CHAPITRE 8 : ELEMENTS D ARITHMETIQUE. Définition : Le nombre entier naturel a est multiple du nombre entier naturel b signifie qu il existe un nombre

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1 I MULTIPLES ET DIVISEURS : 1.1 Multiples d un nombre entier naturel : CHAPITRE 8 : ELEMENTS D ARITHMETIQUE Définition : Le nombre entier naturel a est multiple du nombre entier naturel b signifie qu il existe un nombre entier naturel k tel que : a b k. L ensemble des multiples de 6 est l ensemble 0,6,12,18,24, n n 1 pour tout naturel n, donc tout naturel est multiple de 1 et tout naturel est multiple de luimême. 0 n 0 pour tout naturel n, donc 0 est multiple de tout naturel. Deux théorèmes classiques à retenir : Théorème1 : si les entiers naturels a et b sont multiples de c, alors a + b est aussi multiple de c. Preuve : a et b sont multiples de c donc qu il existe des nombres entiers naturels k et k tels que a c k et b c k'. Alors a + b = c ( k + k ) CQFD. Remarque : si a > b, la propriété est vraie aussi pour a b. Théorème2 : si a est multiple de b et si b est multiple de c, alors a est multiple de c. Exercice 1 : démontrer le théorème 2. Exercice 2 : Existe-t-il un naturel qui soit multiple de 5 sans être multiple de 10? Existe-t-il un naturel qui soit multiple de 10 sans être multiple de 5? Exercice 3: Trouver tous les naturels qui ont 56 comme multiple. Trouver tous les naturels qui ont 60 comme multiple. En déduire les diviseurs communs de 56 et Diviseurs d un nombre entier naturel : Attention, le mot «diviseur» a ici un sens différent de celui qu il a dans le cadre de l opération division. Définition : Le nombre entier naturel a est diviseur du nombre entier naturel b signifie qu il existe un nombre entier naturel k tel que : b a k. les phrases «a est un diviseur de b», «a divise b», «b est un multiple de a», «b est divisible par a» sont synonymes. L ensemble des diviseurs de 36 est l ensemble,2,3,4,6,9,12,18, 36 Master1 UE4, EC4A, Eléments de mathématiques chapitre 8 éléments d arithmétique Page 1 1. n n 1 donc tout naturel est diviseur de lui-même et 1 est diviseur de tout naturel. 0 n 0 donc tout naturel non nul est diviseur de zéro. Deux théorèmes classiques à retenir : Théorème1 : si l entier naturel c est un diviseur des entiers naturels a et b, alors il est aussi diviseur de a +b. Remarque : si a > b, la propriété est vraie aussi pour a b.

2 Théorème2 : si c est un diviseur de b et si b est un diviseur de a, alors c est un diviseur de a. Exercice 4 : Existe-t-il un naturel qui soit diviseur de 48 sans être diviseur de 12? Existe-t-il un naturel qui soit diviseur de 12 sans être diviseur de 48? Exercice 5 : Lister tous les diviseurs de 72. II NOMBRES PREMIERS : 2.1 Définition : Un nombre entier naturel est dit premier s il a exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Crible d Eratosthène : Il suffit d éliminer tous les multiples les nombres qui ont un diviseur inférieur à 10 (ou 100 ) donc les multiples de 2, 3, 5, Les nombres restants sont les naturels premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, Décomposition d un naturel en produit de facteurs premiers : Une méthode systématique pour obtenir la décomposition d un naturel en facteurs premiers consiste à essayer de diviser successivement le nombre proposé par les nombres premiers successifs. Exemple : donc 882 = 2 3² 7² Théorème : a est un multiple de b si et seulement si la décomposition de a comporte au moins les mêmes facteurs que celle de b avec des exposants au moins égaux. Exemple : 72 = ² et = donc est multiple de 72. Exercice 6 : trouver la décomposition en facteurs premiers de 360, de 600. Master1 UE4, EC4A, Eléments de mathématiques chapitre 8 éléments d arithmétique Page 2

