Sébastien Bourdreux Agrégation de Physique Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand. Interféromètres à division d amplitude. Applications.

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1 Sébastien Bourdreux Agrégation de Physique Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand Interféromètres à division d amplitude. Applications. novembre 2003

2 Table des matières 1 Division d amplitude sur l exemple du Michelson Schéma de l interféromètre de Michelson Configuration d étude du Michelson Interféromètre éclairé par une source ponctuelle monochromatique Source étendue : localisation des franges d égale inclinaison à l infini Observation des franges à l infini Calcul de la différence de marche entre les rayons qui interfèrent à l infini Caractéristiques des franges d interférences obtenues à l infini Précisions sur la lame séparatrice Au niveau énergétique Nécessité d une lame compensatrice Observations de franges d égale épaisseur Constatations expérimentales Différence de marche entre rayons interférents Localisation des franges Calcul des phénomènes d interférences Utilisations de l interféromètre de Michelson Spectrométrie et cohérence temporelle Modèle du spectre rectangulaire Modèle des trains d onde Spectrométrie par transformée de Fourier Déplacement des miroirs et effet Doppler Contrôle de surfaces : méthode de Fizeau Contrôle de surfaces d onde : méthode de Twyman-Green Mesure d épaisseurs Spectre cannelé Faibles épaisseurs Mesure d indices Visualisation de gradients de température Détection du vent d éther : l expérience de Michelson et Morley IASI : l Interféromètre de Sondage Atmosphérique Infrarouge Détection des ondes gravitationnelles Interféromètre utilisé Problèmes rencontrés Mise en place - Réglage

3 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Applications Autres interféromètres à division d amplitude L interféromètre de Fabry-Pérot Introduction Un interféromètre à ondes multiples Utilisation en spectromètre Cavité résonnante Filtres interférentiels L interféromètre de Mach-Zehnder

4 4 LP 38 - Interfe rome trie a division d amplitude

5 Prologue Les situations interférentielles 5

6 Introduction Dans les miroirs de Fresnel et les dispositifs analogues (trous d Young, miroir de Lloyd, bilentille de Billet), on recueille la lumière issue d une source en deux endroits distincts puis, grâce à des dispositifs optiques - miroirs ou lentilles - on recombine en une même région de l espace (appelée champ d interférences) les deux faisceaux. Ceux-ci, ayant emprunté des trajets différents, présentent en chaque point de cette région une différence de marche qui dépend du point considéré, d où l observation de franges qui résultent de la variation de l état d interférences de point en point. La séparation des faisceaux intervenait parce qu on les prélevait, au départ, en des endroits différents de l espace : on parle alors de division du front d onde. Il est après tout possible, grâce au phénomènes de réflexion - transmission qui interviennent à l interface de deux milieux, de prélever les deux faisceaux en une même région de l espace (celle de l interface entre les deux milieux) : on parle alors de division d amplitude. Inversement, il est possible d utiliser une telle interface pour superposer deux faisceaux lumineux. 6

7 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 7 Le physicien américain Albert-Abraham Michelson ( ) a mis à profit les possibilités offertes par la division d amplitude pour concevoir un dispositif particulièrement ingénieux.

8 Chapitre 1 Division d amplitude sur l exemple du Michelson 1.1 Schéma de l interféromètre de Michelson L interféromètre de Michelson est constitué de 3 blocs fonctionnels : une lame semi-réfléchissante S p, dite lame séparatrice, et deux miroirs plans m 1 et M 2. Le plan de figure retenu est tel que ces trois éléments, dont seule la trace est représentée, lui soient perpendiculaires. La lumière provenant de la source atteint S p, qui divise le faisceau incident en un faisceau réfléchi se dirigeant vers le miroir M 1, et en un faisceau transmis se dirigeant vers M 2. Après réflexion sur les miroirs M 1 et M 2, les deux faisceaux séparés sont recombinés pour constituer le champ d interférences. Le faisceau réfléchi par M 1 est partiellement transmis au travers de S p, tandis que celui issu de M 2 s y réfléchit partiellement. En raison de ces réflexion ou transmission partielles, une partie de la lumière réfléchie par M 1 et M 2 est perdue car elle revient vers la source, et n est donc pas utilisée. Conformément à l usage, les deux voies de l interféromètre sont appelées bras. On peut agir très simplement sur ceux-ci soit par translation soit par pivotement des miroirs, opérations nécessaires au réglage de l interféromètre. On peut aussi interposer sur le trajet de l un des 8

9 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 9 deux bras un dispositif d étude, voire le substituer à l un des deux miroirs. Signalons enfin que les angles formés par la séparatrice et les miroirs sont, dans tous les cas de réglage, voisins de 45 o. Le choix de cette valeur, qu il n y a jamais lieu d atteindre rigoureusement, sera justifié ultérieurement. 1.2 Configuration d étude du Michelson L interféromètre de Michelson est équivalent à une configuration d étude beaucoup plus commode. Tout se passe tout d abord comme si les rayons issus de la source S qui se réfléchissent sur la séparatrice étaient issus du symétrique de S, S o, par rapport à cette séparatrice. De la même façon, tout se passe comme si les rayons arrivant sur M 2 à travers la séparatrice S p étaient issus de S o et s étaient réfléchis sur la séparatrice.

10 10 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Enfin, en ce qui concerne les rayons qui se réfléchissent sur M 2 puis sur la lame séparatrice, tout se passe comme si, issus de S o, ils traversaient la lame séparatrice S p et qu il se réfléchissaient sur un miroir M 2 symétrique de M 2 par rapport à la séparatrice, avant de traverser cette même lame. Le montage réel est donc équivalent au dispositif des deux miroirs de Fresnel, à cette différence que le miroir M 2 n est pas matériel. En conséquence, les miroirs M 1 et M 2 peuvent à présent se masquer, voire se croiser, sans que pour autant l un des miroirs empêche la lumière de se refléter sur l autre. L équivalence ne vaut donc que pour le calcul des caractéristiques de la figure d interférence. Creusons l analogie avec une lame de verre à faces planes éclairée par une source ponctuelle S. Chaque rayon incident donne naissance à une multitude de rayons émergeant de la lame, aussi bien du même côté que S que de l autre côté, puisqu à chaque rencontre d une interface, il y a à la fois réflexion et transmission. En un point extérieur de la lame arrive un grand nombre

11 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 11 de rayons, ayant à priori des intensités et phases différentes, et qui interfèrent. Il s agit là d un phénomène d interférences à ondes multiples, par réflexion ou par transmission. Pour revenir à l interféromètre, qu on supposera réglé de manière à ce que M 1 et M 2 forment une lame, dans le champ d interférences, les phénomènes sont analogues à ceux que donne une lame de verre ayant mêmes frontières, à ceci près qu on observe seulement les interférences par réflexion, puisque les miroirs réfléchissent parfaitement la lumière, et que ne parviennent en un point du champ d interférence que deux ondes. Les amplitudes de ces ondes sont rendues sensiblement égales. Enfin, il n y a pas de cassure du rayon à la traversée de la première surface rencontrée comme c est le cas lors de la traversée de l interface air/verre. On peut alors observer deux configurations. Le coin d air. La lame d air, à faces parallèles.

