SERIE N 7 ETUDE DES OSCILLATIONS MECANIQUE LIBRES

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1 SERIE N 7 ETUDE DES OSCILLATIONS MECANIQUE LIBRES EXERCICE 1 Dans cet eercice, les réponses attendues doivent être rédigées de façon succincte. Le modèle d'oscillateur étudié est décrit ci-contre, et les notations utilisées (noms des objets, des paramètres...) sont reprises dans tout l'eercice. Pendule élastique : Le ressort est à spires non jointives. La constante de raideur du ressort est k. La longueur du ressort non déformé est L0. La masse du ressort sera négligée. La masse de l'objet (A) est m. Le centre d'inertie de (A) est G. La position de G quand le ressort n'est pas déformé est G0, d'abscisse 0 sur l'ae O horizontal. A un instant de date t quelconque, l'abscisse de G est. La force eercée par le ressort sur (A) est notée T. On étudie le mouvement de l'objet (A) dans un référentiel galiléen. Le contact entre l'objet (A) et le support est sans frottement sauf dans la question 6. 1) Tracer sans soucis d'échelle les vecteurs représentant les forces eercées sur l'objet (A) dans le cas (a) et dans le cas (b) sur la figure 0. ) Donner l'epression vectorielle de la force de rappel F eercée par le ressort sur l'objet (A). 3) En appliquant le théorème du centre d'inertie (deuième loi de Newton) à l'objet (A), établir la relation eistant entre l'accélération d et l'abscisse de G. 4) T désignant la période des oscillations de (A), parmi les propositions T =π. K m ) et T =π. m K, choisir la proposition eacte et justifier la réponse par une analyse dimensionnelle. 5) La figure 1 donne la représentation graphique de l'abscisse en fonction du temps, alors que la figure donne les représentations des énergies potentielle et mécanique en fonction de l'abscisse a- Identifier les deu courbes (a) et (b) apparaissant sur la figure. b- Placer sur la courbe (b) de la figure les points N1, N, N3, N4 et N5 correspondant au points M1, M, M3, M4 et M5 de la figure 1 ( page suivante ) c- Construire sur la figure l'allure de la courbe donnant l'énergie cinétique en fonction de l'abscisse, en choisissant quelques points particuliers. 6) Dans cette question, des forces de frottement interviennent. L'équation différentielle régissant l'évolution de l'abscisse devient : d + h. d + K. = 0 m m La figure 3 donne la représentation graphique de l'abscisse en fonction du temps et la figure 4 donne les représentations des énergies potentielle et mécanique en fonction de l'abscisse. a- Identifier les deu courbes (c) et (d) qui apparaissent sur la figure 4. b- Construire sur la figure 4 l'allure de la courbe donnant l'énergie cinétique en fonction de l'abscisse en utilisant les points P1, P, P3, P4 et P5 de la courbe (d). On pourra s'aider de la figure 3 donnée à titre indicatif. c- Indiquer comment varient les valeurs etrémales de la vitesse.

2 EXERCICE On écarte le solide S de sa position initiale de façon que le ressort soit comprimé de cm, puis on le lâche sans vitesse initiale à l instant de date t=0. Un dispositif approprié permet de tracer la courbe d évolution de l élongation (t) de G suivant le repère R (O, i ). 1) Etablir l équation différentielle vérifiée par (t). ) En déduire la nature du mouvement du solide S. 3) On donne sur le graphe suivant (figure-1-) deu courbes a et b. a- Identifier parmi ces courbes celle qui correspond à l élongation (t) de G. Justifier b- En déduire l équation horaire du mouvement du solide S. c- Déterminer l epression de la vitesse v(t) de G au cours du mouvement. d- Montrer que l énergie mécanique EM du système *Solide, Terre, Ressort+ se conserve et qu elle est égale à une valeur que l on calculera. On supposera que l énergie potentielle de pesanteur est nulle au niveau horizontal passant par G. 4) a- Déterminer l epression instantanée de la valeur algébrique T R de la tension du ressort. b- Représenter la courbe d évolution de T R = f(t).

