Lycée Cassini BTS CGO Test de début d année

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1 Lycée assini BTS GO 4-5 Exercice Test de début d année Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes. On a mesuré, en continu pendant quatre heures, la concentration d un médicament dans le sang d un patient. La fonction est représentée ci-dessous Quelle est la concentration du médicament dans le sang au bout de h? (a) environ,5 (b) environ (c) environ,5 (d) environ, La bonne réponse est la réponse d, c est-à-dire environ,9.. Laquelle (lesquelles) de(s) (in)équations ci-dessous a pour solution l intervalle de temps où la concentration du médicament est au plus égale à? (a) (h)> (b) (h)= (c) (h)< (d) (h) au plus égale à signifie, donc la bonne réponse est la réponse d. Voici les tracés utiles si l on souhaite résoudre l inéquation proposée, la concentration du médicament est au plus égale à entre h et environ,9 h puis entre environ,8 h et 4 h

2 . À quel(s) moment(s) la concentration dans le sang est-elle de.5 mg/l? (a) 4 min (b) h min (c),667 h On trace la droite d équation y =,5. Les trois réponses proposées sont correctes (4 min,667 h) e médicament est jugé efficace quand la concentration dans le sang dépasse,75 mg/l. Quelle est donc sa période d efficacité? (On arrondira grossièrement.) (a) jusqu à h (b) jusqu à 4 h (c) dès 45 min (d) entre,75 et h On trace la droite d équation y =, La concentration dépasse,75 mg/l entre,8 et,5 h, c est la réponse d qui est correcte. 5. Au bout de combien de temps le médicament est-il le plus concentré? (a) h (b) h min (c) h 5 min (d) 4 h Le maximum est atteint au bout d une heure, c est la réponse a qui est correcte Sur quel intervalle la dérivée de cette fonction est-elle positive? (a) [;] (b) [;4] (c) [;4] (d) On ne peut pas savoir La dérivée est positive quand la fonction est croissante, c est donc sur l intervalle [;], réponse a. 7. Le nombre dérivé de cette fonction en est : (a) positif (b) négatif (c) nul (d) On ne peut pas savoir Le nombre dérivé (s il existe) de cette fonction en est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse, celui-ci est négatif, c est donc la réponse b.

3 Exercice On donne ci-dessous la représentation graphique d une fonction f définie sur [ ; ]. La tangente à la courbe au point A d abscisse 5 est tracée. Parmi les quatre courbes proposées, déterminer laquelle représente graphiquement la dérivée f de la fonction f A a. ourbe b. ourbe c. ourbe d. ourbe 4 Réponse : c (ourbe ) En comparant le sens de variation de f et le signe des fonctions proposées comme dérivées, on peut éliminer les courbes et 4, de plus, la tangente à passant par A a pour coefficient directeur ce qui permet d éliminer la courbe. Exercice Dans cet exercice, pour chaque question trois réponses sont proposées, une seule est correcte. Soit f la fonction définie et dérivable sur l intervalle [ ; 4] par f (x)=x x 9x+. On note f la fonction dérivée de f sur [ ; 4]. On donne le tableau de variation de la fonction f sur [ ; 4] :. L expression de f (x) est : Réponse b : f (x)=x 6x 9 x f 4 4 a) f (x)= x 6x 9 b) f (x)=x 6x 9 c) f (x)=x 6x 6. Sur l intervalle [ ; 4] la fonction f est : Réponse c : a) positive b) négative c) de signe non constant de signe non constant. Le calcul de f ( ) donne : a) 5 b) c) Réponse c : car ( ) ( ) 9( )+= = 8 +8+=. 4. L équation f (x) = admet sur l intervalle [ ; 4] : Réponse c : a) aucune solution b) une unique solution c) deux solutions deux solutions, une dans l intervalle [ ; ] et l autre dans l intervalle [ ;].

4 Exercice 4 Pour chaque question, trois réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte. Soit f la fonction définie pour tout réel x par f (x)= x+ x+.. L image de par la fonction f est : A. 4 Réponse B. 5 4 car f ()= + +. Soit la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan. Le point de coordonnées ( ; ) est situé : B A. au-dessous de? B. au-dessus de?. sur? Réponse. sur la courbe car f ( ) = + + = par conséquent le point de coordonnées ( ; ) appartient à la courbe.. On note f la fonction dérivée de la fonction f. Pour tout réel x : Exercice 5 A. f (x)= (x+ ) B. f (x)=. f (x)= Réponse A. f (x)= (x+ ) car f (x)=. Résoudre dansrles équations suivantes : (x+ ) (x+ ) (x+ ) = (x+ ) x+ (a) x + x = x= ou (b) 4x + x = x= ou 4 (c) x = Pas de solution (d) (x+ ) (x ) = Une seule solution. Résoudre dansrles inéquations suivantes : (a) (4x+ )( x+ 7) S=] ; 4 ] [7 ;+ [ (b) x + 5x S=] ; ] [ ;+ [ (c) x + > S=R (d) x ] x+ < ] 5 S= ; + 5 4

