Circuits I - circuits électriques G. Gremaud ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE

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1 Circuits I - circuits électriques G. Gremaud ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE

2 Equations constitutives des éléments passifs Résistances

3 Equations constitutives des éléments passifs Capacités

4 Equations constitutives des éléments passifs Inductances

5 Equations de Kirchhoff d un réseau Soit un circuit électrique composé d'éléments passifs constituant les branches du réseau et reliés entre eux aux noeuds du réseau Pour étudier le comportement électrique d'un tel réseau, on doit faire appel aux équations de Kirchhoff, qui traduisent que: Noeuds le courant électrique est une grandeur conservée Mailles la tension électrique est un potentiel

6 Elements passifs en série et parallèle A l'aide des équations de Kirchhoff et des équations constitutives des éléments, il est possible de trouver les équations différentielles qui régissent un réseau électrique. Résistances en parallèle Résistances en série

7 Equations différentielles d un circuit Circuit RCL

8 Equations différentielles d un circuit Introduisons alors les grandeurs définies comme suit Grâce à ces nouveaux paramètres, on peut écrire l'équation différentielle sous la forme suivante: Cette équation est une équation différentielle extrêmement courante en physique, qu'on appelle en général "l'équation de l'oscillateur harmonique amorti". Toute équation différentielle de ce type possède une solution qui est la somme: - d'une solution transitoire correspondant à la réponse transitoire de la sortie u s (t), et calculée comme la solution de l'équation différentielle sans second membre (avec u e = 0), - d'une solution permanente correspondant à la réponse permanente u s (t) à une entrée u e (t) donnée.

9 Solutions transitoires (oscillations libres) Ces différentes solutions transitoires peuvent être mises en évidence très simplement si, à l'instant t=o, on passe d'une tension d'entrée constante u e (t) = u eo à une tension nulle u e (t) = o : La solution transitoire de l'équation différentielle peut prendre trois formes:

10 Solutions transitoires (oscillations libres)

11 Solutions transitoires (oscillations libres) La réponse transitoire u s (t) est appelée oscillations libres et elle prend les allures suivantes :

12 Solutions permanentes (oscillations forcées) Signal d entrée continu Signal d entrée harmonique

13 Solutions permanentes (oscillations forcées) Gain A:

14 Solutions permanentes (oscillations forcées) Pour l'amortissement faible pour Ω = Ω r telle que, l'amplitude A(Ω) passe par un maximum On parle alors d'un phénomène de résonance, et la largeur de résonance Ω, mesurée pour A(Ω) = A max /2 1/2, vaut: On peut encore introduire la notion de facteur de qualité Q du circuit, défini par la relation Q mesure en fait l'acuité de résonance ou sélectivité du circuit résonnant.

15 Battements Dans le cas d'amortissement faible, l'enclenchement de l'oscillation forcée à l'instant t=o peut conduire à l'apparition d'un régime transitoire de battements entre la solution transitoire et la solution permanente, car

16 Les dipôles On appelle dipôle un ensemble d éléments à deux bornes En règée général, le calcul d un dipôle fait appel au calcul complexe (voir annexe dans polycopié)

17 Les dipôles Exemple: circuit résonnant parallèle

18 Les quadripôles Soit un réseau compliqué qu'on appelle un quadripôle, de par l'existence de deux bornes d'entrée et de deux bornes de sortie: Un tel réseau peut être représenté par la "boîte noire" suivante : Si on impose une tension d'entrée u e (t), la sortie u s (t) sera appelée la réponse du quadripôle.

19 Réponse continue des quadripôles Si le réseau est constitué de résistances, de condensateurs et de selfs, ce sont uniquement les résistances qui fixeront la tension de sortie (self = court-circuit, condensateur = circuit ouvert), d où En réponse continue, on appelle gain A du circuit quadripôle la grandeur: Réponse harmonique des quadripôles Si l'on impose la tension d'entrée harmonique, la réponse, dans le cas où le circuit est linéaire, est du type Cette réponse peut être caractérisée par la fonction de transfert du quadripôle. Cette fonction de transfert joue un rôle très important en électronique (amplificateurs, filtres, règlages automatiques, etc.).

20 Réponse harmonique des quadripôles Représentation réelle de la fonction de transfert: le diagramme de Bode La représentation réelle de la fonction de transfert fait appel aux gain A et à la phase respectivement, donnés en fonction de la fréquence du signal d'entrée: En général, on représente graphiquement 20 log 10 A dans un diagramme en fonction du logarithme de la pulsation. Un tel diagramme, appelé diagramme de Bode, a l'avantage de présenter en général des droites. On exprime la pente de ces droites en db/octave, un octave correspondant à un doublement de la fréquence.

21 Réponses temporelles des quadripôles L'entrée u e (t) n'est pas toujours une fonction harmonique. Par exemple, on considère souvent les réponses d'un réseau à des sollicitations de type indiciel ou impulsionnel Dans ce cas, le calcul de la réponse temporelle du réseau quadripôle peut se faire de plusieurs façons: recherche de la réponse transitoire par résolution des équations différentielles du réseau utilisation de la transformée de Fourier lorsqu'on a affaire à un signal d'entrée périodique et qu'on s'intéresse uniquement au régime permanent de la réponse (cf.v.2.4) utilisation du calcul opérationnel (transformée de Laplace) pour les signaux d'entrée non périodiques (type indiciel, impulsionnel, etc.) et pour les régimes transitoires survenant lors de l'application soudaine d'un signal à l'instant t=0.

22 Réponses périodiques des quadripôles la transformée de Fourier Lorsqu'on recherche la réponse d'un circuit quadripôle à un signal périodique quelconque (signal carré, triangulaire, etc.), on peut employer la transformation de Fourier, qui est basée sur la propriété mathématique suivante: Tout signal périodique de période T peut être décomposé en somme de sinus et cosinus aux fréquences harmoniques de la fréquence de base du signal, sous la forme Les coefficients a n et b n se calculent par les intégrales suivantes:

23 Réponses périodiques des quadripôles la transformée de Fourier Si le signal u e (t) est appliqué à un quadripôle avec une fonction de transfert connue La réponse u s (t) sera simplement donnée par: qui n'est rien d'autre que la représentation de Fourier du signal périodique de période T présent à la sortie u s (t).

24 Réponse des quadripôles non-linéaires: génération d harmoniques et phénomènes chaotiques Si le réseau considéré contient des éléments non-linéaires, la réponse u s (t) à une sollicitation harmonique u e (t) dépend de l'amplitude u eo de la sollicitation, et la méthode du calcul complexe n'est alors plus utilisable! Dans ce cas, la réponse à une sollicitation harmonique u e (t) n'est plus harmonique: Le signal de sortie u s (t) contient en fait des harmoniques de la fréquence fondamentale du signal d'entrée. Ainsi, les circuits non-linéaires conduisent à la génération d'harmoniques. Parfois même, en présence d'éléments fortement nonlinéaires, il peut apparaître des phénomènes chaotiques: