NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS. OBJECTIFS : Diviseurs PGCD Nombres premiers Fractions irréductibles

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1 NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS OBJECTIFS : Diviseurs PGCD Nombres premiers Fractions irréductibles

2 1 SUR QUELS NOMBRES TRAVAILLE-T-ON? (CAHIER DE COURS) On ne travaille ici que sur des nombres entiers naturels 2-1/ ,3 5 0,4 1/2-8,31 3/4

3 2 LA DIVISION EUCLIDIENNE? (Cahier de cours) 2.1 QU EST-CE QU UNE DIVISION EUCLIDIENNE? (Cahier de cours) C est une division «sans aller après la virgule» , ,

4 2.2 QUI Y-A-T-IL DANS UNE DIVISION EUCLIDIENNE? (Cahier de cours) Le dividende : a Le diviseur : b Le quotient : q Le reste : r 2 Définition : Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est trouver deux ENTIERS NATURELS q et r tels que : a = b q + r et r < b q est le quotient (entier) et r (entier) le reste de cette division euclidienne.

5 3 LES DIVISEURS (Cahier de cours) 3.1 DÉFINITION (Cahier de cours) Que signifie la phrase: «8 est un diviseur de 112?» Que la division euclidienne de 112 par 8 donne un reste de zéro

6 Définition: a, b et k désignent des nombres entiers strictement positifs. k est un diviseur de a Si b= a k est un NOMBRE ENTIER On dit aussi que a est un multiple de k, et on note : a = k b

7 1 EXERCICES SUR LES DIVISEURS (Cahier d exercices) Qui est diviseur de qui? est-il diviseur de 7 63? 0 oui est-il diviseur de 4 38? 2 non est-il diviseur de 8 80? 0 oui

8 Une autre façon de voir les choses avec les tables (de multiplication!) 9 est-il diviseur de 63? oui Car 63 est dans la table de 9 63=9x7 9 est-il diviseur de 38? non Car 38 n est pas dans la table de 9 38=9x? 10 est-il diviseur de 80? oui Car 80 est dans la table de 10 80=10x8

9 Parmi les phrases suivantes, lesquelles sont vraies? 5 est un diviseur de 395 oui 395=5x79 12 est un diviseur de 12 oui 12=12x1 44 est un diviseur de 11 non Car 44 est supérieur à 11, c est 11 qui est diviseur de 44 1 est un diviseur de n importe quel nombre oui N = 1 x N 2 est un diviseur de 41 non Car 41 n est pas dans la table de 2, il est impair

10 3.2 CRITERES DE DIVISIBILITE (Cahier de cours) Pour tous les nombres, on fait la division et on regarde si le reste est égal à zéro. Divisibilité par 2 : Le chiffre des unités doit être ou 8 Divisibilité par 5 : Le chiffre des unités doit être 0 ou 5 Divisibilité par 3 : La somme de tous les chiffres doit être dans la table de 3. Divisibilité par 9 : La somme de tous les chiffres doit être dans la table de 9. Divisibilité par 10 : Le chiffre des unités doit être 0

11 2 UTILISATION DES CRITERES DE DIVISIBILITE (Cahier d exercices) Quels sont les diviseurs des nombres donnés? Nombre oui non oui non oui non oui non non non non oui oui oui non non non non non non oui non oui non oui oui oui oui oui oui Somme des chiffres 2+6+0= = = = = =18

12 3.3 QUE FAIRE QUAND LES CRITERES SONT INAPPLICABLES (CAHIER DE COURS) a) On peut toujours faire la division. b) On peut procéder à une décomposition. Exemple:7 est-il un diviseur de 224? 1) Pas loin de 224 il y a un gros morceau 210 qui est bien sûr dans la table de 7 car 7x3=21 et 7x30=210 2) 224 ce n est pas tout à fait 210, c est ) Le petit morceau 14 est aussi dans la table de 7. 4) Le gros morceau 210 et le petit 14 sont tous les deux dans la table de 7 donc le total 224 a pour diviseur 7.

13 Exemple : 178 a-t-il pour diviseur 8? Faisons une décomposition. 1) 178 = ) 160 est bien dans la table de 8 car 8x20=160 3) 18 n est pas dans la table de 8. 4) 160 et 18 ne sont pas tous les deux dans la table de 8 donc le total 178 n a pas pour diviseur 8.

