Probabilités. Chapitre 2 : Le modèle probabiliste - Indépendance d évènements. Julian Tugaut. 15 janvier 2015

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1 Indépendance de deux évènements Chapitre 2 : Le modèle probabiliste - Indépendance d évènements 15 janvier 2015

2 Sommaire 1 Indépendance de deux évènements 2

3 Indépendance de deux évènements Approche intuitive Rappel Soient A et B deux évènements associés à une même expérience aléatoire e. Rappelons l approche intuitive des probabilités par les fréquences. La fréquence de réalisation de l évènement A lorsque l on répète l expérience e converge vers P(A), qui quantifie les chances de voir A réalisé.

4 Indépendance de deux évènements Approche intuitive Rappel Soient A et B deux évènements associés à une même expérience aléatoire e. Rappelons l approche intuitive des probabilités par les fréquences. La fréquence de réalisation de l évènement A lorsque l on répète l expérience e converge vers P(A), qui quantifie les chances de voir A réalisé. Indépendance Supposons maintenant qu on sache que l évènement B est réalisé. Les chances de voir A réalisé vont a priori changer et être quantifiées par le nombre P(A B). Toutefois, il se peut que le fait de savoir que B est réalisé ne donne aucune influence quant à la réalisation de A. On dit alors que A est indépendant de B. Dans cette partie, nous allons aborder rigoureusement la question de l indépendance.

5 Plan 1 Indépendance de deux évènements 2

6 Indépendance de deux évènements Indépendance de deux évènements Définition On dit que A est indépendant de B si l on a P(A B) = P(A).

7 Indépendance de deux évènements Indépendance de deux évènements Définition On dit que A est indépendant de B si l on a P(A B) = P(A). Exemple On jette deux dés. L un est rouge et l autre est bleu. On considère les évènements A := le dé rouge indique une face paire et B := le dé bleu indique une face paire. Alors A est indépendant de B : P(A B) = P(A) = 1 2. De même, B est indépendant de A.

8 Indépendance de deux évènements Indépendance de deux évènements Définition On dit que A est indépendant de B si l on a P(A B) = P(A). Exemple On jette deux dés. L un est rouge et l autre est bleu. On considère les évènements A := le dé rouge indique une face paire et B := le dé bleu indique une face paire. Alors A est indépendant de B : P(A B) = P(A) = 1 2. De même, B est indépendant de A. Contre-exemple On tire deux cartes dans un jeu de 32 cartes. On considère les évènements A := la première carte est l as de coeur et B := la deuxième carte est l as de coeur. Alors A n est pas indépendant de B : P(A B) = 0 alors que P(A) = De même, B n est pas indépendant de A.

9 Résultats - 1 Indépendance de deux évènements Théorème La relation d indépendance est symétrique : si A est indépendant de B alors B est indépendant de A. De plus, A et B sont indépendants si et seulement si P(A B) = P(A)P(B).

10 Résultats - 1 Indépendance de deux évènements Théorème La relation d indépendance est symétrique : si A est indépendant de B alors B est indépendant de A. De plus, A et B sont indépendants si et seulement si P(A B) = P(A)P(B). Preuve A est indépendant de B si et seulement si P(A B) = P(A). Or, P(A B) = P(A B) P(B). On en déduit immédiatement que l indépendance de A par rapport à B équivaut à P(A B) = P(A)P(B). Cette équation étant symétrique, l indépendance de A par rapport à B implique celle de B par rapport à A.

11 Résultats - 2 Indépendance de deux évènements ATTENTION Deux évènements incompatibles et de probabilités non nulles ne sont pas indépendants. L indépendance et l incompatibilité sont deux notions radicalement différentes.

12 Résultats - 2 Indépendance de deux évènements ATTENTION Deux évènements incompatibles et de probabilités non nulles ne sont pas indépendants. L indépendance et l incompatibilité sont deux notions radicalement différentes. On a équivalence entre les quatre propositions suivantes : A et B sont indépendants. A et B c sont indépendants. A c et B sont indépendants. A c et B c sont indépendants.

13 Plan 1 Indépendance de deux évènements 2

14 Généralisation de l indépendance - 1 Exemple Une urne contient quatre jetons : un bleu, un blanc, un rouge et un bleu-blanc-rouge. On en tire un au hasard. Considérons les trois évènements A := {le jeton tiré contient du bleu}. B := {le jeton tiré contient du blanc}. C := {le jeton tiré contient du rouge}.

15 Généralisation de l indépendance - 1 Exemple Une urne contient quatre jetons : un bleu, un blanc, un rouge et un bleu-blanc-rouge. On en tire un au hasard. Considérons les trois évènements A := {le jeton tiré contient du bleu}. B := {le jeton tiré contient du blanc}. C := {le jeton tiré contient du rouge}. Il est clair que P(A) = P(B) = P(C) = 2 4 = 1 2.