12 12 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 1.3 Interféromètre éclairé par une source ponctuelle monochromatique En tout point P du champ d interférences, tout se passe comme si les rayons interférents étaient issus des points S 1 et S 2 images de S o par rapport aux miroirs M 1 et M 2. En conséquence, l éclairement en P est donné par la relation soit ici, à un facteur près, E(P ) = a 2 [1 + cos ϕ] = a 2.[1 + cos 2πp(P )] E total = 1 + cos[k(s 2 P S 1 P )] Les franges d interférence se caractérisent donc par des équations géométriques de la forme k(s 2 P S 1 P ) = cte Elles sont ici visibles dans tout l espace où les faisceaux se recouvrent, et sont donc dites non localisées. L équation précédente est celle d un hyperboloïde de révolution autour de l axe (S 1 S 2 ).

13 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 13 Les franges observées sur un écran sont la coupe de cette famille de surfaces par le plan d observation, du moins par la partie qui se trouve dans le champ d interférences. Le segment [S 1 S 2 ] peut prendre une grande variété d orientations par rapport au plan d observation, ces dernières dépendant des positions des miroirs M 1 et M 2 (longueur des bras et orientation des miroirs). Contrairement aux miroirs de Fresnel, on n est pas ici limité au seul voisinage du plan médiateur du segment [S 1 S 2 ], il est possible d observer des franges de différentes formes suivant l orientation de [S 1 S 2 ] par rapport au plan d observation.

14 14 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 1.4 Source étendue : localisation des franges d égale inclinaison à l infini Observation des franges à l infini Un cas particulièrement important dans la pratique est celui où les miroirs M 1 et M 2 forment une lame d air à faces parallèles, d épaisseur e. Cette configuration est réalisée lorsque le plan de la lame séparatrice est parallèle au plan bissecteur du dièdre formé par les miroirs M 1 et M 2. Les surfaces d égal ordre d interférence étant des hyperboloïdes de révolution autour de S 1 S 2, les franges observées sur un écran perpendiculaire à (S 1 S 2 ) sont alors circulaires d axe (S 1 S 2 ) ; ce sont des anneaux d interférence, l interfrange étant plus important, toutes choses égales par ailleurs, que le plan d observation est éloigné des miroirs. Examinons le cas où la lame d air à faces parallèles est éclairée par deux points sources S et S auxquels correspondent les points S o et S o dans la configuration d étude. S o a pour images S 1 et S 2 par rapport aux miroirs M 1 et M 2, S o les images S 1 et S 2. Dans un plan perpendiculaire aux deux faces de la lame, contenant tous les points sources cités ci-dessus, en un point P du champ d interférences, les différences de marche [S 2P ] [S 1P ] et [S 2 P ] [S 1 P ] diffèrent à priori : les couples de sources secondaires associés à S et S ne donnent pas le même état d interférence au point P. Plus généralement, dans le cas d une source étendue spatialement incohérente 1, chaque point source donne son propre état d interférences au point P. Si l étendue de la source est suffisamment restreinte pour quel l état d interférence au point P et dans son voisinage ne varie 1 Avec les sources usuelles, polychromatiques le plus souvent, les ondes issues de points sources matériellement distincts ne peuvent interférer entre elles (l éclairement détecté est la somme des éclairements produits par chacune) : en effet, deux points sources distincts émettent sans corrélation entre eux, leurs ondes présentent des déphasages aléatoires et rapidement variables (10 9 s avant stabilité pour une lampe spectrale, s pour une lampe à filament).

15 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 15 pas de façon significative, des franges d interférences seront toujours observées. Mais, si l on recherche à étendre davantage la source pour obtenir des interférences plus lumineuses, les ordres d interférences au point P correspondant aux différents points sources peuvent alors varier de plusieurs unités. Corrélativement, à mesure que l on augmente la taille de la source, la figure d interférence se brouille progressivement. L observation des franges d interférence n est donc possible qu en limitant l étendue de la source, et cette limitation dépend de la zone d observation et de l épaisseur de la lame d air. Il existe cependant un cas où les différences de marche sont identiques, quelles que soient les positions respectives des points de la source : c est celui où l observation est faite à l infini. Dans ce cas, et celui-là seul, les triangles S 1S 2P et S 1 S 2 P deviennent identiques ; on peut alors augmenter sans restriction la taille de la source, et gagner en luminosité des interférences, sans toutefois altérer leur luminosité. Les franges sont alors dites localisées à l infini puisque P est rejeté à l infini. En ce point P de l infini convergent tous les rayons parallèles à une même direction, mais si on interpose une lentille convergente, ces mêmes rayons convergent alors tous au foyer image P que la lentille associe à la direction considérée. En pratique, l observation à l infini est donc faite dans le plan focal image d une lentille convergente, ou - ce qui revient au même - par l oeil accomodant à l infini. L équivalence des observations faites en P ou en P est simple à montrer : en supposant que la lentille est transparente et qu elle recueille tous les rayons réfléchis, il y a simple proportionnalité entre l intensité lumineuse en P et celle en P si l état interférentiel entre les vibrations interférentes est identique aux deux points. C est effectivement le cas, puisque la différence en P entre les chemins parcourus par les rayons issus des sources virtuelles S 1 et S 2 est donnée par [S 2 P ] [S 1 P ] = [S 2 P ] [S 1 P ] = n ambiant S 2 H 2 Cette différence de marche, en P comme en P, est indépendante de la position du point source S 2 H 2 = S 2H 2

16 16 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Calcul de la différence de marche entre les rayons qui interfèrent à l infini Les rayons interférents issus de S 1 et S 2 étant parallèles, il en va de même des rayons incidents associés, car les miroirs M 1 et M 2 sont parallèles. Or, ces rayons incidents sont issus du même point source S o et sont donc forcément confondus. Finalement, les rayons réfléchis interférents sont issus d un même rayon incident. Ce résultat a une portée tout à fait générale : il s applique également pour les franges données par les lames en dièdre. Les rayons réfléchis présentent le même déphasage à l infini que lorsqu on les considère respectivement en H et en K. Or, ces rayons résultent d une division d amplitude en I, où ils sont nécessairement en phase ; en conséquence, la différence de marche δ qui nous intéresse est donnée par δ = [IJK] [IH] = 2.e 2.e IK. sin i = 2.e. tan i. sin i = 2.e. cos i cos i cos i

17 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 17 A épaisseur donnée e, δ est maximale (et vaut 2.e) lorsque le rayon incident arrive sous incidence normale, et décroît avec l angle i jusqu à la valeur 0 obtenue pour une incidence rasante Caractéristiques des franges d interférences obtenues à l infini On observe ces franges dans le plan focal image d une lentille convergente dont l axe optique est normal aux faces de la lame séparatrice. Une frange étant caractérisée par un ordre d interférence donné, il lui est donc associée une valeur de i (cf. expression de δ) d où l appellation de franges d éale inclinaison. Dans la configuration retenue, une valeur donnée de i détermine comme lieu des points P un cercle centré sur le foyer image, ce sont donc des anneaux d interférences, appelés anneaux d Haidinger, qui se dessinent. L angle i associé à un anneau brillant (interférences constructives) est donné par une différence de phase proportionnelle à la longueur d onde 2.e cos i = p.λ où p N L angle i associé à un anneau sombre (interférences destructives) est donné par une différence de marche proportionnelle à la moitié de la longueur d onde 2.e cos i = λ 2 + p.λ où p N Si la lentille est utilisée dans les conditions de Gauss, les angles i sot suffisamment petits pour qu on puisse écrire sin i tan i i et cos i 1 + i 2 /2. Le rayon de l anneau brillant associé à l ordre p a alors pour expression r p = f 1(1 + pλ 2e ) L anneau brillant de plus faible rayon correspond à la plus grande valeur entière p max de p pour laquelle l argument de la racine carrée est encore positif, soit p max = E( 2e λ ) Convenons de numéroter les anneaux par ordre croissant de rayon, donc par ordre décroissant d ordre d interférence. Ce dernier variant d une unité entre deux anneaux brillants consécutifs, le k-ième anneau brillant correspond donc à l ordre d interférence p max + 1 k. Le rayon r k de ce k-ième anneau est donc r k = f 2 λ e (p max + 1) + kλ e Le rayons des premiers anneaux varie donc comme les racines carrées des entiers naturels. En conséquence, ils se resserrent de plus en plus, à mesure que l on s éloigne du centre vers l extérieur. Ce qui précède vaut également pour les anneaux sombres (seule la valeur de 2 λ (p e max 1) diffère). Remarquons enfin que, toutes choses étant égales par ailleurs, les anneaux sont d autant plus resserrés que l épaisseur e est grande. 2 Le résultat peut sembler surprenant, mais il ne faut pas se borner à considérer le trajet de la miroir entre les deux miroirs, [IJK], c est-à-dire qu il ne faut pas confondre surface d onde et surface physique du premier miroir.

18 18 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 1.5 Précisions sur la lame séparatrice Au niveau énergétique La spératrice est généralement traitée de manière à présenter des propriétés particulières. Pour simplifier l analyse, nous supposerons une lame séparatrice homogène et transparente, réfléchissant une fraction X de l énergie incidente. Cette lame transmet donc une fraction (1 - X) de l énergie lumineuse incidente. La fraction récupérée par la voie (1) - réflexion sur la séparatrice - est donc X(1 X) ; du côté de la voie (2), les mêmes opérations intervenant mais en ordre inverse, on aura une fraction (1 X)X d énergie récupérée. Nous récupérons ainsi la même quantité d énergie sur les deux voies. Les deux ondes qui interfèrent ont donc sensiblement la même amplitude, ce qui permet un contraste élevé. Par ailleurs, pour une meilleure visibilité de la figure d interférences, il est souhaitable de recueillir le plus de flux lumineux possible dans le champ d interférences, ce qui est réalisé lorsque X(1 X) est maximal, c est-à-dire pour X = 1/2. Avec du verre nu, nous avons X 1, d où la nécessite de traiter la lame pour obtenir la valeur X 1/2 (lame semi-réfléchissante). Pour cela, on dépose sur la lame séparatrice une ou plusieurs couches de matériaux diélectriques ou métalliques. A cause de ce traitement, la lame séparatrice introduit entre les deux voies un déphasage supplémentaire, les réflexions sur chacune de ses deux faces n impliquant pas nécessairement les mêmes déphasages. En outre, ces déphasages dépendent généralement de la longueur d onde. Si ϕ i (λ) est le déphasage à la réflexion pour l onde ayant emprunté la voie (i), on notera ϕ 21 (λ) = ϕ 2 (λ) ϕ 1 (λ) la différence de déphasage Nécessité d une lame compensatrice Les chemins optiques introduits par la propagation aller-retour dans l air, entre la lame séparatrice et les deux miroirs, ne dépendent pas sensiblement de la longueur d onde, l air n étant pas très dispersif. En revanche, la dispersion du verre de la lame séparatrice est significative, et ne peut être négligée. Or cette lame est ici traversée trois fois pour l une des voies (2) et une seule fois pour l autre (1). Ainsi, la différence de trajet optique entre les deux voies dépend de la longueur d onde, ce qui est gênant, notamment si l on souhaite pouvoir s affranchir des caractéristiques de la lame et réaliser des trajets optiques associés aux deux voies pour toutes les longueurs d onde. Comme cet inconvénient résulte de la dissymétrie du dispositif, on interpose sur le trajet de la voie qui correspond à une seule traversée de la séparatrice S p une lame à faces parallèles C p, dite lame compensatrice, de même épaisseur, constituée du même verre, et parallèle à la lame séparatrice. A chaque voie correspond alors trois traversées de la même épaisseur, du même matériau, sous les mêmes incidences.

