TABLE DES MATIERES. Mécanique. Page 1. PDF created with FinePrint pdffactory trial version CHAPITRE 1 : EXERCICES DE RÉVISION 3

Transcription

1 TABLE DES MATIERES CHAPITRE 1 : EXERCICES DE RÉVISION 3 EXERCICE N 1 : 3 EXERCICE N 2 : 3 EXERCICE N 3 : 3 EXERCICE N 4 : 4 EXERCICE N 5 : 4 EXERCICE N 6 : 4 EXERCICE N 7 : 4 EXERCICE N 8 : 5 EXERCICE N 9 : 5 EXERCICE N 10 : 5 EXERCICE N 11 : 6 EXERCICE N 12 : 6 EXERCICE N 13 : 7 EXERCICE N 14 : 7 EXERCICE N 15 : 8 EXERCICE N 16 : 8 EXERCICE N 17 : 8 EXERCICE N 18 : 9 EXERCICE N 19 : 11 EXERCICE N 20 : 11 CHAPITRE 2 : MÉTHODE DES FORCES. 12 EXERCICE N 1 : 12 EXERCICE N 2 : 12 EXERCICE N 3 : 13 EXERCICE N 4 : 14 EXERCICE N 5 : 14 EXERCICE N 6 : 15 EXERCICE N 7 : 16 EXERCICE N 8 : 17 EXERCICE N 9 : 17 EXERCICE N 10 : 18 EXERCICE N 11 : 18 EXERCICE N 12 : 20 EXERCICE N 13 : 21 EXERCICE N 14 : 21 EXERCICE N 15 : 21 EXERCICE N 16 : 22 EXERCICE N 17 : 22 EXERCICE N 18 : 22 EXERCICE N 19 : 23 EXERCICE N 20 : 24 EXERCICE N 21 : 24 Page 1

2 CHAPITRE 3 : MÉTHODE DES DÉPLACEMENTS 26 EXERCICE N 1 : 26 EXERCICE N 2 : 27 EXERCICE N 3 : 28 EXERCICE N 4 : 28 EXERCICE N 5 : 28 Page 2

3 CHAPITRE 1 : Exercices de révision Pour les exercices 1 à 10 vous répondrez aux questions suivantes : 1- Déterminer les actions aux appuis. 2- Tracer les diagrammes de N (effort normal), V (effort tranchant), M f (moment fléchissant). Exercice n 1 : Exercice n 2 : Exercice n 3 : Page 3

4 Exercice n 4 : Exercice n 5 : Exercice n 6 : Exercice n 7 : Page 4

5 Exercice n 8 : Exercice n 9 : Exercice n 10 : Déterminer les actions aux appuis puis les diagrammes des efforts de cohésion le long de cette structure.. Page 5

6 Exercice n 11 : On donne la valeur du moment fléchissant pour les points B, C et D : M f (B) = N.m M f (D) = N.m M f (C) = N.m +5 On prendra comme orientation pour les repères locaux associés aux différents élément le sens allant de A Ł B Ł C Ł D Ł E. Travail demandé : 1- En isolant le poteau DE, déterminer X E (composante horizontale de l action du sol sur le poteau en E) 2- Déterminer X A (composante horizontale de l action du sol sur le poteau AB en A) 3- Tracer le diagramme du moment fléchissant le long de la structure. 4- Donner la valeur maxi du moment fléchissant entre A et B et la situer. N.B. : On se rappellera que M f (D) correspond au moment de la poutre DE ( partie droite) sur le reste de la structure. Exercice n 12 : On considère la poutre inclinée montrée sur la figure de la page suivante. Cette poutre supporte le poids mort d'une toiture et une charge de neige. Le poids mort de la toiture est une charge verticale w = 6 kn/m uniformément répartie le long de l'axe de la poutre, tandis que la charge de neige est une charge verticale w 1 = 5 kn/m uniformément répartie suivant la projection horizontale de la portée de la poutre. Travail demandé : Déterminer les actions aux appuis puis les diagrammes des efforts de cohésion le long de cette poutre. Page 6

7 Pour les exercices 13 à 17 vous répondrez aux questions suivantes : 3- Déterminer les actions aux appuis. 4- Tracer les diagrammes de N (effort normal), V (effort tranchant), M f (moment fléchissant). Exercice n 13 : Exercice n 14 : On applique un moment fléchissant M g = 150 kn.m à l extrémité gauche de la poutre. Ce moment est dirigé dans le sens inverse de la rotation des aiguilles d une montre ( sens trigonométrique) Page 7

