Devoir surveillé n 5

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1 ère BTSDOMOTIQUE Statistiques doubles - Lois discrètes Mardi 0 mars 009 Devoir surveillé n 5 EXERCICE n o Un joueur lance deux dés dont les faces sont numérotées de à 6. On suppose que les dés sont non-truqués et donc que pour chaque dé, toutes les faces ont la même probabilité d apparition. Le joueur suit les règles suivantes : Si les deux dés donnent le même numéro, le joueur perd 0 points, Si les deux dés donnent deux numéros de parités différentes (l un est pair et l autre impair), il perd 5 points, Dans les autres cas, il gagne 5 points.. Le joueur joue une partie et on note X la variable aléatoire correspond au nombre de points obtenus. (a) Déterminer la loi de probabilité de X (on pourra s aider d un arbre ou d un tableau). (b) Calculer l espérance de X.. Le joueur effectue 0 parties de suites. Les résultats des parties sont indépendants les uns des autres. On appelle alors Y la variable aléatoire égale au nombre de fois que le joueur gagne 5 points. Dans cette question, les résultats seront données à 0 près. (a) Expliquez pourquoi Y suit la loi binomiale de paramètresn = 0 etp =. (b) Quelle est la probabilité que le joueur gagne deux fois 5 points? (c) Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une fois 5 points? (d) En moyenne, combien de fois le joueur peut-il gagner 5 points?. Le joueur jouenparties de suite. (a) Quelle est la probabilité qu il gagne au moins une fois 5 points? (b) A partir de quelle valeur densa probabilité de gagner au moins une fois 5 points est-elle strictement supérieure à 0, 999? EXERCICE n o On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de défauts sur le verre d une ampoule. On admet que X obéit à la loi de Poisson de paramètreλ = 5. Calculer la probabilité des événements suivants :. Il n y a aucun défaut sur l ampoule.. Il y a plus de deux défauts sur l ampoule.. Le nombre de défauts est compris entre deux et cinq (bornes comprises). --

2 ère BTSDOMOTIQUE Statistiques doubles - Lois discrètes Mardi 0 mars 009 EXERCICE n o (Dans tout cet exercice, les résultats concernant la population seront arrondis au million). Le tableau suivant donne l évolution de la population de l Inde de 95 à 99. année Rangx i 4 5 Populationy i (en millions) z i On cherche à étudier l évolution de la populationy en fonction du rangxde l année.. Représenter graphiquement le nuage de points (x i ;y i ) dans le plan muni d un repère orthonormal d unités graphiques sur l axe des abscisses et cm pour 00 millions sur l axe des ordonnées.. Le modèle étudié dans cette question sera appelée «droite de Mayer». (a)g désigne le point moyen des trois premiers points du nuage etg celui des deux derniers points. Déterminer les coordonnées deg et deg. (b) Déterminer l équation réduite de (G G ) sous la formey=ax b. (c) Tracer la droite (G G ) sur le graphique précédent. (d) En utilisant cet ajustement, calculer la population de l Inde que l on pouvait prévoir pour 00.. (a) À l aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine dey enxpar la méthode des moindres carrés. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire. (b) Tracer cette droite D sur le graphique précédent. (c) En utilisant cet ajustement, calculer la population de l Inde que l on pouvait prévoir pour On cherche un autre ajustement et on se propose d utiliser le changement de variable suivant : z = ln y. (a) Recopier le tableau ci-dessus et compléter la dernière ligne. (b) À l aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine dez en fonction dexpar la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième). (c) Déterminer le coefficient de corrélation linéaire, comparer avec celui trouvé dans la question. et conclure. (d) En déduire qu une approximation de la popuation y, exprimée en millions d habitants, en fonction du rangxde l année est donnée par :y 89e 0,5x. (e) Représenter graphiquement cette fonction C sur le graphique précédent. (f) En utilisant cet ajustement, calculer la population que l on pouvait prévoir pour Les résultats obtenus en 00 ont révélé que la population comptait 07 millions d habitants. Déterminer une estimation de la population en 0 en choisissant le modèle qui semble le plus approprié. Justifier ce choix. --