19 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Observations de franges d égale épaisseur Constatations expérimentales Considérons le cas où l interféromètre, préalablement réglé en franges d égale inclinaison (M 1 et M 2 parallèles), est éclairé par une raie spectrale (raie verte du mercure, par exemple). La netteté des franges circulaires observées à l infini nous assure que l épaisseur de la lame d air formée par M 1 et M 2 est suffisamment mince pour que l on puisse considérer le rayonnement de la source comme monochromatique (δ l c ). La source est à quelques dizaines de centimètres de la séparatrice. Le diaphragme D permet de limiter l étendue utile de la source. La lentille L permet de projeter sur l écran Π la figure d interférences se formant sur le plan conjugué de Π par L. Le diaphragme D permet de limiter l ouverture de la lentille L. Partons des ouvertures maximales de D et D.

20 20 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Modifions très légèrement l orientation du miroir M 2 en le faisant tourner de quelques minutes. Les franges perdent très rapidement de leur netteté et ne sont alors plus visibles sur l écran. En modifiant le plan conjugué de l écran par la lentille, ou en reculant l écran, il n est pas possible de faire réapparaître les franges. En théorie, si la source était réduite à un point, les interférences seraient délocalisées, c està-dire visibles dans tout le champ d interférences. En pratique, la puissance lumineuse utile diminue à mesure que l on réduit les dimensions utiles de la source à l aide de D. A la limite de la source ponctuelle, la puissance lumineuse émise par la source est donc nulle, et il semble par conséquent impossible d observer les interférences non localisées que donnerait une source ponctuelle. En réduisant le diamètre de D, on constate la réapparition des franges d interférences dès que ce diamètre passe en deçà d une certaine valeur, puis l augmentation progressive de leur contraste à mesure que le diamètre diminue (mais elles deviennent, évidemment, de moins en moins

21 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 21 lumineuses). D autre part, ces franges n ont plus la forme d anneaux, elles sont sensiblement rectilignes. On observe les points suivants. (i) Les franges ont leur maximum de netteté lorsque L conjugue M 1 et Π et c est dans ce cas que l on peut ouvrir D au maximum (ii) Une augmentation de l angle entre M 1 et M 2 réalisée grâce à une petite rotation de M 2 provoque une diminution de l interfrange (iii) En partant d une situation où la figure d interférences est brouillée, on peut faire réapparaître l ensemble des franges en diminuant le diamètre de D au lieu de celui de D, mais c est toujours en conjuguant Π et M 1 qu elles ont le maximum de netteté pour un diamètre de D donné (iv) Si la distance entre M 1 et M 2 excède une certaine limite, il est impossible d observer des franges d interférences, quels que soient les diamètres de D et de D On peut d ores et déjà interpréter cette dernière observation (iv) : il ne faut pas que la différence de marche entre les ondes ayant emprunté les voies (1) et (2) excède la longueur de cohérence, pour qu elles puissent interférer. En ce qui concerne les autres points, il faut au préalable établir une expression de la différence de marche qui permette d aborder la discussion Différence de marche entre rayons interférents Considérons la figure suivante. Il s agit de trouver une expression approchée de la différence de marche [SP ] 2 [SP ] 1 = (SJ + JP ) (SI 1 + I 1 P ) Soit l arc de centre S et de rayon SI 1, reliant les rayons incidents SI 1 et SJ, interceptant le segment SJ en N 1 ; si le point S est à grande distance devant les dimensions des miroirs M 1 et M 2, l angle θ entre les rayons incidents est suffisamment faible pour que l on puisse assimiler l arc Î 1 N 1 au segment [I 1 N 1 ], donc l angle entre N 1 S et N 1 I 1 à un angle droit.

22 22 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Considérons à présent l arc de cercle de centre P, et de rayon P I 1, interceptant le segment [JP] en Q 1 ; si l angle α entre M 1 et M 2 est très petit, il en va de même de l angle entre P I 1 et JP, on peut donc assimiler l arc Î 1 Q 1 au segment [I 1 Q 1 ], donc l angle entre P I 1 et I 1 Q 1 à un angle droit. Dans ce cadre, d où SI 1 SI 2 + I 2 N 1 et P I 1 P I 3 + I 3 Q 1 [SP ] 2 [SP ] 1 = N 2 I 2 I 3 Q 1 + I 2 J + I 3 J (1.1) = (I 2 J N 1 I 2 ) + (JI 3 I 3 Q 1 ) (1.2) = N 1 J + JQ 1 (1.3) Par ailleurs, I étant l intersection de la normale à M 2 avec M 1, la considération du triangle IK 1 I 1 - qui présente un angle très voisin de 90 o en K 1 -, donne sin i K 1I 1 II 1 N 2N 1 II 1 Le même type de considérations sur le triangle IK 2 I 1, présentant un angle voisin de 90 o en K 2, donne sin i Q 1Q 2 II 1 Il vient donc [] 2 [] 1 2 IJ cos i La longueur du segment IJ caractérise en fait l épaisseur de la zone de lame d épaisseur lentement variable (α de l ordre de la minute) en J. D approximation en approximation, on pourrait ne pas être convaincu par ce résultat : effectivement, en toute rigueur, la différence de marche n est pas tout à fait 2 IJ cos i. Le calcul mené en toute rigueur conduirait à 2 e cos i, où e est l épaisseur en un point J différent de J, d autant plus proche de J que les approximations effectuées plus haut sont légitimes. Par ailleurs, la distance entre les point I 2 et I 3 sont d autant plus faibles que l angle α et l épaisseur moyenne IJ sont faibles. Pour des lames dont l épaisseur est tout au plus de quelques longueurs d onde, et pour lesquelles l angle entre les faces n excède pas quelques minutes, on peut parler sans autre précision de l épaisseur e de la zone de lame traversée pour aller en un point P, puisqu à l échelle de la longueur d onde, cette épaisseur n est pas caractéristique d un seul point, mais de toute la zone participant au phénomène d interférence en P. Notons enfin que ces calculs restent encore valables si l on considère un point P n apprtenant pas au plan contenant les sources (S, S 1 et S 2 ), ou un point P entre M 1 et M 2 ou derrière M Localisation des franges Un point source S o - image d une vraie source S par la compensatrice - d une source étendue envoie, par réflexion sur les faces de la lame d air, deux rayons en un point P. La différence de marche entre les deux rayons interférant en P s écrit 2 e cos i où e et i dépendent des positions