5 Exercice 6 et exercice est un QM. Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte, cochez-la. Questions Réponses. u est une suite arithmétique de premier terme u = et de raison 5, alors u 6 est égal à : 8. u est une suite arithmétique de premier terme u = 4 et de raison, alors u est égal à : u est une suite arithmétique telle que u = 4 et u 5 = 6 alors sa raison est égale à : 4 4. u est une suite arithmétique de premier terme u = et de raison,5 alors u + u +...+u est égal à : 5,5 6,5 5. u est une suite géométrique de premier terme u = et de raison, alors u 5 est égal à : 5,875 5,75 9,5 6. u est une suite géométrique de premier terme u = et de raison, alors u 7 est égal à : u est une suite géométrique telle que u = 5 et u 4 = 5 alors sa raison est égale à : 7 5, 8. u est une suite géométrique de premier terme u = 8 et de raison, alors u + u +...+u 5 est égal à :

6 Exercice 7 Le tableau ci-dessous donne le nombre de voitures neuves (en milliers) vendues en France durant les six premiers mois de l année. Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin Rang du mois x i Nombre de ventes (en milliers) y i (a) Voilà le nuage de points de la série ( ) x i ; y i (b) es points sont à peu près alignés (sauf un), donc on peut envisager un ajustement affine.. À la calculatrice, on calcule une équation de la droite D d ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. On obtient : y =,7x+ 5,, en arrondissant les coefficients à, près.. On décide de modéliser l évolution du nombre y de ventes de voitures neuves en fonction du rang x du mois par l expression y =,7x+ 5. (a) La droite est tracée dans le repère ci-dessus. (b) Décembre correspond à x =. Nous pouvons lire sur le graphique l ordonnée du point de la droite d abscisses ou remplacer x par dans l équation (plus précis). On obtient y =, = 9, 6. On peut prévoir une vente de 9 6 voitures en décembre. (c) On résout l inéquation, 7x + 5 <. On en déduit,7x <, d où, en divisant par le nombre négatif -,7 : x>,7 8,. On prend le premier nombre entier vérifiant cette condition, donc x= 9. On pouvait prévoir que le nombre de voitures neuves en France serait strictement inférieur à véhicules à partir de septembre. 6

7 Exercice 8 Les trois parties de l exercice peuvent être traitées de manière indépendante L entreprise SAPIQ commercialise des pots de moutarde de 8 g. Un pot est déclaré «conforme» s il contient entre 79 g et 8 g de moutarde. Partie A. omplétons l arbre de probabilités (la somme des probabilités des branches issues d un même nœud vaut ) :,9,6,4 M M,7,98, ( ). (a) p M = p M p (M )=,7,6=,4. ( ) (b) p M = p (p (M ))=,,4=,8 ( ) ( ). = M M ; c est une réunion d événements incompatibles. ( ) ( ) ( ) On en déduit : p = p M + p M =,4+,8=,5. 4. On prélève au hasard un pot parmi les pots non-conformes. ( ) p M La probabilité qu il provienne de la machine M est p (M )= ( ) =,8 p,5 = 8 5 = 6 =,6. Partie B Dans la production d une journée, On prélève au hasard 5 pots pour effectuer un contrôle. La production est assez importante pour que l on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On note Y la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 5 pots, associe le nombre de pots conformes.. Il y a répétition d épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, Y suit donc la binomiale B(5;, 95).. Au moins 9% des pots soient conformes : c est à dire P(Y 45),96. Partie L entreprise SAPIQ reçoit un agent commercial vantant les mérites d une nouvelle machine. La masse de moutarde contenue dans un pot produit par cette nouvelle machine est modélisée par une variable aléatoire X. On admet que X suit une loi normale de moyenne 8 et d écart type 6.. La probabilité arrondie au millième, qu un pot produit par la nouvelle machine soit conforme est p(79 X 8). On a : p(79 X 8)=p(X 8)+ p(8 X 8)=,5+ p(x [8 ; 8]),5+,45,95. (car la droite d équation x= 8 est axe de symétrie de la fonction de densité associée à cette variable aléatoire).. La probabilité qu un pot contienne une masse comprise entre 794 g et 86 g est p(794 X 86),68. Remarque : c est p(µ σ X µ+σ) Il est donc faux de dire que tous les pots produits par la machine contiennent entre 794 et 86 g de moutarde. 7