La valeur absolue. Une des propriétés les plus fondamentales des nombres réels est celle qui dit que les nombres

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1 La valeur absolue Il est possible de définir les nombres réels comme étant l ensemble de tous les nombres de la forme ±b k b k 1 b k 2 b 2 b 1 b 0, a 1 a 2 a 3 a n a n+1 où les b i et les a j peuvent prendre n importe quelle valeur parmi {0, 1, 2,3,4,5,6,7,8,9}. Par exemple, 34, 01 = 34, , π = 3, et 5 = 5, sont tous trois des nombres réels puisque chacun d entre eux satisfait la définition. Une des propriétés les plus fondamentales des nombres réels est celle qui dit que les nombres réels peuvent être ordonnés. Ceci veut dire que chaque nombre réel peut être situé sur une ligne droite appelée la droite des nombres réels. Et, étant donné deux nombres réels a et b si a b, soit a < b ou a > b. Si a < b, le numéro a se trouve à gauche du numéro b sur la droite des réels. Par exemple si a = 540, et b = 540, nous déterminons rapidement que a < b puisque le neuvième chiffre de a est 8 tandis que le neuvième chiffre de b est 9, et puisque 8 < 9, donc a < b. Puisque tous les nombres réels peuvent être situés sur une droite sur laquelle se trouve le nombre réel 0, il est facile de déterminer la distance qui sépare un nombre réel de zéro. Par exemple, le nombre réel 345,237 se trouve à une distance de 345,237 de 0. Le nombre réel 192,1 se trouve à une distance de 192,1 de 0 À remarquer que lorsqu on parle de la distance entre un nombre et zéro on ne se préoccupe pas de l endroit où se trouve le nombre par rapport à 0, mais seulement de sa distance Par exemple, 5 et 5 sont tous deux à une distance 5 de zéro. Cela dit, voici une définition: La valeur absolue d un nombre réel x est le nombre qui donne la distance qui sépare ce nombre réel de zéro. Nous dénotons la valeur absolue de x comme suit: x. Puisqu une distance est toujours positive, la valeur absolue d un nombre est toujours positive. Par exemple: 204, 57 = 204, 57 et 17, 09 = 17, 09. 1

2 Voici une définition un peu plus formelle de la valeur absolue de x: { x si x 0 x = x si x < 0 Par exemple: 45 = 45 puisque Mais 3 = ( 3) = 3 puisque 3 < 0. Propriétés des valeurs absolues. Pour tout x et y et pour tout u 0 et a 0, x x (1) x a a x a (2) u u = 1 ou 1 (3) x y = x y (4) x 2 = x 2 (5) x + y x + y (6) x y x y (7) Preuves et exemples: (facultatif) 1. Pour toutes valeurs de x, x x. Par exemple: 5 5 = 5, et 5 5 = Pour a 0, x a a x a Par exemple, pour a = 15, si x 15, x peut prendre toute valeur entre 15 et 15 (voir, x = 9 x = 9 = 9 15); par contre si x = 25 x = 25 = 25 > 15. 2

3 3. Pour tout x 0, Par exemple: x x = 1 ou = 5 5 = 1, et 5 5 = 5 5 = Pour tout x et y, x y = x y. Si x 0 et y 0 x y = xy = xy Si x < 0 et y 0 x y = xy = (xy) = xy Si x < 0 et y < 0 x y = ( x)( y) = xy = xy Puisque nous obtenons xy = x y dans tous les trois cas on conclut que xy = x y pour tout x et y. Par exemple: Pour x = 2 et y = 3 nous avons: 2 3 = 2 3 = 6 = 6 = ( 2) 3 Pour x = 2 et y = 3 nous avons: 2 3 = 2 3 = 6 = 6 = ( 2) ( 3) 5. Pour tout x, x 2 = x 2. Si x 0, x 2 = x x = xx = x 2 Si x < 0, x 2 = ( x)( x) = xx = x 2 Donc pour tout x, x 2 = x 2. Par exemple: Pour x = 5, nous avons: 5 2 = 5 5 = 5 5 = 25 = ( 5)( 5) = ( 5) 2 6. Pour tout x et y, x + y x + y. 3

4 Soit n importe quel nombre x et y: x + y 2 = (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (Voir le fichier Algèbre: développement d expressions) x 2 + 2xy + y 2 = x 2 + 2xy + y 2 = ( x + y ) 2 (Voir le fichier Algèbre: factorization d expressions) Nous pouvons conclure que x + y 2 ( x + y ) 2. Et donc Exemple: x + y x + y. (Puisque, u 2 v 2 u v) = 4 = Pour tout x et y, x y x y Soient n importe quel deux nombres x et y. Pour démontrer x y x y il suffit de démontrer que x y x y x y (grace à la propriété numéro 2 donnée ci-dessus.) On voit que x = x y + y x y + y (Grâce à la propriété (2)) Donc x y x y ( ) Aussi, y = y x + x y x + x (Grâce à la propriété (2)) = x y + x Donc y x x y 4

5 En multipliant les deux côtés de cette inégalité par 1 (et en se rappellant que a b b a on obtient x y x y ( ) (En se rappelant que (b a) = a b ) En faisant la combinaison des inégalités (*) et (**) on obtient: x y x y x y Ce qui veut dire, d après la propriété (2) que comme voulu. x y x y La valeur absolue et les équations. Il se peut qu on ait à manipuler des valeurs absolues lorsque qu on doit résoudre une équation. (Voir le fichier Équations I à la page des Concepts). Voici un exemple qui illustre bien comment il faut procéder: Résoudre pour x l équation 2x 7 = 5. Solution. Par définition de valeur absolue, 2x 7 = Nous commençons avec le cas où 2x 7 0: Ensuite on passe au cas où 2x 7 < 0: { 2x 7 si 2x 7 0 (2x 7) si 2x 7 < 0 2x 7 = 5 2x 7 = 5 2x = 12 x = 12 2 x = 6 2x 7 = 5 (2x 7) = 5 2x + 7 = 5 2x = 2 x = 2 2 x = 1 5

6 Donc la solution de l équation 2x 7 = 5 est {1, 6}. L ensemble {1, 6} constitue la solution complète. Il n y pas d autres nombres à part de 1 et 6 qui satisferont l équation 2x 7 = 5. De plus, on peut vérifier que si x = 1 nous avons = 2 7 = 5 = 5. Et si x = 6, = 12 7 = 5 = 5 Nous avons vérifié que l ensemble solution de 2x 7 = 5 est précisément {1, 6} c Club Pythagore,