23 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 23 de S o et de P, pour une lame d air donnée. Pour un autre point source S o, les valeurs d épaisseur e et d angle i pour les rayons interférant en P ne sont pas les mêmes que pour le point S o. En règle générale, il n y a pas compensation entre les variations d épaisseur e et les variations d angle d incidence i quand on passe de S à S. En conséquence, les variations de la différence de marche associée à un point de la source augmentent à mesure qu on étend les dimensions de la source. Si ces dernières ne sont pas suffisamment limitées, il y a brouillage. Pour une source de taille et de position données, c est lorsque le point P est sur la lame que les variations d épaisseur, donc de différence de marche, sont les moindres quand on passe d un point de la source à l autre. Il subsiste cependant une cause de moindre netteté pour les franges, puisque les points sources envoient alors en P des rayons correspondant à des angles d incidence différents. Il convient donc de limiter l angle sous lequel un point de la lame voit la source, pour ne conserver des rayons qui arrivent en P que ceux dont les angles d incidence sont suffisamment voisins. A chaque point P de la lame sont maintenant associés un épaisseur, donc une différence de marche, et ainsi un état d interférence bien précis. Les franges sont les lignes d égale valeur du produit 2 e cos i, et comme i est fixé, ce sont des lignes d égale épaisseur e. On les appelle pour cette raison franges d égale épaisseur. Dans le cas plus général d une lame de matériau diélectrique d indice n attaquée avec l angle d incidence i et traversée avec l angle de réfraction t, la différence de marche entre deux rayons interférents s écrit δ = 2 n.e cos t et les franges sont lignes d égale valeur du produit ne, distance équivalente dans le vide (ou chemin optique) associé au trajet de longueur e dans le milieu d indice n, souvent appelée épaisseur optique Calcul des phénomènes d interférences Dans le cas d une lame d air, une frange a pour équation 2 e cos i = cte Puisque l angle d incidence i est sensiblement le même pour tous les points du champ d interférences, deux franges consécutives de même nature (sombres, par exemple) correspondent à des épaisseurs e et e + δe telles que soit 2(e + δe) cos i 2e cos i = λ 2(δe)(cos i) = λ Dans le cas d une lame prismatique de petit angle α, en notant x la coordonnée le long de la ligne de plus grande pente de la lame comptée à partir de l arête, nous avons e = αx d où δe = αδx

24 24 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude Sur la lame, l interfrange i f est donc la différence δx pour laquelle 2δe cos i = λ soit i f = λ 2α cos i Cet interfrange est d autant plus faible que α est grand. Par ailleurs, l interfrange calculé dépend de l angle d incidence i. Tant que l on est très proche de l incidence normale, on peut cependant écrire cos i 1 au second ordre en i près. En particulier, dans le cas de l interféromètre de Michelson, on travaille toujours au voisinage de l incidence normale, et i f λ 2α Dans le cas général, l interfrange de la figure d interférence se dessinant sur le plan de la lame est d autant plus important que l on s écarte de l incidence normale (cos i fonction décroissante de i), toutes choses égales par aileurs. D autre part, l angle d incidence i fixe la direction moyenne d observation, qui doit être symétrique de la direction moyenne d incidence par rapport au plan de la lame - d après la relation de Snell-Descartes pour la réflexion -. Dans le cas des lames minces de verre, l expression de l interfrange est obtenue en remplaçant cos i par n cos t, soit λ i f = 2n α cos t

25 Chapitre 2 Utilisations de l interféromètre de Michelson 2.1 Spectrométrie et cohérence temporelle Soit l interféromètre réglé en franges d égale inclinaison (miroirs parallèles). Le miroir M 2 peut être translaté dans une direction (Oz) perpendiculaire à son plan ; la cote z = 0 correspond (par choix) au cas où les surfaces de M 1 et de M 2 sont confondues (lame d air d épaisseur nulle) et le miroir M 2 peut se déplacer de part et d autre de cette position. On prendra ici ϕ 21 (λ) = 0, cette hypothèse n affectant en rien la signification physique de l étude Modèle du spectre rectangulaire L éclairement associé à l intervalle spectral [σ 1, σ 2 ] est la somme des éclairements associés à chacune des radiations de ce domaine spectral. Une longueur d onde λ = 1/σ donne un éclairement en 1 + cos ϕ λ (z) 25

26 26 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude où ϕ λ (z) = 2π λ 2z = 4πσz = ϕ σ(z) car l épaisseur de la lame d air est ici 2z. Notons que le déphasage n intervenant qu au travers de son cosinus, la différence de marche entre les voies (1) et (2) n intervient qu en valeur absolue, dans le cas supposé où ϕ 21 = 0, l orientation de zimporte donc peu dans ce cas. Si on éclaire l interféromètre par deux radiations, de nombres d onde σ et σ + δσ différant suffisamment peu sur l intervalle z expérimentalement accessible pour que nous puissions confondre ϕ σ (z) et ϕ σ+δσ (z), elles donnent la même répartition d éclairement, à un facteur de proportionnalité près, que chacune d elles prise séparément. Si nous considérons à présent l intervalle infinitisémal [σ, σ + dσ], où dσ est un infiniment petit, il lui est associé un éclairement de σ (z) = K P (σ)(1 + cos(4πσz))dσ où K est une constante de proportionnalité indépendante de σ et de z. Dans notre cas, l éclairement est uniforme dans l intervalle [σ 1, σ 2 ], et nul en dehors de cet intervalle. L éclairement total E(z) s écrit donc E(z) = σ2 σ1 σ2 de σ (z) = K (1 + cos(4πσz))dσ où K est une constante de proportionnalité indépendante de z, que nous ignorerons par la suite. Posons σ m = σ 1+σ 2 2 et σ = σ 2 σ 1. Effectuons le changement de variable σ = σ σ m : Tous calculs faits E(z) = E(z) = σ σ/2 + σ/2 σ1 (1 + cos(4πz(σ + σ m )))dσ [ sin(2πz σ) 1 + 2πz σ ] cos(4πzσ m ) Cette fonction est paire : nous pouvons donc raisonner avec z > 0. Nous retrouvons la cas de l onde monochromatique lorsque σ 0 ; si z σ 1, quelle que soit la valeur de z expérimentalement accessible, le sinus cardinal vaut sensiblement 1, et l argument du cosinus ne varie pas de façon significative si on remplace σ m par σ 1 ou σ 2. L éclairement obtenu a donc même forme que celui obtenu avec une lumière rigoureusement monochromatique. Sinon, l éclairement E(z) calculé a l allure suivante Il semblerait donc qu on puisse déterminer précisément la largeur du spectre en mesurant les cotes pour lesquelles l enveloppe se pince une première fois. Mais, expérimentalement, l allure observée pour E(z) n est pas celle que nous venons de calculer, bien qu elle en ait sensiblement l aspect tant que l amplitude du terme variable en fonction de z est supérieur à 0,25. Le relevé des cotes z correspondant donne donc un ordre de grandeur de ϕ. Encore faut-il que nous définissions cette largeur dans le cas le plus général. Nous pourrions la caractériser à partir des valeurs pour lesquelles P (σ) est 90 % de sa valeur maximale, ou 80 %, ou 50 %... Nous pourrions tout aussi bien la définir comme l intervalle [σ 1, σ 2 ] dans lequel on retrouve 90 % de la puissance totalen ou 80 % ou 50 %...