8 Exercice n 15 : On applique un moment fléchissant M d = 200 kn.m à l extrémité droite de la poutre. Ce moment est dirigé dans le sens de la rotation des aiguilles d une montre. Exercice n 16 : Les moments appliqués à chaque extrémité sont les mêmes que pour les deux exercices précédents. Exercice n 17 : Page 8

9 Exercice n 18 : Présentation : L ensemble étudié est une potence d atelier de charge nominale 1000 dan, soumise aux actions décrites figure 1. Travail demandé : 1- Etudier l équilibre de l ensemble, en déduire les actions à l encastrement au point A. 2- Etudier l équilibre de sous-ensemble 2+3 selon le modèle figure 2, en déduire les actions aux points D et G. 3- On donne les actions appliquées au fût 1 (figure 3) aux points D et G dans le repère global par : X D = dan X G = dan Y G = dan 1- Tracer les diagrammes des actions de cohésion le long de ABC. 2- Déterminer les contraintes dues à l effort normal au point A (dessin). 3- Déterminer les contraintes dues au moment fléchissant au point A (dessin). 4- Déterminer les contraintes dues à l ensemble N et M fz au point A (dessin), préciser la valeur maximale. 4- On donne l effort normal dans le tirant 3 : N 3 = 4840 dan. 1- Etudier l équilibre de 2, en déduire les actions d appui au point F. 2- Tracer les diagrammes des actions de cohésion le long de FHI. 3- On donne, au point H, les valeurs des sollicitations : N = dan V y = 88 dan M fz = -410 dan.m 1- Déterminer les contraintes dues à l effort normal au point H (dessin) 2- Déterminer les contraintes dues à l effort tranchant au point H (dessin) 3- Déterminer les contraintes dues au moment fléchissant au point H (dessin) 4- Déterminer les contraintes dues à l ensemble N et M fz au point H (dessin). Préciser la valeur maximale. Page 9

10 Page 10

11 Exercice n 19 : Pour la structure ci-dessous : 1- Déterminer les actions aux appuis. 2- Tracer les diagrammes de V et Mf. Exercice n 20 : Pour la structure ci-dessous : 1- Déterminer les actions aux appuis. 2- Tracer les diagrammes de V et Mf. Page 11

12 Chapitre 2 : Méthode des forces. Exercice n 1 : On considère la poutre se terminant en porte-à-faux montrée sur la figure (a) ci-dessous. Cette poutre est soumise à une charge w = 20 kn/m uniformément répartie. Travail demandé : 1- Calculer la flèche au point C. 2- Calculer la rotation au point A. Données : E = Mpa et I = mm 4. Exercice n 2 : La console montrée sur la figure (a) ci-dessous est soumise à une charge concentrée P = 30 kn à l'extrémité libre A. Page 12

13 Travail demandé : 1- Calculer la flèche au point A. 2- Calculer la rotation en A. Données : E = Mpa et I = mm 4. Exercice n 3 : Déterminer le déplacement horizontal du nœud C et la rotation au point B du portique montré sur la figure (a) ci-dessous. Données : E = Mpa et I = mm 4 pour les deux barres. Page 13

14 Exercice n 4 : La structure définie ci-dessous est étudiée en ne tenant compte que du moment fléchissant. Les barres ont un moment quadratique I = cm 4. E 5m 1.4m B C dan A D On demande : 8 m 1 ) Déterminer de degré d'hyperstaticité de cette structure. 2 ) Tracer le diagramme de M(x) sous le chargement indiqué. 3 ) Déterminer, en appliquant le principe des travaux virtuels, le déplacement horizontal du point E. Exercice n 5 : La structure supporte une charge répartie uniforme d'intensité q. Toutes les barres sont constituées d'un même matériau de module d'élasticité E. Page 14

15 On demande : 1) Déterminer en fonction de q et l les efforts de traction ou de compression dans toutes les barres de la demi structure dont les nœuds sont numérotés de 1 à 5. N. B. On pourra montrer au préalable que l action de la demi-structure de droite sur celle de gauche est horizontale. 2) Les aires des sections des barres étant données en fonction de A, calculer en fonction de q, l, A et E le déplacement vertical δ 5 du nœud 5. A. N. : q = dan/m l = 2 m A = 400 mm² 3) L'inertie de la traverse 3-5 étant I, calculer en fonction de q, l, A, I et E le déplacement vertical δ du milieu de la traverse 3-5. A. N. : I = cm 4. NOTA : On négligera l'influence de l'effort tranchant. Exercice n 6 : Une console a la forme et les dimensions indiquées sur la figure ci-dessous. Toutes les barres ont une section constante de 300 mm². 4 m B A P = 5000 N D 3m 6000 N C On négligera les variations de section dues aux articulations et on négligera les déformations des axes d'articulation. En B, nous avons une articulation et en C un appui ponctuel. Cette console supporte deux charges verticales localisées en A et D d'intensités respectivement égales à 5000 N et 6000 N. Travail demandé : Calculer le déplacement vertical du point A et du point D après déformation. Page 15

