une porte et à s y tenir. S coiste à choisir une porte et systématiquement accepter de changer. Soit A i l évènement La voiture t derrière la porte choisie pour la i-ème partie. Alors la proportion de fois oùs 1 t gagnante converge vers P(A 1 ) = 1/. De même la proportion de fois oùs t gagnante converge versp ( ) A C 1 = /. En pratique si le nombre de parti t supérieur à 0,S gagne deux fois plus souvent (à peu près) que S 1. VENDRE DES AISONS Cet exemple part à première vue très semblable au jeu de cart et pourtant il t différent. Jouez contre l ordinateur et tentez de comprendre en quoi cet exemple t différent. Deux agenc immobilièr se murent pour la vente d un lot de mso, timé chacune d elle pour à peu près la valeur de 00 mille euros, avec une fourchette de plus ou moi 0 mille euros. Pour chacune d mso, 0 clients vont se présenter succsivement, et fre une offre. Si elle la trouve intérsante, l agence devra accepter l offre tout de suite, car elle ne reverra pas le client. Deux stratégi d affrontent. La stratégie de l agence machine sera dévoilée plus tard. La stratégie de l agence humn t à choisir parmi deux stratégi possibl: La stratégie S v paramétrée par une valeur de déclenchement v. Dès qu un client ft une offre supérieure à v on accepte son offre. La stratégie I x d apprentissage. On lsse passer x offr, on note la valeur maximum m x offerte. ntenant dès qu un client ft une offre supérieur à m x, on l accepte. Preno une exemple d une quinzne d offr pour examiner la nature d stratégi. [1, 0, 1, 11, 01, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0] S 0 s arrête à la deuxième offre et vend à 0. S s arrête à la quatrième offre et vend à 11. S 0 ne s arrête pas et donc vend à 0, prix de la dernière offre. I fixe le seuil à max(1,0) = 0 et vend donc à 11, I ft pareillement. I vend à 1 eti 1 ne s arrête pas donc vend à 0.