16 Généralisation de l indépendance - 1 Exemple Une urne contient quatre jetons : un bleu, un blanc, un rouge et un bleu-blanc-rouge. On en tire un au hasard. Considérons les trois évènements A := {le jeton tiré contient du bleu}. B := {le jeton tiré contient du blanc}. C := {le jeton tiré contient du rouge}. Il est clair que P(A) = P(B) = P(C) = 2 4 = 1 2. D autre part, on a P(A B) = P({on tire le jeton tricolore}) = 1 4 = P(A)P(B).

17 Généralisation de l indépendance - 1 Exemple Une urne contient quatre jetons : un bleu, un blanc, un rouge et un bleu-blanc-rouge. On en tire un au hasard. Considérons les trois évènements A := {le jeton tiré contient du bleu}. B := {le jeton tiré contient du blanc}. C := {le jeton tiré contient du rouge}. Il est clair que P(A) = P(B) = P(C) = 2 4 = 1 2. D autre part, on a P(A B) = P({on tire le jeton tricolore}) = 1 4 = P(A)P(B). Et, de même P(B C) = 1 4 = P(B)P(C) et P(A C) = 1 4 = P(A)P(C). Ainsi, les évènements A, B et C sont deux à deux indépendants.

18 Généralisation de l indépendance - 1 Exemple Une urne contient quatre jetons : un bleu, un blanc, un rouge et un bleu-blanc-rouge. On en tire un au hasard. Considérons les trois évènements A := {le jeton tiré contient du bleu}. B := {le jeton tiré contient du blanc}. C := {le jeton tiré contient du rouge}. Il est clair que P(A) = P(B) = P(C) = 2 4 = 1 2. D autre part, on a P(A B) = P({on tire le jeton tricolore}) = 1 4 = P(A)P(B). Et, de même P(B C) = 1 4 = P(B)P(C) et P(A C) = 1 4 = P(A)P(C). Ainsi, les évènements A, B et C sont deux à deux indépendants. Cependant, P(A B C) = 1 car B C = {on tire le jeton tricolore}.

19 Généralisation de l indépendance - 1 Exemple Une urne contient quatre jetons : un bleu, un blanc, un rouge et un bleu-blanc-rouge. On en tire un au hasard. Considérons les trois évènements A := {le jeton tiré contient du bleu}. B := {le jeton tiré contient du blanc}. C := {le jeton tiré contient du rouge}. Il est clair que P(A) = P(B) = P(C) = 2 4 = 1 2. D autre part, on a P(A B) = P({on tire le jeton tricolore}) = 1 4 = P(A)P(B). Et, de même P(B C) = 1 4 = P(B)P(C) et P(A C) = 1 4 = P(A)P(C). Ainsi, les évènements A, B et C sont deux à deux indépendants. Cependant, P(A B C) = 1 car B C = {on tire le jeton tricolore}. Donc la connaissance simultanée de B et C modifie notre information sur A.

20 Indépendance de deux évènements Généralisation de l indépendance - 2 La notion d indépendance deux à deux n est donc pas suffisante pour traduire l idée intuitive d indépendance de plusieurs évènements. Ceci motive la définition suivante.

21 Indépendance de deux évènements Généralisation de l indépendance - 2 La notion d indépendance deux à deux n est donc pas suffisante pour traduire l idée intuitive d indépendance de plusieurs évènements. Ceci motive la définition suivante. Définition Soient n évènements A 1,,A n associés à une même expérience aléatoire e. On dit que les évènements A 1,,A n sont mutuellement indépendants si pour toute sous-famille A i1,a i2,,a ik avec 1 i 1 < < i k n, on a : P(A i1 A ik ) = P(A i1 ) P(A ik ).

22 Indépendance de deux évènements Généralisation de l indépendance - 2 La notion d indépendance deux à deux n est donc pas suffisante pour traduire l idée intuitive d indépendance de plusieurs évènements. Ceci motive la définition suivante. Définition Soient n évènements A 1,,A n associés à une même expérience aléatoire e. On dit que les évènements A 1,,A n sont mutuellement indépendants si pour toute sous-famille A i1,a i2,,a ik avec 1 i 1 < < i k n, on a : Remarque P(A i1 A ik ) = P(A i1 ) P(A ik ). L indépendance mutuelle implique évidemment l indépendance deux à deux et la réciproque est fausse comme le montre l Exemple.

23 Résultats Indépendance de deux évènements Proposition Soient n évènements mutuellement indépendants. Alors toute famille obtenue en remplaçant certains des A i par leur complémentaires est encore mutuellement indépendante.

24 Résultats Indépendance de deux évènements Proposition Soient n évènements mutuellement indépendants. Alors toute famille obtenue en remplaçant certains des A i par leur complémentaires est encore mutuellement indépendante. Proposition Soient n évènements mutuellement indépendants. Alors, on a P(A 1 A n ) = 1 (1 P(A 1 )) (1 P(A n )).