16 Exercice n 7 : Support pour câble d'alimentation SNCF (d'après BTS 93) La structure est constituée de deux barres d'inertie I et de longueurs respectives : AB = 2l ; BC = l Elle est liée au sol par encastrement en A. Elle est soumise à une charge répartie p (dan/m) sur les barres AB et BC et une charge ponctuelle F en C. p B I C F p I 2l A l On demande : 1 ) Tracer les diagrammes N, V et M pour l'ensemble de la structure. On indiquera pour chacune des barres AB et BC le repère dans lequel on travaillera. On notera les points particuliers (nuls, extréma...). 2 ) Déterminer la flèche horizontale en C. On négligera les flèches dues à l'effort normal et à l'effort tranchant. 3 ) Application numérique : déterminer la flèche horizontale en C pour : l = 2 m ; p = 100 dan/m ; F = dan ; I = cm 4 ; E = dan/mm 2. Page 16

17 Exercice n 8 : On considère la poutre se terminant en porte-à-faux qui est soumise aux charges montrées sur la figure ci-dessous. Travail demandé : Déterminer le déplacement vertical de la poutre au point d application de Q 1. Exercice n 9 : On donne la poutre supportant la charge montrée sur la figure ci-dessous. Travail demandé : Déterminer le déplacement horizontal en E. Page 17

18 Exercice n 10 : Le schéma ci-contre représente l ossature principale d une tour de séchage des tuyaux dans une caserne de pompiers. Dans le but de calculer le déplacement horizontal du sommet, on demande : 1 - Calculer les actions aux appuis 2 - Calculer les efforts dans les barres 3 - Calculer l énergie de déformation élastique de la structure. On donne : : 5A - section des diagonales : A - section des membrures et des montants 4 - Calculer le déplacement horizontal du point G en utilisant le théorème de conservation de l'énergie. 40 kn G E C H 2 6 F D 10 4 m 4 m 4 m A. N. : A = 11,5 cm² A 13 B 4 m haut. Exercice n 11 : On donne la schéma d une palée de stabilité sur une tour d ensachage de 28 mètres de dan B HEA 100 C HEA 100 D A F G E Page 18

19 On donne les aires des sections : HEA 450 : HEA 100 : A = 178 cm ² (poteaux) A = 21,2 cm² (autres éléments) Compléter le tableau suivant et en déduire le déplacement en B. Barre L (m) S (m 2 ) L/ES N (N) N 2 2 N. l 2ES Page 19

20 Exercice n 12 : La poutre définie ci-dessous est étudiée en ne tenant compte que du moment fléchissant. q l Travail demandé : 1 ) Donner le degré d hyperstatique. 2 ) On associe au système donné les deux états isostatiques ci-dessous : q A1 A1 l l X1 = 1 Etat 0 Etat 1 On demande : 1) Tracer les diagrammes de moments fléchissants M 0 (x) et m 1 (x) correspondant respectivement aux états 0 et 1. 2) Donner la définition de : 10, δ 11. 3) Donner l'expression littérale de 10 etδ 11, puis calculer numériquement ces deux coefficients 4) Ecrire l équation de fermeture de ce système hyperstatique et expliquer sa signification. 5) Résoudre et déterminer X 1. Page 20

21 Exercice n 13 : Pour la structure ci-dessous, déterminer le degré d hyperstaticité ainsi que les actions aux appuis. Exercice n 14 : Pour la structure ci-dessous, déterminer le degré d hyperstaticité ainsi que les actions aux appuis. En déduire le diagramme de Mh. Exercice n 15 : Pour la structure ci-dessous, déterminer le degré d hyperstaticité ainsi que les actions aux appuis. En déduire le diagramme de Mh. Page 21