3 EXERCICE 3 Un pendule élastique horizontal est formé d un ressort de raideur K=0N.m -1 et d un solide de masse m ; à l instant t=0, le centre d inertie G du solide est lancé à partir de la position 0 =cm avec la vitesse initiale de V 0 =0cm.s -1. Partie I : Les frottements sont négligeables. 1) a- Etablir l équation différentielle en fonction de l élongation du mouvement du centre d inertie G. b- Donner la solution générale de cette équation différentielle et en déduire l epression de la période propre T 0 de l oscillateur. c- La durée de 0 oscillations est t=1,56s. Montrer que la masse du solide vaut m=00g. ) a- Calculer la valeur de l énergie mécanique de l oscillateur à l instant du lancement. b- En déduire l amplitude X m des oscillations ainsi que la vitesse de passage par la position d équilibre. Partie II : les frottements sont représentés par une force f = -hv, ou h désigne le coefficient de frottement du milieu, et v la mesure algébrique de la vitesse du centre d inertie du solide. 1) La figure ci-dessous donne l enregistrement du mouvement du centre d inertie du solide. a- Quelle est la nature des oscillations du centre d inertie G? Justifier. b- Qu appelle-t-on le régime des oscillations du pendule? c- Déterminer la pseudopériode T. ) L équation différentielle régissant le mouvement du solide est : d d = 0 a- Déduire la valeur de la pulsation propre et celle du coefficient de frottement h. b- Montrer que de = -hv ou E est l énergie mécanique du système S=, solide + ressort}. Conclure quant à la conservation de l énergie mécanique par le système S.

4 EXERCICE 4 On considère un pendule élastique formé par un solide (S) de masse m et un ressort (R) à spires non jointives et de raideur K. Le pendule peut se déplacer sur un plan horizontal parfaitement lisse. 1) Etablir l équation différentielle caractéristique du mouvement du solide (S). ) Sachant que cette équation différentielle admet une solution de la forme (t)= Xm sin( 0t + ). a - Etablir la relation entre ( Vm et Xm) et ( v et ). b - Ci-dessous on donne le chronogramme de la variation de la vitesse en fonction du temps, v= f(t) : Déterminer : T 0, Vm, V et 0 c - Déduire Xm et, puis écrire (t). 3) Montrer que l énergie mécanique du pendule élastique se conserve au cours du temps. 4) Le graphe ci-contre représente les courbes Ep = f() et E = g() où Ep et E représentent respectivement l énergie potentielle et l énergie mécanique du pendule élastique. a - Identifier chacune des deu courbes en justifiant la réponse. b - En eploitant le graphe, déterminer la raideur K du ressort et la masse m du solide. c- Déterminer l énergie cinétique du solide lorsqu il passe par le point d abscisse =4cm. 5) Le solide (S) est maintenant soumis à des forces de frottement de type visqueu f =-hv. L équation différentielle du mouvement du solide (S) est : d d + 4, ,91. = 0 a- Trouver la valeur du coefficient du frottement h. b. La courbe relative à l élongation du centre d inertie en fonction du temps, (t) est donnée par le graphe ci-contre Nommer le régime d oscillation. Calculer la variation de l énergie mécanique du pendule entre t1=0s et t=1,5s.

5 EXERCICE 5 Un solide (S) de masse m est attaché à l'une des etrémités d'un ressort horizontal parfaitement élastique, de constante de raideur k et de masse négligeable devant celle du solide (S). L autre etrémité du ressort est fie. On écarte le solide (S) de sa position d'équilibre de 0 à un instant qu'on prend comme origine des dates ( t = 0), puis on l abandonne sans vitesse initiale. On néglige les frottements et on étudie le mouvement du solide (S) relativement à un repère galiléen ( O,i) d'origine O, la position du centre d'inertie de (S) à l'équilibre et d'ae o horizontal (fig.1). 1) a- A une date t quelconque, le centre d'inertie G de (S) a une élongation et sa vitesse instantanée v Etablir l'epression de l'énergie mécanique E du système { solide (S), ressort } en fonction de, v, k et m. b- Montrer que cette énergie 'mécanique E est constante. Eprimer sa valeur en fonction de k et 0. c)- En déduire que le mouvement de (S) es rectiligne sinusoïdal. ) A l'aide d'un dispositif approprié, on mesure la vitesse instantanée v du solide (S) pour différentes élongations du centre d'inertie G de (S). Les résultats des mesures ont permis de tracer la v ( m.s -1 ) courbe v = f ( ) ( fig. ). a- Justifier théoriquement l'allure de la courbe en Unité d abscisse 10-3 m établissant l'epression de v. Unité d ordonnée 10-1 ( m.s -1 ) b- En déduire les valeurs de : - la pulsation 0 et l'amplitude 0 du mouvement de (S) c- Etablir l équation horaire du mouvement. d- Sachant que l énergie mécanique E du système est 0 ( m ) égale à 0,065 J, calculer les valeurs de la constante de raideur k du ressort et la masse m du solide. Figure O Fig1 EXERCICE 6 Le pendule élastique horizontal de la figure 1 est constitué par un solide (S) de masse m = 0, Kg soudé à l une des etrémités d un ressort (R ) à spires non jointives de masse négligeable et de constante de raideur K, l autre etrémité est attaché à un support fie. A l équilibre, le centre d inertie (G) du solide (S) coïncide avec l origine O d un repère espace horizontal (O,i ). 4 (R) Figure 1 (cm) Fig.5 (S) O i Partie A. A partir du point O, on écarte le solide (S) vers un point A d abscisse A et à la date t = 0 s, on l abandonne à lui-même sans vitesse initiale. Au cours de son mouvement, le solide (S) se déplace sans frottement et son centre d inertie (G) est repéré par l élongation OG=(t). Un système d acquisition de données, enregistre les variations de l élongation au cours du temps (Voir figure ). 1) En utilisant le graphe : a- Préciser la nature de mouvement de (S). b- Déterminer l abscisse initiale A du solide (S) et la constante de raideur K du ressort. c- Dans quel sens, débute le mouvement du solide (s) 3 1 /8 Figure t(s)