27 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 27 Mais pourquoi se limiter à la largeur? On souhaiterait, dans la mesure du possible, obtenir l ensemble de la distribution spectrale P (σ). Alors E(z) = σ/2 σ/1 Elle se décompose en deux termes. Le premier, (1 + cos(4πz(σ + σ m )))P (σ + σ m )dσ σ/2 σ/1 P (σ)dσ est indépendant de z et ne nous informe pas sur la forme de P (σ), le second σ/2 σ/1 P (σ + σ m )dσ cos(4πz(σ + σ m )) est une fonction de z. Sa donnée pour tout intervalle de z nous permet de remonter à un certain nombre d informations concernant P (σ). Le traitement informatique utilisé pour remonter à P (σ) à partir de ce second terme relève de l analyse de Fourier. On parle alors plus généralement de spectroscopie par transformée de Fourier. Par ailleurs, si l on considère l éclairement moyen dans le plan d observation (plan focal image de la lentille convergente, typiquement), dans l expression obtenue pou E(z), la variable fondamentale n est pas z mais plus généralement la différence de marche δ(z, i) = 2z cos i associée au point d observation E(z, i) = σ [ sin(2πz cos i σ) 1 + 2πz cos i σ ] cos(4πz cos iσ m ) Nous menons la discussion dans le cas où on observe plusieurs anneaux dans la figure d interférences, ce qui revient à considérer le cas où zσ m cos i max vaut au minimum quelques unités, i max étant la valeur maximale de i (qui dépend des conditions d éclairage, en pratique). Si zδσ 1, z cos i σ 1 et le terme [sin(2πz ] cos i σ) 2πz cos i σ

28 28 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude est sensiblement égal à l unité : E(z, i) est en 1 + cos(4πσ m cos i) dans tout le plan d observation. La figure d interférence observée à z donné est la même que si la radiation était monochromatique. L éclairement oscille entre zéro et sa valeur maximale. Le contraste de la figure d interférence vaut donc 1. Abordons à présent le cas général. La terme [ ] sin(2πz cos i σ) 2πz cos i σ dépend à la fois de z et de i, tout comme le terme cos(4πσ m cos i). Toutefois, σ σ m implique que [ ] sin(2πz cos i σ) 2πz cos i σ varie peu sur une période de cos(4πzσ m cos i). Nous pouvons donc considérer que sur quelques ordres d interférence, sur quelques anneaux, [ ] sin(2πz cos i σ) 2πz cos i σ est uniforme. Le contraste de la figure d interférence associé à des valeurs d angle voisines de i a donc pour expression sin(2πz cos i σ) C(z, i) = 2πz cos i σ Partons d une situation où z cos i σ 1 pour tout i, en particulier pour i = 0. Lorsque z augmente, C(z) décroît. Ill en résulte une décroissance de l amplitude des oscillations de l éclairement dans le plan d observation, qui n est plus de la forme (1+cos(4 p izσ m cos i)). Cette décroissance est d autant plus marquée que cos i est grand, soit que i est faible. C est donc au centre du système d anneaux, dans la région où l ordre d interférence est le plus élevé, que le contraste diminue le plus fortement lorsque z augmente. Par ailleurs, à i donné, [ ] sin(2πz cos i σ) 2πz cos i σ est une fonction oscillante de z : nous devrions donc observer, d abord au voisinage du centre du système d anneaux, une inversion de contraste de la figure d interférences, pour une valeur de z définie par 2z σ = 1. Cette inversion de contraste n est pas observée expérimentalement. On constate plutôt une décroissance monotone du contraste lorsque z augmente, quel que soit i, d autant plus rapide que i est faible. Les prévisions du modèle spectral rectangulaire montrent donc des limites Modèle des trains d onde Expérimentalement, lorsqu on éclaire l interféromètre par une raie spectrale, on n observe pas, lorsque z varie, l inversion de contraste prévue à la première question (on peut toutefois observer des oscillations de contraste, avec la lampe au sodium par exemple. Ayant constaté

29 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 29 que la figure d interférences perdait en netteté à mesure que la différence de marche associée au point d observation augmentait, alors même qu on ne pouvait pas mettre en évidence la largeur de la raie, les physiciens se sont donné une représentation de la vibration lumineuse monochromatique qui permette d expliquer le phénomène observé. Le principe de cette représentation, connue sous le nom de modèle des trains d onde, est illustré par la figure suivante. La vibration émise par un point de la source est considérée comme une succession d impulsions. Chaque impulsion est appelée train d ondes. A chacun de ces trains d onde est associée une durée d émission τ, appelée temps de cohérence de la source, et, dans cet intervalle d émission, la vibration est une fonction sinusoïdale du temps. Faisons l hypothèse qu il n y a pas de lien, de corrélation, entre les trains d onde successifs ; cela se traduit par des sauts de phase aléatoires d un train d onde à l autre, comme le montre la figure précédente. Pour alléger les calculs, nous supposerons que les trains d ondes ont tous la même durée d émission τ et la même amplitude. On supposera également que ωτ 1. Les détecteurs ne sont sensibles qu à la valeur moyenne du carré de l amplitude. Soit A 1 (t) l amplitude scalaire associée à la voie 1, A 2 (t) celle associée à la voie 2. A 1 (t) = a 1 cos(ωt + ϕ 1 (t)) A 2 (t) = a 2 cos(ωt + ϕ 2 (t)) et nous poserons a 1 = a 2 = 1 pour simplifier. Si l amplitude totale s écrit A(t) = A 1 (t) + A 2 (t), le détecteur est sensible à A 2 (t) = A 2 1(t) + A 2 2(t) + 2 A 1 (t) A 2 (t) Comme 1/ω est petit devant le temps d intégration d un détecteur, A 2 1(t) = A 2 2(t) = 1/2

