La notion de dualité

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1 La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A T c T ]. b T Soit v R n le vecteur-colonne des variables du problème dual ou u R n le vecteur-ligne des variables du problème dual. 38

2 Le problème primal s écrit: (P ) Min x z = cx sous Ax = b et x 0 Le problème dual s écrit: (D) ou encore, avec u = v T, (D) Max v w = b T v sous A T v c T et v 0 ou < 0 Max u w = ub sous ua c et u 0 ou < 0 39

3 Dual d un PL sous forme générale Primal Dual Minimiser cx Second membre c T Second membre b Maximiser b T v A matrice des contraintes A T matrice des contraintes Contrainte j Variable v j 0 Variable x i 0 Contrainte i contrainte j = Variable v j 0 ou 0 Variable x i 0 ou 0 Contrainte i = 40

4 Théorèmes de la dualité 1. Le dual du dual est le primal. En effet, la transposée d une matrice est la matrice elle-même. 2. Si x et ū sont respectivement des solutions du primal et du dual, alors: z = c x w = ūb. Démonstration : Dans (P), multiplions les 2 termes de la contrainte A x = b à gauche par ū ūa x = ūb Dans (D), multiplions les 2 termes de l inégalité ūa c à droite par x: ( x 0): ūa x c x. D où ūb c x. Interprétation : Une solution primale admissible sous-optimale est meilleure qu optimale, mais non admissible pour le problème dual. Une solution duale admissible sous-optimale est meilleure qu optimale, mais non admissible pour le problème primal. 41

5 3. Si (P) et (D) ont des solutions, alors chacun d entre eux a une solution optimale et: z = min cx = w = max ub Réciproquement, si x est admissible pour (P) et u est admissible pour (D) et que cx = ub, alors x est optimal pour (P) et u est optimal pour (D). Si l un d eux a un optimum non borné, l autre n a pas de solution. 4. Complémentarité: Une CNS pour que (x, u ) soit optimal est: (u A j c j )x j = 0 j = 1,.., n, A j représentant la jème colonne de A. Eléments de démonstration : donc ūa x = ūb ūa x c x = ūb c x L égalité est obtenue si et seulement si (x, u ) est optimal. Interprétation Les variables x j 0 sont associées aux contraintes inégalité ua j c j : Une variable duale associée à une contrainte inégalité non saturée (ua j < c j ) est nécessairement nulle. Une variable duale associée à une contrainte saturée (ua j = c j ) est nécessairement positive.

6 Interprétation économique de la dualité: La variable duale associée à une contrainte correspond au coût de cette contrainte dans la solution courante. Si cette contrainte est saturée, ce coût est positif. Il est nul si cette contrainte n est pas saturée. Utilisation algorithmique de la dualité Résolution du dual La première utilisation, évidente, du problème dual, est de le résoudre s il est plus simple que le problème primal. Ce sera le cas, en particulier, lorsque le problème primal n a pas de solution admissible évidente mais qu il est facile d en construire une pour le problème primal. 42

7 Propriétés du dual On remarque que la condition d admissibilité d une solution de base pour le problème dual est c 0, qui est la condition d optimalité du problème primal. De façon analogue (duale), la condition d admissibilité d une solution de base pour le problème primal est b 0, qui est la condition d optimalité du problème dual. On résoudra donc plutôt le problème dual au lieu du problème primal s il est plus simple ou (et) si l on parvient plus facilement à construire une solution avec c 0 qu avec b 0 43

8 Exemple Min x1,x 2 z = 4x 1 + 6x x 3 sous x 1 + 3x 3 3 sous x 2 + 2x 3 5 et x 1, x 2, x 3 0 L introduction de variables d écart x 4 et x 5 conduit au tableau simplexe suivant: x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 z (1) (2) (c) La solution de base construite avec comme variables de base les variables d écart n est pas admissible car les termes de b sont négatifs. Mais on peut remarquer que tous les coûts réduits associés aux variables d écart sont positifs. La valeur de base du critère est donc un minorant de la valeur optimale du critère. 44

9 Problème dual Cette propriété sur les coûts réduits indique que la solution de base associée est admissible pour le problème dual. Le problème dual s écrit: Max u1,u 2 w = 3u 1 + 5u 2 sous u 1 4 u 2 6 3u 1 + 2u 2 18 et u 1, u

10 Appliquons la méthode du simplexe au problème dual. Etape 1: u 3 u 4 u 5 u 1 u 2 w (1) (2) (3) (c) Etape 2: variable entrante u 2, variable sortante u 4, puis variable entrante u 1, variable sortante u 5, ce qui donne u 3 u 2 u 1 u 5 u 4 w (1) /3 2/3 0 2 (2) (3) /3-2/3 0 2 (c) La solution duale optimale est donc: w = 36, u 1 = 2, u 2 = 6, u 3 = 2, u 4 = u 5 = 0. 46

11 L algorithme dual du simplexe 1. Base initiale en représentation primale, non-réalisable pour le primal mais correspondant à une solution réalisable du problème dual : B 0, k = 0. Pour être duale-réalisable, on doit avoir, pour une minimisation, c N 0, et pour une maximisation, c N 0 2. Pour k, calculer b = B 1 b, π = c B B 1, c N = c N πn, Ā = B 1 A, 3. Si b 0, STOP, optimum réalisable atteint Sinon, choisir s tel que b s 0. En pratique, on choisit la variable de base dont la valeur est la plus négative. Cette variable sort de la base. Elle sera donc nulle dans la base de l itération k+1. 47