3 Remarque : quand la décomposition en facteurs premiers d un nombre est connue, on peut en déduire tous ses diviseurs. Exemple pour 60 = = = = = = = Etc. 5 1 = = = = = = 60. Le nombre de diviseurs de 60 est donc Plus généralement, si la décomposition de n en facteurs premiers est diviseurs de n est égal à : ( p 1) ( q 1) ( r 1). a p q r b c, le nombre de III MULTIPLES ET DIVISEURS COMMUNS A DEUX NOMBRES ENTIERS NATURELS : 3.1 Multiples communs à deux nombres entiers naturels et ppcm (plus petit commun multiple) : Méthode 1 : on écrit le début des listes des multiples de chaque nombre, dans l ordre croissant, puis on repère le plus petit nombre commun aux deux listes : c est leur ppcm. Exemple : multiples de 36 : 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 324, 360, multiples de 90 : 90, 180, 270, 360 Le ppcm de 36 et 90 est donc 180. Méthode 2 : (d après le théorème du 2.2) on écrit les décompositions en facteurs premiers des deux nombres. Le ppcm est le produit de tous les facteurs qui figurent dans l une ou l autre des décompositions, affectés de l exposant le plus grand avec lequel il figure dans l une des deux décompositions. Exemple : 72 = 2 3 3² et 90 = 2 3² 5 donc le ppcm de 72 et 90 est : 2 3 3² Remarque : les multiples communs de deux entiers naturels a et b sont tous les multiples de leur ppcm. Exercice 7 : Quel est le ppcm de 375 et 60? De 25 et 8? Master1 UE4, EC4A, Eléments de mathématiques chapitre 8 éléments d arithmétique Page 3

4 3.2 Diviseurs communs et nombres premiers entre eux et PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) : Voici plusieurs méthodes pour déterminer le PGCD de deux nombres entiers naturels : Méthode 1 : on écrit la liste de leurs diviseurs, dans l ordre croissant. On peut alors repérer le plus grand nombre commun aux deux listes. Exemple : Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Donc PGCD (12 ;18) = 6. Méthode 2 : on écrit la décomposition en facteurs premiers des deux nombres. Le PGCD est obtenu en faisant le produit de tous les facteurs qui figurent à la fois dans les deux compositions, affectés de l exposant le plus petit avec lequel il figure dans l une des deux décompositions. Exemple : 12 = 2² 3 et 18 = 2 3² donc PGCD (12 ;18) = Méthode 3 : par l algorithme des différences ou des soustractions successives : Propriété : Pour deux entiers naturels a et b, avec b < a ; PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a b). Exemple : Etape : a b Différence : = = = = 0. Donc PGCD (95 ; 57) = 19. Méthode 4 : par l algorithme d Euclide : Propriété : Pour deux entiers naturels a et b, avec b < a ; PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) où r est le reste de la division de a par b. Exemple : Etape : a b reste : Donc PGCD (95 ; 57) = 19. Cet algorithme «accélère» l algorithme des soustractions successives et est très utile pour les grands nombres. Le PGCD est le dernier reste non nul. Master1 UE4, EC4A, Eléments de mathématiques chapitre 8 éléments d arithmétique Page 4