22 Exercice n 16 : Pour la structure ci-dessous, déterminer le degré d hyperstaticité ainsi que les actions aux appuis. Exercice n 17 : Pour la structure ci-dessous, déterminer le degré d hyperstaticité ainsi que les actions aux appuis. Exercice n 18 : L objectif de cet exercice est de dimensionner les diagonales d une palée de stabilité. Pour cela, on va négliger la diagonale comprimée de la palée ci-dessous. Déterminer la diagonale tendue (cornière à aile égales) pour que le déplacement en tête (nœud 4) soit inférieur à 1/500 ème de la hauteur. Données : S IPE450 = 98.8 cm 2 S IPE200 = 28.5 cm 2 Page 22

23 Exercice n 19 : Extrait BTS 1997 Page 23

24 Exercice n 20 : On se propose d étudier le portique symétrique chargé symétriquement ci-dessous : Travail demandé : 1- Calculer les inconnues de liaison en étudiant une demi structure. 2- Déterminer l expression de la flèche vertical en O. Hypothèses : I 1 = I 2 et L = 2h Exercice n 21 : Etude d un portique de stabilité. C Le portique défini ci-dessus est constitué d une traverse en HEA300 (plan fort dans le plan du portique) et de poteaux (HEA450 et IPE300 soudés) dont la section est présentée cidessous. Les axes utilisés sont en concordance avec ceux du repère principal pour une facilité de compréhension. Page 24

25 Travail demandé : 1- Déterminer la position du centre de gravité G du poteau constitué de l HEA450 et de l IPE Déterminer le moment quadratique Ig zz de la section constituée des deux profilés : 2.1 En considérant la section de l IPE300 comme un ensemble de trois rectangles, déterminer son moment quadratique par rapport à l axe G2zz. Pour cela on utilisera le théorème de Huyghens. 2.2 On nous donne pour l HEA450 I G1zz = cm 4 et pour l IPE300 I G2zz = cm 4. En déduire le moment quadratique de l ensemble de ces deux sections par rapport à l axe Gzz. 3- Décomposer le chargement appliqué sur le portique en la superposition d un chargement symétrique et d un chargement antisymétrique. 4- Déterminer les actions de contact pour le chargement symétrique. 5- Déterminer les actions de contact pour le chargement antisymétrique. 6- Tracer le diagramme du moment fléchissant le long du portique pour le chargement global. 7- Déterminer le déplacement horizontal du nœud C pour le chargement global. Page 25

26 CHAPITRE 3 : Méthode des déplacements Exercice n 1 : D après le sujet de BTS La traverse du portique file 1 est modélisée par une poutre bi-encastrée avec 2 appuis simples intermédiaires. L ensemble poteau-traverse étant rigide (assemblage par platine et boulons), les nœuds A et D sont modélisés par 2 encastrements dans cette étude. Les potelets sont modélisés par 2 appuis simples en B et C. Travail demandé : La structure sera résolue par la méthode des déplacements. On se servira de la symétrie de la structure et du chargement pour la résolution. 1- Répertorier les inconnues cinématiques. 2- Calculer la valeur des inconnues. 3- Déterminer les actions aux appuis. 4- Tracer les diagrammes de Mf et V sur une demie structure. Formulaire : Barre bi-encastrée avec charge répartie. Page 26

27 Exercice n 2 : D après le sujet de BTS Etude d une poutre continue. Nœud 1 : articulation Nœuds 2, 3, 4 : appuis simples. Le couple C est appliqué au nœud 3. C = 33.2 kn.m q = 2 kn/m, P = 20 kn. A = 2 m, b = 3 m, L = 5 m. E = constante, I = constante. Travail demandé : 1- Calculer en fonction de EI, les inconnues de déplacements. 2- Calculer les moments aux nœuds. 3- Calculer les actions de liaisons aux appuis 1, 2, 3 et Tracer les diagrammes des efforts tranchants V(x), et des moments fléchissants M(x). On précisera les points particulier (extrémum, ). FORMULAIRE : Page 27

28 Exercice n 3 : Pour la structure ci-dessous, déterminer les actions aux appuis puis tracer les diagrammes de M H et V H (efforts de cohésions pour cette structure hyperstatique). Exercice n 4 : Pour la structure ci-dessous, déterminer les actions aux appuis puis tracer les diagrammes de M H et V H (efforts de cohésions pour cette structure hyperstatique). Exercice n 5 : Pour la structure ci-dessous, déterminer les actions aux appuis puis tracer les diagrammes de M H et V H (efforts de cohésions pour cette structure hyperstatique). I 1 = I 2 L = 2h Page 28