14 Propriété : Si d est un diviseur commun à deux entiers naturels a et b avec a > b alors d est également un diviseur de a + b et de a b. Démontrez cette propriété.

15 3 DÉCOMPOSITIONS (Cahier d exercices) Question Décomposition Gros Petit Réponse 7 diviseur de 133? 133 = oui 11 diviseur de 333? 333 = non 13 diviseur de 273? 273 = oui 4 diviseur de 256? 256 = oui 8 diviseur de 780? 780 = non

16 3.4DIVISEURS ET PRODUIT (Cahier de cours) Dés qu on peut écrire un nombre comme un produit, on obtient des diviseurs. Nombre = 2 x 7 2 et 7 sont diviseurs de 14 Nombre = 1 x 14 1 et 14 sont diviseurs de 14 Nombre = 3 x 4 3 et 4 sont diviseurs de 12 Nombre = 2 x 6 2 et 6 sont diviseurs de 12 Nombre = 13 x 1 13 et 1 sont diviseurs de 13

17 4 Recherche de tous les diviseurs d un nombre entier positif. Trouvez tous les diviseurs de 12. Comme ces diviseurs sont inférieurs à 12, on va passer en revue tous les nombres de 1 à = 1 x = 4 x 3 12 = 2 x 6 12 = 3 x 4 12 = 5 x? 12 = 6 x 2 12 = 7 x? 12 = 8 x? 12 = 9 x? 12 = 10 x? 12 = 11 x? 12 = 12 x 1 Liste des diviseurs: 1;12; 2;6; 3;4; 4;3; 6;2; 12;1 Remarques: C est long! On trouve les diviseurs deux fois! A partir du basculement 3 x 4 en 4 x 3 rien de nouveau!

18 Une observation d ordre géométrique. (cahier d exercices) 12 = 1 x = 2 x 6 12 = 3 x 4 12 = 4 x 3 12 = 6 x 2 12 = 12 x 1 Quand la longueur du rectangle diminue, sa largeur augmente. Dès que la largeur dépasse la longueur, il n y a plus de nouveaux diviseurs.

19 Cherchez tous les diviseurs de 16. (cahier d exercices) 16 = 1 x = 2 x 8 16 = 4 x 4 16 = 8 x 2 16 = 16 x 1 A partir du moment où le rectangle devient un carré, il n y a plus de nouveaux diviseurs.

20 Trouvez enfin, efficacement, tous les diviseurs de 18. (cahier d exercices) 18 = 1 x = 2 x 9 18 = 3 x 6 18 = 4 x? 18 = 5 x? 18 = 6 x 3 Inutile d aller plus loin! Comme 18 ne dépasse pas 5 x 5, l essai avec 6 était même inutile.

21 Cherchez les diviseurs suivants. (cahier d exercices) Ceux de 24 Ceux de 35 Ceux de 60 Ceux de 13 1 x 24 1 x 35 1 x 60 1 x 13 2 x 12 2 x? 2 x 30 2 x? 3 x 8 3 x? 3 x 20 3 x? 4 x 6 4 x? 4 x 15 4 x? 5 x? Stop Car 5x5>24 5 x 7 6 x? Stop Car 6x6>35 5 x 12 6 x 10 7 x? 8 x? Stop Car 4x4>13 Stop Car 8x8>60

22 5 NOMBRES PREMIERS Tous les nombres n ont pas la même richesse en diviseurs 60 a 12 diviseurs: 1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60 24 a 8 diviseurs: 1;2;3;4;6;8;12;24 25 a 3 diviseurs: 1;5;25 17 n a que 2 diviseurs: 1;17 Difficile d être plus pauvre! Définition: Nombre premier Un nombre entier naturel est dit premier, s il n a que 1 et lui-même comme diviseur.

23 Cherchez les intrus! Parmi les pauvres naturels premiers suivants, se sont glissés deux intrus. Lesquels? ;3;7; ;3;9 7 Remarque: Ces pauvres naturels premiers se vengent bien, car aujourd'hui encore, malgré des siècles d étude par les mathématiciens, ils conservent des secrets qui n ont toujours pas été percés.

