École Polytechnique de Montréal page 1 Contrôle périodique Été 2011--------------------------------Corrigé--------------------------------------T.Hammouche Question 1 (12 points) Mth2302B - Intra Été 2011 Des pièces produites dans une usine peuvent présenter jusqu à trois types de défaut. Soit les événements A i où : A i : "Une pièce quelconque présente un défaut de type i" i = 1, 2, 3. Chacun des trois défauts à la même probabilité, que les deux autres, d être le seul défaut que présente une pièce. D autre part, le nombre de défauts que présente une pièce quelconque est une variable aléatoire X de fonction de répartition F X (x). Le tableau suivant donne F X (x) en certains points x. x 0 1 2 3 F X (x) 0.7 0.85 0.94 1 a) (2 points) Calculer le nombre moyen de défauts par pièce. b) (2 points) Calculer les probabilités P( ) et P( ). Chaque pièce est soumise à un test de contrôle afin de détecter ses défauts. Le test est positif s il signale l existence d au mois un défaut et négatif si aucun défaut n est détecté. Le test n est pas fiable (ou bien exact) à 100%, autrement dit, il peut s avérer positif alors que la pièce ne présente aucun défaut comme il peut s avérer négatif alors que la pièce comporte au moins un défaut. Le tableau suivant donne les probabilités conditionnelles P(D W) où D : "le test est positif" W P(D W) 0.05 0.5 0.8 c) (2 points) Quel est le pourcentage des tests positifs? d) (2 points) Calculer la probabilité qu un test soit exact (ou bien fiable). e) (2 points) Si un test s avère positif, quelle est la probabilité que la pièce présente au moins un défaut? f) (2 points) Calculer la probabilité qu un premier test exact survienne à partir de la troisième pièce testée.
École Polytechnique de Montréal page 2 Réponse : a) Calculons la fonction de masse P X (x) x 0 1 2 3 F X (x) 0.7 0.85 0.94 1 P X (x) 0.7 0.15 0.09 0.06 b) P( ) = P( ) = P( ) = P X (1)/3 =0.05 D après le diagramme de VENN, P( ) = P( ) + P( )+ P( + P(X = 3) = 0.05+0.05+0.09 + 0.06 = 0.25 c) On cherche P(D) = par application de la loi des probabilités totale puisque l ensemble { } forme une partition. P(D) = 0.05(0.7)+0.5(0.05)+0.8(0.25) = 0.26 d) P(Test exact) = P((au moins un défaut et test positif) ou (aucun défaut et test négatif)) =
École Polytechnique de Montréal page 3 P(Test exact) = = 0.5(0.05) + 0.8(0.25) + 0.95(0.7) = 0.89 e) On cherche = 0.8653 f) Soit la variable Y : nombre de pièces testées pour avoir un test positif. Y On cherche Question 2 (10 points) Les durées de vie (an) de la pile principale ainsi que de la pile de secours d un appareil électronique sont des variables aléatoires notées respectivement X et Y. Lorsque la pile principale arrive à terme, la pile de secours est automatiquement mise en marche. Lorsque cette dernière arrive à terme, l appareil tombe en panne si la pile principale n est pas remplacée. La fonction de densité conjointe du vecteur [X, Y] est : 0 sinon a) (1.5 points) Calculer la valeur de la constante réelle k. b) (3 points) Si la pile principale à duré plus d un an, quelle est la probabilité que l appareil fonctionne pour une durée totale dépassant 2 ans avant qu on procède au remplacement de la pile. c) (1.5 points) Les durées de vie des deux piles sont-elles indépendantes? Justifier! d) (1 point) La variable X suit une loi vue au cours. De quelle loi s agit-il? Préciser ses paramètres. e) (3 points) La durée totale des deux piles est T = X + Y. e-1) Montrer que E(Y n ) =. e-2) Calculer le coefficient de corrélation entre les variables T et X. Conclure!
École Polytechnique de Montréal page 4 Aide : + c Réponse : a) b) On cherche Pour calculer P(A) et P(B), il faut double intégrer D B. respectivement sur les domaines D A et Y=2-X D A Y=1/4 X=1 D B = 32 = 0.4 Donc c). (donc 0 sinon)
École Polytechnique de Montréal page 5 (donc 0 sinon) On voit que = pour tout couple (x,y), donc X et Y sont indépendantes. d) De la densité marginale de X, on reconnaît une loi exponentielle de paramètre. e) e-1) E(Y n ) =. e-2) D abord : Ensuite :. (Par indépendance de X et Y, E(X*Y) = E(X)*E(Y)) (Par indépendance de X et Y, pas de cov(x,y)) Finalement. très proche de 1, donc très forte corrélation entre X et T. Ceci est prévisible car La durée X forme la plus grande partie de la durée totale T. Question 3 (8 points) Une compagnie de location d outils possède 10 appareils de même type. La location de chaque appareil rapporte à la compagnie 300$ par heure. À la récupération de chaque appareil, la compagnie doit réparer les petites pannes survenues lors de l utilisation de l appareil.