3 ère BTSDOMOTIQUE Statistiques doubles - Lois discrètes Mardi 0 mars 009 Correction du DS n 5 EXERCICE n o. (a) On peut regrouper les résultats dans un tableau : (, ) (, ) (, ) (, 4) (, 5) (, 6) (, ) (, ) (, ) (, 4) (, 5) (, 6) (, ) (, ) (, ) (, 4) (, 5) (, 6) 4 (4, ) (4, ) (4, ) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, ) (5, ) (5, ) (5, 4) (5, 5) (6, 5) 6 (6, ) (6, ) (6, ) (6, 4) (6, 5) (6, 6) D où la loi de probabilité de X : k p(x =k) (b)e(x) = D où E(X) = 5 6. (a) Si le joueur effectue 0 parties de suite dont les résultats sont indépendants les uns des autres, et que pour chaque partie, la probabilité d obtenir 5 points est constante et égale à, on peut dire que la variable aléatoire Y suit un loi binomiale de paramètresn = 0 etp =. ( On note : Y B 0; ) De plus, pour toutk entier entre 0 et 0, on a :P(Y =k) = 0 ( ) k ( ) 0 k. k (b)p(y = ) = 0 ( ) ( ) 8 = 0, 95. La probabilité que le joueur gagne deux fois 5 points est de 0, 95 ( ) 0 ( ) 0 = (c)p(y ) = P(Y = 0) = 0 0 ( ) 0 = 0, 98. La probabilité que le joueur gagne au moins une fois 5 points est de 0, 98 (d) Le nombre de fois que le joueur peut espérer gagner 5 points en 0 parties est l espérance de la variable aléatoire Y. Or, on sait que pour une variable aléatoire de paramètresnetp, l espérance vaute=n p. D oùe(y ) = 0 = 0. En moyenne, le joueut obtiendra, fois la valeur 5 --

4 ère BTSDOMOTIQUE Statistiques doubles - Lois discrètes Mardi 0 mars 009. (a) Si le joueur jouenparties de suite alors la variable aléatoire Z égale au nombre de fois où il gagne 5 points suit une loi binomiale de paramètresnetp =. On a alors :P(Z ) = P(Y = 0) = n ( ) 0 ( ) n ( n = 0 ) ( ) n (b) On veut avoirp(z )>0, 999 soit > 0, 999 ) n ) < 0, 00 n ln < ln(0, 00) n> ( n>7, 04. EXERCICE n o ( ln(0, 00) ( ln ) La probabilité de gagner au moins une fois 5 points est supérieure à 0, 999 pour 8 parties minimum P(X =k) =e 5 5k k!..p(x = 0) =e ! =e 5 = 0, 007.P(X> ) = [P(X = 0) P(X = ) P(X = )] = 0, 007 0, 04 0, 084 = 0, 875.P( X 5) =P(X = ) P(X = ) P(X = 4) P(X = 5) =P(X 5) P(X ) = 0, 576 EXERCICE n o. Nuage de points : population en millions d habitants G C D G rangx -4-

5 ère BTSDOMOTIQUE Statistiques doubles - Lois discrètes Mardi 0 mars 009. (a)g : G : x G = = y G = = 449, x G = 45 = 4, 5 y G = = 764, 5 donc, G ( ; 449, ) donc, G ( 4, 5 ; 764, 5 ) (b) La droite (G G ) n est pas parallèle à l axe des ordonnées, elle a donc pour équationy =ax b avec : a = y G y G = 764,5 449, x G x 4,5 = 6,. G De plus, elle passe par le pointg (; 449, ) d où : y G =ax G b 449, = 6, b b = 97,. Conclusion : (G G ) :y = 6, x 97,. (c) Voir graphique. (d) 00 correspond au rangx = 6 donc :y= 6, 6 97, = 95, 7. En 00, on pouvait prévoir 954 millions d habitants. (a) La calculatrice donned:y =ax b aveca =, 4,b =, etr=0, Donc D :y =, 4x, avecr = 0, 9908 (b) Voir graphique. (c) 00 correspond au rangx = 6 donc :y=, 4 6, = 99, (a) Tableau : En 00, on pouvait prévoir 940 millions d habitants année Rangx i 4 5 Populationy i (en millions) z i 5, 889 6, 084 6, 06 6, 56 6, 74 (b) La calculatrice donned :z =ax b aveca = 0, 6,b = 5, 665. Donc D :z = 0, 5x 5, 666 (c)r = 0, 9998.r est plus proche de quer, donc, cette approximation doit être plus appropriée car les points seront plus près de la droite. (d) On a lny = 0, 5x 5, 666 y =e 0,5x5,666 y = (e 0,5 ) x e 5,666 Soit y 89e 0,5x (e) Voir graphique. (f) 00 correspond au rangx = 6 donc :y= 89e 0,5 6 = 049, 9. En 00, on pouvait prévoir 050 millions d habitants suivant cet ajustement 5. Le troisième ajustement semble le plus approprié car le plus proche des résultats réels. Dans ce cas, on peut prévoir en 0 une population dey= 89e 0,5 7 = 0 habitants -5-