Enoncés TD n 4 Diagramme de Bode Lieu de Nyquist, Lieu de Black

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1 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5 / 6 Université Djillali Liabès de Sidi Bel-Abbès Faculté de Génie Electrique Déartement d'electrotechnique Enoncés TD n Diagramme de Bode, 3ème Année Licence «Electrotechnique» ère Année Master «Contrôle et Suervision des Processus Automatisés» Pour chacune des fonctions de Transfert en Boucle Ouverte suivantes : Tracer les diagrammes de Bode ( asymtotes our le gain), et calculer la ulsation de uure (ulsation rresondant au gain unitaire) et la hase rresondante j. Tracer, aroximativement, les lieux de Nyquist et de Black (ou Black-Nichols) our chaque fonction en vous aidant des diagrammes asymtotiques de Bode obtenus récédemment. a) b) c) d) e) 6 ( ) f).5() (.5)(.5) g) () ()( ) h) () i) ( ) ()()() 3 3 Enoncés TD n : Diagramme de Bode- - TD -

2 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5 / 6 Université Djillali Liabès de Sidi Bel-Abbès Faculté de Génie Electrique Déartement d'electrotechnique Solutions TD n Diagramme de Bode, 3ème Année Licence «Electrotechnique» ère Année Master «Contrôle et Suervision des Processus Automatisés» Traçons les diagrammes de Bode et les Lieux de Nyquist et de Black (ou Black-Nichols) our chacune des Fonctions de Transfert suivantes, en nsidérant que c'est la Fonction de Transfert en Boucle Ouverte. Nous nsidérerons toujours le cas de la FTBO car, nous verrons dans le chaitre suivant, relatif à la stabilité des systèmes asservis linéaires, que la stabilité en Boucle Fermée est toujours déterminée à artir de la Boucle Ouverte. Dans ce qui suit, désigne toujours la Fonction de Transfert en Boucle Ouverte : ()().() FTBO A B E() + A() S() B() a) Diagramme de Bode,, j Calculons le module et la hase de j : j () j log G j log log j j j j j arctg arctg Le log module est donc une droite de ente ( ) en fonction de log. La hase est nstante et égale à. Donc : rd / s j log ( ) rd / s log j() Diagramme asymtotique de Bode log Solutions TD n : Diagramme de Bode- - TD -

3 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5 / 6, lieu de Black ou Black-Nichols Imag log Réel b) Diagramme de Bode,, j Calculons le module et la hase de j : () j log G j log log j j j j j arctg arctg Le log module est donc une droite de ente (+) en fonction de log. La hase est nstante et égale à. log rd / s ( ) Donc : rd / s j j() Diagramme asymtotique de Bode log log Solutions TD n : Diagramme de Bode- - TD - 3

4 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5 / 6, lieu de Black ou Black-Nichols Imag log Réel c) Diagramme de Bode,, j Calculons le module et la hase de j : avec T T j ( j ) T jt j j arctg T voir olyié de urs log () ( ) rd / s log log j() Diagramme asymtotique de Bode D'arès le diagramme : rd / s j arctg()() T 76 arctg Solutions TD n : Diagramme de Bode- - TD -

5 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5 / 6, lieu de Black ou Black-Nichols log Imag Réel d) Diagramme de Bode,, j avec / n rd s x n n x x ( régime oscillatoire amorti, ôles mlexes njugués ) Calculons le module et la hase de j : j x n n x j j arctg n n ( voir olyié de urs ) D'arès le diagramme : log () log log rd / s Ou enre : log () log ente - - rd / s log - log Solutions TD n : Diagramme de Bode- - TD - 5

6 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5 / 6 x j n arctg arctg 5 n faire attention à cette valeur () log ( ) 6 log j() log Diagramme asymtotique de Bode, lieu de Black ou Black-Nichols Imag Réel log Solutions TD n : Diagramme de Bode- - TD - 6