École Polytechnique de Montréal page 6 Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de pannes survenant lorsque l appareil est loué pour une période de durée T (heure). X suit une loi de Poisson de moyenne 0.5T. La réparation, par appareil, coûte à la compagnie 100X 2 $. a) (1 point) Quelle est la probabilité qu un appareil ait plus de 3 pannes après une location pour une période d une heure? b) (1.5 points) Montrer que E(X 2 ) = 0.5T + 0.25T 2. c) (2 points) Exprimer, en fonction de T, le profit net moyen généré par un appareil après une location pour une période d une durée T. Pour quelle valeur de T ce profit est-il maximum? d) (2.5 points) Supposons que les 10 appareils sont loués pour une journée de 8 heures. Calculer la moyenne du nombre d appareils générant une perte pour cette journée. Que peut-on conclure concernant la durée de location? e) (1 point) La durée séparant les moments où surviennent deux pannes successives est une variable aléatoire notée Y. Peut-on modéliser Y par une loi uniforme? Justifier! Réponse : a) T = 1, alors. On cherche 0.998 = 0.002. b) On sait que V(X) = E(X 2 ) (E(X) ) 2 donc E(X 2 ) = V(X) + (E(X) ) 2 Comme E(X) = 0.5T et V(X) = 0.5T. D où E(X 2 ) = 0.5T + 0.25T 2. c) Soit P : le profit net par appareil après une location pour une durée T. = 50T 25T 2 seconde est négative (-25), il s agit bien d un maximum). (La dérivée d) Soit la variable N : nombre d appareils (parmi les 10) générant une perte.. Ici.
École Polytechnique de Montréal page 7 cette question, on cherche Commentaire : Avec une telle fonction de profit, la compagnie n a pas intérêt à louer ses appareils pour une longue durée (> 5 heures). À T = 5 heures, la moyenne du profit est maximale, et à partir de 5 heures le profit diminue et devient même négatif (avec une probabilité considérable) lorsque T= 8 heures. e) La durée entre deux arrivées consécutives d une Poisson ne peut pas être une loi uniforme car les arrivées de Poisson ne surviennent pas régulièrement (uniformément espacées). Comme la durée Y entre 2 arrivées successives d une Poisson P( ) est de E(Y) = 1/. Donc la loi exponentielle est la loi appropriée pour modéliser la variable Y. Question 4 (10 points) Un village de 100 logements est alimenté en électricité par une centrale thermique de puissance 1500 kw. La demande en électricité par logement au mois de janvier est une variable aléatoire normalement distribuée de moyenne 12kW et d écart type 1.8kW. a) (2.5 points) Si l on suppose l indépendance des demandes entre tous les couples de logements, quelle est la probabilité que la demande totale d électricité au cours d un mois de janvier excède la capacité de la centrale thermique? b) (2.5 points) Afin de servir équitablement les logements, la centrale thermique décide de mettre à la disposition de chaque logement une capacité maximale (quota) de 15 kw. En supposant toujours l indépendance entre les demandes des logements, quelle est, approximativement, la probabilité d observer durant ce mois au plus 10 logements ayant dépassé la capacité allouée? c) (2.5 points) Comme la consommation de chaque résidence augmente les jours plus froids, l hypothèse d indépendance des demandes n est sûrement pas réaliste. On a pu déterminer une corrélation de 0.7 entre les demandes pour tout couple de résidences. Calculer dans ce cas l espérance ainsi que l écart type de la demande totale en électricité. d) (2.5 points) Supposons que la moyenne ainsi que l écart type de la demande par logement sont respectivement 5kW et 10kW. Pourquoi une loi normale est-elle inadéquate pour décrire la demande par logement? Réponse : a) Soit X i la demande de la maison i, i = 1 à 100.
École Polytechnique de Montréal page 8 Soit X la demande totale, Par additivité de la loi normale, Où Indépendance des X i, toutes les covariances sont nulles) Donc (Par On cherche P(excéder la capacité) = = 0. b) Soit Y le nombre de résidences, parmi les 100, ayant dépassé la capacité allouée. = = où p = P(dépasser le quota pour une maison quelconque) On cherche P(Y 10) Comme p est petit (<0.1) et n est grand, alors on peut approximer une binomiale par une Poisson comme suit : Finalement, on lit de la table de Poisson, P(Y 10) c) E(X) = 1200 kw (ne change pas) Or Comme toutes les corrélations sont égales et tous les écart-types sont égaux, donc toutes les covariances sont égales. Il y a.
École Polytechnique de Montréal page 9 Donc 150.92. d) À première vue, l écart type est important si on le compare avec la moyenne, ceci génère une importante probabilité des demandes négatives puisque la loi normale est symétrique par rapport à la moyenne. Or, la demande est positive, donc la loi normale est inadéquate dans ce cas. On peut calculer la probabilité que la demande soit négative comme suit : 1 0.69 = 0.31. Il S agit bien d une probabilité importante qu on ne peut négliger.