12 4. Pivot. Soit Ā s la ligne s de Ā. On fait entrer dans la base une variable de base à coefficient négatif dans Ā s. On choisit comme variable entrante i celle c pour laquelle le rapport i est non-négatif Ā is et minimal, de façon à faire croître le critère le moins possible. Construire la nouvelle base, B et aller en 2-

13 Exemple x 4 x 5 x 1 x 2 x 3 z (1) (2) (c) On constate que la solution est duale-réalisable car les coefficients c i sont non-négatifs. Etape 1 On choisit x 5 comme variable de base sortante. La variable entrante est x 2, que l on élimine dans l équation (c), ce qui donne, après permutation des colonnes de x 5 et x 2 : x 4 x 2 x 1 x 5 x 3 z (1) (2) (c) On constate que la solution est restée duale-réalisable car les coefficients c i sont non-négatifs. 48

14 Etape 2 La nouvelle variable sortante est x 4 et la nouvelle variable entrant en base est x 3, ce qui donne: x 3 x 2 x 1 x 5 x 4 z (1) 1 0 1/3 0-1/3 0 1 (2) 0 1-2/3-1 2/3 0 3 (c) La solution est devenue primale-réalisable tout en restant duale-réalisable. Elle est donc optimale. La solution primale optimale est donc : z = 36, x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = 1.

15 Utilisation de la complémentarité La solution duale et la solution primale optimales ont été obtenues par deux techniques différentes. On vérifie que z = w = 36, mais ce résultat était connu théoriquement. De même, la théorie permet directement de trouver les valeurs optimales des variables duales. On a donc en pratique un seul problème à résoudre, Théorème La valeur optimale de la variable duale associée à une contrainte inégalité est égale (au signe pres) au coût réduit de la variable d écart associée dans le tableau simplexe de la solution primale optimale. Exemple: Ici, à partir de la solution primale, on déduit: u 1 = 2, u 2 = 6. En reportant ces valeurs dans l expression du dual, on obtient les variables d écart du dual: u 3 = 2, u 4 = 0 u 5 = 0. 49

16 Algorithme primal-dual Dans le cas où il est difficile de trouver une solution primale-réalisable mais aussi une solution duale-réalisable, on peut partir d une initialisation quelconque des variables et procéder alternativement par optimisation duale et primale. L introduction de variables artificielle est un autre moyen de résoudre le problème de recherche d une solution initiale admissible. Il s agit alors de la méthode dite révisée du simplexe. 50

17 Application Numérique Voici des valeurs numériques relatives au problème de transport: QUANTITES DEMANDEES QUANTITES DISPONIBLES PARIS MARSEILLE 1 LE HAVRE TOULOUSE BORDEAUX Application Numérique Minimiser z = 5x x x x x x 23 sous les contraintes: x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x 11 x x 12 x x 13 x x ij 0 pour i = 1, 2, pour j = 1,.., 3. 51

18 Interprétation du problème dual Le problème primal exprime le point de vue du constructeur qui cherche à minimiser ses coûts de production. Le problème dual s écrit ainsi : Maximiser z = 550u 1 350u v v v 3 sous les contraintes: v 1 u 1 5 v 2 u 1 6 v 3 u 1 3 v 1 u 2 3 v 2 u 2 5 v 3 u 2 5 u i 0 pour i = 1, 2, v j 0 pour j = 1,.., 3. 52

19 Interprétation du problème dual Le problème dual exprime le point de vue du transporteur qui veut maximiser son profit. Ses variables sont les prix d achat à Marseille (u 1 ) et au Havre (u 2 ) et ses prix de vente à Paris (v 1 ), Toulouse (v 2 ) et Bordeaux (v 3 ). Les quantités qu il doit acheter et vendre sont fixées. Les contraintes du problème dual expriment que les prix sont compétitifs, c est à dire acceptables pour le constructeur. 53

20 Résolution La valeur optimale du critère est 3700 $. Elle correspond au graphe d approvisionnement suiv- QUANTITES DEMANDEES QUANTITES DISPONIBLES PARIS MARSEILLE TOULOUSE ant. 350 LE HAVRE BORDEAUX Solution optimale 54

21 Approche Lagrangienne en Programmation Linéaire Le lagrangien d un problème permet de combiner la formulation duale et la formulation primale. Soit x le vecteur de variables de (P), appelées variables primales. Soit u le vecteur de variables de (D), appelées variables duales. Les variables duales sont associées aux contraintes Ax = b du problème primal. Elles sont encore appelées multiplicateurs de Lagrange, car elles sont associées multiplicativement aux contraintes à travers les relations de complémentarité à l optimum : u j (b j A j x ) = 0. 55

22 Approche Lagrangienne en Programmation Linéaire Le lagrangien du problème est la fonction: L(x, u) = cx + u(b Ax) Résoudre le problème (P) est équivalent à résoudre son problème dual (D). Ces problèmes sont équivalents au problème suivant : Max u Min x 0 L(x, u) = cx + u(b Ax) Le problème d optimisation sous contraintes revient à la recherche du point selle du lagrangien sans contraintes. 56

23 Lemme de Farkas-Minkowski C est un lemme tres utile dans de nombreuses démonstration, et à la base des propriétés de dualité. Lemme Un et un seul des systàmes linéaires suivants a une solution : { Ax b x 0 et ua 0 u 0 ub < 0 Il y a de nombreuses variantes de ce Lemme. Corollaire du Lemme de Farkas x 0; Ax = b si et seulement si ua 0 = ub 0 (b, u R m ). Corollaire x; Ax b si et seulement si u 0 et ua = 0 = ub 0 (b, u R m ). Corollaire x 0; Ax b si et seulement si u 0 et ua 0 = ub 0 (b, u R m ). 57