24 6 Diviseurs communs - PGCD Cherchons la liste des diviseurs communs à 60 et 75. Diviseurs de 60 : 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60 Diviseurs de 75 : 1; 3; 5; 15 ;25; 75 Diviseurs communs: 1; 3; 5; 15 Cherchons la liste des diviseurs communs à 12 et 16. Diviseurs de 12 : 1; 2; 3; 4; 6; 12 Diviseurs de 16 : 1; 2; 4; 8 ; 16 Diviseurs communs: 1; 2; 4

25 Un sigle nouveau Les diviseurs communs à 60 et 75 sont: 1; 3; 5; 15 Le plus grand d entre eux est 15 Donc 15 est le plus grand diviseur commun à 60 et 75. On dit que c est le P G C D de 60 et 75. On écrira: PGCD (60;75) = 15

26 D autres PGCD Les diviseurs communs à 12 et 16 sont: 1; 2; 4 PGCD ( 12; 16) = 4 Les diviseurs communs à 18 et 24 sont: 1; 2; 3; 6 PGCD ( 18; 24) = 6

27 6.1 DÉFINITION DU PGCD Définition: a, b désignent des nombres entiers strictement positifs. Le Plus Grand Diviseur Commun de a et b est appelé le PGCD de a et b. On le note : PGCD(a;b)

28 6.2 PROPRIÉTÉS Exercice 1 : donnez le PGCD de 6 et 25: Les diviseurs de 6 sont: 1; 2; 3; 6 Les diviseurs de 25 sont: 1; 5; 25 Il n y a qu un diviseur commun: 1 C est bien sûr le plus grand de la liste. Donc PGCD ( 6; 25 ) = 1 Remarque: un PGCD vaut au minimum 1. Quand le PGCD vaut 1, on dit que les deux nombres sont: PREMIERS ENTRE EUX

29 Exercice 2 : Les couples de nombres suivants sontils premiers entre eux? (12;56) Div:2 (35;76) PGCD(35;76) =1 Premiers entre eux (17;22) PGCD(17;22) =1 Premiers entre eux (10;760) Div:10 (14;63) Div:7 (4561;45610) Div:4561

30 Exercice 3 : Complétez les phrases. Parmi les nombres Quel est le seul qui puisse compléter la phrase: «12 et sont premiers entre eux.» Parmi les nombres Quel est le seul qui puisse compléter la phrase: «11 et sont premiers entre eux.» Parmi les nombres Quel est le seul qui puisse compléter la phrase: «35 et sont premiers entre eux.»

31 Exercice 3 : Donnez les PGCD des couples suivants PGCD ( 8; 24) = 8 Comme 8 est diviseur de 24, 8 est donc le PGCD de 8 et 24. PGCD ( 10;60 ) = 10 PGCD ( 120;12 ) = 12 PGCD ( 25;25 ) = 25

32 Propriétés : a et b désignent des entiers strictement positifs. 1 Dire que a et b sont premiers entre eux, c est dire qu ils n ont que 1 comme diviseur commun, et PGCD(a;b) = 1 2 Si b est un diviseur de a alors PGCD(a;b) = b 3 PGCD(a;a) = a

33 7 METHODES DE RECHERCHE DE PGCD Pour les couples suivants d entiers a et b : Donnez la liste des diviseurs de a, b et a-b Comparez les PGCD(a;b) et PGCD(b;a-b) Pour a=18 et b= 12 Diviseurs de 18 : 1;2;3;6;9;18 Diviseurs de 12 : 1;2;3;4;6;12 PGCD(18;12)=6 Diviseurs de 18-12=6 : 1;2;3;6 PGCD(12;6)=6 Pour a= 25 et b =22 Diviseurs de 25 : 1;5;25 Diviseurs de 22 : 1;2;11;22 PGCD(25;22)=1 Diviseurs de 25-22=3 : 1;3 PGCD(22;3)=1 Propriété : a et b désignent des entiers strictement positifs. PGCD(a;b) = PGCD(b;a-b)

34 7 METHODES DE RECHERCHE DE PGCD Méthode des soustractions successives: Principe: On ne fait que des soustractions en ne gardant à chaque tour que les deux nombres les plus petits, en utilisant la propriété précédente. Exemple: Cherchons le PGCD de 12 et = 4 Je garde 12 et = 8 Je garde 8 et = 4 Je garde 4 et = 0 Le résultat est 0, le nombre 4 est le PGCD de 12 et 16.

35 Exercice 1: Donnez les PGCD des couples suivants en utilisant la méthode des soustractions successives Cherchons le PGCD de 60 et = = = = = 0 Le résultat est 0, le nombre 15 est le PGCD de 60 et 75. Cherchons le PGCD de 2 et = = = = = 0 Le résultat est 0, le nombre 1 est le PGCD de 2 et 7. Les nombres 2 et 7 sont donc premiers entre eux.