6 ) Ecrire la loi horaire =f(t) de mouvement du solide. Déduire l équation différentielle du mouvement. 3) L énergie cinétique du solide E c = mv varie au cours du temps selon une fonction sinusoïdale de période T. a- Etablir l epression de E C en fonction du temps. b- Donner la valeur de T. 4) L énergie mécanique du système {solide + ressort} est E = E C + Ep avec Ep l énergie potentielle du système et qui est réduite en énergie potentielle élastique soit alors E P = E Pe = K. a- Montrer que cette énergie est constante. b- Comment apparaît cette énergie au instants t 1 =0 s, t = 16 s et t 3= 8 s. Partie B. L oscillateur est maintenant soumis à des forces de frottement visqueu équivalents à une force unique f = -hv avec h est une constante positive. Etablir l équation différentielle vérifiée par l élongation de (G). 1) Montrer que l énergie totale du système {solide + ressort} diminue au cours du temps. ) A l aide d un dispositif approprié, on a enregistré le diagramme d espace de mouvement du solide, le résultat est donné par le graphe de la figure 3. a- Quel est le nom du régime d oscillations? b- Sachant que la variation de l énergie totale du système,solide + ressort- est égal au travail de la force de frottement. Calculer ce travail entre les instants t 1 = 0s et t = (cm) /8 t(s) Fig ure 3 EXERCICE 7 Un ressort à spire non jointives, de constante de raideur K, de masse négligeable, est posé sur un plan horizontal. L'une des etrémités du ressort est fie, l'autre est attachée à un solide (S) de masse m. Au cours de son mouvement, le solide (S) est soumis à une force de frottement de la forme : f = - h. v. (h : est une constante positive de valeur h = 0,1 U.S.I). 1) L'abscisse du solide (S) dans le repère (0, i ) vérifie l'équation d différentielle : 0,5. + 0,05. d + 5. = 0. (R) O i (S)

7 a- Que représente h? Préciser son unité dans le système international. b- Déterminer la masse m du solide (S) et la raideur K du ressort. ) On écarte le solide (S) de sa position d'équilibre vers une position d abscisse 0 puis on le lâche sans vitesse initiale à l origine des dates. L'abscisse varie selon la courbe de la figure 1 a- Déterminer graphiquement la pseudo période T des oscillations et l abscisse initiale 0 du solide. b- Etablir l epression de l énergie mécanique du système S 0 :{Solide, ressort}, le plan horizontal passant par le centre d inertie G du solide est pris comme plan de référence de l énergie potentielle de pesanteur. c- Montrer que la variation de l énergie mécanique du système S 0 est égale au travail de f d- Calculer ce travail entre la date initiale (t=0) et la date où le solide a effectué,5 oscillations. 3) Sur la figure 1-b on a représenté les graphes des énergies en fonction du temps, identifier les courbes représentées et compléter la courbe qui manque. 4 ) On a répété l epérience précédente pour 3 valeurs différentes de h tel que : h1 = 15 ; h = et h 3 =5 ( USI ) et on a représenté sur la figure.(page 3), dans un ordre quelconque et à la même échelle, les variations de (t). a- Attribuer à chaque courbe la valeur de h i correspondante? b- Donner le nom de chaque régime observé sur la page 4 (A compléter et à remettre avec la copie).