30 30 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude et on se ramène au calcul de cos(ωt + ϕ 2 (t)) cos(ωt + ϕ 1 (t)). Il vient ( 1 2 ) cos(2ωt + ϕ 2(t) + ϕ 1 (t)) + cos(ϕ 2 (t) ϕ 1 (t)) = ( 1 2 ) cos(ϕ 2(t) ϕ 1 (t)) puisque 1/2ω est très grand devant le temps d intégration d un détecteur. Par ailleurs, si z est l épaisseur de la lame d air, si la voie 2 correspond à un trajet optique plus long que la voie 1, il vient ϕ 2 (t) = ϕ 1 (t (2 z c )) ϕ 1 (t) et ϕ 2 (t) ont toutes deux la même forme que ϕ(t). Il suffit d évaluer cos(ϕ(t 2 z /c) ϕ(t)) Si 2 z /c > τ, il n y a aucune corrélation, aucun lien causal entre ϕ(t/2 z /c) et ϕ(t). Ces deux fonctions sont dites statistiquement indépendantes, et leur différence peut prendre toutes les valeurs possibles avec une égale probabilité, comme chacune des deux fonctions considérées séparément. cos(ϕ(t 2 z /c) ϕ(t)) est donc la valeur moyenne d une fonction qui peut prendre toutes les valeurs possibles entre -1 et +1 avec une égale probabilité. Cette valeur moyenne est donc nulle. Si 2 z /c < τ, il y a recouvrement partiel d un train d ondes avec lui-même. Nous pouvons découper l axe des temps en portions de longueur τ 2 z /c où A 1 (t) et A 2 (t) correspondent au même train d ondes, et en portions de longueur 2 z /c où A 2 (t) et A 1 (t) correspondent à des trains d ondes différents, donc statistiquement indépendants. La moyenne cherchée s écrit 1 T t+t t cos(ϕ(t) ϕ(t 2 z c ))dt où T désigne le temps d intégration du récepteur, très supérieur à 1/ω. Les intervalles de longueur 2 z /c pour lesquels A 1 (t) et A 2 (t) correspondent à des trains d onde différents donnent une somme nulle. Dans les intervalles de longueur τ/2 z /c, où A 1 (t) et A 2 (t) correspondent au même train d ondes, cos(ϕ(t 2 z /c) ϕ(t)) = cos(2ωz/t) valeur constante indépendante de t. Ces intervalles représentent donc une fraction τ 2 z /c du τ temps d intégration. On a donc Revenons à ce qui est détecté. Il vient cos(ϕ(t 2 z /c) ϕ(t)) = (1 2 z /cτ) cos(2ωz/c) 1 + (1 2 z /cτ) cos(2ωz/c) Par hypothèse, ωτ 1, et (1 2 z /cτ) varie donc beaucoup lentement avec z que cos(2ωz/c). On peut reprendre le raisonnement entrepris pour le spectre rectangulaire et dire que le contraste s écrit 2 z cos i C(z, i) = 1 ( ) cτ

31 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 31 si 2 z cos i < cτ. Pour une incidence nulle, on observe les figures suivantes pour le contraste et l éclairement. Avec cette modélisation, il n y a plus d interférences dès que la différence de marche dépasse cτ, l éclairement est simplement la somme des éclairements associés aux deux voies dès que δ > cτ. La longueur de cohérence est donc la différence de chemin optique à partir de laquelle il n y a plus d interférences. En pratique, on appellera longueur de cohérence la distance au bout de laquelle on ne peut plus observer d interférences, et temps de cohérence le quotient de cette longueur de cohérence par la vitesse de la lumière c. Le modèle du train d ondes, comme celui du spectre rectangulaire, n est qu un modèle. Il permet d expliquer la décroissance de contraste, mais la forme linéaire de la décroissance qu il prévoit n est pas non plus celle qu on observe expérimentalement. C est néanmoins une image très utile, par sa simplicité, pour le raisonnement qualitatif, et dont les prévisions quantitatives sont acceptables dans nombre de situations courantes. S il s écoule un temps mort entre deux trains d ondes, la forme de l éclairement n est pas modifiée. Seule intervient la forme dont le temps de recouvrement de deux trains d ondes varie avec la différence de marche. Par contre, la valeur moyenne de E(z, i) dépend de la fraction de durée qu occupent ces temps morts. Ces temps morts, s ils existent, ne sont donc pas accessibles par le relevé de E(z). Le contraste s annule une première fois pour δ = 1/ σ dans le modèle du spectre rectangulaire, et pour δ = l c dans le modèle du train d ondes. Un relation simple - mais approchée - vient alors, cτ = 1 σ Par ailleurs, σ = 1/λ, soit en différentiant, dσ = λ /λ 2. Ainsi, l c = cτ = 1 σ = λ2 λ

32 32 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude c est-à-dire l c λ = λ λ = p max p max étant l ordre d interférences maximal observable. l c τ λ ν p max 10 µm s 25 nm Hz µm s 2,5 nm Hz mm s 0,25 nm 300 GHz mm s 25 pm 30 GHz mm s 2,5 pm 3 GHz nm 1 µs 8, m 1 MHz Pour les sources usuelles, l c < 30 cm et τ est bien inférieur au temps d intégration des détecteurs classiques. On a par ailleurs τδω 1 où δω = c σ est la largeur spectrale en impulsion. Cette relation a une portée tout à fait générale : δω désigne la largeur à mi-hauteur de la distribution spectrale associée à une impulsion temporelle dont la largeur caractéristique est de l ordre de τ. En assimilant la lumière blanche à un spectre rectangulaire en σ de longueurs d onde extrémales 400 nm et 800 nm, on obtient et σ = 1 0, , 8.10 = 1, m 1 σ m = 1 2 ( 1 0, , ) = 1, m 1 Nous avons donc, d après l analyse précédente, une largeur de cohérence l c = 0, 8 µm, ce qui fait tout au plus deux franges sombres ou brillantes. En vérité, on peut parvenir à distinguer jusqu à 4 ou 5 franges de part et d autre de l ordre zéro. L explication réside en ce que notre oeil n est pas un simple récepteur d éclairement, il est capable d apprécier la couleur. La considération des éclairements et des contrastes représentés sur la figure précédente montre que si on se limite à des différences de marche très inférieures à la longueur de cohérence, tout se passe comme si la vibration lumineuse était monochromatique ou temporellement cohérente selon le vocabulaire consacré ; le contraste est proche de 1, et l éclairement varie sinusoïdalement en fonction de z si la différence de marche est supérieure à la longueur de cohérence, il n y a pas de corrélation entre les vibrations ayant emprunté les deux voies, on dit encore que les vibrations sont temporellement incohérentes