36 Exercice 2: Donnez le PGCD du couple suivant en utilisant la méthode des soustractions successives Cherchons le PGCD de 27 et = = = = = = = = = = = =3 3 2 = = = 0 Le PGCD de 27 et 2 est 1, mais ce fut long à trouver!

37 Le mot «algorithme» vient d une déformation du nom du mathématicien perse al Khwarizmi (IXème siècle). Un algorithme est une succession de manipulations sur les nombres qui s exécutent toujours de la même façon.

38 Méthode divisions successives, ou Algorithme d Euclide: Principe: On ne fait que des divisions en remplaçant à chaque tour le dividende par le diviseur et le diviseur par le reste. Cherchons le PGCD de 27 et 2 Dividende Diviseur Reste 27=13x2+1 2=1x Le dernier reste est 0. Le PGCD, est le dernier reste avant le reste 0, donc le nombre 1 est le PGCD de 27 et 2.

39 Exercice 3: Donnez le PGCD du couple suivant en utilisant la méthode des divisions successives Cherchez le PGCD de 60 et Le reste est 0, le nombre 15 est le PGCD de 60 et 75. Cherchez le PGCD de 2 et Le reste est 0, le nombre 1 est le PGCD de 2 et 7. Les nombres 2 et 7 sont donc premiers entre eux.

40 Exercice 4: Déterminez le PGCD des nombres en utilisant la méthode qui vous semble la plus appropriée. a. 682 et 352 b. 248 et 124 c. 140 et 84 d et Exercice 5: Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de tartelettes identiques. Calculer le nombre de tartelettes et indiquer leur composition.

41 Exercice 6 : Soit A = Écrire la liste des premiers multiples de Écrire la liste des premiers multiples de Déduisez-en le plus petit multiple commun à ces deux nombres et le plus petit dénominateur commun à 4 9 et Calculez A et donnez le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

42 Exercice 7 : Un élève dit à un 2éme élève : «J'ai plus de 400 DVD mais moins de 450! En les groupant par 2 ou par 3 ou par 4 ou par 5, c'est toujours la même chose, il m'en reste un tout seul!». Combien a-t-il de DVD?

43 Si on retire un DVD, on cherche un nombre compris entre 400 et 450 qui soit multiple à la fois de 2, 3, 4 et 5. Or 4 est un multiple de 2, donc le nombre recherché est un multiple de 3, 4 et 5 soit de 3x4x5 = 60. Le seul nombre compris entre 400 et 450 qui soit multiple de 60 est 420. Donc, en rajoutant le DVD enlevé au début pour faire les calculs, on a 421 DVD.

44 6 FRACTIONS IRREDUCTIBLES (Cahier de cours) Méthode: Simplifier Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre. : = : On a pu faire la simplification car 4 est un diviseur commun à 28 et 24.

45 Méthode: Simplifier : = : : 3 = : On a pu faire deux simplifications successives avec des diviseurs communs. : = : On peut aller plus vite en prenant un diviseur commun plus grand.

46 Méthode: Simplifier : = : Prenons le PGCD de 60 et 75 qui est 15 On ne pouvais pas aller plus vite puisque 15 est le plus grand diviseur commun. Le seul diviseur commun qui reste à 4 et 5 est 1 car 4 et 5 sont premiers entre eux. La fraction obtenue ne peut plus être simplifiée, on dit qu elle est IRREDUCTIBLE

47 Pour terminer, quelques petites affirmations. Sont-elles vraies? Sont-elles fausses? Pourquoi? Affirmation Vrai Faux Justification 8 et 10 ont le même nombre de diviseurs. 25 admet 3 diviseurs. 23 est un nombre premier. Vrai Div 8 : 1;2;4;8 Div 10 : 1;2;5;10 Vrai Div 25 : 1;5;25 Vrai Div 23 : 1;23

48 Affirmation Vrai Faux Justification 7 est un diviseur de 357 Vrai 357 = divise 259 Faux 259 = PGCD (16;24)=4 Faux PGCD = 8 PGCD (19;38)=19 Vrai 38 = 19 x 2

49 Affirmation Vrai Faux Justification 20 et 27 sont premiers entre eux Vrai PGCD = est irréductible Vrai PGCD = est irréductible Faux PGCD = n est pas irréductible Vrai PGCD = 13