7 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5 / 6 e) 6 ( ) Diagramme de Bode,, j 6 6 intégrateur er ( ) système de ordre ( ) log ( ) 6 6 log j() log Diagramme asymtotique de Bode D'arès le diagramme : rd / s j 9 arctg T 9 arctg 73, lieu de Black ou Black-Nichols 6 6 avec ( )() T T Le tracé du à artir du diagramme de Bode est, généralement, suffisant. Mais, en résence d'intégrateurs (mme our cet exemle), il faut s'assurer du tracé du lieu au voisinage de, en calculant les arties imaginaire et réel de j et les faire tendre vers zéro. En résence de dérivateurs, le lieu est à vérifier au voisinage de, en les faisant tendre vers l'infini. Solutions TD n : Diagramme de Bode- - TD - 7

8 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5 / 6 lim Réel G () j T j T j T lim Imag G () j Imag log T Réel f).5() (.5)(.5).5 () 6().5() (.5)(.5)( )( ).5().5().5.5 Diagramme de Bode,, j 6 ()() T T T s rd/s T 3 s 3 rd/s () T T s rd/s avec 3 3 D'arès le diagramme : rd / s arctg T arctg T arctg T j 3 j arctg arctg arctg 3 Solutions TD n : Diagramme de Bode- - TD -

9 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5 / 6 log () ( ) ( ) 6 6 log ( ) j() log Diagramme asymtotique de Bode, lieu de Black ou Black-Nichols log Imag 6 6 Réel Solutions TD n : Diagramme de Bode- - TD - 9

10 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5 / 6 g) () ()( ) Diagramme de Bode,, j () T s rd/s ()() T T T s rd/s T 3 s 3 rd/s T avec 3 3 ( ) ( ) log 5 3 ( ) log ( ) j() log Diagramme asymtotique de Bode D'arès le diagramme : rd / s 9 arctg T arctg T arctg T j 3 j 9 arctg arctg arctg Solutions TD n : Diagramme de Bode- - TD -

11 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5 / 6, lieu de Black ou Black-Nichols Pour le lieu de Nyquist, il faut vérifier le tracé au voisinage de, en calculant les arties imaginaire et réel de j et les faire tendre vers zéro. lim Réel G () j T T3 T lim Imag G () j Imag log Réel () T T 3 T h) () Diagramme de Bode,, j Selon la valeur de, Si 6 Si 6 Si 6 Donc : Si 6 eut aartenir à la ente ( ) ou à la ente ( 3) :, ente ( ) et à la ente ( 3)., ente ( 3)., ente ( ). Si 6, rd / s., ente -3 log y log() -3 log - log 3 rd / s log log() y - log - log Si 6, log log() ente - - rd / s log - log Solutions TD n : Diagramme de Bode- - TD -

12 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5 / 6 Gain fort log j ne déend as de, mais déend de la valeur de : j arctg Gain faible ( ) ( ) y ente ( ) ente ( 3) log ( 3) j() ( 3) j() log 3 Diagramme asymtotique de Bode, lieu de Black ou Black-Nichols Pour le lieu de Nyquist, il faut vérifier le tracé au voisinage de, en calculant les arties imaginaire et réel de j et les faire tendre vers zéro. lim Réel G () j lim Imag G () j log Imag 3 Réel Solutions TD n : Diagramme de Bode- - TD -

13 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5 / 6 i) ( ) ()()() 3 3 Diagramme de Bode,, j n 3 rd / s avec x x 3 3 n n x ( régime oscillatoire amorti, ôles mlexes njugués ) T s rd/s () T () G avec T s rd/s x ()() T T3 T3 s 3 rd/s n n x.5 n 3 rd/s log 3 n () ( ) () ( ) ( 3) log log j() 3 Diagramme asymtotique de Bode Solutions TD n : Diagramme de Bode- - TD - 3

14 Prof. FELLAH Mohammed-arim 5 / 6 D'arès le diagramme : 6 rd / s x n j arctg T arctg T arctg T 3 arctg 6 j arctg arctg arctg arctg 6 3 j j.5 faire attention à cette valeur n, lieu de Black ou Black-Nichols log Imag Réel 3 Solutions TD n : Diagramme de Bode- - TD -