33 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 33 L allure du contraste en fonction de la différence de marche montre que la transition entre le caractère cohérent et le caractère incohérent est progressive, et qu il faut donc préciser la configuration envisagée. Il n y a pas d interférences entre les vibrations émises par deux points sources distincts. En prenant le modèle des trains d ondes, ceci signifie qu il n y a pas de corrélation entre les trains d ondes émis par deux points sources distincts Spectrométrie par transformée de Fourier L étude des interférences en lumière parfaitement cohérente est souvent très éloignée de la réalité où les sources lumineuses ne sont en général pas monochromatiques, c est-à-dire partiellement cohérentes temporellement. Nous allons donc considérer que l interféromètre de Michelson est éclairé par une source quasiponctuelle non monochromatique, caractérisée par une densité spectrale B(ν) en fréquence ou B σ (σ) en nombre d onde, et vue comme la superposition de composantes monochromatiques dont la largeur est dσ. Pour une source monochromatique, nous avions vu que l intensité en sortie du Michelson pouvait s écrire I = 2I o [1 + cos 2π λ δ] Pour notre source polychromatique, la contribution de la bande dσ à l intensité s écrit di = 2B σ (1 + cos ϕ) dσ d où l intensité résultante I = di = + 2B σ (1 + cos ϕ) dσ Nous poserons I = 2 I = B σ dσ + 2 T F [B σ (σ)] = + B σ (1 + cos 2πδσ) [ + ] B σ dσ + 2Re B σ e i2πδσ dσ + et + B σdσ = B(δ = 0), nombre réel. Ainsi, d où I = 2 B(0) [ B σ (σ).e i2πδσ dσ Re( B(σ) ] B(o) )

34 34 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude et l expression générique [ I(σ) I(0) = B(σ) ] 2 B(0) cos(φ(δ))) Le rapport Γ(δ) = B(σ) est parfois appelé B(0) Cette écriture généralise l expression relative à une seule vibration monochromatique. Dans le cas où la source est quasi-monochromatique, c est-à-dire que son spectre est étroit, on montrera par la suite que le terme Γ(δ) varie lentement devant cos φ(δ), et se comport comme une modulation de son amplitude. Eclairement par le doublet du sodium Considérons que le rayonnement est la superposition de deux radiations monochromatiques de longueurs d onde λ 1 = 589, 0 nm et λ 2 = 589, 6 nm, pour le doublet jaune du sodium, auxquelles sont associées des puissances lumineuses identiques. L écart est suffisamment important pour que l éclairement résultant soit la somme des éclairements dus à chacune des radiations considérée séparément. avec E(z, i) = E 1 (z, i) + E 2 (z, i) E j (z, i) = [ ] 4πz cos i 1 + cos( ) λ j A une constante multiplicative près, [ E(z, i) = 1 + cos(2πz cos i ( 1 1 ] [ )) cos(2πz cos i ( ] )) λ 1 λ 2 λ 1 λ 2 Parmi les deux termes semblables, le second varie beaucoup plus rapidement que le premier, puisque (λ 2 λ 1 ) 2 λ 2 λ 1. Le terme [ cos(2πz cos i ( 1 1 ] )) λ 1 λ 2 apparaît donc comme le facteur de contraste d une figure d interférences correspondant à la longueur d onde Il s annule pour λ = 2λ 1λ 2 λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2 2 2z cos i( 1 λ 1 1 λ 2 ) = m si m est un entier relatif. Sachant que p 1 (z, i) = 2z cos i λ 1 et p 2 (z, i) = 2z cos i λ 2, on a donc la condition p 1 (z, i) p 2 (z, i) = m On montre de même que z est maximum et vaut 1 lorsque p 1 (z, i) p 2 (z, i) = m. En effet, la répartition d éclairement est la somme des répartitions d éclairement associées aux longueurs

35 LP 38 - Interférométrie à division d amplitude 35 d onde λ 1 et λ 2. Lorsque p 1 (z, i) p 2 (z, i) = m, les deux répartitions d éclairement coïncident, le contraste est donc le même qu avec une seule des composantes du doublet. Lorsque p 1 (z, i) p 2 (z, i) = m + 1/2, les deux répartitions d éclairement sont décalées d une demi-interfrange,, il y a donc brouillage de la figure d interférences. On parle ici de coïncidences (contraste maximal) et d anti-coïncidences (contraste minimal) des figures d interférences des radiations λ 2 et λ 1. En théorie, le brouillage n est pas total pour z donné, puisque C(z,i) dépend ainsi de i, mais cette dépendance en i est beaucoup plus lente que celle du terme d interférences à proprement parler, soit cos(2πz cos i ( 1 λ λ 2 )) Lorsque C(z,i) s annule, on ne voit donc pas les anneaux voisins du centre. Le contraste augmente très lentement lorsqu on se déplace vers les bords du système d anneaux. Le nombre d anneaux ainsi brouillés au voisinage du centre est d autant plus important que 1 λ 1 1 λ 2 est faible devant 1 λ λ 2. En utilisant ces caractéristiques, on peut essayer de mesurer l écart entre les deux radiations avec une bonne précision. L allure de E(z, i = 0), éclairement relevé au centre du système d anneaux, est la suivante. La courbe est inscrite dans une enveloppe limitée par les courbes 1 + cos(2πz( 1 λ 1 1 λ 2 )) 1 cos(2πz( 1 λ 1 1 λ 2 ))