5 Deux nombres entiers naturels dont le PGCD vaut 1 sont dits premiers entre eux. Pour montrer que deux nombres sont premiers entre eux, il suffit donc de calculer leur PGCD et de montrer qu il vaut 1. (définition à ne pas confondre avec un nombre premier, voir 2.1). Exercice 7 : Quel est le PGCD de 375 et 60? De 25 et 8? Utiliser les 4 méthodes. IV CRITERES DE DIVISIBILITE (à connaître) : Ces critères concernent les nombres entiers naturels écrits en base dix : Divisibilité par 2 : un nombre entier naturel est divisible par 2 (ou est pair) si et seulement si son chiffre des unités est «pair» (soit 0, 2, 4, 6, ou 8). Un nombre entier naturel a même reste dans la division par 2 que son chiffre des unités. Preuve : tout naturel est du type du soit 10 d u. Or 10d = 2 5d nombre pair, donc du est pair ssi u est pair. Divisibilité par 4 : un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres (à droite) est divisible par 4. Un nombre entier naturel a même reste dans la division par 4 que le nombre formé par ses deux derniers chiffres. Preuve : (pour les nombres à 4 chiffres, mais la propriété est vérifiée quelque soit le nombre de n = mcdu = 1000m u 100(10m c) u 4 25(10m c) u. 4 25(10m c) est un multiple de 4 donc mcdu est divisible par 4 si du l est aussi. Divisibilité par 10 : un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0. Un nombre entier naturel a pour reste dans la division par 10 son chiffre des unités. Divisibilité par 5 : un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Un nombre entier naturel a même reste dans la division par 5 que son chiffre des unités s il se termine par 0, 1, 2, 3 ou 4. Un nombre entier naturel a même reste dans la division par 5 que son chiffre des unités moins cinq s il se termine par 6, 7, 8 ou 9. Divisibilité par 9 : un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Un nombre entier naturel a même reste dans la division par 9 que la somme de ses chiffres. Preuve : (pour les nombres à 4 chiffres, mais la propriété est vérifiée quelque soit le nombre de mcdu = 1000m u 999m m 99c c 9d d u 9(111m 11c d) m c d u. 9(111m 11c d) est un multiple de 9 donc mcdu est divisible par 9 ssi m+c+d+u l est aussi. Divisibilité par 3 : un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Un nombre entier naturel a même reste dans la division par 3 que la somme de ses chiffres. Master1 UE4, EC4A, Eléments de mathématiques chapitre 8 éléments d arithmétique Page 5

6 Preuve : (pour les nombres à 4 chiffres, mais la propriété est vérifiée quelque soit le nombre de mcdu = 1000m u 999m m 99c c 9d d u 3(333m 33c 3d) m c d u. 3(333m 33c 3d) est un multiple de 3 donc mcdu est divisible par 3 ssi m+c+d+u l est aussi. Exercice 8 : Enoncer, pour les nombres qui s écrivent à 4 chiffres, un critère de divisibilité par 25 et le démontrer. Master1 UE4, EC4A, Eléments de mathématiques chapitre 8 éléments d arithmétique Page 6

7 CORRIGE DES EXERCICES CHAPITRE 8: Exercice 1 : Théorème2 : si a est multiple de b et si b est multiple de c, alors a est multiple de c. a et b sont multiples respectivement de b et c donc qu il existe des nombres entiers naturels k et k tels que a b k et b c k'. Alors a b k c k k' c ( kk' ). CQFD. Exercice 2 : 1/ les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5 donc on garde les nombres se terminant par 5 uniquement. 2/ Un multiple de 10 s écrit n 10 k 2 5 k 5 (2k), n est donc un multiple de 5 aussi donc aucun nombre ne répond à cette question. Exercice 3: Diviseurs de 56 : 1,2,4,7,8,14,28,56. Diviseurs de 60 : 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60. Les diviseurs communs à 56 et 60 sont : 1,2,4. Exercice 4 : 1/ Diviseurs de 48 : 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48. Donc 8,16,24 et 48 conviennent. 2/ Tout diviseur de 12 est aussi diviseur de 48 (12 divise 48!) donc aucun nombre ne répond à la question. Exercice 5 : Diviseurs de 72 :1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72. Exercice 6 : = = Exercice 7 : = = Donc ppcm ( 375 ; 60 ) = = = Donc ppcm ( 25 ; 8 ) = PGCD (375 ; 60) = 15 et PGCD ( 25 ; 8 ) = 1. Les nombres 25 et 8 sont premiers entre eux! (l algorithme d Euclide est toujours l algorithme le plus rapide!). Exercice 8 : Preuve : (pour les nombres à 4 chiffres, mais la propriété est vérifiée quelque soit le nombre de mcdu = 1000m u 25(40m 4c) u. 25(40m 4c) est un multiple de 25 donc mcdu est divisible par 25 ssi du l est aussi. Master1 UE4, EC4A, Eléments de mathématiques chapitre 8 éléments d arithmétique Page 7